高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时达标检测(十)函数的图象及其应用 理

2．8 函数模型及其应用1．函数的实际应用(1)基本函数模型：函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模型指数型函数模型f（x）＝ba x＋c(a,b，c 为常数，a＞0且a≠1，b≠0)对数型函数模型f（x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0）幂型函数模型f(x)＝ax n＋b（a，b为常数，a≠0)比较函数性质y＝a x（a＞1）y＝log a x(a＞1）y＝x n（n＞0）在(0,＋∞)上的单调性单调____函数单调____函数单调____函数增长速度越来越____越来越____相对平稳图象的变化随x值增大，图象与____轴接近平随x值增大，图象与____随n值变化而不同行轴接近平行2。

函数建模（1）函数模型应用的两个方面：①利用已知函数模型解决问题；②建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测．(2）应用函数模型解决问题的基本过程：、、、.自查自纠1．（1）f(x）＝ax＋b(a,b为常数，a≠0）f(x）＝ax2＋bx＋c(a，b,c为常数,a≠0)(2)增增增快慢y x2．审题建模解模还原手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低错误!,则现在价格为2 560元的手机,两年后价格可降为（）A．900元B．810元C．1 440元D．160元解：半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为2 560×错误!错误!＝810元．故选B.（错误!)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05,lg1。

3≈0。

11,lg2≈0.30)（)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解：设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12％）x＝200，解得x＝log1。

课时跟踪检测（十） 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2015·某某调研)函数y ＝log 232x －1的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．答案：(－∞，－2)3．(2016·某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.答案：a ＝b >c4．(2015·某某高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－15．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为________． 解析：在同一坐标系中分别作函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象如图所示．由图可知y ＝|x －2|与y ＝ln x 有2个交点，所以函数f (x )零点的个数为2.答案：22．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝331-log 2＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案：53．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .答案：a >b >c4．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______. 解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e 12＋2log 232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：15．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)6．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图象上，从而由2＝2，得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x上，从而y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．(2016·某某四市调研)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值X 围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 2．(2016·某某中学月考)已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值X 围为(－∞，－3)．。

第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第二节 函数的单调性与最值A 级·基础过关 |固根基|1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上是增函数． 2．如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f(x)＝2x －3在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x ＝－1a ，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以a<0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 所以0≤2x－1<13，解得12≤x<23.4．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f(－3)>f(－2)B ．f (π)>f(－2)>f(－3)C ．f (π)<f(－3)<f(－2)D ．f (π)<f(－2)<f(－3) 解析：选A 因为f(x)是偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)． 又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．5．函数y ＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1 ]解析：选B 由图象，知f(x)在(－∞，0)和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．又因为当0<a<1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(log a x)单调递减，则需log a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即0≤log a x ≤12，解得x∈[a ，1]．6．定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x －2； 当1<x≤2时，f(x)＝x 3－2.因为f(x)＝x 3－2，f(x)＝x －2在定义域内都为增函数，且f(1)<f(2)， 所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x≥1，2x ，x<1的值域为________．解析：当x≥1时，log 12x≤0；当x<1时，0<2x<2，故f(x)的值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．函数f(x)＝x ＋2x －1 的值域为________． 解析：由2x －1≥0，得x≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 又函数f(x)＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．已知f(x)＝xx －a(x≠a)． (1)若a ＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取x 1<x 2<－2， 当a ＝－2时，f(x 1)－f(x 2)＝ x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任取1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵a>0，x 2－x 1>0，∴要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a 的取值范围是(0，1]．10．(2019届福建师大附中模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件： ①对任意正数a ，b ，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)； ②当x>1时，f(x)<0； ③f(2)＝－1. (1)求f(1)的值；(2)用单调性的定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f(3x －1)>2的x 的取值集合．解：(1)由f(a)＋f(b)＝f(ab)，得f(1)＋f(1)＝f(1)，则f(1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f(x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＝f(x 2)，所以f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. 由x 2x 1>1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0，即f(x 2)<f(x 1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(3)∵f(2)＝－1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－2，又f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f(1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2.又f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<14，3x －1>0，解得13<x<512. 故满足要求的x 的取值集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，512.B 级·素养提升 |练能力|11.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f(x)＝a x在R 上为减函数，则有0<a<1；若函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上为增函数，则有2－a>0，即a<2，所以“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A ．12．已知在函数f(x)＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a>1>b>0，且a ＝b ＋1，那么f(x)>1的解集为( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，10)D ．(10，＋∞) 解析：选B 由a x－b x>0，a>1>b>0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1，解得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为a>1>b>0，所以y ＝a x单调递增，y ＝－b x单调递增，所以t ＝a x－b x单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f(x)＝lg(a x－b x)＋x 为(0，＋∞)上的增函数．而f(1)＝lg(a －b)＋1＝lg 1＋1＝1，所以当x>1时，f(x)>1，故f(x)>1的解集为(1，＋∞)．故选B ．13．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D 因为函数f(x)＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．又当x≥1时，f （x ）x ＝12x ＋32x －1，令g(x)＝12x ＋32x －1(x≥1)，则g′(x)＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g′(x)≤0，得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．故选D ． 14．定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy≥0，y ，xy<0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x －x 2)的最大值为________．解析：由已知，得f(x)＝x2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 2（2x －x 2）≥0，2x －x 2，x 2（2x －x 2）<0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x≤2，2x －x 2，x<0或x>2，易知函数f(x)的最大值为4. 答案：4。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－x C ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ， 所以g (x )＝12(e x －e －x )．。

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题测试含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．21(1)(2)a a a a +++>+B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+C ．1log (1)a a a a ++< D ．12log (2)1a a a a +++<+ 【答案】ABD 【分析】对于选项A ：原式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121a a a a ++<++，构造函数()ln xf x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+， 等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合放缩法即可判断； 【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减， 对于选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可得21(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确； 对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+， 由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a+>+，故选项C 错误；对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥， 所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦，因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.2．设函数ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（ ）A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.【详解】作出函数()f x 的图象：令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，由()0g t =，得1221t t ==-，，由2122t x x ==--12x x ⇒=由223412t x x x x =-=--⇒==所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，， 22()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254m m --+=， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以213254m m t --+>， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；当20()t f x ==，得1213x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.3．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.4．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，0x ≥时，()x f x e x b =+-，显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误;当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4sin 3x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.5．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】BCD 【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<，，t ≤<=6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t <5n ≤时，存在t ∈满足题意， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．6．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．121x y z+=C ．4x y z +>D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===， 由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误； 对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y =+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121xyzm ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.7．下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数()1f x +的值域为[]2,3C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()0,3D ．已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1，故正确；对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相同，故错误；对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()23f x x x=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.8．已知函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x -=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确； 当n 为偶数时，>0n x，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确； 当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确， 故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.二、导数及其应用多选题9．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f === 66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错 B．e e π<，且()f x在(0,)e 单调递增ln f f e ππ∴<<<∴>，故：B 正确 C ．()f x m =有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m ∴==不妨设120x e x <<< 要证：212x x e <，即要证：221222,()e e x x e e f x x x <>∴<在(0,)e 单调递增，∴只需证：()212e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()2220e f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭……① 令2()(),()e g x f x f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2211()(ln 1)g x x e x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 当x e >时，2211ln 1,()0()x g x g x e x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增 ()22()0x e g x g e >∴>=，即：()2220e f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭这与①矛盾，故C 错 D ．设25x y k ==，且,x y 均为正数，则25ln ln log ,log ln 2ln 5k k x k y k ==== 252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ∴== 1152ln 2ln 5ln 2,ln 525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ln 2ln 52502525ln 2ln 5x y ∴>>∴<∴<，故D 正确． 故选：BD ．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x 的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x ，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．10．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln x f x x =，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3e x y =D ．1122y x =- 【答案】AB【分析】 根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解.【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数()ln x f x x =，可得()21ln x f x x-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方；又由函数()1x g x e -=，可得()1e 0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0201ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x =，所以12k e ==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3x y e =与曲()y f x =相交，故C 不符合；由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1， 明显不满足，排除D.故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.。

一、选择题1．函数f(x）＝错误!的定义域为（)A．（0，＋∞） B.错误!C.错误!D.错误!∪（1,＋∞)【解析】由错误!得x≥错误!且x≠1。

【答案】D2．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数是（）A．f(x）＝｜tan 2x｜B．f（x）＝－|x＋1|C．f(x）＝错误!（2－x－2x) D．f(x)＝log错误!错误!【解析】A中，函数f（x)＝|tan 2x｜在x＝±错误!时没有定义，故排除A；B中，函数f（x)＝－|x＋1｜不是奇函数，故排除B；C 中，函数的定义域为R，且f(－x）＝错误!（2x－2－x)＝－错误!(2－x－2x)＝－f(x），故该函数为奇函数且为减函数,故C正确；D中，令t＝g(x)＝错误!(－2＜x＜2)，该函数为减函数，又y＝log错误!x为减函数，所以函数f(x)＝log错误!错误!为增函数,故排除D.【答案】C3．(2017·昆明模拟)已知函数f（x)＝错误!设a＝log错误!错误!，则f ＝( )A。

错误!B．2C．3 D．－2【解析】－1＜a＝log错误!错误!＜0，则f＝f(错误!）＝log3错误!＝错误!。

【答案】A4．（2017·长春模拟）若对任意的x∈R，y＝错误!均有意义，则函数y＝log a错误!的大致图象是（)【解析】由题意得1－a｜x｜≥0,即a｜x｜≤1＝a0恒成立，由于|x｜≥0,故0＜a＜1.y＝log a错误!＝－log a｜x|是偶函数,且在（0，＋∞）上是单调递增函数．【答案】B5．如果函数f(x)＝log a x(a＞1)在区间上的最大值是最小值的3倍,那么实数a的值为（)A。

2 B。

错误!C．2 D．3【解析】因为a＞1，所以函数f(x）＝log a x在区间上单调递增，所以f（2a）＝3f（a),即log a2a＝3log a a＝3，所以a3＝2a，所以a＝2。

【答案】A6．已知函数f (x ）＝错误!，函数g (x ）＝f （x ）－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．C ．，则函数f (x )＝ln x 在x ∈上的均值为（ ）A.12B ．1C ．eD 。

§2.7 函数的图象考纲展示► 1.理解点的坐标与函数图象的关系．2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象．3．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．考点1 作函数的图象1。

描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为:（1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．（2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点）．（3）描点，连线．2．图象变换（1）平移变换：①y＝f（x）的图象错误!y＝________的图象；②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象．（2）对称变换：①y＝f(x)的图象错误!y＝________的图象；②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象；③y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象;④y＝a x（a>0且a≠1)的图象错误!y＝log a x（a〉0且a≠1）的图象．（3)伸缩变换：①y＝f(x）的图象y＝________的图象;②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象．（4)翻转变换：①y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象;②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象．答案:（1）①f(x－a) ②f（x)＋b(2）①－f(x）②f（－x) ③－f（－x)（3）①f(ax) ②af(x)（4)①|f(x)｜②f（｜x｜)（1)[教材习题改编］对于函数f(x)＝错误!有下列三个说法：①图象是一个点和一条直线（去掉点（0,0)）；②图象是两条直线；③图象是一个点和两条射线．其中正确的说法是________．（填序号)答案：①解析：当x≠0时，图象是一条直线去掉点(0，0)，当x＝0时,图象是一个点．(2)[教材习题改编]为了得到函数y＝log3(x＋3)－2的图象，只需把函数y＝log3x的图象上所有的点向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度．答案:左 3 下2图象变换中的误区：平移的方向;平移的大小．(1)将函数y＝f(－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．答案：y＝f(－x＋1）解析：将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－（x－1))＝f（－x＋1)的图象(注意平移方向）．(2)把函数y＝f（2x)的图象向右平移________个单位长度得到函数y＝f(2x－3）的图象．答案:错误!解析：本题易理解为向右平移3个单位长度，事实上把函数y ＝f(2x）的图象向右平移3个单位长度后得到的是函数y＝f(2（x－3）)＝f（2x－6）的图象。

