最值问题 (3)

DC BA ABC DA B CD最值问题(1)1、(11丰台一摸)已知:在△ABC中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.图1 图2 图32、已知：24PA PB ==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P D 、两点落在直线AB 的两侧.⑴ 如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；⑵ 当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小.3、（2011，22，12分）在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ．（1）如图（1），当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ．△A ′CD 是 三角形；（2）如图（2），设AC 中点为E ，A ′B ′中点为P ，AC =a ，连接EP ，当θ= °时，EP 长度最大，最大值为 ．图1 图24、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的部．A ′AB B ′CE PθAθA、B ′BC(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而PA =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积； (3) 若PA =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．5、（北大附初二期末试卷）如图，在平面直角坐标系O x y 中，直线2y x =+分别交x轴、y轴于C、A两点。

【高考数学大题精做】第三篇 立体几何专题05 立体几何中最值问题【典例1】【河南省非凡吉创联盟2020届调研】如图，AB 是圆柱的直径，PA 是圆柱的母线，3AB =，PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点.（1）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（2）若1AC =，D 是线段PB 上靠近点P 的三等分点，点E 是线段PA 上的动点，求CE ED +的最小值. 【思路引导】（1）三棱锥的高为定值，要根据三棱锥体积公式13V Sh =可知，要使得体积最大，就要底面积最大，又因为边AB 为定值，故当C 到AB 的距离取得最大值时，底面积最大，故此时棱锥的体积最大；（2）反向延长AB 至C '，使得,,C D E '三点共线，三点共线时，距离最短，则C D '为CE ED +最小值. 【详解】（1）三棱锥P ABC -高h =，3AB =，点C 到AB 的最大值为底面圆的半径32，则三棱锥P ABC -体积的最大值等于1133322⨯⨯⨯=. （2）将PAC ∆绕着PA 旋转到PAC '使其共面，且C '在AB 的反向延长线上，连接C D '，C D '与PA 的交点为E ，此时CE ED +最小，为C D '；由3AB =，PA =且易知PA AB ⊥，由勾股定理知6PB =，因为12AB PB =，所以30APB ∠=o ，则60DBC ∠='o ，243BD PB ==； 134C B C A AB '+=+'==，则BDC '∆是边长为4的等边三角形，故4C D '=，所以CE ED +的最小值等于4.【典例2】【江西省新余市第四中学2020届月考】 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =2π，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE =x ，G 是BC 的中点．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．（1）若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ，求()f x 的最大值； （2）当 ()f x 取得最大值时，求二面角D -BF -C 的余弦值． 【思路引导】（1）由AEFD ⊥平面EBCF ，////EF BC AD ，可得AE EF ⊥，进而由面面垂直的性质定理得到AE ⊥平面EBCF ，进而建立空间坐标系E xyz -，可得()D BCF A BFC f x V V --==的解析式，根据二次函数的性质，易求出()f x 有最大值；（2）根据（1）的结论平面BCF 的一个法向量为()20,0,1n =u u v ，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面BDF 的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角D BF C --的余弦值.解：（1）∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,∴AE ⊥面平面EBCF ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE ⊥EF,故可如图建立空间坐标系E -xy z ．则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2）， E （0，0，0）∵AD ∥面BFC ，所以()f x =V A -BFC ＝13BFC S AE ∆⋅ ()114432x x ⋅⋅⋅-⋅ ()22882333x =--+≤，即2x =时()f x 有最大值为83．（2）设平面DBF 的法向量为()1,,n x y z =u v，∵AE=2, B （2，0，0），D （0，2，2），F （0，3，0）,∴()2,3,0,BF =-u u u v BD =u u u v （－2，2，2）,则1100n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v ，即()()()(),,2,2,20,,2,3,00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩，2220230x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩ 取x ＝3，则y ＝2，z ＝1，∴()13,2,1n u v=面BCF 的一个法向量为()20,0,1n =u u v则cos<12,n n u v u u v>=121214n n n n u v u u v u v u u v ⋅=⋅. 由于所求二面角D -BF -C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：－14【典例3】【北京市昌平区2020届模拟】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1. 过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．（I ）证明：AD ∥平面EFGH ；（II ） 设AB=2AA 1="2" a .在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机选取一点．记该点取自几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为p ，当点E ，F 分别在棱A 1B 1上运动且满足EF=a 时，求p 的最小值.【思路引导】 解法一：（I ） 证明：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥A 1D 1 又∵EH ∥A 1D 1，∴AD ∥EH. ∵AD ￠平面EFGH EH 平面EFGH ∴AD//平面EFGH.（II ） 设BC=b ，则长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V=AB·AD·AA 1=2a 2b ， 几何体EB 1F -HC 1G 的体积V 1=（1/2EB 1 ·B 1F ）·B 1C 1=b/2·EB­1·B 1 F ∵EB 12+ B 1 F 2=a 2∴EB 12+ B 1 F 2≤ （EB 12+ B 1 F 2）/2 = a 2 / 2,当且仅当EB­1=B 1F=2a 时等号成立 从而V 1≤ a 2b /4 .故 p=1-V 1/V ≥22412a ba b-=78 解法二：（I ） 同解法一（II ） 设BC=b ，则长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V=AB·AD·AA 1=2a 2b ， 几何体EB 1F -HC 1G 的体积V 1=（1/2 EB­1·B 1 F ）·B 1C 1=b/2 EB­1·B 1 F设∠B 1EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB­1=" a" cosθ，B 1 F ="a" sinθ 故EB­1·B 1 F = a 2sinθcosθ=，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.从而214a bV ≤ ∴p=1- V 1/V≥22412a ba b-=78，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.所以，p 的最小值等于7/81. 【广东省佛山市第一中学2020届月考】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E F 、分别为AB BC 、上的点，且AE BF x ＝＝．（1）当x 为何值时，三棱锥1B BEF -的体积最大？ （2）求异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围． 【思路引导】（1）首先得到体积函数，然后利用均值不等式确定取得最值时x 的值即可；（2）首先作出异面直线1A E 与1B F 所成的角，然后结合余弦定理求得角的余弦值取值范围，最后利用余弦值的范围确定异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围. 【详解】 （1），当2ax =时，三棱锥1B BEF -的体积最大． （2）在AD 上取点H 使AH ＝BF ＝AE ，则，，，所以1HA E∠（或补角）是异面直线1A E 与1B F 所成的角；在Rt △1A AH 中，1A H =在Rt △1A AE 中，1A E =在Rt △HAE 中，HE ==，在△1HA E 中，222111112A H A E EH cosHA E A H A E +-=⋅ 222a a x=+， 因为0x a <≤，所以22222a x a a <+≤，222112a x a≤<+，1112cosHA E ≤<，1π03HA E <∠≤ 2．【安徽省安庆市2020届模拟】如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，2,AB EB ==（1）求证：DE ⊥平面ADC ；（2）设AC x =，(x)V 表示三棱锥B ACE -的体积，求函数(x)V 的解析式及最大值. 【思路引导】（1）要证（1）要证DE ⊥平面ADC ，需证BC ⊥平面ADC ，需证DC BC BC AC ⊥⊥，,用综合法书写即可．（2）由（1）可知BE ⊥平面ABC ，所以体积为13ABC BE S ⨯, AC x BC EB ===，均值不等式求解最大值．详解：(1)证明：∵四边形DCBE 为平行四边形,∴CD ∥BE ,BC ∥DE . ∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC . ∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC =C . ∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC ； (2)∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC . 在Rt △ABE 中,AB =2,EB =3√.在Rt △ABC 中,∵AC =x ,BC =4−x 2−−−−−√(0<x <2). ∴S △ABC =12AC ⋅BC =12x ⋅4−x 2−−−−−√， ∴V (x )=VE −ABC =3√6x ⋅4−x 2−−−−−√,(0<x <2).∵x 2(4−x 2)⩽(x 2+4−x 22)2=4,当且仅当x 2=4−x 2,即x =2√时，取等号， ∴x =2√时,体积有最大值为3√3.3．【浙江省金华市十校2020届模拟】如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC =，AP PC =，60ABC ∠=︒，AP PC ⊥，直线BP 与平面ABC 成30°角，D 为AC 的中点，PQ PC λ=u u u v u u u v，(0,1)λ∈.（Ⅰ）若PB PC >，求证：平面ABC ⊥平面PAC ；（Ⅰ）若PC PB <，求直线BQ 与平面PAB 所成角的正弦值的取值范围. 【思路引导】由题意可得直线BP 与平面ABC 所成角是PBD ∠，即30PBD ∠=︒.设2AC a =，则BD =，PD a =，由余弦定理得PB a =或2a .（Ⅰ）若PB PC >，则2PB a =，由勾股定理可得PD DB ⊥，又PD AC ⊥，据此可得PD ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC .（Ⅰ）若PB PC <，则PB a =，故PQ a =，BQ =，设Q h 是Q 到面PAB 的距离，C h 是C 到面PAB 的距离，则Q C h h λ=，由等体积法可得7C h a =，7Q h a λ=.设直线BQ 与平面PAB 所成角为α，则sin α=，据此可得直线BQ 与平面PAB 所成角的正弦值的取值范围为0,7⎛ ⎝⎭.试题解析：∵AB BC =，AP PC =，D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥，PD AC ⊥，∴AC ⊥平面PBD ， ∴直线BP 与平面ABC 所成角是PBD ∠，30PBD ∠=︒. 设2AC a =，则BD =，PD a =，由余弦定理得PB a =或2a .（Ⅰ）若PB PC >，则2PB a =，∴在PBD ∆中222PD DB PB +=.∴PD DB ⊥， 又PD AC ⊥，AC DB D ⋂=，∴PD ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC . （Ⅰ）若PB PC <，∴PB a =，∵PQ PC λ=u u u v u u u v，∴PQ a =，BQ =，设Q h 是Q 到面PAB 的距离，C h 是C 到面PAB 的距离，则Q C h h λ=，由等体积法：)2112323C aa a h ⋅=⋅，∴7C h a =，∴7Q h a λ=. 设直线BQ 与平面PAB 所成角为α，则HQsin BQα==a=7=.∵()0,1λ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴0sin α<<故直线BQ 与平面PAB所成角的正弦值的取值范围为0,7⎛ ⎝⎭. 4．【北京市城六区2019届高三模拟】已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅰ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅰ)若点M 在棱PC 上，满足CMCP λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP的取值范围．【思路引导】第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果. （Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO == 所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =， 所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ因为OP ⊂平面OPQ所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅰ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =u u u v 由()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,1PC =-u u u v设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =v ，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vu u u v 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =vcos ,nOBn OB n OB ⋅===⋅u u u vv u u u v v u u u v v由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为3（Ⅰ）设BN BP μ=u u u v u u u v ，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v ()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 令0BM AN ⋅=u u u u v u u u v得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。

