一元二次方程的解法—因式分解法

一元二次方程的解法——因式分解法1.因式分解法：将一元二次方程先因式分解为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。

这种解法叫做因式分解。

2.因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程的左边化成两个一次因式的积；（3）令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。

同步练习用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0；(2)4x2－1＝0；(3)x2＝7x； (4)x2－4x－21＝0；(5)(x－1)(x＋3)＝12；(6)3x2＋2x－1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．。

一元二次方程怎么解因式分解标题：一元二次方程的因式分解方法与实际应用导语：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的解法之一就是将其进行因式分解。

本文将介绍一元二次方程的因式分解方法，并探讨其在实际应用中的意义和作用。

一、一元二次方程的基本形式一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。

二、一元二次方程的因式分解方法要将一元二次方程进行因式分解，我们可以采用以下步骤：1. 将方程的左边移到等号右边，得到ax^2 + bx = -c。

2. 将方程两边同时乘以一个常数k，使得方程变为完全平方的形式，即a(kx)^2 + b(kx) = -ck^2。

3. 将方程左边进行因式分解，得到a(kx + m)(kx + n) = -ck^2，其中m和n为待定常数。

4. 比较方程两边的系数，得到关于m和n的方程组，解方程组，求得m和n的值。

5. 将m和n的值代入方程，得到一元二次方程的因式分解形式。

三、一元二次方程因式分解的实际应用一元二次方程的因式分解在实际生活中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 在物理学中，一元二次方程的因式分解可以用于描述抛体运动的轨迹。

通过将方程进行因式分解，可以得到轨迹的方程，从而更好地理解和分析抛体的运动规律。

2. 在经济学中，一元二次方程的因式分解可以用于描述市场需求和供给的关系。

通过将方程进行因式分解，可以得到需求曲线和供给曲线的交点，从而确定市场的均衡价格和数量。

3. 在工程学中，一元二次方程的因式分解可以用于设计和优化结构。

通过将方程进行因式分解，可以找到结构的特征方程，从而确定结构的固有频率和振动模态。

结语：一元二次方程的因式分解是数学中重要的解题方法之一，它不仅有着理论上的意义，还在实际应用中发挥着重要作用。

通过掌握一元二次方程的因式分解方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题，并推动科学技术的发展与进步。

一元二次方程的解法--公式法因式分解法—知识讲解一、公式法公式法是求解一元二次方程最常用的方法之一，通过使用二次方程的根公式来求解方程的解。

根公式：对于一般的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解可表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a解释：在方程中，±表示求两个解，即一个解为加号后面的部分，另一个解为减号后面的部分。

√表示开平方根；在根号下的部分称为判别式，用来判断方程有几个解和解的性质。

二、因式分解法因式分解法是通过将一元二次方程表示为两个一次因式的乘积形式来求解方程的解。

步骤：1. 将一元二次方程形式化为ax^2 + bx + c = 0的形式。

2.对方程进行因式分解，将方程表示为(x+m)(x+n)=0的形式，其中m和n是常数。

3.列出等式(x+m)(x+n)=0的两个等式，即x+m=0和x+n=0，并解这两个等式，求得方程的解。

举例：假设有一元二次方程x^2+5x+6=0，现在我们使用公式法和因式分解法来求解方程的解。

1.公式法：根据公式法，我们有：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a带入方程的系数a=1、b=5和c=6，我们可以计算出判别式d = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1根据判别式的值，我们可以得出以下结论：a)当判别式d>0时，方程有两个不相等的实数解；b)当判别式d=0时，方程有两个相等的实数解；c)当判别式d<0时，方程没有实数解，有两个共轭虚数解。

带入计算得：x=(-5±√(1))/2(1)=(-5±1)/2所以，方程的解为x=-3或x=-22.因式分解法：将方程x^2+5x+6=0因式分解为(x+2)(x+3)=0的形式。

分别令x+2=0和x+3=0，求解得到：x=-2或x=-3所以，方程的解为x=-2或x=-3通过比较可以发现，公式法和因式分解法得到的解是相同的。

第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解【知识点梳理】1、定义：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成_______________________________，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