2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测十对数与对数函数1．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则x ，y ，z 的大小关系是________．解析：依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z .答案：y ＞x ＞z2．(xx·南京模拟)已知a ＝log 25，b ＝log 5(log 25)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：a ＝log 25＞2，b ＝log 5(log 25)∈(0,1)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52∈(1,2)，可得b ＜c ＜a .答案：a ＞c ＞b3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3＋1＝3＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.答案：54．函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是________．(填序号)解析：当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图象为②④中过点(1,0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，②④中的图象都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图象为①③中过点(1,0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，①中的图象符合要求，③中的图象不符合要求．答案：①5.(xx·启东中学模拟)设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及函数y 2＝log 2x ＋2的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数y 2＝log 2x ＋2的图象上，如图，若△ABC 为正三角形，则m ·2n＝________.解析：由题意知，n ＝log 2m ＋2，所以m ＝2n －2.又BC ＝y 2－y 1＝2，且△ABC 为正三角形，所以可知B (m ＋3，n －1)在y 1＝log 2x 的图象上，所以n －1＝log 2(m ＋3)，即m ＝2n －1－3，所以2n ＝43，所以m ＝3，所以m ·2n＝3×43＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是________．(填序号)①d ＝ac ；②a ＝cd ；③c ＝ad ；④d ＝a ＋c .解析：由已知得5a＝b,10c＝b ，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc ＝a . 答案：②2．(xx·淮安中学模拟)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的序号是________．①q ＝r ＜p ；②p ＝r ＜q ；③q ＝r ＞p ；④p ＝r ＞q . 解析：因为b ＞a ＞0，故a ＋b2＞ab .又f (x )＝ln x (x ＞0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，即p ＝r ＜q .答案：②3．(xx·浙江高考改编)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则下列关系式中成立的序号是________．①(a －1)(b －1)＜0；②(a －1)(a －b )＞0； ③(b －1)(b －a )＜0；④(b －1)(b －a )＞0.解析：∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为alog a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0.当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0， (b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0.综上可知，④正确．答案：④4．(xx·泰州期中)函数f (x )＝lg(4x－2x ＋1＋11)的最小值是________．解析：令2x ＝t ，t ＞0，则4x －2x ＋1＋11＝t 2－2t ＋11＝(t －1)2＋10≥10，所以lg(4x－2x ＋1＋11)≥1，即所求函数的最小值为1.答案：15.已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则下列有关a ，b 的关系式中正确的是________．(填序号)①0＜a －1＜b ＜1；②0＜b ＜a －1＜1； ③0＜b －1＜a ＜1；④0＜a －1＜b －1＜1.解析：由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，且y ＝2x＋b －1也单调递增，故a ＞1.令x ＝0，得函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1＜log a b ＜0，即1a＜b ＜1.综上有0＜1a＜b ＜1.答案：①6．(xx·盐城模拟)设函数f (x )＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是________．解析：由已知得0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)＞f (2)．答案：f (a ＋1)＞f (2)7．lg 2＋lg 5＋20＋()52×35＝________. 解析：原式＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1328．若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab＝6k2k －23k －3＝108. 答案：1089．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－1410．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a ＞0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，所以a ＞1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x＞0，所以x ＞0或x ＜－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞) 二、解答题11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log (－x )． 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log x ，x ＞0，0，x ＝0，log －x ，x ＜0.(2)因为f (4)＝log4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．12．(xx·徐州质量检测)已知函数f (x )＝log 2x －ax ＋1，a ∈R ，且函数f (x )是奇函数． (1)求a 的值；(2)当x ∈[－4，－2]时，不等式f (x )≥log 2(1－mx )恒成立，求实数m 的取值范围； (3)设函数g (x )＝f (x )＋log 22x －1，若x 1，x 2是函数g (x ) 定义域上的任意两个变量，试比较g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22与g x 1＋g x 22的大小，并给出证明．解：(1)因为函数f (x )是奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0，即log 2x －a x ＋1＋log 2－x －a－x ＋1＝0，即－x 2＋a2－x 2＋1＝1，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝log 2x －1x ＋1是奇函数，符合题意； 当a ＝－1时，f (x )＝0，定义域为{x |x ≠－1}，则函数f (x ) 不是奇函数，舍去，所以a ＝1.(2)由log 2x －1x ＋1≥log 2(1－mx )得x －1x ＋1≥1－mx ＞0， 因为x ∈[－4，－2]，所以m ≤2x 2＋x ，设h (x )＝2x 2＋x，则m ≤h (x )min ， 当x ∈[－4，－2]时，2≤x 2＋x ≤12，则h (x )min ＝16，则m ≤16；又由1－mx ＞0得m ＞1x ，则m ＞－14.综上－14＜m ≤16.(3)g (x )＝log 2x －1x ＋1＋log 22x －1＝log 22x ＋1，定义域为(1，＋∞)， 设x 1，x 2∈(1，＋∞)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝log24x 1＋x 2＋2，g x 1＋g x 22＝log 22x 1＋1x 2＋1.因为x 1＞1，x 2＞1，x 1＋x 2＋22－x 1＋1x 2＋1＝12(x 1＋1－x 2＋1)2≥0，所以x 1＋x 2＋22≥x 1＋1x 2＋1，则4x 1＋x 2＋2≤2x 1＋1x 2＋1，所以g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤g x 1＋g x 22.。

单元滚动检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为( )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1]2．(2017·福州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0，若f (a )＋f (－1)＝3，则a 等于( ) A ．e B.1e C ．1D ．e 或1e3．已知log 12b <－log 2a <－2log 4c ，则( )A ．b >a >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >b >c4．函数y ＝kx 2－6x ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－9]∪[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[－9,1] D ．(0,1]5．已知函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]6．函数y ＝log 13(x 2－6x ＋10)在区间[1,2]上的最大值是( )A ．0B ．log 135C ．log 132D ．17．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]8．函数f (x )＝ln(x －1x)的图象是( )9．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 017)＋f (2 018)的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．110．已知函数f (x )＝(x 2＋x )(x 2＋ax ＋b )，若对∀x ∈R ，均有f (x )＝f (2－x )，则f (x )的最小值为( ) A ．－94B ．－3516C ．－2D ．011．函数f (x )＝max{x 2－x,1－x 2}的单调增区间是( ) A ．[－12，0]，[1，＋∞)B ．(－∞，－12]，[0,1]C ．[－12，1]D ．[0,1]12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 5－x ，x <1，－x －2＋2，x ≥1，则关于x 的方程f (x ＋1x－2)＝a 的实根个数不可能为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝a ln(x 2＋1＋x )＋bx 3＋x 2，其中a ，b 为常数，f (1)＝3，则f (－1)＝________.14．(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.15．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2，L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在甲、乙两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．16．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R .(1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点，求a 的取值范围．18.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围.19.(12分)(2016·昆明模拟)已知函数f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0<f (1－2x )－f (x )<1，求实数x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，当x ∈[1,2]时，求函数y ＝g (x )的解析式.20.(12分)已知函数f (x )＝lgkx －1x －1(k ∈R 且k >0) . (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，求实数k 的取值范围.21.(12分)旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16 000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60.设旅行团的人数为x ，每个人的机票费为y 元，旅行社的利润为Q 元．成本只算飞机费用． (1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润.22.(12分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋5(a >1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围.答案精析1．D [要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x －4≤0，x ≠0，解得－4≤x ≤1且x ≠0，故选D.]2．D [因为f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2,所以f (a )＝3－2＝1.当a >0时，|ln a |＝1，解得a ＝e 或1e；当a <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝1，无解．]3．A [因为－log 2a ＝log 12a ，－2log 4c ＝log 12c ，log 12b <－log 2a <－2log 4c ，所以log 12b <log12a <log 12c ，又对数函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，从而b >a >c .故选A.]4．B [因为kx 2－6x ＋k ＋8≥0恒成立，k ≤0显然不符合题意．故可得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36－4kk ＋，解得k ≥1，故选B.]5．D [当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，满足题意；当a >0时，函数f (x )在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a <0时，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝－a －32a,∵函数f (x )在区间[－1,＋∞)上单调递减，∴－a －32a≤－1，得－3≤a <0.综上可知，实数a 的取值范围是[－3,0]．] 6．C [当1≤x ≤2时，u ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1为减函数且2≤u ≤5. 又y ＝log 13u 为减函数，所以y max ＝log 132.]7．D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2， 又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0. 当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2， 即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.]8．B [由函数的定义域知，x －1x>0，解得－1<x <0或x >1，排除A ，C ，由函数的单调性排除D.故选B.]9．A [因为f (x )是奇函数，且周期为2，所以f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋f (2 018)＝－f (1)＋f (0)．当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，所以f (－2 017)＋f (2 018)＝－1＋0＝－1.]10．A [首先，由题意可知f (－1)＝f (0)＝0， 因为f (x )＝f (2－x )，所以f (2)＝f (3)＝0，f (x )＝(x 2＋x )(x 2＋ax ＋b )＝(x 2＋x )(x －2)(x －3)＝(x 2＋x )(x 2－5x ＋6)＝[(x －1)＋1][(x －1)＋2][(x －1)－1][(x －1)－2] ＝[(x －1)2－1][(x －1)2－4]， 令t ＝(x －1)2，则得f (x )＝g (t )＝(t －1)(t －4)(t ≥0)． 根据二次函数的性质，当t ＝52时，g (t )取得最小值－94，即f (x )得最小值是－94.]11．A [令x 2－x ＝1－x 2，得x ＝－12或x ＝1.当x <－12或x >1时，f (x )＝x 2－x ；当－12≤x ≤1时，f (x )＝1－x 2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x <－12或x >1，1－x 2，－12≤x ≤1.画出函数f (x )的图象，如图所示．观察图象得增区间为[－12，0]和[1，＋∞)．故选A.]12．A [因为f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3或x ＝45或x ＝－4，则当a ＝1时，x ＋1x －2＝45或1或3或－4，又因为x ＋1x －2≥0或x ＋1x －2≤－4，则当x ＋1x－2＝－4时，只有x ＝－2与之对应，其他情况都有两个x 值与之对应，所以此时所求方程有7个根；当1<a <2时，因为函数f (x )与y ＝a 有4个交点，每个交点对应两个x ，则此时所求方程有8个解；当a ＝2时，函数f (x )与y ＝a 有3个交点，每个交点对应两个x ，则此时所求方程有6个解，所以B ，C ，D 都有可能，故选A.] 13．－1解析 已知函数f (x )＝a ln(x 2＋1＋x )＋bx 3＋x 2，所以f (x )＋f (－x )＝2x 2.由f (1)＝3，得f (－1)＝－1. 14．－2解析 因为f (x )是周期为2的函数， 所以f (x )＝f (x ＋2)． 而f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )．所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝412＝2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 15．45.6解析 设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，则总利润L ＝L 1＋L 2＝5.06x －0.15x2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋45.606.因为x ∈N ＋，所以当x ＝10时，获得最大利润L ＝－0.15×102＋3.06×10＋30＝45.6(万元)． 16．(0，12)解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.17．解 (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点， 则方程f (x )＝0的根的判别式Δ<0， 即16－4(a ＋3)<0，解得a >1. 故a 的取值范围为a >1.(2)因为函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3图象的对称轴是x ＝2，所以y ＝f (x )在[－1,1]上是减函数．又y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ，f －，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋8≥0，解得－8≤a ≤0.故实数a 的取值范围为－8≤a ≤0.18．解 (1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a . 因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0. 所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －24.由g (x )的图象知：要满足题意， 则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，所以所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．19．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1，得1<2－2x x ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13.由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13， 得－23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．20．解 (1)由kx －1x －1>0及k >0，得x －1k x －1>0，即(x －1k)(x －1)>0.当0<k <1时，x <1或x >1k；当k ＝1时，x ∈R 且x ≠1； 当k >1时，x <1k或x >1.综上，当0<k <1时，定义域为(－∞，1)∪(1k，＋∞)；当k ≥1时，定义域为(－∞，1k)∪(1，＋∞)．(2)因为f (x )在[10，＋∞)上单调递增， 所以10k －110－1>0，所以k >110.又f (x )＝lgkx －1x －1＝lg(k ＋k －1x －1)， 故对任意的x 1，x 2，当10≤x 1<x 2时， 恒有f (x 1)<f (x 2)， 即lg(k ＋k －1x 1－1)<lg(k ＋k －1x 2－1)， 所以k －1x 1－1<k －1x 2－1， 所以(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)<0. 又因为1x 1－1>1x 2－1，所以k －1<0，即k <1. 综上，实数k 的取值范围是(110，1)．21．解 (1)依题意知，1≤x ≤60，x ∈N ＋， 又当1≤x <20时，800x <16 000，不符合实际情况， 故20≤x ≤60，x ∈N ＋. 当20≤x ≤35时，y ＝800； 当35<x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1 150.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧800，20≤x ≤35，且x ∈N ＋，－10x ＋1 150，35<x ≤60，且x ∈N ＋.(2)当20≤x ≤35，且x ∈N ＋时，Q ＝yx －16 000＝800x －16 000，此时Q max ＝800×35－16 000＝12 000；当35<x ≤60，且x ∈N ＋时，Q ＝yx －16 000＝－10x 2＋1 150x －16 000＝－10(x －1152)2＋34 1252， 所以当x ＝57或x ＝58时，Q 取得最大值，即Q max ＝17 060.因为17 060>12 000，所以当旅行团的人数为57或58时，旅行社可获得最大利润，为17 060元．22．解 因为f (x )在(－∞，2]上是减函数， 且f (x )在(－∞，a ]上是减函数，所以a ≥2. 结合f (x )的单调性知f (x )在[1，a ]上单调递减， 在[a ，a ＋1]上单调递增，所以当x ∈[1，a ＋1]时，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，f (x )max ＝max{f (1)，f (a ＋1)}．又f (1)－f (a ＋1)＝6－2a －(6－a 2)＝a (a －2)≥0， 所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a . 因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]， 总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， 所以f (x )max －f (x )min ≤4，即6－2a －(5－a 2)≤4，a 2－2a －3≤0， 解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围是[2,3]．。