例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。

2021年九年级中考数学复习专题：函数与最值问题三一、选择题1．（3分）（2020•呼和浩特）关于二次函数y =14x 2﹣6x +a +27，下列说法错误的是（ ）A ．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a ＝﹣5B ．当x ＝12时，y 有最小值a ﹣9C ．x ＝2对应的函数值比最小值大7D ．当a ＜0时，图象与x 轴有两个不同的交点【解答】解：A 、将二次函数y =14x 2−6x +a +27=14(x −12)2+a −9向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：y =14(x −10)2+a +1，若过点（4，5），则5=14(4−10)2+a +1，解得：a ＝﹣5，故选项正确；B 、∵y =14(x −12)2+a −9，开口向上，∴当x ＝12 时，y 有最小值a ﹣9，故选项正确；C 、当x ＝2时，y ＝a +16，最小值为a ﹣9，a +16﹣（a ﹣9）＝25，即x ＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D 、△=(−6)2−4×14×(a +27)=9−a ，当a ＜0时，9﹣a ＞0，即方程14x 2−6x +a +27=0有两个不同的实数根，即二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，故选项正确，故选：C ．2．（3分）（2020•湖北 恩施州）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且BE ＝1，F 为对角线AC 上一动点，则△BFE 周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：如图，连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与点D 关于AC 对称，∴BF ＝DF ，∴△BFE 的周长＝BF +EF +BE ＝DE +BE ，此时△BEF 的周长最小，∵正方形ABCD 的边长为4，∴AD ＝AB ＝4，∠DAB ＝90°，∵点E 在AB 上且BE ＝1，∴AE ＝3，∴DE =√AD 2+AE 2=5，∴△BFE 的周长＝5+1＝6，故选：B ．3．（4分）（2020•山东 淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．5π2D ．5π2+2【解答】解：如图，点O 的运动路径的长=OO 1̂的长+O 1O 2+O 2O 3̂的长=90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180=5π2，故选：C ．二、填空题4．（4分）（2020•山东 淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 210 个．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x 个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x ﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x ﹣1）个， 还要装上下面行程中要停靠的（n ﹣x ）个服务驿站的货包共（n ﹣x ）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号 在第x 服务驿站启程时快递货车货包总数1n ﹣1 2（n ﹣1）﹣1+（n ﹣2）＝2（n ﹣2） 32（n ﹣2）﹣2+（n ﹣3）＝3（n ﹣3） 43（n ﹣3）﹣3+（n ﹣4）＝4（n ﹣4） 54（n ﹣4）﹣4+（n ﹣5）＝5（n ﹣5） …… n由上表可得y ＝x （n ﹣x ）．当n ＝29时，y ＝x （29﹣x ）＝﹣x 2+29x ＝﹣（x ﹣14.5）2+210.25，当x ＝14或15时，y 取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．5．（3分）（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MCOB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN ，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值5×（1）＝2，故答案为2．三、解答题6．（10分）（2020•湖北 恩施州）某校足球队需购买A 、B 两种品牌的足球．已知A 品牌足球的单价比B 品牌足球的单价高20元，且用900元购买A 品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等．（1）求A 、B 两种品牌足球的单价；（2）若足球队计划购买A 、B 两种品牌的足球共90个，且A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A 品牌足球m 个，总费用为W 元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？【解答】解：（1）设购买A 品牌足球的单价为x 元，则购买B 品牌足球的单价为（x ﹣20）元，根据题意，得900x =720x−20，解得：x ＝100，经检验x ＝100是原方程的解，x ﹣20＝80，答：购买A 品牌足球的单价为100元，则购买B 品牌足球的单价为80元；（2）设购买m 个A 品牌足球，则购买（90﹣m ）个B 品牌足球，则W ＝100m +80（90﹣m ）＝20m +7200，∵A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，∴{100m +80(90−m)≤8500m ≥2(90−m)， 解不等式组得：60≤m ≤65，所以，m 的值为：60，61，62，63，64，65，即该队共有6种购买方案，当m ＝60时，W 最小，m ＝60时，W ＝20×60+7200＝8400（元），答：该队共有6种购买方案，购买60个A 品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．7．（12分）（2020•贵州 毕节）（2020•毕节市）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．（1）每个甲种书柜的进价是多少元？（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x 元，∴每个甲种书柜的进价为1.2x 元，∴54001.2x =6300x −6，解得：x ＝300，经检验，x ＝300是原分式方程的解，答：每个甲种书柜的进价为360元．（2）设甲书柜的数量为y 个，∴乙书柜的数量为（60﹣y ）个，由题意可知：60﹣y ≤2y ，∴20≤y ＜60，设购进书柜所需费用为z 元，∴z ＝360y +300（60﹣y ）∴z ＝60y +18000，∴当y ＝20时，z 有最小值，最小值为19200元，答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少．8．（12分）（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A （1，2），B （2，3），C （2，1），直线y ＝x +m 经过点A ，抛物线y ＝ax 2+bx +1恰好经过A ，B ，C 三点中的两点．（1）判断点B 是否在直线y ＝x +m 上，并说明理由；（2）求a ，b 的值；（3）平移抛物线y ＝ax 2+bx +1，使其顶点仍在直线y ＝x +m 上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【解答】解：（1）点B 是在直线y ＝x +m 上，理由如下：∵直线y ＝x +m 经过点A （1，2），∴2＝1+m ，解得m ＝1，∴直线为y ＝x +1，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3，∴点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）∵直线y ＝x +1与抛物线y ＝ax 2+bx +1都经过点（0，1），且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A （1，2），C （2，1）代入y ＝ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1， 解得a ＝﹣1，b ＝2；（3）由（2）知，抛物线为y ＝﹣x 2+2x +1，设平移后的抛物线为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p 2，p 24+q ），∵顶点仍在直线y ＝x +1上，∴p 24+q =p 2+1，∴q =−p 24+p 2+1，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ，∴q =−p 24+p 2+1=−14（p ﹣1）2+54， ∴当p ＝1时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54．9．