高考数学试题(北京文)及答案高考数学试题

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x ∣∣，则M N （）A.{21}x x ∣B.{21}x x ∣C.{2}xx ∣ D.{1}xx ∣2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是( ，则z 的共轭复数z （）A.1B.1C.1D.13.已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b rrrr，则22||||a b rr（）A.2B.1C.0D.14.下列函数中，在区间(0,) 上单调递增的是（）A.()ln f x x B.1()2xf xC.1()f x xD.|1|()3x f x 5.512x x的展开式中x 的系数为（）．A.80B.40C.40D.806.已知抛物线2:8C y x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x 的距离为5，则||MF （）A.7B.6C.5D.47.在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ，则C （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π68.若0xy ，则“0x y ”是“2y xx y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列 n a 满足 31166(1,2,3,)4n n a a n，则（）A.当13a 时， n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M 恒成立B.当15a 时， n a 为递增数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立C.当17a 时， n a 为递减数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立D.当19a 时， n a 为递增数列，且存在常数0M ，使得n a M 恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x ，则12f____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0) 和(2,0)，离心率为，则C 的方程为____________．13.已知命题:p 若, 为第一象限角，且 ，则tan tan ．能说明p 为假命题的一组, 的值为 __________， _________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ，则7a ___________；数列 n a 所有项的和为____________．15.设0a，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a ，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a 上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设 111222,,,M x f x xa N x f x x a ，则||1MN ；④设 333444,,,P x f x xa Q x f x x a ．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面ABC ，1PA AB BC PC，．（1）求证：BC 平面PAB ；（2）求二面角A PC B 的大小．17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x．（1）若(0)2f，求 的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33上单调递增，2π13f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求, 的值．条件①：π3f；条件②：π13f；条件③：()f x 在区间ππ,23上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b 的离心率为3，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．20.设函数3()e ax b f x x x ，曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x ．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x ，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21.已知数列 ,n n a b 的项数均为m (2)m ，且,{1,2,,},n n a b m L ,n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ．对于 0,1,2,,k m L ，定义max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m L ∣，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ，且112,1,2,,1,j j j r r r j m L ，求n r ；（3）证明：存在 ,,,0,1,2,,p q s t m L ，满足,,p q s t 使得t p sq A B A B ．参考答案【1题答案】A 【2题答案】D 【3题答案】B 【4题答案】C 【5题答案】D 【6题答案】D 【7题答案】B 【8题答案】C 【9题答案】C 【10题答案】B 【11题答案】1【12题答案】22122x y 【13题答案】9π4π3【14题答案】48384【15题答案】②③【16题答案】（1）证明略（2）π3【17题答案】（1）π3.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1 ，π6.【18题答案】（1）0.4（2）0.168（3）不变【19题答案】（1）22194x y （2）证明略【20题答案】（1）1,1a b（2）略（3）3个【21题答案】（1）00r ，11r ，22r ，33r （2）,n r n n N （3）证明略。

2024年北京高考数学试题+答案详解（试题部分）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −−B ．1i −+C ．1i −D ．1i +3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ）AB ．2C ．3D ．4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6B ．6−C ．12D ．12−5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N =8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==为（ ）.A ．1B ．2 CD9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >C ．d 1S <D ．d =1S >二、填空题11．抛物线216y x =的焦点坐标为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos β的最大值为 ．13．若直线()3y k x =−与双曲线2214xy −=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为 mm ，升量器的高为 mm ．15．设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素； ②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素； ③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 三、解答题16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．如图，在四棱锥P ABCD −中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．20．设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线． (1)当1k =−时，求()f x 的单调区间. (2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACOS与ABOS分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21．已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈=，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21sT T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．2024年北京高考数学试题+答案详解（答案详解）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ⋃=−<<. 故选C. 2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −− B ．1i −+C ．1i −D ．1i +【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =−−=−. 故选C.3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ） AB ．2C ．3D．【答案】D【详解】根据题意得22260x y x y +−+=，即()()221310x y −++=， 则其圆心坐标为()1,3−，则圆心到直线20x y −+==故选D.4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6 B ．6− C ．12 D ．12−【答案】A【分析】写出二项展开式，令432r−=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr r rr T x xr −−+==−=，令432r −=，解得2r =，即()224C 16−=. 故选A.5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为()()220a b a b a b +⋅−=−=，可得22a b =，即a b =，可知()()0a b a b +⋅−=等价于a b =，若a b =或a b =−，可得a b =，即()()0a b a b +⋅−=，可知必要性成立； 若()()0a b a b +⋅−=，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ≠且a b ≠−，可知充分性不成立； “()()0a b a b +⋅−=”是“a b ≠且a b ≠−”的必要不充分条件. 故选B.6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【详解】根据题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点， 则12min π22T x x −==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==. 故选B.7．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N = 【答案】D【分析】根据题意分析可得12112.1,3.15ln ln S S N N −−==，消去S 即可求解. 【详解】根据题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N −−==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =. 故选D.8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB==，PC PD ==为（ ）.A ．1B ．2 CD 【答案】D【详解】底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ， 可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ， 所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥， 由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ， 所以PO ⊥平面ABCD ，根据题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PFPO EF⋅==当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，这样情况不存在. 故选D.9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详解】根据题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，AB.可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，A 正确，B 错误；C.例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，C 错误；D.例如121,2x x =−=−，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==−∈−−，即12212log 32y y x x +>−=+，D 错误， 故选B. 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S > C．d 1S < D．d =1S >【答案】C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩。