第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象． (4)体会指数函数是一类重要的函数模型． 3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象．(3)体会对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况．5．函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．6．函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．§2.1 函数及其表示1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有________f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个________，记作y ＝f (x )，x ∈A ，其中，x 叫做________，x 的取值范围A 叫做函数的________；与x 的值相对应的y 值叫做________，其集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的________．2．函数的表示方法 (1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法．3．构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且________完全一致，则称这两个函数相等．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．5．映射的概念一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于A 中的________元素x ，在集合B 中都有________元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．6．映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_______________．(2)区别：函数是从非空数集．．A 到非空数集．．B 的映射；对于映射而言，A 和B 不一定是数集．．． 7．复合函数 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．自查自纠： 1．唯一确定的数 函数 自变量 定义域 函数值 值域2．(1)数学表达式 (2)图象 (3)列出表格 3．(1)定义域 对应关系 值域 (2)定义域 对应关系5．任意一个 唯一确定的 6．(1)映射(2014·山东)函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解：(log 2x )2－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．故选C .(2014·江西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x ＜0，(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 解：f (－1)＝2，f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，∴a ＝14.故选A .下列各图表示两个变量x ，y 的对应关系，则下列判断正确的是( )A ．都表示映射，都表示y 是x 的函数B ．仅③表示y 是x 的函数C ．仅④表示y 是x 的函数D ．都不能表示y 是x 的函数解：根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.(2014·南京模拟)函数y ＝11－x＋log 2(2x －1)的定义域为________．解：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，2x －1>0，解得12<x <1.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2014·新课标Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解：由题设知f (x )≤2可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13≤2，解得x ≤8.故填(－∞，8]．类型一 函数和映射的定义下列对应是集合P 上的函数的是________．①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．解：由于①中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，而③中集合P 不是数集，所以①和③都不是集合P 上的函数．由题意知，②正确．故填②.点拨：函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y 与之对应；③集合P ，Q 是否为非空数集．(2013·南昌模拟)给出下列四个对应：①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1；②A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b |b ＝1n ，n ∈N *，对应关系f ：a →b ，b ＝1a；③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ；④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A 到B 的映射的为________．解：对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 两个集合分别用列举法表述为A＝{2，4，6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应关系f ：a →b ，b ＝1a知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B中两个元素±1；④是从A 到B 的映射． 故填②④.类型二 判断两个函数是否相等已知函数f (x )＝|x －1|，则下列函数中与f (x )相等的函数是( )A ．g (x )＝|x 2－1||x ＋1|B ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1C ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，1－x ，x ≤0 D ．g (x )＝x －1解：∵g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|＝|x －1|，x ≠－1，2，x ＝－1， 与f (x )的定义域和对应关系完全一致，故选B .点拨：两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．(2013·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0C ．f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N *D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x （x ＋1） 解：对于A ，f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )的定义域为R ，所以不是同一函数；对于C ，当n ∈N *时，2n ±1为奇数，则f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n －1＝x ，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D ，f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0， ＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数．故选C.类型三 求函数的定义域(1)求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x－4)0的定义域．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[－1，1)，求y ＝ f (x 2－3)的定义域．解：(1)要使函数有意义须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0.解得x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.∴函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2}，用区间表示为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，4)∪(4，＋∞)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3≥－1，x 2－3＜1，解得⎩⎨⎧x ≤－2或x ≥2，－2＜x ＜2.∴函数的定义域为(－2，－2]∪[2，2)．点拨：求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y ＝f (x )用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．若已知函数y ＝f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数y ＝f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 解出．(1)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (x )的定义域．(2)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (2x)的定义域．解：(1)∵函数f (2x －1)的定义域为[1，4]， ∴1≤x ≤4，1≤2x －1≤7，故函数f (x )的定义域是[1，7]．(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为[1，7]，令1≤2x≤7，得0≤x ≤log 27，故所求函数的定义域为[0，log 27]．类型四 求函数的值域求下列函数的值域：(1)y ＝1－x 21＋x2； (2)y ＝2x ＋1－x ； (3)y ＝2x ＋1－x 2； (4)y ＝x 2－2x ＋5x －1；(5)若x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求函数z ＝x 2＋y 2的值域；(6)f (x )＝||2x ＋1－||x －4. 解：(1)解法一：(反解)由y ＝1－x 21＋x 2，解得x 2＝1－y 1＋y， ∵x 2≥0，∴1－y 1＋y≥0，解得－1＜y ≤1，∴函数值域为(－1，1]． 解法二：(分离常数法)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又∵1＋x 2≥1，∴0＜21＋x2≤2，∴－1＜－1＋2x 2＋1≤1， ∴函数的值域为(－1，1]． (2)(代数换元法)令t ＝1－x (t ≥0)，∴x ＝1－t 2，∴y ＝2(1－t 2)＋t ＝－2t 2＋t ＋2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋178. ∵t ≥0，∴y ≤178，故函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，178. (3)(三角换元法)令x ＝cos t (0≤t ≤π)，∴y ＝2cos t ＋sin t ＝5sin(t ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝15，sin φ＝25.∵0≤t ≤π，∴φ≤t ＋φ≤π＋φ， ∴sin (π＋φ)≤sin(t ＋φ)≤1. 故函数的值域为[－2，5]． (4)解法一：(不等式法)∵y ＝x 2－2x ＋5x －1＝（x －1）2＋4x －1＝(x －1)＋4x －1， 又∵x ＞1时，x －1＞0，x ＜1时，x －1＜0，∴当x >1时，y ＝(x －1)＋4x －1≥24＝4，且当x ＝3，等号成立；当x <1时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋4－（x －1）≤－4，且当x ＝－1，等号成立．∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 解法二：(判别式法)∵y ＝x 2－2x ＋5x －1，∴x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0，又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∴方程x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0有不等于1的实根．∴Δ＝(y ＋2)2－4(y ＋5)＝y 2－16≥0，解得y ≤－4或y ≥4.当y ＝－4时，x ＝－1；y ＝4时，x ＝3. 故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． (5)(单调性法)∵3x 2＋2y 2＝6x ，∴2y 2＝6x －3x 2≥0，解得0≤x ≤2.z ＝x 2＋y 2＝x 2＋3x －32x 2＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92.∵对称轴为x ＝3＞2，即z 在x ∈[0，2]上单调递增．∴当x ＝0时，z 有最小值0，当x ＝2时，z 有最大值4，故所求函数的值域为[0，4]． (6)(图象法)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.点拨：求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋x －1；(2)y ＝1＋4x ＋x 21＋x 2； (3)f (x )＝x 2＋5x 2＋4.解：(1)函数的定义域为[1，＋∞)，在[1，＋∞)上y ＝x 和y ＝x －1都是增函数， ∴y ＝x ＋x －1也是增函数，∴当x ＝1时取得最小值1，∴函数的值域是[1，＋∞)．(2)解法一：变形得：y ＋yx 2＝1＋4x ＋x 2，∴(1－y )x 2＋4x ＋1－y ＝0，y ＝1时，x ＝0； y ≠1时，∵x ∈R ，∴Δ＝16－4(1－y )2≥0⇒－1≤y ≤3且y ≠1. ∴函数值域为[－1，3]．解法二：y ＝1＋4x1＋x 2，而－1－x 2≤2x ≤1＋x 2，1＋x 2＞0.∴－1－x 21＋x 2≤2x 1＋x 2≤1＋x 21＋x 2，∴－1≤2x 1＋x2≤1. ∴1＋2×(－1)≤1＋2×2x1＋x2≤1＋2×1， 即－1≤y ≤3，∴函数的值域为[－1，3]．(3)f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4.令f (x )＝t ＋1t ，而t ＋1t在[2，＋∞)上是增函数．∴t ＋1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. ∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. (说明：此题易错写成f (x )＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2.∴f (x )的值域为[2，＋∞)．请想一想，错在哪里？)类型五 求函数的解析式求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，并且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )；(2)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋8x ＋3，求f (x )；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2－3，求f (x )；(4)已知f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ＋2，求f (x )． 解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3. 故所求的函数为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设2x ＋1＝t ，则x ＝12(t －1)，∴f (2x ＋1)＝f (t )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）2＋8⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）＋3＝t 2＋2t ， 所以f (x )＝x 2＋2x .(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－5，而x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )＝x 2－5(x ≥2或x ≤－2)．(4)令t ＝1x ，则x ＝1t，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －2f (t )＝3t＋2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ＋2，与原式联立得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f （x ）＝3x ＋2， 解得f (x )＝－x －2x－2，故所求函数的解析式为f (x )＝－x －2x－2(x ≠0)．点拨：由y ＝f (g (x ))的解析式求函数y ＝f (x )的解析式，应根据条件，采取不同的方法：①若函数g (x )的类型已知，则用待定系数法；②已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；③函数方程法(即解方程组法)，如(4)，将f (x )作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到f (x )的解析式，含f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的类型常用此法．(2013·武汉模拟)(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．解：(1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由题意得3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7. ∴f (x )＝2x ＋7. (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①把x 换成1x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，② ①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，所以f (x )＝2x －1x(x ≠0)．类型六 分段函数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），x ≤2，3－x ，x >2，则f (log 32)的值为________．解：∵log 32<2，log 36<2，log 318>2，∴f (log 32)＝f (log 32＋1)＝f (log 36)＝f (log 36＋1)＝f (log 318)＝3－log 318＝118.故填118.点拨：求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．(2014·天津十二区联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0， 若af (－a )＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，1)解：根据分段函数解析式知af (－a )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a log 12a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a log 2（－a ）＞0， 解得0＜a ＜1或－1＜a ＜0.故选A .1．对应、映射和函数三者之间的关系对应、映射和函数三个概念的内涵是依次丰富的．对应中的唯一性形成映射，映射中的非空数集形成函数．也就是说，函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．2．判断两个函数是否相等判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同．3．函数的表示法函数的三种表示方法在一定条件下可以相互转化，且各有优点，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，在通过解析式解决问题时，又需借助图象的直观性．4．函数的定义域给出函数定义域的方式有两种，一种是只给定了函数的解析式(对应关系)而没有注明定义域，此时，函数定义域是指使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；一种是由实际问题确定的或预先限定了自变量的取值范围(称为实际定义域)．需要注意的是：(1)若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而成的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集；(2)对于含有参数的函数求定义域，或已知其定义域求参数的取值范围，一般需要对参数的情况进行分类讨论；(3)若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子域(集)．5．求函数解析式的主要方法待定系数法、换元法、方程(组)法等．如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若已知复合函数f (g (x ))的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，常用解方程(组)法．6．函数的值域求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、导数法、数形结合法等．求函数值域的基本原则有：(1)当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合．(2)当函数y ＝f (x )用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合．(3)当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定．(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．1．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，M ＝{y |0≤y ≤2}，则下列表示从P 到M 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝23xB ．f ：x →y ＝x 2－x2x －2C ．f ：x →y ＝13(x －3)2D ．f ：x →y ＝x ＋5－1解：对于A ，当x ＝4时，y ＝83∉M ；对于B ，当x ＝1时，x 2－x2x －2无意义；对于C ，当x ＝0时，y ＝3∉M ； D 符合映射定义，故选D . 2．给出下面四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0的图象是抛物线． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①，函数是一种特殊的映射，是正确的；命题②，定义域是空集，错误；命题③，y ＝2x (x ∈N )的图象是一些孤立的点，故③不对；命题④的图象关于原点对称，不是抛物线．只有①正确，故选A .3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解：∵f (x )的定义域为[0，2]，∴令⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解此不等式组得0≤x <1.故选B.4．(2014·南充模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则“f (x )≤0”是“x ≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解：若f (x )≤0，则当x ≤0时，f (x )＝x 2－x ＝x (x －1)≤0，解得x ＝0；当x >0时，f (x )＝log 2x ≤0，解得0<x ≤1，∴0≤x ≤1，∴“f (x )≤0”是“x ≥0”的充分不必要条件．故选A.5．函数y ＝x ＋2－x 的最大值为 ( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解：函数的定义域为[0，2]，y 2＝(x ＋2－x )2＝2＋2x （2－x ）≤2＋x ＋(2－x )＝4，当且仅当x ＝1时取等号，∴y ≤2.故选D.6．(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2] 解：当a ＜0时，f (a )＝0＜f (0)，f (0)不是f (x )的最小值．当a ≥0时，f (0)＝a 2，而x ＋1x＋a ≥2＋a (x ＝1时取等号)．∴由题意得a 2≤2＋a .解不等式a 2－a －2≤0，得－1≤a ≤2， ∴0≤a ≤2.故选D .7．(2013·安徽)函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为____________．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0，1]．故填(0，1]．8．(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解：作出y ＝f (x )的图象如图，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2， 可得a ≤ 2.故填(－∞，2]． 9．函数f (x )满足f (x －3)＝xx 2＋1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的值域．解：(1)令x －3＝t ⇒x ＝t ＋3.∴f (t )＝t ＋3（t ＋3）2＋1＝t ＋3t 2＋6t ＋10. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x ＋3x 2＋6x ＋10.(2)令y ＝x ＋3x 2＋6x ＋10⇒yx 2＋6yx ＋10y ＝x ＋3，∴yx 2＋(6y －1)x ＋10y －3＝0. 当y ＝0时，x ＝－3；当y ≠0时，Δ＝(6y －1)2－4y (10y －3)≥0，∴－12≤y ≤12且y ≠0.综上知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 10．已知f (x )＝bx ＋12x ＋a(a ，b 为常数，ab ≠2)，且f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝k 为定值，求k 的值．解：∵f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝bx ＋12x ＋a ·bx ＋12x＋a＝（bx ＋1）（b ＋x ）（2x ＋a ）（2＋ax ） ＝bx 2＋（b 2＋1）x ＋b 2ax 2＋（a 2＋4）x ＋2a. 又由条件知当x ≠0时，恒有：f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝bx 2＋（b 2＋1）x ＋b 2ax 2＋（a 2＋4）x ＋2a＝k (常数)．则f (1)·f (1)＝f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝k . 即b 2＋2b ＋1a 2＋4a ＋4＝2b 2＋5b ＋22a 2＋10a ＋8， 亦即2ab 2＋2a ＝a 2b ＋4b ， ∴(ab －2)(a －2b )＝0.∵ab ≠2，∴a －2b ＝0，即a ＝2b ，∴k ＝f 2(1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＋22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋12（b ＋1）2＝14.11．已知函数f (x )＝（1－a 2）x 2＋3（1－a ）x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(i )当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求；(ii )当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数，∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≤0⇒－511≤a ＜1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≥0⇒－1＜a ≤－511.当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0， 则f (2 015)的值为________．解：∵x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，∴f (x ＋3)＝－f (x )，f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，因此，f(2 015)＝f(6×335＋5)＝f(5)．又f(－1)＝log22＝1，f(0)＝log21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，∴f(2015)＝1，故填1.§2.2函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．②如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ________，区间D叫做y＝f(x)的________．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠：1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥m②f(x0)＝m(2014·北京)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|解：由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )A．2 B．－2C．2或－2 D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.下列区间中，函数f(x)＝||ln（2－x）在其上为增函数的是( )A．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D．[1，2)解：f(x)的定义域为(－∞，2)，f(1)＝0，当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，由复合函数的单调性特征知f(x)为增函数．故选D.(2014·天津)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为________．解：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x )由y＝log12t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log12t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故填(－∞，－2)．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f()x＋a在[)0，＋∞上是增函数，则a的取值范围是________．解：∵f(x)＝x2－4x＋3＝()x－22－1，∴f()x＋a＝()x＋a－22－1，且当x∈[)2－a，＋∞时，函数f(x＋a)单调递增，因此2－a≤0，即a≥2.故填[2，＋∞)．类型一判断函数的单调性，求函数的单调区间(1)(2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y＝－x2＋2|x|＋3；②y＝1－x2－3x＋2；③y＝x3－3x.解：①依题意，可得当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．②由x 2－3x ＋2≥0，得x ≥2或x ≤1，设u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝1－u ， 当x ∈(－∞，1]时，u 为减函数， 当x ∈[2，＋∞)时，u 为增函数， 而u ≥0时，y ＝1－u 为减函数．∴y ＝1－x 2－3x ＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[2，＋∞)．③y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令y ′＞0，得x ＞1或x ＜－1， 由y ′＜0，得－1＜x ＜1，∴y ＝x 3－3x 的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1，1)．(2)证明f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上为单调增函数．证法一：(定义法)设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22－1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞2，x 1x 2＞1， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f (x )＝x 2＋1x(x ＞1)，所以f ′(x )＝2x －1x 2＝2x 3－1x2.又x ＞1，所以2x 3－1＞0且x 2＞0，所以f ′(x )＞0，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．点拨：求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f (g (x ))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．(1)下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是________．(填写序号即可)①f (x )＝sin x; ②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝log 12(x ＋3); ④f (x )＝|x ＋1|.解：结合函数性质及图象分析可知：①，④不满足题意．对于②，f ′(x )＝1－1x2，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，1)上递减；对于③，令u ＝x ＋3，在(0，1)上递增，而y ＝log 12u 为减函数，由复合函数单调性知，f (x )＝log 12(x ＋3)在(0，1)上单调递减． 综上可知，②③在(0，1)上为减函数．故填②③.(2)求证：函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．证法一：(定义法)任取x 1<x 2，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 22＋34x 22＋1＜0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数． 证法二：(导数法)因为f ′(x )＝3x 2＋1>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．类型二 函数单调性的应用若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：设u ＝x 2－ax ＋3a >0，且函数u 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上是单调增函数．又y ＝log 2u 是单调增函数，根据复合函数的单调性，要使函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧[2，＋∞）⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞，u ＝x 2－ax ＋3a >0（x ∈[2，＋∞））恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u min ＝u （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，4－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4. 所以实数a 的取值范围是(－4，4]． 点拨： 利用函数单调性讨论参数的取值范围一般要弄清三个环节：(1)考虑函数的定义域，保证研究过程有意义，如本题中，不能忽视u ＝x 2－ax ＋3a >0； (2)弄清常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的关系，如本题中，⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞ 是单调增区间，[2，＋∞)是它的子集；(3)注意恒成立不等式的等价转化问题． 是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2，4]上是单调增函数？证明你的结论.解：设u ＝ax 2－x >0.假设符合条件的a 存在．当a >1时，由复合函数的单调性知，只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调增函数，所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u min ＝u （2）＝4a －2＞0. 解得a >12，于是a >1. 当0<a <1时，由复合函数的单调性知， 只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调减函数， 所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u min ＝u （4）＝16a －4＞0，解得a ∈∅.综上，当a ∈(1，＋∞)时，函数f ()x ＝log a (ax2－x )在区间[]2，4上是单调增函数．类型三 抽象函数的单调性已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值． 解：(1)证法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0， 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0， 而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数． 证法二：在R 上任取x 1，x 2且x 1>x 2，则x 1－x 2＞0. 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2. 点拨：对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f （x 1）f （x 2）与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题可依题目条件取f (x )＝－23x . (2013·南昌模拟)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＜2. 解：(1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0.(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1， ∴f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋5x )＜f (36)，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5＞0，1x ＞0，x 2＋5x ＜36，解得0＜x ＜4.1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，那么(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率恒大于(或小于)零．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．2．函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；(4)复合函数的单调性：如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同，那么y ＝f (g (x ))是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相反，那么y ＝f (g (x ))是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u ＝g (x )的值域必须是y ＝f (u )的单调区间的子集．(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．3．函数最值的重要结论(1)设f (x )在某个集合D 上有最小值，m 为常数，则f (x )≥m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )min ≥m ；(2)设f (x )在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则f (x )≤m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )max ≤m .4．自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系可正逆互推，即若f (x )是增(减)函数，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f ”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行．1．函数y ＝x －1的单调递增区间是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，0] 解：y ＝x －1的图象由y ＝x 的图象向右平移1个单位得到，故y ＝x －1的单调递增区间是[1，＋∞)．故选A .2．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f (x )＝3x解：选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．故选D .3．(2013·西安调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为正值B ．恒等于零C ．恒为负值D ．无法确定正负解：∵f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，∴f (x )在R 上单调递减．又x 1＋x 2＞0，则x 1＞－x 2， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)， 从而有f (x 1)＋f (x 2)＜0.故选C.4．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ）.则f (x )的值域是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解：令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)， 即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．故选D.5．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定 解：由y ＝f (x )的图象及已知可得0<a <1，所以1<a ＋1<2，由于函数f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．故选A .6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.∵f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0， ∴f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0， 又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数．同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0， 从而可得y ＝f (x )的大致图象如图所示．∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0.∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .7．若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝____________．解法一：函数的对称轴为x ＝－a2，由对称性可知－a2＝3，∴a ＝－6.解法二：由f (3)＝0⇒a ＝－6.故填－6.8. (2012·山东)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．解：若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝4，f （2）＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝4，a 2＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，m ＝116.∴g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4×116x ＝34x 在[0，＋∞)上是增函数，满足题意．若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝4，f （－1）＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，1a＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝12. ∴g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4×12x ＝－x 在[0，＋∞)上是减函数，不合题意．综上知，a ＝14.故填14.9．已知a >b >0，m >0.(1)判断函数f (x )＝b ＋xa ＋x在区间(0，＋∞)内的单调性；(2)证明不等式b a <b ＋ma ＋m.解：(1)∵f (x )＝b ＋x a ＋x ＝a ＋x ＋（b －a ）a ＋x＝1－a －ba ＋x， 又y ＝－a －ba ＋x在(－a ，＋∞)内为增函数，∴f (x )在(0，＋∞)内为增函数．(2)证明：∵由(1)知f (x )在(－a ，＋∞)内为增函数，∴当x 1＝0，x 2＝m 时，x 1＜x 2，有f (x 1)<f (x 2)，即b a <b ＋ma ＋m.10．用函数单调性的定义证明：f (x )＝a x ＋a －x在(0，＋∞)上是增函数(这里a ＞0且a ≠1)．证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(ax 1＋a －x 1)－(ax 2＋a －x 2)＝(ax 1－ax 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 1－1ax 2＝1ax 1＋x 2(ax 1－ax 2)(ax 1＋x 2－1)，∵0＜x 1＜x 2，∴x 1＋x 2＞0，ax 1＋x 2＞0. (1)当a ＞1时，ax 1＋x 2＞1，ax 1＜ax 2， ∴ax 1＋x 2－1＞0，ax 1－ax 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.(2)当0＜a ＜1时，ax 1＋x 2＜1，ax 1＞ax 2，。

