双曲线的几何性质教案

吕 叔 湘 中 学 教 师 备 课 纸
高 二 年级 数学 学科 时间 编号（ ）
教学过程设计
【授课】 一、复习
双曲线的定义及标准方程.
〖基础知识〗
二、双曲线的几何性质 由双曲线的标准方程
12
22
2=-
b
y a
x （a ＞b ＞0）来研究双曲线的几何性质：
1.范围：
2.对称性：
3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点. 在双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个
交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线
12
22
2=-
b
y
a x
的顶点.
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。

⑴注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），
双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

⑵实轴：________________________________________________________
虚轴：________________________________________________________ 在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点.
4．离心率
定义：a
c e =
∈（1，+∞）称为双曲线的离心率。

由于c e a
=
=
故e 越大，双曲线__________；e 越小，双曲线的_________。

5．渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从图上看，双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.
思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？——距离。

只要证明什么？——距离趋向于0.
求法：求已知双曲线的渐近线方程：令右端的1为0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程.
6．等轴双曲线：
⑴定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：a b =
⑵等轴双曲线的性质：①渐近线方程为：x y ±= ；②渐近线互相垂直。

⑶注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x
当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。

7．双曲线的第二定义：
〖例题评析〗
例1．求双曲线下列椭圆的实轴长和虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程，准线方程． ⑴
1916
2
2
=-
y
x
⑵
116252
2
=-
y
x
⑶
1342
2
=-
x
y
⑷15
9
2
2
=-
x
y
例2．求双曲线的标准方程： ⑴顶点距离为16，e=
4
5；
⑵离心率为2 ，一条准线为x=4
1
⑶与双曲线
116
9
2
2
=-
y
x
有共同渐近线且过点（-3，2
4）；
⑷和椭圆22259225x y +=有公共焦点，它们离心率之和为2。

例3. 求下列双曲线的离心率：
⑴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程是x-2y=0 ⑵1F 和2F 为双曲线
222
2
1x y a
b
-
=(0,0a b >>)的两个焦点, 12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点
⑶双曲线
12
22
2=-
b
y a
x （b>a>0）的半焦距为c,直线l 过点（a,0）,(0,b)若原点到直线l 的距离为
c 4
3
〖课堂练习〗 1. ⑴双曲线
125
162
2
=-y
x
两渐近线夹角为 。

⑵F 1、F 2为双曲线
14
2
2
=-y
x
两焦点，P 为双曲线上一点且满足∠F 1PF 2=600
，则△F 1PF 2的面积
为 ，△F 1PF 2外接圆面积为 。

⑶在双曲线9y 2
-16x 2
=144上任取一点P ，过P 作两渐近线的垂线，垂足为A 、B ，则△PAB 的面积为 。

2. 求适合下列条件的双曲线标准方程。

⑴两条渐近线的夹角为600
，且过点（3，3）； ⑵已知双曲线的渐近线方程为23
y x =±，实轴长为12，求它的标准方程.
⑶双曲线一条渐近线方程为x y 3=
，焦点在X 轴上，且到渐近线的距离为3；
⑷以椭圆25x 2
+9y 2
=225的焦点为顶点，长轴端点为焦点。

3.已知F 1、F 2为双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2=300
，
求双曲线的渐进线方程。

4. 动点Ｍ与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165
x =
的距离的比是常数
54
，求点M 的轨迹方程．
5.过双曲线9
2
x
-
16
2
y
＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB 的中点C 到右焦点F 的距离，并求弦AB
的长.
6.设双曲线
12
22
2=-
b
y a
x （0<a<b ）的半焦距为c,直线l 过点A(a,0),B(0,b)两点，且原点到直线l 的距
离为
c 4
3，求双曲线的离心率。