初中数学竞赛辅导资料-21比较大小

第二十一讲 应用题趣题引路】2003年“信利杯”数学竞赛有一道有趣的应用型问题：某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h ）如图21-1所示若汽车行驶的平均速度为80km/h ，而汽车每行驶1km 需要的平均费用为1.2元试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？图21-1OHGFEDC B A57111514136171012189解：从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类：（1）从A 城出发到达B 城，经过O 城.因为从A 城到O 城所需要最短时间为26h ，从O 城到B 城所需最短时间为22h.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（h ）.（2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城。

这时从A 城到达B 城，必定经过C ，D ，E 城或F ，G ，H 城，所需时间至少为49h.综上，从A 城到达B 城所需的最短时间为48h ，所走的路线为A →F →0→E →B.所需的费用最少为80×48×1.2=4608（元）.在本讲中，将介绍各类应用题的解法与技巧。

知识拓展】当今数学已经渗人到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点。

应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心。

解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型.其求解程序如下：在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等.一、用数式模型解决应用题数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法.例1：（2003年安徽中考题）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示：景点 A B C D E原价（元）10 10 15 20 25现价（元） 5 5 15 25 30平均日人数（千人）1 123 2（1的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%.问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？解析：抓住“平均价格”“平均日总收入”等关键词.解：（1）风景区是这样计算的：调整前的平均价格：1010152025165++++=（元）.调整后的平均价格：55152530165++++=（元）.所以调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，故平均日总收入持平.（2）游客是这样计算的：原平均日总收入：10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160（千元），现平均日总收入：5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175（千元），故平均日总收入增加了：1751609.4%160-≈. （3）游客的说法较能反映整体实际.二、用方程模型解应用题研究和解决生产实际和现实生活中有关问题常常要用到方程（组）的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界.例2：（2003年重庆中考题）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min 内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4min 内可以通过800名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min 内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.解析：列方程（组）的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量.设未知数时一般问什么设什么.“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数.解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生，由题意得： 2(2)5604()800x y x y +=⎧⎨+=⎩，， 解得：12080x y =⎧⎨=⎩，. （2）这栋楼最多有学生4×8×45＝1440（名）， 拥挤时5min4道门能通过：5×2（120＋80）（1－20%）＝1600（名）， 因1600＞1440，故建造的4道门符合安全规定.三、用不等式模型解应用题现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识.例3：（2003年苏州中考题）我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均的风速不小于3m/s 的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m/s 的时间占60天.为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A 、B 两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：（1）若这个发电场购x 台A 型风力发电机，则预计这些A 型风力发电机一年的发电总量至少为 kW ·h ；（2）已知A 型风力发电机每台0.3万元，B 型风力发电机每台0.2万元，该发电场拟购风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电量不少于102000kW ·h ，请你提供符合条件的购机方案.解：（1）（100×36＋60×150）x ＝12600x ；（2）设购A 型发电机x 台，则购B 型发电机（10－x ）台， 解法一 根据题意得： 0.30.2(10) 2.6126007800(10)102000x x x x +-⎧⎨+-⎩≤，≥， 解得 5≤x ≤6.故可购A 型发电机5台，B 型发电机5台；或购A 型发电机6台，B 型发电机4台. 解法二 假设恰好将购机款用完， 则0.3x ＋0.2（10－x ）≈2.6，解得x ＝6， 若x ＝6，则年发电量至少为：12600×6＋7800（10－6）＝106800＞102000，符合要求. 故可购A 型发电机6台，B 型发电机4台.四、用函数知识解决的应用题函数类应用问题主要有以下两种类型：（1）从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；（2）由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式.例4：（2003年扬州）杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点.对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：①买进每份0.20元，卖出每份0.30元；②一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份； ③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同.当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社； （1）填表：（2）y 与x 的函数关系式，并求月利润的最大值.解析：（1）填表：（2 其余10天可获利润：10[(0.3－0.2)×120－0.1(x －120)]＝240－x （元）； 故y ＝x ＋240，（120≤x ≤200），当x ＝200时，月利润y 的最大值为440元.点评：根据题意，正确列出函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x 的取值范围. 另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题. 好题妙解】佳题新题品味例1 （北京市东城区）某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的23，若提前购票，则给予不同程度的优惠.在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的35，零售票每张16元，共售出零售票数的一半；如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？解析：设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价，则 五月份团体票售出数为：322535a a ⨯=， 票款收入为：2241255a a ⨯=（元）；零售票售出数为：111236a a ⨯=， 票款收入为：181663a a ⨯=（元）.六月份团体票所剩票数为：2245315a a ⨯=， 票款数收入为：464161515a a ⨯=（元）； 零售票所剩票数为：111236a a ⨯=， 票款数收入为：1166a x ax ⋅=（元）.由题意，得24864153156a a a ax +=+， 解得：x ＝19.2.例2 （广州市）2003年2月27日《广州日报》报道：2002年底广州市自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4.65%，尚未达到国家A 级标准.因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2004年底自然保护区覆盖率达到8%以上.若要达到最低目标8%，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）解析：设广州市的总面积为1，广州市自然保护区面积年平均增长率为x ，根据题意得： 1×4.65%×(1＋x )2＝1×8% ∴(1＋x )2≈1.720. ∵ x ＞0，∴ 1＋x ＞0. ∴ 1＋x ≈1.312， ∴ x ＝0.312.点评：增长率公式：第一年A ；年均增长率x ，则第n 年：1(1)n n P A x -=+.例3 （哈尔滨市）建网就等于建一个学校，哈市慧明中学为加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机机房和一个高级计算机机房，每个计算机机房只配置1台教师用机，若干台学生用机.其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元.已知两机房购买计算机的总钱数相等，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元，则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解折：本题中既有相等关系又有不等关系，用等式（不等式）表示全部题意是关键. 