§2.3 函数的奇偶性与周期性1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于 ，即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 条件．4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内 的值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ；(2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ．6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ .7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b 2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.自查自纠1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝1＋x 2解：令f (x )＝x ＋e x，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，有f (1)±f (－1)≠0，∴y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而选项B ，C ，D 中的函数依次是奇函数，偶函数，偶函数．故选A .(2014·福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ， x ≤0， 则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解：由f (x )的图象易判断f (x )不是偶函数，不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D .(2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解：用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1.故选C .(2014·四川)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.故填1. 若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝____________. 解：∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )， 即x ln(x ＋a ＋x 2)＝－x ln(－x ＋a ＋x 2)，∴x ＋a ＋x 2＝1－x ＋a ＋x 2，得a ＝1.故填1.类型一 函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x2x；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(5)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)．解：(1)定义域要求1－x1＋x ≥0，∴－1＜x ≤1，∴f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )不具有奇偶性．(2)解法一(定义法)：当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．解法二(图象法)：作出函数f (x )的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x ≠0， ∴－2≤x ≤2且x ≠0，∴定义域关于原点对称．又f (－x )＝4－（－x ）2－x ＝－4－x2x ，∴f (－x )＝－f (x )． 故函数f (x )为奇函数．(4)∵f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，即f (－1)＝f (1)，且f (－1)＝－f (1)，故f (x )既是奇函数，又是偶函数．(5)∵函数的定义域为R ， 又∵f (－x )＋f (x )＝log a [－x ＋（－x ）2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．【点拨】(1)判断函数奇偶性的步骤是：①求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；②验证f (－x )是否等于±f (x )，或验证其等价形式f (x )±f (－x )＝0或f （－x ）f （x ）＝±1(f (x )≠0)是否成立．(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．(3)对于含有x 的对数式或指数式的函数通常用“f (－x )±f (x )＝0”来判断．(1)(2015·安徽模拟)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.解：∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x＋k， ∴f (－x )＋f (x ) ＝（k －2x ）（2x ＋k ）＋（k ·2x －1）（1＋k ·2x）（1＋k ·2x ）（2x＋k ）＝（k 2－1）（22x＋1）（1＋k ·2x ）（2x＋k ）. 由f (－x )＋f (x )＝0对定义域中的x 均成立可得k 2＝1，∴k ＝±1.故填±1.(2)已知函数f (x )＝ln 1－x1＋x.判断函数的奇偶性．解：由1－x 1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，即f (x )＝ln 1－x 1＋x 的定义域为(－1，1)．又f (－x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1.判断函数的奇偶性． 解：令1＋9x 2－3x ＞0，得x ∈R ，故函数f (x )的定义域为R .f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1＋ln(1＋9x 2＋3x )＋1＝2，故f (x )不是奇函数； f (x )－f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1－ln(1＋9x 2＋3x )－1＝ln(1＋9x 2－3x )2，不恒为0，故f (x )不是偶函数．综上得f (x )不具有奇偶性．(4)已知函数f (x )＝lg （4－x 2）|x －2|＋|x ＋4|.判断函数的奇偶性．解：由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2＞0，|x －2|＋|x ＋4|≠0， 得－2＜x ＜2，即函数f (x )的定义域是{x |－2＜x ＜2}．又f (x )＝lg （4－x 2）|x －2|＋|x ＋4|＝lg （4－x 2）2－x ＋x ＋4＝16lg(4－x 2)，∴f (－x )＝16lg[4－(－x )2]＝16lg(4－x 2)＝f (x )，故函数f (x )是偶函数．(5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0. 判断函数的奇偶性．解：当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x ，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．类型二 利用函数性质求解析式已知函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)若f (1)＝2，求f (99)的值；(3)若当x ∈[0，2]时，f (x )＝x ，试求x ∈[4，8]时函数f (x )的解析式．解：(1)证明：由题意知f (x )≠0，则f (x ＋2)＝13f （x ）.用x ＋2代替x 得f (x ＋4)＝13f （x ＋2）＝f (x )，故f (x )为周期函数，且4为f (x )的周期．(2)若f (1)＝2，则f (99)＝f (24×4＋3)＝f (3)＝13f （1）＝132.(3)当x ∈[4，6]时，x －4∈[0，2]，则f (x －4)＝x －4，又周期为4，所以f (x )＝f (x －4)＝x －4.当x ∈(6，8]时，x －6∈(0，2]，则f (x －6)＝x －6，根据周期为4，则f (x ＋2)＝f (x －6)＝x －6.又f (x )·f (x ＋2)＝13，所以f (x )＝13f （x ＋2）＝13x －6.所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，4≤x ≤6，13x －6，6＜x ≤8.【点拨】本题存在规律性：若f (x ＋a )·f (x )＝b (常数)，则2a 为f (x )的周期(a ＞0)；同理，f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f （x ）或f (x ＋a )＝－1f （x ），均可推得2a 为f (x )的周期(a ＞0)．(2015·山东模拟)设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )．当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式． 解：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故所求为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ∈[－1，0），x ， x ∈[0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].类型三 奇偶性与单调性的综合设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________________．解：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)． 又当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2.解得－1≤m ＜12.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 【点拨】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1－m ，m 转化到同一单调区间上，避免了由于单调性不同导致1－m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，不要忘记定义域．设函数f (x )＝x 3＋x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：f (x )＝x 3＋x 是R 上的奇函数与增函数，故由f (m cos θ)＋f (1－m )>0得f (m cos θ)>－f (1－m )＝f (m －1)，m cos θ>m －1，即m (1－cos θ)<1对任意θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2成立．当θ＝0时，不等式m (1－cos θ)<1成立；当θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2时，cos θ∈[0，1)，1－cos θ∈(0，1]，11－cos θ∈[1，＋∞)．由m (1－cos θ)<1，得m <11－cos θ，即m <1.因此，m 的取值范围是(－∞，1)．类型四 函数周期性和奇偶性的应用(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，s inπx ， 1＜x ≤2， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋12＝516.故填516. 【点拨】借助函数周期性解决求函数值或求函数零点个数等问题是常考问题，在周期未明确指出的情况下，注意运用对称性与周期性的关系等先确定周期．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0. ∵f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0， ∴f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0，又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数． 同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0， 从而可得y ＝f (x )的大致图象如图所示．∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0. ∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .1．判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，从而确定函数的奇偶性．2．奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔f（－x）f（x）＝±1(f(x)≠0)进行判断．3．判断函数奇偶性的方法通常有(1)定义法：根据定义判断．(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称．(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．4．判断周期函数的一般方法(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算．(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝T|a|.5．函数奇偶性和周期性的应用已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上．6．解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上．1．(2015·福建)下列函数为奇函数的是( )A．y＝x B．y＝e xC．y＝cos x D．y＝e x－e－x解：显然A，B，C中的函数均不是奇函数，令f(x)＝e x－e－x，则f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，是奇函数．故选D.2．(2014·课标Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解：f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数．故选C .3．(2013·沈阳一模)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，43 解：因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，则－53<2x －1<53，解得－13<x <43.故选B . 4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (4)成立，则f (2016)的值为( )A ．4024B ．2016C ．2012D ．0解：函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，则f (－2)＝0. ∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (4)，∴令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (4)，∴f (4)＝0. ∴f (x ＋4)＝f (x )，即4为f (x )的周期．∴f (2016)＝f (504×4＋0)＝f (0)，因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，故f (2016)＝0.故选D .5．(2015·湖北省襄阳市高三第一次调研)设f (x )为奇函数且在(－∞，0)内是增函数，f (－2)＝0，则xf (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)解法一：由题意得f (x )在(0，＋∞)内是增函数，且f (2)＝－f (－2)＝0.作出符合条件的f (x )的大致图象如图所示，易得xf (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．解法二：由已知得x ＜－2时，f (x )<0，故xf (x )>0；当－2≤x ＜0时，f (x )≥0，xf (x )≤0.又f (x )为奇函数，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0.故0＜x ≤2时，xf (x )≤0；当x ＞2时，xf (x )>0.因此，xf (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选A .6．(2015·衡水模拟)函数f (x )在定义域R 上的导函数是f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则( )A ．a <b <cB ．a >b >cC ．c <a <bD ．a <c <b解：当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，得f ′(x )>0，所以函数在(－∞，1)上单调递增，又f (x )＝f (2－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )图象上的点距离x ＝1越近函数值越大．又log 28＝3，所以log 28－1>1－0>2－1，得f (2)>f (0)>f (log 28)．故选C .7．已知奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2，且g (b )＝a ，则f (2)的值为．解：∵f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，f (－x )＋g (－x )＝a －x －a x＋2，又f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (x )－g (x )＝a x－a －x－2.∴f (x )＝a x －a －x ，g (x )＝2，∴a ＝2，f (2)＝22－2－2＝154.故填154. 8．(2014·课标Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是_________．解：∵f (x )是偶函数，∴f (x －1)>0⇔f (|x －1|)>0＝f (2)，又∵f (x )在[0，＋∞)单调递减，∴|x －1|<2，解之得－1<x <3.故填(－1，3)．9．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足： ①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2. (1)判断函数f (x )是否为周期函数；(2)求f (5.5)的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝f （2－x ），f （x ）＝f （－x ） ⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数．(2)f (5.5)＝f (4＋1.5)＝f (1.5)＝f (2－1.5) ＝f (0.5)＝0.25.10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2016)的值． 解：(1)证明：因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 因此，f (x )是以4为周期的函数． (2)x ∈[－2，0]时，－x ∈[0，2]，f (－x )＝－2x －x 2，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(－2x －x 2)＝2x ＋x 2， 当x ∈[2，4]时，x －4∈[－2，0]，所以f (x －4)＝2(x －4)＋(x －4)2，因为f (x )以4为周期， 所以f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数（Ⅰ）及函数的应用2.3函数的奇偶性与周期性习题理11 / 11 (3)由(1)、(2)可知f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2016)＝504×[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2016)＝0.11．(2014·上海)设常数a ≥0，函数f (x )＝2x ＋a 2x －a.根据a 的不同取值，讨论函数y ＝f (x )的奇偶性，并说明理由．解：∵f (x )＝2x ＋a 2x －a且a ≥0， ∴①当a ＝0时，f (x )＝1，x ∈R ，∴对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )为偶函数；②当a ＝1时，f (x )＝2x ＋12x －1，x ≠0， f (－x )＝2－x ＋12－x －1＝1＋2x 1－2x ， ∴对任意的x ≠0且x ∈R 都有f (x )＝－f (－x )，∴y ＝f (x )为奇函数；③当a ≠0且a ≠1时，定义域为{x |x ≠log 2a ，x ∈R }，∴定义域不关于原点对称，∴y ＝f (x )为非奇非偶函数．(2014·全国大纲)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解：由f (x ＋2)为偶函数可得f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，由于函数f (x )是奇函数，故f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，以x ＋2代x 得f (x ＋4)＝－f (x )，故f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以8是函数f (x )的一个周期，所以f (9)＝f (1)＝1，又f (8)＝f (0)＝0，所以f (8)＋f (9)＝1.故选D .。