2、因式分解法的步骤：①移项：_________________________________左边，右边化为0；①化积：把方程的左边分解成__________________________________；②转化：令______________________________，得到一元一次方程；③解：解____________________，即可得到原方程的解。

3,因式分解常见类型：①___________________②__________________③_______________________。

【知识点训练】知识点一、因式分解法解方程1.方程（x-1）(x+2)=0的两根分别是（）。

A. x1=-1， x2=2 B. x1=1, x2=2 C. x1=-1，x2=-2 D. x1=1， x2=-22.方程x2-3x=0的解是（）。

A. x= 0B. x= 3C. x1=0，x2=-3 D. x1=0， x2=33.下列命题：①kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2 =x与x=1是同解方程；④由（x-1）（x+1）=3可得x-1=3或 x+1=3；其中正确的命题有（）个。

A. 0B.1C. 2D.34.已知三角形ABC的两条边长分别是3与6，第三边长是方程（x-2）（x-4）=0的一个根，则三角形ABC的周长是（）。

A. 11B.13C. 11或13D.不确定5．x2-5x因式分解结果为_________________； 2x(x-3)-5(x-3)因式分解结果为_____________________。

掌握一元二次方程的解法因式分解法一元二次方程是数学中常见的一种二次方程形式，它的通用表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c均为已知常数，而x是未知数。

解一元二次方程的方法有多种，其中因式分解法是常用的一种简单而易懂的解法。

下面将详细介绍一元二次方程的解法——因式分解法。

一、因式分解法的基本思路因式分解法是通过将一元二次方程展开，将其转化为一个等式的乘积形式，通过乘法的零因子性质来确定方程的解。

具体而言，我们需要找到两个括号形式的因式，使得当这两个因式相乘时等于零。

这样一来，方程就可以转化为两个因式相乘等于零的等式，我们只需分别令这两个因式等于零，解得的解即为原方程的解。

二、一元二次方程的因式分解法示例以解一元二次方程 x² + 5x + 6 = 0 为例，我们来演示因式分解法的具体步骤。

步骤1：观察方程，确定系数a、b、c的值根据方程 x² + 5x + 6 = 0 的系数，我们可以确定a = 1, b = 5, c = 6。

步骤2：找到两个因式使其相乘等于零我们需要找到两个括号形式的因式，使得它们相乘等于零。

考虑因为1x²的形式，我们可以将方程拆分为(x + ?)(x + ?)的形式。

我们需要找到两个数，使得它们的和等于b，乘积等于c。

在本例中，我们寻找的两个数是2和3，因为2 + 3 = 5，2 × 3 = 6。

步骤3：写出因式分解形式将找到的两个数填入括号，我们得到(x + 2)(x + 3) = 0。

步骤4：根据乘法的零因子性质解方程由于(x + 2)(x + 3) = 0，根据乘法的零因子性质，我们可以得到两个方程x + 2 = 0和x + 3 = 0。

分别解这两个方程可以得到x的值。

解方程x + 2 = 0，得到x = -2。

解方程x + 3 = 0，得到x = -3。

所以，方程x² + 5x + 6 = 0的解为x = -2和x = -3。

一元二次方程的解法——因式分解法
第二十四章一元二次方程与二次函数
一一元二次方程
24．2（1）一元二次方程的解法--因式分解法
教学目标：
1．明确具备什幺条件的一元二次方程可适用因式分解法；
2．熟练正确地运用因式分解法解一元二次方程；
3．掌握用因式分解法解一元二次方程的依据：AB = 0 可得A = 0 或B = 0；
4．能把已知两数作为方程的两根来求作一个一元二次方程。

教学重点：熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。

教学难点：能灵活地应用因式分解法解一元二次方程。

教学过程：
一、引入新课：
你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
小明是这样解的：
解设这个数是x.
依题意得：x2 = 3x
两边同时约去x，得x = 3
∴这个数是3
这个解法正确吗？答：不正确。