2024年北京市高考数学试卷A．{x|-1≤x＜1}B．{x|x＞-3}C．{x|-3＜x＜4}D．{x|x＜4}A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+iA．B．2C．3D．3（2024•北京）已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N=（ ）答案：C解析：结合并集的定义，即可求解．解答：解：集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N={x|-3＜x＜4}．故选：C．（2024•北京）若复数z满足=-1-i ，则z=（ ）z i答案：C解析：结合复数的四则运算，即可求解．解答：解：=-1-i，则z=i（-1-i）=1-i.故选：C．z i（2024•北京）圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为（ ）√2√2答案：D解析：求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解答：解：圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心（1，-3），圆x 2+y 2．故选：D．√2A．6B．-6C．12D．-12A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2024•北京）在的展开式中，x 3的系数为（ ）（x -）√x 4答案：A解析：利用二项式定理，求解即可．解答：解：的通项公式为：（-1）r •，4-r +=3，可得r=2，二项展开式中x 3的系数：•（-1）2=6．故选：A．（x -）√x4C 4r •x 4-r x r2r 2C 42（2024•北京）设a ，b 是向量，则“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =-b 或a =b ”的（ ）→→→→→→→→→→答案：B解析：根据已知条件，依次判断充分性，必要性的判断，即可求解．解答：解：（a +b ）•（a -b ）=0，则-=0，即|a |=|b |，|a |=|b |不能推出a =b 或a =-b ，充分性不成立，a =b 或a =-b 能推出|a |=|b |，必要性成立，故“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =b 或a =-b ”的必要不充分条件．故选：B．→→→→a →2b →2→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→（2024•北京）设函数f（x）=sinωx（ω＞0）．已知f（x 1）=-1，f（x 2）=1，且|x 1-x 2|的最小值为，则ω=（ ）π2A．1B．2C．3D．4A．3N 2=2N 1B．2N 2=3N 1C．=D．=答案：B解析：由已知结合正弦函数的性质即可直接求解．解答：解：因为f（x）=sinωx,则f（x 1）=-1为函数的最小值，f（x 2）=1为函数的最大值，又|-==，所以T=π，ω=2．故选：B．x 1x 2|minπ2T 2（2024•北京）生物丰富度指数d =是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）S -1lnNN 22N 13N 23N 12答案：D解析：根据已知条件可得=2.1，=3.15，化简即可求解．S -1lnN 1S -1lnN 2解答：解：根据个体总数由N 1变为N 2可列式，=2.1，=3.15，所以2.1lnN 1=3.15lnN 2，约分可得2lnN 1=3lnN 2，故=，所以=．故选：D．S -1lnN 1S -1lnN 2lnN 12lnN 23N 12N 23（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2，该棱锥的高为（ ）√2A．1B．2C．D．A．lo ＜C．lo ＜+D．lo ＞+√2√3答案：D解析：根据题意分析可知平面PEF⊥平面ABCD，可知PG⊥平面ABCD，再结合等体积法，即可求解．解答：解：由题意知△PAB为正三角形，因为PC 2+PD 2=CD 2，所以PC⊥PD，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE=2，PF=2，EF=4，则PE 2+PF 2=EF 2，所以PE⊥PF，过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF ⊂平面PEF，且EF∩PF=F，所以CD⊥平面PEF．又PG ⊂平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF ⊂平面ABCD，CD∩EF=F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高，因为PE •PF =EF •PC ，所以PG ===．故选：D．√31212PE •PF EF 2×2√34√3（2024•北京）已知（x 1，y 1），（x 2，y 2）是函数y=2x 的图象上两个不同的点，则（ ）g 2+y 1y 22+x 1x 22g 2+y 1y 22x 1x 2g 2+y 1y 22x 1x 2答案：BA．d=3，S＜1B．d=3，S＞1C．d =，S ＜1D．d =，S ＞1解析：根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．解答：解：（x 1，y 1），（x 2，y 2）是y=2x 上的点，则=，=，+≥2=2，当且仅当x 1=x 2时，等号成立，故＞，两边同时取对数可得，lo ＞．故选：B．y 12x1y 22x22x12x2√•2x 12x 2√2+x 1x 2+y 1y 222+x 1x22g 2+y 1y 22+x 1x 22（2024•北京）已知M={（x,y）|y=x+t（x 2-x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（ ）√10√10答案：C解析：根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．解答：解：集合{y|y=x+t（x 2-x），0≤t≤1，1≤x≤2}表示的图形如下图阴影部分所示，由图象可知，d =|AB |==，S ＜=×（4-2）×（2-1）=1．故选：C．√（2-1+（4-1）2）2√10S △ABC 12（2024•北京）抛物线y 2=16x的焦点坐标为 （4，0）．答案：见试题解答内容解析：根据抛物线的标准方程计算可得．解答：解：抛物线y2=16x的焦点坐标是（4，0）．故答案为：（4，0）．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈[，]，则cosβ的最大值为．π6π3答案：见试题解答内容解析：先求出β的范围，再结合余弦函数的单调性，即可求解．解答：解：α与β的终边关于原点对称可得，α+π+2kπ=β，k∈Z，cosβ=cos（α+π+2kπ）=-cosα，α∈[，]，cosα∈[，]，，-]，故当α=，β=2kπ+，k∈Z时，cosβ的最大值为-．故答案为：-．π6π312√32212π34π31212（2024•北京）若直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，则k的一个取值为x24y2答案：见试题解答内容解析：根据已知条件，设出直线方程，再与双曲线方程联立，再分类讨论，并结合判别式，即可求解．解答：解：联立，化简可得（1-4k2）x2+24k2x-36k2-4=0，因为直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，故1-4k2=0，或Δ=（24k2）2+4（1-4k2）（36k2+4）=0，解得k=±或k无解，{-=1y=k（x-3）x24y2x24y212当k=±时，符合题意．故答案为：（或-）．121212（2024•北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325 mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 23mm,升量器的高为 57.5mm.（不计量器的厚度）答案：见试题解答内容解析：根据题意求出斛量器的体积和斗量器、升量器的体积，再求对应圆柱的高．解答：解：斛量器的体积为V 3=π••230，则斗量器的体积为V 2=V 3=π••23，所以斗量器的高为23mm；设升量器的高为h,由升量器的体积为V 1=V 2=π••2.3=π••h,解得h=57.5，所以升量器的高为57.5mm；所以升量器、斗量器的高度分别57.5mm,23mm.故答案为：23，57.5．（）32522110（）32522110（）32522（）6522（2024•北京）设{a n }与{b n }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M={k|a k =b k ，k∈N*}，给出下列四个结论：①若{a n }与{b n }均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{a n }与{b n }均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，则M中最多有1个元素．其中正确结论的序号是 ①③④．答案：见试题解答内容解析：根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断③的正误．解答：解：对于①，{a n }，{b n }均为等差数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，所以M中至多一个元素，故①正确；对于②，令=，=-（-2，满足{a n }，{b n }均为等比数列，但当n为偶数时，===-（-2，此时M中有无穷多个元素，故②错误；对于③，设=A （Aq ≠0，q ≠±1），a n =kn+b（k≠0），若M中至少四个元素，则关于n的方程Aq n =kn+b至少有4个不同的正数解，若q＜0，q≠±1，考虑关于n的方程Aq n =kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，当Aq n =kn+b有偶数解，此方程即为A|q|n =kn+b,方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln|q|＞0，否则Akln|q|＜0，因为y=A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个偶数解，当Aq n =kn+b有奇数解，此方程即为-A|q|n =kn+b,方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，否则Akln|q|＞0，因为y=-A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个奇数解，因为Akln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同时成立，若q＞0，q≠1，则由y=Aq n 和y=kn+b的散点图可得关于n的方程Aq n =kn+b至多有两个不同的解，矛盾；故Aq n =kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确．对于④，因为{a n }为单调递增，{b n }为递减数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确．故答案为：①③④．a n 2n -1b n ）n -1a n 2n -1b n ）n -1b n q n （2024•北京）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7，sin 2B．（1）求∠A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b=7；条件②：cosB=；条件③：csinA=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．7131452√3答案：（1）；（2）条件①不符合要求；选②，；选③，．2π315√3415√34解析：（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA，即可得到A；（2）分析选条件①不符合要求；选条件②，由已知结合正弦定理求得b,由sinC=sin（A+B）可求得sinC，再由三角形面积公式求解即可；选条件③，由（1）及已知可求得c,结合余弦定理求得b,再由三角形面积公式求解即可；．解答：解：（1）因为sin 2B=2sinBcosB，因为A为钝角，所以B为锐角，cosB≠0，在△ABC中，由正弦定理得=，因为A为钝角，所以A=．（2）若选条件①，因为b=7，a=7，所以B=A=，与A+B+C=π矛盾，此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①；若选条件②，因为cosB=，所以sinB==在△ABC中，由正弦定理得=，所以b=•sinB=×+（-）×所以△ABC的面积为S=absinC=×7×3×若选条件③，由（1）知A=，因为csinA=，所以c=5，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA，714a sinAb sinB22π32π31314√1-B cos 214a b a sinA7sin 2π3141312141412121442π352√3即72=b 2+52-2b×5×cos ，解得b=3，所以△ABC的面积为S=bcsinA=×3×5×sin =．2π312122π315√34（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，DE=PE=2．（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．答案：见试题解答内容解析：（1）设M为PD的中点，连接FM，CM，证明四边形BCMF为平行四边形，即可得BF∥CM，由线面平行的判定定理即可证明；（2）易得CE⊥平面PAD，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．解答：（1）证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，因为F是PE中点，所以FM∥ED，且FM=ED，因为AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，所以四边形ABCE为平行四边形，BC∥ED，且BC=ED，所以FM∥BC，且FM=BC，即四边形BCMF为平行四边形，所以BF∥CM，因为BF ⊄平面PCD，CM ⊂平面PCD，所以BF∥平面PCD．（2）解：因为AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，EP，ED，EC相互垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，1212则P（0，0，2），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），所以AB =（1，0，0），AP =（0，1，2），PC =（1，0，-2），CD =（-1，2，0），设平面PAB的一个法向量为m =（x 1，y 1，z 1），则，取z 1=-1，则m =（0，2，-1），设平面PCD的一个法向量为n =（x 2，y 2，z 2），则，取z 2=1，则n =（2，1，1），设平面PAB与平面PCD夹角为θ，则cosθ===→→→→→⎧⎨⎩m •AB ==0m •AP =+2=0→→x 1→→y 1z1→→⎧⎨⎩n •PC =-2=0n •CD =-+2=0→→x 2z 2→→x 2y 2→m •n →→|m |•|n |→→2-1×√5√630（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数1234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）答案：见试题解答内容解析：（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求E（X）；（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（i）的结果可求E（Y）．解答：解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P （A ）==；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，由题可得P （ξ=0）==，P （ξ=0.8）==，P （ξ=1.6）==，P （ξ=2.4）==，P （ξ=3）==，所以E （ξ）=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278，因为毛利润是保费与赔偿金额之差，故E（X）=0.4-0.278=0.122（万元）；（ii）由（i）知未赔偿的概率为P （ξ=0）==，至少赔偿一次的概率为1-=，故保费的变化为0.4××（1-4%）+0.4××（1+20%）=0.4032，设Y为保单下一保险期的毛利润，故E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252（万元）．所以E（X）＜E（Y）．60+30+10800+100+60+30+10110800100045100100011060100035030100031001010001100451103503100110080010004545154515（2024•北京）已知椭圆方程E：+=1（a ＞b ＞0），以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．x 2a 2y 2b 2√2答案：见试题解答内容解析：（1）根据已知条件，结合勾股定理，求出b,c,再结合椭圆的性质，即可求解；（2）先设出直线AB的方程，并与椭圆的方程联立，再结合韦达定理，以及判别式，即可求解．解答：解：（1）椭圆方程C：+=1（a ＞b ＞0），焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，则b =c，故a 2=b 2+c 2=2，解得a =；a ==2，所以椭圆方程为+=1，离心率为e（2）显然直线AB斜率存在，否则B，D重合，直线BD斜率不存在与题意矛盾，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，设AB：y=kx+t,（t ＞），A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，化简并整理得（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2-4=0，由题意可知，Δ=16k 2t 2-8（2k 2+1）（t 2-2）=8（4k 2+2-t 2）＞0，即k,t应满足4k 2+2-t 2＞0，由韦达定理可知，+=，=，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D（-x 2，y 2），故AD ：y =（x -）+，令x=0，则====+t ==1，解得t=2，此时k满足，解得k＞或k＜-，综上所述，t=2满足题意，此时k的取值范围为{k|k ＜kx 2a 2y 2b 2√2√2√+b 2c 2x 24y 222√2{y =kx +t +=1x 24y 22x 1x 2-4kt 1+2k 2x 1x 22-4t 22+1k 2-y 1y 2+x 1x 2x 1y 1y C+x 1y 2x 2y 1+x 1x 2（k +t ）+（k +t ）x 1x 2x 2x 1+x 1x 22k +t （+）x 1x 2x 1x 2+x 1x 24k （-2）t 2-4kt2t {k ≠04+2-=4-2＞0k 2t 2k 2√22√2222（2024•北京）设函数f（x）=x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y=f（x）在点（t,f（t））（t ＞0）处的切线．（1）当k=-1，求f（x）单调区间；（2）证明：l不经过（0，0）；（3）当k=1时，设点A（t,f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，S △ACO 与S △ABO 分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S △ACO =15S △ABO 成立？若存在，这样的点A有几个？（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）答案：见试题解答内容解析：（1）直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），将（0，0）代入再设新函数F （t ）=ln （1+t ）-，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S △ABO 得到13ln （1+t ）-2t -15=0，再设新函数h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0）研究其零点即可．k 1+tt 1+tt 1+t15t 1+t 解答：解：（1）f（x）=x-ln（1+x），f ′（x ）=1-=（x ＞-1），当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上单调递减，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）的单调递减区间为（-1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）f ′（x ）=1+，l的斜率为1+，故切线方程为y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），代入（0，0），-f （t ）=-t （1+），f （t ）=t （1+），t +kln （1+t ）=t +t ，则ln （1+t ）=，ln （1+t ）-=0，令F （t ）=ln （1+t ）-，若l过（0，0），则F（t）在t∈（0，+∞）存在零点．F ′（t ）=-=＞0，故F（t）在（0，+∞）上单调递增，F（t）＞F（0）=0，不满足假设，故l不过（0，0）．（3）k=1，f（x）=x+ln（1+x），f ′（x ）=1+=＞0，=tf （t ），设l与y轴交点B为（0，q），t＞0时，若q＜0，则此时l与f（x）必有交点，与切线定义矛盾．由（2）知q≠0，∴q＞0，则切线l的方程为y -t -ln （t +1）=（1+）（x -t ），令x=0，则y =q =ln （1+t ）-，11+x x 1+xk 1+x k 1+tk 1+tk 1+t k 1+tk 1+t t 1+t t 1+tt 1+t11+t 1+t -t （1+t ）2t （1+t ）211+xx +21+x S △ACO 1211+tt t +1A．{x|-1≤x＜1}B．{x|x＞-3}C．{x|-3＜x＜4}D．{x|x＜4}A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i∵2S △ACO =15S △ABO ，则2tf （t ）=15t [ln （1+t ）-]，∴13ln （1+t ）-2t -15×=0，记h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0），∴满足条件的A有几个即h（t）有几个零点． h′（t）=-2-===，t ∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；t ∈（，4）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；t∈（4，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；∵h（0）=0，h（）＜0，h（4）=13ln5-20＞13×1.6-20=0.8＞0，h （24）=13ln 25-48-=26ln 5-48-＜26×1.61-48-=-20.54＜0，∴由零点存在性定理及h（t）的单调性，h（t）在（，4）上必有一个零点，在（4，24）上必有一个零点．综上所述，h（t）有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A有两个．t t +1t 1+t15t 1+t 131+t 15（t +1）213t +13-2（+2t +1）-15t 2（t +1）2-2+9t -4t 2（t +1）2（-2t +1）（t -4）（t +1）212121215×242572572512（2024•北京）已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N=（ ）答案：C解析：结合并集的定义，即可求解．解答：解：集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N={x|-3＜x＜4}．故选：C．（2024•北京）若复数z满足=-1-i ，则z=（ ）z i答案：CA．B．2C．3D．3A．6B．-6C．12D．-12A．充分不必要条件B．必要不充分条件解析：结合复数的四则运算，即可求解．解答：解：=-1-i ，则z=i（-1-i）=1-i.故选：C．zi（2024•北京）圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为（ ）√2√2答案：D解析：求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解答：解：圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心（1，-3），圆x 2+y 2．故选：D．√2（2024•北京）在的展开式中，x 3的系数为（ ）（x -）√x 4答案：A解析：利用二项式定理，求解即可．解答：解：的通项公式为：（-1）r •，4-r +=3，可得r=2，二项展开式中x 3的系数：•（-1）2=6．故选：A．（x -）√x4C 4r •x 4-r x r2r 2C 42（2024•北京）设a ，b 是向量，则“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =-b 或a =b ”的（ ）→→→→→→→→→→C．充要条件D．既不充分也不必要条件A．1B．2C．3D．4A．3N 2=2N 1B．2N 2=3N 1C．=D．=答案：B解析：根据已知条件，依次判断充分性，必要性的判断，即可求解．解答：解：（a +b ）•（a -b ）=0，则-=0，即|a |=|b |，|a |=|b |不能推出a =b 或a =-b ，充分性不成立，a =b 或a =-b 能推出|a |=|b |，必要性成立，故“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =b 或a =-b ”的必要不充分条件．故选：B．→→→→a →2b →2→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→（2024•北京）设函数f（x）=sinωx（ω＞0）．已知f（x 1）=-1，f（x 2）=1，且|x 1-x 2|的最小值为，则ω=（ ）π2答案：B解析：由已知结合正弦函数的性质即可直接求解．解答：解：因为f（x）=sinωx,则f（x 1）=-1为函数的最小值，f（x 2）=1为函数的最大值，又|-==，所以T=π，ω=2．故选：B．x 1x 2|minπ2T 2（2024•北京）生物丰富度指数d =是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）S -1lnNN 22N 13N 23N 12A．1B．2C．D．答案：D解析：根据已知条件可得=2.1，=3.15，化简即可求解．S -1lnN 1S -1lnN 2解答：解：根据个体总数由N 1变为N 2可列式，=2.1，=3.15，所以2.1lnN 1=3.15lnN 2，约分可得2lnN 1=3lnN 2，故=，所以=．故选：D．S -1lnN 1S -1lnN 2lnN 12lnN 23N 12N 23（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2，该棱锥的高为（ ）√2√2√3答案：D解析：根据题意分析可知平面PEF⊥平面ABCD，可知PG⊥平面ABCD，再结合等体积法，即可求解．解答：解：由题意知△PAB为正三角形，因为PC 2+PD 2=CD 2，所以PC⊥PD，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE=2，PF=2，EF=4，则PE 2+PF 2=EF 2，所以PE⊥PF，√3A．lo ＜C．lo ＜+D．lo ＞+A．d=3，S＜1B．d=3，S＞1C．d =，S ＜1D．d =，S ＞1过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF ⊂平面PEF，且EF∩PF=F，所以CD⊥平面PEF．又PG ⊂平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF ⊂平面ABCD，CD∩EF=F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高，因为PE •PF =EF •PC ，所以PG ==．故选：D．1212PE •PF EF 4√3（2024•北京）已知（x 1，y 1），（x 2，y 2）是函数y=2x 的图象上两个不同的点，则（ ）g 2+y 1y 22+x 1x 22g 2+y 1y 22x 1x 2g 2+y 1y 22x 1x 2答案：B解析：根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．解答：解：（x 1，y 1），（x 2，y 2）是y=2x 上的点，则=，=，+≥2=2，当且仅当x 1=x 2时，等号成立，故＞，两边同时取对数可得，lo ＞．故选：B．y 12x1y 22x22x12x2√•2x12x2√2+x 1x2+y 1y 222+x 1x22g 2+y 1y 22+x 1x 22（2024•北京）已知M={（x,y）|y=x+t（x 2-x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（ ）√10√10答案：C解析：根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．解答：解：集合{y|y=x+t（x 2-x），0≤t≤1，1≤x≤2}表示的图形如下图阴影部分所示，由图象可知，d =|AB |==，S ＜=×（4-2）×（2-1）=1．故选：C．√（2-1+（4-1）2）2√10S△ABC 12（2024•北京）抛物线y 2=16x的焦点坐标为 （4，0）．答案：见试题解答内容解析：根据抛物线的标准方程计算可得．解答：解：抛物线y 2=16x的焦点坐标是（4，0）．故答案为：（4，0）．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈[，]，则cosβ的最大值为 ．π6π3答案：见试题解答内容解析：先求出β的范围，再结合余弦函数的单调性，即可求解．解答：解：α与β的终边关于原点对称可得，α+π+2kπ=β，k∈Z，cosβ=cos（α+π+2kπ）=-cosα，α∈[，]，cosα∈[，，-]，π6π3122212故当α=，β=2k π+，k∈Z时，cosβ的最大值为-．故答案为：-．π34π31212（2024•北京）若直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，则k的一个取值为x 24y 2答案：见试题解答内容解析：根据已知条件，设出直线方程，再与双曲线方程联立，再分类讨论，并结合判别式，即可求解．解答：解：联立，化简可得（1-4k 2）x 2+24k 2x-36k 2-4=0，因为直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，故1-4k 2=0，或Δ=（24k 2）2+4（1-4k 2）（36k 2+4）=0，解得k=±或k无解，当k=±时，符合题意．故答案为：（或-）．{-=1y =k （x -3）x 24y 2x 24y 212121212（2024•北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325 mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 23mm,升量器的高为 57.5mm.（不计量器的厚度）答案：见试题解答内容解析：根据题意求出斛量器的体积和斗量器、升量器的体积，再求对应圆柱的高．解答：解：斛量器的体积为V 3=π••230，则斗量器的体积为V 2=V 3=π••23，所以斗量器的高为23mm；设升量器的高为h,由升量器的体积为V 1=V 2=π••2.3=π••h,（）32522110（）32522110（）32522（）6522解得h=57.5，所以升量器的高为57.5mm；所以升量器、斗量器的高度分别57.5mm,23mm.故答案为：23，57.5．（2024•北京）设{a n }与{b n }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M={k|a k =b k ，k∈N*}，给出下列四个结论：①若{a n }与{b n }均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{a n }与{b n }均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，则M中最多有1个元素．其中正确结论的序号是 ①③④．答案：见试题解答内容解析：根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断③的正误．解答：解：对于①，{a n }，{b n }均为等差数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，所以M中至多一个元素，故①正确；对于②，令=，=-（-2，满足{a n }，{b n }均为等比数列，但当n为偶数时，===-（-2，此时M中有无穷多个元素，故②错误；对于③，设=A （Aq ≠0，q ≠±1），a n =kn+b（k≠0），若M中至少四个元素，则关于n的方程Aq n =kn+b至少有4个不同的正数解，若q＜0，q≠±1，考虑关于n的方程Aq n =kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，当Aq n =kn+b有偶数解，此方程即为A|q|n =kn+b,方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln|q|＞0，否则Akln|q|＜0，因为y=A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个偶数解，当Aq n =kn+b有奇数解，此方程即为-A|q|n =kn+b,方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，否则Akln|q|＞0，因为y=-A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个奇数解，因为Akln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同时成立，若q＞0，q≠1，则由y=Aq n 和y=kn+b的散点图可得关于n的方程Aq n =kn+b至多有两个不同的解，矛盾；故Aq n =kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确．对于④，因为{a n }为单调递增，{b n }为递减数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，a n 2n -1b n ）n -1a n 2n -1b n ）n -1b n q n前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确．故答案为：①③④．（2024•北京）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7，sin 2B =bcosB ．（1）求∠A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b=7；条件②：cosB=；条件③：csinA=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．√37131452√3答案：（1）；（2）条件①不符合要求；选②，；选③，．2π315√3415√34解析：（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA，即可得到A；（2）分析选条件①不符合要求；选条件②，由已知结合正弦定理求得b,由sinC=sin（A+B）可求得sinC，再由三角形面积公式求解即可；选条件③，由（1）及已知可求得c,结合余弦定理求得b,再由三角形面积公式求解即可；．解答：解：（1）因为sin 2B=2sinBcosB，因为A为钝角，所以B为锐角，cosB≠0，在△ABC中，由正弦定理得=，因为A为钝角，所以A=．（2）若选条件①，因为b=7，a=7，所以B=A=，与A+B+C=π矛盾，714a sinAb sinB22π32π3此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①；若选条件②，因为cosB=，所以sinB==在△ABC中，由正弦定理得=，所以b=•sinB=×+（-）×所以△ABC的面积为S=absinC=×7×3×若选条件③，由（1）知A=，因为csinA=，所以c=5，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA，即72=b 2+52-2b×5×cos ，解得b=3，所以△ABC的面积为S=bcsinA=×3×5×sin =．1314√1-B cos 214a b a sinA7sin 2π3141312141412121442π352√32π312122π315√34（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，DE=PE=2．（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．答案：见试题解答内容解析：（1）设M为PD的中点，连接FM，CM，证明四边形BCMF为平行四边形，即可得BF∥CM，由线面平行的判定定理即可证明；（2）易得CE⊥平面PAD，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．解答：（1）证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，因为F是PE中点，所以FM∥ED，且FM=ED，因为AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，所以四边形ABCE为平行四边形，BC∥ED，且BC=ED，所以FM∥BC，且FM=BC，即四边形BCMF为平行四边形，1212所以BF∥CM，因为BF ⊄平面PCD，CM ⊂平面PCD，所以BF∥平面PCD．（2）解：因为AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，EP，ED，EC相互垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，2），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），所以AB =（1，0，0），AP =（0，1，2），PC =（1，0，-2），CD =（-1，2，0），设平面PAB的一个法向量为m =（x 1，y 1，z 1），则，取z 1=-1，则m =（0，2，-1），设平面PCD的一个法向量为n =（x 2，y 2，z 2），则，取z 2=1，则n =（2，1，1），设平面PAB与平面PCD夹角为θ，则cosθ===→→→→→⎧⎨⎩m •AB ==0m •AP =+2=0→→x 1→→y 1z1→→⎧⎨⎩n •PC =-2=0n •CD =-+2=0→→x 2z 2→→x 2y 2→m •n →→|m |•|n |→→2-1×√5√630（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数1234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）答案：见试题解答内容解析：（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求E（X）；（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（i）的结果可求E（Y）．解答：解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P （A ）==；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，由题可得P （ξ=0）==，P （ξ=0.8）==，P （ξ=1.6）==，P （ξ=2.4）==，P （ξ=3）==，所以E （ξ）=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278，因为毛利润是保费与赔偿金额之差，故E（X）=0.4-0.278=0.122（万元）；（ii）由（i）知未赔偿的概率为P （ξ=0）==，至少赔偿一次的概率为1-=，故保费的变化为0.4××（1-4%）+0.4××（1+20%）=0.4032，设Y为保单下一保险期的毛利润，故E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252（万元）．所以E（X）＜E（Y）．60+30+10800+100+60+30+10110800100045100100011060100035030100031001010001100451103503100110080010004545154515（2024•北京）已知椭圆方程E：+=1（a ＞b ＞0），以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．x 2a 2y 2b 2√2答案：见试题解答内容解析：（1）根据已知条件，结合勾股定理，求出b,c,再结合椭圆的性质，即可求解；（2）先设出直线AB的方程，并与椭圆的方程联立，再结合韦达定理，以及判别式，即可求解．解答：解：（1）椭圆方程C：+=1（a ＞b ＞0），焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，则b =c，故a 2=b 2+c 2=2，解得a =；a ==2，所以椭圆方程为+=1，离心率为e（2）显然直线AB斜率存在，否则B，D重合，直线BD斜率不存在与题意矛盾，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，设AB：y=kx+t,（t ＞），A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，化简并整理得（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2-4=0，由题意可知，Δ=16k 2t 2-8（2k 2+1）（t 2-2）=8（4k 2+2-t 2）＞0，即k,t应满足4k 2+2-t 2＞0，由韦达定理可知，+=，=，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D（-x 2，y 2），故AD ：y =（x -）+，令x=0，则====+t ==1，解得t=2，此时k满足综上所述，t=2满足题意，此时k的取值范围为{k|k ＜-或k ＞}．x 2a 2y 2b 2√2√2√+b 2c 2x 24y 222√2{y =kx +t+=1x 24y 22x 1x 2-4kt 1+2k 2x 1x 22-4t 22+1k 2-y 1y 2+x 1x 2x 1y 1y C+x 1y 2x 2y 1+x 1x 2（k +t ）+（k +t ）x 1x 2x 2x 1+x 1x 22k +t （+）x 1x 2x 1x 2+x 1x 24k （-2）t 2-4kt2t {k ≠04+2-=4-2＞0k 2t 2k 222√22√22（2024•北京）设函数f（x）=x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y=f（x）在点（t,f（t））（t ＞0）处的切线．（1）当k=-1，求f（x）单调区间；（2）证明：l不经过（0，0）；（3）当k=1时，设点A（t,f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，S △ACO 与S △ABO 分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S △ACO =15S △ABO 成立？若存在，这样的点A有几个？（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）答案：见试题解答内容解析：（1）直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），将（0，0）代入再设新函数F （t ）=ln （1+t ）-，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S △ABO 得到13ln （1+t ）-2t -15=0，再设新函数h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0）研究其零点即可．k 1+tt 1+tt 1+t15t 1+t 解答：解：（1）f（x）=x-ln（1+x），f ′（x ）=1-=（x ＞-1），当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上单调递减，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）的单调递减区间为（-1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）f ′（x ）=1+，l的斜率为1+，故切线方程为y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），代入（0，0），-f （t ）=-t （1+），f （t ）=t （1+），t +kln （1+t ）=t +t ，则ln （1+t ）=，ln （1+t ）-=0，令F （t ）=ln （1+t ）-，若l过（0，0），则F（t）在t∈（0，+∞）存在零点．F ′（t ）=-=＞0，故F（t）在（0，+∞）上单调递增，F（t）＞F（0）=0，不满足假设，故l不过（0，0）．（3）k=1，f（x）=x+ln（1+x），f ′（x ）=1+=＞0，11+x x 1+xk 1+x k 1+tk 1+tk 1+t k 1+tk 1+t t 1+t t 1+tt 1+t11+t 1+t -t （1+t ）2t （1+t ）211+xx +21+x=tf （t ），设l与y轴交点B为（0，q），t＞0时，若q＜0，则此时l与f（x）必有交点，与切线定义矛盾．由（2）知q≠0，∴q＞0，则切线l的方程为y -t -ln （t +1）=（1+）（x -t ），令x=0，则y =q =ln （1+t ）-，∵2S △ACO =15S △ABO ，则2tf （t ）=15t [ln （1+t ）-]，∴13ln （1+t ）-2t -15×=0，记h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0），∴满足条件的A有几个即h（t）有几个零点． h′（t）=-2-===，t ∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；t ∈（，4）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；t∈（4，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；∵h（0）=0，h（）＜0，h（4）=13ln5-20＞13×1.6-20=0.8＞0，h （24）=13ln 25-48-=26ln 5-48-＜26×1.61-48-=-20.54＜0，∴由零点存在性定理及h（t）的单调性，h（t）在（，4）上必有一个零点，在（4，24）上必有一个零点．综上所述，h（t）有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A有两个．S △ACO 1211+tt t +1t t +1t 1+t15t 1+t131+t 15（t +1）213t +13-2（+2t +1）-15t 2（t +1）2-2+9t -4t 2（t +1）2（-2t +1）（t -4）（t +1）212121215×242572572512（2024•北京）已知集合M={（i,j,k,w）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，k∈{5，6}，w∈{7，8}，且i+j+k+w为偶数}．给定数列A：a 1，a 2，…，a 8和序列Ω：T 1，T 2，…，T s ，其中T t =（i t ，j t ，k t ，w t ）∈M（t=1，2，…，s），对数列A进行如下变换：将A的第i 1，j 1，k 1，w 1项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 1（A）；将T 1（A）的第i 2，j 2，k 2，w 2项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 2T 1（A）；……；以此类推，得到数列T s ⋯T 2T 1（A），简记为Ω（A）．（1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；（2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a 1+2，a 2+6，a 3+4，a 4+2，a 5+8，a 6+2，a 7+4，a 8+4？若存在，写出一个Ω，若不存在，请说明理由；。