第二章 基本初等函数 第6讲 函数的概念及其表示方法链教材·夯基固本 激活思维 1. A 2. B 3. C 4. AC【解析】 A 中，f (x )与g (s )的定义域都是R ，对应法则也相同，所以f (x )与g (s )是同一函数；B 中，因为f (x )＝－x3＝－x －x ，所以f (x )与g (x )的对应法则不相同，所以f (x )与g (x )不是同一函数；C 中，f (x )与g (x )的定义域都是{x |x ≠0}，对应法则也相同，所以f (x )与g (x )是同一函数；D 中，g (x )＝x2＝|x |，f (x )与g (x )的对应法则不相同，所以f (x )与g (x )不是同一函数．故选AC.5. A 知识聚焦1. (1) 非空 对应法则f 每一个 唯一 f ：A →B 定义域 值域 定义域 值域 对应法则研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B【解析】 要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．(2) 【答案】 A 【解析】因为f (x )的定义域为[0,2]，所以要使g (x )有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，0≤8－2x ，解得0≤x ≤3.所以g (x )的定义域为[0,3]．(1) 【答案】 B【解析】 易知f (f (x ))＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，1－lg (1－x )>0，解得－9<x <1.故f (f (x ))的定义域为(－9,1)．(2) 【答案】 [－2,2]【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2.【解答】(1) (换元法)令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1，所以f (t )＝lg2t －1，所以f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2) (待定系数法)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，所以a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.(3) 因为2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换等式的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1， 联立两式消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.【答案】 13lg x【解析】 当x ∈(0，＋∞)时，有2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝lg x ．①将1x 换成x ，则x 换成1x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －f (x )＝lg 1x ＝－lg x ．② 由①②消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ，得f (x )＝13lg x .(1) 【答案】 D【解析】 当x ≥1时，由log 2x ≤1，得1≤x ≤2； 当x <1时，由11－x ≤1，得x ≤0.综上，f (x )≤1的解集为{x |x ≤0或1≤x ≤2}． (2) 【答案】 －3【解析】 因为f (1)＝2，且f (a )＋f (1)＝0，所以f (a )＝－2. 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，所以a ＝－3； 当a >0时，f (a )＝2a >0，此时，f (a )≠－2. 综上可知a ＝－3.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，＋∞ 【解析】 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12＋1， 原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0.当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12＋1， 原不等式化为2x＋x ＋12>1，该式恒成立．当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12＝2x＋2x －12， 此时，2x＋2x －12>212＋20＝2＋1>1恒成立．综上可知，不等式的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，＋∞. 课堂评价1. A 【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，2－x ＞0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)．2.B【解析】因为二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，所以可设二次函数g (x )的解析式为g (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所以二次函数g (x )的解析式为g (x )＝3x 2－2x .故选B.3. AD【解析】因为f (1)＝e 0＝1，所以f (a )＝1.若a ≥0，则a ＝1；若a <0，则lg(－a )＝1，所以a ＝－10.故选AD.4.AD【解析】因为f (x )＝x1＋x2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝1x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＝x 1＋x2，所以f (x )＝f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ；f (－x )＝－x 1＋(－x )2＝－x 1＋x2＝－f (x )，所以f (－x )＝－f (x )．故A ，D 正确，B ，C 错误．5.(－∞，0)∪(e ，＋∞)【解析】f (f (0))＝f (1)＝ln1＝0.在同一平面直角坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝1的图象如图所示，由图可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x ＜1的图象与直线y ＝1的交点分别为(0,1)，(e,1)．若f (m )＞1，则实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(e ，＋∞)．(第5题)第7讲 函数的单调性与最值链教材·夯基固本 激活思维 1.C【解析】易知函数y ＝x 2－6x －6的对称轴为直线x ＝3，且抛物线开口向上，所以函数在[2,3]上为减函数，在[3,4]上为增函数．2. D 【解析】 由f (x )＝1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋34≤43，知f (x )max ＝43，故选D.3. C 【解析】因为该函数的定义域是(－∞，0)∪(2，＋∞)，令g (x )＝x 2－2x ，由复合函数的单调性可知，原函数的减区间即为函数g (x )的增区间，也即为(2，＋∞)．故选C.4. C【解析】 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1|x|＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1|x|＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x|＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.5. 22 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0得函数的定义域是{x |－3≤x ≤1}，由题意知y ＞0，则y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2－(x ＋1)2＋4，当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，所以mM ＝22.知识聚焦1. (1) f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 上升的 下降的 3. (1) f (x )≤M (3) f (x )≥M (4) f (x 0)＝M 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 A【解析】 由－x 2＋x ＋6＞0，得－2＜x ＜3. 令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t 是减函数，所以只需求t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的减区间．又t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2,3)上的减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，3，故y ＝log12(－x 2＋x ＋6)的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，3. (2) 【解答】 方法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， 由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 方法二：f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a ＞0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a ＜0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．【答案】 B【解析】 由图象知f (x )在(－∞，0]和⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞上单调递减，在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，12上单调递增．又0＜a ＜1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g (x )＝f (log a x )单调递减，需要log a x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，12，即0≤log a x ≤12，解得x ∈[a ，1]． (1) 【答案】 D 【解析】根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．因为a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，且2＜52＜3，所以b ＞a ＞c . (2) 【答案】 D 【解析】由已知条件知，f (x 1)－x 1＜f (x 2)－x 2对任意x 1＜x 2恒成立，故函数g (x )＝f (x )－x 为R 上的增函数，且g (－3)＝f (－3)－(－3)＝－1.不等式f (log 12|3x －1|)＞log 12|3x －1|－1，即f (log 12|3x －1|)－log 12|3x －1|＞－1，即g (log 12|3x －1|)＞g (－3)，所以log 12|3x －1|＞－3，得0＜|3x －1|＜8， 解得x ＜2且x ≠0，故所求不等式的解集为(－∞，0)∪(0,2)． (3) 【答案】 B【解析】 由对数函数的定义可得a ＞0，且a ≠1. 又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥loga1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，12.【答案】 C 【解析】由题意得a >0，所以内函数u ＝2－ax 2在(0,1)上为减函数，而函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上也为减函数，则外函数y ＝log a u 必是增函数，所以a >1，同时u >0在(0,1)上恒成立，故2－a ×1≥0，即a ≤2.综上，a ∈(1,2]．故选 C.【解答】 (1) (分离常数法)由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).因为－3≤x ≤－1，所以720≤－74(2x ＋1)≤74，所以85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤85，3. (2) (代数换元法)令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t22.所以y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．所以当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，所以函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，54. (3) (三角换元法)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则 y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＋4. 因为0≤θ≤π，所以π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4≤1. 所以1≤y ≤32＋4，所以函数的值域为[1,32＋4]．(4) (判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为yx 2＋2yx ＋3y ＝2x 2＋4x －7， 整理得(y －2)x 2＋2(y －2)x ＋3y ＋7＝0.显然y ≠2(运用判别式法之前，应先讨论x 2的系数)．将上式看作关于x 的一元二次方程，易知原函数的定义域为R ，则上述关于x 的一元二次方程有实根，所以Δ＝[2(y －2)]2－4(y －2)(3y ＋7)≥0.解不等式得－92≤y ≤2.又y ≠2，所以原函数的值域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－92，2. (5) y ＝log 3x ＋log x 3－1变形得y ＝log 3x ＋1log3x －1.①当log 3x ＞0，即x ＞1时，y ＝log 3x ＋1log3x－1≥2－1＝1， 当且仅当log 3x ＝1，即x ＝3时取“＝”． ②当log 3x ＜0，即0<x ＜1时，y ≤－2－1＝－3， 当且仅当log 3x ＝－1，即x ＝13时取“＝”．综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(1) 【答案】 (2,7]【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧1<x ≤9，1<x2≤9⇒1<x ≤3，故g (x )的定义域为(1,3]，设t ＝log 3x ，则0<t ≤1，而g (x )＝(1＋log 3x )2＋1＋log 3x2＝(log 3x )2＋4log 3x ＋2，所以g (t )＝t 2＋4t ＋2＝(t ＋2)2－2，由0<t ≤1，得2<g (t )≤7.(2) 【答案】 BCD 【解析】因为函数y ＝2－x x ＋1＝3－(x ＋1)x ＋1＝3x ＋1－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，当x ∈(m ，n ]时，y min ＝0，所以m 的取值范围是[－1,2)，故m 可以取－1,0,1. 课堂评价 1.BC【解析】对于A ，y ＝1x2是偶函数，故A 错误；对于B ，y ＝－x 3是奇函数且在R 上是减函数，故B 正确；对于C ，y ＝x |x |是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，y ＝x ＋1x是奇函数，在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,0)和(0,1)上是减函数，故D 错误．故选BC.2.A 【解析】因为函数f (x )＝e －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e x在(－∞，0]上为减函数，函数f (x )＝－x 2－2x ＋1的图象开口向下，对称轴为x ＝－1，所以函数f (x )＝－x 2－2x ＋1在区间(0，＋∞)上为减函数，且e －0＝－02－2×0＋1，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．由f (a －1)≥f (－a )得a －1≤－a ，解得a ≤12.3. 4 【解析】 由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数．因为[2，a ]⊆(0，＋∞)，所以f (x )＝1x在[2，a ]上也是减函数， 所以f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，所以12＋1a ＝34，所以a ＝4.4. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a x ＋2＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x1＋2－1－2a x2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2).因为函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是单调增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)<0.因为x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，所以1－2a <0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞. 第8讲 函数奇偶性与周期性链教材·夯基固本 激活思维1. B 【解析】 A 是偶函数，C ，D 是非奇非偶函数．2. B 【解析】 由f (1)＝f (－1)得2(a ＋1)＝0，所以a ＝－1.经检验，满足题意．3. A【解析】 由题意得f (2)＝f (0)＝0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－412＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＋f (2)＝－2.4.(2,0)【解析】因为f (x )为偶函数且定义域是[a －6,2a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－(a －6)＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝2，故点(a ，b )的坐标为(2,0)．5. 1 【解析】 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－122＋2＝1.知识聚焦1. 任意 f (－x )＝－f (x ) f (－x )＋f (x )＝0 f (－x )＝f (x ) f (－x )－f (x )＝02. (1) 原点 原点 (2) 原点 y 轴 (3) 03. (1) f (x ＋T )＝f (x ) (2) 存在一个最小 最小第1课时 函数奇偶性判定与周期性研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 由⎩⎪⎨⎪⎧3－x2≥0，x2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{}－3，3，从而f (x )＝3－x2＋x2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)因为1－x 1＋x≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )不具有奇偶性．(3) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，所以x －2<0，所以|x －2|－2＝－x ，所以f (x )＝lg (1－x 2)－x . 又因为f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg (1－x 2)－x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数．(4) 显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．因为当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )．综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，所以函数f (x )为奇函数．【答案】 B 【解析】对于选项A ，易知y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln |x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，且f (－2)≠－f (2)，所以y ＝ln |x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.【答案】 (1) C (2) 1 【解析】(1)当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝2－x .因为f (x )是R 上的奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .故选C.(2) 因为f (x )－f (－x )＝x ln(x ＋a ＋x2)＋x ln(－x ＋a ＋x2)＝x ln(a ＋x 2－x 2)＝x lna ＝0恒成立，所以a ＝1.【答案】 (1) A (2) －13【解析】 (1) 方法一：因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )．因为f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )＝x2x2＋(1－2a )x －a，所以－x 2x2－(1－2a )x －a ＝－x2x2＋(1－2a )x －a .所以－(1－2a )＝1－2a ， 所以1－2a ＝0，所以a ＝12.故选A.方法二：由已知f (x )为奇函数，得f (－1)＝－f (1)， 即－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )， 所以a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.经检验，符合题意．(2)令g (x )＝ax 7－bx ，则g (－x )＝－g (x )，f (x )＝g (x )＋2.由f (－5)＝17，得f (－5)＝g (－5)＋2＝17⇒g (－5)＝15⇒g (5)＝－g (－5)＝－15，f (5)＝g (5)＋2＝－15＋2＝－13.【答案】 (1) B (2) 803【解析】 (1) 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋34得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝f (x )，即函数f (x )是周期为32的周期函数． 因为当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，32时，f (x )＝ln(x 2－x ＋1)， 令f (x )＝0，得x 2－x ＋1＝1， 解得x ＝1(x ＝0舍去)． 又因为函数f (x )的周期为32，所以方程f (x )＝0在区间(0,6]上的解有1，52，4，112，共4个．(2)依题意，f (1)＝f (1＋3)＝f (4)＝3×4－1＝11，f (2)＝3×2－1＝5，f (3)＝3×3－1＝8，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝24，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝33[f (1)＋f (2)＋f (3) ]＋f (100)＝33×24＋f (1)＝792＋11＝803.【答案】(1) －3 (2) log 2(3－x ) 【解析】(1)由题知f (x )是R 上周期为5的奇函数，所以f (3)＋f (4)＋f (5)＝f (－2)＋f (－1)＋f (0)＝－f (2)－f (1)＋0＝－3.(2) 当x ∈[1,2]时，x －2∈[－1,0]，2－x ∈[0,1]，又f (x )在R 上是以2为周期的偶函数，所以f (x )＝f (x －2)＝f (2－x )＝log 2(2－x ＋1)＝log 2(3－x )．课堂评价1. A 【解析】 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝－12.故选A. 2.A【解析】因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，则有f (－1)＝－f (1)，即1＋a ＝－a －1，即2a ＝－2，得a ＝－1(经检验符合题意)，故选A.3.A【解析】根据题意，f (x )在R 上单调递增，且图象关于原点对称，在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3>0，f (a 3)＞f (0)＝0，则有a 1＞－a 5，f (a 1)＞f (－a 5)，从而f (a 1)＋f (a 5)＞0，同理f (a 2)＋f (a 4)＞0，所以f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)>0.4. 0 【解析】 由题意得，g (－x )＝f (－x －1)，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， 所以g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，所以f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x －1)＋f (x ＋1)＝0.所以f (2 019)＋f (2 021)＝f (2 020－1)＋f (2 020＋1)＝0.第2课时 函数性质的综合应用研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1)D (2)D 【解析】(1)当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12时，由f (x )＝log12(1－x )可知f (x )单调递增且f (x )＞0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )＜0.由f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32上，函数单调递增且f (x )＜0，故选D.(2)由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，可得f (－x )＝f (12＋x )，即f (x )＝f (12＋x )，故函数f (x )的周期为12.令log 6(a ＋1)＝1，解得a ＝5， 所以在[0,12]上f (a )＝1的根为5,7.又2020＝12×168＋4，所以a 的最大值在[2004,2016]上，即2004＋7＝2011. 【答案】 (1)C (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－2<x<23 (3)ABD【解析】(1)令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，因为f (x )是奇函数，所以f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)．又因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.(2)易知f (x )在R 上为单调增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，此时，只需⎩⎨⎧h (－2)<0，h (2)<0即可，解得－2<x <23.(3)根据已知抽象函数关系式f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)可得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )为偶函数，故有f (2)＝f (－2)＋f (2)＝2f (2)⇒f (2)＝0，即A 正确，因此f (x )＝f (x ＋4)，即函数f (x )是以4为周期的周期函数，又函数f (x )为偶函数，其图象必关于y 轴，即直线x ＝0对称，又其周期为4，故x ＝－4也为函数图象的一条对称轴，即B 正确；又已知函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，故将其图象沿x 轴向右平移2个周期长度单位，其单调性不变，即在区间[8,10]上也单调递减，故C 错误；如图，若方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上有两根，则此两根必关于直线x ＝－4对称，即x 1＋x 2＝－8，故D 正确．(例2(3))【题组·高频强化】 1.6【解析】因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x )的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，所以f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6.2.C【解析】 因为函数f (x ＋2)为偶函数，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，所以当x ∈[2，6]时，f (x )单调递增，又f (2)＝f (4－2)，因为2<4－2<3<π，所以f (2)<f (3)<f (π)．故选C.3.B【解析】因为f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数．因为f (1)＝2，所以f (－1)＝2，所以f (log 2x )>2⇔f (|log 2x |)>f (1) ⇔|log 2x |>1⇔log 2 x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.故选B.4.C【解析】因为f (log12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，所以原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，故选C.5. B【解析】 由条件①知，当x ∈[4,8]时，f (x )为增函数；由条件②知，f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，f (x )是周期为8的周期函数；由条件③知，y ＝f (x )关于直线x ＝4对称，所以f (11)＝f (3)＝f (5)，f (2 025)＝f (1)＝f (7)，故f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜a ＜c .课堂评价 1.B【解析】 由题意知函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的周期函数，则f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12.因为函数f (x )为奇函数且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝e －x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－e 12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫92＝－e ，故选B. 2.(－∞，2]【解析】因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数，所以f (x )在R 上为单调增函数．又因为f (－1)＝－2，所以f (1)＝2，故f (2x －3)≤2＝f (1)，即2x －3≤1，解得x ≤2.3.f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72<f (1)<f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52【解析】因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在[2,4]上单调递减，且函数y ＝f (x )在[0,4]上满足f (2－x )＝f (2＋x )，即f (1)＝f (3)．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72<f (3)<f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52.4.A【解析】由于f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，因此函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称．由f (x )在[1，＋∞)上单调递减，知f (x )在(－∞，1]上单调递增． 又x ∈[－1,0]，知x －1∈[－2，－1]． ①当m ＋2≤1，即m ≤－1时，若f (m ＋2)≥f (x －1)对x∈[－1,0]恒成立，则有m ＋2≥x －1对x ∈[－1,0]恒成立，所以－3≤m ≤－1；②当m ＋2>1，即m >－1时，若f (m ＋2)≥f (x －1)＝f (3－x )， 则有m ＋2≤3－x 对x ∈[－1,0]恒成立，则－1<m ≤1， 综上，实数m 的取值范围是[－3,1]．第9讲 二次函数与幂函数链教材·夯基固本 激活思维 1. B【解析】设幂函数为y ＝x α，令2α＝4⇒α＝2⇒y ＝x 2，则所求单调增区间为[0，＋∞)．2.B【解析】因为幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n 在(0，＋∞)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧n2＋2n －2＝1，n2－3n<0，所以n ＝1.又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.故选B. 3.D【解析】由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.因为abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴方程x ＝－b 2a ＞0，知A ，C 错误．由B 知f (0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝－b 2a ＜0，故B 错误．故选D.4.－2【解析】当－a 2≤0，即a ≥0时，函数在区间[0,3]上为增函数，故f (x )min ＝f (0)＝－1，不符合题意，舍去；当－a 2≥3，即a ≤－6时，函数在区间[0,3]上为减函数，故f (x )min ＝f (3)＝－2，a ＝－103，与a ≤－6矛盾，舍去；当0<－a 2<3，即－6<a <0时，f (x )min ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝－2，解得a ＝－2，经检验符合题意．知识聚焦2. ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫4ac －b24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，4ac －b24a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2a ，4ac －b24a b ＝0 3. (2)⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤04. (1) (0，＋∞) (2) (1,1) (3) (0,0) (1,1) 递增 (4) 不过 递减 研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1) D (2) 16【解析】 (1) 因为函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1523＜⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1223，即b ＜a .又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x在R 上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1223＜⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1213，即a ＜c ，所以b ＜a ＜c ，故选D.(2) 根据幂函数性质可得－m 2－2m ＋3＞0，即m 2＋2m －3＜0，解得－3＜m ＜1.又m∈Z ，故m 的值为－2，－1,0.当m ＝－2时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合题意；当m ＝－1时，－m 2－2m ＋3＝4，符合题意；当m ＝0时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合题意．所以f (x )＝x 4，所以f (2)＝24＝16.【答案】 C 【解析】设f (x )＝x α，将点(3，33)代入f (x )＝x α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数．【解答】方法一：(利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.经检验符合题意．所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二：(利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三：(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数f (x )有最大值8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8， 解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解答】因为二次函数图象顶点为(1,16)，在x 轴上截得线段长为8，所以抛物线与x 轴的交点坐标为(－3,0)，(5,0)．又因为开口向下，设原函数为f (x )＝a (x ＋3)(x －5)(a <0)， 将(1,16)代入得a ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋2x ＋15.【解答】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (x )>－x ，得ax 2＋(b ＋1)x ＋c >0.因为f (x )>－x 的解集为{x |1<x <2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，1＋2＝－b ＋1a ，1×2＝c a，所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，b ＝－3a －1，c ＝2a ，所以f (x )＝ax 2－(3a ＋1)x ＋2a .因为f (x )＋2a ＝0，即ax 2－(3a ＋1)x ＋4a ＝0有两相等实根， 所以Δ＝(3a ＋1)2－16a 2＝0，解得a ＝1(舍去)或a ＝－17，从而b＝－47，c＝－27，所以f(x)＝－17x2－47x－27.【答案】 C【解析】因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝－b2a<0，只有选项C适合．故选C.【答案】 (1) 38(2) (－∞，－1)【解析】 (1)f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝3 8；③当a<0时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a的值为3 8.(2) f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．【题组强化】1. A 【解析】若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除CD；若a>1，则y＝log ax 在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(a －1)x 2－x 图象开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此B 项不正确，故选A.2.C【解析】y ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，当x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3，故选C.3. 【解答】 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－1，且－1∈[－3,2]． ①当a >0时，f (x )在[－3，－1)上单调递减，在(－1,2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝4，即8a ＋1＝4，所以a ＝38.②当a <0时，f (x )在[－3，－1)上单调递增，在(－1,2]上单调递减，则f (x )max ＝f (－1)＝4，即a －2a ＋1＝4，所以a ＝－3.综上，a ＝38或a ＝－3.4. 【解答】 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1.①当t ＞1时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上是增函数，g (t )＝f (t )＝t 2－2t －2. ②当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，g (t )＝f (1)＝－3.③当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上是减函数，所以g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－3. 综上，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t2－2t －2，t ＞1，－3，0≤t ≤1，t2－3，t ＜0.课堂评价 1.A【解析】因为函数f (x )为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.2. A 【解析】 函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.故选A.3.D【解析】对于幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m <1；当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图象可得2－1<2n ，所以－1<n <0，综上所述，故选D.4. [－10,2]【解析】 由偶函数性质可知⎩⎨⎧f (x )＝f (－x )，1＋a ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝－3，所以f (x )＝－3x 2＋2，定义域为[－2,2]，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (2)＝－10，所以值域为[－10,2]．5. 【解答】 (1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a2<2，Δ>0，f (2)>0，解得a <－1或2<a <187.(2)由题意，当f (1)f (2)<0时，f (x )＝0在(1,2)上有且只有一个实根，又f (1)＝6－3a ，f (2)＝18－7a ，解得2<a <187.第10讲 指数式与指数函数链教材·夯基固本 激活思维1. C 【解析】 原式＝－6a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b .2. C 【解析】 b ＝0.50.5＝2－0.5，因为22.5＞20＞2－0.5，所以a ＞c ＞b .故选C.3.ABD【解析】对于A ，y ＝413－x的值域是(0,1)∪(1，＋∞)；对于B ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫143x －1的值域是[0，＋∞)；对于C ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121－2x的值域是(0，＋∞)；对于D ，y ＝1－3x 的值域是[0,1)．故选ABD. 4. (2 021,2 022)【解析】 令x －2 021＝0，得x ＝2 021，则y ＝2022，故点A 的坐标为(2 021,2 022)．5. 1 (－∞，1]【解析】 因为f (x )＋f (－x )＝12x ＋1－x ＋12－x ＋1＋x ＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝1.由f (x )＋f (1－2x )≤1，即f (x )＋f (1－2x )≤f (x )＋f (－x )，即f (1－2x )≤f (－x )，而y ＝f (x )为减函数，所以1－2x ≥－x ，解得x ≤1.知识聚焦 1. 根式 2. (1)n am1n am没有意义 (2) a r ＋s a rs a r b r3. (0，＋∞) (0,1) y >1 0<y <1 y >1 0<y <1 增函数 减函数 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【解答】 ①原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34323－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52212＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2103－23×25＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15－2×25＝916－52＋25×25＝12916. ②原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫81160.5－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫276423＝94－916＋916＝94. (2) 【答案】 6【解析】 将a 12＋a －12＝3两边平方得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方有a 2＋a －2＋2＝49，得a 2＋a －2＝47， 所以a2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.【答案】 (1) A (2) D 【解析】(1)由函数f(x)的大致图象可知3<a<4，－1<b<0，所以g(x)的图象是由y＝a x(3<a<4)的图象向下平移－b(0<－b<1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A中的图象，故选A.(2) 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0,0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1，故选D.(例2(2))【答案】 (0,2)【解析】在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象如图所示．所以当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，所以b的取值范围是(0,2)．(变式)【答案】 (1) B (2)(0，2)【解析】(1)A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73，错误；B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62，正确；C中，因为(0.8)－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D中，因为1.70.3>1, 0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1，错误．(2)当x≥2时，2x≤1，不等式无解；当1＜x ＜2时，1＜2x ＜2，结合函数的单调性，由不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 得x ＜2x ，得1＜x ＜2；当0＜x ≤1时，2x ≥2，不等式恒成立；当x ＜0时，2x＜0，不等式无解．综上可得，不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 的解集是(0，2)．【解答】 (1) 当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13u 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)，单调减区间是(－∞，－2)．(2) 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3) 由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 【题组·高频强化】 1.A【解析】因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，c ＝0.40.6<1，所以a >b ，a >c .又y ＝0.4x 是以0.4为底数的指数函数，且在R 上单调递减，所以0.40.2>0.40.6，即b >c ，所以a >b >c .2. (－3,1) 【解析】 当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a －7<1，则2－a <8，解得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1,0≤a <1.综上，实数a 的取值范围是(－3,1)． 3. (－∞，4]【解析】 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，m 2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．4. 【解答】 (1) 因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以2xa ＋a2x ＝2－xa ＋a2－x 恒成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －a (2x －2－x)＝0恒成立，所以1a －a ＝0⇒a ＝±1，因为a >0，所以a ＝1.(2)mf (x )≥2－x －m⇔m [f (x )＋1]≥2－x，即m (2x＋2－x)≥2－x.因为2x＋2－x>0，所以m ≥2－x 2x ＋2－x＝122x ＋1＝14x ＋1，又因为y ＝14x ＋1在(0，＋∞)上单调递减，所以y <12，所以m ≥12. 课堂评价1. B 【解析】 因为log 20.2<0,20.2>1,0<0.20.3<1，所以a <c <b .故选B.2. －1679 【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32－2＋50012－10(5＋2)(5－2)(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.3. －2x(x <0) 【解析】 依题意，f (1)＝12，所以a ＝12，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0.所以g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－x ＝－2x .4. 1 (－1,1) 【解析】 因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以2a －22＝0，解得a ＝1，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1.因为2x＋1>1，所以0<22x ＋1<2，所以－1<1－22x ＋1<1，所以f (x )的值域为(－1,1)．第11讲 对数与对数函数链教材·夯基固本 激活思维1. C 【解析】 原式＝2×2＋3×6－8×0＝22.2. 2【解析】 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x ＋3>0，x (x ＋3)＝10，解得x ＝2.3. ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，1 【解析】 由log23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1，所以12<x ≤1，所以函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，1. 4. B5. BC 【解析】 由图象可知函数为减函数，所以0<a <1， 令y ＝0，得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c .由图象知0<1－c <1，所以0<c <1. 知识聚焦1. log a N ＝b2. (1) N (2) log a M ＋log a N log a M －log a N n log a M3. (2) (0，＋∞)R (1,0) 增函数 减函数 4. log b N ＝logaNlogab研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1) 3 (2) 6 (3) 1 【解析】 (1)由2x＝3，log 483＝y ，得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3. (2) 因为函数f (x )＝3x ＋9x ，所以f (log 32)＝3log 32＋9log 32＝2＋9log 94＝2＋4＝6.(3) 原式＝1－2log63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64 ＝1－2log63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.【解答】 (1) 原式＝lg332＋3lg2－32lg6－lg5＝32(lg3＋lg4－1)lg6－lg5＝32(lg6－lg5)lg6－lg5＝32.(2) 原式＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20＋2lg5lg2×2lg2lg3×2lg3lg5＝lg5＋lg20＋8＝lg100＋8＝10.【答案】(1) D (2) C【解析】 (1) 显然两函数的单调性不一致，所以排除B. 对数函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，排除A ，C ，故选D. (2)由题意得f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log314＝f (－log 34)＝f (log 34)<f (1)，f (0)>f (2－32)>f (2－23)>f (20)＝f (1)，所以f (2－32)>f (2－23)>f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log314. 【答案】 D【解答】 (1) 令1－x1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1，所以D ＝(－1,1)．方法一：对任意x ∈D ，f (－x )＝log a 1＋x1－x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 1＋x －1＝－log a1－x 1＋x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．方法二：对任意x∈D ，f (－x )＋f (x )＝log a1＋x 1－x＋log a1－x 1＋x＝log a 1＝0，所以函数f (x )是奇函数．(2) 设x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝log a 1－x11＋x1－log a 1－x21＋x2＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x11＋x1·1＋x21－x2 ＝log a 1－x1x2＋(x 2－x 1)1－x 1x 2－(x 2－x 1)，因为1－x 1x 2＋(x 2－x 1)－[1－x 1x 2－(x 2－x 1)]＝2(x 2－x 1)＞0，所以1－x 1x 2＋(x 2－x 1)＞1－x 1x 2－(x 2－x 1)＞0，所以1－x1x2＋(x 2－x 1)1－x 1x 2－(x 2－x 1)＞1.因为0＜a ＜1，所以log a 1－x1x2＋(x 2－x 1)1－x 1x 2－(x 2－x 1)＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在D 上是增函数． (3)由(2)知函数f (x )在(－1,1)上是增函数，又因为x∈(t ，a )时，f (x )的值域是(－∞，1)，所以(t ，a )⊆(－1,1)且g (x )＝1－x 1＋x在(t ，a )上的值域是(a ，＋∞)，故g (a )＝1－a 1＋a ＝a 且t ＝－1(结合g (x )的图象易得t ＝－1)，即a 2＋a ＝1－a ，解得a ＝2－1(a ＝－2－1舍去)，所以a ＝2－1，t ＝－1.【题组·高频强化】1. A 【解析】 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a>0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．2. (－1,0) 【解析】 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，所以f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，所以－1<x <0. 3. －14 【解析】 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 4. 【解答】 (1) 由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1. 所以函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －11＋x ·－x －11－x ＝0， 所以f (x )为奇函数，所以f (2 020)＋f (－2 020)＝0.(2) 当x ∈[2,6]时，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m (x ＋1)(7－x )恒成立， 即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．。