解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机，高级机房有y 台计算机，则有： 0.80.35(1) 1.150.7(1)200.80.35(1)2120 1.150.7(1)21x y x y +-=+-⎧⎪+-⎨⎪+-⎩，≤≤，≤≤. 解得：26555587713527291414x y x y ⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，≤≤，≤≤.∵ x 为整数，∴ x ＝56，57，58. 同理，y ＝28，29. ∴5628x y =⎧⎨=⎩，；5829x y =⎧⎨=⎩，.中考真题欣赏例1 （安徽省）王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元，问王大伯一共获纯利多少元？解：设王大伯种了x 亩茄子，y 亩西红柿，根据题意，得： 251700180044000x y x y +=⎧⎨+=⎩，. 解得：1015x y =⎧⎨=⎩，.共获纯利：2400×10＋2600×15＝63000（元）. 答：王大伯一共获纯利63000元.例2 （桂林市）某公司需在一月（31天）内完成新建办公楼的装修工程.如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数.（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400元.在规定时间内：A .请甲队单独完成此项工程；B .请乙队单独完成此项工程；C .请甲、乙两队合作完成此项工程.以上方案哪一种花钱最少？解析：这是一道策略优选问题.工程问题中：工作量＝工作效率×工时. 解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需x 天，根据题意得：1111012x x +=-. 去分母，整理得x 2－34x ＋120＝0 解得x 1＝4，x 2＝30.经检验知，x 1＝4，x 2＝30都是原方程的解，因为x ＝4不合题意，所以只取x ＝30. 所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天. （2）各种方案所需的费用分别为： A .请甲队需2000×20＝40000元； B .请乙队需1400×30＝42000元；C .请甲、乙两队合作需（2000+1400）×12＝40800元. 所以单独请甲队完成此项工程花钱最少.竞赛样题展示例1 （全国联赛初赛题）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km 的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天？解折：挖掘题目中隐藏条件是关键！解：设考察队到生态区去用了x 天，返回用了y 天，考察用了z 天，则 x ＋y ＋z ＝60. 且17x －25y ＝－1，即 25y －17x ＝1.①这里x 、y 是正整数，现设法求出①的一组合题意的解，然后计算出z 的值.为此，先求出①的一组特殊解（x 0，y 0），（这里x 0，y 0可以是负整数）.用辗转相除法. 25＝1×17＋8，17＝2×8＋1， 故1＝17－2×8 ＝17－2×（25－17） ＝3×17－2×25.与①的左端比较可知，x 0＝﹣3，y 0＝﹣2. 下面再求出①的合题意的解.由不定方程的知识可知，①的一切整数解可表示为 x ＝﹣3＋25t ，y ＝﹣2＋17t ， ∴ x ＋y ＝42t －5，t 为整数.按题意0＜x＋y＜60，故仅当t＝1时才合题意，这时x＋y＝42﹣5＝37，∴z＝60－（x＋y）＝23.答：考察队在生态区考察的天数是23天.点评：本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法.例2 （江苏省第17届初中竞赛题）华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠.小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元.现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？解析：应付198元购物款讨论：第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论.情形1：当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元.又554＝450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱，104÷0.8＝130（元）.因此，554元所购物品的原价为130＋500＝630（元），于是购买小明花198＋630＝828（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付500×0.9＋（828﹣500）×0.8＝712.4（元）.情形2：当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198÷0.9＝220（元）.仿情形1的讨论，购220＋630＝850（元）物品一次性付款应为500×0.9＋（850﹣500）×0.8＝730（元）.综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元.例3（2002年全国数学竞赛题）某项工程，如果由甲、乙两队承包，225天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，334天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，627天完成，需付160000元.现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解折：关键问题是甲、乙、丙单独做各需的天数及独做时各方日付工资.分两个层次考虑：设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成，则1151211415117.20x yy zz x⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，，解得4610.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，则12()180000515()150000420()160000.7u vv ww u⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，，解得455002950010500.uvw=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，于是，由甲队单独承包，费用是45500×4＝182000（元）.由乙队单独承包，费用是29500×6＝177000（元）.而丙队不能在一周内完成.所以由乙队承包费用最少.过关检测】A级1.（2003年河南）在防治“SARS”的战役中，为防止疫情扩散，某制药厂接到了生产240箱过氧乙酸消毒液的任务.在生产了60箱后，需要加快生产，每天比原来多生产15箱，结果6天就完成了任务.求加快速度后每天生产多少箱消毒液？2.（山东省竞赛题）某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水中不超过10t部分按0.45元/吨收费；超过10t而不超过20t部分按每吨0.8元收费；超过20t部分按每吨1.50元收费.某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费3.75元，问甲、乙、丙该月各缴水费多少？（自来水按整吨收费）3.（第12届江苏省竞赛题）甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题.试问：难题多还是容易题多？多的比少的多几道题？4.某人从A地到B地乘坐出租车有两种方案，一种出租车收费标准是起步价10元，每千米1.2元；另一种出租车收费标准是起步价8元，每千米1.4元，问选择哪一种出租车比较合适？（提示：根据目前出租车管理条例，车型不同，起步价可以不同，但起步价的最大行驶里程是相同的，且此里程内只收起步价而不管其行驶里程是多少.）B级1.（1999年全国初中数学竞赛题）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40min可抽完；如果用4台抽水机抽，16min可抽完.如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水机台.2.（第14届希望杯）有一批影碟机（VCD）原售价：800元/台.甲商场用如下办法促销：购买17﹣24台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折.（1）请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表；（2）现在有A、B、C三个单位，A单位要买10台VCD，B单位要买16台VCD，C单位要买20台VCD，问他们到哪家商场购买花费较少？3.（2003年河北创新与知识应用竞赛题）某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币要多于2分的硬币.请你据此设计兑换方案.4.某商场在一楼和二楼间安装一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯本身也在行驶），如果男孩和女孩都做匀速运动且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达扶梯顶部（设男孩、女孩每次只踏一级）.问：（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果扶梯附近有一从二楼到一楼的楼梯，楼梯的级数和扶梯的级数相等，两孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘扶梯（不考虑扶梯与楼梯间距离），则男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？5.某化肥厂库存三种不同的混合肥，第一种含磷60%，钾40%；第二种含钾10%，氮90%；第三种含钾50%，磷20%，氮30%，现将三种肥混合成含氮45%的混合肥100kg（每种肥都必须取），试问在这三种不同混合肥的不同取量中，新混合肥含钾的取值范围.6.（2002年黄冈竞赛题）有麦田5块A 、B 、C 、D 、E ，它们的产量（单位：吨）、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图21﹣2所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场.问建在哪块麦田上（不允许建在除麦田以外的其他地方）才能使总运输量最小？图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a 、b 、d 表示距离，且b ＜a ＜d .图 21﹣2⑦⑥⑤④③aa a abdABCD E。

