(九)数学角-重叠问题(教材104页例1)

初中数学专题-重叠问题(精华版)
重叠问题是初中数学中的一个经典问题，很多同学在研究中会
遇到这个问题，现在我们来深入探讨一下。

什么是重叠问题？简单来说，就是用图形去模拟交集的情况。

例如，我们经常听说的“集体婚礼中，每个男士都握着另外四个女
士的手，每个女士也握着另外四个男士的手，问这次婚礼有多少人？”，这就是一个重叠问题。

在解决重叠问题时，我们需要注意以下几点：
1. 画图：重叠问题通常需要用图形来表示，画图是必不可少的。

2. 分类讨论：根据具体的题目条件，我们可以把问题分成不同
情况进行讨论，从而得到最终的答案。

3. 列方程：对于一些比较复杂的重叠问题，我们可以通过列方
程的方式来解决。

4. 推广应用：重叠问题是初中数学中的一个经典问题，但它在
实际生活中也有很多应用，例如科学研究、经济分析、交通规划等
领域都有重叠问题的存在。

通过学习重叠问题，我们不仅可以提高自己的数学能力，还可
以锻炼我们的思维能力和创新能力。

希望同学们能够重视这个问题，认真学习，在学习的过程中不断提高自己的解决问题的能力。

三年级数学广角——《重叠问题》教学目标：知识与能力：学生初步理解“重叠问题”，能借助韦恩图，解决简单的重叠问题，并能运用数学语言进行描述。

过程与方法：学生亲身经历学习、操作的过程，在观察、思考、讨论、交流中探索新知，促进学生形成良好的逻辑思维的能力。

情感态度价值观：在潜移默化中鼓励学生善于观察，乐于思考，养成良好的学习习惯，激发学习数学的兴趣。

教学重点：学生初步理解“重叠问题”，能借助韦恩图，解决实际问题教学难点：对重叠部分的理解教学方法：游戏法、讲解法。

教学准备：呼拉圈2个，多媒体课件等教学过程：一、游戏体验，激发兴趣，导入新课1.谈话导入，发现问题。

师：听说梅城完小196班的孩子表现特别棒，语文老师给我推荐了2位特别棒的孩子，数学老师也给我推荐了3位表现特别棒的孩子。

师：我想认识一下这些小朋友。

（出示名单，点到名的小朋友。

出现一个小朋友左右跑）2.解决问题，引出课题。

这个小朋友该怎么站。

有什么好的办法让他同时站在两个圈里？（生想出解决方案）师：你为什么要站在这里？你们的智慧碰撞出了知识的火花，我需要记录下来。

（在黑板上画出韦恩图）师：你们知道吗，这个图是著名数学家韦恩创造出来的。

你们刚才也像数学家一样，把这个图创造出来了，真了不起!（及时出示PPT，介绍韦恩图，引出重叠问题）二、深度体验，理解新知1.完善韦恩图。

师：让我们再仔细研究我们创造出的韦恩图，看到这个图，你能知道哪些小朋友是语文老师推荐的，哪些小朋友是数学老师推荐的吗？（不能）让我们把它创造得更加完美！2.理解韦恩图。

师：多么完美的创造呀！介绍每个圈的含义。

3.数形结合，解决问题。

师：2+3不是等于5吗？怎么图上只有4个人？生1:2+3-1=4(人)生2:1+1+2=4（人）说明每个数代表的意思生3:2-1+3=4(人)生4:3-1+2=4（人）……4.小结。

师：小朋友们真的很棒，这么短的时间，就发现了大数学家韦恩发现的问题，现在，我们用韦恩图来解决实际问题。

《重叠问题》教学设计教学内容：三年级下册第九单元“数学广角”第104页例1。

教材分析：“重叠问题”是教材专门安排来向学生介绍一种重要的数学思想方法的，即“集合”。

教材例1通过统计表的方式列出参加跳绳小组和踢毽子小组的学生名单，而总人数并不是这两个小组的人数之和，从而引发学生的认知冲突。

这时，教材利用直观图（即韦恩图）把这两个课外小组的关系直观地表示出来，从而帮助学生找到解决问题的办法。

教材只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。

学情分析：集合思想是数学中最基本的思想，集合理论可以说是数学的基础。

从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想了。

例如，学生在学习数数时，就常常把1个人、2朵花、3枝铅笔等用一条封闭的曲线圈起来表示，在学习认识三角形等图形时，也常常把各种不同的三角形用一个圈圈起来表示。

又如，学生学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。

如果这节课不让学生亲历集合思想方法的形成过程，只是作为一种问题解决的方法策略，那是远远不够。

我们希望学生不仅仅是在模式上会做，而是在理解的基础上会做。

如果学生头脑中没有经历韦恩图形成的过程，没有很好的直观依托，强塞给学生的也是徒然的。

为此我将教学目标设定为：教学目标：1、让学生经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，体会集合图的好处，学会利用集合的思想方法来思考问题。