【创新设计】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ阶段滚动检测 理 北师大版(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·某某监测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( )A.(－∞，2)B.(－∞，－1]C.(－1，0)D.[0，2]解析 由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x ＞2}，则∁R Q ＝{x |－1＜x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}.故选D. 答案 D2.(2016·齐鲁名校联合测试)函数f (x )＝ln （－x 2＋2x ＋3）1－x ＋x 0的定义域为( )A.(－1，1)B.[－1，1)C.(－1，0)∪(0，1)D.(－1，0)∪(0，3)解析 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3＞0，1－x ＞0，x ≠0，解得－1＜x ＜1且x ≠0，故选C.答案 C3.(2015·某某检测)已知命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋ax 0－4＜0，命题q ：任意x ∈R ，2x ＜3x，则下列命题是真命题的是( ) A.p 且qB.p 且(綈q )C.(綈p )且(綈q )D.(綈p )且q解析 由方程x 2＋ax －4＝0得，Δ＝a 2－4×(－4)＝a 2＋16＞0，所以命题p 为真命题.当x ＝0时，20＝30＝1，所以命题q 为假命题，所以p 且q 为假命题，p 且(綈q )为真命题，(綈p )且(綈q )为假命题，(綈p )且q 为假命题，故选B. 答案 B4.(2015·潍坊模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且满足f (x )＋f (－x )＝0，当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析 函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且满足f (x )＋f (－x )＝0，所以f (x )为奇函数，故排除C 、D ，又f (e)＝1－e ＋1＜0，所以(e ，f (e))在第四象限，排除B ，故选A. 答案 A5.(2016·某某质检)给定下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a ＞0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：存在a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2＜0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z ).则下列命题中的真命题为( ) A.p 1或p 2B.p 2且p 3C.p 1或(綈p 3)D.(綈p 2)且p 3解析 对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a ＞0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(綈p 2)且p 3为真命题，故选D. 答案 D6.(2015·某某质量监测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是( )A.(－∞，1]B.(－∞，－1]C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 结合函数f (x )＝|x ＋a |的图像知此函数的单调递减区间为(－∞，－a ]，由题意得(－∞，－1)⊆(－∞，－a ]，从而－1≤－a ，即a ≤1，故选A. 答案 A7.(2016·某某一模)函数f (x )＝9x－a 3x 的图像关于原点对称，g (x )＝lg(10x＋1)＋bx 是偶函数，则a ＋b ＝( ) A.1B.－1C.－12D.12解析 函数f (x )关于原点对称，且当x ＝0时，f (x )有意义.∴f (0)＝0，得a ＝1.又g (x )为偶函数，∴g (－1)＝g (1)，得b ＝－12.∴a ＋b ＝12.故选D.答案 D8.(2016·某某五校联考)下列选项中，说法正确的是( )A.命题“存在x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x ＞0” B.命题“p 或q 为真”是命题“p 且q 为真”的充分不必要条件 C.命题“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”是假命题D.命题“在△ABC 中，若sin A ＜12，则A ＜π6”的逆否命题为真命题解析 A 中命题的否定是“任意x ∈R ，x 2－x ＞0”，故A 不对；B 中，当p 为假命题，q 为真命题时，满足p 或q 为真，但p 且q 为假，故B 不对；C 中，当m ＝0时，由am 2≤bm2不能确定出a ≤b ，故C 正确；D 中，易知命题“在△ABC 中，若sin A ＜12，则A ＜π6”为假命题，所以其逆否命题为假命题，所以D 不对. 答案 C9.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D. 答案 D10.(2016·某某模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值X围是( ) A.(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 ∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥0，且函数的值域为R ，∴当x ＜1时，f (x )的值须取遍所有的负数.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，（1－2a ）×1＋3a ≥0，解得－1≤a ＜12，故选C.答案 C11.(2016·某某统一考试)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值X 围是( ) A.(0，4)B.(4，＋∞)C.(0，2)D.(2，＋∞)解析 依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图像与函数y ＝x －2的图像有两个不同交点.如图，则a ＞2，即a ＞4，选B.答案 B12.(2015·某某预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－1，1) B.[0，2]C.[－2，2)D.[－1，2)解析 法一 作y ＝x ＋2与y ＝x 2＋5x ＋2在同一坐标系中的图像如图，要使g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同零点，即f (x )与y ＝2x 有三个不同交点，观察可知，需y ＝x ＋2与y ＝2x 交于C 点；y ＝x 2＋5x ＋2与y ＝2x 交于A 、B 点；故令x 2＋5x ＋2＝2x 得x ＝－1或x ＝－2，令2x ＝x ＋2得x ＝2.∴－1≤a ＜2.法二 由题意可知即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＋2＝2x 有一根x ＝2且⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x 2＋5x ＋2＝2x有两根.令g (x )＝x 2＋3x ＋2，∴a ＜2且⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜0，－32＜a ，g （a ）≥0，解得－1≤a ＜2.答案 D 二、填空题13.(2016·某某自主诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则f (f (－1))＝________.解析 因为f (－1)＝2－1＝12，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝|log 212|＝1.答案 114.(2016·某某模拟)已知f (x )为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (1)，则x 的取值X 围是________.解析 由题意知f (|lg x |)＞f (1)，则|lg x |＜1，即－1＜lg x ＜1，解得110＜x ＜10.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 15.(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x ＜1在R 上是单调增函数，则实数a的取值X 围是________.解析 f (x )在R 上是单调增函数，需满足a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤1.a ＜0，－12a ≥1，解得－12≤a ≤0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 16.(2015·卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值X 围是________.解析 ①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＜1，4（x －1）（x －2），x ≥1，其大致图像如图所示：由图可知f (x )的最小值为－1. ②当a ≤0时，显然函数f (x )无零点；当0＜a ＜1时，易知f (x )在(－∞，1)上有一个零点，要使f (x )恰有2个零点，则当x ≥1时，f (x )有且只有一个零点，结合图像可知，2a ≥1，即a ≥12，则12≤a ＜1；当a ≥1时，2a ＞1，由二次函数的性质可知， 当x ≥1时，f (x )有2个零点，则要使f (x )恰有2个零点，则需要f (x )在(－∞，1)上无零点，则2－a ≤0，即a ≥2.综上可知，满足条件的a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞).答案 ①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞).。

