广东省东莞市2018届高三全国卷考前冲刺演练精品卷数学(理)试题+Word版含答案

高考数学三轮复习冲刺模拟试题01集合一、选择题1 ．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2 ．设集合{1}A x x a x R =-<∈，，B={x|1<x<5,x ∈Ｒ}，若A ⋂B=φ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a|0≤a ≤6}B ．{a|a ≤2，或a ≥4}C ．{a|a ≤0，或a ≥6}D ．{a|2≤a ≤4}3 ．已知集合2A ={|log<1},B={x|0<<c}x x x，若=A B B ，则c 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[1,+)∞C ．(0,2]D ．[2,+)∞二、填空题4 ．若不等式4+-2+1x m x≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈,集合{}2=--6<0B x R x x ∈,则集合=A B ___________.5 ．设集合是A={32|()=83+6a f x xax x -是(0，+∞)上的增函数}，5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈，则()R A B ð= ；6．试题）己知集合222{|28},{|240}xxA xB x x mx -=<=+-<, 若{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<<,则实数m 等于__________ .7 ．设集合{}1,R A x x a x =-<∈,{}15,R B x x x =<<∈,若∅=B A ,则实数a 取值范围是___________.三、解答题8 ．已知={()|1},B={()|3,0x 3}2A x,y y =-x+mx -x,y x+y =≤≤，若A B ⋂是单元素集，求实数m的取值范围.参考答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】{(3)0}{03}P x x x x x =-<=<<,={2}{22}Q x x x x <=-<<，所以{02}(0,2)P Q x x =<<=,选B.2. 【答案】C【解析】{1}{11}A x x a x R x a x a =-<∈==-<<+，,因为=A B φ，所以有15a -≥或11a +≤，即6a ≥或0a ≤，选C.3. 【答案】D【解析】2{log 1}{01}A x x x x =<=<<.因为A B B =，所以A B ⊆.所以1c ≥，即[1,)+∞，选B.二、填空题4. {}-1<3x x ≤; 5. 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】2()=2466f 'x x ax -+，要使函数在(0,)+∞上是增函数，则2()=24660f 'x x ax -+>恒成立，即14a x x <+，因为144x x +≥=，所以4a ≤，即集合{4}A a a =≤.集合5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈{15}y x =≤≤，所以{14}A B x x ⋂=≤≤，所以()=R A B ð(,1)(4,)-∞+∞.6. 【答案】32222{|28}{|230}{13}x xA x x x x x x -=<=--<=-<<，因为{|11},{|43}AB x x A B x x =-<<=-<<，所以由数轴可知{|41}B x x =-<<，即4,1-是方程2240x mx +-=的两个根，所以4123m -+=-=-，解得32m =。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，则U A B =ð（ ）A B C D 【答案】C【解析】(){U A B =ðC ．2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4ie表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+，因为4在第三象限，所以cos 40<，sin 40<，故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C ． 3．在区间[]02，上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ） A ．18B ．14C ．78D ．34【答案】A 【解析】如图：不妨设两个数为x ，y ，故3x y +>A ．4．下列命题中：①“1x >”是“21x >”的充分不必要条件②定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃≤，使得0012x x +<” ④已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =的定义域为[]0,1．正确命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①211x x >⇒>或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件； ②因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义区间为[],a b ，所以5b =，因此()25f x x =+最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃>，使得0012x x +<”； ④由条件得[]20,2 820xx ∈-≥⎧⎨⎩，[](]0,1,3x x ⎧∈⎪∴⎨∈-∞⎪⎩，[]0,1x ∴∈； 因此正确命题的个数为①②④，选C ．5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【答案】C【解析】执行程序：86x =，90y =，27s ≠；90x =，86y =，27s ≠；94x =，82y =，27s ≠；98x =，78y =，27s =，故输出的x ，y 分别为98，78．故选：C ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）22正视图侧视图俯视图AB CD 【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，D ．7．在平面直角坐标系xOy）． A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】B【解析】设a x y =+，b x y =-({,A x =∴，即100a a b a b ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩． 作出不等式组对应的平面区域如图：可知B 的面积为等腰直角三角形AOB 的面积，由10a a b =+=⎧⎨⎩解得11a b ==-⎧⎨⎩，即()11B -，，由10a a b =-=⎧⎨⎩解得11a b ==⎧⎨⎩，即()11A ，，∴三角形的面积故选B ．8C )0ω>关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,6626t ωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，ππ3π2262ωπ∴<-≤，D ． 9．已知函数()()21202x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(-∞C ．(,-∞D ．⎛- ⎝ 【答案】B【解析】()()21202x f x x x =+-<，当0x >时，0x -<，()()21202x f x x x --=+->，当()f x 关于y 轴对称的函数为()()21202x f x x x -=+->，0x >时有解，如图：当0x =时，21log 2a >，a <，则a 的取值范围是(-∞，故选B ． 10．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142n n S S n n n -++=≥∈，N ，若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．163⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．1653⎛⎫⎪⎝⎭，C ．1633⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()35，【答案】D【解析】∵214n n S S n -+=，()2141n n S S n ++=+，∴1184n n S S n +--=+，即184n n a a n ++=+，即21812n n a a n +++=+，故28n n a a +-=， 由1a a =知22124216a a +=⨯=，∴21162162a a a =-=-，23224336a S +=⨯=，()323623621642a S a a ∴=-=--=+，4242a a =-；若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<， 即16242242a a a a <-<+<-，解得35a <<．本题选择D 选项．11．设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --HR=（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 射影为O ，设AB a =，则PDC ∠为二面角P AB C --6PD OD ==7H R ∴=，故选C ． 12．若函数()y f x =，x M ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M []0,4=内的任意实数，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的假周期，函数()y f x =是M 上的a 级假周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级假周期且2T =，当[)0,2x ∈，若[]16,8x ∃∈，()20x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],12-∞C ．(],39-∞D ．[)12,+∞【答案】B【解析】根据题意，对于函数()f x ，当[)02x ∈，分析可得：当01x ≤≤当12x <<时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =又由函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级类周期函数，且2T =； 则在[)68x ∈，上，()()336f x f x ⋅=-则函数()f x 在区间[]68，上的最大值为272分析可得：在()01，上，()0g x '<，函数()g x 为减函数， 在()1+∞，上，()0g x '>，函数()g x 为增函数，则函数()g x 在()0+∞，上，得()g x 若[]168x ∃∈，，()20x ∃∈+∞，，使()()210g x f x ≤﹣成立，必有()()min max g x f x ≤m 范围为(],12-∞．故答案为：B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅等于________．【答案】232a【解析】∵菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，∴120BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，．∴3BD CD a ⋅= 故答案为：232a ．14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为____________． 【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA d AF PA d =++=++=++≥，填13． 15．已知点O 是ABC △的内心，60BAC ∠=︒，1BC =，则BOC △面积的最大值为_______．【解析】，在OBC △中，2222cos120BC OB OC OB OC =+-⋅⋅︒，2213OB OC OB OC OB OC =++⋅≥⋅，即13OB OC ⋅≤当OB OC = 16．已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线C 的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P ，Q 点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若2FM MQ =，则双曲线C 的离心率为__________． 【答案】5【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：PQ 过左焦点F 且垂直于x 轴，假设P 在Q 的上方，则P Q x x c ==-，将x c =-又由OE PM ∥，则EOB PFB △∽△，则EO c a =-，而EOA MFA △∽△整理可得：5c a =，则5e =，故双曲线的离心率为5．故答案为：5． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -=；（2【解析】（1）∵122n n S a +=-，11a =， ∴当1n =时，1222S a =-，得112111222S a a =-=-=；····1分 当2n ≥时，122n n S a -=-， ∴当2n ≥时，122n n n a a a +=-， 即112n n a a +=，····3分 又2112a a =，····4分 ∴{}n a 是以11a =为首项，12为公比的等比数列．····5分 ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a -=．····6分（2）由（1）知，()()11nn b n =--，····7分 ()()012311nn T n =-+-+-⋯+--，····8分 当n 为偶数时，2n nT =；····10分当n 为奇数时，()11122n n nT n --=--=，····12分 18．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n ∈N ）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）80243；（2）见解析． 【解析】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，）， 所以抽取的5辆单车中有2····4分（2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．····5分()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以ξ的分布列为：····8分ξ的数学期望为：()1n ++- ()2n ++-．② ①－②得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦123n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭2312222233333n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．····12分19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，····2分 所以BC AD ⊥．····3分又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，····4分而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD ．····5分（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，．····6分由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD =，所以30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒，，32BE AB AE a =-=，····8分 所以302D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，所以10AD ⎛= ，，()20AC a a =-，，． 设平面ACD 的一个法向量为()x y z =m ,,，则00AD AC ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=m m ，即取1y =，则2x =，z =····10分因为平面ABC 的一个法向量为()001=n ，，，····11分所以二面角D AC B --的余弦值为4．····12分20．已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=． （1）求动点B 的轨迹方程；（2）已知点()2,0P ，()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．xyA OBC DA依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，O 为AA '的中点，C 为AB 中点，2A B OC ∴'=．····1分 ∴动点B 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，····3分设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=．····5分（2）①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符．····6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x +=-．y 整理得()()222243168161680kx k k x k k +-+++-=．····7分 ∵直线l 与椭圆交于M ，N 两点， ∴()()()2222168443161680k kk k k ∆=+-++->，解得12k <．····8分 设()11,M x y ，()22,Nx y 21221616843k k x x k +-=+，····9分()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++2222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭（定值）．····12分 21．已知函数()()21e x f x x ax =--（e 是自然对数的底数） （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若x ∀∈R ，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],e 2-∞-． 【解析】（1）∵()()21e x f x x ax =--， ∴()()e 2e 2x x f x x ax x a '=-=-，····1分当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点；····2分当102a <<时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减， 在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；····3分当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点；····4分 当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点； 综上可得：当0a ≤时，()f x 有1个极值点； 当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点； 当12a =时，()f x 没有极值点．····5分 （2）由()3e x f x x x +≥+得32e 0*x x x ax x ---≥（）． ①当0x >时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≥，0x ∀>在0x >上恒成立．设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．0x >，()0h x '∴>，()h x ∴在()0,+∞上单调递增，()()00h x h ∴>=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=-，e 2a ∴≤-．····8分②当0x =时，不等式*（）恒成立，a ∈R ；····9分 ③当0x <时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≤． 设()2e 1x h x x ax =---，则()e 2x h x x a '=--．设()e 2x x x a ϕ=--，则()e 20x x ϕ'=-<，()h x '∴在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a ''∴≥=-．若1a ≤，则()0h x '≥，()h x ∴在(),0-∞上单调递增，()()00h x h ∴<=．若1a >，则有()010h a '=-<，00x ∴∃<，使得()0,0x x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,0x 上单调递减，()()00h x h ∴>=，舍去．1a ∴≤．综上可得，a 的取值范围是(],e 2-∞-．····12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分） 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1C经过伸缩变换： x xy '⎧='=⎪⎨⎪⎩得到曲线2C ． （1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos : sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B两点，且1AB =-，求α的值． 【答案】（1）[]()2230,π2cos 1ρθθ=∈+；（2）π3α=或2π3． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把x x ='，y y ='代入上述方程得，()22103y x y +=''≥'， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,π3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈++；····5分 （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，由1 ρθα==⎧⎨⎩，得1A ρ=，由223 2cos 1ρθθα=+=⎧⎪⎨⎪⎩，得1B ρ=>，11-=-，∴1cos 2α=±，而[]0,πα∈，∴π3α=或2π3．····10分23．选修4-5：不等式选讲()1g x bx =+． （1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4；（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）当1b = 因为()()12f x g x +的最小值为3，所以132a+=，解得8a =-或4．····5分 （2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<，因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <，即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭．····10分。

理科数学答案（I 卷）一、选择题1.A2.B3.D4.C5.B6.A7.B8. C9.C 10.C 11.D12.A 二、填空题13.12i -- 14.30 15.2 16.三、解答题17.解：（1）由题意知S n -n2()Sn+n 2+1()=0,因为0n a >，所以2n S n =. ………………………………4分当1n =时，11a =；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-.所以21n a n =-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. …………………6分（2）2111224242na n n n nb --===⨯=⨯，所以数列{}n b 是以2为首项，以4为公比的等比数列. ……………………………8分所以3212(14)2(41)222143n n n n S ---=+++==-. 即数列{}n b 的前n 项和2(41)3n n S -=. ……………………………………12分18.解：（1）22⨯列联表如下：3分222()100(28302220)100100= 2.072()()()()505048523940n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==>>++++⨯⨯⨯………5分所以有85%的把握认为：“成绩优秀”与所在教学班级有关. …………………6分 （2）由已知，甲、乙两个班级成绩在[60,70)的学生数分别为6人，8人，X 的取值为：0,1,2. …………………7分282144(0)13C P X C ===，116821448(1)91C C P X C ===，2621415(2)91C P X C ===………………10分 X 的分布列：X 的数学期望：448156()0121391917E X =⨯+⨯+⨯=.………………………………12分 19.解：（1）因为PA ⊥平面ABCD , 所以PA BD ⊥.又因为AC BD ⊥,AC∩PA A =.所以BD ⊥平面PAC , 所以BD PC ⊥. ………………………………2分 作//EF PA 交AC 于点F ，则EF ABCD ⊥平面. 在PAC △中，3PE EC =, //EF PA ，设AC BD O =，则OA OC =,AC=4. 易证得=1CF FO =. 因为4PA =，则1EF =.222222()()CE ED CF EF DF EF +=+++=(12+12)+(12+OD 2+12)=4+OD 2=OC 2+OD 2=CD 2. 所以EC ED ⊥，即PC ED ⊥,又BD PC ⊥，ED BD D =，所以PC ⊥平面BED . ………………………………5分 说明：也可以建立坐标系，运用向量证明.（2）如图所示，以O 为坐标原点，分别以OC ，OD 的方向为x 轴，y 轴正方向，建立空间 直角坐标系.因为BA BC ⊥，BD 垂直平分AC ，所以OB 为直角三角形ABC 的斜边上的中线. 所以OA OB OC ==.因为2OC =，2OB =.由tan 2ACD ∠=，得4OD =.(20,4),02,0,(0,4,0),(2,0,0),P B D C --，（，）(2,4,4),PD =-(4,0,4).PC =-设平面PBD 的一个法向量为(,)x y z =,m , 则()(,,)0PB x y z ⋅=⋅=2,-2,-4m ，(244)(,,)0PD x y z ⋅=-⋅=，，m ， 即020x y z x y z -=⎧⎨+=⎩-2，-2， 得0y =.取1z =，则2x = (201)=，，m . ……………………………… 8分 由（1）可知(4,0,4)PC =-为平面BED 的一个法向量， ………………………………9分所以cos ,10PC <>==，，m . ………………………………10分 由图可知，所求的二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为10. ………………………………12分 20.解：（1）设P 点坐标为00(,)P x y ，由题意知：(,0),(,0)A a B a -，且2200221x y a b+=，则2222000022222000034PA PB y y y x a b b k k x a x a x a a x a a ⎛⎫-⋅=⋅==-⋅=-=- ⎪+---⎝⎭， 即2234a b =.① ………………………………3分又因为椭圆C 经过点3(1,)2，故229141a b +=.② 由①②可知：223, 4.b a ==故椭圆的标准方程为22143x y +=. ………………………………5分（2）可知(2,0),(2,0)A B -，设(0)PA k k k =≠，由34PB k k ⋅=-，得：34PB k k=-. 所以直线PB 方程为：3(2)4y x k =--，令1,x =-则94y k =，故9(1,)4M k-.直线PA 方程为：(2)y k x =+，令1,x =-则y k =，故(1,)N k -.………………………………7分如图，因为99044M N y y k k =⋅=>， 故以MN 为直径的圆在x 轴同侧.设FT 为圆的一条切线，切点为T,连结MT,NT ， 可知FTNFMT ∆∆,………………………………9分故FTFN FMFT =,则29944FT FM FN k k =⋅=⋅=, 故32FT =. ………………………………11分 故过左焦点F 作以MN 为直径的圆的切线长为定值32. ………………………………12分 21.解：（1）对()f x 求导得()f x '=22)e (e e 2x x x x x a ⋅-⋅⋅=xx x a e )2(-⋅. …………2分 （ⅰ）若0a ＞，当(02)x ∈，时，()0f x '＞，当(0)x ∈-∞，或(2)x ∈+∞，时，()0f x '＜， 所以()f x 在(02)，上单调递增，在(,0),(2,)-∞+∞上单调递减． （ⅱ）若0a ＜，当(02)x ∈，时，()0f x '＜，当(0)x ∈-∞，或(2)x ∈+∞，时，()0f x '＞， 所以()f x 在(02)，上单调递减，在(0)(2)-∞+∞，，，上单调递增． …………………4分 （2）记函数()()(h x f x x =--x 1)2e x x x -=-+x10x （＞）， 下面考察函数()y h x =的符号． 对函数()y h x =求导得()h x '=x x x e )2(-1--21x 0x （＞）． 当2x ≥时，()0h x '＜恒成立． 当02x ＜＜时，(2)1x x -≤， 从而()h x '=x x x e )2(-1--21x ≤x e 11--21x 11--＜21x =-21x ＜0． ()0h x '∴<在(0,)+∞上恒成立，故()y h x =在(0,)+∞上单调递减.1243(1)e 0(2)0,e 2h h -==-<＞， (1)(2)0h h ∴⋅＜．又曲线()y h x =在[1,2]上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知：存在惟一的1(12)x ∈，，使1()0h x =， 所以，当1(0)x x ∈，时，()0h x ＞，当1()x x ∈+∞，时，()0h x ＜． …………6分 ∴ ()g x =212211(0(e xx cx x x xx cx x x ⎧--<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩)，). ∴ ()g x '=121112(0(2)2().e x cx x x x x x cx x x ⎧+-<≤⎪⎪⎨-⎪->⎪⎩)，由上述讨论过程可知曲线()y g x =在(0)+∞，上连续不断.又函数()g x 为增函数，所以()0g x '≥在11(0)()x x +∞,，，上恒成立． …………8分 ①当1x x ＞时，x x x e )2(-–20cx ≥在1()x +∞，上恒成立， 即2c ≤xxe2-在1()x +∞，上恒成立． 