最优控制习题参考解答

2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d L x dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x = 故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩将f t ，1c ，2c 代入J 可得5*201500502150233J x x dt =+=-=⎰ 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

解：由题可知，21L x =+，()00x =，()1x 自由欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，L 0ft x∂=∂，0fTt L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为：()x t at b =+代入边界条件()f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =，0b = 将f t ，a ，b 代入J 可得()1*211J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t = 2-9 求使泛函22211220(2)J x x x x dt π=++⎰为极值并满足边界条件1(0)0x =，2(0)0x =1()12x π=，2()12x π=- 的极值轨线*1()x t 和*2()x t 。

1. ·2.已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。

解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。

由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3. ）4.能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。

最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。

在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。

本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。

求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。

答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。

通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。

2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。

最优控制习题答案1.设系统方程及初始条件为⎩⎨⎧=+-=)()()(2)()(1211t x t x t u t x t x，⎩⎨⎧==0)0(1)(21x t x 。

约束5.1)(≤t u 。

若系统终态)(f t x 自由，利用连续系统极大值原理求)(*t u 性能指标，)3(2x J =取最小值。

解：2.设一阶离散时间系统为)()()1(k u k x k x +=+，初值2)0(=x ，性能指标为∑=+=2022)(21)2(k k u x J ，试用离散系统最小值原理求解最优控制序列：)2(),1(),0(u u u ，使J 取极小值。

解：3.软着落、空对空导弹的拦截问题、防空拦截问题。

解答：4.设离散系统状态方程为)(2.00)(101.01)1(k u k x k x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+，已知边界条件⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01)0(x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00)1(x 。

试用离散系统最小值原理求最优控制序列，使性能指标∑==102)(03.0k k u J 取极小值，并求出最优的曲线序列。

解：属于控制无约束，N 不变，终端固定的离散最优控制问题，构造离散哈密尔顿函数)](2.0)()[1()](1.0)()[1()(03.0)(222112k u k x k k x k x k k u k H ++++++=λλ其中)1(),1(21++k k λλ为给定拉个朗日乘子序列，由伴随方程：)1()()(111+=∂∂=k k x H k λλ，)1()1(1.0)()(2122+++=∂∂=k k k x Hk λλλ得出 ⎩⎨⎧+==+==)2()2(1.0)1(),2()1()1()1(1.0)0(),1()0(2121121211λλλλλλλλλλ，由极值条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∂∂=++=∂∂006.0)(0)1(2.0)(06.0)(222k u H k k u k u Hλ极小)1(310)(2+-=k k u λ可使min )(=k H ，令k=0和k=1的⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)2(310)1(*)1(310)0(*22λλu u ，)(k u 带入状态方程并令k=0和1得到： 5.求泛函dtx x x x J ⎰++=102221211],[ 满足边界条件π===-=)3(,0)0(,0)3(,3)0(2211x x x x 和约束条件36221=+t x 的极值曲线。

1. 已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。

解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。

由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2. 能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。

最优控制习题及参考答案6212最优控制习题及参考答案习题 1求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0=0 ， t f= 1d由欧拉方程得：(2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2求性能指标：J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。

解： 由上题得：x * (t ) = C t + Cx * (t )63x f由 x (0) = 0 得： C 2= 0∂L由 ∂xt =tf= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0t0 1于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x，x (1)自由。

6421∫ ⎩λ =有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3已知系统的状态方程为：x 1 (t ) = x 2 (t )， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1(0) = x 2(0) = 1 ， x 1(3)= x 2(3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t )dt 2取极小值的最优控制 u *(t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。

⎡ x ⎤解： 由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λTfH = 1u 2+ λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨12121 2 2⎧λ = C① 得： ⎨1 1⎩λ2 = −C 1t + C2 ② ∂H由控制方程：∂u= u + λ2 = 0 得： u = −λ2= C 1t − C 2③由状态方程：x2 = u = C1t −C2得：x (t) = 1 C t2 −C t + C ④2 2由状态方程：x1 = x21 2 3得：x (t) = 1 C t3 −1 C t 2 + C t + C ⑤1 6 12 23 465661⎪⎩=− ∫⎡1⎤ ⎡0⎤将x (0) = ⎢ ⎢，x (3) = ⎢0⎢代入④，⑤, ⎣1⎦⎣ ⎦ 10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29，C 2 = 2 ， C3=C 4 =1 9x * (t ) = 5 t 3 −t 2+ t +1 27 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