（12分）（2020•辽阳）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间满足一次函数关系（其中10≤x ≤15，且x 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），根据题意得： {12k +b =9014k +b =80， 解得：{k =−5b =150， ∴y 与x 之间的函数关系为y ＝﹣5x +150；（2）根据题意得：w ＝（x ﹣10）（﹣5x +150）＝﹣5（x ﹣20）2+500，∵a ＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值，∴当x ＜20时，w 随着x 的增大而增大，∵10≤x ≤15且x 为整数，∴当x ＝15时，w 有最大值，即：w ＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．10．（12分）（2020•呼和浩特）已知某厂以t 小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t ≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t +5t+1）元．（1）某人将每小时获得的利润设为y 元，发现t ＝1时，y ＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；令y ＝60（﹣3t +5t +1），当t ＝1时，y ＝180，∵当0.1＜t ≤1时，5t 随t 的增大而减小，﹣3t 也随t 的增大而减小， ∴﹣3t +5t 的值随t 的增大而减小，∴y ＝60（﹣3t +5t +1）随t 的增大而减小，∴当t ＝1时，y 取最小，∴他的结论正确．（2）由题意得：60（﹣3t +5t +1）×2＝1800，整理得：﹣3t 2﹣14t +5＝0，解得：t 1=13，t 2＝﹣5（舍），即以13小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷13=24千克．∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；（3）设利润为L ，生产680千克该产品获得的利润为：L ＝680t ×60（﹣3t +5t+1）， 整理得：L ＝40800（﹣3t 2+t +5），∴当t =16时，L 最大，且最大值为207400元．∴该厂应该选取16小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．11．（8分）（2020•四川 广安）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A ，B 两种树苗，第一次购进A 种树苗30棵，B 种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A 种树苗24棵，B 种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A ，B 两种树苗各自的单价均不变）（1）A ，B 两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A ，B 两种树苗共42棵，总费用为W 元，购买A 种树苗t 棵，B 种树苗的数量不超过A 种树苗数量的2倍．求W 与t 的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．【解答】解：（1）设A 种树苗每棵的价格x 元，B 种树苗每棵的价格y 元，根据题意得： {30x +15y =135024x +10y =1060， 解得{x =40y =10，答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，∴42﹣t≤2t，解得：t≥14，∵t是正整数，∴t最小值＝14，设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，∵k＞0，∴W随t的减小而减小，当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．12．（10分）（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y 轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−√2，0），直线BC的解析式为y=−√23x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移√2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y=−√23x+2，令y＝0，则x＝3√2，令x＝0，则y＝2，故点B、C的坐标分别为（3√2，0）、（0，2）；则y＝ax2+bx+2＝a（x+√2）（x﹣3√2）＝a（x2﹣2√2x﹣6）＝ax2﹣2√2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=1 3，故抛物线的表达式为：y=−13x2+2√23x+2①；（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=−√23（x+√2）②，联立①②并解得：x＝4√2，故点D（4√2，−10 3），由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=−2√23x+2，当x＝3√2时，y BC=−√23x+2＝﹣2，即点H（3√2，﹣2），故BH＝2，设点E（x，−13x2+2√23x+2），则点F（x，−√23x+2），则四边形BECD 的面积S ＝S △BCE +S △BCD =12×EF ×OB +12×（x D ﹣x C ）×BH =12×（−13x 2+2√23x +2+√23x ﹣2）×3√2+12×4√2×2=−√22x 2+3x +4√2， ∵−√22＜0，故S 有最大值，当x =3√22时，S 的最大值为25√24，此时点E （3√22，52）；（3）存在，理由：y =−13x 2+2√23x +2=−13（x −√2）2+83，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）向左平移√2个单位， 则新抛物线的表达式为：y =−13x 2+83， 点A 、E 的坐标分别为（−√2，0）、（3√22，52）；设点M （√2，m ），点N （n ，s ），s =−13n 2+83；①当AE 是平行四边形的边时， 点A 向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到E ，同样点M （N ）向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到N （M ）， 即√2±5√22=n ， 则s =−13n 2+83=−112或56， 故点N 的坐标为（7√22，−112）或（−3√22，56）； ②当AE 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：−√2+3√22=n +√2，解得：n =−√22， s =−13n 2+83=156， 故点N 的坐标（−√22，156）；综上点N 的坐标为：（7√22，−112）或（−3√22，56）或（−√22，156）．2021年九年级中考数学复习专题：函数与最值问题三答案一、 1．【解答】解：A 、将二次函数y =14x 2−6x +a +27=14(x −12)2+a −9向上平移10个单位，再向左平移2个单位后， 表达式为：y =14(x −10)2+a +1， 若过点（4，5），则5=14(4−10)2+a +1，解得：a ＝﹣5，故选项正确； B 、∵y =14(x −12)2+a −9，开口向上， ∴当x ＝12 时，y 有最小值a ﹣9，故选项正确；C 、当x ＝2时，y ＝a +16，最小值为a ﹣9，a +16﹣（a ﹣9）＝25，即x ＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D 、△=(−6)2−4×14×(a +27)=9−a ，当a ＜0时，9﹣a ＞0，即方程14x 2−6x +a +27=0有两个不同的实数根，即二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，故选项正确， 故选：C ． 2．【解答】解：如图，连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴点B 与点D 关于AC 对称， ∴BF ＝DF ，∴△BFE 的周长＝BF +EF +BE ＝DE +BE ，此时△BEF 的周长最小， ∵正方形ABCD 的边长为4， ∴AD ＝AB ＝4，∠DAB ＝90°， ∵点E 在AB 上且BE ＝1， ∴AE ＝3，∴DE =√AD 2+AE 2=5， ∴△BFE 的周长＝5+1＝6， 故选：B ．3．【解答】解：如图，点O 的运动路径的长=OO 1̂的长+O 1O 2+O 2O 3̂的长 =90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180 =5π2， 故选：C ． 二、填空题 4．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x 个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x ﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x ﹣1）个， 还要装上下面行程中要停靠的（n ﹣x ）个服务驿站的货包共（n ﹣x ）个． 