第二章函数与基本初等函数Ⅰ第一节函数的概念及其表示1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则．(3)相同函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相同，这是判断两函数相同的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题体验]1．(教材习题改编)下列五个对应f，不是从集合A到集合B的函数的是________(填序号)．①A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32 ，B ＝{－6，－3,1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝－6，f (1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ＝1；②A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8； ③A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1； ④A ＝B ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1；⑤A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1.解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集A 到非空数集B 的映射．③中集合A 中的元素3在集合B 中无元素与之对应，故不是A 到B 的函数．其他均满足．答案：③2．(教材习题改编)若f (x )＝x －x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2＝14.答案：143．(教材习题改编)用长为30 cm 的铁丝围成矩形，若将矩形面积S (cm 2)表示为矩形一边长x (cm)的函数，则函数解析式为________，其函数定义域为________．解析：矩形的另一条边长为15－x ，且x >0,15－x >0. 故S ＝x (15－x )，定义域为(0,15)． 答案：S ＝x (15－x ) (0,15)4．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域是________________．答案：[4,5)∪(5，＋∞)1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，若A ，B 不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几个函数组成． [小题纠偏]1．函数y ＝x 与函数y ＝xx________(填“是”或“不是”)同一函数． 解析：函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，y ＝xx的定义域为(0，＋∞)．因为两个函数的定义域不同，所以不表示同一函数．答案：不是2．函数f (x )＝x －1·x ＋1的定义域为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，所以x ≥1，所以函数f (x )的定义域是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)3．一个面积为100的等腰梯形，上底长为x ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为______________________________________________________________．解析：由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100，所以y ＝50x(x >0)．答案：y ＝50x(x >0)4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝1x ，∴x ＝1t .∴f (t )＝1t 2＋5t.∴f (x )＝5x ＋1x2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)考点一 函数的定义域常考常新型考点——多角探明[命题分析]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域； (2)求抽象函数的定义域； (3)已知定义域确定参数问题．[题点全练]角度一：求给定函数解析式的定义域1．(2016·南师附中月考)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是________． 解析：要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)． 答案：(－2,0)∪[1,2) 2．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]． 答案：(0,2]角度二：求抽象函数的定义域3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是________．解析：令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1,2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0，2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1＜x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 015]答案：[0,1)∪(1,2 015]4．若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为________． 解析：因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]， 则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1， 所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则， 所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100， 所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]． 答案：[10,100]角度三：已知定义域确定参数问题 5．(2016·苏北四市调研)若函数f (x )＝ 2ax ax22＋－-1的定义域为R ，则a 的取值范围为______________________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ， 所以222ax ax ＋－－1≥0对x ∈R 恒成立，即2ax ax22＋－≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0， 解得－1≤a ≤0. 答案：[－1,0][方法归纳] 函数定义域的2种求法考点二 求函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，求f (x )．解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2. (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1， 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x >1. (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x－1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2fx x－1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.[由题悟法] 求函数解析式的4个方法[即时应用]1．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c ＝0，解得c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.2．根据下列条件求各函数的表达式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 3＋1x3，求f (x )．解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，所以a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.(2)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 3＋1x3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，所以f (x )＝x 3－3x (x ≥2或x ≤－2)．考点三 分段函数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x ＞0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝________.解析：由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2， 解得b ＝1.f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. 答案：22．(2015·山东高考改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a的取值范围是________．解析：由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ [由题悟法]分段函数2种题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为________．解析：由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1，所以实数x 0的值为－1或1.答案：－1或12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－x －2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x －2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________． 解析：要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6. 答案：[－3,6)2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于________．解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74.答案：743．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为________________________．解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x . 答案：g (x )＝3x 2－2x4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：145．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题意知f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3. 答案：(－1,3)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝10＋9x －x2x －的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，则x 须满足 ⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，x －，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －，①x >1，x ≠2，解①得，－1≤x ≤10.所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]． 答案：(1,2)∪(2,10]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，则f (f (－2))＝________.解析：因为f (－2)＝(－2)2＝4，而f (4)＝4＋1＝5，所以f (f (－2))＝5.答案：53．(2016·福建四地六校联考)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________.解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2. 答案：24．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________．解析：当x ＝1时，f (g (1))＝1，g (f (1))＝3，不满足f (g (x ))>g (f (x ))；当x ＝2时，f (g (2))＝3，g (f (2))＝1，满足f (g (x ))>g (f (x ))；当x ＝3时，f (g (3))＝1，g (f (3))＝3，不满足f (g (x ))>g (f (x ))．答案：25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，0≤x ≤1，92－32x ，1<x ≤3，当t ∈[0,1]时，f (f (t ))∈[0,1]，则实数t的取值范围是________．解析：当t ∈[0,1]时，f (t )＝3t∈[1,3]；当3t＝1，即t ＝0时，f (1)＝3∉[0,1]，不符合题意，舍去；当3t ∈(1,3]时，f (3t )＝92－32×3t ∈[0,1]，由f (3t )＝92－32×3t ≥0，得3t≤3，所以t ≤1；由f (3t )＝92－32×3t ≤1，得3t≥73，所以t ≥log 373.综上所述，实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，16．(2016·南京一中检测)已知f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x ∈[0，＋，|sin x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________.解析：若a ≥0，由f (a )＝12得，a 1212＝12，解得a ＝14；若a <0，则|sin a |＝12，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，解得a ＝－π6. 综上可知，a ＝14或－π6.答案：14或－π67．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]8．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1，∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ，即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x9．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 故x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12. 10．(1)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，且方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式． 解：(1)当x ∈(－1,1)时，有 2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．(2)由f (2)＝1，得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2.由f (x )＝x ，得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－ba， 又因为方程有唯一解，故1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2，得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·金陵中学月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a的取值范围是________．解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12.即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，122．已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m >n )，映射f 由下表给出：则使不等式解析：∵∀x ∈N *，都有2x >x ，∴f (2x ，x )＝2x－x ， 则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立； 当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x>x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 答案：{1,2}3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，单调增区间和单调减区间统称为函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值 [小题体验]1．(教材习题改编)下列函数中，在区间(0,2)上是单调增函数的是________．(填序号) ①y ＝1－3x ；②y ＝－1x；③y ＝x 2＋1；④y ＝|x ＋1|.解析：y ＝1－3x 在区间(0,2)上是减函数，故①错误，其余均正确．故填②③④. 答案：②③④2．(教材习题改编)若函数y ＝ax 2＋(2a ＋1)x 在(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：应分函数为一次函数还是二次函数两种情况：①若a ＝0，则y ＝x 在(－∞，2]上是增函数，所以a ＝0符合题意；②若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a ＋12a ≥2，解得－16≤a <0.综合①②得实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，0. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，0 3．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为______． 答案：21．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <0，2x 2＋x －1，x ≥0的单调增区间是________．解析：由题意画出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <0，2x 2＋x －1，x ≥0的图象如图所示，所以函数的单调增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)．答案：(－∞，0)和[0，＋∞)2．设函数f (x )是(－3,3)上的增函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1>2m －1，－3<m －1<3，－3<2m －1<3，所以－1<m <0.答案：(－1,0)3.设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]考点一 函数单调性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 2．讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)： 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－x 22－＝a x 2－x 1x 1x 2＋x 21－x 22－.∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数．法二(导数法)：f ′(x )＝a x 2－－2ax 2x －＝－a x 2＋x －.又a >0， 所以f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1,1)上为减函数．[谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤：(2)导数法，其基本步骤： 求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间重点保分型考点——师生共研[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2＋2，x ≥0，－x ＋2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．若将[典例引领](1)中的函数变为“y ＝|－x 2＋2x ＋1|”，则结论如何？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x 1223－＋的单调递增区间为________． 解析：令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.因为u ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322x 3x 1－＋在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递增．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34考点三 函数单调性的应用常考常新型考点——多角探明[命题分析]高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中． 常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值 1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 答案：2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2016·苏州调研)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为_____．解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，∴b >a >c . 答案：b >a >c角度三：解函数不等式3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是________．解析：2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x x －，解得8＜x ≤9.答案：(8,9]角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，f (x )＝2x －3， 在定义域R 上是单调递增的， 故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0, 且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3][方法归纳]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．(2)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么该函数的单调减区间是________．解析：由函数的图象易知，函数f (x )的单调减区间是[－3，－1]和[1,2]． 答案：[－3，－1]和[1,2]2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]． 答案：[1,2]3．(2016·学军中学检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 答案：(－∞，1] 4．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6. 答案：65．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递增，则实数a 的最大值为________． 解析：令x ＝t ，所以t ∈[1,2]，即f (t )＝t 2－at ，由f (x )在[1,4]上递增，知f (t )在[1,2]上递增，所以a2≤1，即a ≤2，所以a 的最大值为2.答案：22．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________． 解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调增区间为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )在R 上是减函数，得0<a <1，且－0＋3a ≥a 0，由此得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：65．(2016·南通调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．解析：当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13. 此时，log a x 是减函数，符合题意．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，136．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x＝14时，y max ＝14. 答案：147．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)． 答案：[0,1)9．(2016·苏州调研)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0,1]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－k ，x ≤0，－k x ＋k ，x >0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 0－k ≤k ，1－k >0，解得12≤k <1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 2．(2016·泰州中学期中)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a .因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞， 2 ]上为单调减函数， 且t min >0，故需⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥ 2，22－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2. 答案：[22，22＋2)3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0， 故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第三节 函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．(教材习题改编)函数f (x )＝mx 2＋(2m －1)x ＋1是偶函数，则实数m ＝________. 解析：由f (－x )＝f (x )，得2m －1＝0，即m ＝12.答案：122．(教材习题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________.解析：若x <0，则－x >0，f (－x )＝－x 3－x ＋1，由于f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x 3＋x －1.答案：x 3＋x －13．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________.答案：－11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 使f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：132．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析：由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 2＋2＝1.答案：13．函数f (x )＝(2x ＋2)2＋x2－x的奇偶性为________． 解析：由2＋x2－x ≥0，得函数f (x )＝(2x ＋2)2＋x2－x的定义域为[－2,2)，不关于原点对称，所以函数f (x )为非奇非偶函数．答案：非奇非偶考点一 函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x； (4)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x－3x ＝－(3x －3－x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．考点二函数的周期性题点多变型考点——纵引横联[典型母题]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．[解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.(2)f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.又∵f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝0.[类题通法]1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法．2．周期性3个常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .(a >0)[越变越明][变式1] 若母题中条件变为“f (x ＋2)＝－1f x”，求函数f (x )的最小正周期．解：∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋2)＝－1f x， ∴f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1fx ＋＝－1－1f x＝f (x )，∴f (x )的最小正周期为4.[变式2] 若母题条件改为：定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336.[变式3] 在母题条件下，求f (x )(x ∈[2,4])的解析式． 解：当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2， 又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2. ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 故x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8. [破译玄机]利用函数的周期性，求函数的解析式，应把问题转化为已知区间上的相应问题，即把区间[2,4]转化为[－2,0]上．考点三 函数性质的综合应用常考常新型考点——多角探明[命题分析]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合； (4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．已知f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1，则当x <0时，f (x )＝________.解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴当x <0时，－x >0.由已知f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋x －1. 答案：x 2＋x －1 2．设函数f (x )＝x ＋x ＋a x为奇函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，∴f (1)＋f (－1)＝0， 即＋＋a1＋－1＋－1＋a－1＝0，∴a ＝－1. 答案：－1角度二：单调性与奇偶性结合3．(2016·刑台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为________．解析：依题意得，f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数、增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则－1<1－a 2<a －1<1，由此解得1<a < 2.答案：(1，2)角度三：周期性与奇偶性结合4．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0， 解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)角度四：单调性、奇偶性与周期性结合5．已知函数f (x )是定义在R 上以5为周期的奇函数，若f (－1)>1，f (2 016)＝a ＋3a －3，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )的周期为5， 所以f (2 016)＝f (1)， 又因为f (x )是奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)， 即f (2 016)＝－f (－1)<－1， 所以a ＋3a －3<－1，解得0<a <3. 答案：(0,3)[方法归纳]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于________对称．解析：因为函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x ，都有f (－x )＝－1x＋x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称．答案：原点2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④没有一个函数既是奇函数又是偶函数．其中正确的结论是________(填序号)．解析：函数y ＝1x 2是偶函数，但不与y 轴相交，故①错；函数y ＝1x是奇函数，但不过原点，故②错；由偶函数的性质，知③正确；函数f (x )＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．答案：③3．(2016·南通调研)设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝________.解析：因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.答案：124．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]．若当x ∈[0,6]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )>0的解集是________．解析：奇函数的图象关于原点对称，作出函数f (x )在[－6,0]上的图象(图略)，由图象，可知不等式f (x )>0的解集是[－6，－2)∪(0,2)．答案：[－6，－2)∪(0,2)5．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________________.解析：∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，。