初中数学比较大小比例教案教学目标：1. 理解比例的概念，掌握比例的表示方法。

2. 能够比较两个比例的大小，并解释比较的依据。

3. 能够解决实际问题，运用比例的知识进行比较大小。

教学重点：1. 比例的概念和表示方法。

2. 比较两个比例大小的方法。

教学难点：1. 比例的表示方法。

2. 灵活运用比例解决实际问题。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入比例的概念，让学生回忆起比例的定义。

2. 提问：比例是什么？比例有哪些表示方法？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解比例的表示方法，如分数、小数、百分数等。

2. 通过示例讲解如何比较两个比例的大小。

3. 解释比较比例大小的依据，如分子相同，分母小的比例大；分母相同，分子大的比例大等。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固比例的概念和比较大小的方法。

2. 引导学生思考如何将实际问题转化为比例问题，并解决。

四、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生回顾和巩固所学知识。

2. 提问：如何运用比例解决实际问题？3. 引导学生思考比例在生活中的应用，如购物、烹饪等。

五、作业布置（5分钟）1. 布置作业：让学生完成一些相关的练习题，巩固比例的概念和比较大小的方法。

教学反思：本节课通过讲解比例的概念和表示方法，以及比较两个比例大小的方法，使学生掌握了比例的基本知识。

在课堂练习中，学生能够独立完成练习题，并将实际问题转化为比例问题进行解决。

但在拓展环节，学生对于比例在生活中的应用还不够熟练，需要在今后的教学中加强实际应用的训练。

初中数学竞赛教程21整数的性质整数是数学中非常基本且重要的概念之一、它是全体正整数、负整数和零的集合，用整数集表示为Z，数学符号为Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}。

整数的性质涉及到整数的四则运算、整数的大小比较以及整数的奇偶性等方面。

下面就对整数的性质进行详细介绍。

一、整数的四则运算1.加法：对于整数a和b，它们的和a+b也是一个整数。

加法满足交换律，即a+b=b+a；加法还满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。

2.减法：对于整数a和b，它们的差a-b也是一个整数。

3.乘法：对于整数a和b，它们的积a×b也是一个整数。

乘法满足交换律，即a×b=b×a；乘法还满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。

4.除法：对于整数a和b，其中b不等于0，a/b的商可能是一个整数，也可能是一个带有小数部分的数。

二、整数的大小比较1.大小关系：对于两个整数a和b，如果a<b，称a小于b；如果a>b，称a大于b；如果a=b，称a等于b。

2.大于0和小于0：正整数都大于零；负整数都小于零。

三、整数的奇偶性1.奇数：整数中，除了能被2整除的数字外，其他的数字都是奇数。

奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为任意整数。

2.偶数：能被2整除的数字为偶数。

偶数可以表示为2k的形式，其中k为任意整数。

3.奇数和奇数的和是偶数，奇数和偶数的和是奇数，偶数和偶数的和是偶数。

四、整数的性质定理1.整数的加法性质：对于任意整数a和b，有a+b=b+a，即整数的加法满足交换律。

2.整数的减法性质：对于任意整数a和b，有a-b=a+(-b)，即整数的减法可以转化为加法运算。

3.整数的乘法性质：对于任意整数a、b和c，有(a+b)×c=a×c+b×c，即整数的乘法满足分配律。

4.整数的除法性质：对于任意整数a、b和c，如果a=b×c，且b不等于0，则a除以b的余数为0。

）21初中数学竞赛精品标准教程及练习（比较大小一、内容提要比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。

