江苏省泰州市2015届高三第一次模拟考试 数学试题

2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B= ．2．已知，则= ．3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是 （填“真”或“假”之一）命题．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y= ．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28= ．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为 ．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m= ．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 ．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 ．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是 ．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是 ．12．将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为 ．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为 ．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是 ．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．　2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B=　（1，2）　．考点： 交集及其运算．专题： 计算题．分析： 求出A中函数的定义域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．解答： 解：由A中的函数y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中的函数y=2x，x＞0，得到y＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2）．故答案为：（1，2）点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知，则=　　．考点： 运用诱导公式化简求值．专题： 计算题．分析： 根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答： 解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评： 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．　3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是　假　（填“真”或“假”之一）命题．考点： 命题的真假判断与应用．专题： 计算题．分析： 写出命题的否命题，然后判断否命题的真假即可．解答： 解：命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，命题P的否命题是：“若，则a、b、c不成等比数列”．否命题中，，可以有ac=b2，a、b、c成等比数列，所以否命题不正确．故答案为：假．点评： 本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，考查基本知识的应用．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y=　　．考点： 复数的基本概念．专题： 数系的扩充和复数．分析： 利用共轭复数的定义即可得出．解答： 解：∵x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数，∴﹣3x=x﹣1，﹣y=1，解得x=，y=﹣1．∴x+y=．故答案为：﹣．点评： 本题考查了共轭复数的定义，属于基础题．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=　3n﹣2m　．考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．解答： 解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，∴a28=3a14﹣2a7，∵a7=m，a14=n，∴a28=3n﹣2m．故答案为：3n﹣2m．点评： 本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为　9　．考点： 平面向量数量积的含义与物理意义．专题： 计算题．分析： 先利用响亮的三角形法则将用表达，再由数量积的坐标运算得到关于t的式子求最值即可．解答： 解：•=====（1﹣t）9因为0≤t≤1，所以（1﹣t）9≤9，最大值为9，所以•的最大值为9故答案为：9点评： 本题考查向量的表示、数量积运算等知识，属基本运算运算的考查．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m=　8　．考点： 数列的函数特性．专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析： 把数列a n==1+，根据单调性，项的符号判断最大项．解答： 解：∵a n=（n∈N*），∴a n==1+根据函数的单调性可判断：数列{a n}在[1，7]，[8，+∞）单调递减，∵在[1，7]上a n＜1，在[8，+∞）上a n＞1，∴a8为最大项，故答案为：8点评： 本题考查了数列与函数的结合，根据单调性求解，属于中档题．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为　　．考点： 函数的值；分段函数的应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答： 解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评： 本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于　4　．考点： 正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．专题： 计算题．分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2解答： 解：函数y1==2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为：4．点评： 本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx 的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是　1　．考点： 向量在几何中的应用．专题： 压轴题；平面向量及应用．分析： 利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．解答： 解：∵=||||cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴||||=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵=（+），∴||2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故答案为：1．点评： 本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是　　．考点： 两点间的距离公式．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答： 解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评： 本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）（2015•德州一模）将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为　2　．考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 计算题．分析： 函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的表达式，然后利用在上为增函数，说明，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值．解答： 解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．点评： 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为　　．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，∵2f（x）=2x2=（x）2=f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，则x+a≥恒成立，即a≥﹣x+=恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（）max=（a+2），即a≥（a+2），解得a，即实数a的取值范围是故答案为．故答案为：．点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质，是中档题．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是　（﹣∞，lge﹣lglge]　．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 把不等式变形，然后分x≥1和0＜x＜1两种情况讨论，对于0＜x ＜1时，借助于导数求函数的最小值得答案．解答： 解：由 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，得a≤x+|lgx|．当x≥1时，化为a≤x+lgx，知a≤1；当0＜x＜1时，化为a≤x﹣lgx，令g（x）=x﹣lgx，则，由，得x=lge．当x∈（0，lge）时，g′（x）＜0，当x∈（lge，1）时，g′（x）＞0，∴当x=lge时，g（x）有最小值为lge﹣lglge．综上，a的取值范围是（﹣∞，lge﹣lglge]．故答案为：（﹣∞，lge﹣lglge]．点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 集合．分析： 本题考察集合的运算中的交集和并集，先对集合A，B进行化简，然后按运算法则运算即可．解答： 解：A={x|x=4，或x=a}，B={x|x=1，或x=4}．（Ⅰ）∵A∩B=A，∴A⊆B，由此得，a=1或a=4（Ⅱ）若a=1，则A=B={1，4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={1，4}；若a=4，则A={4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={4}；若a≠1、4，则A={4，a}，∴A∪B={1，4，a}，A∩B={4}．点评： 本题考查集合运算，属于基础题．注意元素的互异性和确定性．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题： 解三角形．分析： （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令正弦函数为0求出x的值，即为其图象对称中心的横坐标；（2）利用余弦定理表示出cosx，把b2=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosx的范围，确定出x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．解答： 解：（1）f（x）=sin+（1+cos）=sin+cos+=sin（+）+，由sin（+）=0，得+=kπ（k∈Z），解得：x=，k∈Z，则对称中心的横坐标为（k∈Z）；（2）由已知b2=ac及余弦定理，得：cosx==≥=，∴≤cosx＜1，即0＜x≤，∴＜+≤，∴＜sin（+）+≤1+，即f（x）的值域为（，1+]，综上所述，x∈（0，]，f（x）值域为（，1+]．点评： 此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算．专题： 解三角形．分析： （1）由题意确定出∠BOP为直角，即OP与OB垂直，得到数量积为0，原式变形后，利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果；（2）①利用余弦定理列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值化简，整理即可得到λ，μ满足的条件；②利用基本不等式求出λ2+μ2的取值范围即可．解答： 解：（1）∵∠AOP=30°，∠AOB=120°，∴∠BOP=∠AOB﹣∠AOP=120°﹣30°=90°，∴•=0，则•=•（﹣）=•﹣•=﹣cos30°=﹣；（2）①由余弦定理，知=cos60°=，整理得：=，即λ2+μ2=1+λμ，则λ，μ满足的条件为；②由λ≥0，μ≥0，知λ2+μ2=1+λμ≥1（当且仅当λ=0或μ=0时取“=”），由λ2+μ2=1+λμ≤1+，得到λ2+μ2≤2（当且仅当λ=μ时取“=”），则λ2+μ2的取值范围为[1，2]．点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．考点： 函数模型的选择与应用．专题： 应用题．分析： （1）总用电量为S千瓦时，高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费y1=0.56x+（S﹣x）×0.28；现行电价的电费y2=0.53S；作差比较y2﹣y1即可．（2）省钱时y2﹣y1＞0，可得＜；对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以能省钱．解答： 解：（1）若总用电量为S千瓦时，设高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费为y1=0.56x+（S﹣x）×0.28=0.28S+0.28x；现行电价的电费为y2=0.53S；电费总差额f（x）=y2﹣y1=0.25S﹣0.28x，（0≤x≤S）（2）可以省钱，因为f（x）＞0，即0.25S﹣0.28x＞0，∴＜．对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱．点评： 本题考查了与实际生活相关的峰谷用电问题，并通过作差来比较函数值的大小，属于基础题目．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点： 数列与不等式的综合．专题： 综合题；不等式的解法及应用．分析： （1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a n}的通项公式．b1=2，b n+1=2b n可知{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b n}的通项公式．（2）b n=2n．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立，由此能导出m的最小值．（3）当n是奇数时，，当n是偶数时，，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c n}的前n项和T n．解答： 解：（1）因为．当n≥2时，，所以所以（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，即． …2分又，所以==．…4分当n=1时，上式成立，因为b1=2，b n+1=2b n，所以{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，故．…6分（2）由（1）知，则．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，即恒成立，由，解得m≥16．…9分所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，此时，m的最小值为16．…11分（3）当n为奇数时，=[2+4+…+（n+1）]+（22+24+…+2n﹣1）==；…13分当n为偶数时，=（2+4+…+n）+（22+24+…+2n）==．…15分因此． …16分．点评： 本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题： 计算题；证明题；压轴题；转化思想．分析： （1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解答： 解：（1）当时，f′（x）==，其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（4分）（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，或，解得；当时，或，即，解得；当时，或或，故．当时，或，解可得t=，当时，，无解．所以t的取值范围是或或t=．点评： 本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。