课时跟踪检测(十)[高考基础题型得分练]1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x－1，x ≥0的图象大致是( )A BC D答案：B解析：当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.2．[2017·山东青州高三月考]函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －sin x x ＋sin x 的图象大致是( )A BC D答案：A解析：∵函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin x x ＋sin x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋sin x ≠0，x －sin x x ＋sin x>0，∴x ≠0，故函数的定义域为{x |x ≠0}． 再根据y ＝f (x )的解析式可得f (－x )＝ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －－x －x ＋－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin x x ＋sin x ＝f (x )，故函数f (x )为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，排除B ，D. 当x ∈(0,1)时，∵0<sin x <x <1,0<x －sin xx ＋sin x<1，∴函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －sin x x ＋sin x <0，故排除C ，只有A 满足条件，故选A.3．为了得到函数y ＝2x －3－1的图象，只需把函数y ＝2x的图象上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 答案：A解析：y ＝2x――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1.4．[2017·贵州贵阳监测]函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )A BC D答案：C解析：由题意得，x ≠0，排除A ； 当x <0时，x 3<0,3x－1<0，∴x 33x－1>0，排除B ； 又∵x →＋∞时，x 33x －1→0，∴排除D ，故选C.5．下列函数f (x )的图象中，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )A BC D答案：D解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A ，B. 在C 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f (3)，排除C ，故选D. 6．[2017·河南洛阳统考]若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝－1B ．x ＝－12C ．x ＝12D ．x ＝1答案：C解析：∵f (2x ＋1)是偶函数，其图象关于y 轴，即关于x ＝0对称，而f (2x ＋1)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴f (2x )的图象可由f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位得到，即f (2x )的图象的对称轴方程是x ＝12.7．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) 答案：D解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x <0可化为f xx<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．8．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)答案：A解析：当x ≤0时，f (x )＝2－x－1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故当x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．9．函数f (x )＝x ＋1x的图象的对称中心为________． 答案：(0,1) 解析：因为f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x，故f (x )的对称中心为(0,1)． 10．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________．答案：(4,4)解析：函数y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的． 故y ＝f (x )的图象必经过点(4,4)．11．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．答案：(－2,0)∪(2,5][冲刺名校能力提升练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案：D解析：函数f (x )的图象如图所示．且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.2.[2017·浙江杭州模拟]已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2－2ln|x | B ．f (x )＝x 2－ln|x | C ．f (x )＝|x |－2ln|x | D ．f (x )＝|x |－ln|x | 答案：B解析：由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x ＞0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln|x |符合条件． 3．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题： ①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数； ③f (x )没有最小值． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0答案：B解析：因为函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)， 所以函数f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)是偶函数； 因为y ＝lg x――→图象向左平移1个单位长度y ＝lg(x ＋1)――→去掉y 轴左侧的图象，以y 轴为对称轴，作y 轴右侧的对称图象y＝lg(|x |＋1)――→图象向右平移2个单位长度y ＝lg(|x －2|＋1)，如图．可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数； 由图象可知函数存在最小值为0. 所以①②正确．4．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)． 记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点， 故k AB ＜k ＜0，k AB ＝0－12－－＝－13，∴－13＜k ＜0.5．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －＝x －2－4，x ≥4，－x x －＝－x －2＋4，x <4.f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．6．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋，－x －2＋1，x ∈，作出函数图象如图．(1)由图象知，函数f(x)的单调增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数f(x)的单调减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图象知0<m<1，∴M＝{m|0<m<1}．。