记()u x =x x e 2-，1()x x ∈+∞，，则()u x '=xx e 3-，1()x x ∈+∞，， 当x 变化时，()()u x u x '，变化情况如下表：∴min ()(3)u x u ==-3e1． 故“2c ≤xxe2-在1()x +∞，上恒成立”只需 min 2()c u x ≤=-3e 1，即c ≤-32e1． …………10分 ②当10x x ＜＜时，()1g x '=+21x 2cx -， 当0c ≤时，()0g x '＞在1(0)x ，上恒成立． 综合①，②知，当c ≤-32e1时，函数()g x 在(0)+∞，为增函数． 故实数c 的取值范围是(-∞-，32e1]． …………………12分22.解：（1）圆C 的普通方程为22(1)4x y -+=，直线l 的方程可化为sin cos 1ρθρθ-=-，即直线l的直角坐标方程为10x y -=. ……………………5分 （2）圆心C 到l的距离为1d ==，所以AB ==又因为圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为213r d +=+=， ………………8分 所以max 11()3322MAB S AB =⨯⨯=⨯=△即MAB △面积的最大值为………………10分23.解：（1）证法Ⅰ：222222222214144()()59b a a b a b a b a b +=++=++≥，当且仅当222b a =时，“=”号成立.所以 2222221449b a a b a b++=≥，即 222249a b a b +≥. …………………………5分 证法Ⅱ：因为221a b +=， 所以22222244222222224=(4)()45459a b a b a b a b a b a b a b a b +++=++≥+=，当且仅当222b a =时，“=”号成立. ……………5分 （2）证法Ⅰ：因为2233326422466336()()332a b a b a a b a b b a a b b +-+=+++---=a 2b 2(3a 2+3b 2-2ab )=a 2b 22a 2+2b 2+(a -b )2éëùû>0，所以223332()()a b a b +>+，又221a b +=，所以332()1a b +< ………………10分 证法Ⅱ：因为0,0a b >>，且221a b +=，所以,(0,1)a b ∈，所以3232,a a b b <<，3322a b a b +<+，所以 332222()()1a b a b +<+=. ………………10分。

2018年广东高考数学测试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共150分．考试时间120分钟．（考试时间：2018年8月26日）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率kn k k n n P P C k P --=)1()(第 I 卷 （选择题 共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A ．［0,2］B ．［1,2］C ．［0,4］D ．［1,4］ 2．已知=+-=+ni m i n m ni im 是虚数单位，则是实数，，，其中11A ．1+2iB ． 1–2iC ．2+iD ．2–i 3．已知0＜a ＜1，lo g lo g 0a a m n <<，则A ．1＜n ＜mB ． 1＜m ＜nC ．m ＜n ＜1D ．n ＜m ＜1 4．若α是第二象限的角，且2s in 3α=，则=αcosA ．13B ． 13- C ． 3D ． 3-5．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 A ． 12 B ． 24 C ．16 D ． 486．三棱锥D —ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角A —BC —D 的大小为A ． 300B ． 450C ．600D ．900 7． 已知变量a ，b 已被赋值，要交换a 、b 的值，采用的算法是A ．a=b, b=aB ．a=c, b=a, c=bC ．a=c, b=a, c=aD ．c=a, a=b, b=c8．已知点M （－3，0），N （3，0），B （1，0），圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8yx x -=<- B ．)1(1822>=-x yxC ．1822=+yx （x > 0） D ．221(1)10yx x -=>第 Ⅱ 卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i为虚数单位，则复数4i3i（）A．13i B．13i C．3i D．3i 【答案】A【解析】4i3i4i13i3i3i3i，故选A．2．已知集合|lg21A x x，集合2|230B x x x，则A B（）A．2,12B．1,3C．1,12D．2,3【答案】C【解析】|lg21A x x|02102,12x x，2|230B x x x1,3，所以A B1,12，选C．3．如图，四边形OABC是边长为2的正方形，曲线段DE所在的曲线方程为1xy，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A．32ln24B．12ln24C．52ln24D．12ln24【答案】A【解析】根据条件可知，122E，，阴影部分的面积为22112211122ln |22ln 2ln32ln 222dx x x x，所以，豆子落在阴影部分的概率为32ln 24．故选A ．4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a ，3b ．则ABCS △（）A ．2B ．3C ．32D ．2【答案】C【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B，∴由余弦定理得：2222cos bacac B ，得：2c，∴由正弦定理得：13sin 22ABCS ac B△，故选C ．5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】几何体如图，则体积为332=64，选Ｂ．6．已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间,0上单调递增．若实数a满足2133a f f，则a 的最大值是（）A ．1B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数f x 是定义在R 上的偶函数，则3f=3f ，又由f x 在区间,0上单调递增，则f x 在0,上递减，则2133a f f 2133a f f 2133a﹣≤121233a﹣，则有1212a ﹣，解可得34a ，即a 的最大值是34，故选D ．7．在平面直角坐标系中，若不等式组221210x yx axy （a 为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线2y ax 的准线方程为（）A ．124yB ．124xC ．32xD ．32y【答案】D 【解析】由题意得111121122a a ，16a，26xy ，即准线方程为32y，选D ．8．在3nx x 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为（）A ．50B ．70C ．90D ．120【答案】C【解析】在3nxx中，令1x 得134nn，即展开式中各项系数和为4n；又展开式中的二项式系数和为2n．由题意得42322n nn，解得5n．故二项式为53xx，其展开式的通项为355215533rr rr rr rT CxC xx，0,1,2,3,4,5r．令2r 得222235390T C xx ．所以2x 的系数为90．选C ．9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y ，则100500300100007x y xy，12.587.5x y，A 中12.5x ；B 中正确；C 中87.5x，12.5y ；D 中12.5x ，所以选B ．10．已知函数sin 3cos 0f x xx，若集合0,π1xf x含有4个元素，则实数的取值范围是（）A ．35,22B ．35,22C ．725,26D ．725,26【答案】D【解析】由题得π2sin3f xx，π2sin 13x，π1sin 32x，解得：ππ2π36x k 或7π2π6k k Z ，所以π2π6k x 或3π2π2k xkZ ，设直线1y 与yf x 在0,上从左到右的第四个交点为A ，第五个交点为B ，则3π2π12Ax k此时，π4π26Bx k此时．由于方程1f x 在0,π上有且只有四个实数根，则<πB A x x ，即3π2ππ4ππ26，解得72526，故选D ．11．已知三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PA平面ABC ，ABC△是边长为2的等边三角形，若球O 的体积为82π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（）A ．31111B ．21111C ．31010D ．1010【答案】A 【解析】由球体积3482π33R知球半径为2R ，设ABC △的外心为M ，由正弦定理22πsin3AM 得233AM，由2222PA AM得263PA，设AB 的中点为N ，则CN 平面PAB ，连接PN ，则CPN 为直线与平面所成的角，2433193PN，3CN ，311tan 11CN CPNPN，故选A ．12．设P 为双曲线2222:1,0x y C a bab上一点，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，212PF F F ，若12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．4C ．2或3D ．4或53【答案】D【解析】∵1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，∴1,0F c ，2,0F c ，∵212PF F F ，∴点P 在双曲线的右支，12PF F △的内切圆半径为12212222F F PF PF c aca ．设1PF x ，则22PF x a ．∵2221212PF PF F F ，即22222x x ac ，∴22ac xa，即12PF F △的外接圆半径为222aca．∵12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，∴221726ac c a a，即22201730a ac c ．∴2317200ee ∴53e 或4，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知2,1a ，1,0b，1,2c，若a 与m b c 平行，则m __________．【答案】-3【解析】已知2,1a ，1,2m m b c ，若a 与m b c 平行则143mm，故答案为：-3．14．已知点2,0A，0,2B 若点M 是圆22220x yx y 上的动点，则ABM△面积的最小值为__________．【答案】2【解析】将圆22:220M x yx y 化简成标准方程22112x y ，圆心1,1，半径2r，因为2,0A ，0,2B ，所以22AB ，要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心1,1到直线AB 的距离为22，所以ABM S △的最小值为min11222222AB d ，故答案为2．15．cos85sin 25cos30cos 25_____________．【答案】12【解析】cos 6025sin 25cos30cos85sin 25cos30cos25cos25，133cos 25sin 25sin 251222cos252，故答案为12．16．记ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave2,,122A x x x ，11max2,,122Mx x x ，若31MA ，则x 的取值范围是__________．【答案】| 4 2x xx或．【解析】作出112122Mmaxx x x ，的图象如图所示由题意1113A，故031x x A xx x ，，，31M A ，当0x 时，122x x，得4x，当01x 时，122x x ，得43x ，舍去，当12x 时，112xx ，得2x ，舍去，当2x时，x x ，恒成立，综上所述，x 的取值范围是|42x xx或．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知数列n a 的前n 项和为n S ，且满足413n nS a ，*nN ．（1）求数列n a 的通项公式；（2）令2log nn b a ，记数列111n nb b 的前n 项和为n T ，证明：12nT ．【答案】（1）*4nna n N ；（2）见解析．【解析】（I ）当1n 时，有111413a S a ，解得14a ．……1分当n ≥2时，有11413nn S a ，则11441133nnnnna S S a a ，……3分整理得：14nn a a ，……4分数列n a 是以4q为公比，以14a 为首项的等比数列．……5分1*444n nna nN，即数列n a 的通项公式为：*4nn a n N．……6分（2）由（1）有22log log 42nn nb a n ，……7分则11111=11212122121n n b b n n n n ，……8分11111335572121n T n n 11111111121335572121n n ……10分11112212n ，故得证．……12分18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户．若00.6x ，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x ，则认定该户为“低收入户”；若100y ，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布列和数学期望E ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）．【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P．……3分（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分的可能值为0，1，2，3．从而……5分3631020101206C PC，……6分124631060111202C C P C ，……7分2146310363212010C C P C ，……8分3431041312030C P C．……9分所以的分布列为：故的数学期望11311201231.262103010E．……10分（3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差．……12分19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC △是边长为2的等边三角形，D为BC 的中点，侧棱13AA ，点E 在1BB 上，点F 在1CC 上，且1BE，2CF．（1）证明：平面CAE 平面ADF ；（2）求二面角FADE 的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）1010．【解析】（1）∵ABC △是等边三角形，D 为BC 的中点，∴ADBC ，∴AD平面11BCC B ，得ADCE ．①……2分在侧面11BCC B 中，1tan 2CD CFDCF，1tan 2BE BCEBC，∴tan tan CFD BCE ，CFDBCE ，∴90BCEFDCCFDFDC，∴CEDF ．②……4分结合①②，又∵AD DFD ，∴CE 平面ADF ，……5分又∵CE平面CAE ，∴平面CAE平面ADF ，……6分（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz ．则300A ，，，012F ，，，011E ，，．得300DA，，，012DF，，，011DE，，，……7分设平面ADF 的法向量x y z ，，m ，则00DA DFm m ，即3020x y z得02x yz取021，，m ．