根据．不等式的性质：。

ba＜当a－b＜0时a时，＞b；当a－b＝0时，a=b；当a－b＞0通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符．号。

需要讨论的可借助数轴，按零点分区。

．是实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。

即若a．2，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等实数，则a0≥式）。

诸如3122220+＞+a+1=(a+)a+1＞0，b)(a－a≥0，422220时，－（a－b）＜－（a+a+2）＜0当a≠－ab≤0，二、例题3的大小与a试比较a例3a=a(a+1)(a－1)解：a－33即a=aa－a=0,三个零点把全体，1以－1，04个区间，由负因数的个数决定其符号：实数分为33a ＜即3个负因数）∴aa－a＜01当a＜－1时，a+1＜0,a＜0,a－＜0（33a即aa＞－a＞0＜a＜0时a＜0,a－10（2个负因数）∴当－1＜33a即a＜－a＜00a－1＜（1个负因数）∴a＜当0＜a1时，33aa＞＞0即当a＞1时，没有负因数，∴aa－3=a a时，a=0,－1，1综上所述当3a＜a＜1时，a当a＜－1或0＜3（试总结符号规律）a＞a。

＜a＜0或a＞1时，当－1什么数比它的倒数大？例1＞0时，x －x 比它的倒数大，解：设这个数为x，则当并且只当x2?1(x?1x)(x?1)1?x －＝－101xxx以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知当x＞1或－1＜x＜0时，x比它的倒数大。

例3己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A去B，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？解：设从A到B有x千M，步行速度每小时y 千M，那么甲、乙走完全程所用时间分别是xx5xx22??，t＝＝t乙甲4yy8y4y 1 / 3x3xx5??0t－t＞＞0，yt－t＝＞0∴∵x乙乙甲甲yy88y4地答：乙先到达B222ab+bc+ca+b＞+ca≠b≠c，求证：a己知例41222222）－+c＝ab+bc+ca×2证明：a（+ba+c+b－ab+bc+ca21222）－+2c＝（2a2ab+2bc+2ca+2b21222］+(b-c)＝［（a-b）+(c-a)22220＞0，＞0，(b-c)(c-a)∵a≠b≠c，（a-b）＞222ab+bc+ca+c＞∴a+b2222ab(1)+b，∴（a-b）＞＞0 a又证：∵a≠b2222>2ca(3)同理b2bc(2) c+c+a＞222222ab+bc+ca +c即(1)+(2)+( 3)得2aa+2b＞+2c+b＞2ab+2bc+2ca2224 +a)）与(1+a+a1例5比较3（＋a的大小2223422222-2aa+a3［（1＋)1解：3（＋a）+a］－）－(1+a+a-2a-2a)(1+a+a＝222)＋)a+a－＝2(1+a+a6a(12222-3a)=2(1＋a+a =2(1＋a+a)(1-a))( 1＋a+a31222??a)0 ≥＞＝（0，∵1＋a+a(1-a)422422）＝（1＋a(1+a+a+a)∴当a=1时，32422）＞1＋a(1+a+a+a)当a≠1时，3（4?2?2x?1?x例6解方程两个零点分为3个区间解：以－0.5,和21 x=－时，－(2x+1)－(x-2)=4, 解得当x<-0.5x=1 =4, 解得2x+1）－（x-2）时，（当－0.5≤x<25范围无解∴在x≥2)＝4解得x=2, +(x 当x≥2时，（2x+1）－31, x=1 －综上所述原方程有两个解x=21三、练习a,b,0a+b<0. 试把及其相反数记在数轴上。

数的整除（一）内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2．若四位数a 987能被3整除，那么 a=_______________ 3．若五位数3412X 能被11整除，那么 X ＝__________- 4．当 m=_________时，535m 能被25整除5．当 n=__________时，n 9610能被7整除 6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9． 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。

实数比较大小常见10中方法大全讲解实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。

“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。

为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。

模块一：比较大小会用到的一些基本事实和方法：模块二：方法讲解与举例方法一.运用方根定义法例1、 比较5-m 和34m -的大小解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0，由此可得：5-m >34m -．（注：实质上此题是运用了一个基本事实，即正数>负数） 小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较，解答时要注意二次根式中的隐含条件．方法二：差值比较法差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。