北京高考数学试题北京高考数学试题北京市高考数学考试试卷一直备受瞩目，每年考试题目都被各大媒体关注着。

今年的数学试题与往年相比，增加了很多实用性的考查内容，其中大多题型具有多个解法，极大考查了学生的逻辑思维和数学运算能力。

接下来，我们将会从试卷中挑选出几道难度较大，涉及面面广的题目进行讲解。

第一道题目：设第一象限内点O(0，0)，以OA右方水平线为轴，规定逆时针一定角度的旋转方向为正方向。

点P(x，y)绕0点旋转α角度后的点坐标为(P'X，P'Y)，向量OP→OP'的坐标分别为a，b。

（1）求a，b。

（2）设直线l过点P与原点的距离之比为k，求证：k=|a·x+b·y|/√(a²+b²)。

这一道题目考查了学生对于平面几何的理解和对向量的掌握，需要用到三角函数、向量投影等知识点。

来自北京考试院的解析人员指出，这一道题目存在多种解法，需要同学们认真读题，思考后再动手，避免因为一时冲动导致失误。

第二道题目：解方程组a|x-y|+b(x+y)=c，ax+by=1(a,b,c>0)。

这是一道考察学生代数方程应用和数学建模能力的题目，需要运用到绝对值、方程的解法等知识点。

难度较大的地方在于学生需要想到将|x-y|拆开，分成两个式子去考虑。

而且，这一道题目是以应用为主的题目，需要结合实际情况分析，摆脱死套路。

第三道题目：一个几何数列，前三项为k1、k2、k3，其和大于等于1，第四项为k4。

已知k4=2k1，k2×k3=k1²，且k1、k2、k3、k4都是正数，求第五项k5。

这一道题目需要学生具备对于数列的了解，同时还需要学生有较好的代数运算能力。

难度之所在就在于如何联想到均值不等式进行求解，这一题目可以引导学生进行思维拓展和思维创新，锻炼学生的反推能力。

以上三道数学题目代表了今年北京市高考数学试卷的难点所在，适当练习这些题目可以提高学生的数学水平和解题能力。

2023北京卷高考数学试题真题及参考答案解析(图片版)2023北京高考数学试题2023北京高考数学试题参考答案2023北京高考时间具体是哪天2023年北京高考全国统考于6月7日开始举行，北京高考具体时间及科目安排如下：语文：6月7日09:00-11:30数学：6月7日15:00-17:00英语(笔试):6月8日15:00-16:30其他外语(含听力考试):6月8日15:00-17:00物理:6月9日08:00-09:30思想政治:6月9日11:00-12:30化学:6月9日15:30-17:00历史:6月10日08:00-09:30生物:6月10日11:00-12:30地理:6月10日15:30-17:002023年北京高考总分及各科满分北京2023年高考采取的是3+3模式，总分是750分。

而第一个“3”是指语文、数学(文/理)、外语是3门必考科目，每门满分是150分，而第二个“3”是指从物理、历史、政治、地理、生物、化学六门任意选择3门，每门科目满分是100分。