2、使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，培养学生用不同的方法解决问题的意识。

3、利用生活事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一步树立学数学用数学的意识。

教学要点分析：教学重点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

教学难点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义。

教学过程：一、设疑引入。

1、出示通知。

师：同学们，前几天我到一所小学听课，发现学校给每个班发了一份通知，请同学们看一下：（出示通知，一生读）师：根据学校的通知要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？生：11人！师：怎么算的？生：6+5=11(人)。

数学重叠问题的解题技巧重叠问题在数学中是一个常见的问题类型，它涉及到两个或多个集合，以及这些集合之间的交集和并集。

解决重叠问题的关键是理解集合的概念，以及如何计算交集和并集。

以下是一些解决重叠问题的技巧：1. 明确集合的定义：首先，你需要明确每个集合的定义。

这通常涉及到确定每个集合的元素。

2. 识别重叠部分：找出两个或多个集合之间的共同元素。

这些共同元素构成了重叠部分。

3. 使用集合的运算：交集：表示两个集合共有的部分。

使用符号∩表示交集。

例如，A∩B 表示集合A和集合B的交集。

并集：表示两个集合的所有元素，包括重复的元素。

使用符号∪表示并集。

例如，A∪B表示集合A和集合B的并集。

4. 避免重复计数：当计算交集时，要注意不要重复计数。

例如，如果集合A 和集合B有3个共同的元素，那么在计算A∩B时，这3个元素只应计算一次。

5. 使用图形表示：有时，使用图形（如韦恩图）来表示集合和它们的重叠部分可以帮助理解问题。

6. 应用公式：对于一些特定的问题，可能存在特定的公式或方法来快速解决。

例如，在计算组合数时，有时可以使用“插空法”或“隔板法”。

7. 逐步解决问题：将问题分解为更小的步骤，每一步只处理一个集合或一个交集/并集的计算。

这有助于避免混淆和错误。

8. 检查答案：完成计算后，检查答案是否符合预期。

这可以通过比较答案与原始问题的关系来完成。

通过遵循这些步骤和技巧，你应该能够解决大多数重叠问题。

记住，重叠问题主要考察的是对集合概念的理解和应用，因此理解这些基本概念是解决这类问题的关键。

三年级上册数学教案：数学广角—重叠问题教学目标1. 知识与技能：使学生理解重叠问题的概念，学会运用重叠问题解决实际生活中的问题。

2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生观察、比较、概括的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生合作学习的精神。

教学内容1. 重叠问题的定义：介绍重叠问题的基本概念，通过实例让学生理解重叠问题。

2. 重叠问题的解决方法：讲解如何运用重叠问题解决实际问题，通过例题让学生掌握解题方法。

3. 实际生活中的应用：引导学生观察生活中存在的重叠问题，并尝试解决。

教学重点与难点1. 教学重点：理解重叠问题的概念，学会运用重叠问题解决实际问题。

2. 教学难点：如何引导学生观察、分析生活中的重叠问题，并尝试解决。

教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、铅笔。

教学过程1. 导入：通过PPT展示生活中常见的重叠现象，引发学生的兴趣和思考。

2. 新课讲解：讲解重叠问题的定义和解决方法，通过例题让学生理解并掌握。

3. 小组讨论：让学生分组讨论，观察生活中的重叠问题，并尝试解决。

板书设计数学广角—重叠问题内容：1. 重叠问题的定义2. 重叠问题的解决方法3. 实际生活中的应用作业设计1. 书面作业：完成练习册上的相关题目。

2. 实践作业：观察生活中存在的重叠问题，并尝试解决。

课后反思通过本节课的教学，学生对重叠问题有了基本的理解，能够运用重叠问题解决实际问题。

但在观察和分析生活中的重叠问题时，部分学生还存在一定的困难。

在今后的教学中，需要更多地引导学生观察生活，提高他们的问题解决能力。

本节课通过生动的实例和有趣的活动，激发了学生对数学的兴趣，使他们能够理解并运用重叠问题解决实际问题。

在教学过程中，教师应注重培养学生的观察、分析和解决问题的能力，使他们在生活中能够更好地运用所学知识。

教学重点与难点教学重点：理解重叠问题的概念，学会运用重叠问题解决实际问题。

《数学广角——重叠问题》说课稿一、教材分析《数学广角》是新教材中新增设的一个内容，它主要是介绍和渗透一些数学思想方法，使学生运用这些数学思想方法解决一些简单的实际问题或数学问题。