2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B= ．2．已知，则= ．3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是 （填“真”或“假”之一）命题．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y= ．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28= ．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为 ．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m= ．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 ．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 ．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是 ．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是 ．12．将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为 ．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为 ．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是 ．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．　2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B=　（1，2）　．考点： 交集及其运算．专题： 计算题．分析： 求出A中函数的定义域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．解答： 解：由A中的函数y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中的函数y=2x，x＞0，得到y＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2）．故答案为：（1，2）点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知，则=　　．考点： 运用诱导公式化简求值．专题： 计算题．分析： 根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答： 解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评： 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．　3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是　假　（填“真”或“假”之一）命题．考点： 命题的真假判断与应用．专题： 计算题．分析： 写出命题的否命题，然后判断否命题的真假即可．解答： 解：命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，命题P的否命题是：“若，则a、b、c不成等比数列”．否命题中，，可以有ac=b2，a、b、c成等比数列，所以否命题不正确．故答案为：假．点评： 本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，考查基本知识的应用．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y=　　．考点： 复数的基本概念．专题： 数系的扩充和复数．分析： 利用共轭复数的定义即可得出．解答： 解：∵x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数，∴﹣3x=x﹣1，﹣y=1，解得x=，y=﹣1．∴x+y=．故答案为：﹣．点评： 本题考查了共轭复数的定义，属于基础题．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=　3n﹣2m　．考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．解答： 解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，∴a28=3a14﹣2a7，∵a7=m，a14=n，∴a28=3n﹣2m．故答案为：3n﹣2m．点评： 本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为　9　．考点： 平面向量数量积的含义与物理意义．专题： 计算题．分析： 先利用响亮的三角形法则将用表达，再由数量积的坐标运算得到关于t的式子求最值即可．解答： 解：•=====（1﹣t）9因为0≤t≤1，所以（1﹣t）9≤9，最大值为9，所以•的最大值为9故答案为：9点评： 本题考查向量的表示、数量积运算等知识，属基本运算运算的考查．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m=　8　．考点： 数列的函数特性．专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析： 把数列a n==1+，根据单调性，项的符号判断最大项．解答： 解：∵a n=（n∈N*），∴a n==1+根据函数的单调性可判断：数列{a n}在[1，7]，[8，+∞）单调递减，∵在[1，7]上a n＜1，在[8，+∞）上a n＞1，∴a8为最大项，故答案为：8点评： 本题考查了数列与函数的结合，根据单调性求解，属于中档题．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为　　．考点： 函数的值；分段函数的应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答： 解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评： 本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于　4　．考点： 正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．专题： 计算题．分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2解答： 解：函数y1==2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为：4．点评： 本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx 的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是　1　．考点： 向量在几何中的应用．专题： 压轴题；平面向量及应用．分析： 利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．解答： 解：∵=||||cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴||||=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵=（+），∴||2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故答案为：1．点评： 本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是　　．考点： 两点间的距离公式．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答： 解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评： 本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）（2015•德州一模）将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为　2　．考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 计算题．分析： 函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的表达式，然后利用在上为增函数，说明，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值．解答： 解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．点评： 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为　　．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，∵2f（x）=2x2=（x）2=f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，则x+a≥恒成立，即a≥﹣x+=恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（）max=（a+2），即a≥（a+2），解得a，即实数a的取值范围是故答案为．故答案为：．点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质，是中档题．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是　（﹣∞，lge﹣lglge]　．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 把不等式变形，然后分x≥1和0＜x＜1两种情况讨论，对于0＜x ＜1时，借助于导数求函数的最小值得答案．解答： 解：由 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，得a≤x+|lgx|．当x≥1时，化为a≤x+lgx，知a≤1；当0＜x＜1时，化为a≤x﹣lgx，令g（x）=x﹣lgx，则，由，得x=lge．当x∈（0，lge）时，g′（x）＜0，当x∈（lge，1）时，g′（x）＞0，∴当x=lge时，g（x）有最小值为lge﹣lglge．综上，a的取值范围是（﹣∞，lge﹣lglge]．故答案为：（﹣∞，lge﹣lglge]．点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 集合．分析： 本题考察集合的运算中的交集和并集，先对集合A，B进行化简，然后按运算法则运算即可．解答： 解：A={x|x=4，或x=a}，B={x|x=1，或x=4}．（Ⅰ）∵A∩B=A，∴A⊆B，由此得，a=1或a=4（Ⅱ）若a=1，则A=B={1，4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={1，4}；若a=4，则A={4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={4}；若a≠1、4，则A={4，a}，∴A∪B={1，4，a}，A∩B={4}．点评： 本题考查集合运算，属于基础题．注意元素的互异性和确定性．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题： 解三角形．分析： （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令正弦函数为0求出x的值，即为其图象对称中心的横坐标；（2）利用余弦定理表示出cosx，把b2=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosx的范围，确定出x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．解答： 解：（1）f（x）=sin+（1+cos）=sin+cos+=sin（+）+，由sin（+）=0，得+=kπ（k∈Z），解得：x=，k∈Z，则对称中心的横坐标为（k∈Z）；（2）由已知b2=ac及余弦定理，得：cosx==≥=，∴≤cosx＜1，即0＜x≤，∴＜+≤，∴＜sin（+）+≤1+，即f（x）的值域为（，1+]，综上所述，x∈（0，]，f（x）值域为（，1+]．点评： 此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算．专题： 解三角形．分析： （1）由题意确定出∠BOP为直角，即OP与OB垂直，得到数量积为0，原式变形后，利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果；（2）①利用余弦定理列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值化简，整理即可得到λ，μ满足的条件；②利用基本不等式求出λ2+μ2的取值范围即可．解答： 解：（1）∵∠AOP=30°，∠AOB=120°，∴∠BOP=∠AOB﹣∠AOP=120°﹣30°=90°，∴•=0，则•=•（﹣）=•﹣•=﹣cos30°=﹣；（2）①由余弦定理，知=cos60°=，整理得：=，即λ2+μ2=1+λμ，则λ，μ满足的条件为；②由λ≥0，μ≥0，知λ2+μ2=1+λμ≥1（当且仅当λ=0或μ=0时取“=”），由λ2+μ2=1+λμ≤1+，得到λ2+μ2≤2（当且仅当λ=μ时取“=”），则λ2+μ2的取值范围为[1，2]．点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．考点： 函数模型的选择与应用．专题： 应用题．分析： （1）总用电量为S千瓦时，高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费y1=0.56x+（S﹣x）×0.28；现行电价的电费y2=0.53S；作差比较y2﹣y1即可．（2）省钱时y2﹣y1＞0，可得＜；对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以能省钱．解答： 解：（1）若总用电量为S千瓦时，设高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费为y1=0.56x+（S﹣x）×0.28=0.28S+0.28x；现行电价的电费为y2=0.53S；电费总差额f（x）=y2﹣y1=0.25S﹣0.28x，（0≤x≤S）（2）可以省钱，因为f（x）＞0，即0.25S﹣0.28x＞0，∴＜．对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱．点评： 本题考查了与实际生活相关的峰谷用电问题，并通过作差来比较函数值的大小，属于基础题目．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点： 数列与不等式的综合．专题： 综合题；不等式的解法及应用．分析： （1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a n}的通项公式．b1=2，b n+1=2b n可知{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b n}的通项公式．（2）b n=2n．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立，由此能导出m的最小值．（3）当n是奇数时，，当n是偶数时，，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c n}的前n项和T n．解答： 解：（1）因为．当n≥2时，，所以所以（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，即． …2分又，所以==．…4分当n=1时，上式成立，因为b1=2，b n+1=2b n，所以{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，故．…6分（2）由（1）知，则．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，即恒成立，由，解得m≥16．…9分所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，此时，m的最小值为16．…11分（3）当n为奇数时，=[2+4+…+（n+1）]+（22+24+…+2n﹣1）==；…13分当n为偶数时，=（2+4+…+n）+（22+24+…+2n）==．…15分因此． …16分．点评： 本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题： 计算题；证明题；压轴题；转化思想．分析： （1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解答： 解：（1）当时，f′（x）==，其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（4分）（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，或，解得；当时，或，即，解得；当时，或或，故．当时，或，解可得t=，当时，，无解．所以t的取值范围是或或t=．点评： 本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。

江苏省泰州市2014～2015学年度第一学期期末考试高三数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.已知{}1,3,4A =，{}3,4,5B =，则A B = ▲ ．2.函数()sin(3)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．3.复数z 满足i z 34i =+（i 是虚数单位），则z = ▲ ．4.函数()f x =的定义域为 ▲ ．5.执行如右图所示的流程图，则输出的n 为 ▲ ．6.若数据2,,2,2x 的方差为0，则x = ▲ ．7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ．8.等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ▲ ．9.已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= ▲ ．10.双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ ．11.若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． 12.已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ▲ ． 13.在梯形A B C D 中，2A B D C =，6BC =，P 为梯形A B C D 所在平面上一点，且满足4AP BP DP ++=0，DA CB DA DP ⋅=⋅，Q 为边AD 上的一个动点，则PQ 的最小值为 ▲ ．14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22274a b c ++=则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点(3,4)P ． （１）求sin()4πα+的值；（２）若P 关于x 轴的对称点为Q ，求OP OQ ⋅的值．16.（本题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点． （1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE ．17.（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km 的半圆和一个以PQ 为斜边的等腰直角三角形PRQ ∆构成，其中O 为PQ 的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD ，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C D 、分别在线段QR PR 、上，另外两个顶点A B 、在半圆上， ////AB CD PQ ，且AB CD 、间的距离为1km ．设四边形ABCD 的周长为c km ． （1）若C D 、分别为QR PR 、的中点，求AB 长； （2）求周长c 的最大值．18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否过定点？若存在，求出定点坐标； 若不存在，说明理由．19.（本题满分16分）数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈． （1）若数列}{n a 是等差数列，求证：数列}{n b 是等差数列；（2）若数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，求证：数列}{n a 从第二项起为等差数列；（3）若数列}{n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列}{n a 是否成等差数列？证明你的结论．20.（本题满分16分） 已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >． （取e 为2.8，取ln 2为0.7为1.4）附加题21.（［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分． A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，EA 与圆O 相切于点A ，D 是EA 的中点，过点D 引O 的割线，与圆O 相交于点,B C ，连结EC ． 求证：DEB DCE ∠=∠．B ．（本小题满分10分，矩阵与变换） 已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵1AB -对应的变换把直线l 变为直线:20l x y '+-=，求直线l 的方程．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=，直线l 与圆M 相交于,A B 两点，求弦长AB 的值．D ．（本小题满分10分，不等式选讲） 已知正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证：2223b c aa b c ++≥．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（(本小题满分10分)如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，2DA DC ==，1DD '=，A C ''与B D ''相交于点O '，点P 在线段BD 上（点P 与点B 不重合）．(1)若异面直线O P '与BC '所成角的余弦值为55，求DP 的长度;(2)若2DP =，求平面PA C ''与平面DC B '所成角的正弦值．23.（(本小题满分10分)记ri C 为从i 个不同的元素中取出r 个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足212ri C i ≤的二元数组(,)r i 中的r ，其中}{2,3,4,5,6,7,8,9i ∈，求E ξ．2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学参考答案一、填空题1．{}3,4； 2．23π； 3．43i -； 4．[2,)+∞； 5．4； 6．2； 7．13； 8．214-； 9．1-； 10．53；11．②④； 12．[,]33- ； 13； 14．5. 二、解答题15. 解：（１）∵角α的终边经过点(3,4)P ，∴43sin ,cos 55αα==，∴43sin()sin coscos sin44455πππααα+=+==．……………７分 （２）∵(3,4)P 关于x 轴的对称点为Q ，∴(3,4)Q -．∴(3,4),(3,4)OP OQ ==-，∴334(4)7OP OQ ⋅=⨯+⨯-=-． ……………１４分 16. 证明（1）∵四边形ABCD 是菱形，ACBD O =，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点 ∴//OG CD ， ………………3分 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线//OG 平面EFCD ．………７分（２）∵ BF CF =，点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥, ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF 平面ABCD BC =， FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥ ∴FG ⊥平面ABCD ， ………………9分∵AC ⊂平面ABCD ∴FG AC ⊥, ∵1//,2OG AB OG AB =，1//,2EF AB EF AB =，∴//,OG EF OG EF =， ∴四边形EFGO 为平行四边形, ∴//FG EO ， ………………11分 ∵FG AC ⊥，//FG EO ，∴AC EO ⊥， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥， ∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EODO O =，EO DO 、在平面ODE 内，∴AC ⊥平面ODE ． ………………1４分 17. （１）解：连结RO 并延长分别交AB CD 、于M N 、，连结OB ， ∵C D 、分别为QR PR 、的中点，2PQ =，∴112CD PQ ==，12NO =．∵1MN =，∴12MO =．在Rt BMO ∆中，1BO =，∴2BM ==，∴2AB BM == ……………6分 （２） 解法１ 设BOM θ∠=，02πθ<<．在Rt BMO ∆中，1BO =，∴sin BM θ=，cos OM θ=．∵1MN =，∴1cos CN RN ON OM θ==-==，∴BC AD ==，∴2(sin cos c AB CD BC AD θθ=+++=+……………１０分≤=（当12πθ=或512π时取等号）∴当12πθ=或512πθ=时，周长c 的最大值为km ． ………………１４分 解法２ 以O 为原点，PQ 为y 轴建立平面直角坐标系． 设(,)B m n ，,0m n >，221m n +=，(1,)C m m -，∴2AB n =，2CD m =，BC AD ==∴2(c AB CD BC AD m n =+++=++ ……………１０分≤=（当4m =4n =或4m =，4n =时取等号）∴当m =，n =或m =，n =时，周长c 的最大值为km ． ……………１４分18. 解：（1）设00(,)2P x x ，∵直线PQ 时，PQ =2200)3x x +=，∴202x =…………３分∴22211a b+=，∵2c e a ===，∴224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………６分 （２）以MN为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++ ，∴002(0,)2y M x + ， 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+- ，∴002(0,)2y N x -， ………………９分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+- 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ………………12分∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， 令0y =，2220x y +-=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． ………………16分19．证明：（１）设数列}{n a 的公差为d ， ∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-， ∴数列}{n b 是公差为d -的等差数列． ………………４分 （２）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-，∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b ca +++=+， ∴111112222n n n n n n n nn n b c b c b b c c a a +-+++++---=-=+，∵数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，∴1122n n n nb bc c ++--+为常数， ∴数列}{n a 从第二项起为等差数列． ………………１０分 （３）数列}{n a 成等差数列． 解法１ 设数列}{n b 的公差为d '， ∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-， ∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-++++=-， 设211212222n n n n n T b b b b --=+++，∴21112222n n n n n T b b b +-=+++，两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=+++-，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-，∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---，∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--， ………………１２分令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-，∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=， ∴1()n n a b d +'=--，∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-，∴数列}{n a （2n ≥）是公差为d '-的等差数列， ………………１４分 ∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴数列}{n a 是公差为d '-的等差数列． ………………１６分 解法2 ∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， ………………１２分 ∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----， ∵数列}{n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--， ………………１４分 ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列}{n a 是等差数列． ………………１６分20. 解：（1）()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---,则211()h x a x x'=+-， ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x'=+-≥，即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤，故实数a 的取值范围是(,0]-∞． ………………4分 (2) 设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--， 令10t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---，……７分令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t t tϕ+-'=-+-=，当(0,1)t ∈时 ，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-． ………………１０分 （3）由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-， 即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()xx x x x x x x x x x x x x +-=++-，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， …………１２分 不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+， ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x +-<==∴2>，即1>， 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x '=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512=+≈<，∴1G =>>，即2122x x e >． ………………１６分 附加题参考答案21.A ．证明：∵EA 与O 相切于点A ．由切割线定理：2DA DB DC =⋅．∵D 是EA 的中点，∴DA DE =．∴2DE DB DC =⋅ ． ………………５分 ∴DE DB DC DE=．∵EDB CDE ∠=∠ ∴EDB CDE ∆∆∴DEB DCE ∠=∠……１０分 21.B .解：∵1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11201B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ∴1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ………………５分 设直线l 上任意一点(,)x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(,)x y ''1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，∴22x x y y y '=-⎧⎨'=⎩．代入l '，:(2)(2)20l x y y '-+-=，化简后得：:2l x =． ………………１０分21.C .解：圆O ：224x y +=，直线l ：10x y -+=， ………………5分 圆心O 到直线l的距离2d ==，弦长AB == 21.D . 证明：∵正实数,,a b c 满足3a b c ++=，∴3a b c =++≥1abc ≤， ………………5分∴2223b c a a b c ++≥=≥． ………………１０分 22. 解：（1）以,,DA DC DD '为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 设(,,0)P t t ，(0,0,0)D ,(2,0,1)A '，(2,2,0)B ，(0,2,1)C '，(1,1,1)O '∴(1,1,1)O P t t '=---，(2,0,1)BC '=-设异面直线O P '与BC '所成角为θ，则cos 2(O P BC O P BC θ''⋅===''⋅，化简得：2212040t t -+=,解得：23t =或27t =， DP =或DP = ………………5分 （2）∵2DP =，∴33(,,0)22P ， (0,2,1)DC '=,(2,2,0)DB =，13(,,1)22PA '=-,31(,,1)22PC '=-， 设平面DC B '的一个法向量为1111(,,)n x y z =，∴1100n DC n DB ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111120220y z x y +=⎧⎨+=⎩，即11112z y x y =-⎧⎨=-⎩，取11y =-，1(1,1,2)n =-， 设平面PA C ''的一个法向量为2222(,,)n x y z =，∴2200n PA n PC ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，∴2222221302231022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，即2222z y x y =⎧⎨=⎩，取21y =，2(1,1,1)n =， 设平面PA C ''与平面DC B '所成角为ϕ，∴1212cos 36n n n n ϕ⋅===⋅， ∴sin 3ϕ=． ………………１０分 23.解：∵ 212r i C i ≤， 当2i ≥时， 02112i i iC C i ==≤，11212i i i C C i i -==≤，222(1)122i i i i i C C i --==≤，23552C ≤， ∴当25,*i i N ≤≤∈时，212ri C i ≤的解为0,1,,r i =． ………………４分 当610,*i i N ≤≤∈， 112r r i i i C C r +-≥⇔≤， 由32(1)(2)162i i i i C i --=≤3,4,5i ⇔=可知： 当0,1,2,2,1,r i i i =--时，212r i C i ≤成立， 当3,,3r i =-时，321r i i C C i ≥≥（等号不同时成立），即21r i C i >． ………………8分∴311177(012)(345678)9101616244824E ξ=++⨯++++++⨯+⨯+⨯=． ………………１０分。