当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。

当a-b ＝0，得到a=b 。

例2：（1）比较513-与51的大小。

（2）比较1-2与1-3的大小。

解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜51。

解 ∵（1-2）-（1-3）=23-＞0 ， ∴1-2＞1-3。

方法三：商值比较法商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。

当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当ba =1时，a=b 。

来比较a 与b 的大小。

例3：比较513-与51的大小。

解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜51 方法四：倒数法倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b1时，a ＜b 。

来比较a 与b 的大小。

例4：比较2004-2003与2005-2004的大小。

解∵200320041-=2004+2003 ， 200420051-=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004方法五：中间值法：基本思路是：要比较的两个数都接近于一个中间数，其中一个数大于中间数，另一个数小于中间数，就可以比较出两个数的大小例5： 比较456998和7481084的大小解：456998＜12 ， 7481084＞12 所以：456998＜7481084方法六：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

第二十一讲 数形结合【趣题引路】你曾听说过蚂蚁回家的故事吗?事情是这样的:如图,D 是三角形ABC•的边AB 上一点,其上有一只小蚂蚁,它首先从D 点沿平行于BC 的方向爬行到AC 边上的E 点;•再从E 点沿平行于AB 方向爬到BC 边上的F 点;再从F 点沿平行于AC 的方向爬行到AB 边上的G 点……,这样每从一边爬到另一边算爬一次,•那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原出发点D?如果可经最少n 次回到D 点,那么n 的值等于多少?•加上什么条件就可以求得蚂蚁回家的总路线的长?解析 (1)若D 是AB 中点,则n=3;(2)若D 不是AB 中点,可证明6次后蚂蚁回到出发点D,如图,•因蚂蚁行走路线都是与△ABC 各边平行的,所以 AD AE BF BG CH CK AM BD EC FC GA AH BK BM ======, ∴AD BD AM BM BD BM ++=.即AB AB BD BM= ∴BD=BM,即M 与D 重合,n=6.当第(1)种情况时,蚂蚁回家的总路线长是△ABC 各边和的一半,•只要知道△ABC 各边长即可求解;当第(2)种情况时,只要知道△ABC 各边长和AD 、DG 或AE 、EH 等即可求解.请读者计算一下.点评数与形是一个不可分割的整体,数体现形的大小,形状,•而形又是抽象的数量关系形象化,数形结合能使我们容易把握问题的实质.【知识延伸】例 求函数y=21x ++2(4)4x -+的最小值. 解析 构造如图所示的两个直角三角形,即Rt △PAC,Rt △PBD,使AC=1,BD=2,PC=x,PD=4-x,求最小值可转化为:在L 上求一点P,使PA+PB 最小.取点A 关于L 的对称点A ′连结A ′B,则A ′B 与L 的交点即为所求P 点,故PA+PB 的最小值即是线段A ′B 在Rt △A ′EB 中,A ′B=2234+, 故函数y 的最小值为 5. 点评此题若用代数方法来解很麻烦,通过对函数形式观察,发现:21x +可以看成是以x 、•1为直角边的三角形的斜边,2(4)4x -+可以看成是以(4-x),2为直角边的斜边,•此题可归纳为求两个直角三角形斜边的和的最小值,于是可构造图形来解决.【好题妙解】佳题新题品味例1 在直径为AB 的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB,•顶点C 在半圆周上,其他两边分别为6和8.现在建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN,其中,DE 在AB 上,如图21-3的设计方案是使AC=8,BC=6.(1)求△ABC 中AB 边上的高h;(2)设DN=x,当x 取何值时,水池DEFN 的面积最大?(3)实际施工时,发现AB 上距B 点1.85m 处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树?解析 (1)运用勾股定理和面积公式可求得h=4.8;(2)∵△CNF ∽△CAB,∴h DN NF h AB -=. ∴NF=10(4.8)4.8x -. 则S DEFN =x ·104.8·(4.8-x)=104.8-(x 2-4.8x). 故当x=2.4时,S DEFN 最大;(3)当S DEFN 最大,x=2.4时,F 为BC 中点,在Rt △FEB 中,EF=2.4,BF=3.∴BE=22BF EF +=229 2.4-=1.8.∵BM=1.85,∴BM>EB.故大树位于欲修建的水池边上,应重新设计方案.∵x=2.4时,DE=5,∴AD=3.2.点评本例应用二次函数的性质求解,并综合了相似三角形,圆等几何知识.•题目设计新颖,有较强的创新特色.例2正数x,y,z满足22222225,39,316.yx xyyzz xz x⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪++=⎪⎩试求xy+2yz+3xz的值.解析如图21-4,构造一直角三角形PQR,由条件可知:△PQR内有一点,使OQ=z,OP=3y,OR=x,则S△PQR=S△OPR+S△OPQ+S△OQR.即12×3×4=12×x×3ysin150º+12·3y+12·z·x·sin120º,∴6=43xy+23yz+34xy.∴xy+2yz+3xz=243.点评此题条件复杂,若想通过代数方法求解,势必十分困难,通过观察,利用余弦定理构造图形却使问题变得较容易.例3 已知方程│x│=ax+1有一负根而没有正根,求实数a的取值范围.解析如图21-5,方程│x│=ax+1的根就是函数y1=│x│和y2=ax+1的图象交点的横坐标.方程只有负根而没有正根,就是过点(0,1)的直线y1=x+1只与直线y=-x(•x≤0)相交而不与直线y=x(x≥0)相交.在同一坐标系中作出y1=│x│与y2=ax+1•的图象,观察图象知,-1≤-1a<0,∴a≥1.全能训练A级1.函数y=21ax bx c++(a>0),无论x取任何实数,函数总有意义的条件是_______.2.已知边长为a的正方形,内接一个边长为b的正方形,求证:b<a b .3.已知a、b、x、y都是正数,且a2+b2=x2+y2=ax+by=1,求证:a2+y2=b2+x2=1,且ab=xy.1.b 2-4ac>0.2.提示:如图,由题意可得221()2x y a xy a b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 构造方程,由△≥0即得结论.3.构造出以1为直径的圆内接四边形ABCD,如图,使AB=a,AD=b,BC=y,DC=x,•由托勒密定理知ax+by=AC ·BD=1,而BD=1.∴AC=1即圆的直径.∴四边形ABCD 为矩形.故可得a=x,b=y.∴a 2+y 2=b 2+x 2=1,且ab=xy.B 级1.已知正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足:a+A=b+B=c+C=10.求证:a ·B+b ·C+c ·A<100.•2.已知正数a 、b,且a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥252.1.提示:构造等边△DEF如图,使DE=a+A,EF=c+C,FD=B+b,由S1+S2+S3<S△DEF可得结论.2.提示:如图,构造点P(-2,-2),Q(a,b),则不等式左边是PQ2,Q是线段AB上的点,AB的中点为C,则可求得PC=52,由PQ≥PC可得结论.。