……9分同理可得，平面ADE 的法向量011，，n ，……10分∴2110cos 1052，m n m nm n，……11分则二面角F ADE 的余弦值为1010．……12分20．已知定点3,0A 、3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点,0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）22139xyx ；（2）见解析．【解析】（1）设动点,M x y ，则3MAy k x ，3MBy k x3x ，19MA MBk k ，即1339y y x x．……3分化简得：2219xy ，……4分由已知3x，故曲线C 的方程为2219xy3x ．……5分（2）由已知直线l 过点1,0T ，设l 的方程为1x my ，则联立方程组22199x my xy，消去x 得229280m ymy ，设11,P x y ，22,Q x y ，则1221222989m y y m y y m，……7分直线SP 与SQ 斜率分别为11111SPy y k x smy s，22221SQy y k x smy s，121111SP SPy y k k my s my s1222121211y y m y y m sy y s2228991s ms．……10分当3s时，282991SP SPk k s；当3s 时，2811891SP SPk k s．所以存在定点3,0S ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．……12分21．设0a，已知函数ln f xx xa ，0x．（1）讨论函数f x 的单调性；（2）试判断函数f x 在0,上是否有两个零点，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）函数f x 没有两个零点．【解析】（1）11'2f x x ax ，……1分22'02220f x x a xxa xa，22'0220f x xa xa ，设2222g xxa x a ，则161a ，①当1a 时，0，0g x ，即'0f x，∴f x 在0,上单调递增；……3分②当01a 时，0，由0g x得142412212a ax aa ，2221x a a ，可知120x x ，由g x 的图象得：f x 在0,221a a 和221,a a 上单调递增；f x 在(221,aa 221)aa 上单调递减．……5分（2）假设函数f x 有两个零点，由（1）知，01a ，因为0ln 0f a ，则20f x ，即22ln x x a ，由2'0f x 知222x ax ，所以22ln 2x x （），设2x t ，则ln 2tt （＊），……8分由22211,4x a a，得1,2t，设ln 2h tt t ，得1'10h tt，所以h t 在1,2递增，得11ln20h th ，即ln 2t t ，……11分这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数f x 没有两个零点．…12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点,1P a ，其参数方程为212x a t yt（t为参数，a R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos4cos0．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB ，求实数a 的值．【答案】（1）10xya ，24y x ；（2）136a 或94．【解析】（1）1C 的参数方程212x a t yt，消参得普通方程为10x y a ，……2分2C 的极坐标方程为2cos4cos0两边同乘得222cos4cos0即24y x ；……5分（2）将曲线1C 的参数方程22212xa tyt（t 为参数，a R ）代入曲线224C yx ：，得2121402t t a，……6分由21241402a，得0a，……7分设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t 即122t t 或122t t ，…8分当122t t 时，121212222214t t t t t t a ，解得136a，……9分当122t t 时，121212222214t t t t t t a解得94a，综上：136a或94．……10分23．选修4-5：不等式选讲已知xR ，使不等式12x xt 成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n ，对t T ，不等式33log log m nt 恒成立，求22mn 的最小值．【答案】（1）{|1}tTt t；（2）18．【解析】（1）令1,11223,121,2x f xx x x xx，……2分则11f x，……4分由于xR 使不等式12x xt 成立，有{|1}tTt t．……5分（2）由（1）知，33log log 1m n ，根据基本不等式3333log log 2log log 2m nm n，从而23mn，当且仅当3mn时取等号，……7分再根据基本不等式26m n mn，当且仅当3mn 时取等号．所以m n 的最小值为6．……10分。

广东省2018届普通高校招生全国统一考试模拟试卷（一）数学（理科）本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}{}2|111,|1A x x B x x =-<-<=<，则AB =（ ）A ．{}|1x 1x -<<B ．{}|01x x <<C ．{}|1x x <D ．{}|02x x << 2．设复数()4z a i a R =+∈，且()2i z -为纯虚数，则a = （ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．-23．右图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环 到9环）的概率是（ ）A ．320 B ．325π C ．325 D ．20π 4．已知函数()f x 满足332x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象在1x =处的切线斜率为（ ）A ．0B ． 9C ．18D ．275．已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点，点F 到C 的一条渐近线的距离为2a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．22B 3 C. 5 D ．26．()5112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ） A ． 120 B ．160 C ．100 D ．807．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．488π+B ．968π+C ．9616π+D ．4816π+8．已知曲线:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 （ ） A ．把C 向左平移512π个单位长度，得到的曲线关于原点对称B ．把C 向右平移6π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称 C. 把C 向左平移3π个单位长度，得到的曲线关于原点对称D ．把C 向右平移12π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过 程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数 学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是 序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32， 40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个中，可以先后填入（ ）A ．n 是偶数，100n ≥B ．n 是奇数，100n ≥C ．n 是偶数，100n >D ．n 是奇数，100n > 10．在ABC ∆中，角,,C A B 所对的边分别为,,a b c ，若3A π=，且2sin 2sin 3b B c C bc a +=，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．332 B ．32 C ．334D ．3411．已知抛物线2:,C y x M =为x 轴负半轴上的动点，,MA MB 为抛物线的切线，,A B 分别为切点，则MB MA ⋅的最小值为 （ ） A ．116-B ．18- C. 14- D ．12- 12．设函数()1222,21130,2x x f x x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则2222a b c d+++的取值范围是 （ ）A ．()6422,146B ．()98,146C ．()6422,266 D ．()98,266二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．已知单位向量21,e e 的夹角为30°，则=-213e e ．14．设,x y 满足约束条件6456543x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值为 ．15．已知0sin10cos102cos140m +=，则m = ．16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,CDG,ADH ABE BCF ∆∆∆∆，使得 ,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足15a =，且3611,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13-⋅=n n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求()2P X ≤和X 的数学期望.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y ；求x y >的概率. 19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,AD BC AB BC ⊥，且24,,BC AD E F ==分别为线段,AB DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形.（1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求二面角F BD C --的余弦值.步数/步 0～3000 3001～6000 6001～8000 8001～10 000 10 000以上 男生人数/人 1 2 7 15 5女性人数/人 0 3 7 9 120．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C过点⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（点,P Q 均在第一象限），l 与x 轴，y 轴分别交于,M N两点，且满足2222PMO QMOPNO QNOPMO QMOPNO QNOS S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆++=（其中O 为坐标原点）.证明：直线l 的斜率为定值.21．（本小题满分12分）已知函数()()()2ln 1x f x x e a x x =-+-+. （1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （2）若函数()f x 的最小值为e -，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆()()221:2420C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，()2:3C R πθρ=∈.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O M 、，3C 与1C 的交点为O N 、，求OMN ∆的面积.23．（本小题满分12分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()331,412f x x a x g x x x =-++=--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在13,x x R ∈，使得()1f x 和()2g x 互为相反数，求a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5:BDACC 6-10: ABDDC 11、12：AB二、填空题13. 1 14. 215.16.27三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3611,,a a a 成等比数列，所以26311a a a =，即()()()21115210a d a d a d +=++，化简得1520d a -=，又15a =，所以2d =，从而23n a n =+. （2）因为()1233n n b n -=+， 所以()0121537393233n n S n -=⨯+⨯+⨯+++， 所以()1233537393233n n S n =⨯+⨯+⨯+++， 以上两个等式相减得()()133********n n n S n ---=+⨯-+，化简得()131nn S n =+-.18.解：（1）被系统评为“积极性”的概率为3033,3,5055X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故()3398215125P X ⎛⎫≤=-= ⎪⎝⎭，X 的数学期望()39355E X =⨯=；（2）“x y >”包含“3,2x y ==”，“ 3,1x y ==”，“ 3,0x y ==”，“ 2,1x y ==”，“ 2,0x y ==”，“ 1,0x y ==”，()3242326413,y 230C C P x C C ===⨯=，()311422326423,115C C C P x y C C ===⨯=，()3042326413,130C C P x y C C ===⨯=，()210422326412,110C C C P x y C C ===⨯=，()210422326412,010C C C P x y C C ===⨯=，()122422326411,030C C C P x y C C ===⨯=，所以()121211113015305103015P x y >=+++++=. 19.（1）证明：由题可得//EF AD ，则AE EF ⊥，又AE CF ⊥，且EF CF F =，所以AE ⊥平面EBCF . 因为AE ⊂平面AEFD ，所以平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）解：过点D 作//DG AE 交EF 于点G ，连结BG ，则DG ⊥平面EBCF ，DG EC ⊥， 又,BD EC BD DG D ⊥=，所以EC ⊥平面,BDG EC BG ⊥，易证EGBBEC ∆∆，则EG EBEB BC=，得22EB = 以E 为坐标原点，EB 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，，则()(()(()0,3,0,0,2,22,22,4,0,A 0,0,22,22,0,0F D C B .故()()()(22,2,22,0,1,22,0,4,0,22,2BD FD BC CD =-=-==--，设(),,n x y z =是平面FBD 的法向量，则22220220n BD x y z n FD y z ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩，令1z =，得()3,22,1n =，设(),,m a b c =是平面BCD 的法向量，则40222220m BC b m CD a b c ⎧==⎪⎨=--+=⎪⎩，令1a =，则()1,0,1m =，因为42cos ,318n m n m n m===⨯，所以二面角F BD C --的余弦值为23.20.