2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）第一次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={-1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B= ______ ．【答案】{-1，0，1}【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}，∴C u A={x|x＜2}，又B={-1，0，1，2，3}，则（C u A）∩B={-1，0，1}．故答案为：{-1，0，1}由全集U=R，以及A，找出不属于A的部分，求出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2.已知幂函数f（x）的图象过，，则f（4）= ______ ．【答案】【解析】解：设幂函数f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过，，∴，解得a=-，∴，故f（4）==．故答案为：．设幂函数f（x）=x a，由幂函数f（x）的图象过，，知，解得a=-，由此能求出f（4）．本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.已知log a2+log a3=2，则实数a= ______ ．【答案】【解析】解：∵log a2+log a3=2，∴log a6=2，∴a2=6，a＞0，且a≠1，解得a=．故答案为：．利用对数的运算法则即可得出．本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．4.函数f（x）=ln（2x2-3）的单调减区间为______ ．【答案】（- ，）【解析】解：由2x2-3＞0，得x＜或x＞．∵内函数t=2x2-3在（- ，）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2-3）的单调减区间为（- ，）．故答案为：（- ，）．由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．本题考查复合函数的单调性的求法，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．5.若函数f（x）=是奇函数，那么实数a= ______ ．【答案】1【解析】解：因为f（x）是奇函数，所以f（0）==0，解得a=1．故答案为：1．利用奇函数定义中的特殊值f（0）=0解决问题．本题考查奇函数定义中的特殊值．6.若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为______ ．【答案】-e【解析】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），整理得y=（lnx0+1）x-x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=-e．故答案为：-e设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x-x0，对照已知直线列出关于x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．本题给出曲线y=xlnx的一条切线的斜率等于2，求切线在y轴上的截距值，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题．7.将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为______ ．【答案】y=-2cos4x【解析】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-）=-2cos2x的图象；再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为y=-2cos4x的图象，故答案为：y=-2cos4x．由条件利用诱导公式、y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式、y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.已知α，β为三角形的内角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的______ 条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．【答案】充要【解析】解：在三角形中，不妨设α，β对应的边分别为a，b，根据大边对大角知a＞b⇔α＞β成立，由正弦定理=得α＞β⇔sinα＞sinβ，即“α＞β”是“sinα＞sinβ”的充要条件，故答案为：充要．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．9.已知函数f（x）=x2-2x+3在[0，a]（a＞0）上的最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是______ ．【答案】1≤a≤2【解析】解：∵函数f（x）=x2-2x+3是开口向上的抛物线，对称轴x=1当x=1时函数取得最小值f（1）=1-2+3=2∵y=x2-2x+3在[0，a]上最小值为2∴a≥1当x=0时y=3函数y=x2-2x+3在（1，+ ）上是增函数，当x=2时y=4-4+3=3，当x＞2时y＞3∵函数y=x2-2x+3在[0，a]上最大值为3∴a≤2综上所述1≤a≤2．故答案为：1≤a≤2先求出函数f（x）的最小，正好为了说明[0，a]包含对称轴，当x=0时y=3，根据对称性可知当x=2时y=3，结合二次函数的图象可求出a的范围．二次函数是最常见的函数模型之一，也是最熟悉的函数模型，解决此类问题要充分利用二次函数的性质和图象．10.关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是______ ．【答案】（- ，-）【解析】解：若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，故＜＜，即＜＜，解得：m∈（- ，-），故答案为：（- ，-）若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，可得＜＜，进而可得m的取值范围．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根与函数零点的关系，难度中档．11.对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是______ ．【答案】（2，2+）【解析】解：∵f（x）=lnx+2x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b为方程lnx+2x=kx的两个不同根．∴k=2+，令g（x）=2+，g'（x）=，当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）递减，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）递增，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于- ，当x趋于 时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=2+有两个解．故所求的k的取值范围为（2，2+），故答案为（2，2+）．由于f（x）在定义域{x|x＞0}内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于- ，当x趋于 时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．本题主要考查利用导数求函数极值的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．12.设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f （x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx-3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f （）+f（）的值为______ ．【答案】-8058【解析】解：在f（x）=x+sinπx-3中，若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=（x1+x2）+sin（x1π）+sin（x2π）-6=2+sin（x1π）+sin（2π-x1π）-6=-4，∴f（x）=x+sinπx-3的一个对称中心为（1，-2），∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=2014×（-4）+f（）=-8056+（1+sinπ-3）=-8058．故答案为：-8058．由已知得f（x）=x+sinπx-3的一个对称中心为（1，-2），由此能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦函数的性质的合理运用．13.已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为______ ．【答案】，【解析】解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x-2），则，化为，解得．∴的取值范围为，．故答案为：，．实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）=f（-），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为______ ．【答案】-【解析】解：因为f（a）=f（-），所以|lg（a+1）|=|lg（-+1）|=|lg（）|=|lg（b+2）|，所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，于是0＜a+1＜1＜b+2．所以（10a+6b+21）+1=10（a+1）+6（b+2）=6（b+2）+＞1．从而f（10a+6b+21）=|lg[6（b+2）+]|=lg[6（b+2）+]．又f（10a+6b+21）=4lg2，所以lg[6（b+2）+]=4lg2，故6（b+2）+=16．解得b=-或b=-1（舍去）．把b=-代入（a+1）（b+2）=1解得a=-．所以a=-，b=-．a+b=-．故答案为：-．根据题目给出的等式f（a）=f（-），代入函数解析式得到a、b的关系，从而判断出f（10a+6b+21）的符号，再把f（10a+6b+21）=4lg2，转化为含有一个字母的式子即可求解．本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.已知0＜＜＜β＜π，且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）求sinβ的值．【答案】解：（1）把tan=代入tanα=，求得tanα==，再根据sin2α+cos2α=1，0＜＜＜β＜π，求得sinα=，cosα=．（2）由0＜＜＜β＜π，可得＜α+β＜，再根据sin（α+β）=，可得α+β∈（，π），∴cos（α+β）=-，∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-（-）×=．【解析】（1）由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再根据sin2α+cos2α=1，0＜＜＜β＜π，求得cosα的值．（2）由条件同角三角函数的基本关系求得cos（α+β），再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[（α+β）-α]的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．16.已知函数f（x）=sin2x-cos2x-，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0．若sin B=2sin A，求a，b的值．【答案】解：（1）∵f（x）=sin2x-cos2x-，x∈R．=sin2x--=sin（2x-）-1∴T==π∴由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ+]，k∈Z∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ+]，k∈Z（2）f（C）=sin（2C-）-1=0，则sin（2C-）=1∵0＜C＜π，∴C=∵sin B=2sin A，∴由正弦定理可得b=2a①∵c=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2-ab=3②由①②可得a=1，b=2．【解析】（1）先化简函数f（x），再求函数的单调递减区间和最小正周期；（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值．本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．17.某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润，，（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率第个月的利润第个月前的资金总和，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．【答案】解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1g（x）===．（2）当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x-1）=f（x）=1∴g（x）====．当21≤x≤60时，g（x）=====∴当第x个月的当月利润率，，；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x=40时，，又∵＞，∴当x=40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．【解析】（1）当1≤x≤20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，从而知（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1≤x≤20，21≤x≤60时f（x）的值，代入第个月的利润第个月前的资金总和即可．（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式＞，＞，且时取““可得，解答如下：本题是分段函数的应用题，借助分段函数考查反函数的单调性，基本不等式的应用，求分段函数的最值，综合性强，难度适中，值得学习．18.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．【答案】解：（1）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为，令，＞，＜，因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，所以φ（x）＞-2，故此时a≤-2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2；（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2-1|+a|x-1|=，，＜＜，，令，，，，则a=-3，a=-2，a=2.，， ， ， ．①当a＜-3时，＜，＞．则h（x）max=max{h（-1），h（1）}=h（1）=0．①-3≤a≤-2时，＜＜，＜＜．则h（x）max=max{h（-2），h（1），h（2）}，因为h（-2）=3a+3＜0，h（1）=0，h（2）=3+a≥0，所以h（x）max=h（2）=3+a．③当-2＜a＜2时，＜＜，＜＜．则， ， ，因为， ＜ ．若-2＜a＜0，h（-2）=3a+3＜h（2）=3+a．所以h（x）max=h（2）=3+a．若0≤a＜2，h（-2）=3a+3＞h（2）=3+a．所以h（x）max=h（-2）=3a+3．④当a≥2时，，．则h（x）max=max{h（-2），h（-1），h（2）}=h（-2）=3a+3．综上所述，当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0；当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．【解析】（1）运用参数分离，讨论①当x=1时，②当x≠1时，求出右边函数的取值范围，即可得到a的范围；（2）将h（x）写成分段函数的形式，再由二次函数的最值求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到最值．本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查含参的函数的最值，注意运用分类讨论的思想方法，以及二次函数的单调性，结合对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．19.已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．【答案】∴．当x∈（-1，0）时，g （x）＞0，∴g（x）在（-1，0）上单调递增；当x∈（0，+ ）时，g （x）＜0，则g（x）在（0，+ ）上单调递减，∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，设h（x）=，则，当x∈（1，e）时，h （x）＞0；当x∈（e，+ ）时，h （x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+，要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是[，2]．（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于＞．令t=，设u（t）=lnt-，t＞1则＞0，∴u（t）在（1，+ ）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．【解析】（1）先求出g（x）=ln（x-1）-x（x＞-1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于＞．令t=，设u（t）=lnt-，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证20.已知函数，，其中m∈R．（1）若0＜m≤2，试判断函数f（x）=f1（x）+f2（x）（x∈[2，+ ））的单调性，并证明你的结论；（2）设函数＜若对任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立，试确定实数m的取值范围．【答案】解：（1）f（x）为单调减函数．（1分）证明：由0＜m≤2，x≥2，可得f（x）=f1（x）+f2（x）==．由=，（4分）且0＜m≤2，x≥2，所以f'（x）＜0．从而函数f（x）为单调减函数．（5分）（亦可先分别用定义法或导数法论证函数f1（x）和f2（x）在[2，+ ）上单调递减，再得函数f（x）为单调减函数．）（2）①若m≤0，由x1≥2，，x2＜2，＞，所以g（x1）=g（x2）不成立．（7分）②若m＞0，由x＞2时，＜，所以g（x）在[2，+ ）单调递减．从而g（x1）∈（0，f1（2）]，即，．（9分）（a）若m≥2，由于x＜2时，，所以g（x）在（- ，2）上单调递增，从而g（x2）∈（0，f2（2）），即，．要使g（x1）=g（x2）成立，只需＜，即＜成立即可．由于函数在[2，+ ）的单调递增，且h（4）=0，所以2≤m＜4．（12分）（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，＜＜所以g（x）在（- ，m]上单调递增，在[m，2）上单调递减．从而g（x2）∈（0，f2（m）]，即g（x2）∈（0，1]．要使g（x1）=g（x2）成立，只需＜成立，即成立即可．由0＜m＜2，得＜，＞．故当0＜m＜2时，恒成立．（15分）综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．（16分）【解析】（1）先求导数fˊ（x），在函数给定的区间内判定fˊ（x）的符号，即可判定单调性；（2）对m进行分类讨论，然后研究个g（x）的单调性，再由“总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立”分别可求出g（x1）、g（x2）的值域，使g（x1）的值域为g（x2）的值域的子集，建立不等关系，解之即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数单调性的应用，属于中档题．。

