极限四则运算法则
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极限的运算一 极限的四则运算法则定理:若()A x f =lim ,()B x g =lim ,则有 (1)()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=± (2)()()[]()()x g x f AB x g x f lim lim lim ⋅==⋅ (3)()()()()x g x f B A x g x f lim lim lim==,(0≠B ) 注意:法则(1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。
另外,法则(2)还有三个推论。
推论:(1)()()x f k x kf lim lim =, (k 为常数)(2)()[]()[]n x f nx f lim lim =,(n 为正整数) (3)()[]()[]nnx f x f 11lim lim =,(n 为正整数)例1()235lim 22+-→x x x -=→225lim x x +→x x 3lim 22lim 2→x=-→22lim 5x x +→x x 2lim 32=-→22)lim (5x x +⨯232=26252+-⨯=16观察这个例子可以发现函数2352+-x x 在2→x 时的极限正好等于它在2=x 这一点的函数值,因此,我们可以得到这样一条规律:若()x f 是多项式,则()()00lim x f x f x x =→。
例23512222lim +--+→x x x x x =()()35122222lim lim +--+→→x x x x x x =3252122222+⨯--+⨯=39-=3- 例3222123lim x x x x -+-→=()()2222123lim lim x x xx x -+-→→=0从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的,但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件,就不能用极限的四则运算法则来求极限了。
极限四则运算:
定义:所谓的极限四则运算法则:需要具有两个极限同时存在,如果有一个极限自身不存在的时候,四则运算法则无法成立。
性质:唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的,且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性:如果一个数列’收敛‘(有极限),那么这个数列一定有界。
保不等式性:设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ,使得当n>N时有xₙ≥yₙ,则(若条件换为xₙ>yₙ,结论不变)。
和实数运算的相容性:如果两个数列{xₙ} ,{yₙ} 都收敛,那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛,而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设:limf(x)和limg(x)存在
令:limf(x)=A,limg(x)=B,其中,B≠0;c是一个常数
备注:四则运算可以相互带入数值进行互算,第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时,如果两个函数的极限存在,则它们的和、差、积、商的极限也存在,并且满足一定的运算规则。
下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。
1. 和的极限法则证明:设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x),即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。
我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。
根据极限的定义,对于任意ε > 0,存在N1和N2,当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2,当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。
取N = max{N1, N2},则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。
因此,lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。
2. 差的极限法则证明:类似地,我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。
3. 积的极限法则证明:要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x),我们可以利用极限的乘法法则进行证明。
具体证明步骤略。
4. 商的极限法则证明:对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x),我们需要额外假设g(x) ≠ 0,以避免出现除以零的情况。
具体证明步骤略。
综上所述,通过以上证明过程,我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。
在实际计算函数极限时,可以根据这些法则简化计算过程,提高计算的效率。
等式两边求极限四则运算法则一、加法法则在等式两边求极限时,可以使用加法法则。
加法法则指出,如果等式两边的极限都存在,那么它们的和的极限等于各自极限的和。
具体而言,设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义,且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在,则有lim(x->a)[f(x)+g(x)] = lim(x->a)f(x) + lim(x->a)g(x)。
例如,我们要求lim(x->0)(x+1),可以先求出x->0时x的极限为0,再求出x->0时1的极限为1,因此根据加法法则,可以得到lim(x->0)(x+1) = lim(x->0)x + lim(x->0)1 = 0 + 1 = 1。
二、减法法则减法法则与加法法则类似,只是将加法运算改为减法运算。
减法法则指出,如果等式两边的极限都存在,那么它们的差的极限等于各自极限的差。
具体而言,设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义,且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在,则有lim(x->a)[f(x)-g(x)] = lim(x->a)f(x) - lim(x->a)g(x)。
例如,我们要求lim(x->0)(x-1),可以先求出x->0时x的极限为0,再求出x->0时1的极限为1,因此根据减法法则,可以得到lim(x->0)(x-1) = lim(x->0)x - lim(x->0)1 = 0 - 1 = -1。
三、乘法法则乘法法则是等式两边求极限中常用的法则之一。
乘法法则指出,如果等式两边的极限都存在,那么它们的乘积的极限等于各自极限的乘积。
具体而言,设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义,且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在,则有lim(x->a)[f(x)*g(x)] = lim(x->a)f(x) * lim(x->a)g(x)。