语文、数学、外语以原始分成绩计入总分，物理、历史、政治、地理、生物、化学以等级换算分计入总分。

2023北京高考难度全国排名第几根据往年经验，2023北京高考不难，预计高考难度全国排名第31。

全北京就4万+的考生，但是一本、985、211高校数量雄踞全国前列，清华北大录取率更是夸张。

4万+北京考生中，清北就录取了500多个学生，而近80万广东考生中，清北只录取不到300人，这差距的确挺大。

未来2-3年，北京的高考优势、友好程度，也是显而易见，全国第一。

但是北京和上海面临同样的问题，即人口大量涌入。

2000年以来，出生人口大量增加，现在的高考考生还是4万多人，但10年后，或许就会超过10万人。

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A ={x | -1 <x <1}，B ={x | 0 ≤x ≤ 2}，则A B =（）A.(-1, 2)B.(-1, 2]C.[0,1)D. [0,1]【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：A B ={x | -1 <x ≤ 2}，即A B =(-1, 2].故选：B.2.在复平面内，复数z 满足(1-i)z = 2 ，则z =（）A.2 +iB.2 -iC.1-iD.1+i【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.2 2(1+i)2(1+i)【详解】由题意可得：z ====1+i .1-i (1-i)(1+i)2故选：D.3.已知f (x) 是定义在上[0,1] 的函数，那么“函数f (x) 在[0,1] 上单调递增”是“函数f (x) 在[0,1] 上的最大值为f (1) ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数f (x)在[0,1]上单调递增，则f (x)在[0,1]上的最大值为f (1)，若f (x)在[0,1]上的最大值为f (1)，33 ⎛ 1 ⎫2比如 f ( x ) = x - ⎪ ，⎝ ⎭⎛ 1 ⎫2⎡ 1 ⎤ ⎡1 ⎤但 f ( x ) = x - ⎪ 在⎢0, 3⎥ 为减函数，在⎢⎣ 3 ,1⎥ 为增函数，⎝ 3 ⎭⎣ ⎦ ⎦ 故 f (x ) 在[0,1]上的最大值为 f (1) 推不出 f ( x ) 在[0,1]上单调递增， 故“函数 f (x ) 在[0,1]上单调递增”是“ f ( x ) 在[0,1]上的最大值为 f (1) ”的充分不必要条件，故选：A.4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A. 3 + 32B. 4C. 3 +D. 2【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积. 【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O - ABC ，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形， 由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为 1，故其表面积为3⨯ 1⨯1⨯1+3⨯( 2 )2=3 + 3 ， 242故选：A.3y 23b5. 双曲线C :x 2-y 2 = 1 过点( 2, 3 ) ，且离心率为2 ，则该双曲线的标准方程为（）a2b22y 2x 2 2A. x - = 13B. - y = 13C. x 2 - = 13D.3- y 2 = 1 【答案】A【解析】【分析】分析可得b = 程.3a ，再将点(2, 3 ) 代入双曲线的方程，求出 a 的值，即可得出双曲线的标准方【详解】 e = c = 2 ，则c = 2a ， b =a= 3a ，则双曲线的方程为 x a 2 2 - = 1，3a 2 将点( 2, 3 ) 的坐标代入双曲线的方程可得 2 - 3 = 1 = 1 ，解得a = 1 ，故b =，2y 2 a 2 3a 2a 2因此，双曲线的方程为 x -= 1.3故选：A.6.{a }和{b }是两个等差数列，其中 a k(1 ≤ k ≤ 5)为常值， a = 288 ， a = 96 ，b = 192 ，则b = （ ）n n 1 51 3 kA. 64B. 128C. 256D. 512【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出b 5 的值，利用等差中项的性质可求得b 3 的值.3x 2c 2 - a 2 y 22 cos x 【详解】由已知条件可得a 1=a 5 ，则b =a 5b 1 =96⨯192 = 64 ，因此， b= b + b = 192 + 64 = 128 .b 1b 5a 12881 5 32 2故选：B.7. 函数 f (x ) = cos x - cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）A. 奇函数，最大值为 2B. 偶函数，最大值为 2C. 奇函数，最大值为 98D. 偶函数，最大值为 98【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意， f (-x ) = cos (-x ) - cos (-2x ) = cos x - cos 2x =f (x ) ，所以该函数为偶函数，又 f (x ) = cos x - cos 2x = -2 cos 2 x + cos x +1 = - ⎛- ⎝1 ⎫29 ⎪ + ，⎭ 8 所以当cos x = 1 时， f (x ) 取最大值 9.4 8故选：D.8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（ mm ）来判断降雨程度．其中小雨（ < 10mm ），中雨（10mm - 25mm ），大雨（ 25mm - 50mm ），暴雨（ 50mm -100mm ），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.4 52 3 4 - m 2k 2 +1【 详 解 】 由 题 意 ， 一 个 半 径 为200 = 100(mm ) 2的 圆 面 内 的 降 雨 充 满 一 个 底 面 半 径 为200 ⨯ 150= 50(mm ) ，高为150 (mm ) 的圆锥， 2 3001π ⨯ 502 ⨯150所以积水厚度d = 3= 12.5(mm ) ，属于中雨 π ⨯1002故选：B.9. 已知圆C : x 2 + y 2 = 4 ，直线l : y = kx + m ，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（ ）A. ±2B. ±C. ±D. ±【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为(0, 0) ，半径为 2，则圆心到直线的距离d = m， k 2+ 1则弦长为2 ，则当k = 0 时，弦长取得最小值为 = 2 ，解得m = ± 3 .故选：C.10. 数列{a n }是递增的整数数列，且a 1 ≥ 3 ， a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a n = 100 ，则n 的最大值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使 n 尽可能的大，则a 1 ，递增幅度要尽可能小，不妨设数列{a n } 是首项为 3，公差为 1 的等差数列，其前 n 项和为 S n ，则a = n + 2 ， S = 3 +13 ⨯11 = 88 < 100 ， S = 3 +14⨯12 = 102 > 100 ，n112 122所以 n 的最大值为 11. 故选：C.54 - m 25 5 4 4 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11.(x 3- 1 )4 展开式中常数项为 ． x【答案】-4【解析】【详解】试题分析： ⎛ x 3 -1 ⎫ 的展开式的通项T = C r (x 3 )4-r ⎛ - 1 ⎫ = (-1)r C r x 12-4r , 令r = 3 得常数 x ⎪ r +1 4x ⎪ 4 ⎝⎭ ⎝ ⎭项为T = (-1)3C 3 = -4 .考点：二项式定理.12. 已知抛物线C : y 2 = 4x ，焦点为 F ，点 M 为抛物线C 上的点，且 FM = 6 ，则 M 的横坐标是 ；作 MN ⊥ x 轴于 N ，则 S FMN = ．【答案】①. 5②. 4【解析】【分析】根据焦半径公式可求 M 的横坐标，求出纵坐标后可求 S FMN . 【详解】因为抛物线的方程为 y 2 = 4x ，故 p = 2 且 F (1, 0).因为 MF = 6 ， x + p= 6 ，解得 x = 5 ，故 y = ±2 ， M 2M M所以 S= 1⨯(5 -1)⨯ 2 = 4 ，FMN2故答案为：5， 4 5 .13. a = (2,1)， ， c = (0,1) ，则(a + b ) ⋅ c =； a ⋅ b = ．【答案】①. 0 ②. 3【解析】【分析】根据坐标求出a + b ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】 a = (2,1), b = (2, -1), c = (0,1) ，∴ a + b = (4, 0) ，∴(a + b ) ⋅ c = 4 ⨯ 0 + 0 ⨯1 = 0 ， ∴a ⋅ b = 2⨯ 2 +1⨯(-1) = 3 .故答案为：0；3.55 b = (2, -1) 4 rπ 14. 若点P (cos θ , s in θ ) 与点Q (cos(θ + π ), s in(θ + π )) 关于 y 轴对称，写出一个符合题意的θ = ．6 6【答案】5π （满足θ =5π + k π , k ∈ Z 即可）1212【解析】【分析】根据 P , Q 在单位圆上，可得θ ,θ + π 关于 y 轴对称，得出θ +π+ θ = π + 2k π , k ∈ Z 求解. 6 6【详解】P (cos θ , sin θ ) 与Q ⎛cos ⎛θ + π ⎫, sin ⎛θ + π ⎫⎫ 关于 y 轴对称， 6 ⎪ 6 ⎪⎪⎝ 即θ ,θ + π关于 y 轴对称，6⎝⎭ ⎝ ⎭⎭ θ + + θ = π + 2k π , k ∈ Z ，6则θ = k π +5π , k ∈ Z ，12当 k = 0 时，可取θ 的一个值为5π5π .12 5π 故答案为： 12 （满足θ = k π +, k ∈ Z 即可）. 1215. 已知函数 f (x ) = lg x - kx - 2 ，给出下列四个结论：①若k = 0 ，则 f (x ) 有两个零点； ② ∃k < 0 ，使得 f (x ) 有一个零点； ③ ∃k < 0 ，使得 f (x ) 有三个零点； ④ ∃k > 0 ，使得 f (x ) 有三个零点．以上正确结论得序号是 ．【答案】①②④【解析】【分析】由 f (x ) = 0 可得出 lg x = kx + 2 ，考查直线 y = kx + 2 与曲线 g ( x ) = lg x 的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当k = 0 时，由 f (x ) = lg x - 2 = 0 ，可得 x =1100或 x = 100 ，①正确； 对于②，考查直线 y = kx + 2 与曲线 y = -lg x (0 < x < 1) 相切于点 P (t , -lg t ) ，⎨ ⎧kt + 2 = - lg t t = e 对函数 y = - lg x 求导得 y ' =- 1⎪ ，由题意可得 ⎪ 1 ，解得 100 ， x ln10⎨k =- ⎨ 100 ⎪⎩ t ln10 ⎪k =- ⎪⎩ elg e 所以，存在k = - 100lg e < 0 ，使得 f ( x ) 只有一个零点，②正确；e对于③，当直线 y = kx + 2 过点(1, 0) 时， k + 2 = 0 ，解得k = -2 ， 所以，当-100lg e < k < -2 时，直线 y = kx + 2 与曲线 y = -lg x (0 < x < 1) 有两个交点， e若函数 f (x ) 有三个零点，则直线 y = kx + 2 与曲线 y = -lg x (0 < x < 1) 有两个交点， ⎧- 100lg e < k < -2直线 y = kx + 2 与曲线 y = lg x ( x > 1) 有一个交点，所以， ⎪e ，此不等式无解，⎪⎩k + 2 > 0 因此，不存在k < 0 ，使得函数 f (x ) 有三个零点，③错误； 对于④，考查直线 y = kx + 2 与曲线 y = lg x (x > 1) 相切于点 P (t , lg t ) ，1⎧kt + 2 = lg t ⎧t = 100e 对函数y = lg x 求导得 y ' = ，由题意可得⎪ 1 ，解得⎪ lg e ，x ln10⎨k = ⎩ t ln10 ⎨k = ⎩ 100e 所以，当0 < k <lg e100e时，函数 f (x ) 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1） 转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；⎧3 343 （2） 列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3） 得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知在 ABC 中， c = 2b cos B ， C = 2π．3（1） 求 B 的大小；（2） 在下列三个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上 中线的长度．① c = 2b ；②周长为4 + 2 ；③面积为S ∆ABC = ； 【答案】（1） π ；（2）答案不唯一，具体见解析． 6【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1） c = 2b cos B ，则由正弦定理可得sin C = 2 sin B cos B ，∴sin 2B = sin2π= 3 ，，∴ B ∈⎛ 0, π ⎫ ， 2B ∈⎛ 0, 2π ⎫，3 ⎪ 3 ⎪ 32∴2B =π，解得 B =π；⎝ ⎭ ⎝ ⎭3 63 （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 c = sin C= 2 = ，与c = b 2b 矛盾，故这样的 ABC 不存在； sin B 1 2若选择②：由（1）可得 A =π，6设 ABC 的外接圆半径为 R ，则由正弦定理可得a = b = 2R sin π 6= R ，c = 2R sin2π = 33R ，3 C =2π 37 21 则周长a + b + c = 2R + 3R = 4 + 2 3 ，解得 R = 2 ，则a = 2, c = 2 3 ，由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：= ；若选择③：由（1）可得 A = π，即a = b ，6则 S = 1 ab s in C = 1 a 2 ⨯ 3 = 3 3 ，解得a = 3 ， ABC2 2 2 4则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：= = . 217. 已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ，点 E 为 A 1D 1 中点，直线 B 1C 1 交平面CDE 于点 F ．（1） 证明：点 F 为 B 1C 1 的中点；（2） 若点 M 为棱 AB 上一点，且二面角 M - C F - E 的余弦值为5 ，求A 1M的值．1 1【答案】（1）证明见解析；（2）A 1M = 1．3A 1B 1【解析】A 1B 12【分析】(1)首先将平面CDE 进行扩展，然后结合所得的平面与直线 B 1C 1 的交点即可证得题中的结论； (2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数λ 的值. 【详解】(1)如图所示，取 B 1C 1 的中点 F ' ，连结 DE , EF ', F 'C ，(2 3)2+ 12 - 2 ⨯ 2 3 ⨯1⨯cos π6 b 2 + ⎪ - 2 ⨯ b ⨯ ⨯cos⎛ a ⎫2a ⎝ 2 ⎭2 2π3 3 + 3 + 3 ⨯4 3 2由于ABCD -A1B1C1D1为正方体，E, F ' 为中点，故EF 'CD ，从而E, F ', C, D 四点共面，即平面CDE 即平面CDEF '，据此可得：直线B1C1 交平面CDE 于点F ' ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F 与点F ' 重合，即点F 为B1C1 中点.(2)以点D 为坐标原点，DA, DC, DD1 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方形，建立空间直角坐标系D -xyz ，不妨设正方体的棱长为2，设A1M=λ(0 ≤λ≤1)，A1B1则：M (2, 2λ, 2), C (0, 2, 0), F (1, 2, 2), E (1, 0, 2)，从而：MC =(-2, 2 - 2λ, -2), CF =(1, 0, 2), FE =(0, -2, 0)，设平面MCF 的法向量为：m =(x1, y1, z1 )，则：⎧⎪m ⋅MC =-2x1 +(2 - 2λ)y1 - 2z1 = 0⎨m ⋅C F =x + 2z = 0，⎪⎩ 1 1令z =-1可得：m =⎛2,1, -1⎫，1 1-λ⎪⎝⎭m, n=m ⋅n=m ⨯n5 +1-λ⎪⨯⎛ 1 ⎫2⎝ ⎭5⎝⎭设平面CFE 的法向量为：n =(x2 , y2 , z2 )，则：⎧⎪n ⋅FE =-2 y2 = 0⎨n ⋅C F =x + 2z= 0，⎪⎩ 2 2令z1 =-1可得：n =(2, 0, -1)，⎛ 1 ⎫2从而：m ⋅n = 5, m =cos则：5 +1-λ⎪, n = 5 ，5=53，整理可得：(λ-1)2 =1，故λ=1（λ=3舍去）.4 2 2【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1 检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100 人，已知其中2 人感染病毒．（1）①若采用“10 合1 检测法”，且两名患者同一组，求总检测次数；1②已知10 人分成一组，分10 组，两名感染患者在同一组的概率为11检测次数X 的分布列和数学期望E(X)；，定义随机变量X 为总检测次数，求（2）若采用“5 合1 检测法”，检测次数Y 的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20 次；②分布列见解析；期望为320；（2）见解析．11【解析】【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出E (Y )，分类即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10 次；所以总检测次数为20 次；②由题意，X 可以取20，30，P ( X = 20) = 1 ， P ( X = 30) = 1- 1= 10 ，11 则 X 的分布列:11 11所以 E ( X ) = 20⨯ + 30⨯ = ；11 11 11（2）由题意， Y 可以取 25，30，设两名感染者在同一组的概率为 p ，P (Y = 25) = p ， P (Y = 30) = 1- p ，则 E (Y ) = 25 p + 30(1- p ) = 30 - 5 p ， 若 p = 2时， E ( X ) = E (Y ) ；11若 p >若 p <2时， E ( X ) > E (Y ) ；11 2 时， E ( X ) < E (Y ) .1119. 已知函数 f ( x ) = 3 - 2x 2 ．x + a（1）若a = 0 ，求 y = f (x ) 在(1, f (1))处切线方程； （2）若函数 f (x ) 在 x = -1 处取得极值，求 f ( x ) 的单调区间，以及最大值和最小值． 【答案】（1） 4x + y - 5 = 0 ；（2）函数 f ( x ) 的增区间为(-∞, -1) 、(4, +∞) ，单调递减区间为(-1, 4) ，最大值为1，最小值为- 1.4【解析】【分析】（1）求出 f (1) 、 f '(1) 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由 f '(-1) = 0 可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数 f (x ) 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当a = 0 时， f (x ) = 3 - 2x ，则 f '( x ) =2( x - 3) ，∴ f (1) = 1 ， f '(1) = -4 ，x 2x 3此时，曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1))处的切线方程为 y -1 = -4 ( x -1) ，即4x + y - 5 = 0 ；（2）因为 f ( x ) = 3 - 2x x 2 + a ，则 f '( x ) = -2 (x 2 + a ) - 2x (3 - 2x ) (x 2 + a )22 (x 2 - 3x - a ) (x 2 + a )2 ， =5 y y由题意可得 f '(-1)= 2(4 - a ) = 0 ，解得a = 4 ， (a +1)2故 f (x ) = 3 - 2x ， x 2 + 4f '( x ) =2 ( x +1)( x - 4) (x 2+ 4)2，列表如下：x(-∞, -1)-1(-1, 4)4(4, +∞)f '( x )+-+f ( x )增极大值减极小值增所以，函数 f (x ) 的增区间为(-∞, -1) 、(4, +∞) ，单调递减区间为(-1, 4) . 当 x < 3 时， f (x ) > 0 ；当 x > 3时， f ( x ) < 0 . 2所以， f ( x )max 2= f (-1) = 1， f ( x )min= f (4) = - 1. 4x 2 y 2 A (0, -2) 20. 已知椭圆 E : + a 2 b2 = 1(a > b > 0) 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为4 5 ．（1） 求椭圆 E 的标准方程；（2） 过点 P (0，-3)的直线 l 斜率为 k ，交椭圆 E 于不同的两点 B ，C ，直线 AB ，AC 交 y =-3 于点 M 、N ，直线 AC 交 y =-3 于点 N ，若|PM |+|PN |≤15，求 k 的取值范围． 【答案】（1） x 2+ = 1；（2）[-3, -1) ⋃ (1, 3]． 54【解析】【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求a , b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设 B (x 1, y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) ，求出直线 AB , AC 的方程后可得 M , N 的横坐标，从而可得 PM + PN ，联立直线 BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 PM + PN ，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过 A (0, -2) ，故b = 2 ，因为四个顶点围成的四边形的面积为4 5 ，故 1⨯ 2a ⨯ 2b = 4 2，即a = ，故椭圆的标准方程为： x2 + = 1.5 45 2 2x 1 y 1 + 2 50k4 + 5k 25k 2 4 + 5k 2 ⎨4x 2 + 5 y 2= 20 M y 2 - （2）设 B ( x 1, y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) ，因为直线 BC 的斜率存在，故 x 1x 2 ≠ 0 ，故直线 AB : y =y 1 + 2 x - 2 ，令 y = -3 ，则 x=- x 1，同理 x=- x2 . 1 y 1 + 2 N+ 2直线 BC : y = kx - 3 ，由⎧ y = kx - 3⎩可得(4 + 5k 2 ) x 2 - 30kx + 25 = 0 ， 故∆ = 900k 2 -100 (4 + 5k 2 )> 0 ，解得k < -1 或 k > 1 .又 x + x = 30k, x x =25 ，故 x x > 0 ，所以 x x > 0 1 2 4 + 5k 2 1 24 + 5k 21 2 M N又 PM + PN = x + x =+ MN2kx x - ( x + x )30k 2 2 =+ = 1 2 1 2 = 4 + 5k= 5 k k 2 x x - k ( x + x ) +1 - 30k 2 + 1 2 1 2故5 k ≤ 15 即 k ≤ 3 ，4 + 5k 21综上， -3 ≤ k < -1 或1 < k ≤ 321. 定义 R 数列{a }：对实数 p ，满足：① a + p ≥ 0 ， a+ p = 0 ；② ∀n ∈ N * , a< a ；pn124n -14n③ a m + n ∈{a m + a n + p , a m + a n + p + 1} ， m , n ∈ N * ．（1） 对于前 4 项 2，-2，0，1 的数列，可以是 R 2 数列吗？说明理由；x 2y 2 + 2 x 1 kx 1 -1 x 2 kx 2 -1 xn （2） 若{a n }是 R 0 数列，求a 5值；（3） 是否存在 p ，使得存在 R p 数列{a }，对∀n ∈ N *, S ≥ S 10？若存在，求出所有这样的 p ；若不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是 R 2 数列；理由见解析；（2） a 5 = 1 ；（3）存在； p = 2 ．【解析】【分析】(1)由题意考查a 3 的值即可说明数列不是 R 2 数列；(2) 由题意首先确定数列的前 4 项，然后讨论计算即可确定a 5 的值； (3) 构造数列b n = a n + p ，易知数列{b n } 是 R 0 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数 p 的值.【详解】(1)由性质③结合题意可知0 = a 3 ∈{a 1 + a 2 + 2, a 1 + a 2 + 2 +1} = {2, 3}， 矛盾，故前 4 项2, -2, 0,1的数列，不可能是 R 2 数列.(2) 性质① a 1 ≥ 0, a 2 = 0 ，由性质③ a m +2 ∈{a m , a m +1} ，因此a 3 = a 1 或a 3 = a 1 +1 ， a 4 = 0 或a 4 = 1 ，若 a 4 = 0 ，由性质②可知a 3 < a 4 ，即a 1 < 0 或 a 1 +1 < 0 ，矛盾； 若 a 4 = 1, a 3 = a 1 +1 ，由a 3 < a 4 有a 1 +1 < 1，矛盾.因此只能是a 4 = 1, a 3 = a 1 .又因为a = a + a 或a= a + a+1 ，所以a = 1 或a = 0 . 4 1 3 4 1 3 12 1 若a = 1，则a = a ∈{a + a + 0, a + a + 0 +1} = {2a , 2a +1} = {1, 2} ， 122 1+1 1 1 1 1 1 1不满足a 2 = 0 ，舍去.当 a 1 = 0 ，则{a n }前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明a 4n +i = n (i = 1, 2, 3), a 4n +4 = n +1(n ∈ N ) ： 当 n = 0 时，经验证命题成立，假设当n ≤ k (k ≥ 0) 时命题成立，当 n = k +1 时：若i = 1 ，则a 4(k +1)+1 = a 4k +5 = a j +(4k +5- j ) ，利用性质③：nj4k +5- jj 4k +6- jj4k +7- j4k +7 4k +8 {a + a∣j ∈ N *,1 ≤ j ≤ 4k + 4} = {k , k +1} ，此时可得： a = k +1；否则，若a 4k +5 = k ，取k = 0 可得： a 5 = 0 ， 而由性质②可得： a 5 = a 1 + a 4 ∈{1, 2} ，与a 5 = 0 矛盾.同理可得：{a + a∣j ∈ N *,1 ≤ j ≤ 4k + 5} = {k , k +1} ，有a = k +1 ；{a + a∣j ∈ N *, 2 ≤ j ≤ 4k + 6} = {k +1, k + 2}，有a= k + 2 ；j4k +8- j{a + a∣j ∈ N *,1 ≤ j ≤ 4k + 6} = {k +1} ，又因为a 4k +8< a ，有a= k +1.即当n = k +1 时命题成立，证毕. 综上可得： a 1 = 0 ， a 5 = a 4⨯1+1 = 1 .(3) 令b n = a n + p ，由性质③可知：∀m , n ∈ N *, b= a+ p ∈{a + p + a + p , a + p + a + p +1} = {b + b , b + b +1} ，m +nm +nmnmnmnmn由于b 1 = a 1 + p ≥ 0, b 2 = a 2 + p = 0, b 4n -1 = a 4n -1 + p < a 4n + p = b 4n ，因此数列{b n }为 R 0 数列. 由（2）可知:若∀n ∈ N , a 4n +i = n - p (i = 1, 2, 3), a 4n +4 = n +1- p ；S 11 - S 10 = a 11 = a 4⨯2+3 = 2 - p ≥ 0 ， S 9 - S 10 = -a 10 = -a 4⨯2+2 = -(2 - p ) ≥ 0 ，因此p = 2 ，此时a 1, a 2 ,⋯, a 10 ≤ 0 ， a j ≥ 0 ( j ≥ 11) ，满足题意. 【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.4k +5 4k +6 4k +7。