泰州二中2014-2015学年度第一学期第一次限时作业高三数学（文科）一、填空题：（共14小题，每小题5分，计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上）1.已知全集，集合{}=12A ，，{}=23B ，，则()U C A B ⋃= ▲ . 2. 设i 为虚数单位，复数ii-12等于____▲_______ 3.已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a = ▲ . 4.“22a b >”是22log log a b >”的 ▲ 条件.5. 抛物线241x y =的准线方程是 ▲ ．{}1,2,3,4U =6.在等比数列{}a 中，若,a a 是方程2420x x ++=的两根，则a 的值是___▲____.8. 如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则221x y +-的最小值是▲ .9．函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．10.设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若,,m n m α⊥⊥则n α∥； ②若,,m βαβ⊥⊥则m α∥；③若βα⊥⊥m m ,，则α∥β；④若,,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥. 其中正确的命题序号是 ▲ .11. 已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 12．下列说法中，正确的有 ▲ ．（写出所有正确命题的序号）．①若f '（x 0）＝0，则x 0为f （x ）的极值点；②在闭区间[a ，b ]上，极大值中最大的就是最大值； ③若f （x ）的极大值为f （x 1），f （x ）的极小值为f （x 2），则f （x 1）＞f （x 2）； ④有的函数有可能有两个最小值；⑤已知函数x e x f =)(,对于)(x f 定义域内的任意一个1x 都存在唯一个1)()(,212=x f x f x 使成立．13. 如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则CQ BP ∙的最大值为 ▲ ．14.设(,)P x y 为函数21(y x x =->图象上一动点，记353712x y x y z x y +-+-=+--，则当z 最小时，点P 的坐标为 ▲ .二、解答题：（本题共6小题，计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本题14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中， AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ；16.（本题14分）已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．且()2A f =， ①求角A 的大小．②求CB A T 222sin sin sin ++=的范围 17.（本题15分）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ，CE ＝5 m ，CF ＝6 m ，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系.(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h 的取值范围.18. （本题15分）在ABC △中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ．已知2,3c C π==．（1）若ABC △ABC △的形状，并说明理由； （2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．19.（本题16分）已知数列{}n a 前n 项和为11,,,2n n n S a a S 首项为且，成等差数列.(1)求数列{}a 的通项公式;1b ++<（1）当0a ＞时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒，且函数21()()()2g x x nx mf x m n '=++∈R ，当且仅当在1x =处取得极值，其中()f x '为()f x 的导函数，求m 的取值范围；FB CEA 1A 1B1C。