根据题意，完成下表：服务驿站序号 在第x 服务驿站启程时快递货车货包总数1 n ﹣12 （n ﹣1）﹣1+（n ﹣2）＝2（n ﹣2） 32（n ﹣2）﹣2+（n ﹣3）＝3（n ﹣3）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．5．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MCOB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN ，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值5×（1）＝2， 故答案为2． 三、 6．【解答】解：（1）设购买A 品牌足球的单价为x 元，则购买B 品牌足球的单价为（x ﹣20）元， 根据题意，得900x=720x−20，解得：x ＝100，经检验x ＝100是原方程的解， x ﹣20＝80，答：购买A 品牌足球的单价为100元，则购买B 品牌足球的单价为80元； （2）设购买m 个A 品牌足球，则购买（90﹣m ）个B 品牌足球， 则W ＝100m +80（90﹣m ）＝20m +7200，∵A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，∴{100m +80(90−m)≤8500m ≥2(90−m)， 解不等式组得：60≤m ≤65，所以，m 的值为：60，61，62，63，64，65， 即该队共有6种购买方案， 当m ＝60时，W 最小，m ＝60时，W ＝20×60+7200＝8400（元），答：该队共有6种购买方案，购买60个A 品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元． 7．【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x 元， ∴每个甲种书柜的进价为1.2x 元， ∴54001.2x=6300x−6，解得：x ＝300，经检验，x ＝300是原分式方程的解， 答：每个甲种书柜的进价为360元． （2）设甲书柜的数量为y 个， ∴乙书柜的数量为（60﹣y ）个， 由题意可知：60﹣y ≤2y ， ∴20≤y ＜60，设购进书柜所需费用为z 元， ∴z ＝360y +300（60﹣y ） ∴z ＝60y +18000， ∴当y ＝20时，z 有最小值，最小值为19200元，答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少． 8．【解答】解：（1）点B 是在直线y ＝x +m 上，理由如下： ∵直线y ＝x +m 经过点A （1，2）， ∴2＝1+m ，解得m ＝1， ∴直线为y ＝x +1，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3， ∴点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）∵直线y ＝x +1与抛物线y ＝ax 2+bx +1都经过点（0，1），且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A （1，2），C （2，1）代入y ＝ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1，解得a ＝﹣1，b ＝2；（3）由（2）知，抛物线为y ＝﹣x 2+2x +1，设平移后的抛物线为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p2，p 24+q ），∵顶点仍在直线y ＝x +1上， ∴p 24+q =p2+1，∴q =−p 24+p2+1， ∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ，∴q =−p 24+p 2+1=−14（p ﹣1）2+54，∴当p ＝1时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54．9．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），根据题意得： {12k +b =9014k +b =80， 解得：{k =−5b =150，∴y 与x 之间的函数关系为y ＝﹣5x +150；（2）根据题意得：w ＝（x ﹣10）（﹣5x +150）＝﹣5（x ﹣20）2+500， ∵a ＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值， ∴当x ＜20时，w 随着x 的增大而增大， ∵10≤x ≤15且x 为整数， ∴当x ＝15时，w 有最大值，即：w ＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元． 10．【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论； 令y ＝60（﹣3t +5t +1），当t ＝1时，y ＝180，∵当0.1＜t ≤1时，5t 随t 的增大而减小，﹣3t 也随t 的增大而减小，∴﹣3t +5t 的值随t 的增大而减小， ∴y ＝60（﹣3t +5t +1）随t 的增大而减小，∴当t ＝1时，y 取最小， ∴他的结论正确．（2）由题意得：60（﹣3t +5t+1）×2＝1800， 整理得：﹣3t 2﹣14t +5＝0， 解得：t 1=13，t 2＝﹣5（舍），即以13小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷13=24千克．∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；（3）设利润为L ，生产680千克该产品获得的利润为：L ＝680t ×60（﹣3t +5t +1）， 整理得：L ＝40800（﹣3t 2+t +5），∴当t =16时，L 最大，且最大值为207400元．∴该厂应该选取16小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．11．【解答】解：（1）设A 种树苗每棵的价格x 元，B 种树苗每棵的价格y 元，根据题意得： {30x +15y =135024x +10y =1060， 解得{x =40y =10，答：A 种树苗每棵的价格40元，B 种树苗每棵的价格10元； （2）设A 种树苗的数量为t 棵，则B 种树苗的数量为（42﹣t ）棵， ∵B 种树苗的数量不超过A 种树苗数量的2倍， ∴42﹣t ≤2t ， 解得：t ≥14， ∵t 是正整数， ∴t 最小值＝14，设购买树苗总费用为W ＝40t +10（42﹣t ）＝30t +420， ∵k ＞0，∴W 随t 的减小而减小，当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．12．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y=−√23x+2，令y＝0，则x＝3√2，令x＝0，则y＝2，故点B、C的坐标分别为（3√2，0）、（0，2）；则y＝ax2+bx+2＝a（x+√2）（x﹣3√2）＝a（x2﹣2√2x﹣6）＝ax2﹣2√2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=1 3，故抛物线的表达式为：y=−13x2+2√23x+2①；（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=−√23（x+√2）②，联立①②并解得：x＝4√2，故点D（4√2，−10 3），由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=−2√23x+2，当x＝3√2时，y BC=−√23x+2＝﹣2，即点H（3√2，﹣2），故BH＝2，设点E（x，−13x2+2√23x+2），则点F（x，−√23x+2），则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（x D﹣x C）×BH=12×（−13x2+2√23x+2+√23x﹣2）×3√2+12×4√2×2=−√22x2+3x+4√2，∵−√22＜0，故S 有最大值，当x =3√22时，S 的最大值为25√24，此时点E （3√22，52）；（3）存在，理由：y =−13x 2+2√23x +2=−13（x −√2）2+83，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）向左平移√2个单位， 则新抛物线的表达式为：y =−13x 2+83，点A 、E 的坐标分别为（−√2，0）、（3√22，52）；设点M （√2，m ），点N （n ，s ），s =−13n 2+83； ①当AE 是平行四边形的边时， 点A 向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到E ，同样点M （N ）向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到N （M ），即√2±5√22=n ， 则s =−13n 2+83=−112或56， 故点N 的坐标为（7√22，−112）或（−3√22，56）； ②当AE 是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：−√2+3√22=n +√2，解得：n =−√22， s =−13n 2+83=156，故点N 的坐标（−√22，156）； 综上点N 的坐标为：（7√22，−112）或（−3√22，56）或（−√22，156）．。