解：（1）由题意可得221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ， 由12121111,,,2222PMO QMO PNO QNO S MO y S MO y S NO x S NO x ∆∆∆∆====， 化简得222212121212y y x x y y x x ++=，()()222222121212121212121222,y y x x y y x x y y x x y y x x --++-=-=，即21212y y k x x =， 由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=，则()()()222222641614116410k m k mk m ∆=-+-=-+>，且()2121222418,1414m kmx x x x k k --+==++， 故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，因此()2212122121212k x x km x x m y y k x x x x +++==，即22228014k m m k -+=+， 又0m ≠，所以214k =，又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率为定值. 21.解：（1）()()()()()11110xxx xe a f x x e a x x x --⎛⎫'=-+-=> ⎪⎝⎭，令()()()()0,10xxg x xe a x g x x e '=->=+>，故()g x 在()0,+∞上单调递增，则()()0g x g a >=-，因此，当0a ≤或a e =时，()f x '只有一个零点； 当0a e <<或a e >时，()f x '有两个零点；（2）当0a ≤时，0xxe a ->，则函数()f x 在1x =处取得最小值()1f e =-，当0a >时，则函数xy xe a =-在()0,+∞上单调递增，则必存在正数0x ，使得000xx e a -=，若a e >，则01x >，函数()f x 在()0,1与()0,x +∞上单调递增，在()01,x 上单调递减， 又()1f e =-，故不符合题意.若a e =，则()01,0x f x '=≥，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 又()1f e =-，故不符合题意.若0a e <<，则001x <<，设正数()10,1e ab e--=∈，则()()()12ln 1ln 1e ba e fb b e a b b a e b a b e ab e a --⎛⎫⎛⎫=-+-+<-+=--=--<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()f x 的最小值为e -矛盾， 综上所述，0a ≤，即(],0a ∈-∞.22.解：（1）因为圆1C 的普通方程为22480x y x y +--=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=， 所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，2C的平面直角坐标系方程为y =；（2）分别将,36ππθθ==代入4cos 8sin ρθθ=+，得1224ρρ=+=+则OMN ∆的面积为((124sin 8236ππ⎛⎫⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭23.解：（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<，得1x >-，无解； 当124x -<<时，516x --<，得75x >-，即7154x -<<；当14x ≥时，336x -<，得134x ≤<， 综上，()6g x <的解集为7|35x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）因为存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =-成立， 所以(){}(){}|,|y g ,y y f x x Ry x x R =∈=-∈≠∅，又()()()331333131f x x a x x a x a =-++≥--+=+， 由（1）可知()9,4g x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，则()9,4g x ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦，所以9314a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（一）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数()i z a a =+∈R 的共轭复数为z ，满足1z =，则复数（ ） A ．2i +B ．2i -C ．1i +D ．i2．集合()1=0,sin 12A θθ⎧⎫∈π⎨⎬⎩⎭＜≤，14B ϕϕ⎧⎫π=<<⎨⎬⎩⎭，则集合AB =（ ）A ．42θθ⎧⎫ππ<<⎨⎬⎩⎭B ．16θθ⎧⎫π<<⎨⎬⎩⎭C ．62θθ⎧⎫ππ<<⎨⎬⎩⎭D ．14θθ⎧⎫π<<⎨⎬⎩⎭3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．344．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移6π个单位长度后得到函数sin 22y x x =+的图象，则ϕ的可能值为（ ）A ．0B ．6π C ．3π D ．12π 5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为（ ） A ．6210⨯枚B ．62.0210⨯枚C ．62.02510⨯枚D ．62.0510⨯枚6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图侧视图A ．2π+B ．1+πC ．2+2πD ．12π+7．如图的程序框图，当输出15y =后，程序结束，则判断框内应该填（ ） A ．1x ≤B ．2x ≤C ．3x ≤D ．4x ≤8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．2xx y =B ．22xy =-C ．e xy x =-D ．|2|2x y x =﹣此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号9．若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线被抛物线24y x =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．14B ．1C ．2D ．410．若x 错误！未找到引用源。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

广东省东莞市2018届高三理科数学模拟试卷(三>一、选择题<每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B等于A．{x|－1<x<2} B．{x|x>－1}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<2} 2．已知函数y＝tan ωx在错误!内是减函数，则b5E2RGbCAP A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0C．ω≥1 D．ω≤－13．对于等比数列{an}，已知a4，a12是方程2x2－11x＋6＝0的两根，则a8等于A.错误!B．3C．±错误!D．±34．数列{an}中，若an＋1＝错误!，a1＝1，则a6等于A．3 B.错误!C．11 D.错误!5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A>等于p1EanqFDPwA.错误!B.错误!C.错误!D.错误!DXDiTa9E3d6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm>，可得这个几何体的体积是A．4 cm3B．5 cm3C．6 cm3D．7 cm37．已知抛物线y2＝2px (p>0>的准线与圆(x－3>2＋y2＝16相切，则p的值为A.错误!B．1 C．2 D．4 8．已知函数f(x>＝loga(x2－ax＋3> (a>0，且a≠1>满足：对任意实数x1，x2，当x1<x2≤错误!时，总有f(x1>－f(x2>>0，则实数a的取值范围是RTCrpUDGiTA．(0,3> B．(1，＋∞>C．(2,2错误!> D．(1,2错误!>5PCzVD7HxA二、填空题<每小题5分，共30分）<一）必做题<第9—13题）9．设函数f(x>＝(x＋1>(x＋a>是偶函数，则a＝______.10．若(1＋mx>6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为.jLBHrnAILg11．若关于x，y的不等式组错误!表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．xHAQX74J0X12．已知函数f(x>＝错误!且关于x的方程f(x>＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的范围是__．LDAYtRyKfE13．设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝错误!}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B＝______________.Zzz6ZB2Ltk<二）选做题<第14—15题，考生只能从中选做一题）14.<坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .15.<几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,且，∠ABP=∠ABC,是圆上一点使得，则.三、解答题<共80分）16.<本题满分12分）已知函数f(x>＝2cos x(sin x－cos x>＋1，x∈R.(1>求函数f(x>的最小正周期；(2>求函数f(x>在区间错误!上的最小值和最大值．dvzfvkwMI1 17. <本题满分12分）某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为错误!的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过错误!，且他直到参加第二次考核才合格的概率为错误!.rqyn14ZNXI(1>求小李第一次参加考核就合格的概率P1；(2>求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X>．18. <本题满分14分）如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.EmxvxOtOco(1>证明：SE＝2EB；(2>求二面角A－DE－C的大小．19. <本题满分14分）如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝错误!|PD|.SixE2yXPq5(1>当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2>求过点(3,0>且斜率为错误!的直线被C所截线段的长度．20. <本题满分14分）设数列{bn}满足：b1＝错误!，bn＋1＝b错误!＋bn，6ewMyirQFL(1>求证：错误!＝错误!－错误!；kavU42VRUs(2>若Tn＝错误!＋错误!＋…＋错误!，求Tn的最小值．y6v3ALoS8921．<本题满分14分）函数f(x>＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x>上的点P(1，f(1>>的切线方程为y＝3x＋1.M2ub6vSTnP(1>若y＝f(x>在x＝－2时有极值，求f(x>的表达式；(2>在(1>的条件下，求y＝f(x>在[－3,1]上的最大值；(3>若函数y＝f(x>在区间[－2,1]上单调递增，求实数b的取值范围．东莞市2018届高三理科数学模拟试卷(三>参考答案一、选择题：<每小题5分，共40分）DBAD BACD二、填空题：<每小题5分，共30分）9.-1 10. 1或－3 11 . (－1,2>12. (1，＋∞>0YujCfmUCw13. [0,1>∪(2，＋∞> 14. 15.三、解答题<共80分）16. <本题满分12分）解：(1>f(x>＝2cos x(sin x－cos x>＋1＝sin 2x－cos 2x＝错误!sin错误!，eUts8ZQVRd因此函数f(x>的最小正周期为π.(2>f(x>＝错误!sin错误!在区间错误!上为增函数，sQsAEJkW5T在区间错误!上为减函数，GMsIasNXkA又f错误!＝0，f错误!＝错误!，TIrRGchYzgf错误!＝错误!sin错误!7EqZcWLZNX＝－错误!cos 错误!＝－1，函数f(x>在区间错误!上的最大值为错误!，最小值为－1.lzq7IGf02E17.<本题满分12分）解：(1>由题意得(1－P1>·错误!＝错误!，zvpgeqJ1hk∴P1＝错误!或错误!.∵P1>错误!，∴P1＝错误!.(2>由(1>知小李4次考核每次合格的概率依次为错误!，错误!，错误!，1，NrpoJac3v1所以P(X＝1>＝错误!，P(X＝2>＝错误!，P(X＝3>＝错误!错误!×错误!＝错误!，1nowfTG4KIP(X＝4>＝错误!错误!错误!×1＝错误!，fjnFLDa5Zo所以X的分布列为∴E(X>＝1×错误4×错误!＝错误!.tfnNhnE6e5 18. <本题满分14分）证明：(1>以D为坐标原点，线段DA，DC，DS所在的直线分别为x 轴，y轴，z轴，建立直角坐标系D－xyz.设A(1,0,0>，则B(1,1,0>，C(0,2,0>，S(0,0,2>．S错误!＝(0,2，－2>，B错误!＝(－1,1,0>．HbmVN777sL设平面SBC的法向量为n＝(a，b，c>，由n⊥S错误!，n⊥B错误!，得n·S错误!＝0，n·B错误!＝0.V7l4jRB8Hs故2b－2c＝0，－a＋b＝0.令a＝1，则b＝1，c＝1，n＝(1,1,1>．又设S错误!＝λ错误!(λ＞0>，83lcPA59W9则E错误!，mZkklkzaaPD错误!＝错误!，AVktR43bpwD错误!＝(0,2,0>．设平面CDE的法向量m＝(x，y，z>，由m⊥D错误!，m⊥D错误!，ORjBnOwcEd得m·D错误!＝0，m·D错误!＝0.2MiJTy0dTT故错误!＋错误!＋错误!＝0,2y＝0.gIiSpiue7A令x＝2，则m＝(2,0，－λ>．由平面DEC⊥平面SBC，得m⊥n所以m·n＝0,2－λ＝0，λ＝2.故SE＝2EB.解：(2>由(1>知D错误!＝错误!，取DE中点F，则F错误!，uEh0U1YfmhF错误!＝错误!，IAg9qLsgBX故F错误!·D错误!＝0，由此得FA⊥DE.WwghWvVhPE又E错误!＝错误!，asfpsfpi4k故E错误!·D错误!＝0，由此得EC⊥DE，向量F错误!与E错误!的夹角等于二面角A －DE－C的平面角．ooeyYZTjj1于是cos〈F错误!，E错误!〉＝错误!＝－错误!，BkeGuInkxI所以二面角A－DE－C的大小为120°.19.<本题满分14分）解：(1>设M的坐标为(x，y>，P的坐标为(xP，yP>，由已知得错误!PgdO0sRlMo∵P在圆上，∴x2＋(错误!y>2＝25，即轨迹C的方程为错误!＋错误!＝1.3cdXwckm15(2>过点(3,0>且斜率为错误!的直线方程为y＝错误!(x－3>，h8c52WOngM设直线与C的交点为A(x1，y1>，B(x2，y2>，将y＝错误!(x－3>代入C的方程，得错误!＋错误!