2 / 2人教版初中七年级数学上册《比较大小》基础训练知识点1利用数轴比较大小1.（广东中考）如图所示，a 与b 的大小关系是（）A. B. C, D. 2a b a b a b b a<>== 2.如图所示，根据有理数,,a b c 在数轴上的位置，比较,,a b c 的大小关系是（）A. B. C. D. a b c a c b b c a c b a>>>>>>>> 3.把下列各数在数轴上表示出来并用“<”号把各数连接起来：112,4,4,0,422--. 知识点2利用法则比较大小4.（泸州中考）在12,0,,22-四个数中，最小的是（） .2 B. 01C. D. 22A - 5.（本溪中考）下列各数中，比2-小的数是（）.1 B. 0C.3 D. 1A -- 6.（桂林中考）比较大小：3-_____0.(填“<”“=”或“>”)7.写出大于2-的一个负数：________.8.较下列各对数的大小：(1)37 (2) 5.3 5.442(3) (4) 1.53-----和；和；和--(-7)和 易错点考虑不周全而致错9.绝对值大于2且不大于5的整数有_________.参考答案1.A2.A3.解：画数轴表示略.大小关系为114204422-<-<<<. 4.A5.C6.<7.1-（答案不唯一）8.解：（1）37>-.（2） 5.3 5.4->-.（3）4253-<-.（4）(7)1-->-.9.3,4,5±±±2 / 2。

初二数学知识点梳理：不等式的比较大小不等式的比较大小主要是运用不等式的基本性质及均值不等式进行比较大小。

方法：①求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”。

其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的。

变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少：变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式。

或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等。

总之，能够判断出差的符号是正或负即可。

②作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明。

三个数a=307，b=073，=lg307的大小顺序为Ab＜＜aBb＜a＜＜a＜bD＜b＜a2已知△AB的外接圆的圆心，B＞A＞AB，设，，则、n、p的大小关系为_____．3设a=lg32，b=lg23，=lg3，则a，b，的大小关系为Aa＜b＜Ba＜＜b＜b＜aD＜a＜b4若a，b∈R，且a3＞b3，则下列判断正确的是ABa＜bDa＞b定义在R上的函数f满足：f=f=f成立，且f在[-1，0]上单调递增，设a=f，b=f，=f，则a，b，的大小关系是Aa＞b＞Ba＞＞bb＞＞aD＞b＞a6已知a=212，b=-08，=2lg2，则a，b，的大小关系为A＜b＜aB＜a＜bb＜a＜Db＜＜a7已知x=lnπ，=lg2，，则Ax＜＜zBz＜x＜z＜＜D＜z＜8已知x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是A0＜x2＜a2Bx2＞ax＞a20＜x2＜axDx2＞a2＞ax9若＞a＞b＞0，比较大小：_____0若，则下列命题正确的是ABD。