2024年北京市高考语文试题一、本大题共5小题,共18分。

阅读下面材料,完成1-5题。

材料一气候的波动变化对文明发展产生了重要影响，重建古代气候变化过程具有重要意义。

由于缺乏合适的温度代用指标，我国古温度重建结果分辨率较低,且多以定性记录为主，定量的古温度重建相对较少。

全球历史温度变化曲线的重建主要借助冰芯、深海沉积物和树轮的记录，而我国是传统的农耕文明社会，陆地上的沉积记录才能更好地反映我国历史气候变化。

随着技术的革新,微生物分子化石的研究蓬勃发展,微生物分子化石中的一类化合物——brGDGTs(支链甘油二烷基甘油四醚酯)——被用于古气候研究。

brGDGTs是细菌细胞膜的组成部分，其分子结构中有4到6个甲基和0到2个环戊烷。

如同人天冷需要加衣、天热需要减衣一样,寒冷的气候条件下细菌倾向于合成更多的甲基,而温暖的环境下合成的甲基数量则减少。

微生物活体死亡后,细胞膜中的brGDGTs等大分子能在地质体中长期保留下来,可以通过brGDGTs结构中的甲基个数推断当时的温度。

六盘山北联池靠近中华文明核心区，由中国科学院、南京大学、兰州大学等单位的研究人员组成的联合团队选取这里的沉积物样品，借助brGDGTs，通过定量分析，重建了5000年以来我国北方更高分辨率的暖季(4月至10月)温度变化过程。

结合山西某地沉积物的孢粉重建的降水记录，联合团队获得了我国北方地区5000年以来完整的气候演变历程。

从重建的温度与降水结果来看，我国北方地区的气候呈现出不断变冷、变干的大趋势。

大约前3000年变化缓慢,之后的2000年变化加速。

这主要与太阳辐射变化有关，太阳辐射能量在过去5000年间持续下降。

另外，过去2000年以来的快速冷干现象还可能与太阳活动、局部火山活动等因素有关。

而且这一时期内区域植被中木本植物逐渐减少,导致地表反射率上升,也可能加快了气候变冷变干的速度。

研究人员将气候重建的结果与中国历史朝代相对应，发现不同历史时期的气候呈现出冷暖交替的特点。

高考数学（文）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝Z ，集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，3}，则(∁U M )∩N ＝（A ）{－1} （B ）{3} （C ）{0，1} （D ）{－1，3} 2．下列命题中的假命题是（A ）∀x ＞0且x ≠1，都有x ＋1x＞2（B ）∀a ∈R ，直线ax ＋y －a ＝0恒过定点（1，0）（C ）∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)x m 2－4m ＋3是幂函数 （D ）∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数3．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝（A ）－4 （B ）－6 （C ）－8 （D ）－104．函数y ＝12－x＋lg x 的定义域是（A ）（0，2] （B ）（0，2） （C ）（1，2） （D ）[1，2）5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1。