＝1，v4bdyGious 即x2－3x－8＝0.∴x1＝错误!，x2＝错误!.∴线段AB的长度为|AB|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.20.<本题满分14分）证明：(1>∵b1＝错误!，bn＋1＝b错误!＋bn＝bn(bn＋1>，∴对任意的n∈N*，bn>0，∴错误!＝错误!＝错误!－错误!，J0bm4qMpJ9即错误!＝错误!－错误!.解：(2>Tn＝错误!＋错误!＋…＋错误!XVauA9grYP＝错误!－错误!＝2－错误!.bR9C6TJscw∵bn＋1－bn＝b错误!>0，∴bn＋1>bn，∴数列{bn}是单调递增数列，∴数列{Tn}关于n递增，∴Tn≥T1.∵b1＝错误!，∴b2＝b1(b1＋1>＝错误!，∴T1＝2－错误!＝错误!，∴Tn≥错误!.pN9LBDdtrd∴Tn的最小值为错误!.21.<本题满分14分）解：(1>由f(x>＝x3＋ax2＋bx＋c求导数得f′(x>＝3x2＋2ax＋b.过y＝f(x>上点P(1，f(1>>的切线方程为y－f(1>＝f′(1>(x－1>，即y－(a＋b＋c＋1>＝(3＋2a＋b>(x－1>．而过y＝f(x>上点P(1，f(1>>的切线方程为y＝3x＋1.故错误!DJ8T7nHuGT即错误!QF81D7bvUA∵y＝f(x>在x＝－2时有极值，故f′(－2>＝0.∴－4a＋b＝－12.③由①②③联立解得a＝2，b＝－4，c＝5，∴f(x>＝x3＋2x2－4x＋5.(2>f′(x>＝3x2＋4x－4＝(3x－2>(x＋2>，令f′(x>＝0，解得x＝错误!或x＝－2.列下表：错误!.4B7a9QFw9h又∵f(－3>＝8，f(1>＝4，∴f(x>在[－3,1]上的最大值为13.(3>y＝f(x>在[－2,1]上单调递增．又f′(x>＝3x2＋2ax＋b.由(1>知2a＋b＝0.∴f′(x>＝3x2－bx＋b.依题意在[－2,1]上恒有f′(x>≥0，即3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立，当x＝错误!≥1时，即b≥6时[f′(x>]min＝f′(1>＝3－b＋b>0，∴b≥6时符合要求．当x＝错误!≤－2时，即b≤－12时，[f′(x>]min＝f′(－2>＝12＋2b＋b≥0，∴b不存在．当－2<错误!<1即－12<b<6时，[f′(x>]min＝错误!≥0，∴0≤b<6，综上所述b≥0.个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

广东省东莞市2018年全国卷考前冲刺演练精品卷试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据，得1为方程的解,解得m,再解方程得集合B，最后根据并集定义得结果. 【详解】因为，所以，因此,选A.【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 如图1，风车起源于周，是一种用纸折成的玩具。

它用高粱秆，胶泥瓣儿和彩纸扎成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图2是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由几何概型及概率的计算可知，用黑色部分的面积比总面积，即可求解概率.详解：设白色部分的等腰直角三角形的斜边长为，则直角边的长为，所以所有白色部分的面积为，则黑色部分的等腰直角三角形的腰长为1，所有黑色部分的面积为，由几何概型可得其概率为，故选B.点睛：本题考查了面积比的几何概型中概率的计算，其中正确求解黑色部分和白色部分的面积是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3. （）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据降幂公式降次，再根据诱导公式化简得结果.【详解】,【点睛】本题考查降幂公式、诱导公式，考查基本化简能力.4. 已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】分析：由题意，可得，得，即可求解双曲线的离心率.详解：由题意，双曲线的一条渐近线过点，所以，可得，又由，所以双曲线的离心率为，故选C.点睛：本题考查了双曲线的离心率的求解，其中熟记双曲线的标准方程及几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球直径为（）A. 12B. 13C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】先还原几何体，再通过补形法确定外接球球心，解得外接球直径.【详解】几何体为一个三棱锥，其中一个顶点出发的三条棱相互垂直，棱长分别为3,4,12，所以可将此三棱锥补成一个长方体，长宽高分别为3,4,12，从而外接球直径为长方体的对角线长，即为，【点睛】若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．6. 若是函数的极值点，则（）A. 有极大值B. 有极小值C. 有极大值0D. 有极小值0【答案】A【解析】【分析】先根据极值定义得a,再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值.【详解】因为是函数的极值点，所以，当时，当时，因此有极大值，选A.【点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.7. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象过点，则的最小值是（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】分析：首先利用三角函数关系式的平移变换，进一步利用正弦型函数的性质的应用，即可求出结果.详解：函数的图象向左平移个单位长度，得到，由于函数的图象经过点，所以，所以或，解得或，当时，或，由于，所以，故选B.点睛：本题考查了三角函数点图象变换，以及正弦型函数点的图象与性质的应用，其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据程序框图，分析程序的功能，结合输出的自变量的范围条件，利用函数的性质可得结论.详解：模拟程序框图，可得程序框图的公式是计算输出的值，当时，则满足条件的输出为；当时，则不满足条件，此时输出，综上可知，输出的结果的范围是.点睛：本题考查了程序框图的识别与判断，条件分支结构的计算，其中利用函数的取值范围是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.9. 已知椭圆，点是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆几何性质得短轴端点（设为M）对长轴张角最大，即得,再根据,解得离心率的最小值.【详解】设M为椭圆短轴一端点，则由题意得,即,因为，所以，,选C.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 已知变量满足，设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数表示可行域内点到定点（-1，-1）距离的平方，确定的取值范围.【详解】作可行域，P(4,3),因为表示可行域内点到定点A（-1，-1）距离的平方，所以的取值范围为 ,选C.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.11. 已知函数满足，且时，，则（）A. 0B. 1C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据得函数周期，再根据周期求【详解】因为，所以，选D.【点睛】函数对称性代数表示（1）函数为奇函数，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；（2）函数关于点对称，函数关于直线对称，（3）函数周期为T,则12. 已知不共线的两个向量，且，若存在个点（）关于点的对称点为（）关于点的对称点为（），当点为线段中点时，则（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线性质得,再根据最后根据向量数量积求结果.【详解】根据三角形中位线性质得,所以,因此，选A.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 为虚数单位，则_______.【答案】.【解析】【分析】根据复数除法法则求结果.【详解】【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为14. 的展开式的常数项为_______. （用数字作答）【答案】30.【解析】【分析】先求的展开式中含x项的系数，再根据多项式乘法得结果.【详解】因为的展开式中含x项的系数为 ,所以的展开式的常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点（在轴的上方），过作于点，连接交抛物线于点，则_______.【答案】2.【解析】【分析】根据抛物线定义可得MF=MN，再根据直线倾斜角得三角形MNF为正三角形，即得NF倾斜角，联立方程可得Q横坐标，解得结果.【详解】由抛物线定义可得MF=MN，又斜率为的直线倾斜角为，,所以 ,即三角形MNF为正三角形，因此NF倾斜角为，由解得，即【点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．16. 大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑。

10 15 20 25 30 35广东省东莞市2018年高考理科数学精编模拟题参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．第16届亚运会将于2018年11月12日在中国广州进行．若集合U ={参加广州亚运会比赛的运动员、裁判员}，A ={参加广州亚运会比赛的男运动员}，B ={参加广州亚运会比赛的女运动员}，C ={参加广州亚运会比赛的裁判员}，则下列关系正确的是A.UA B = B.A B C = C.A B U = D.()A B C U =2．设平面向量(1,2),(2,),y ==-a b //,|3|a b +a b 若则等于A B C D 3．若}{n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且13263S π=，则7tan a 的值为 A ．3B ．3-C ．3±D ．33-4.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，错误！未找到引用源。

[)15,20，[)20,25错误！未找到引用源。

,[)25,30，[30,35]错误！未找到引用源。

,频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25错误！未找到引用源。

之间的工人有6位．则m 的值为. A.600 B.30 C.20 D.36(第4题图) (第5题图) (第6题图) 5．一几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则此几何体的体积是A.83cm B. 63cm C.43cm D.2233cm 6．右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为俯视图主视图OPCABA ．1321B ．2113C ．813D ．1387. 设函数1()sin ,()f x x g x x==，右图是函数()F x 图象的一部分，则()F x 是A.()()f xg x B. ()()f x g xC.()()f x g x -D. ()()f x g x +8．设函数)(x f y =的定义域为R +，若对于给定的正数k ，定义函数：,(),()(),(),k k f x k f x f x f x k ≤⎧=⎨>⎩，则当函数1(),1f x k x ==时，函数()k f x 的图象与直线1,4x = 4,x =0y =围成的图形的面积为A ．2ln2+2B ．2ln2-1C ．2ln2D ．2ln2+1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9210y --=与双曲线22221x y a b-=的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ．10．小明在借助计算器用二分法求“方程237xx +=的近似解（精确到0.1）”时，设()237x f x x =+-，算得(1)0,(2)0f f <>，得出方程的解在区间(1,2)上后，依据二分法求方程的近似解的步骤又取了4个x 值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为： 1.4x ≈，请你依次写出小明再取的4个x 值为 ． 11．已知sin )510ααβ=-=-,(0,)2παβ∈，则β= ． 12．某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三级，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为 ．13．若2012(1)()n n n x a a x a x a x n N *+=++++∈，且1221a a +=，则在展开式各项系数中，最大值为 ．(用数字作答)（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选做题）若A ，B ，C 是⊙O 上三点，PC 切⊙O 于点C ，110,ABC ∠=︒ 40BCP ∠=︒，则AOB ∠的大小为 ．15．(坐标系与参数方程选做题) 若直线03:=-y x l 与曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=ϕϕsin 2cos 2:y a x C（ϕ为参数，0>a ）有两个公共点A ，B ，且|AB|=2，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ． 三．解答题： 16．（本小题满分12分）如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面 内沿南偏西60°的方向前进了40m 以后，在点D 处望见塔的底 端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的最大 值为30°，求塔的高.17．(本小题满分12分)五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优 惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置, 指针落在区域的边界时，重新转一次） 指针所在的区域及对应的返劵金额见右上表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额 是两次金额之和．（1）已知顾客甲消费后获得n盘指针落在区域边界的概率为p ，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望125E ξ=,标准差50σξ=，求n 、p 的值；（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元)．求随机变量η的分布列和数学期望．3060C 区域B 区域A 区域返劵金额（单位：元）指针位置18．(本小题满分14分)如图（甲），在直角梯形ABED 中，AB//DE ，AB ⊥BE ，AB ⊥CD,且BC=CD,AB=2,F 、H 、G 分别为AC ,AD ,DE 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，使平面ACD ⊥平面CBED,如图（乙）．（1）求证：平面FHG//平面ABE ；（2）记,BC x =()V x 表示三棱锥B －ACE的体积，求()V x 的最大值；（3）当()V x 取得最大值时，求二面角D －AB －C 的余弦值．19．(本小题满分14分)已知椭圆C 的对称中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||F F点4)3在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 上的一点P 在第一象限，且满足12PF PF ⊥,O 的方程为224x y +=．求点P 坐标，并判断直线2PF 与O 的位置关系；(甲)HF D GEBCA(乙)（3）设点A 为椭圆的左顶点，是否存在不同于点A 的定点B ,对于O 上任意一点M ,都有MBMA为常数，若存在，求所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数 ()(1)xa f x e x=+，其中0a > （1）求函数()f x 的零点；（2）讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；（3）在区间(,]2a -∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存 在，请说明理由．21. (本小题满分14分)如图，已知曲线从C 上的点作x 轴的垂线，交轴的垂线，交C 于点设，．（1）求点Q 1、Q 2的坐标； （2）求数列的通项公式；（3）记数列的前n 项和为参考答案及评分意见一．选择题：DABC BDCD2．4(1,2)y ⇒=-⇒=a//b 3a +b ||⇒=3a +b A.3． 1131313()132a a S +==7263a π=723a π⇒=⇒7tan a选B ．4.根据直方图可知产品件数在[)20,25错误！未找到引用源。