考试题一、简答题：（25分）1、最优控制的三要素是什么？答：优化目标，优化参数，约束条件。

2、如何才能够将有约束优化问题转化为无约束优化问题？答：可以利用惩罚函数将有约束优化问题转化为无约束优化问题。

3、简述遗传算法的计算过程。

答：先确定种群个数，交叉率，变异率，编码方式和适应度函数，已完成初始化后产生第一代种群，然后进行交换，由交换概率挑选的每两个父代通过将相异的部分基因进行交换（如果交换全部相异的就变成了对方而没什么意义），从而产生新的个体。

再进行适应度值评估检测，计算交换产生的新个体的适应度。

接着进行选择，选择的目的是为了从交换后的群体中选出优良的个体，使它们有机会作为父代为下一代繁殖子孙。

变异，变异首先在群体中随机选择一定数量个体，对于选中的个体以一定的概率随机地改变串结构数据中某个基因的值，变异为新个体的产生提供了机会。

4、什么是泛函。

答：泛函是一种映射，是一个由向量空间到标量空间的映射。

泛函是一种变换，它把向量空间N R 的一个子集投影到R 标量空间中的一个元素。

泛函是函数的函数。

5、什么是鲁棒控制。

答：由于工作状况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。

如何设计一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制。

二、问答题（20分）1、试述最优控制在控制领域中所处的位置。

答：最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的 ，由贝尔曼提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。

最优控制是现代控制理论的核心，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。

2、试述菌群优化算法的工作原理。

答：菌群优化算法主要通过趋向性操作、复制操作和迁徙操作这三种操作迭代计算来求解问题。

大肠杆菌的整个生命周期就是在游动和旋转这两种基本运动之间进行变换（鞭毛几乎不会停止摆动），游动和旋转的目的是寻找食物并避开有毒物质。

·变分学1． 求泛函2220[()]()J x t x x dt π=-⎰，的(0)1,22x x π⎛⎫== ⎪⎝⎭极值曲线。

解：两端固定，无约束泛函极值。

Euler 方程： 0x x dF F dt-= 其中：22(,(),())F t x t x t x x =-2x F x =- 2x F x =∴Euler 方程为：0x x += 解为：*12()cos sin x t c t c t =+代入边界条件得：c 1=1，c 2=2 ∴x*(t )=cos t +2sin t或用Laplace 变换解：22*22(0)(0)0()(0)(0)()0()11()(0)(0)()(0)cos (0)sin 11sx x x x s X s sx x X s X s s s X s x x x t x t x ts s ++=⇒--+=⇒=+=+⇒=+++2． 已知线性系统的状态方程x =Ax +Bu其中11220110A =,B =,x ,u 0001x u x u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦给定1x(0)1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1(2)0x =，求u()t ，使性能指标2201u 2J dt =⎰为最小。

解：始端时间和状态固定，终端时间固定t f =2，终端状态约束，终端约束条件为：1(2)0x =，即g (x(t f ), t f )=x 1(t f )=0 (一个约束方程)。

等式约束条件下的泛函极值问题。

u = 2221201()2J u u dt ∴=+⎰ 21121222,f x u x x u x u u +⎡⎤=+=⇒=⎢⎥⎣⎦2212121221(x,u,λ,)(x,u,)λ()f(x,u,)()()2TH t L t t t u u x u u λλ=+=++++泛函极值的必要条件为： 系统方程：12122,x x u x u =+=伴随方程：1112212λλ0λx λλλH x H H x ∂⎧=-⇒=⎪∂∂⎪=-⇒⎨∂∂⎪=-⇒=-⎪∂⎩ 控制方程：11111222220000u 0Hu u u H u H u u λλλλ∂⎧=+=⎪∂+=⎧∂⎪=⇒⇒⎨⎨+=∂∂⎩⎪=+=⎪∂⎩横截条件：111122122(x(),)g (x(),)(x(),)λ()μ0x()x()x()(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)0(2)T f f f f f f f f f f t t t t t g t t t t t t x x x x ϕμμλλμλλμ=∂∂∂=+=+∂∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦边界条件：[]x(0)11T= 解上述方程:11121212212λ0λλλλ2λ(2)0c c t c c c =⇒=⎫=-⇒=-+⎪⇒=⎬=⎪⎭1111222100u u c u u c t c λλ+=⇒=-+=⇒=-321123142212311()6212x c t c t c c t c x c t c t c =-+-+=-+ 将边界条件[]x(0)11T=以及1(2)0x =代入上述方程，有：12918,1414c c == 故，使性能指标J 达到最小的最优控制为：u*(t )=[-9/14 9t /14-18/14]T代入上述方程，有：3． 受控系统的状态方程、初始条件和目标集分别为1122x x x x u=-+=12(0)0(0)0x x ==22212()()1f f f x t x t t +=+试写出使2012f t J u dt =⎰为最小的必要条件，其末端时间f t 是可变的。