三年级奥数最值问题在三年级奥数中，最值问题通常涉及寻找最大值或最小值的问题。

这是我们在解决日常生活实际问题时，经常遇到的一种情况。

为了找到最优解决方案，我们往往需要研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，这就是最值问题的核心。

例如，在运输一批物资时，我们需要找到最短的运输路径和最低的运输成本；在安排一项工程时，我们需要确定最短的工期和最高的效率。

这类问题涉及的知识面广泛，需要我们灵活运用各种知识进行解决。

解决最值问题有一个规律：对于两个数之和为一定值时，它们的差越小，它们的积就越大；而对于两个数的积为一定值时，它们的差越小，它们的和就越小。

解决最值问题常用的方法包括：列举法、分析法、公式法、图表法等。

这些方法需要我们根据具体问题的特点进行选择和运用，以便找到最优解决方案。

1：a和b是小于100的两个不为0的不同的自然数，求a-b/a+b的最大值。

分析：根据题意，要使a-b/a+b的值最大，就应该使分子尽可能大，使分母尽可能小，因此b应该赋值为1。

由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所求的分数再添2个分数单位就等于1，可见应该使所求的分数的分数单位尽可能小，因此a应赋值99。

解：a−ba+b 的最大值是 99−199+1 = 4950 2：A 、B 两个数都是自然数，且A+B=82，那么A ×B 的积最大是多少？分析：由题可知A 的取值范围是0到82，B 的取值范围是82到0，我们知道和一定的两个数，差越小，积就越大。

由此可以推出当两个因数相等，差为0时，它们的积最大。

解：A=B=82÷2=41时，A ×B 的积最大，为：41×41=1681。

3：学校准备砌一个面积为48平方米的长方形花坛，长方形的长与宽是以米为单位的自然数，请你帮忙算一下，这个花坛的长与宽分别是多少时，最省材料？ 分析：这道题如果采用列举法，通过比较找出最小值，虽然也能解决问题，但比较麻烦，如果我们运用“积一定的两个数，差越小，和越小”这个规律，我们就会比较快的找到：8-6=2，它们的差最小，所以8+6=14，即和14也最小。

初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。

求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。

2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。

求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。

3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。

4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。

5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。

这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。

对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。

通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。

2020年高考数学三轮冲刺微专题（文理通用）最值问题之数列篇【例】【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【例】【2018全国卷Ⅱ】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．【例】(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ．【例】（2016年全国I ）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .【例】（2015四川）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。

有关数列中最大项的问题：【例】（2020·海南中学高三月考）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令=n b()*,2020∈<n n N ，当k b 是数列{}nb 的最大项时，k =（ ）A ．1100B ．1001C ．1011D ．1010有关等差数列前n 和中的最值问题：【例】等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？数列与不等式恒成立相结合的最值问题：【例】（2020·山西实验中学高三）已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．数列与基本不等式相结合的最值问题：【例】（2020·江西高三模拟）已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．4数列与导数相结合的最值问题：【例】等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____.数列与“对勾函数”相结合的最值问题：【例】（2020·河南高三模拟）已知各项都是正数的数列{}n a 满足()*12n n a N a n n +-=∈，若当且仅当4n =时，na n取得最小值，则（ ） A ．1012a <<B ．11220a <<C ．112a =D ．120a =1、（2020·山西高三开学考试）已知数列{}n a 的通项公式为()370.9nn a n =+⨯，则数列{}n a 的最大项是（ ）{}n a n n S 100S =1525S =nnSA ．5aB ．6aC ．7aD ．8a2．（2020·河南高三）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ）A ．–10B ．14-C ．–18D ．–203．（2020·山东省青岛第五十八中学高三）等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S4.（2020·河北高三期末）已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）A ．最大值为4-B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-5．（2020江苏无锡高三）设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．6．（2020北京高三）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时，{}n a 的前n 项和最大．7．（2020江西高三）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．8．（2020·河北邢台一中高三月）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若29a =，540S =，则n S 的最大值为_________.9、已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．10、在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值。

最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。

在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。

下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。

1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。

解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。

4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。

解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。

5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。

解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。

9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。

解法一般是使用线性规划的方法进行求解。

10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。

解法一般是使用几何知识和公式进行计算。

11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。

解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。

12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。

解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。

13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。

3最值系列之瓜豆原理瓜豆原理是由我国古代数学家祖冲之提出的一种数学方法，被广泛应用于解决各种数学问题。

它主要用于求解最值问题，即找出一组数中的最大值或最小值。

瓜豆原理的核心思想是通过比较两组数中较大的数与较小的数的差值来判断最值的大小。

下面我们将详细介绍瓜豆原理及其应用。

瓜豆原理由瓜数和豆数组成，瓜数表示较大的数，而豆数表示较小的数。

根据祖冲之的定义，如果瓜数大于或等于豆数，那么瓜数减豆数的差值就是最值；如果瓜数小于豆数，那么瓜数减豆数的差值的相反数就是最值。

用数学公式表示为：最值=瓜数-豆数。

瓜豆原理主要应用于以下三种常见的数学问题：1.最大值问题：对于一组数中，我们要找出最大的数。

这时我们可以将其中的一个数作为瓜数，将其余所有数作为豆数，然后将瓜数减去豆数的差值作为最大值。

如果瓜数大于或等于豆数，那么最大值就是瓜数减豆数的差值；如果瓜数小于豆数，那么最大值就是瓜数减豆数的相反数。

举个例子，假设我们要找出以下一组数中的最大值：2,5,7,3,9、我们可以将9作为瓜数，将2,5,7,3作为豆数。

然后我们计算瓜数减豆数的差值9-2=7、因此，最大值为72.最小值问题：对于一组数中，我们要找出最小的数。

这时我们可以将其中的一个数作为瓜数，将其余所有数作为豆数，然后将瓜数减去豆数的差值作为最小值。

如果瓜数大于或等于豆数，那么最小值就是瓜数减豆数的差值的相反数；如果瓜数小于豆数，那么最小值就是瓜数减豆数的差值。

举个例子，假设我们要找出以下一组数中的最小值：4,8,3,6,1、我们可以将1作为瓜数，将4,8,3,6作为豆数。

然后我们计算瓜数减豆数的差值1-4=-3、因此，最小值为-33.最值范围问题：对于一组数中，我们要找出最大值和最小值的范围。

这时我们可以先找出最大值和最小值，然后将最大值减去最小值的差值作为最值范围。

举个例子，假设我们要找出以下一组数中的最值范围：6,9,2,5、我们可以先找出最大值和最小值，最大值为9，最小值为2、然后我们计算最值范围9-2=7、因此，最值范围为7总结起来，瓜豆原理是一种简单而有效的数学方法，适用于解决最值问题。

立体几何中的最值问题四则1. 用配方法求距离的最值例1. 如图1，正方形ABCD 、ABEF 边长都是1，且平面ABCD 、ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM BN a a ==<<()02。