2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．3．复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=．4．函数y=的定义域为．5．执行如图所示的流程图，则输出的n为．6．若数据2，x，2，2的方差为0，则x．7．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．8．等比数列a n中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为．9．已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=．10．双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=．11．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．12．已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC 的面积的最大值为．14．在梯形ABCD中，=2，=6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足++4=，•=•，Q为边AD上的一个动点，则的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．（1）求sin（α+）的值；（2）若P关于x轴的对称点为Q，求•的值．16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．17．如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ 构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．19．数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n﹣2a n+1，c n=a n+1+2a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{b n}，{c n}都是等差数列，求证：数列{a n}从第二项起为等差数列；（3）若数列{b n}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{a n}是否成等差数列？证明你的结论．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）三、选做题共4小题，满分20分【几何证明选讲】21．如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．求证：∠DEB=∠DCE．【矩阵与变换】22．已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l 的方程．【坐标系与参数方程选讲】23．己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．【不等式选讲】24．已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：++≥3．四、解答题（共2小题，满分20分）25．如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD 上（点P与点B不重合）．（1）若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；（2）若DP=，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．26．记C i r为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C i r≤i2的二元数组（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C i r（r=0，1，2，…，i）都等可能出现．求Eξ．2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B={3，4}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3．复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=4﹣3i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵iz=3+4i，∴﹣i•iz=﹣i（3+4i），∴z=4﹣3i，故答案为：4﹣3i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．函数y=的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．5．执行如图所示的流程图，则输出的n为4．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=63时，不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=511，n=1满足条件S＞63，S=255，n=2满足条件S＞63，S=127，n=3满足条件S＞63，S=63，n=4不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的S，n的值是解题的关键，属于基础题．6．若数据2，x，2，2的方差为0，则x=2．【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．【解答】解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到=0，解得x=2；故答案为：2．【点评】本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题7．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题8．等比数列a n中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为﹣．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据a1+32a6=0，求出公比q的值，再根据a3a4a5=1，求出a4与a1，即可计算数列的前6项和S6．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1+32a6=0，∴q5==﹣，即公比q=﹣；又∵a3a4a5=1，∴a4=1，∴a1===﹣8；∴该数列的前6项和为S6===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和的计算问题，是基础题目．9．已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数f（x）=是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴cos（x+α）=sinx恒成立，∴α=﹣+2kπ，k∈Z，∴sinα=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．10．双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0的距离为：==b，右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c，由题意可得，b=（a+c），即有4b2=a2+c2+2ac，即4（c2﹣a2）=a2+c2+2ac，即3c2﹣5a2﹣2ac=0，由e=，则有3e2﹣2e﹣5=0，解得，e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．11．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为②④．（写出所有真命题的序号）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故答案为：②④．【点评】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．12．已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x﹣2），则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4得，7a2+2b2=4，即2b2=4﹣7a2，由余弦定理得，cosC==，所以sinC===，则△ABC的面积S===a==×≤××==，当且仅当15a2=8﹣15a2取等号，此时a2=，所以△ABC 的面积的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．14．在梯形ABCD 中，=2，=6，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足++4=，•=•，Q 为边AD 上的一个动点，则的最小值为 ．【考点】向量的加法及其几何意义． 【专题】平面向量及应用．【分析】画图，根据向量的几何意义和++4=，可求出=2，||=4，设∠ADP=θ，根据•=•，求出cos θ，继而求出sin θ，再根据射影定理得到的最小值【解答】解：取AB 的中点，连接PE ，∵=2，∴=2，∴=，∴四边形DEBC 为平行四边形，∴=，∵+=﹣2，++4=，∴=2，∵=6，∴=2，||=4，设∠ADP=θ，∵•=•，∴•=||||cos θ=•，∴cosθ=，∴sinθ=，当PQ⊥AD时，最小，∴=|DP|sinθ|=2×=故答案为：【点评】本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．（1）求sin（α+）的值；（2）若P关于x轴的对称点为Q，求•的值．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）由已知的α的三角函数值，然后利用两角和的正弦公式求值；（2）由已知求出Q的坐标，明确，的坐标，利用数量积公式解答．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴，…∴．…（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，∴Q（3，﹣4）．…∴，∴．…【点评】本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算．属于基础题．16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∵，，∴OG∥EF，OG=EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题．17．如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ 构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．【考点】三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】（1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，运用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理计算即可得到AB的长；（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+），再由≤（当且仅当a=b取得等号），计算即可得到最大值．【解答】（1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴，∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴，．∵MN=1，∴．在Rt△BMO中，BO=1，∴，∴．（2）设∠BOM=θ，，在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．∵MN=1，∴CN=RN=1﹣ON=OM=cosθ，∴，∴，，当sinθ+cosθ=，即有sin2θ=，即或时取等号．∴当或时，周长c的最大值为km．【点评】本题考查三角函数的最值，考查重要不等式的运用，考查同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．【解答】解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n﹣2a n+1，c n=a n+1+2a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{b n}，{c n}都是等差数列，求证：数列{a n}从第二项起为等差数列；（3）若数列{b n}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{a n}是否成等差数列？证明你的结论．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的定义只要证明b n+1﹣b n=一个常数即可；=a n+2a n+1﹣2，b n=a n﹣2a n+1，可得，，只要证（2）当n≥2时，c n﹣1明a n+1﹣a n等于一个常数即可；（3）解：数列{a n}成等差数列．解法1设数列{b n}的公差为d'，由b n=a n﹣2a n+1，利用“错位相减”可得，设，可得，进而得到，令n=2，得，利用b1+a3=0，可得a n+2﹣a n+1=﹣（b n+1﹣d'）+（b n﹣d'）=﹣d'，即可证明．解法2 由b n=a n﹣2a n+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，可得b n+1=a n+1﹣2a n+2，b n+2=a n+2﹣2a n+3，2b n+1﹣b n﹣b n+2=（2a n+1﹣a n﹣a n+2）﹣2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），由于数列{b n}是等差数列，可得2b n+1﹣b n﹣b n+2=0，可得2a n+1﹣a n﹣a n+2=2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），即可证明．【解答】证明：（1）设数列{a n}的公差为d，∵b n=a n﹣2a n+1，∴b n+1﹣b n=（a n+1﹣2a n+2）﹣（a n﹣2a n+1）=（a n+1﹣a n）﹣2（a n+2﹣a n+1）=d﹣2d=﹣d，∴数列{b n}是公差为﹣d的等差数列．=a n+2a n+1﹣2，（2）当n≥2时，c n﹣1∵b n=a n﹣2a n+1，∴，∴，∴，∵数列{b n}，{c n}都是等差数列，∴为常数，∴数列{a n}从第二项起为等差数列．（3）解：数列{a n}成等差数列．解法1设数列{b n}的公差为d'，∵b n=a n﹣2a n+1，∴，∴，…，，∴，设，∴，两式相减得：，即，∴，∴，∴，令n=2，得，∵b1+a3=0，∴，∴2a1+2b1﹣4d′=0，∴a n+1=﹣（b n﹣d′），∴a n+2﹣a n+1=﹣（b n+1﹣d′）+（b n﹣d′）=﹣d′，∴数列{a n}（n≥2）是公差为﹣d'的等差数列，∵b n=a n﹣2a n+1，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，∴数列{a n}是公差为﹣d'的等差数列．解法2∵b n=a n﹣2a n+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，∴b n+1=a n+1﹣2a n+2，b n+2=a n+2﹣2a n+3，∴2b n+1﹣b n﹣b n+2=（2a n+1﹣a n﹣a n+2）﹣2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），∵数列{b n}是等差数列，∴2b n+1﹣b n﹣b n+2=0，∴2a n+1﹣a n﹣a n+2=2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），∵a1﹣2a2+a3=0，∴2a n+1﹣a n﹣a n+2=0，∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解答】（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和函数构造法，本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大．三、选做题（共4小题，满分20分ont-family: &#39;Times New Roman&#39;; mso-hansi-font-family: &#39;Times New Roman&#39;&quot;&gt;&lt;STRONG&gt;四小题中任选两题作答&lt;/STRONG&gt;&lt;/SPAN&gt;）【几何证明选讲】21．如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．求证：∠DEB=∠DCE．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】立体几何．【分析】由切割线定理：DA2=DB•DC，从则DE2=DB•DC，进而△EDB～△CDE，由此能证明∠DEB=∠DCE．【解答】证明：∵EA与⊙O相切于点A．∴由切割线定理：DA2=DB•DC．∵D是EA的中点，∴DA=DE．∴DE2=DB•DC．…∴．∵∠EDB=∠CDE，∴△EDB～△CDE，∴∠DEB=∠DCE…【点评】本题考查两角相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．【矩阵与变换】22．已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l 的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】矩阵和变换．【分析】计算出AB﹣1的值，设出变换，计算即可．【解答】解：∵，∴，∴，设直线l上任意一点（x，y）在矩阵AB﹣1对应的变换下为点（x'，y'），∴．代入l'，l'：（x﹣2y）+（2y）﹣2=0，化简后得：l：x=2．【点评】本题考查了矩阵的变换，属基础题．【坐标系与参数方程选讲】23．己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用sin2α+cos2α=1可得圆O的普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可得圆心O（0，0）到直线l的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=．【解答】解：由圆O的参数方程（α为参数），利用sin2α+cos2α=1可得圆O：x2+y2=4，又直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1可得直线l：x﹣y+1=0，圆心O（0，0）到直线l的距离，弦长．【点评】本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．【不等式选讲】24．已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：++≥3．【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】证明：∵正实数a，b，c满足a+b+c=3，∴，∴abc≤1，∴．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．四、解答题（共2小题，满分20分）25．如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD 上（点P与点B不重合）．（1）若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；（2）若DP=，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）以为一组正交基底，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由此利用向量法能求出DP的长度．（2）求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量，利用向量法求出设平面PA'C'与平面DC'B所成角的余弦值，由此能求出平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．【解答】解：（1）以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，由题意，知D（0，0，0），A'（2，0，1），B（2，2，0），C'（0，2，1），O'（1，1，1）．设P（t，t，0），∴，．设异面直线O'P与BC'所成角为θ，则，化简得：21t2﹣20t+4=0，解得：或，或．…（2）∵，∴，，，，，设平面DC'B的一个法向量为，∴，∴，即，取y1=﹣1，，设平面PA'C'的一个法向量为，∴，∴，即，取y2=1，，设平面PA'C'与平面DC'B所成角为φ，∴，∴．…【点评】本题考查线段长的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．26．记C i r为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C i r≤i2的二元数组（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C i r（r=0，1，2，…，i）都等可能出现．求Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】由已知得当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，，由此能求出Eξ．【解答】解：∵，当i≥2时，，，，，∴当2≤i≤5，i∈N*时，的解为r=0，1，…，i．…当6≤i≤10，i∈N*，，由⇔i=3，4，5可知：当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，（等号不同时成立），即．…∴ξ的分布列为：…∴．…【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．。

泰州市2015届高三第一次模拟考试(七)化 学2015.2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分120分，考试时间100分钟。

可能用到的相对原子质量：H —1 N —14 O —16 Al —27 S —32 K —39 I —127第Ⅰ卷(选择题 共40分)单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1. 2014年“世界水日”和“中国水周”的活动主题为“加强河湖管理，建设水生态文明”。

下列关于水的说法正确的是( )A. 为了保护水资源，禁止使用化肥、农药B. 用电解大量水的方法获得清洁能源氢气C. 4 ℃时，纯水的pH ＝7D. 城市浇花，采用喷灌、滴灌技术 2. 下列有关化学用语表示正确的是( )A. Al 3＋的结构示意图：B. 四氯化碳分子的球棍模型：C. 二硫化碳的电子式：··S ······C ······S ······ D. 聚丙烯的结构简式： CH 2CHCH 3 3. 常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的一组是( )A. pH ＝1的溶液中：Ca 2＋、Na ＋、ClO －、NO －3B. 澄清透明的溶液中：Cu 2＋、K ＋、SO 2－4、Cl －C. 0.1 mol ·L －1 NaAlO 2的溶液中：Na ＋、Al 3＋、NO －3、Cl －D. 水电离产生的c(H ＋) ＝10－12 mol ·L －1的溶液中：Na ＋、Fe 2＋、SO 2－4、NO －3 4. 下列有关物质性质与应用的对应关系正确的是( )A. 甲醛可以使蛋白质变性，所以福尔马林可作食品的保鲜剂B. Cl 2和SO 2都具有漂白性，所以都可以使滴有酚酞的NaOH 溶液褪色C. 碳酸氢钠溶液具有弱碱性，可用于制胃酸中和剂D. 氯化铝是强电解质，可电解其水溶液获得金属铝5. 设N A 为阿伏加德罗常数的值。

