)(ε
<
-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有
ε
ε
ε
=+
<
-+-≤-+-=+-+2
2
)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f
所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0
。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且
)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记
αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。 推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)
(lim )
(lim )()(lim
x g x f B A x g x f ==。 证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：
)
()()(ββ
αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明
)
(1β+B B 有界（详细过程见书上）)(ββα+-⇒
B B A B 为无穷小，记为γ，所以γ+=B
A
x g x f )()(，
B
A
x g x f =⇒)()(lim
。 注：以上定理对数列亦成立。
定理4：如果)()(x x ψϕ≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，则b a ≥。
【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→00
lim lim lim )(lim 。
【例2】n
n x x n x x x x x 0]lim [lim 0
==→→。
推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式，当
)()(lim 0011
1000
x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ 。
推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，则)
()
()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。
【例3】31151105(lim 221
-=+⨯-=+-→x x x 。
【例4】33
009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x （因为03005
≠+-）。
注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。
【例5】求3
22
lim 221-+-+→x x x x x 。
解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，
所以 5
3
322lim 322lim 12
21=++=-+-+→→x x x x x x x x 。 【例6】求)1
3
11(
lim 31+-+-→x x x 。
解：当1
3
,11,13
++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时， 12)1)(1()2)(1(13112
23+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以 11
)1()1(2112lim )1311(
lim 22131
-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。 【例7】求2
lim 2
2-→x x x 。
解：当2→x 时，02→-x ，故不能直接用定理5，又42→x ，考虑：
042
22lim
2
2
=-=-→x x x ，
∞=-⇒→2
lim
2
2x x x 。