数字大小比较练习数字大小比较是我们日常生活中常常遇到的问题，无论是购物、运动、工作还是其他活动，我们经常需要比较不同数字的大小以做出正确的决策。

在本文中，我们将介绍一些数字大小比较的方法和实践，帮助你提升对数字大小的敏感度和判断力。

1. 比较整数大小在比较整数大小时，我们可以使用比较符号（>, <, =）来表示数字的大小关系。

例如，若要比较数字12和数字7的大小，我们可以写成12 > 7，这意味着12大于7。

同样地，我们可以用12 < 7来判断12是否小于7。

如果要判断两数是否相等，我们可以使用等于符号（==）。

例如，若要判断两数是否相等，可以写成12 == 7，这样我们就可以判断两数是否相等。

2. 比较小数大小与整数相比，比较小数的大小稍微复杂一些。

比较小数时，我们可以先比较小数的整数部分，如果整数部分相等，则再比较小数部分。

例如，要比较0.3和0.27的大小，我们可以先比较它们的整数部分（都是0），然后比较小数部分，即0.3 > 0.27。

同样地，当比较0.3和0.3时，我们可以得出它们相等的结论。

3. 比较分数大小当比较分数的大小时，我们可以先将分数转化为小数，然后按照小数的比较规则进行判断。

例如，若要比较1/2和2/3的大小，我们可以将它们转化为小数形式：1/2 = 0.5，2/3 ≈ 0.67。

因此，我们可以得出2/3 > 1/2的结论。

4. 比较百分数大小比较百分数的大小与比较小数大小的方式类似。

我们可以将百分数转化为小数形式，然后按照小数的比较规则进行判断。

例如，若要比较50%和65%的大小，我们可以将它们转化为小数形式：50% = 0.5，65% = 0.65。

因此，我们可以得出65% > 50%的结论。

5. 比较负数大小当比较负数的大小时，我们可以先将负数的绝对值大小进行比较，然后再考虑负号。

例如，比较-5和-3的大小时，我们可以先比较它们的绝对值大小（5 > 3），然后考虑负号，得出-3 > -5的结论。

初中数学竞赛辅导资料（21）比较大小甲内容提要1． 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。

根据不等式的性质：当a －b ＞0时，a ＞b ； 当a －b ＝0时，a=b ； 当a －b ＜0时a ＜b 。

2． 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。

3． 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。

4． 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。

即若a 是实数，则a 2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。

诸如(a －b)2≥0， a 2+1＞0， a 2+a+1=(a+21)2+43＞0 －a 2≤0， －（a 2+a+2）＜0 当a ≠b 时，－（a －b ）2＜0 乙例题例1 试比较a 3与a 的大小解：a 3－a=a(a+1)(a －1) a 3－a=0,即a 3=a以－1，0，1三个零点把全体实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号：当a ＜－1时，a+1＜0,a ＜0,a －1＜0（3个负因数）∴a 3－a ＜0 即a 3＜a 当－1＜a ＜0时 a ＜0,a －1＜0（2个负因数） ∴a 3－a ＞0 即a 3＞a 当0＜a ＜1时， a －1＜0（1个负因数） ∴a 3－a ＜0 即a 3＜a 当a ＞1时，没有负因数， ∴a 3－a ＞0 即a 3＞a 综上所述当a=0,－1，1时， a 3=a当a ＜－1或0＜a ＜1时，a 3＜a当－1＜a ＜0或a ＞1时，a 3＞a 。

（试总结符号规律） 例2 什么数比它的倒数大？解：设这个数为x ，则当并且只当x －x1＞0时，x 比它的倒数大， x －x1＝x x x x x )1)(1(12-+=- －1 0 1 以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知 当x ＞1或－1＜x ＜0时，x 比它的倒数大。

初中数学竞赛精品标准教程及练习（21）比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。

根据通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符需要讨论的可借助数轴，按零点分区。

实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。

即若a是试比较a3与a的大小什么数比它的倒数大？，乙全程骑自行车，问誰先到达？解方程 4212=-++x x己知a>0,b<0,且a+b<0. 试把a,b,0及其相反数记在数轴上。

比较下列各组中的两个数值的大小：什么数的平方与立方相等？什么数的平方比立方大？甲乙两人同时从A 去B ，甲一半路程用时速a 千米，另一半路程用时速b 千米；乙占己知 a>b>c>d>0且a ∶b=c ∶d ， 试比较a+c 与b+d 的大小己知a<b,x<y. 求证：ax+by>ay+bx己知a<b<c, x<y<z己知a<b<0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，请举个反例。

表如下b<-a<0<a<-b① 用求差法：a 4-a 2=a 2(a+1)(a-1)…。

②)2)(1(12+++a a a …… a 2-a 3=a 2(1-a)……t 甲－t 乙＝)(2)(2b a ab s b a +- a=b 时同时到达，a ≠b 时，乙先到 由已知c=b ad (a+d)-((b+c)=bd b b a ))((-- >0…… (ax+by)-(ay+bx)=……运用上一题的结论只有①成立，②③④都可以a=－2,b=-－3 作为反例 只有④成立 10.（4）。

中学数学竞赛第十二讲：比较大小典例分享（1）前面的几篇文章已经同大家介绍了关于不等式的应用有关的比较数或式的大小及不等式的证明方法，也在上一篇文章中同大家分享了典型例题1，今天我将继续同大家分享有关的典型例子。

例2：求满足下列条件的最小正整数 n ，使得对这样的 n ，有唯一的正整数 k ，满足。

解析：因为 n ,k 都是正整数，所以 n ＞ 0 ，n + k＞0.由题中不等式得，即所以，故 7k ＞ 6n ，8k ＜ 7n ，令 A =7k - 6n ＞ 0 ，B = 7n - 8k ＞ 0，可解出 n = 8A + 7B ，k = 7A + 6B .又因为 A ，B 均为正整数，A ≥ 1，B ≥ 1，所以n ≥ 8+7=15.当且仅当A = 1 , B = 1 时，n取最小值15，这时k 有唯一值7×1+6×1=13.所以 n 的最小值为15。