2014-2015学年江苏省泰州二中高三（上）第一次限时数学试卷（理科）一、填空题（请把答案写在答题纸的指定位置上.）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={1，2，4}，则∁U（A∪B）= ．2．命题p：a∈M={x|x2﹣x＜0}；命题q：a∈N={x|x＜2}；p是q的条件．3．函数的定义域为（以区间作答）4．0.04﹣（﹣0.3）0+16= ．5．在△ABC中，∠A=45°，∠C=105°，BC=，则AC的长度为．6．若函数f（x）=x2+（a2﹣4a+1）x+2在区间（﹣∞，1]上是减函数，则a的取值范围是．7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则f（﹣2）= ．8．已知向量夹角为45°，且，则= ．9．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．10．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+）则+= ．11．如图，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P为CD的中点，则的值为．12．定义：F（x，y）=y x（x＞0，y＞0），设数列{a n}满足a n=，设S n为数列{}的前n项和，则S n1（填“＞”、“=”、“＜”）．13．设函数f（x）=x2+c，g（x）=ae x的图象的一个公共点为P（2，t），且曲线y=f（x），y=g（x）在P点处有相同的切线，若函数f（x）﹣g（x）的负零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k= ．14．下列命题中，正确的是①平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则||=；②已知=（sinθ，），=（1，）其中θ∈（π，）则；③O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：+λ（+），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．二、解答题（将解答过程写在答题纸指定区域内）15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．16．已知函数f（x）=2sin•cos+cos．（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．17．已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．18．将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时．应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间．19．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．2014-2015学年江苏省泰州二中高三（上）第一次限时数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（请把答案写在答题纸的指定位置上.）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={1，2，4}，则∁U（A∪B）= {3，5} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：首先求出A∪B，进而求出C U（A∪B）．解答：解：A∪B={1，2，4}；∴C U（A∪B）={3，5}故答案为：{3，5}．点评：本题考查了补、并的混合运算，属于基础题型．2．命题p：a∈M={x|x2﹣x＜0}；命题q：a∈N={x|x＜2}；p是q的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：命题p：a∈M={x|x2﹣x＜0}，解出0＜x＜1；命题q：a∈N={x|x＜2}，然后判断充要条件．解答：解：命题p：a∈M={x|x2﹣x＜0}，可知x2﹣x＜0时M={x|0＜x＜1}；命题q：a∈N={x|x＜2}，显然a∈M则a∈N，即p⇒q；a∈N时则a不一定∈M，q不能推出p，p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．函数的定义域为[1，+∞）（以区间作答）考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：欲使函数要有意义只需偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组，解之即可．解答：解：函数要有意义则即∴函数的定义域为{x|x≥1}故答案为：[1，+∞）点评：本题主要考查了偶次根式函数、对数函数的定义域，以及利用单调性解对数不等式，属于基础题．4．0.04﹣（﹣0.3）0+16= 12 ．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用有理指数幂的运算法则求解即可．解答：解：0.04﹣（﹣0.3）0+16==﹣1+8=12．故答案为：12．点评：本题考查有理指数幂的运算，基本知识的考查．5．在△ABC中，∠A=45°，∠C=105°，BC=，则AC的长度为 1 ．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由A与C的度数，利用三角形内角和定理求出B的度数，再由sinA，sinB及BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．解答：解：∵∠A=45°，∠C=105°，∴∠B=30°，∵BC=，∴由正弦定理=得：AC===1．故答案为：1点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．若函数f（x）=x2+（a2﹣4a+1）x+2在区间（﹣∞，1]上是减函数，则a的取值范围是[1，3] ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的对称轴方程为x=﹣，且函数在区间（﹣∞，1]上是减函数，可得﹣≥1，由此求得a的范围．解答：解：由于函数f（x）=x2+（a2﹣4a+1）x+2的对称轴方程为x=﹣，且函数在区间（﹣∞，1]上是减函数，故有﹣≥1，求得1≤a≤3，故答案为：[1，3]，点评：本题主要考查二次函数的性质的应用，属于基础题．7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则f（﹣2）= ﹣1 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由奇函数性质得，f（﹣0）=﹣f（0），可得f（0）的值；再借助x＞0时，f（x）=2x﹣3，可将f（﹣2）转化为f（2）求解．解答：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，又x＞0时，f（x）=2x﹣3，所以f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣3）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查奇偶性的定义及其应用奇偶性求函数值，属基础题．8．已知向量夹角为45°，且，则= 3．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得，=，代入|2|====可求解答：解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法9．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．考点：余弦函数的奇偶性；导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值解答：解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．点评：本题主要考查了两角差的正弦公式，函数的求导公式，奇函数的性质：若函数f（x）为R上奇函数，则f（0）=0，属于对基础知识的综合考查，试题较易．10．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+）则+= ．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由等差数列的性质，知+==，由此能够求出结果．解答：解：∵S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+），∴+====．故答案为：．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11．（2012•雁峰区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P为CD的中点，则的值为 5 ．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由题意可得 cos∠PDA=，再由=（+）•（+）=（+2）•（﹣+），利用两个向量的数量积的定义运算求得结果．解答：解：由题意可得tan∠PDA=2，cos∠PDA=，=2，=﹣，||=||==．∴=（+）•（+）=（+2）•（﹣+）=﹣﹣•+2 =﹣5﹣×2 cos（π﹣∠PDA）+2×4=﹣5﹣×2×（﹣）+8=5，故答案为 5．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于基础题．12．定义：F（x，y）=y x（x＞0，y＞0），设数列{a n}满足a n=，设S n为数列{}的前n项和，则S n＜1（填“＞”、“=”、“＜”）．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由F（x，y）=y x（x＞0，y＞0），知a n==，故===﹣，由此能求出结果．解答：解：∵F（x，y）=y x（x＞0，y＞0），∴a n==，∴===﹣，∴S n=1﹣+…+﹣=1﹣＜1．故答案为：＜．点评：本题考查数列的递推式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．13．设函数f（x）=x2+c，g（x）=ae x的图象的一个公共点为P（2，t），且曲线y=f（x），y=g（x）在P点处有相同的切线，若函数f（x）﹣g（x）的负零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k= ﹣1 ．考点：函数零点的判定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意知f′（2）=g′（2），即4=ae2①，f（2）=g（2），即4+c=ae2②，联立①②可求a，c，从而得f（x）﹣g（x），利用导数可判断函数在（﹣∞，0）上的单调性，由零点判定定理可知零点的存在的区间，由此可求k．解答：解：f′（x）=2x，g′（x）=ae x，∵曲线y=f（x），y=g（x）在P（2，t）点处有相同的切线，∴f′（2）=g′（2），即4=ae2，①又P为两曲线的公共点，∴f（2）=g（2），即4+c=ae2，②由①②解得c=0，a=，令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣•e x=x2﹣4e x﹣2，则h′（x）=2x﹣4e x﹣2，当x≤0时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，又h（﹣1）=1﹣4e﹣3＞0，h（0）=﹣4e﹣2＜0，∴h（x）在（﹣1，0）内有唯一零点，由题意知（k，k+1）=（﹣1，0），∴k=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查函数的零点判定定理．曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题14．下列命题中，正确的是①②③①平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则||=；②已知=（sinθ，），=（1，）其中θ∈（π，）则；③O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：+λ（+），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；压轴题．分析：①由，求出，在三个向量构成的三角形中，运用余弦定理求；②写出两个向量的数量积，运用同角三角函数的基本关系式整理即可得到结论；③把给出等式中的角的正弦值用对应边长和外接圆半径表示，移向整理后得即．由此式可知直线AP一定通过△ABC的内心．解答：解：①如图，因为=（2，0），所以，对应的向量是以和为邻边的平行四边形的对角线，由余弦定理得：=，所以①正确；②由=（sinθ，），=（1，），则==sinθ+|sinθ|，因为θ∈（π，），所以sinθ＜0，所以，所以，所以②正确；③如图，在△ABC中，由（R为三角形ABC外接圆半径），所以，所以+λ（+）=+=，即．所以直线AP一定通过△ABC的内心．所以③正确．故答案为①②③点评：本题考查了命题的真假的判断与运用，解答此题的关键是判断③，需要掌握的是表示方向上的单位向量，此题是中档题．二、解答题（将解答过程写在答题纸指定区域内）15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m的值；（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆C R B，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解答：解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（4分）（1）∵A∩B=[0，3]∴（6分）∴，∴m=2；（8分）（2）C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}（10分）∵A⊆C R B，∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，（12分）∴m＞5，或m＜﹣3．（14分）点评：此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握．16．已知函数f（x）=2sin•cos+cos．（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f（x）=2sin•cos+cos，为y=2sin，（1）直接利用周期公式求出周期，求出最值．（2）求出g（x）=f的表达式，g（x）=2cos．然后判断出奇偶性即可．解答：解：（1）∵f（x）=sin+cos=2sin，∴f（x）的最小正周期T==4π．当sin=﹣1时，f（x）取得最小值﹣2；当sin=1时，f（x）取得最大值2．（2）g（x）是偶函数．理由如下：由（1）知f（x）=2sin，又g（x）=f，∴g（x）=2sin=2sin=2cos．∵g（﹣x）=2cos=2cos=g（x），∴函数g（x）是偶函数．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，常考题型．17．已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得．解得 m=，n=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．18．将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时．应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间．考点：简单线性规划的应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（1）设A组的人数为x，则B组人数为52﹣x，可求出A组所用时间t1==，B组所用时间=令t1=t2，可求x，然后代入检验即可（2）先求出1小时后A组余下白杨，根据此时的人数可求还需时间，同理可求B组还需时间，两组所化时间进行比较即可求解植树持续时间解答：解：（1）设A组的人数为x，则B组人数为52﹣xA组所用时间t1==，B组所用时间=令t1=t2，则，解可得x=19.5①当 x=19时，t1=≈3.158，≈3.030＜3.158，总用时 3.158小时②当 x=20时，t1==3，=3.125＞3，总用时 3.125小时总用时 3.125小时＜3.158小时∴应分配 A组 20人，B组32人，总用时最短为小时（2）1小时后，A组已种=50捆，余150﹣50=100捆白杨，此后，A组20﹣6=14人，还需=≈2.857小时B组已种=48捆，余200﹣48=152捆，此后B组32+6=38人还需时间=≈2.687 小时＜2.857小时∴植树持续时间+1=点评：本题主要考查了线性规划知识在实际问题中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题19．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．考点：等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为的等比数列{a n}不是递减数列，求出q值，可得答案．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．解答：解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）即4a5=a3，故q2==又∵数列{a n}不是递减数列，且等比数列的首项为∴q=﹣∴数列{a n}的通项公式a n=×（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1•（Ⅱ）由（Ⅰ）得S n=1﹣（﹣）n=当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1=故0＜≤=﹣=当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以1＞S n≥S2=故0＞≥=﹣=综上，对于n∈N*，总有≤≤故数列{T n}的最大项的值为，最小项的值为点评：本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析问题和解析问题的能力．20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（2）将函数图象只有一个公共点转化为方程只有一根，再分离参数，求出函数的最小值即可；（3）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．解答：解：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=∴①时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为；②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，∴f（x）min=；（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，等价于f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一根，即a=在（0，+∞）上有且只有一根令h（x）=，则∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数单调递增∴a=h（x）min=h（1）=3（3）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（）=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意两式相减可得∴x2=4x1代入上述方程可得此时所以，实数a的取值范围为．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，考查数形结合的数学思想，综合性强．。

