用平面向量坐标表示向量共线的条件

张喜林制2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件考点知识清单1．设),,(),,(2121b b b a a a ==其中.0=/b 那么当且仅当 时，向量)0(,=/b b a 共线．由于规定零向量与任何向量平行，则上述0=/b 的条件可去掉，当021=/⋅b b 时，向量a ，b 共线的条件也可以写 作2．设),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A 只要证明____，便可证A 、B 、C 三点共线． 3．P 是直线21p p 上的点，且P 点不与21P P 、重合，则=P 1,2pp λ设1p 坐标为211),,(P y x 坐标为P y x ),,(22点的坐标为（x ，y ），则根据向量共线条件有要点核心解读1．两向量平行的条件(1)设),,(),,(2121b b b a a a ==则.0//1221=-⇔b a b a b a(2)设b b b b a a a ),,(),,(2121==不平行于坐标轴，即=/1b ,0,02=/b 则⋅=⇔2211//b a b a b a 用语言可以表述为：两个向量平行的条件是，相应坐标成比例． 2．两个向量平行的条件的推导我们知道，如果),0(//=/b b a 则存在唯一实数A 使;b a λ= 反之，如果存在一个实数A ，使),0(=/=b b a λ则.//b a选择基底},,{21e e 如果),,(),,(2121b b b a a a ==则条件b a λ=可化为),,(),(),(212121b b b b a a λλλ==即 ,11b a λ= ①⋅=22b a λ ②①②两式的两边分别乘以,12b b 、得,2121b b b a λ= ③ ,1212b b b a λ= ④:④③-得.01221=-b a b a ⑤⑤式就是两个向量平行的条件：⑤式成立，可判断两个向量平行；反之两个向量平行，它们的坐标满足⑤式．⑤式表示的条件，是在假设0=/b 的条件下推出的．事实上，如果在讨论平行问题时，规定零向量可以与任一向量平行，在⑤式中可以去掉0=/b 的假设。

授课主题平面向量共线的坐标表示 教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？ 答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一 平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩 固 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )， 所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二 平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评： 通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩 固 已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三 用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1， 且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________． 分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解． 解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩 固 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四 共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩 固 已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。

平面向量的基本定理及坐标表示[考试要求]1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a≠0，b≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论]1．若a 与b 不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P 为线段AB 的中点，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则P 点坐标为.3．已知△ABC 的重心为G ，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，则G .一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC.( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)D [∵a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， ∴12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，∴12a －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32，12＋32＝(－1,2)，故选D.] 2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( ) A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1) D [由题意可知P 1P 2→＝(3，－3)． 若P 1P →＝13P 1P 2→，则P 点坐标为(2,2)；若P 1P →＝23P 1P 2→，则P 点坐标为(3,1)，故选D.]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则mn ＝________.－12[由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)， 得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n)，a －2b ＝(4，－1)．由ma ＋nb 与a －2b 共线， 得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.]4．已知▱ABCD 的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D(x ，y)，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.]考点一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．是将OB →[典例1] 如图，已知在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB→＝b.(1)用a 和b 表示向量OC→，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．[解] (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b)－23b ＝2a －53b.(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b)－λa＝(2－λ)a－b ，DC →＝2a －53b.所以(2－λ)a－b ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b .因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.故λ＝45.点评：本例(2)在求解中，以D ，E ，C 三点共线为切入点，借助EC →∥DC →及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设OE →＝xOD →＋(1－x)OC →，利用OA →＝12OB →＋12OC →及同基底下向量表示的唯一性求得λ.[跟进训练]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1D [选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎨⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎨⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎨⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．故选D.]2．(2020·三明模拟)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →，若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④B [由向量共线的充要条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP →＝uOA→＋vOB →成立，且u ＋v ＝1.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是：满足OP →＝uOA →＋vOB →，且u ＞0，v＞0，u ＋v ＞1.∵1＋2＞1，∴点P 位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.]考点二 平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．[典例2] (1)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，①求3a ＋b －3c ；②求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标． (1)D [以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．∵c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12.∴λμ＝4.] (2)[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ②设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴MN →＝(9，－18)．点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．[跟进训练]1．在平行四边形ABCD 中，A(1,2)，B(－2,0)，AC →＝(2，－3)，则点D 的坐标为( ) A ．(6,1) B ．(－6，－1) C ．(0，－3)D ．(0,3)A [AB →＝(－3，－2)＝DC →，∴AD →＝AC →＋CD →＝AC →－AB →＝(5，－1)，则D(6,1)．故选A.]若AC→2.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________.85[法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC→＝(1,1)，∵AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12μ，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.∴λ＋μ＝85.]考点三 向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．利用向量共线求参数[典例3－1] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m ＋1，m)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.点评：熟记两向量a ，b 共线的条件是求解此类问题的关键所在．利用向量共线求向量或点的坐标[典例3－2] 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) [法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA→＝(－2,6)， 由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．法二：设点P(x ，y)，则OP →＝(x ，y)，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y.又AP →＝(x －4，y)，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．]点评：本例中“AC 与OB 的交点为P”，实际上变相告知“A，P ，C 三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P 的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可．[跟进训练]1．已知向量a ＝(1,3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，若c 为单位向量，且c ∥(a －2b)，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22B [由题意可知a －2b ＝(－3,4)，又c ∥(a －2b)，∴c ＝λ(－3,4)，即c ＝(－3λ，4λ)．又|c|＝1，∴5|λ|＝1，∴λ＝±15，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，故选B.]2．(2020·北师大附中模拟)已知向量a ＝(1,1)，点A(3,0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．(－3，－6) [设B(x,2x)，则AB →＝(x －3,2x)． ∵AB →∥a ，∴x －3＝2x ，即x ＝－3. ∴B(－3，－6)．]备考技法3 共线定理的推广及应用 平面向量的等和线由平面向量基本定理，OP →＝λOA →＋μOB →，当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出：OP →＝xOM→＋yON →，且x ＋y ＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：OM →＝kOA →，ON →＝kOB→⎝ ⎛⎭⎪⎫其中k ＝|OM||OA|， 则OP →＝xOM →＋yON →＝kxOA →＋kyOB →，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k(x ＋y)＝k.把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线． 等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)若两等和线关于点O 对称，则定值k 互为相反数.[技法展示] (2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2A [如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AF AB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3ABAB＝3，故选A.][评析] 应用等和线解题的步骤 (1)求k ＝1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值． [技法应用]1.如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．[3,4] [当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3,4]．]2.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC→＝xOA→＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．[1,3] [OC →＝xOA →＋3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫OB →3，如图，作OB′→＝OB →3，则考虑以向量OA →，OB′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值范围是[1,3]．]3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP →＝mAB→＋nAF →(m ，n 为实数)，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5] C [随着动点圆心Q 在线段CD(含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G(P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H(P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP 1→＝mAB →＋nAF →， 由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2AB AB ＝2. 此为m ＋n 的最小值．设AP 2→＝mAB →＋nAF →， 由等和线结论，m ＋n ＝AH AB ＝5. 此为m ＋n 的最大值．综上可知，m ＋n ∈[2,5]．]。