教科书108页例1借助学生熟悉的题材，渗透集合的有关思想，并利用集合图的方式求出两个小组的总人数。

二、说教材重叠问题是义务教育课程标准实验教材《数学》第六册第九单元“数学广角”中的内容。

新教材在每一册数学教材中都安排了“数学广角”这一单元，其目的是专门介绍一些数学思想方法，使学生运用这些数学思想方法解决一些简单的实际问题。

本册数学广角主要是结合实际，使学生初步体会集合和等量代换这两种数学思想方法。

今天我所上的这节课上让学生初步体会集合思想，并能利用集合的思想方法解决生活中的一些简单的重叠问题。

三、说学习目标集合理论是比较系统、抽象的数学思想方法，因此在教学中，我并没有使用集合之类的数学化语言进行描述，只是让学生通过生活中熟悉的题材初步体会这种思想方法，能够用自己的方法解决问题，为后续学习打下必要的基础。

根据教材内容和学生实际，我制定了如下教学目标：【知识与技能】使学生能借助具体内容，初步体会集合的思想方法，并能利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

【过程与方法】借助多媒体直观感知，通过合作交流、独立探究等学习方式来获取新知。

【情感、态度、价值观】通过教学活动，向学生渗透集合的数学思想方法。

培养学生的探究能力和协作精神。

四、说学习重、难点本节课的学习重点是：使学生初步体会集合的思想方法，并会运用这一思想方法解决简单的实际问题。

学习难点：会根据重复现象来计算物体的数量。

教学学习是使学生学会用集合直观图（韦恩图）来表示事物。

学习关键是借助熟悉的题材，利用教具、学具等教学辅助手段帮助学生理解集合的思想方法。

五、学情分析在本节课前，学生虽然已经学习过分类的思想方法，但集合这部分内容比较系统、抽象，针对三年级学生的认知水平，在这里只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。