2018年东莞市高三毕业班综合测试（二） 数学试题（理） 2018.04考生须知：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.第 I卷一、选择题（本大题共12个小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合{}{}50,12<<=<<-=x x B x x A 则=B AA.()5,2-B.()0,2-C.()1,0D.()5,12 .已知()iia 24-+为纯虚数，则实数a 的值为 A.4 B.2 C.1 D.2-3. 已知点()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+2,01sin 3,sin πθθP 在直线03=-+y x 上，则=θ A.125π B.3πC.4πD. 6π4 . 执行如图所示的程序框图，若输出5=x ，则输出结果为A.7B.6C.5D. 45. 已知变量y x ,满足约束条件()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-≥+-≥-+0102201a a x y x y x ，若目标函数y x z -=的最小值为43-，则实数a 的值为A.61B.31C.21D.1 6. 已知函数()()4,1,43∈-=x xx x f 的值域为区间D ，若从区间D 内任取一函数值()0x f ，则()200≥x x f 的概率为 A.31 B.32 C.125 D.1277 . 将函数()x f 的图像向左平移ϕ个单位，再将所得函数图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()x x g sin =的图像，若函数()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，上单调递增，则ϕ的值不可能为 A. 3π B.52π C.85π D.45π8. 已知四边形ABCD 是平行四边形，060=∠BAD ，22==AD AB ，点E 是线段AC上一点，λ=，且2825-=•BE AE ，则实数λ的取值为 A.145 B.31 C.125 D.329. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长棱与最短棱所成角的余弦值为 A.2929 B.21 C.32D.2929210. 已知双曲线()012222>>=-b a by a x C ：的的离心率为2，过右焦点F 的直线l 交双曲线的两条渐近线于B A ,两点，且=+20则直线l 的斜率()0>k k 的值等于A. 33B.32C. 3D.3311 . 在ABC ∆中，若AC B tan 1tan 1tan 1=+，则A cos 的取值范围为A.⎥⎦⎤ ⎝⎛310， B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,31 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛320， D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,3212. 已知函数()12-+=x x x f ，若不等式()()12-+≥x m x f 恒成立，则实数m 的取值范围为A.[]0,22-3-B.[]223-22-3-+，C.[]0,223-+D.(][)∞++∞，，223-22-3--第 II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）13. 在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中，各项的二次项的系数之和为64，则它的展开式中常数项等于____.14. 已知几何体Ω是平面α截半径为4的球O 所得较大部分，ABC ∆是截面圆O '的内接三角形，090=∠A ，点P 是几何体Ω上的一动点，且P 在圆O '上的投影在圆O '的圆周上，1='O O ，则三棱锥ABC P -的体积的最大值为________15. 已知直线3:=+y x l 与圆()()10522=-+-y a x C ：交于B A ,两点，圆C 在点B A ，处的切线21,l l 相交于点⎪⎭⎫⎝⎛-25,21P ，则四边形ACBP 的面积为_______ 16. 已知函数()x f 满足()()()()x f x f x f x f -=--=4,2，且()20=f ，则()()()()=+•••+++2018321f f f f ________三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （本题满分12分）已知等比数列{}n a 与等差数列{}n b ，111==b a ，21a a ≠，321,,b a a 依次成等差数列，421,,b a b 依次成等比数列. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设n S ，n T 分别是{}n a ，{}n b 的前n 项的和，若100>+n n T S ，求n 的最小值.18.（本题满分12分）如图，平面⊥CDEF 平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，四边形CDEF 为直角梯形，0120=∠ADC ，CD CF ⊥，且CF DE DC AD DE CF 22,//=== （I ）求证：ADE BF 平面//；（II ）设P 点是线段DE 上一点，若平面BCD 与平面BFP 所成的锐二面角为030，求点P的位置.19. （本题满分12分） 近几年来，“精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i为虚数单位，则复数4i3i（）A．13i B．13i C．3i D．3i 【答案】A【解析】4i3i4i13i3i3i3i，故选A．2．已知集合Ax|l g x 21，集合B x|x 2x 30，则A B （）2A ．2,12B ．1,3C ．1,12D ．2,3【答案】C【解析】Ax|l g x 21x|0x 2102,12，B x|x 2x 321,3，所以A B1,12，选C．3．如图，四边形OABC是边长为2的正方形，曲线段DE所在的曲线方程为xy1，现向该- 1 -正方形内抛掷 1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A ． 3 2ln 2 41 2 ln 2 B ．4C ． 5 2ln 2 4D ． 12ln 24【答案】A【解析】根据条件可知，E1 ，2 ，阴影部分的面积为 2111222dx 2x ln x | 2 2ln 2 ln 3 2ln211x2222，所以，豆子落在阴影部分的概率为32ln 24．故选 A ．4．在△ABC 中，角 A ， B ，C 所对应的边分别为 a ，b ， c ．若角 A ， B ，C 依次成等差 数列，且 a1，b 3 ．则 S△（）ABCA ． 2B ． 3C ． 32D ． 2【答案】C【解析】∵ A ， B ，C 依次成等差数列，∴ B 60，∴由余弦定理得：bacac B ，得： c 2，∴由正弦定理得：1 sin 32222 cosSac B△，故选 C ．ABC225．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．7 B．6 C．5 D．4- 2 -【答案】B【解析】几何体如图，则体积为3 23 =6，选Ｂ．46．已知函数f x是定义在R上的偶函数，且在区间,0上单调递增．若实数a满足f 3a f 3 ，则a的最大值是（）2 1A．1 B．12C．14D．34【答案】D【解析】根据题意，函数f x是定义在R上的偶函数，则f3= f 3，又由f x在区间,0上单调递增，则f x 在0,上递减，则f f3 a 3 f 3 a f32 1 2 13 32a﹣1 ≤2a﹣1 ≤13 32a﹣1 2，1则有2 1a﹣，解可得a 3 ，即a的最大值是32 4 4，故选D．22x y7．在平面直角坐标系中，若不等式组1x 2ax y10（a为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线y ax2 的准线方程为（）A．y B．x 1 C．x 3D．31y24 24 22【答案】D【解析】由题意得1 1 1，x 2 6y，即准线方程为1 a 1 2a 1 1 a，2 2 63y ，选D．2n38．在xx的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则x2 的系数为（）- 3 -A ．50B ．70C ．90D ．120【答案】Cn3【解析】在x x中，令 x1得134 ，即展开式中各项系数和为 4n ；又展开式nn中的二项式系数和为 2n ．由题意得42n nn，解得 n5．23253故二项式为xxrr33 5，其展开式的通项为TC x 3 C xrr r5r2r 1 55x，r 0,1, 2,3, 4,5．令r 2得TC xx ．所以 x 2 的系数为90．选 C ．22 2 233 5909．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶 田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田 1亩 价值 300钱；坏 田 7亩价值 500钱．今合买好、坏田 1顷，价值 10000钱．问好、坏田各有多 少亩？”已知 1顷为 100亩，现有下列四个程序框图，其中 S 的单位为钱，则输出的 x ， y 分 别为此题中好、坏田的亩数的是（）A ．B ．C．D．【答案】B- 4 -x y 100【解析】设好田为 x ，坏田为 y ，则500 300x y 10000 7x ，y12.5 87.5 ，A 中 x 12.5 ；B 中正确；C 中 x 87.5， y 12.5；D 中 x 12.5 ，所以选 B ．10．已知函数 fx sin x 3cosx，若集合x0,πfx1含有 4个元素，则实数的取值范围是（）3 5 A ．,2 23 5B ．,2 27 25 C ． ,2 67 25 D ． , 2 6【答案】Df x x2sinπ 【解析】由题得3π 1π，2sin 1，sinxx33 2，解π π 7π得：或x2k π 2k π k Z ，36 6 所以 xπ 2k π 或3π 2 πk xk Z，62设直线y1与y f x 在0,上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为B，则3π2ππ4πx k1x 此时k 2．此时，AB26由于方程fx 1在0,π上有且只有四个实数根，则<π，解得x x，即3π2πππ4πA B26725，故选D．2611．已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA 平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为823π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为（）A．31111B．21111C．31010D．1010【答案】A- 5 -。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． i 为虚数单位，则复数4i3i=+（ ） AB ．13i -C ．3i +D ．3i -【答案】A【解析】()()()4i3i4i13i 3i3i3i-==+++-，故选A ．2．已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}2|230B x x x =--<，则A B =（ ） A ．()2,12 B ．()1,3- C ．()1,12- D ．()2,3【答案】C【解析】(){}|lg 21A x x =-<{}()|02102,12x x =<-<=，{}2|230B x x x =--<()1,3=-，所以AB =()1,12-，选C ．3．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） AB ．12ln 24+ C ．52ln 24- D ．12ln 24-+【答案】A【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为所以，豆子落在阴影部分的概率为32ln 24-．故选A ． 4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a =，3b =则ABC S =△（ ）A B 3C 3D ．2【答案】C【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B =︒，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，得：2c =，∴由正弦定理得：13sin 2ABC S ac B ==△，故选C ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】几何体如图，则体积为332=64⨯，选Ｂ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()(2133a f f -≥-，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则(3f =3f ，又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减，，解可得34a ≤，即a 的最大值是34，故选D ． 7．在平面直角坐标系中，若不等式组2212 10x y x ax y +≥⎧≤≤-+≥⎪⎨⎪⎩（a 为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线2y ax =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．124x =-C ．32x =-D ．32y =-【答案】D【解析】由题意得111121122a a ⎛⎫⨯⨯+-++= ⎪⎝⎭，16a ∴=，26x y ∴=，即准线方程为32y =-，选D ．8．在nx x ⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为（ ）A ．50B ．70C ．90D ．120【答案】C【解析】在nx x ⎛ ⎝中，令1x =得()134nn +=，即展开式中各项系数和为4n ；又展开式中的二项式系数和为2n．由题意得42322nn n ==，解得5n =．故二项式为5x x ⎛+ ⎝，其展开式的通项为()35521553rr r r r r r T C x C x x --+==，()0,1,2,3,4,5r =．