则函数y ＝f (x )－log 2x 的零点的个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）127．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (0)＝（A ）－12（B ）－1 （C ）－32（D ）－ 38．设O 为△ABC 所在平面内一点．若实数x 、y 、z 满足x →OA ＋y →OB ＋z →OC ＝0（x 2＋y 2＋z 2≠0），则“xyz ＝0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不全为0），两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若(Ax 1＋By 1＋C )( Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＜|Ax 2＋By 2＋C |，则直线l （A ）与直线P 1P 2不相交 （B ）与线段P 2P 1的延长线相交 （C ）与线段P 1P 2的延长线相交 （D ）与线段P 1P 2相交10．已知圆M ：x 2＋y 2－8x －6y ＝0，过圆M 内定点P （1，2）作两条相互垂直的弦AC 和BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为（A ）2015 （B ）16 6 （C ）515 （D ）40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 11．若复数z 满足(2－i)z ＝1＋i （i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的坐标为 ． 12．设F 1、F 2是双曲线x 216－y 220＝1的两焦点，点P 在双曲线上．若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离等于 ．13．已知某程序框图如图所示，若分别输入的x 的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y 的值分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝ ．14．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1、s 2、s 3，则它们的大小关系为 ．（用“＞”连接）15．若不等式x 2－kx ＋k －1＞0对x ∈（1，2）恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 16．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为 ．17．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )，这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c －a ）是（b －c ）和（b －a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若a ＝5，求△ABC 的面积． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点．已知PD ＝2，CD ＝4，AD ＝3．（Ⅰ）若∠ADE ＝π6，求证：CE ⊥平面PDE ；（Ⅱ）当点A 到平面PDE 的距离为2217时，求三棱锥A -PDE的侧面积． 20．（本小题满分13分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表中未知量n ，x ，y ，z 的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率． 21．（本小题满分14分）设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax ．（Ⅰ）讨论函数f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x 1＝e （e 为自然对数的底数）和x 2是函数f (x )的两个不同的零点，求a 的值并证明：x 2＞e 23． 22．（本小题满分14分）已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为23，半焦距为c （c ＞0），且a －c ＝1．经过椭圆的左焦点F ，斜率为k 1（k 1≠0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）当k 1＝1时，求S △AOB 的值； （Ⅲ）设R （1，0），延长AR ，BR 分别与椭圆交于C ，D 两点，直线CD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分．1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．D 二、填空题：每小题5分，满分35分．11．（15，35） 12．17 13．6 14．s 1＞s 2＞s 3 15．（－∞，2]16．433 17．5－12三、解答题：本大题共5小题，共65分．18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝1－(－1114)2＝5314，∴cos C ＝cos[(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C ) cos B ＋sin(B ＋C ) sin B＝－1114×12＋5314×32＝17．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得sin C ＝1－cos 2C ＝1－(17)2＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314．在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得5 5314＝c 437，∴ c ＝8， 故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝103．…………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt △DAE 中，AD ＝3，∠ADE ＝π6，∴AE ＝AD ·tan ∠ADE ＝3·33＝1． 又AB ＝CD ＝4，∴BE ＝3．在Rt △EBC 中，BC ＝AD ＝3，∴tan ∠CEB ＝BC BE ＝33，∴∠CEB ＝π6．又∠AED ＝π3，∴∠DEC ＝π2，即CE ⊥DE ．∵PD ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ， ∴PD ⊥CE ．∴CE ⊥平面PDE ．……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，PD ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面ABCD ．如图，过A 作AF ⊥DE 于F ，∴AF ⊥平面PDE ，∴AF 就是点A 到平面PDE 的距离，即AF ＝2217．在Rt △DAE 中，由AD ·AE ＝AF ·DE ，得 3AE ＝2217·3＋AE 2，解得AE ＝2．∴S △APD ＝12PD ·AD ＝12×2×3＝62，S △ADE ＝12AD ·AE ＝12×3×2＝3，∵BA ⊥AD ，BA ⊥PD ，∴BA ⊥平面P AD ，∵P A ⊂平面P AD ，∴BA ⊥P A ．在Rt △P AE 中，AE ＝2，P A ＝PD 2＋AD 2＝2＋3＝5，∴S △APE ＝12P A ·AE ＝12×5×2＝5．∴三棱锥A -PDE 的侧面积S 侧＝62＋3＋5．…………………………（12分） 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n ，由2n＝0.04，得n ＝50．∴x ＝2550＝0.5，y ＝50－3－6－25－2＝14，z ＝y n ＝1450＝0.28．……………（6分）（Ⅱ）记样本中视力在（3.9，4.2]的3人为a ，b ，c ，在（5.1，5.4]的2人为d ，e ． 由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，e }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，e }，{c ，d }，{c ，e }，{d ，e }，共10种． 设事件A 表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A 包含的可能的结果有：{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{d ，e }，共4种．∴P (A )＝410＝25．故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为25．…………………………（13分）21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）函数f (x )的定义域为（0，＋∞）．求导数，得f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x．①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )是（0，＋∞）上的增函数，无极值； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a．当x ∈（0，1a ）时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈（1a，＋∞）时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．∴当x ＝1a 时，f (x )有极大值，极大值为f (1a )＝ln 1a－1＝－ln a －1．综上所述，当a ≤0时，f (x )的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a ＞0时，f (x )的递增区间为（0，1a ），递减区间为（1a ，＋∞），极大值为－ln a －1．…（8分）（Ⅱ）∵x 1＝e 是函数f (x )的零点，∴f (e )＝0，即12－a e ＝0，解得a ＝12e ＝e2e ．∴f (x )＝ln x －12ex ．∵f (e 23)＝32－e 2＞0，f (e 25)＝52－e 22＜0，∴f (e 23)f (e 25)＜0．由（Ⅰ）知，函数f (x )在（2e ，＋∞）上单调递减， ∴函数f (x )在区间（e 23，e 25）上有唯一零点，因此x 2＞e 23．………………………………………………………………（14分）22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a －c ＝1。

2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案学好高考数学的技巧高考数学题目的总结比较。

建立自己的题库。

多做。

主要是指做高考数学习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。

养成好的学习习惯，做好预习，把预习没看懂的东西，第二天上课着重听。

抓住课堂。

高考数学理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。

高质量完成作业。

所谓高质量是指高正确率和高速度。

翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。

该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。

特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。

该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。

盯住目标：把高考数学目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。

在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用!各省高考用卷情况1、新高考一卷(8个省份)适用省份：山东、河北、湖北、福建、湖南、广东、江苏，浙江考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术等。

特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。

其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。

2、新高考二卷(3个省份)适用省份：海南、辽宁、重庆考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。

特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。

其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。

3、全国甲卷(5个省份)适用省份：云南、贵州、四川、西藏、广西考试科目：语文、数学、外语、文综、理综特点：语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）2．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．53．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y＝4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（）A．B．4C．2D．6．（5分）设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.18．（5分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）（北京卷）第Ⅰ卷（选择题 共50分）参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或 2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 23．“232c o s -=α”是“Z k k ∈+=,1252ππα”的 （ ） A ．必要非充分条 B ．充分非必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （ ） A ．若m ∥α，α∩β=n ，则m//n B ．若m ∥n ，α∩β=n ，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为 （ ）A ．51 B ．52C ．55 D ．552 6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）A ．π2B ．π23 C ．π332 D ．π218．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,23)1(3=-+=--n a n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（ ）A ．241B ．81 C ．61 D ．21不同的种植方法共有 （ ） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种 10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ） A ．kk a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 . 12．函数x tg x h x x g x x f 2)(|,|2)(),1lg()(2=-=+=中， 是偶函数.13．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的最大值、最小值. 16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(3R x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a . （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1； （Ⅱ）求点D 到平面ACC 1的距离；（Ⅲ）判断A 1B 与平面ADC 的位置关系，并证明你的结论.18．（本小题满分15分）如图，A 1，A 为椭圆的两个顶点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点. （Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段OA 上异于O ，A 的任一点K 作OA 的垂线，交椭圆于P ，P 1两点，直线 A 1P 与AP 1交于点M.求证：点M 在双曲线192522=-y x 上.19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=13km ，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图） （Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小， 点P 应位于何处？ （Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？ 20．（本小题满分14分） 设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有 （Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有 （Ⅱ）判断函数⎩⎨⎧∈--∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(x x x x x g 是否满足题设条件；（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数)(x f y =，且使得对任意的.|)()(|],1,1[,v u v f u f v u -=--∈都有 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．3 12．)();(x g x f 13．)4(362--=x y 14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为xx x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=2222(cos sin )(cos sin )sin 2cos 2sin 2)4x x x x x x x x π=+--=-=+所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T（Ⅱ）解：因为),42cos(2)(π+=x x f 所以)(x f 的最大值为2,最小值为－216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n=（Ⅱ）解：由,323n n n nn a b ==得,323)22(343212n n n n n S ⋅+-+⋅+⋅=- ①.323)22(34323132+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②将①式减去②式，得 .32)13(332)333(22112++⋅--=⋅-++-=-n n n n n n n S所以.32)31(31+⋅+-=n nnn S17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（Ⅰ）证法一：∵点D 是正△ABC 中BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，又A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.证法二：连结A 1C 1，则A 1C=A 1B. ∵点D 是正△A 1CB 的底边中BC 的中点，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.（Ⅱ）解法一：作DE ⊥AC 于E ， ∵平面ACC 1⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ACC 1于E ，即DE 的长为点D 到平面ACC 1的 距离. 在Rt △ADC 中，AC=2CD=.23,a AD a =∴所求的距离.3a AD CD DE =⋅=解法二：设点D 到平面ACC 1的距离为x ， ∵体积111ACC D ACDC V V --= .21318331112x CC a CC a ⋅⋅⋅=⋅⋅∴,43a x =∴即点D 到平面ACC 1的距离为a43.（Ⅲ）答：直线A 1B//平面ADC 1，证明如下：证法一：如图1，连结A 1C 交AC 1于F ，则F 为A 1C 的中点，∵D 是BC 的中点，∴DF ∥A 1B ， 又DF ⊂ 平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，∴A 1B ∥平面ADC 1. 证法二：如图2,取C 1B 1的中点D 1，则AD ∥A 1D 1，C 1D ∥D 1B ，∴AD ∥平面A 1D 1B ，且C 1D ∥平面A 1D 1B ，∴平面ADC 1∥平面A 1D 1B ，∵A 1B ⊂平面A 1D 1B ，∴A 1B ∥平面ADC 1.18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.（Ⅰ）解：由图可知,.3a b ,4,522=-===c c a 所以该椭圆的方程为,192522=+y x准线方程为.425±=x （Ⅱ）证明：设K 点坐标)0,(0x ,点P 、P 1的坐标分别记为),(),,(0000y x y x -， 其中,500<<x 则,1925202=+y x ……① 直线A 1P ，P 1A 的方程分别为： ),5()5(00+=+x y y x ……② ).5()5(00-=-x y y x ……③②式除以③式得,555500-+=-+x x x x 化简上式得,250x x=代入②式得,500x y y = 于是，直线A 1P 与AP 1的交点M 的坐标为).5,25(00x y x 因为.1)251(2525)5(91)25(25120202020020=--=-x x x x y x所以，直线A 1P 与AP 1的交点M 在双曲线上192522=+y x .19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分..146)4(3)12()25(2)(222+-=-++=y y y y f所以，当4=y 时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是).4,0(（Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当 由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当 因为225y +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-|12|*∞-在y 上是减函数. 所以*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 答:点P 的坐标是);24119,0( 解法二：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当 函数)(y g x =的图象如图)(a ，因此，当*y y =时，函数)(y g 取得最小值.答:点P 的坐标是);24119,0(解法三：因为在△ABC 中，AB=AC=13,且，(b).,4,51222如图π=∠=>=-ACB OC OC AC所以△ABC 的外心M 在线段AO 上,其坐标为)24119,0(, 且AM=BM=CM. 当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2， 这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 和P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M 重合时，P 到三镇的最远距离最小. 答:点P 的坐标是);24119,0( 20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1||)1()(||)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）答：函数)(x g 满足题设条件.验证如下：).1(0)1(g g ==-对任意的]1,1[,-∈v u ， 当|;||)1()1(||)()(|,0,1][,u v u v u v g u g v -=---=-∈有时当|;||)()(|,,0]1-[,u v u v g u g v -=-∈同理有时当0,u <⋅v 不妨设],1,0(),0,1[∈-∈v u有.|||||)1()1(||)()(|u v v u v u v g u g -≤+=--+=-所以，函数)(x g 满足题设条件.（Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下： 假设存在函数)(x f 满足条件，则由,0)1()1(==-f f 得,0|)1()1(|=--f f ①由于对任意的]1,1[,-∈v u ，都有.|||)()(|v u v f u f -=-所以，.2|)1(1||)1()1(|=--=--f f ② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.。

2022年北京高考数学（文科）试题及答案文科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合A0,1,2,4，B1,2,3，则AB （）A.0,1,2,3,4B.0,4C.1,2D.32.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A.ye某B.y某C.yln某D.y某3.已知向量a2,4，b1,1，则2ab（）A.5,7B.5,9C.3,7D.3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.1B.3C.7D.15开始否是输出结束5.设a、b是实数，则“ab”是“ab”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件226log2某，在下列区间中，包含f某零点的区间是（）某A.0,1B.1,2C.2,4D.4,6.已知函数f某7.已知圆C:某3y41和两点Am,0，Bm,0m0，若圆C上存在点22P，使得APB90，则m的最大值为（）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系pat2btc（a、b、c是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟p0.80.70.5O二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.若某ii12i某R，则某.10.设双曲线C的两个焦点为2,0，345t第2部分（非选择题共110分）2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.22正（主）视图111侧（左）视图俯视图12.在ABC中，a1，b2，coC1，则c；inA.4y113.若某、y满足某y10，则z3某y的最小值为.某y1014.顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，学科网再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间粗加工精加工原料915原料A6原料B21则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。