试求当a 为何值时，MN 的值最小。

图1分析：此题的解题关键是想用含a 的代数式表示距离，再用配方法求最值。

解：过M 作MH AB ⊥，垂足为H ，连结NH ，如图1所示。

在正方形ABCD 中，AB CB ⊥， 所以BC MH //，因为平面AC ⊥平面AE ，所以MH ⊥平面AE ，即MH NH ⊥。

因为CM BN a AB CB BE =====,1，所以AC BF ==2 即AM a =-2， MH AH a BH a ==-=12222,， 由余弦定理求得NH a =22。

所以MN MH NH =+22=-+=-+=-+<<()()()()12222212212022222a a a a a a当a =22时，MN =22，即M 、N 分别移到AC 、BF 的中点时，MN 的值最小，最小值为222. 结合实际找最值位置例2. 在一X 硬纸上，抠去一个半径为3的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为4，高为6的正三棱锥A —BCD 上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这X 纸面的棱锥的高的最大值是________。

图2解：如图2所示，假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。

设正三棱锥A BCD -的顶点A 在平面BCD 上的射影为A'，在平面B'C'D'上的射影为O 。

连结BA'、B'O 并延长分别交CD 、C'D'于E 、E'点，则平面B C D '''//平面BCD ，所以B E BE BC BC''''=， B E B O BE BA ''''==3232，， 即B O BA B C BC ''''=。

经典函数最值问题三例例1. 已知函数（0≤≤4,0≤≤1）的最大值为4,则的32)(2++-=mx x x f m x m 值为_________.分析:二次函数在给定区间上的最值与两个因素有关:一是图象的开口方向,二是对称轴与给定区间的相对位置关系.解:函数的图象开口向下,对称轴为直线. 32)(2++-=mx x x f ()422m m x =-⨯-=∵0≤≤4,∴0≤≤1 m 4m ∵0≤≤1,即x ∈x []1,0∴函数在顶点处获得最大值,此时,. )(x f 4m x =()38142max +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m f x f ∴,解之得:（不符合题意,舍去）. 43812=+m 22=m 22-=m 例2. 若关于的不等式在上有解,则的取值范围是【 】x 022>-+ax x []5,1a （A ） （B ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,523⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,523（C ）（D ） ()+∞,1⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-523,分析:本题仍是关于二次函数在给定区间上的最值问题,难在对在022>-+ax x 上有解的理解.使用分离参数法求解.[]5,1解:∵,∴022>-+ax x 22+->x ax ∵,∴,设,∴ []5,1∈x x x a 2+->xx x g 2)(+-=)(x g a >∵不等式在上有解022>-+ax x []5,1∴在有解,只需即可.)(x g a >[]5,1min )(x g a >不难看出,函数在上为减函数,∴ )(x g []5,1()5235255)(min -=+-==g x g ∴,即的取值范围是.选择【 A 】. 523->a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,523例3. 已知函数（,）,若在上的值域为,x a x f 11)(-=0>a 0>x )(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21则_________. =a 分析:由单调函数的运算性质不难确定函数在上为增函数,所xa x f 11)(-=()+∞,0以函数在也是增函数. )(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21解:∵函数在上为增函数 x y 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21∴函数在上也是增函数 x a x f 11)(-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21∵在上的值域为 )(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21∴,. 212121)(min =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=af x f 2211)2()(max =-==a f x f 解之得:.52=a。

中考数学难点旋转最值三点共线问题旋转最值三点共线问题是中考数学中的难点之一。

解决这个问题需要掌握旋转、最值和共线等概念，以及相应的解题方法。

本文将为大家详细介绍这个难点问题的解题思路和步骤，帮助大家更好地应对中考数学考试。

1. 问题描述假设平面上有三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，我们需要找到一个旋转中心O，使得当点A绕O旋转时，点B和C始终保持共线。

我们需要求解旋转中心O的坐标。

2. 解题思路为了求解旋转中心O的坐标，我们可以从两个方面入手，分别是旋转角度和旋转中心的坐标。

首先，我们可以假设旋转中心O的坐标为(x, y)，然后通过计算旋转角度来确定旋转中心的位置。

接下来，我们根据最值和共线的概念，构建方程组，进而求解旋转中心的坐标。

3. 计算旋转角度为了构建方程组，我们需要先确定旋转角度。

根据题目要求，点B和C始终保持共线，说明它们的斜率相等。

我们可以求解点B和C的斜率，然后通过斜率之间的关系来确定旋转角度。

斜率的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)设斜率k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，斜率k2 = (y3 - y1) / (x3 - x1)由于点B和C始终共线，则k1 = k2，即 (y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 -y1) / (x3 - x1)化简上述方程，得到：(y2 - y1) * (x3 - x1) = (y3 - y1) * (x2 - x1)4. 求解旋转中心坐标通过4.计算旋转角度中的方程，我们得到了一个等式，然后我们将旋转中心的坐标代入该等式，从而求解旋转中心坐标。

具体步骤如下：将旋转中心坐标(x, y)代入方程，得到：(y2 - y1) * (x3 - x1) = (y3 - y1) * (x2 - x1)展开并整理得到：(x2 - x1) * y + (y2 - y1) * x = (x2 * y1 - x1 * y2) + (x1 * y3 - x3 * y1)由上述方程可知，旋转中心的坐标可以通过求解线性方程组来获得。