令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y ，则100 500300100007x y x y ⎧=+=⎪⎨⎪⎩+，12.5 87.5x y =⎧∴⎨=⎩， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ．10．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，若集合()(){}0,π1x f x ∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题得()π2sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2sin 13x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π1sin 32x ω⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，解得：()7π2π6k k +∈Z ，3π2π2k x ωω=+()k ∈Z ， 设直线1y =-与()y f x =在()0,+∞上从左到右的第四个交点为A ，第五个交点为B ，则，()π4π26B x k ωω=+=此时． 由于方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根， 则<πB A x x ≤，即3π2ππ4ππ26ωωωω+<≤+，解得72526ω<≤，故选D ． 11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的等边三角形，若球O 的体积为82π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（ ） AB 211C 310D 10 【答案】A【解析】由球体积3482π33R =知球半径为2R =，设ABC △的外心为M，由正弦定理23AM =，由2222PA AM ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得26PA =，设AB 的中点为N ，则CN ⊥平面PAB ，连接PN ，则CPN ∠为直线与平面所成的角，243319PN =+=，3CN =311tan CN CPN PN ∠==，故选A ． 12．设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>上一点，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．4 C ．2或3D ．4或53【答案】D【解析】∵1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，∵212PF F F ⊥，∴点P 在双曲线的右支，12PF F △的内切圆半径为12212222F F PF PF c ac a +--==-．设1PF x =，则22PF x a =-．∵2221212PF PF F F =+，即()()22222x x a c =-+，∴22a c x a +=，即12PF F △的外接圆半径为222a c a+．∵12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍， ∴()221726a c c a a +=-，即22201730a ac c -+=．∴2317200e e -+=∴53e =或4，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________． 【答案】-3【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则143m m -=⇒=-，故答案为：-3．14．已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________． 【答案】2【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()22112x y -++=， 圆心()1,1-，半径2r =，因为()2,0A -，()0,2B ，所以22AB =，要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线AB 的距离为22，所以ABM S △的最小值为min 11222222AB d ⋅⋅=⨯=，故答案为2．15．．【答案】2【解析】()cos 6025sin 25cos30cos85sin 25cos30cos 25cos 25︒+︒+︒︒︒+︒︒=︒︒，12．16．记{}ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，若31M A =-，则x 的取值范围是__________．【答案】{}| 4 2x x x =-≥或．【解析】作出112122M max x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，的图象如图所示，故031 0x x A x x x -<⎧-==⎨≥⎩，，，31M A =-， ∴当0x <时，122x x -=-+，得4x =-，当01x ≤<时，122x x =-+，得43x =，舍去，当12x ≤<时，112x x =+，得2x =，舍去，当2x ≥时，x x =，恒成立，综上所述，x 的取值范围是{}|42x x x =-≥或．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()413n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT <． 【答案】（1）()*4n n a n =∈N ；（2）见解析． 【解析】（I ）当1n =时，有()111413a S a ==-，解得14a =．……1分 当n ≥2时，有()11413n n S a --=-，则()()11441133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分整理得：14n n aa -=，……4分∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分 ∴()1*444n n n a n -=⨯=∈N ，即数列{}n a 的通项公式为：()*4n n a n =∈N ．……6分 （2）由（1）有22log log 42n n n b a n ===，……7分 则()()()()11111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭，……8分∴()()11111335572121n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……10分11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故得证．……12分 18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）． 【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P ==．……3分 （2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分ξ的可能值为0，1，2，3．从而……5分()3631020101206C P C ξ====，……6分……7分()2146310363212010C C P C ξ====，……8分()3431041312030C P C ξ====．……9分所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望()1131120123 1.262103010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==．……10分（3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差．……12分19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，侧棱13AA =，点E 在1BB 上，点F 在1CC 上，且1BE =，2CF =．（1）证明：平面CAE ⊥平面ADF ； （2）求二面角F AD E --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（210． 【解析】（1）∵ABC △是等边三角形，D 为BC 的中点， ∴AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，得AD CE ⊥．①……2分 在侧面11BCC B 中，1tan 2CD CFD CF ∠==，1tan 2BE BCE BC ∠==， ∴tan tan CFD BCE ∠=∠，CFD BCE ∠=∠，∴90BCE FDC CFD FDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴CE DF ⊥．②……4分结合①②，又∵AD DF D =，∴CE ⊥平面ADF ，……5分又∵CE ⊂平面CAE ，∴平面CAE ⊥平面ADF ，……6分（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -．则)00A ，，()012F -，，，()011E ，，． 得(3DA =，()012DF =-，，，()011DE =，，，……7分 设平面ADF 的法向量()x y z =，，m ，则0 0DA DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得0 2x y z ==⎧⎨⎩取()021=，，m ．……9分 同理可得，平面ADE 的法向量()011=-，，n ，……10分……11分 则二面角F AD E --10．……12分 20．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）()22139x y x +=≠±；（2）见解析．【解析】（1）设动点(),M x y ，则3MA y k x =+，3MB y k x =-()3x ≠±，19MA MB k k ⋅=-，即1339y y x x ⋅=-+-．……3分化简得：2219x y +=，……4分由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±．……5分（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22199x my x y =++=⎧⎨⎩，消去x 得()229280m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221222989my y m y y m +=-+-⎧⎪=⎨+⎪⎪⎪⎩，……7分直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+-，22221SQ y yk x s my s ==-+-， ()()121111SP SP yy k k my s my s =+-+- ()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991s m s -=-+-．……10分当3s =时，()282991SP SP k k s -⋅==--；当3s =-时，()2811891SP SP k k s -⋅==--．所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．……12分21．设0a >，已知函数()()ln f x x x a =-+，()0x >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）试判断函数()f x 在()0,+∞上是否有两个零点，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）函数()f x 没有两个零点．【解析】（1）()1'2f x x ax =+，……1分 ()()22'02220f x x a x x a x a >⇔+>⇔+-+>，()()22'0220f x x a x a <⇔+-+<，设()()2222g x x a x a =+-+，则()161a ∆=-，①当1a ≥时，0∆≤，()0g x ≥，即()'0f x ≥，∴()f x 在()0,+∞上单调递增；……3分②当01a <<时，0∆>，由()0g x =得14241221a a x a a ---==---， 221x a a =-+-，可知120x x <<，由()g x 的图象得：()f x 在(0,221a a ---和()221a a -+-+∞上单调递增； ()f x 在(21a a ---221a a -+-上单调递减．……5分（2）假设函数()f x 有两个零点，由（1）知，01a <<，因为()0ln 0f a =->，则()20f x <()22ln x x a <+，由()2'0f x =知222x a x +=22ln x x <（），t =，则()ln 2t t <（＊），……8分 由()22211,4x a a =-+-，得()1,2t ∈，设()()ln 2h t t t =-，得()1'10h t t=->， 所以()h t 在()1,2递增，得()()11ln20h t h >=->，即()ln 2t t >，……11分这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数()f x 没有两个零点．…12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为2 12x a t y t=+=+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =或94． 【解析】（1）1C 的参数方程2 12x a t y t=+=⎧⎪⎨⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，……2分 2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分（2）将曲线1C 的参数方程22 212x a y ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：，得211402t a +-=，……6分 由(()21241402a ∆=--⨯->，得0a >，……7分 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分当122t t =时，()121212222 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得136a =，……9分 当122t t =-时，()121212222 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得94a =， 综上：136a =或94．……10分 23．选修4-5：不等式选讲已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值．【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．【解析】（1）令()1,11223,12 1,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，……2分则()11f x -≤≤，……4分由于x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分 （2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥， 根据基本不等式3333log log 2log log 2m n m n +≥⋅≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，……7分再根据基本不等式26m n mn +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号． 所以m n +的最小值为6．……10分。