极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的,也是不行的,因此需寻求一些方法来求极限。
定理1:若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ,则)]()(lim[x g x f ±存在,且
)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明: 只证B A x g x f +=+)]()(lim[,过程为0x x →,对0,01>∃>∀δε,当
100δ<-<x x 时,有2
)(ε
<-A x f ,对此ε,02>∃δ,当2
00δ<-<x x 时,有2
)(ε
<
-B x g ,取},m in{21δδδ=,当δ<-<00x x 时,有
ε
ε
ε
=+
<
-+-≤-+-=+-+2
2
)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f
所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注:本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2:若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ,则)()(lim x g x f ⋅存在,且
)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明:因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ,⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f (βα,均为无穷小))())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ,记
αβαβγ++=B A , γ⇒为无穷小, AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1:)(lim )](lim[x f c x cf =(c 为常数)。
推论2:n n x f x f )]([lim )](lim [=(n 为正整数)。
定理3:设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ,则)
(lim )
(lim )()(lim
x g x f B A x g x f ==。
证明:设βα+=+=B x g A x f )(,)((βα,为无穷小),考虑差:
)
()()(ββ
αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小,分母0)(2≠→+B B B β,我们不难证明
)
(1β+B B 有界(详细过程见书上))(ββα+-⇒
B B A B 为无穷小,记为γ,所以γ+=B
A
x g x f )()(,
B
A
x g x f =⇒)()(lim。
注:以上定理对数列亦成立。
定理4:如果)()(x x ψϕ≥,且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ,则b a ≥。
【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→00
lim lim lim )(lim 。
【例2】n
n x x n x x x x x 0]lim [lim 0
==→→。
推论1:设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式,当
)()(lim 0011
1000
x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ 。
推论2:设)(),(x Q x P 均为多项式,且0)(0≠x Q ,则)
()
()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。
【例3】31151105(lim 221
-=+⨯-=+-→x x x 。
【例4】33
009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x (因为03005
≠+-)。
注:若0)(0=x Q ,则不能用推论2来求极限,需采用其它手段。
【例5】求3
22
lim 221-+-+→x x x x x 。
解:当1→x 时,分子、分母均趋于0,因为1≠x ,约去公因子)1(-x ,
所以 5
3
322lim 322lim 12
21=++=-+-+→→x x x x x x x x 。
【例6】求)1
3
11(
lim 31+-+-→x x x 。
解:当1
3
,11,13
++-→x x x 全没有极限,故不能直接用定理3,但当1-≠x 时, 12)1)(1()2)(1(13112
23+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ,所以 11
)1()1(2112lim )1311(
lim 22131
-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。
【例7】求2
lim 2
2-→x x x 。
解:当2→x 时,02→-x ,故不能直接用定理5,又42→x ,考虑:
042
22lim
2
2
=-=-→x x x ,
∞=-⇒→2
lim
2
2x x x 。
【例8】若3)
1sin(lim 221=-++→x b
ax x x ,求a ,b 的值。
当1→x 时,1~)1sin(2
2
--x x ,且0)(lim 2
1
=++→b ax x x
10, =(1)a b b a ++=-+
222
(1)(1)(1)
1(1)(1)(1)(1)
x ax b x ax a x x a x x x x x +++-+-++==--+-+ 2212
lim 3124, 5
x x ax b a x a b ->+++==-==- 【例9】设n m b a ,,0,000≠≠为自然数,则
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧>∞
<==++++++--∞→时
当时当时当m n m n m n b a b x b x b a x a x a m m m n n n x 0
lim 001101
10 。
证明:当∞→x 时,分子、分母极限均不存在,故不能用§1.6定理5,先变形:
m
m
n n m n x m m m n n n x x b x b b x a x a
a x
b x b x b a x a x a ++++++⋅=++++++-∞→--∞→ 1010110110lim lim
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>++++++⋅∞<++++++⋅=++++++⋅
=时
当时当时当m n b a m n b a m n b a 0
000000
00000
010000
00 【例10】求)21(
lim 222n
n n n n +++∞→ 。
解:当∞→n 时,这是无穷多项相加,故不能用定理1,先变形:
原式2
1
21lim 2)1(1lim )21(1lim 22=+=+⋅
=+++=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n 。
【例11】证明[][]x x
x x ,1lim
=∞→为x 的整数部分。
证明:先考虑[][]x
x x x x -=-
1,因为[]x x -是有界函数,且当∞→x 时,01→x
,所
以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小,得
[][][]1lim
0)1(lim 0lim =⇒=-⇒=-∞→∞→∞→x x x
x x x x x x x 。