专题12 勾股定理中的最值问题专练（三）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，小江同学把三角尺含有60°角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺(含有45°角)的孔洞中，已知孔洞的最长边为2cm，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为()A. 2√3cm2 B. √3cm2 C. 2√3cm2 D.3(2+√3)cm2【答案】B【分析】由题意可知当三角尺穿过孔洞部分为等边三角形时，面积最大，故可求解．本题考查了含30°角的直角三角形、等边三角形的性质等知识；由题意可知当三角尺穿过孔洞部分为等边三角形时面积最大是解题的关键．【解答】解：由题意可知当三角尺穿过孔洞部分为等边三角形时，面积最大，∵孔洞的最长边为2cm，∴三角尺穿过孔洞部分的最大面积=√3×22=√3(cm2)；42.如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为()A. 2√5B. 2√3C. 2√5+2D. 2√3+2【答案】C【分析】本题考查的是轴对称−最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过两点之间线段最短，确定线段和的最小值．首先作过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B′，使OB′=OB，连接DB′，交AC于E，则DB′=DE+EB′=DE+BE的值最小，根然后据勾股定理求出DB′，再根据△BDE周长等于BD+DB′求出即可求解．【解答】解：如图，过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B′，使OB′=OB，连接DB′，交AC于E，此时DB′=DE+EB′=DE+BE的值最小，连接CB′，易证CB′⊥BC，在Rt△DB′C根据勾股定理可得：DB′=√B′C2+CD2=√42+22=2√5，则△BDE周长的最小值为：DB′+DB=2√5+2．3.如图，▵ABC中，AB=AC=10，BC=12，点Q在边AC上运动，则BQ的最小值为()A. 7.2B. 8.0C. 8.8D. 9.6【答案】D【分析】本题考查了勾股定理.熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，即点Q运动到点E处的时候，为最小值．先根据勾股定理求出AD的长，再由三角形的面积公式即可得出BE的长，即可得出最小值．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，即点Q运动到点E处的时候，为最小值．∵AB=AC=10，BC=12∴BD=12BC=6∴AD=√AB2−BD2=√102−62=8∴BC⋅AD=AC⋅BE即BE=BC⋅ADAC =12×810=9.6．即BQ的最小值为9.6．4.如图，P是线段AB上一动点，且AB=4，CA⊥AB，BD⊥AB，CA=1，BD=2，PA=a，PB=b，若M=√a2+1+√b2+4，则M的最小值为()A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【分析】本题主要考查两个知识点，①勾股定理，两条直角边的平方和等于第三边的平方，即a2+b2=c2，所以第三边等于两条直角边的平方和再开二次方，即c=√a2+b2．②“两点之间，线段最短.”【解答】解：连接CP、PD．∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴PC=√AC2+AP2=√12+a2=√a2+1,PD=√PB2+BD2=√b2+22=√b2+4，即M=PC+PD，根据两点之间线段最短的性质，当点P运动到CD与AB的交点时，PC+PD有最小值，最小值为√42+(1+2)2=5．5.Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE，则CD+DE的最小值为()A. 8B. 16+8√55C. 16√55D. 325【答案】D【分析】如图，作∠ABG=∠ABC，CF⊥BG于F，交AB于D，作DE⊥BC于E，此时DC+DE的值最小，最小值=CF的长．再利用相似三角形的性质求出CF即可．本题考查轴对称−最短问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，作∠ABG=∠ABC，CF⊥BG于F，交AB于D，作DE⊥BC于E，此时DC+DE的值最小，最小值=CF的长．取AB中点T，连接CT，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=4√5，∴CH=AC⋅BCAB =8√55.CT=12AB=2√5，∵TC=TB，∴∠TBC=∠TCB=∠ABG，∵∠ADC=∠TBC+∠TCB=2∠DBC，∠CBF=2∠DBC，∴∠CTH=∠CBF，∴sin∠CTH=sin∠CBF，∴CHCT =CFBC，∴8√552√5=CF8，∴CF=325，6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A. 2.4B. 4.8C. 4D. 5【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC 的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC=6，AB=10，∠ACB=90°，∴BC=√AB2−AC2=8，∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，∴CM=AC⋅BCAB =245，即PC+PQ的最小值为245．7.如图，∠ABC=30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD=2，BE=4，点M、N分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，(DM+MN+NE)2的值为()A. 20B. 26C. 32D. 36【答案】A【分析】如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．再证明∠HBG=90°，利用勾股定理即可解决问题；本题考查轴对称−最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH 交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：BD=BG=2，BE=BH=4，DM=GM，EN=NH，∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长，∵∠ABC=∠GBM=∠HBC=30°，∴∠HBG=90°，∴GH2=BG2+BH2=20，∴当DM+MN+NE最小时，(DM+MN+NE)2的值为20，二、填空题8.如果三角形的三边分别为√2，√6，2，那么这个三角形的最大角的度数为______ ．【答案】90°【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案．【解答】解：∵(√2)2+22=(√6)2，∴此三角形是直角三角形，∴这个三角形的最大角的度数为90°，9.如图，线段AB的长为6，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作两个等边三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE的最小值是________．【答案】3【分析】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，分别过D、E作DM⊥AB，EN⊥AB，再过D作DF⊥EN，解题关键是构造直角三角形，利用勾股定理求解．再利用勾股定理表示出DE，设AC=a，则BC=6−a，当EF最小时，DE最小，此时DE//AB，EF=0，a=3，即可求出DE的最小值．【解答】解：如图：分别过点D，E作AB的垂线段DM，EN，垂足为M，N，过点D作DF⊥EN垂足为F，设AC=a，则BC=6−a，∴DM=√32a,EN=√32(6−a)∴DF=3,EF=3√3−√3a∴DE=√DF2+EF2=√9+EF2∴当EF最小时，DE最小，此时DE//AB，EF=0，a=3，，10.如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=√3，E为AC中点，P为AD上一点，则△PEC周长的最小值是______．【答案】√3+1[分析]本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．[解答]解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是一个边长为2的正三角形，点E是边AC的中点，∴∠BEC=90°，CE=1，∴BE=√22−12=√3，∴PE+PC的最小值是√3．∴△PEC周长的最小值是√3+1．故答案为√3+1．11.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C=60°，若P为BC边上一个动点，则DP长的最小值为______，若点P为BC边中点，则DP长为______．【答案】3 2√3【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD=∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=AD；再根据含30度角的直角三角形的性质依次求得BD，BC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求得DP长．本题考查了30度角的直角三角形的性，直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．【解答】解：∵BD⊥CD，∠A=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时DP=AD=3，∵∠ADB=∠C=60°，∴BD=6，∴BC=4√3，∵点P为BC边中点，∴DP=2√3．12.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作于H，连接AH，则AH的最小值为________．【答案】2√5−2【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，确定使AH值最小时点H的位置是本题的关键，取BC中点G，连接HG，AG，由直角三角形的性质可得HG= BC=2，由勾股定理可求AG=2√5，由三角形的三边关系可得AH≥AG−CG=BG=12HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．【解答】解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，∵CH⊥DB，点G是BC中点∴HG=CG=BG=1BC=2，2在Rt△ACG中，AG=√AC2+CG2=2√5，在△AHG中，AH≥AG−HG，即当点H在线段AG上时，AH最小值为2√5−2，13.如图，∠AOB=45∘，点P是∠AOB内一点，PO=5，点Q，R分别是OA，OB上的动点，则△PQR周长的最小值为．【答案】5√2【分析】本题考查了轴对称--最短路线的问题，综合应用了轴对称、等腰直角三角形以及勾股定理的有关知识．