2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
【选题明细表】
1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B )
(A)a∈α,A⊂a⇒A⊂α
(B)a⊂α,A∈a⇒A∈α
(C)a∈α,A∈a⇒A⊂α
(D)a∈α,A∈a⇒A∈α
解析:直线在平面内用“⊂”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故选B.
2.给出下列说法:(设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示点)
①若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,则l⊂α;
②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;
③若l⊄α,A∈l,则A∉α,则正确的个数是( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:③中点A可以是直线与平面的交点,所以错误.①,②正确.故选B.
3.下列图形中不一定是平面图形的是( D )
(A)三角形(B)平行四边形
(C)梯形 (D)四边相等的四边形
解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,
故选D.
4.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( C )
(A)5部分(B)6部分(C)7部分(D)8部分
解析:如图所示,三个平面α,β,γ两两相交,
交线分别是a,b,c且a∥b∥c,
观察图形,
得α,β,γ把空间分成7部分.
故选C.
5.(2018·昆明一中高一测试)如图平面α∩平面β=直线l,点A,B∈α,点C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ,则γ与β的交线必过( D )
(A)点A (B)点B
(C)点C但不过点D (D)点C和点D
解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ,
所以γ与β的交线必过点C和D.
6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
(1)A∉α,a⊂α;
(2)α∩β=a,P∉α且P∉β;
(3)a⊄α,a∩α=A ;
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O .
解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.
答案:(1)C (2)D (3)A (4)B
7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面
重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是.
解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错. 答案:0
8.如图,已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为8 cm,M,N,P分别是AB, A1D1,BB1的中点.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C 的交线;
(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.
解:(1)如图,设M,N,P三点确定的平面为α,
则α与平面ABB1A1交于MP.
设MP∩A1B1=R,
则RN是α与平面A1B1C1D1的交线.
设RN∩B1C1=Q,
则PQ是α与平面BB1C1C的交线.
(2)因为正方体的棱长为8 cm,M,P分别为AB,BB1的中点,
所以B1R=BM=4 cm.
在△RA1N中,=,
所以B1Q=×4=(cm).
在Rt△PB1Q中,
PB1=4 cm,B1Q= cm,
所以PQ==(cm).
9.(2018·保定九校联考)长方体的12条棱所能确定的平面个数为( C )
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
解析:在长方体中由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面,共12个面.
10.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )
解析:在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,
所以P,Q,R,S共面;
在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面;
在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,
所以四点不共面,故选D.
11.求证:两两相交且不共点的四条直线a,b,c,d共面.
证明:(1)无三线共点情况,如图(1).
设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.
因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.
因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,
所以NQ⊂α,即b⊂α.
同理c⊂α,所以a,b,c,d共面.
(2)有三线共点的情况,如图(2).
设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a,
因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为β.
因为N∈a,a⊂β,所以N∈β.
所以NK⊂β,即b⊂β.
同理c⊂β,d⊂β.
所以a,b,c,d共面.
由(1),(2)知a,b,c,d共面.
12.如图,空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==.
求证:三条直线EF,GH,AC交于一点.
证明:因为E,H分别是AB,AD中点,
所以EH BD,
因为==,
所以GF∥BD,GF=BD,
所以EH∥GF且EH≠GF,
所以四边形EFGH为梯形,
所以两腰EF,GH交于一点,记为P.
因为EF⊂平面ABC,
所以P∈平面ABC,
同理P∈平面ADC,