高考北京卷数学真题及答案解析_数学高考真题2022高考北京卷数学真题及答案解析2022高考数学大题题型总结一、三角函数或数列数列是高考必考的内容之一。

高考对这个知识点的考查非常全面。

每年都会有等差数列，等比数列的考题，而且经常以综合题出现，也就是说把数列知识和指数函数、对数函数和不等式等其他知识点综合起来。

近几年来，关于数列方面的考题题主要包含以下几个方面：(1)数列基本知识考查，主要包括基本的等差数列和等比数列概念以及通项公式和求和公式。

(2)把数列知识和其他知识点相结合，主要包括数列知识和函数、方程、不等式、三角、几何等其他知识相结合。

(3)应用题中的数列问题，一般是以增长率问题出现。

二、立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。

选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。

随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着多一点思考，少一点计算的发展。

从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

三、统计与概率1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。

3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。

4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。

6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。

7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。

8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.四、解析几何(圆锥曲线)高考解析几何剖析：1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线(如圆、椭圆、抛物线、双曲线)这三大类几何元素为基础构成的图形的问题;2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。

1一、单选题12024年高考数学北京卷试题及参考答案．已知集合=−<≤M x x {|41}，=−<<N x x {|13}，则⋃=M N （ ） A ．−<<x x 43}{ B ．−<≤x x 11}{ C ．0,1,2}{D ．−<<x x 14}{2．已知=−zi i 1，则=z （ ）．A ．−1iB ．−iC ．−−1iD ．13．求圆+−+=x y x y 26022的圆心到−+=x y 20的距离（ ） A．B ．2C．D4．x 4(的二项展开式中x 3的系数为（ ） A ．15B ．6C ．−4D ．−135．已知向量a ，b ，则“+−=a b a b 0·)()(”是“=a b 或=−a b ”的（ ）条件． A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知=>ωωf x x sin 0)()(，=−f x 11)(，=f x 12)(，−=x x 2||π12min ，则=ω（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．记水的质量为=−nd S ln 1，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且=d 2.11，=d 2.22，则n 1与n 2的关系为（ ） A ．<n n 12 B ．>n n 12C ．若<S 1，则<n n 12；若>S 1，则>n n 12；D ．若<S 1，则>n n 12；若>S 1，则<n n 12；8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，则该四棱锥的高为（ ）2A．2B．2C．D9．已知x y ,11)(，x y ,22)(是函数=y x 2图象上不同的两点，则下列正确的是（ ） A ．>++y y x x 22log 21212B ．<++y y x x 22log 21212C ．>++x x y y 2log 21212D ．<++x x y y 2log 2121210．若集合=+−≤≤≤≤x y y x t x x t x ,|(),01,122}{)(表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（ ）A ．=d 3，<S 1B ．=d 3，>S 1 C．d <S 1D．=d ，>S 1二、填空题11．已知抛物线=y x 162，则焦点坐标为 ．12．已知⎣⎦⎢⎥∈⎡⎤α63,ππ，且α与β的终边关于原点对称，则βcos 的最大值为 ．13．已知双曲线−=y x 4122，则过3,0)(且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 ．14．已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为 ．15．已知==M k a b k k |}{，a n ，b n 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是 . ①a n ，b n 均为等差数列，则M 中最多一个元素； ②a n ，b n 均为等比数列，则M 中最多三个元素； ③a n 为等差数列，b n 为等比数列，则M 中最多三个元素； ④a n 单调递增，b n 单调递减，则M 中最多一个元素.三、解答题316．在△ABC 中，=a 7，A为钝角，=B B 7sin 2cos ． (1)求∠A ；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积． ①=b 7；②=B 14cos 13；③=c A sin 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17．已知四棱锥P -ABCD ，AD BC //，==AB BC 1，=AD 3，==DE PE 2，E 是AD 上一点，⊥PE AD ．(1)若F 是PE 中点，证明：BF //平面PCD ．(2)若⊥AB 平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18．已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元在总体中抽样100单，以频率估计概率： (1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19．已知椭圆方程C ：+=>>a ba b x y 102222)(，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过t 0,)(>t (的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1)(，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t ．420．已知=++f x x k x ln 1)()(在>t t t f 0,)()()(处切线为l ． (1)若切线l 的斜率=−k 1，求f x )(单调区间； (2)证明：切线l 不经过0,0)(；(3)已知=k 1，A t f t ,)()(，C f t 0,)()(，O 0,0)(，其中>t 0，切线l 与y 轴交于点B 时．当△△=S S ACO ABO 215，符合条件的A 的个数为？（参考数据：<<1.09ln31.10，<<1.60ln51.61，<<1.94ln71.95）21．设集合=∈∈∈∈+++M i j s t i j s t i j s t ,,,1,2,3,4,5,6,7,8,2}{)(}{}{}{}{)(．对于给定有穷数列≤≤A a n n :18)(}{，及序列Ωωωωs :,,...,12，=∈ωi j s t M k k k k k ,,,)(，定义变换T ：将数列A 的第i j s t ,,,1111项加1，得到数列A T 1)(；将数列A T 1)(的第i j s t ,,,2222列加1，得到数列T T A 21)(…；重复上述操作，得到数列T T T A s ...21)(，记为ΩA )(．若+++a a a a 1357为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA )(为常数列”的充要条件为“+=+=+=+a a a a a a a a 12345678”5参考答案：1．A【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得⋃=−M N 4,3)(， 故选：A. 2．C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得=−=−−z i i 11i )(， 故选：C. 3．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得+−+=x y x y 26022，即−++=x y 131022)()(， 则其圆心坐标为−1,3)(，则圆心到直线−+=x y 20=，故选：C. 4．B【分析】写出二项展开式，令−=r243，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】x 4(的二项展开式为==−=+−−T x xr r r r r rrr C C 1,0,1,2,3,4144244)()((，令−=r243，解得=r 2， 故所求即为−=C 16422)(. 故选：B. 5．A【分析】根据向量数量积分析可知+⋅−=a b a b 0)()(等价于=a b ，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为+⋅−=−=a b a b a b 022)()(，可得=a b 22，即=a b ，可知+⋅−=a b a b 0)()(等价于=a b ，6若=a b 或=−a b ，可得=a b ，即+⋅−=a b a b 0)()(，可知必要性成立； 若+⋅−=a b a b 0)()(，即=a b ，无法得出=a b 或=−a b ，例如==a b 1,0,0,1)()(，满足=a b ，但≠a b 且≠−a b ，可知充分性不成立； 综上所述，“+⋅−=a b a b 0)()(”是“≠a b 且≠−a b ”的必要不充分条件. 故选：A. 6．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：x 1为f x )(的最小值点，x 2为f x )(的最大值点， 则−==x x T 22πmin 12，即=T π， 且>ω0，所以==ωT2π2. 故选：B. 7．C【分析】根据题意分析可得⎩=⎪⎨⎪=⎧−−n n S S e e 22.211 2.11，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得⎩⎪==⎪−⎨⎪⎪==⎧−n d S n d S ln 2.21ln 2.112211，解得⎩=⎪⎨⎪=⎧−−n n S S e e 2 2.211 2.11， 若>S 1，则>−−S S 2.1 2.211，可得>−−S S e e 2.1 2.211，即>n n 12； 若=S 1，则==−−S S 2.1 2.2011，可得==n n 112； 若<S 1，则<−−S S 2.1 2.211，可得<−−S S e e 2.1 2.211，即<n n 12； 结合选项可知C 正确，ABD 错误； 故选：C. 8．D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面⊥PEF 平面ABCD ，可知⊥PO 平面7ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设=====PA PB AB PC PD 4,分别取AB CD ,的中点E F ,，连接PE PF EF ,,，则⊥⊥PE AB EF AB ,，且⋂=PE EF E ，⊂PE EF ,平面PEF ， 可知⊥AB 平面PEF ，且⊂AB 平面ABCD ， 所以平面⊥PEF 平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即⊥PO EF ， 由平面PEF 平面=ABCD EF ，⊂PO 平面PEF ， 所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：===PE PF EF 2,4，则+=PE PF EF 222，即⊥PE PF ， 则⋅=⋅PE PF PO EF 2211，可得==⋅EFPO PE PF当相对的棱长相等时，不妨设==PA PC 4，==PB PD因为==+BD PB PD ，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在. 故选：D. 9．A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设<x x 12，因为函数=y x 2是增函数，所以<<x x 02212，即<<y y 012，对于选项AB：可得=++x x x x 222221212，即>>++y y x x 22021212，8根据函数=y x log 2是增函数，所以>=+++y y x x x x 22log log 2222121212，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如==x x 0,112，则==y y 1,212， 可得=∈+y y 22log log 0,132212)(，即<=++x x y y 2log 121212，故C 错误； 对于选项D ：例如=−=−x x 1,212，则==y y 24,1112，可得==−∈−−+y y 28log log log 332,1322212)(，即>−=++x x y y 2log 321212，故D 错误， 故选：A. 10．C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域⎩≤≤⎪⎨≥⎪≤⎧x y x y x 122，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定∈x 1,2][，则−=−≥x x x x 102)(，且∈t 0,1][， 可知≤+−≤+−=x x t x x x x x x 222)(，即≤≤x y x 2，再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域⎩≤≤⎪⎨≥⎪≤⎧x y x y x 122，如图阴影部分所示，其中A B C 1,1,2,2,2,4)()()(，可知任意两点间距离最大值==d AC 阴影部分面积△<=⨯⨯=S S ABC 21211.故选：C.9【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 11．4,0)(【分析】形如=≠y px p 2,02)(的抛物线的焦点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫p 2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为=y x 162，所以其焦点坐标为4,0)(. 故答案为：4,0)(. 12．−21/−0.5【分析】首先得出=++∈βαk k ,Z π2π，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意=++∈βαk k ,Z π2π，从而=++=−βααk cos π2πcos cos )(，因为⎣⎦⎢⎥∈⎡⎤α63,ππ，所以αcos的取值范围是⎣⎦⎢⎡21，βcos的取值范围是⎣⎦⎢⎥−⎡⎤21， 当且仅当=α3π，即=+∈βk k 3,Z π2π4时，βcos 取得最大值，且最大值为−21. 故答案为：−21.13．±21【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立=x 3与−=y x 4122，解得=±y 2设所求直线斜率为k ，则过点3,0)(且斜率为k 的直线方程为=−y k x 3)(，联立⎩=−⎪⎨⎪−=⎧y k x y x 34122)(，化简并整理得：−+−−=k x k x k 142436402222)(，由题意得−=k 1402或=++−=k k k 244364140Δ2222)()()(，解得=±k 21或无解，即=±k 21，经检验，符合题意.10故答案为：±21.14．2mm,23mm 115【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.【详解】设第一个圆柱的高为h 1，第二个圆柱的高为h 2，则⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫==⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⨯⎛⎫⎛⎫h h h 22ππ653251022230ππ3253251222222， 故=h 23mm 2，=h 2mm 1151， 故答案为：2mm,23mm 115. 15．①③④【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为a b n n ,}{}{均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故M 中至多一个元素，故①正确. 对于②，取==−−−−a b n n n n 2,2,11)(则a b n n ,}{}{均为等比数列，但当n 为偶数时，有===−−−−a b n n n n 2211)(，此时M 中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设=≠≠±b Aq Aq q n n0,1)(，=+≠a kn b k n 0)(，若M 中至少四个元素，则关于n 的方程=+Aq kn b n 至少有4个不同的正数解， 若>≠q q 0,1，则由=y Aq n 和=+y kn b 的散点图可得关于n 的方程=+Aq kn b n 至多有两个不同的解，矛盾；若<≠±q q 0,1，考虑关于n 的方程=+Aq kn b n 奇数解的个数和偶数解的个数， 当=+Aq kn b n 有偶数解，此方程即为=+A q kn b n， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时>Ak q ln 0，11否则<Ak q ln 0，因==+y A q y kn b n,单调性相反， 方程=+A q kn b n至多一个偶数解，当=+Aq kn b n 有奇数解，此方程即为−=+A q kn b n，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时−>Ak q ln 0即<Ak q ln 0 否则>Ak q ln 0，因=−=+y A q y kn b n,单调性相反， 方程=+A q kn b n 至多一个奇数解，因为>Ak q ln 0，<Ak q ln 0不可能同时成立， 故=+Aq kn b n 不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为a n }{为单调递增，b n }{为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 16．(1)=A 3π2； (2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得=πB 3，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出=B 14sin ，再代入式子得=b 3，再利用两角和的正弦公式即可求出C sin ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到=c 5，再利用正弦定理得到=C 14sin ，再利用两角和的正弦公式即可求出B sin ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得=B B B 2sin cos cos ，因为A 为钝角， 则≠B cos 0，则=B 2sin，则===BA A b a sin sin sin 7，解得=A sin12因为A 为钝角，则=A 3π2. （2）选择①=b 7，则===B sin 7=A 3π2，则B 为锐角，则=πB 3， 此时+=A B π，不合题意，舍弃；选择②=B 14cos 13，因为B为三角形内角，则==B sin则代入=B 2sin得=2，解得=b 3， ⎝⎭⎪=+=+=+⎛⎫C A B B B B 333sin sin sin sin cos cos sin π2π2π2)(⎝⎭ ⎪=+−⨯=⎛⎫21421414131,则==⨯⨯=Sab C ABC22sin 7311.选择③=c A sinc =c 5， 则由正弦定理得=A C a c sin sinC sin 5，解得=C 14sin ， 因为C为三角形内角，则C 14cos 11， 则⎝⎭⎪=+=+=+⎛⎫B AC C C C 333sin sin sin sin cos cos sin π2π2π2)(⎝⎭ ⎪=+−⨯=⎛⎫21421414111，则△==⨯⨯=S ac B ABC 22sin 7511 17．(1)证明见解析【分析】（1）取PD 的中点为S ，接SF SC ,，可证四边形SFBC 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得BF //平面PCD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB 和平面PCD 的法向量后可求夹角的余弦值.13【详解】（1）取PD 的中点为S ，接SF SC ,，则==SF ED SF ED 2//,11， 而=ED BC ED BC //,2，故=SF BC SF BC //,，故四边形SFBC 为平行四边形， 故BF SC //，而⊄BF 平面PCD ，⊂SC 平面PCD ， 所以BF //平面PCD . （2）因为=ED 2，故=AE 1，故AE BC AE BC //,=，故四边形AECB 为平行四边形，故CE AB //，所以⊥CE 平面PAD ， 而⊂PE ED ,平面PAD ，故⊥⊥CE PE CE ED ,，而⊥PE ED ， 故建立如图所示的空间直角坐标系，则−−A B C D P 0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2)()()()()(， 则=−−=−−=−=−PA PB PC PD 0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,)()()()( 设平面PAB 的法向量为=m x y z ,,)(，则由⎩⎪⋅=⎨⎪⋅=⎧m PB m PA 00可得⎩−−=⎨⎧−−=x y z y z 2020，取=−m 0,2,1)(，设平面PCD 的法向量为=n a b c ,,)(，则由⎩⎪⋅=⎨⎪⋅=⎧n PD n PC 00可得⎩−=⎨⎧−=b c a b 22020，取=n 2,1,1)(，故⨯==−m n 5cos ,1故平面PAB 与平面PCD18．(1)10114(2)(i)0.122万元 (ii)0.1252万元【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求ξ的分布列及数学期望，从而可求E X )(.（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求E Y )(. 【详解】（1）设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得++++==++P A 800100603010106030101)(.（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3， 由题设中的统计数据可得======ξξP P 100051000100,0.880041001)()(， ===ξP 100050( 1.6)603，===ξP 1000100( 2.4)303， ===ξP 1000100(3)101， 故=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 5105010010000.8 1.6 2.430.27841331)( 故=−=E X 0.40.2780.122)(（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为⨯⨯+⨯⨯=550.496%0.4 1.20.403241，故=+−=E Y 0.1220.40320.40.1252)(（万元） 19．(1)+==e x y 421,22 (2)=t 2【分析】（1）由题意得=b c a ，由此即可得解；（2）说明直线AB斜率存在，设=+AB y kx t t :,(，A x y B x y ,,,1122)()(，联立椭圆方程，由韦达定理有+++==−−k k x x x x kt t 1221,4242212122，而+=−+−x x AD y x x y y y :121112)(，令=x 0，即可得解.【详解】（1）由题意==b c==a 2，15所以椭圆方程为+=x y 42122，离心率为=e 2； （2）显然直线AB 斜率存在，否则B D ,重合，直线BD 斜率不存在与题意不符， 同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设=+>AB y kx t t :,(，A x y B x y ,,,1122)()(，联立⎩=+⎪⎨⎪+=⎧y kx t x y 42122，化简并整理得+++−=k x ktx t 124240222)(， 由题意=−+−=+−>k t k t k t 1682128420Δ222222)()()(，即k t ,应满足+−>k t 42022，所以+++==−−k k x x x x kt t 1221,4242212122， 若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设−D x y ,22)(， 所以+=−+−x x AD y x x y y y :121112)(，在直线AD 方程中令=x 0， 得+++−====+==++++++−x x x x x x kt ty t x y x y x kx t x kx t kx x t x x k t C 4122421212121221122112122)()()()(，所以=t 2，此时k 应满足⎩≠⎨+−=−>⎧k k t k 042420222，即k应满足<k 2或>k 2，综上所述，=t 2满足题意，此时<k>k 20．(1)单调递减区间为−(1,0)，单调递增区间为+∞(0,). (2)证明见解析 (3)2【分析】（1）直接代入=−k 1，再利用导数研究其单调性即可；16（2）写出切线方程⎝⎭+ ⎪−=+−>⎛⎫t y f t x t t k 1()1()(0)，将(0,0)代入再设新函数+=+−t F t t t1()ln(1)，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入=S S ACOABO 215得到++−−=tt t t113ln(1)2150，再设新函数+=+−−>th t t t t t1()13ln(1)2(0)15研究其零点即可. 【详解】（1）++=−+=−=>−'x xf x x x f x x x 11()ln(1),()1(1)1， 当∈−x 1,0)(时，<'f x 0)(；当∈+∞x 0,)(，>'f x 0)(； ∴f x ()在−(1,0)上单调递减，在+∞(0,)上单调递增.则f x ()的单调递减区间为−(1,0)，单调递增区间为+∞(0,).（2）+=+'xf x k 1()1，切线l 的斜率为++t k11，则切线方程为⎝⎭+ ⎪−=+−>⎛⎫t y f t x t t k 1()1()(0)，将(0,0)代入则⎝⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪−=−+=+⎛⎫⎛⎫t t f t t f t t k k 11()1,()1，即+++=+t t k t t t k 1ln(1)，则++=t t t 1ln(1)，++−=tt t1ln(1)0， 令+=+−tF t t t1()ln(1)， 假设l 过(0,0)，则F t ()在∈+∞t (0,)存在零点.+++=−=>'+−t t t F t t t t 1(1)(1)()01122，∴F t ()在+∞(0,)上单调递增，>=F t F ()(0)0， ∴F t ()在+∞(0,)无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）=k 1时，++=++=+=>'+x xf x x x f x x 11()ln(1),()1012. =Stf t ACO2()1，设l 与y 轴交点B 为q (0,)， >t 0时，若<q 0，则此时l 与f x ()必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知≠q 0.所以>q 0，则切线l 的方程为⎝⎭+ ⎪−−+=+−⎛⎫t y t t x t 1ln 111)()(，令=x 0，则+===+−t y q y t t 1ln(1). =SS ACOABO 215，则⎣⎦+⎢⎥=+−⎡⎤t tf t t t t 12()15ln(1)，17+∴+−−=t t t t 113ln(1)2150，记+=+−−>th t t t t t 1()13ln(1)2(0)15， ∴满足条件的A 有几个即h t ()有几个零点.'+++++=−−===+−−+−+−++−t t t t t h t t t t t t t t 1(1)(1)(1)(1)()21315294(21)(4)131322115222222)(， 当⎝⎭ ⎪∈⎛⎫t 20,1时，<'h t 0)(，此时h t )(单调递减；当⎝⎭ ⎪∈⎛⎫t 2,41时，>'h t 0)(，此时h t )(单调递增；当∈+∞t 4,)(时，<'h t 0)(，此时h t )(单调递减； 因为⎝⎭⎪=<=−>⨯−=>⎛⎫h h h 2(0)0,0,(4)13ln 52013 1.6200.801， =−−=−−<⨯−−=−<⨯h 2555(24)13ln 254826ln 54826 1.614820.54015247272， 所以由零点存在性定理及h t ()的单调性，h t ()在⎝⎭⎪⎛⎫2,41上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，h t ()有两个零点，即满足=S S ACO ABO 215的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 21．证明见解析【分析】分充分性和必要性两方面论证.【详解】我们设序列T T T A k ...21)(为≤≤a n k n 18,)(}{，特别规定=≤≤a a n n n 180,)(. 必要性：若存在序列Ωωωωs :,,...,12，使得ΩA )(为常数列.则=======a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8，所以+=+=+=+a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8.18根据T T T A k ...21)(的定义，显然有+=+−−−−a a a a k j k j k j k j ,21,21,211,2，这里=j 1,2,3,4，=k 1,2,.... 所以不断使用该式就得到，+=+=+=+a a a a a a a a 12345678，必要性得证. 充分性：若+=+=+=+a a a a a a a a 12345678.由已知，+++a a a a 1357为偶数，而+=+=+=+a a a a a a a a 12345678，所以+++=+−+++a a a a a a a a a a 42468121357)()(也是偶数.我们设T T T A s ...21)(是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列ΩA )(中，使得−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8最小的一个.上面已经证明+=+−−−−a a a a k j k j k j k j ,21,21,211,2，这里=j 1,2,3,4，=k 1,2,....从而由+=+=+=+a a a a a a a a 12345678可得+=+=+=+a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8. 同时，由于+++i j s t k k k k 总是偶数，所以+++a a a a k k k k ,1,3,5,7和+++a a a a k k k k ,2,4,6,8的奇偶性保持不变，从而+++a a a a s s s s ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数. 下面证明不存在=j 1,2,3,4使得−≥−a a s j s j 2,21,2.假设存在，根据对称性，不妨设=j 1，−≥−a a s j s j 2,21,2，即−≥a a s s 2,1,2. 情况1：若−+−+−=a a a a a a s s s s s s 0,3,4,5,6,7,8，则由+++a a a a s s s s ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数，知−≥a a s s 4,1,2.对该数列连续作四次变换2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7)()()()(后，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 4,14,24,34,44,54,64,74,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8减少4，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾；情况2：若−+−+−>a a a a a a s s s s s s 0,3,4,5,6,7,8，不妨设−>a a s s 0,3,4.情况2-1：如果−≥a a s s 1,3,4，则对该数列连续作两次变换2,4,5,7,2,4,6,8)()(后，新的19−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 2,12,22,32,42,52,62,72,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8至少减少2，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾；情况2-2：如果−≥a a s s 1,4,3，则对该数列连续作两次变换2,3,5,8,2,3,6,7)()(后，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 2,12,22,32,42,52,62,72,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8至少减少2，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的=j 1,2,3,4都有−≤−a a s j s j 1,21,2. 假设存在=j 1,2,3,4使得−=−a a s j s j 1,21,2，则+−a a s j s j ,21,2是奇数，所以+=+=+=+a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8都是奇数，设为+N 21.则此时对任意=j 1,2,3,4，由−≤−a a s j s j 1,21,2可知必有=+−a a N N s j s j ,,1,21,2}{}{. 而+++a a a a s s s s ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数，故集合=m a N s m ,}{中的四个元素i j s t ,,,之和为偶数，对该数列进行一次变换i j s t ,,,)(，则该数列成为常数列，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 1,11,21,31,41,51,61,71,8等于零，比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8更小，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾.综上，只可能−==−a a j s j s j 01,2,3,4,21,2)(，而+=+=+=+a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8，故=Ωa A s n ,)(}{是常数列，充分性得证.。