设点P关于OA、OB对称点分别为M、N，当点R、Q在MN上时，△PQR周长为PR+ RQ+QP=MN，此时周长最小．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB 于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=5，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，则∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN=√OM2+ON2=5√2．即△PQR周长的最小值等于5√2．三、解答题14.【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4=12(9−1)，弦5=12(9+1)；当勾为5时，股12=12(25−1)，弦13=12(25+1)；当勾为7时，股24=12(49−1)，弦25=12(49+1)．请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股=______，弦=______．【问题解决】(2)古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a=2m，b=m2−1，c=m2+1(m为大于1的整数)，则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；(3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？【分析】此题主要考查了勾股数，新定义问题，考查整式的运算，属于中档题．(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)；(2)根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案；(3)根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案．【解答】解：(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)；故答案为：12(n2−1)，12(n2+1)；(2)∵a=2m，b=m2−1，c=m2+1(m表示大于1的整数)∴a2+b2=(2m)2+(m2−1)2=4m2+m4−2m2+1=m4+2m2+1=(m2+1)2=(m2+1)2=c2，∴a2+b2=c2∴a、b、c为勾股数；(3)∵弦与股的差为1，2a2+2a+1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，∴股为2a2+2a，∵(2a2+2a+1)2−(2a2+2a)2=(2a2+2a+1−2a2−2a)(2a2+2a+1+2a2+2a)=4a2+4a+1=(2a+1)2，∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a；2a+1．15.如图，在网格中我们把三边的比为1:√2:√5的△ABC叫做“神奇三角形”．(1)请你在2×5的网格中画出2个彼此不全等的“神奇三角形”(2)请你在5×5的网格中画出面积最大的格点“神奇三角形“．【分析】本题主要考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理与相似三角形的定义．(1)根据相似三角形作图可得；(2)根据相似三角形作图可得．【解答】解：(1)如图示，(2)如图示，．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其它边上，(1)请利用无刻度的直尺和圆规，画出所有的以BC为一边且满足题目要求的等腰三角形；(2)在Rt△ABC中，若又已知CA=8，CB=6，①下图画出了以AB为一边且第三个顶点在△ABC的其它边上的等腰三角形，求出它的腰AD的长和它的面积；②在所有的以△ABC的一边为边，且它的第三个顶点在△ABC的其它边上的等腰三角形中，面积最大的等腰三角形是哪一个？请在图中作出它的示意图(指出哪两条是腰，不需要尺规作图)，并直接写出它的面积．【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、尺规作图、三角形的面积以及分类讨论的思想，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．(1)按照要求结合等腰三角形的概念画图即可， ①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形; ②以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形; ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形; ④作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．(2)①设AD=BD=x，则CD=AC−AD=8−x，在Rt△BCD中，由勾股定理列方程：(8−x)2+62=x2，解得x，即腰长AD；再根据S△ABD=12AD·BC求出面积即可；②分7种情况画图，分别求出所画的等腰三角形的面积，然后进行比较即可得出满足条件的等腰三角形．【解答】解：(1)如图：可以画出满足条件的4个等腰三角形; ①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形; ②以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形; ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形; ④作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．(2)①由题意，AD=BD，设AD=BD=x，则CD=AC−AD=8−x，在Rt△BCD中，CD2+BC2=BD2，(8−x)2+62=x2，解得：x=254，即腰长AD=254．S△ABD=12AD·BC=12×254×6=754；②分7种情况作图如下：如图1，BC=BD=6，作CN⊥AB于N，∵Rt △ABC 中，CA =8，CB =6，∴由勾股定理得AB =10，S △ABC =12AB ·CN =12AC ·BC ， ∴12×10×CN =12×6×8， ∴CN =245，∴S △DBC =12BD ·CN =12×6×245=725=14.4；如图2，CF =BC =6，则S △FBC =12BC ·CF =12×6×6=18；如图3，CK =BC =6，作CN ⊥AB 于N ，由图1的情况可得CN =245，在Rt △BCN 中，BN 2=BC 2−CN 2，∴BN =√62−(245)2=3.6， ∵CK =BC ，CN ⊥AB ，∴BK =2BN =7.2，∴S △KBC =12BK ·CN =12×7.2×245=17.28；如图4，IC =IB ，∵IM垂直平分BC，∴点M是BC的中点，IM//AC，∴IM=12AC=4，∴S△IBC=12IM·BC=12×4×6=12;如图5，腰AC=AD=8，作CN⊥AB，由图1的情况可得CN=245，∴S△ACD=12AD·CN=12×8×245=19.2;如图6，AD=DC，ED垂直平分AC，∴ED=12BC=3，∴S△ACD=12AC·ED=12×8×3=12;如图7，AD=BD，由①可知：S△ABD=754=18.75；综上，∵12<14.4<17.28<18<18.75<19.2，∴图5中的等腰三角形ACD面积最大，最大面积是19.2即96，腰为AC和AD．517.如图，是由每个边长都是1的小正方形构成的网格，点O，A，B，M均为格点，P为线段OM上的一个动点．(1)点B到OM的距离等于______；(2)当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．【分析】(1)点B到OM的距离=√22+22=2√2，故答案为：2√2；(2)取格点F，E，连接EF，得到点N，取格点S，T，连接ST，得到点R，连接NR交OM于P，则点P即为所求．(1)根据勾股定理即可得到结论；(2)取格点F，E，连接EF，得到点N，取格点S，T，连接ST，得到点R，连接NR即可得到结果．本题考查了作图−应用与设计作图，轴对称−最短距离问题，正确的作出图形是解题的关键．【解答】解：(1)2√2(2)取格点F，E，连接EF，得到点N，取格点S，T，连接ST，得到点R，连接NR交OM 于P，则点P即为所求．18.如图，在面积为3的△ABC中，AB=3，∠BAC=45°，点D是BC边上一点．(1)若AD是BC边上的中线，求AD的长；(2)点D关于直线AB和AC的对称点分别为点M，N.求MN的长度的最小值;(3)若P是△ABC内的一点，求√2PA+PB+PC的最小值．【分析】本题考查的是勾股定理及最短路径问题，结合知识点三角形的面积公式，两点之间线段最短和垂线段最短的基本公理，能够灵活运用所学知识将所求进行转化是解决本题的关键．(1)过C、D两点分别作CH⊥AB，DK⊥AB，垂足分别为点H，K，利用已知条件可以得到AH=CH，根据面积为3，可以求出高AH的长，根据勾股定理求出BC，再利用中线及面积求出DK，最后Rt△ADK中利用勾股定理即可求解；(2)根据对称的性质及勾股定理得MN=√2AM=√2AD，根据“垂线段最短”可知，当AD⊥BC时，AD最小，此时，MN最小．(3)将△ABP绕着点A顺时针旋转90°，构造直角▵PAP′，从而得到PP′=√2AP，再根据两点之间线段最短可以判断当C,P,P′,B′四点共线时，PP′+PB+PC=CB′最小，即√2PA+PB+PC的最小值．【解答】解：(1)过C、D两点分别作CH⊥AB，DK⊥AB，垂足分别为点H，K．∵∠BAC=45°，∴∠ACH=45°，∴AH=CH，∵AH=CH，AB=3，∴12×3⋅CH=3，∴CH=AH=2，∴BH=1，在△CBH中，BC=√BH2+CH2=√22+12=√5，∵AD是BC边上的中线，∴S▵ACD=12S▵ABC，BD=√52，∴12AB⋅DK=12×3，∴DK =1，在△DBK 中，KB =√DB 2−DK 2=√(√52)2−12=12， ∴AK =52， 在△ADK 中，AD =√AK 2+DK 2=√(52)2+12=√292； (2)如图，根据对称的性质，可知：AN =AD =AM ，∠NAC =∠CAD ，∠MAB =∠DAB ，∵∠BAC =45°，∴∠NAM =90°，∴MN =√2AM =√2AD ，根据“垂线段最短”可知，当AD ⊥BC 时，AD 最小， 此时，MN 最小．由(1)可知，BC =√5，△ABC 的面积为3， ∴12×√5⋅AD =3，∴AD =√5，∴MN =√2×6√5=6√2√5=6√105，即MN 的长度的最小值为6√105．(3)如图，将△ABP 绕着点A 顺时针旋转90°． 根据旋转的性质，可知，∠PAP′=∠BAB′=90∘,AP =AP′,PB =PB′,AB =AB′=3，在▵PAP′中，∠PAP′=90∘,AP =AP′，∴PP′=√2AP ，∴√2PA +PB +PC =PP′+PB +PC ，连结CB′，PP′+PB +PC ≥CB′，当C,P,P′,B′四点共线时，PP′+PB +PC =CB′，此时√2PA +PB +PC 的值最小，过C 点作CG ⊥B′A ，交B′A 延长线于点G ，∵∠BAC=45°，∴∠GAC=45°，，在Rt△ACG中，AG=GC=√2=2，由(1)可知，CH=√2∴AG=GC=2，在Rt▵B′CG中，GC=2，GB′=5，∴CB′=√GC2+GB′2=√22+52=√29，∴√2PA+PB+PC的最小值是√29．。