江苏省泰州市2015届高三一模数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）（2015•泰州一模）已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B={3，4}．【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：由A与B，求出两集合的交集即可．【解析】：解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•泰州一模）函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．【考点】：三角函数的周期性及其求法．【专题】：计算题．【分析】：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．【解析】：解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：【点评】：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3．（5分）（2015•泰州一模）复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=4﹣3i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：∵iz=3+4i，∴﹣i•iz=﹣i（3+4i），∴z=4﹣3i，故答案为：4﹣3i．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．（5分）（2015•泰州一模）函数y=的定义域为[2，+∞）．【考点】：函数的定义域及其求法．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解析】：解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．5．（5分）（2015•泰州一模）执行如图所示的流程图，则输出的n为4．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=63时，不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得S=511，n=1满足条件S＞63，S=255，n=2满足条件S＞63，S=127，n=3满足条件S＞63，S=63，n=4不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的S，n的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）（2015•泰州一模）若数据2，x，2，2的方差为0，则x=2．【考点】：极差、方差与标准差．【专题】：概率与统计．【分析】：由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．【解析】：解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到=0，解得x=2；故答案为：2．【点评】：本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题7．（5分）（2015•泰州一模）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：排列组合．【分析】：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解析】：解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】：本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题8．（5分）（2015•泰州一模）等比数列a n中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为﹣．【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：根据a1+32a6=0，求出公比q的值，再根据a3a4a5=1，求出a4与a1，即可计算数列的前6项和S6．【解析】：解：∵等比数列{a n}中，a1+32a6=0，∴q5==﹣，即公比q=﹣；又∵a3a4a5=1，∴a4=1，∴a1===﹣8；∴该数列的前6项和为S6===﹣．故答案为：﹣．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和的计算问题，是基础题目．9．（5分）（2015•泰州一模）已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=﹣1．【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】：由已知中函数f（x）=是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．【解析】：解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx，∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（﹣x），∴cos（x+α）=sinx恒成立，∴α=﹣+2kπ，k∈Z，∴sinα=﹣1，故答案为：﹣1【点评】：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．10．（5分）（2015•泰州一模）双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．【解析】：解：双曲线﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0的距离为：==b，右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c，由题意可得，b=（a+c），即有4b2=a2+c2+2ac，即4（c2﹣a2）=a2+c2+2ac，即3c2﹣5a2﹣2ac=0，由e=，则有3e2﹣2e﹣5=0，解得，e=．故答案为：．【点评】：本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．11．（5分）（2015•泰州一模）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为②④．（写出所有真命题的序号）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．【解析】：解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故答案为：②④．【点评】：本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．12．（5分）（2015•泰州一模）已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．【考点】：基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解析】：解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x﹣2），则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．【点评】：本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2015•泰州一模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解析】：解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4得，7a2+2b2=4，即2b2=4﹣7a2，由余弦定理得，cosC==，所以sinC===，则△ABC的面积S===a==×≤××==，当且仅当15a2=8﹣15a2取等号，此时a2=，所以△ABC的面积的最大值为，故答案为：．【点评】：本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．14．（5分）（2015•泰州一模）在梯形ABCD中，=2，=6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足++4=，•=•，Q为边AD上的一个动点，则的最小值为．【考点】：向量的加法及其几何意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画图，根据向量的几何意义和++4=，可求出=2，||=4，设∠ADP=θ，根据•=•，求出c osθ，继而求出sinθ，再根据射影定理得到的最小值【解析】：解：取AB的中点，连接PE，∵=2，∴=2，∴=，∴四边形DEBC为平行四边形，∴=，∵+=﹣2，++4=，∴=2，∵=6，∴=2，||=4，设∠ADP=θ，∵•=•，∴•=||||cosθ=•，∴cosθ=，∴sinθ=，当⊥时，最小，∴=|DP|sinθ|=2×=故答案为：【点评】：本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）（2015•泰州一模）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．（1）求sin（α+）的值；（2）若P关于x轴的对称点为Q，求•的值．【考点】：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】：平面向量及应用．【分析】：（1）由已知的α的三角函数值，然后利用两角和的正弦公式求值；（2）由已知求出Q的坐标，明确，的坐标，利用数量积公式解答．【解析】：解：（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴，…（4分）∴．…（7分）（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，∴Q（3，﹣4）．…（9分）∴，∴．…（14分）【点评】：本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算．属于基础题．16．（14分）（2015•泰州一模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD 相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【考点】：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解析】：证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（7分）（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…（9分）∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∵，，∴OG∥EF，OG=EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…（14分）【点评】：本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题．17．（14分）（2015•泰州一模）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD 的周长为ckm．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．【考点】：三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型．【专题】：计算题；应用题；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】：（1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，运用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理计算即可得到AB的长；（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+），再由≤（当且仅当a=b取得等号），计算即可得到最大值．【解析】：（1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴，∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴，．∵MN=1，∴．在Rt△BMO中，BO=1，∴，∴．（2）设∠BOM=θ，，在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．∵MN=1，∴CN=RN=1﹣ON=OM=cosθ，∴，∴，，当sinθ+cosθ=，即有sin2θ=，即或时取等号．∴当或时，周长c的最大值为km．【点评】：本题考查三角函数的最值，考查重要不等式的运用，考查同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．18．（16分）（2015•泰州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．【解析】：解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．【点评】：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（16分）（2015•泰州一模）数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n﹣2a n+1，c n=a n+1+2a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{b n}，{c n}都是等差数列，求证：数列{a n}从第二项起为等差数列；（3）若数列{b n}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{a n}是否成等差数列？证明你的结论．【考点】：数列递推式；等比关系的确定．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）利用等差数列的定义只要证明b n+1﹣b n=一个常数即可；（2）当n≥2时，c n﹣1=a n+2a n+1﹣2，b n=a n﹣2a n+1，可得，，只要证明a n+1﹣a n等于一个常数即可；（3）解：数列{a n}成等差数列．解法1设数列{b n}的公差为d'，由b n=a n﹣2a n+1，利用“错位相减”可得，设，可得，进而得到，令n=2，得，利用b1+a3=0，可得a n+2﹣a n+1=﹣（b n+1﹣d'）+（b n﹣d'）=﹣d'，即可证明．解法2 由b n=a n﹣2a n+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，可得b n+1=a n+1﹣2a n+2，b n+2=a n+2﹣2a n+3，2b n+1﹣b n﹣b n+2=（2a n+1﹣a n﹣a n+2）﹣2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），由于数列{b n}是等差数列，可得2b n+1﹣b n﹣b n+2=0，可得2a n+1﹣a n﹣a n+2=2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），即可证明．【解析】：证明：（1）设数列{a n}的公差为d，∵b n=a n﹣2a n+1，∴b n+1﹣b n=（a n+1﹣2a n+2）﹣（a n﹣2a n+1）=（a n+1﹣a n）﹣2（a n+2﹣a n+1）=d﹣2d=﹣d，∴数列{b n}是公差为﹣d的等差数列．（2）当n≥2时，c n﹣1=a n+2a n+1﹣2，∵b n=a n﹣2a n+1，∴，∴，∴，∵数列{b n}，{c n}都是等差数列，∴为常数，∴数列{a n}从第二项起为等差数列．（3）解：数列{a n}成等差数列．解法1设数列{b n}的公差为d'，∵b n=a n﹣2a n+1，∴，∴，…，，∴，设，∴，两式相减得：，即，∴，∴，∴，令n=2，得，∵b1+a3=0，∴，∴2a1+2b1﹣4d'=0，∴a n+1=﹣（b n﹣d'），∴a n+2﹣a n+1=﹣（b n+1﹣d'）+（b n﹣d'）=﹣d'，∴数列{a n}（n≥2）是公差为﹣d'的等差数列，∵b n=a n﹣2a n+1，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，∴数列{a n}是公差为﹣d'的等差数列．解法2∵b n=a n﹣2a n+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，∴b n+1=a n+1﹣2a n+2，b n+2=a n+2﹣2a n+3，∴2b n+1﹣b n﹣b n+2=（2a n+1﹣a n﹣a n+2）﹣2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），∵数列{b n}是等差数列，∴2b n+1﹣b n﹣b n+2=0，∴2a n+1﹣a n﹣a n+2=2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），∵a1﹣2a2+a3=0，∴2a n+1﹣a n﹣a n+2=0，∴数列{a n}是等差数列．【点评】：本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）（2015•泰州一模）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解析】：（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．【点评】：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和函数构造法，本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大．三、选做题（共4小题，满分20分，&lt;SPAN style=&quot;FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-bidi-font-family: &#39;Times New Roman&#39;; mso-font-kerning: 1.0pt;mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA;mso-bidi-font-size: 16.0pt; mso-ascii-font-family: &#39;Times New Roman&#39;;mso-hansi-font-family: &#39;Times New Roman&#39;&quot;&gt;&lt;STRONG&gt;四小题中任选两题作答&lt;/STRONG&gt;&lt;/SPAN&gt;）【几何证明选讲】21．（10分）（2015•泰州一模）如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．求证：∠DEB=∠DCE．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：立体几何．【分析】：由切割线定理：DA2=DB•DC，从则DE2=DB•DC，进而△EDB～△CDE，由此能证明∠DEB=∠DCE．【解析】：证明：∵EA与⊙O相切于点A．∴由切割线定理：DA2=DB•DC．∵D是EA的中点，∴DA=DE．∴DE2=DB•DC．…（5分）∴．∵∠EDB=∠CDE，∴△EDB～△CDE，∴∠DEB=∠DCE…（10分）【点评】：本题考查两角相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．【矩阵与变换】22．（10分）（2015•泰州一模）已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l的方程．【考点】：几种特殊的矩阵变换．【专题】：矩阵和变换．【分析】：计算出AB﹣1的值，设出变换，计算即可．【解析】：解：∵，∴，∴，设直线l上任意一点（x，y）在矩阵AB﹣1对应的变换下为点（x'，y'），∴．代入l'，l'：（x﹣2y）+（2y）﹣2=0，化简后得：l：x=2．【点评】：本题考查了矩阵的变换，属基础题．【坐标系与参数方程选讲】23．（2015•泰州一模）己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：利用sin2α+cos2α=1可得圆O的普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可得圆心O（0，0）到直线l的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=．【解析】：解：由圆O的参数方程（α为参数），利用sin2α+cos2α=1可得圆O：x2+y2=4，又直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1可得直线l：x﹣y+1=0，圆心O（0，0）到直线l的距离，弦长．【点评】：本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．【不等式选讲】24．（2015•泰州一模）已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：++≥3．【考点】：不等式的基本性质．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：利用基本不等式的性质即可得出．【解析】：证明：∵正实数a，b，c满足a+b+c=3，∴，∴abc≤1，∴．【点评】：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．四、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）（2015•泰州一模）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD上（点P与点B不重合）．（1）若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；（2）若DP=，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）以为一组正交基底，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由此利用向量法能求出DP的长度．（2）求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量，利用向量法求出设平面PA'C'与平面DC'B所成角的余弦值，由此能求出平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．【解析】：解：（1）以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，由题意，知D（0，0，0），A'（2，0，1），B（2，2，0），C'（0，2，1），O'（1，1，1）．设P（t，t，0），∴，．设异面直线O'P与BC'所成角为θ，则，化简得：21t2﹣20t+4=0，解得：或，或．…（5分）（2）∵，∴，，，，，设平面DC'B的一个法向量为，∴，∴，即，取y1=﹣1，，设平面PA'C'的一个法向量为，∴，∴，即，取y2=1，，设平面PA'C'与平面DC'B所成角为φ，∴，∴．…（10分）【点评】：本题考查线段长的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．26．（10分）（2015•泰州一模）记C i r为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C i r≤i2的二元数组（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C i r（r=0，1，2，…，i）都等可能出现．求Eξ．【考点】：离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：由已知得当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，，由此能求出Eξ．【解析】：解：∵，当i≥2时，，，，，∴当2≤i≤5，i∈N*时，的解为r=0，1，…，i．…（3分）当6≤i≤10，i∈N*，，由⇔i=3，4，5可知：当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，（等号不同时成立），即．…（6分）∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P（ξ）…（8分）∴．…（10分）【点评】：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．。