标准文档1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。

解：由上题得： x *(t ) = C t + C由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。

2 0 1∫⎩ λ = −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2 (3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t )dt 2取极小值的最优控制 u *(t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。

⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT f H = 1u 2 + λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨ 12 121 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C④22 由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1C t 3− 1C t 2+ C t + C⑤16 122 3 41 ∫⎪⎩=−=−⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29 ， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x *(t ) = 5 t 3 −t 2 + t +127 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

1. 2**'2**'*'*01min ()2y J y y y y y y dx ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦⎰,若(0)y 与(2)y 任意，求*y 及(*)J y 。

解：这是端点自由问题，相应的欧拉—拉格朗日方程为：()0f d f y dt y∂∂-=∂∂即''1(1)0d y y y dt +-++=得''1y =则'1y x c =+，21212y x c x c =++由横截条件：0f y∂=∂得'1y y ++=0即21121(1)102x c x c c +++++=0x =，1210c c ++=；2x =，12350c c ++=。

联立得122,1c c =-=所以*21212y x x =-+，*'2y x =-代入得2**'2**'*'*02321()21(221)243J y y y y y y dxx x x dx⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=-+-=-⎰⎰2.电枢控制的直流电动机忽略阻尼时的运动方程：()u t θ=式中，θ为转轴的角位移，()u t 为输入。

目标函数为221min ()2u J dt θ=⎰，使初态(0)1θ=及(0)1θ=转移到终态(2)0θ=及(2)0θ=，求最优控制*()u t 及最优角位移*()t θ，最优角速度*()t θ。

解： 设12,x x θθ==则122,x x x u ==。

哈密顿函数：212212H u x u λλ=++ 协态方程: 121120,0H Hx x λλλ∂∂=-==-=-=∂∂ 控制方程：20Hu uλ∂=+=∂即*2()()u t t λ=-将*()u t 代入状态方程，可得 1222121(),(),0,()x x t x t t λλλλ==-==-边界条件为1212(0)1,(0)1,(2)0,(2)0x x x x ==== 可见这是两点边值问题，对正则方程进行拉氏变换，可得11222211221()(0)()()(0)()()(0)0()(0)()sX s x X s sX s x s s s s s s λλλλλλ-=-=--=-=-联立以上四式，可解出43211221()(0)(0)(0)(0)s X s s x s x s λλ=+-+代入初始条件12(0)1,(0)1x x ==，可得1212341111()(0)(0)X s s s s sλλ=+-+ 故 2312111()1(0)(0)26x t t t t λλ=+-+同样可解得 22212322221111()(0)(0)(0)1()(0)(0)(0)2X s x s s sx t x t t λλλλ=-+=-+利用终端条件12(2)0,(2)0x x ==可得2121432(0)(0)0312(0)2(0)0λλλλ-+=-+=解得127(0)3,(0)2λλ== 1111(0)(),()(0)s t s λλλλ==；221221211()(0)(0),()(0)(0)s t t s sλλλλλλ=-=-即 127()3,()32t t t λλ==-所以：最优控制*27()()32u t t t λ=-=-+最优角位移*23171()142x t t t t θ==+-+最优角速度*2273()122x t t t θ==-+3. 222201min (2)()22.,(),(0) 1.()u s J x u t dt s t x u t x s =+==⎰为常量试求出最优控制*u ()t 及相应的轨线*()x t 。

1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫ (x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J =∫1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。

解：由上题得： x *(t ) = C t + Cx * (t )由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t= 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。

20 1 0 ∫ ⎩ λ= −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2(3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t)dt2取极小值的最优控制 u * (t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。

⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT fH = 1u 2 + λ x+ λ u⎧λ = 0 由协态方程： ⎨ 12 1 21 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C ④22由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1 C t 3− 1C t 2+ C t + C ⑤16 122 3 41⎪⎩=− ∫⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t− 29， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x * (t ) = 5 t 3−t 2 + t +1 27 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L xx ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(5025.2*=-=+=⎰⎰∙t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

最优控制习题答案最优控制习题答案最优控制是一门研究如何在给定的约束条件下，使某个系统的性能指标达到最优的学科。

在实际应用中，最优控制被广泛应用于工程、经济、生态学等领域。

然而，最优控制问题通常非常复杂，需要运用数学方法进行求解。

在本文中，我们将探讨一些最优控制习题，并给出相应的答案。

习题一：一辆汽车行驶在一条直线上，其速度v(t)满足以下微分方程：m*dv(t)/dt = F(t) - kv(t)，其中m为汽车的质量，F(t)为外部施加的力，k为阻力系数。