2023年高考全国甲卷数学(文)试题及参考答案2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案2023考全国甲卷的省份2023年高考使用全国甲卷的省份有云南、广西、贵州、四川、西藏。

这五个省份的语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。

总分为750分，其中，语文150分、数学150分、外语150分、理科综合/文科综合300分。

1、全国乙卷有：2022年使用全国乙卷地区：河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西.2、新高考全国一卷有：2022年使用全国一卷地区：山东、广东、河北、江苏、福建、湖北、湖南。

3、新高考全国二卷有：2022年使用全国二卷地区：海南、重庆、辽宁。

4、自主命题的省、市有：包括北京市、上海市、天津市、浙江省，即1个省3个直辖市。

全国甲卷和全国乙卷的区别?哪个更难?全国甲卷和全国乙卷的区别体现在难度不同、使用省份不同、考试科目内容不同等，具体如下：(1)、乙卷难度比甲卷高。

乙卷英语和物理科目能够明显看出来比甲卷难，不过一些学生会觉得甲卷更难一些，这根据学生学习的大体程度去判断。

总而言之，高考试卷难度无法进行量化，只是因人而异，有的考生掌握了试卷上的知识点，就会觉得非常容易，反之，就觉得难。

(2)、乙卷和甲卷使用的省份不同。

乙卷使用的省区：山西、河北、河南、安徽、湖北、湖南、江西、福建等等;甲卷使用的省区：陕西、重庆、青海、新疆、吉林、辽宁、内蒙古等等。

(3)、乙卷和甲卷里面的科目内容也不同。

乙卷科目：英语和综合;甲卷科目：数学、语文、英语。

2023高考数学的答题方法有哪些数学简答题与主观的填空和选择题不同，它需要有规范的答题技巧，当我们通过对条件的分析找到解题的方法之后，其书写的过程一定要按步骤来进行。

因为高考数学的评分是按照步骤来给分的，关键的步骤不能舍去。

所以在答题时尽量的要使用数学符号是比较严谨的，而且其推理思路的过程要缓缓紧扣，否则出现混乱的情况下会被扣分。

一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1977•北京）计算：．2．（10分）（1977•北京）化简：．3．（10分）（1977•北京）解方程：．4．（10分）（1977•北京）不查表求sin105°的值．5．（10分）（1977•北京）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）（1977•北京）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）（1977•北京）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）（1977•北京）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．9．（10分）（1977•北京）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1977•北京）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣=1+=0．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10分）（1977•北京）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：分子分母同乘以，整理可得．解答：解：原式=．点评：本题考查分母或分子有理化．3．（10分）（1977•北京）解方程：．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．解答：解：根据题意可知x≠1等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．∴原方程的解为x=2．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）（1977•北京）不查表求sin105°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）（1977•北京）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）（1977•北京）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，∴所求直线斜率k′=﹣2．故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）（1977•北京）证明：等腰三角形两腰上的高相等．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE．点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）（1977•北京）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．考点：余弦定理；解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案．解答：解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos，∠ACB=70米．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．9．（10分）（1977•北京）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y，则插入的两个数可求．解答：解：设此数列为2，x，y，30．于是有解得x=6，y=18．故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30．点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．10．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数图象与坐标轴的交点坐标．。