2014～2015学年度第二学期期初调研测试高三数学试题（数学Ⅰ）(考试时间：120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．设集合{}{}2,3,1,2,A B ==则AB = ▲ ．2．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是____▲____． 3．计算复数ii2124-+＝ ▲ （i 为虚数单位）． 4. 连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是 ▲ ．5．若3a >，则43a a +-的最小值是___▲______.6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若αβ⊥，则//l m ； ③若//l m ，则αβ⊥； ④若l m ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是 ▲ ．7．已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为 ▲ .8．程序框图如图(右)所示,其输出结果是____▲____.9．已知条件p ：x a >，条件q ：220x x +->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是____▲____．10．若正四棱锥的底面边长为，体积为34cm ，则它的侧面积为 ▲ 2cm .11．已知抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线22213x y a -=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ . 12．已知函数1y x =的图像的对称中心为()0,0，函数111y x x =++的图像的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数11112y x x x =++++的图像的对称中心为()1,0-，……，由此推测函数111112y x x x x n=+++++++的图像的对称中心为 ▲ ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ． 14．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，4π=∠A ，cos cos 2sin sin B CAB AC m AO C B⋅+⋅=⋅，则=m ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是AB 的中点．（I ）求证：//OE 平面11BCC B ； （II ）若11AC A B ⊥，求证：1AC BC ⊥．16．(本小题满分14分) 已知函数()()sin 0,4f x x x R πωω⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （I ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭. （II ）在图中给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象,并根据图象写出其在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间.17. (本小题满分14分)光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1。

2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．(★★★★)设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={-1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B= {-1，0，1} ．2．(★★★★)已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）= ．3．(★★★★)已知log a2+log a3=2，则实数a= ．4．(★★★★)函数f（x）=ln（2x 2-3）的单调减区间为（- ）．5．(★★★★)若函数f（x）= 是奇函数，那么实数a= 1 ．6．(★★★)若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为 -e ．7．(★★★★)将函数f（x）=2sin（2x+ ）的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为 y=-2cos4x ．8．(★★★★)已知α，β为三角形的内角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的充要条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．9．(★★★)已知函数f（x）=x 2-2x+3在0，a（a＞0）上的最大值是3，最小值是2，则实数a的取值范围是 1≤a≤2 ．10．(★★★)关于x的一元二次方程x 2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是（-∞，- ）．11．(★★)对于函数y=f（x），若存在区间a，b，当x∈a，b时的值域为ka，kb（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（2，2+ ）．12．(★★★)设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x 1，x 2∈D，当x 1+x 2=2a时，恒有f（x 1）+f（x 2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx-3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f（）+f（）的值为 -8058 ．13．(★★)已知实数a，b，c满足a 2+b 2=c 2，c≠0，则的取值范围为．14．(★★)设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）=f（- ），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为 - ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(★★★★)已知0 ＜β＜π，且sin（α+β）= ，tan = ．（1）求cosα的值；（2）求sinβ的值．16．(★★★)已知函数 f（x）= sin2x-cos 2x- ，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c= ，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．17．(★★★)某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．18．(★★)已知函数f（x）=x 2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间-2，2上的最大值．19．(★★★)已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x 2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x 1＞x 2＞0，求证：＞．20．(★★★)已知函数，，其中m∈R．（1）若0＜m≤2，试判断函数f （x）=f 1（x）+f 2（x）（x∈2，+∞））的单调性，并证明你的结论；（2）设函数若对任意大于等于2的实数x 1，总存在唯一的小于2的实数x 2，使得g（x 1）=g（x 2）成立，试确定实数m的取值范围．。

徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则 AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩， 则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______． 5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____． 6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______. 7. 已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时，2()log (2)f x x =-， 则(0)(2)f f +的值为_____.8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 9. 若实数,x y 满足40x y +-≥，则226210z x y x y =++-+的最小值为_____.10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______. 11．将函数2sin()(0)4y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移4π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a +3b 的最小值为________.13．已知函数 22,0,()2,0x x f x x x x +⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则不等式 (())3f f x ≤的解集为______.14．在△ABC 中，己知 3,45AC A =∠=，点D 满足 2CD BD =，且 13AD =，则BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值： (2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CD ⊥PB ，求证：CP ⊥P A ：(2)若过点A 作直线上平面ABC ，求证： //平面PBC ．17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，己知点(3,4),(9,0)A B -，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC =BD .（1）若AC =4，求直线CD 的方程;（2）证明：∆OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O ).18.(本小题满分16分)如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以AAC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t (单位:km)，△BEF 的面积为S (单位:2km ).(I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ?并说明理由.19.(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知12211,2,n n n a a a a a n N λ*++==+=+∈，λ为常数.(1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设22n na a n c +-=，求数列 的前n 项和 n S ；（3）当0λ≠时，数列 {}1n a -中是否存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列?若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分)己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈ (1)若(1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2)若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:(3)若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 12512x x -+≥附加题部分21.【选做题】本题包括A, B, C, D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)如图，O 是△ABC 的外接圆，AB = AC ，延长BC 到点D ，使得CD = AC ，连结AD 交O 于点E .求证:BE 平分∠ABC .B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知,a b R ∈，矩阵 1 3a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换A T 将直线 10x y --=变换为自身，求a ,b 的值。

2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．(★★★★)设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B= {2，3} ．2．(★★★★)sin20ocos10o+cos20osin10o= ．3．(★★★★)设x∈R，则“|x-2|＜1”是“x 2+x-2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）4．(★★★★)方程log 2（3x+2）=1+log 2（x+2）的解为 2 ．5．(★★★)已知数列{a n}是递增的等比数列，a 1+a 4=9，a 2a 3=8，则a 6的值等于32 ．6．(★★★★)曲线y=2x-lnx在点（1，2）处的切线方程是 x-y+1=0 ．7．(★★★★)设函数，则f（f（-1））的值是 -16 ．8．(★★★★)设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 6 ．9．(★★★★)已知sin（α-45o）=- ，且0o＜α＜90o，则cos2α的值为．10．(★★★)已知△ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为 15 ．11．(★★★)已知方程x 3-ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是（-∞，3）．12．(★★)已知数列{a n}满足 a n+1=qa n+2q-2（q为常数），若 a 3，a 4，a 5∈{-5，-2，-1，7}，则a 1= -2或- 或79 ．13．(★★)已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60o，点E，F分别在线段BC，DC上运动，设，则的最小值是．14．(★★)已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程f（x）2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（- ，- ）∪（- ，-1）．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．(★★★)如图已知四边形AOCB中，| |=5，=（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．（1）若cos∠AOB= ，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为θ，求cos2θ的值．16．(★★★)在等比数列{a n}中，a 1=1，且a 2是a 1与a 3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．求数列{b n}的前n项和．17．(★★★)如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90o，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S．（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．18．(★★★)设函数f（x）= ，（a＞0，b∈R）（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x∈，2的值域为5，6，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2 x）-k（k∈R）的零点个数．19．(★★★)设数列{a n}，{b n}，{c n}满足a 1=a，b 1=1，c 1=3，对于任意n∈N *，有bn+1= ，c n+1= ．（1）求数列{c n-b n}的通项公式；（2）若数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，求实数a的值；（3）若数列{a n}是公比为a的等比数列，记数列{b n}和{c n}的前n项和分别为S n和T n，记M n=2S n+1-T n，求M n＜对任意n∈N *恒成立的a的取值范围．20．(★★★)设f（x）=x 2lnx，g（x）=ax 3-x 2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）-g（x）=0在x∈e ，e n（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为a n，数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜3．21．(★★★★)设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，（1）求M -1；（2）求直线4x-9y=1在M 2的作用下的新曲线的方程．22．(★★★★)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；（2）求圆C的极坐标方程．23．(★★)班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．24．(★★)已知数列{a n}满足，记数列{a n}的前n项和为S n，c n=S n-2n+2ln（n+1）（1）令，证明：对任意正整数n，|sin（b nθ）|≤b n|sinθ|（2）证明数列{c n}是递减数列．。

江苏省泰州市2015届高三第一次模拟考试历史试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共20小题，每小题3分，合计60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1．钱穆在《国史新论》中说：“因考试乃一种公开竞选，公平无偏滥。

……寒苦子弟，皆得有应考之可能。

又考试内容，全国统一，有助于全国各地文化之融结。

……此一千年来，中国社会上再无固定之特殊阶级出现，此制度预有大效。

”马克斯·韦伯在《儒教与道教》中说：“科举制度全面推行……任何人，只要能证明自己是受过教育的合格者，都能跻身俸禄补缺等级。

”在论述科举制度的主要意义上，两者都强调A．可以消融社会阶级 B．有利于各地文化融合C．通过考试的方式跻身仕途 D．加强了中央集权2．据《金华集》记载，元朝在“生齿繁夥，物产富穰，水浮陆行”、“土赋居天下十六七”的江浙、湖广、江西地区设置了行省。

据此判断，这些地区设置行省的主要意图是A．方便军事上的控制 B．着眼于政治上的统治C．搜刮财富 D．加强对边远民族地区的管理3．“天道之大者在阴阳，阳为德，阴为刑。

刑主杀而德主生。

”材料体现的是A．先秦儒学 B．汉代儒学 C．程朱理学 D．陆王心学4．明永乐九年公布关于杂剧的禁令：“凡乐人搬作杂剧戏文，不许妆扮历代帝王、后妃、忠臣、节烈、先圣、先贤、神象，违者杖一百，官民之家扮者同罪。

其神仙及义夫、节妇、孝子、贤孙、劝人为善者不在禁限。

”这一禁令说明明代A．文化专制走向全面反动 B．市民文化成为社会的主流文化C．中央集权制发展到顶峰 D．文化政策体现统治者治国理念5．潘旭澜在《太平杂说》中写道：洪秀全考不上秀才，便产生了逆反心理。

造反之初就砸孔子牌位，将中国文化一律称之为“妖”。

占领南京后，毁夫子庙。

烧寺院古迹，废除私塾院，严禁古书流传。

洪秀全曾下诏书说：“凡一切孔孟诸子百家妖书邪说者尽行焚除，皆不准买卖藏读。

”下列对上述材料解读正确的选项是A．体现其自身的阶级局限B．心理因素是导致其绝对否定传统文化的根本原因C．反对孔孟诸子百家学说是为了传播资本主义文化D．实现了太平天国运动思想上的统一6．据1913年2月23日《独立周报》第七期记载：辛亥革命后，一些有志于民主推广的人常到田间“与农夫田父谈于树林之下，语以代议制之善，及国会选举之不宜草率投票，则皆瞠目而不解。