例3：解不等式：分析：解方式方程我们通常通过乘公因式，达到化分式方程为整式方程，再通过化简、移项等方法解方程，不等式亦可。

都是同例2这样的方式不等式，通过去分母并没有达到较为简便的解决方法，所以我们可以通过扩大倍数，再运用通分、去分母等方式达到简化计算的目的。

解：不等式两边乘以 4 ，得：变形得：移项、整理得：移项、通分得：可化为（64x² - 6 ）（16x² - 9 ）（16x² - 1 ）＜ 0，即解得：所以。

例4：已知整数 a，b，c 满足不等式a² + b² + c² +43 ≥ ab + 9b + 8c，则 a，b，c 分别等于_________.分析：看到不等式左边的二次项a² ，b² ，c²及不等式右边的ab ，可以判断此题可以通过配方的方法结合完全平方的非负性解决问题。

解：由题可知：即：所以：解得：a =3， b = 6， c = 4 .典型例题暂时分享到这里，了解更多请持续关注。

比较大小方法例谈为使同学们简捷、准确地解答比较大小这种数学中常见题型，下面介绍几种方法:一、 利用减法比较两个数a 、b 的大小，最常用的就是利用减法——看其差： 若a-b>0，则a>b ； 若a-b=0，则a=b ；若a-b<0，则a<b 。

例1、 已知：a 、b 、x 都是实数，且a=12+x ， b=2x ，试比较a 、b 的大小。

解：a-b=12+x -2x=(x-1)2.需分两种情况讨论：①当x=1时，(x-1)2=0，则a=b ；②当x ≠1时，(x-1)2>0.则a>b 。

∴a ≥b 。

例2、 已知 a 、b 、c 为不等边△ABC 的三条边，x=a 2+b 2+c 2,y=ab+ac+bc 试证明x>y 。

证明：x-y= a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=21(2 a 2+2b 2+2c 2-2ab-2ac-2bc) = 21〔(a-b) 2+(a-c) 2+(b-c) 2〕∵a 、b 、c 为不等边△ABC 的三条边 ∴21〔(a-b) 2+(a-c) 2+(b-c) 2〕>0∴x>y二、 利用除法比较两个数的大小，有时利用除法看其商也是常用之法。

若a 、b 都是正数，当b a >1时，则a>b ；当b a =1时，则a=b ； 当b a <1时，则a<b 。

例3：已知a=x 3+1，b= x 2-x+1，其中x>0，试判断a 、b 的大小。

解：∵x>0∴a=x 3+1>0; b= x 2-x+1= x 2-x+41+43=(x-21)2+43>0 又b a =1+x - x 1x 23+=1+x - x 1)+x - x )(1(x 22+=x+1>1 ∴a>b;三、 利用绝对值两个正数比较大小，绝对值大的原数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例4、比较大小：-23 解：∵1x -2+=12+x >1; 23-=23<1又1x -2+>23-∴-23四、 利用平方两个二次根式比较大小，有时利用平方较简单。

数学运算之比较大小专题核心知识要点提示：1．作差法：对任意两数a、b，如果a－b ﹥0则a ﹥b；如果a－b ﹤0则a ﹤b；如果a－b＝0则a＝b。

2．作比法：当a、b 为任意两正数时，如果a/b ﹥1则a ﹥b；如果a/b ﹤1则a ﹤b；如果a/b＝1则a＝b。

当a、b 为任意两负数时，如果a/b ﹥1则a ﹤b；如果a/b ﹤1则a ﹥b；如果a/b＝1则a＝b。

3．中间值法：对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作比法比较大小时，我们通常选取中间值c，如果a ﹥c 而c ﹥b，则我们说a ﹥b。

【例1 】 分数94、3517、203101、73、301151中最大的一个是： A．94 B．3517 C．203101 D．301151 （2005年中央甲类真题） 【解析】选用中间值法。

取中间值21和原式的各个分数进行比较，我们可以发现： 21－94＝181；21－3517＝701；21－203101＝4061；21－73＝141；21－301151＝－6021 通过一个各个分数与中间值21的比较，我们可得301151比21大，其余分数都比21小， 所以，301151最大，正确答案为D。

【例2】比较大小：6,153−=−=b aA．a<b B．a>b C．a=b D．无法确定性 （2004年江苏真题） 解析：选用作比法。

b a ＝6153−−＝6153＝333615＝33615＝36615＝3216225﹥1所以， ,选择A。

b a 〈【例3 】 π，3.14，10，10/3四个数的大小顺序是：A ．10/3﹥π﹥10﹥3.14B ．10/3﹥π﹥3.14﹥10C ．10/3﹥10﹥π﹥3.14D ．10/3﹥3.14﹥π﹥10【解析】显然可知10/3﹥π﹥3.14，所以此题的关键是比较10和10/3的大小以及10和π的大小。

首先观察10和10/3是两个正数，可以运用作比法也可以运用作差法，但显然作差法不宜判断，故选用作比法，10/10/3﹤1。