解设这个数是x.。

一元二次方程的解法--公式法因式分解法—知识讲解一、公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，一个是加号的解，另一个是减号的解。

步骤如下：1.将方程的三个系数a、b和c代入公式中。

2. 计算公式中√(b^2-4ac)的值。

如果b^2-4ac>0，方程有两个不相等的实数根。

如果b^2-4ac=0，方程有两个相等的实数根。

如果b^2-4ac<0，方程没有实数根。

3.根据计算结果，计算方程的解。

例如，解方程x^2+5x+6=0：对应的a=1，b=5，c=6；将a、b和c代入公式中，得到：x=(-5±√(5^2-4*1*6))/(2*1)=(-5±√(25-24))/2=(-5±√1)/2计算得到，x=(-5+1)/2=-2和x=(-5-1)/2=-3所以，该方程的解为x=-2和x=-3二、因式分解法对于一元二次方程，如果可以将其因式分解为两个一次因式的乘积，那么就可以通过使两个因式等于零来解方程。

步骤如下：1.将方程移项，使方程等于零。

将项按照次数排列。

2.尝试将方程因式分解为两个一次因式的乘积，使得它们相加等于一次项的系数，并且相乘等于常数项。

3.解两个一次因式等于零的方程。

4.求得方程的根。

例如，解方程x^2+5x+6=0：首先，观察方程的系数：a=1，b=5，c=6将方程移项，得到x^2+5x+6=0。

根据观察，可以将方程分解为(x+2)(x+3)=0。

解方程(x+2)=0和(x+3)=0，得到x=-2和x=-3所以，该方程的解为x=-2和x=-3总结：通过上述的介绍，我们可以知道，一元二次方程的解法有很多种，其中最常用的方法是公式法和因式分解法。

根据方程的具体情况，我们可以选择合适的解法来解方程。

这些解法都是基础知识，对于掌握代数学的基础很重要。

一元二次方程解法因式分解法1. 引言一元二次方程，听起来是不是有点高大上？其实，它就是像 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 这样的方程。

简单点说，它就是一个带有 ( x^2 ) 的方程。

今天，我们要聊的是如何用因式分解法来解它。

因式分解法听起来有点复杂，但别急，我们一步步来，把它搞定！2. 因式分解法的基本概念2.1 什么是因式分解法？因式分解法就是把方程的左边转化成几个简单的因式的乘积，然后解这些因式。

就像把一个复杂的数学问题，拆分成几个简单的子问题一样。

这种方法的核心就是将一个二次方程分解成两个一次方程的乘积，从而找出方程的解。

2.2 为什么用因式分解法？用因式分解法解一元二次方程，可以让我们更直接地找到方程的根。

这种方法简单直观，不需要复杂的计算。

就像用剪刀剪纸一样，把复杂的方程分解成简单的因式，可以更轻松地解决问题。

3. 如何进行因式分解？3.1 因式分解的步骤1. 整理方程：首先，把方程写成标准形式，即 ( ax^2 + bx + c = 0 )。

比如说，方程是 ( 2x^2 + 5x + 3 = 0 )。

2. 找因式：接下来，我们要找到两个数，这两个数加起来等于中间的系数 ( b )，乘起来等于常数项 ( c )。

在这个例子里，5是两个数的和，3是它们的积。

这两个数是 2 和 3。

3. 拆分中间项：把中间项 ( 5x ) 拆分成这两个数的和：( 2x + 3x )。

所以，原方程( 2x^2 + 5x + 3 ) 就可以写成 ( 2x^2 + 2x + 3x + 3 )。

4. 分组因式：把方程分成两组，分别是 ( 2x^2 + 2x ) 和 ( 3x + 3 )。

然后分别提取公共因式：( 2x(x + 1) ) 和 ( 3(x + 1) )。

5. 合并因式：最后，把提取的因式合并：( (2x + 3)(x + 1) = 0 )。

3.2 解方程现在方程变成了 ( (2x + 3)(x + 1) = 0 )。