求使得汽车行驶时间最短的外部力F(t)。

解答：首先，我们需要确定行驶时间的数学表达式。

设汽车的初始速度为v0，行驶时间为T，根据题意，我们可以得到以下约束条件：v(0) = v0，汽车的初始速度为v0；v(T) = 0，汽车的最终速度为0。

根据最小时间原理，我们可以建立一个最优控制问题的数学模型，即求解以下极值问题：minimize T，使得v(T) = 0；subject to m*dv(t)/dt = F(t) - kv(t)，v(0) = v0。

通过拉格朗日乘子法，我们可以得到最优控制问题的解析解。

最终，我们可以得到外部力F(t)的解析表达式。

习题二：一个农民想要将一块矩形土地分成两块，使得两块土地的总面积最大。

该农民只能在土地的一条边上建立一道直线围栏。

求最优划分方案。

解答：设矩形土地的长为a，宽为b。

我们需要确定如何划分土地，使得两块土地的总面积最大。

根据题意，我们可以得到以下约束条件：2a + b = L，L为围栏的长度。

根据最大面积原理，我们可以建立一个最优控制问题的数学模型，即求解以下极值问题：maximize A = ab，使得2a + b = L。

通过拉格朗日乘子法，我们可以得到最优控制问题的解析解。

最终，我们可以得到最优划分方案的解析表达式。

习题三：一架飞机要从A地飞往B地，途中需要经过一个位于C地的雷达站。

飞机的速度恒定为v，雷达站可以通过调整飞机的航向角度来监测飞机的位置。

4题任选2题1.一质点沿曲线()y f x =从点（0，8）运动到（4，0），设质点运动速度为x ，问曲线取什么样的形状，质点运动的时间最短？ 解答：取两点之间的连线直线为质点运动时间最短曲线。

2.设有一阶系统x x u ∙=-+，()03x =，试确定控制函数()u t ，在t=2时，把系统转移到零状态，并使泛函()2201J u dt=+⎰取极小值，如果把系统转移到零态的时间不固定，那该如何求解？ 解答：t=2时的系统转移到零时刻，2112H 0201112201(t)(t)(t )e 23(0)3,(2)0(t 32t tu x u H x Hx xx u Hu uu xx x x d dx CC e x C x x x λλλλλλλλλλλλ--=∂=-→=-∂∂=-→=-+∂∂=→+=∂→⎧⎛⎫=-+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇒=⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪-=-⎝⎭⎩=→=+==⇒=+ 做汉密尔顿函数：（1+）+(-+)欧拉方程：状态方程：控制方程：消除代入边界条件：)e 3(t)2t tu e --⇒=-222111(t )0(1)()0t 2123033(t 3)e e 22C 31e C t +6+C 22f f f f ftt f t f H u x u u ux u x u θθλλ---∂=-=→++-+=∂=-→+-==+=-=移动到零态的时间不固定则还要符合条件由于则将和代入（）无法继续。

3.已知线性二阶系统的微分方程及初始条件为12x x ∙=，()101x = 2x u ∙=，()201x =求最优控制()u t ，使下列性能指标分别为最小 （a ）120J u dt =⎰，()111x =（b ）20f t J u dt =⎰，()()21f f f x t c t t ==-（f t 可变）（c ）20f t J u dt =⎰，()()()212,0f f f f x t c t t x t ==-=解答：（a ）2122122111212112H ,0,(t)C (t)C C H0202f u x u Hxxx x u H xt u u t u λλλλλλλλλλ=++∂=→==∂∂=-→==∂=→=∂=→+=→=-∂ 本题为t =1，终端固定的最优解问题正则方程：控制方程：211222231112123231113122(t)24(t)412(0)11,1(1)11111212(t)t 1(t)3t 1C Cxt x t C C Cxt C x t C t C x C C C x C x t x =-→=-+=-+→=-++=→===→-++=⇒=⇒=-++=-+ 边界条件 （b ）2321111C =1,C =1(t )t (t )()(t )(t )1f f Tf f f x M v x v C λ=-∂=→∂==同理可以得到4.设受控系统为12x x ∙=，23x x ∙=，3x u ∙=，试写出在约束()1u t ≤条件下，系统由初始条件()()()1230000x x x ===转移到目标集()21f f x t t =，()()223f f x t x t =，且使性能指标()220f t f f J t x t u dt =+⎰为最小的最优控制必要条件，其中f t 未定。