小学数学重叠问题在小学数学的学习中，我们常常会遇到一种特殊的数学问题，那就是重叠问题。

这种问题通常涉及到两个或多个集合之间的重叠部分，以及这些部分与各个集合之间的关系。

解决重叠问题的关键是理解并应用集合论的基本概念和运算规则。

一、什么是重叠问题？重叠问题是指在一个集合中，另一个集合的元素与之有部分重合，或者两个集合的元素完全重合。

例如，在一群学生中，有的学生既参加数学小组也参加科学小组，这就是两个集合的重叠。

二、如何解决重叠问题？解决重叠问题的关键是正确理解和应用集合论的基本概念和运算规则。

以下是解决重叠问题的基本步骤：1、确定问题的集合：我们需要确定问题的集合，包括所有的元素和它们之间的关系。

例如，在一群学生中，我们需要确定哪些学生参加了数学小组，哪些学生参加了科学小组，以及哪些学生同时参加了两个小组。

2、识别重叠部分：接下来，我们需要识别出集合之间的重叠部分。

在上述例子中，我们需要找出哪些学生既参加了数学小组也参加了科学小组。

3、应用集合运算规则：我们需要应用集合运算规则来解决问题。

例如，如果我们想知道参加数学小组的学生总数，我们需要把只参加数学小组的学生和既参加数学小组又参加科学小组的学生都计算在内。

三、如何避免重叠问题的误解？解决重叠问题时，我们需要注意以下几点以避免误解：1、仔细阅读题目：理解题目中的每个集合和它们之间的关系是解决重叠问题的关键。

我们需要仔细阅读题目，理解每个集合的元素和它们之间的关系。

2、正确应用集合运算规则：在计算集合的元素个数时，我们需要正确应用集合运算规则，例如并集、交集等。

如果我们错误地应用了运算规则，可能会导致误解。

3、画出集合图：画出集合图可以帮助我们更好地理解集合之间的关系和重叠部分。

通过画出图形，我们可以更直观地看到哪些元素属于哪个集合，以及它们之间的重合部分。

四、例子：解决一个简单的重叠问题为了更好地理解重叠问题的解决方法，让我们看一个简单的例子。

假设在一个班级中，有30个学生，其中10个学生同时参加了数学小组和科学小组，5个学生只参加了数学小组，10个学生只参加了科学小组。

小学数学三年级下册《数学广角——重叠问题》课例分析重叠问题，是人教版三年级下册数学广角里的内容。

主要知识点就是运用直观图解决重叠问题，涉及到数学中的两个重要思想：集合思想以及数形结合思想。

它是以分类思想为基础，对以后数学学习具有重大帮助的一节课。

一、对于教学内容的反思：本节课介绍了一些数学思想和方法，使学生运用这些数学思想和方法解决一些简单的实际问题或数学问题。

本节课主要是让学生初步体会集合这种数学思想方法。

集合思想是数学中最基本的思想，甚至可以说，集合理论是数学的基础。

从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想方法了。

例如，学生在学习数数时，把1个人、2朵花、3枝铅笔用一条封闭的曲线圈起来，这样表示出数学概念更直观、形象，给学生留下更深刻的印象。

又如，我们学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。

二、对教学过程的反思（一）复习导入、明确目标：由于本部分知识的基础是分类思想，那么在导入这一环节我设计了一个简单的运用分类思想的小题进行导入，既复习了旧知也精心设计导出本节课学习重点重叠问题。

那么可以改进之处我觉得这部分可以更好的为新知探究服务，可以把这道小题进行延伸与拓展，代替课本例题，这样能够保证学习的连续性。

（二）自学指导、合作探究：本部分依附课本例题进行新知探究，首先经历：观察表格，猜想答案；自主探究验证答案；小组交流，探讨方法；大组汇报，总结方法。

这么一个过程。

然后重点引入本节课学习重点：用直观图解决重叠问题的研究。

这部分重点还是要向孩子们灌输直观图的重要性，对于数学思想方法的应用。

让学生多动手画直观图，从动手操作中感受直观图的作用，加深对直观图的理解。

（三）巩固练习、内化新知：结合课本课后练习题对本节课内容进行巩固复习，充分利用课本习题资源。

那么在做题时，鼓励孩子用多种方法解决问题。

（四）达标测试、课堂小结:用知识树的形式对本节课内容进行整合分析，重点是对数学思想与数学方法的整合。

在生活中提炼在探究中发展《重叠问题》案例与反思教学内容：三年级下册数学教科书第104页例1教学目标：1.使学生借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

2.使学生解决实际问题的过程中体会集合的思想。

3.培养学生善于观察、善于思考，养成良好的学习习惯。

教学重难点：借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

教学准备：练习纸、姓名卡片两张。

教学过程及设计意图：一、课前交流1.我们先来猜脑筋急转弯，好吗？请听：两对父子一起到餐厅吃饭，服务员只给了他们3个饭碗，为什么？（师板书：爷爷、爸爸、儿子）（围绕本课教学内容，让学生猜一个有重叠问题的脑筋急转弯为交流内容，为下面的教学打下基础。

）二、探究新知（一）巧妙设题，直观感悟1.现场调查师：课前老师了解到我们班的学生有很多的兴趣爱好，有的喜欢运动，有的喜欢看书……也有的喜欢的不只一样。

今天我想来一个现场调查，了解大家对音乐、美术的喜欢情况。

（师板书：喜欢音乐、喜欢美术）师：如果你喜欢音乐，就把自己的名字卡片贴到喜欢音乐的下面；喜欢美术的，就贴到美术的下面，如果两个都喜欢，那么你就各贴一张；如果两样都不太喜欢，那么你就把你的名字贴到最右边这个角落，大家明白了吗？师选择其中一组学生上来贴名字请第一组学生上来：贴名字卡片。

喜欢音乐喜欢美术□□□□□□□□□□□□…………（根据学生的实际情况，在教材处理上，我选择更贴近学生生活实际的题材——现场调查学生喜欢音乐、美术的情况，这样处理使学生感受到数学问题来源自己身边，而且让三年级学生把自己的名字贴到黑板上应该说大大激发学生的学习兴趣。

）2.收集数据师：现在根据他们选择的情况，我们可以了解到哪些数学信息？生1：喜欢音乐的有N人。

（板书：N人）生2：喜欢美术的有N人。

（板书：N人）生3：两样都不喜欢的有N人。

（板书：N人）师：那你们说喜欢音乐和美术的一共有多少人呢？这一组有这么多人吗？到底多少人？（发现问题，讨论交流，重新梳理）3.发现问题生：有几个人是两个名字的。