第4讲 应用题(一)

第四讲 方程解应用题内容概述掌握一元一次方程的解法，多元一次方程组的解法，以及具有对称性的多元一次方程的特殊解法.能从已知条件中寻找出等量关系，列出方程或方程组并求解.典型问题兴趣篇：1.解下列方程:(1)12225x x x -+-=-答案：（1）117x =（2）1029x =（3）28x =【解析】（1）第一个方程的解法如下：()()()()()122251051202210105520245516252165711117x x x x x x x x x x x x x x x -+-=---=-+-+=--+=-+=-==两边同时乘以去括号移项(2)1251356x x ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭（2）第二个方程的解法如下：()()125135625135225152291101029x x x x x x x x ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭-=+===两边同时乘以移项(3)111233x x -=+（3）第三个方程两边都是“分数”，所以交叉相乘后仍相等，解法如下：()()()()()111233311123333233233325628x x x x x x x x x x -=+-=⨯+-=+-=+==交叉相乘去括号移项2.在一次选举中，有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的2倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4张，如果甲、乙、丙三人的选票一共有36张，请问：甲得了多少张选票？答案：10张【解析】设甲得了x 张选票．则乙得了()25x +张，丙得了142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭张选票．三人的选票总和为36这一等量关系，可以列出方程()1254362x x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭解这个方程：123612735210x x x x x ++=-== 因此，甲得了10张选票.3.有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了26个，问：有多少名学生上体育课？答案：24名【解析】设学生人数为x ，则排球、足球、篮球的个数分别为2x 、3x 、4x． 由于三种球一共26个，我们可以列出方程：26234x x x++= 解方程可得24x =．因此一共有24名学生．4.唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17张画片，小班每人发13张画片．已知大班人数是小班的35，小班比大班总共多发126张画片，求小班的人数．答案：45人【解析】根据本题的等量关系我们应该设小班人数为x ，则大班人数为35x .再表示小班和大班画片的数量：小班每人13张，所以一共发了13x 张； 大班每人17张，所以一共发了3175x ⨯张．由题意，小班比大班多发126张画片，即小班总数减去大班等于12 126．我们以此为等量关系列出方程：313171265x x =⨯+解这个方程可得45x =. 因此小班一共有45人．5.阿呆和阿瓜两人收藏了127张游戏光盘，已知阿呆光盘的12和阿瓜光盘的45合在一起是83张，那么阿呆、阿瓜各收藏了多少张游戏光盘？ 答案：62张，65张【解析】设阿呆收藏了x 张游戏光盘，则阿瓜收藏了()127x -张游戏光盘，依题意得：()141278325x x +-= ()58127830x x +-=510168186x x +-=318662x x ==所以阿呆收藏了62张游戏光盘，阿瓜收蒇了127-62=65张游戏光盘.6.明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的70%，六年级二班的男生比一班男生少2名，而女生人数为一班女生的2倍，若两班合在一起，则男生所占的比例为60%.请问：六年级二班有多少名女生？ 答案：24名【解析】设一班人数为x ，由题意可得：一班男生有70%x 人，女生有30%x 人．二班男生有()70%2x -人，二班女生有230%x ⨯人，即60%x ． 将题目中涉及到的相关人数整理成表格，如下所示：我们以男生总数与所有学生总数的比例为等量关系．列出方程： ()140%260%230%2x x -=⨯-解这个方程得40x =．因此一班一共有40人，则二班女生有60%60%4024x =⨯=人.7.解下面的方程组（1）422217780x y x y +=⎧⎨+=⎩ （2）4714412824x y y x +=⎧⎨-=⎩答案：(1)1,9x y == (2)15,12x y ==【解析】(1)422217780x y x y +=⎧⎨+=⎩①②本题如果用加减消元并不简便，相反如果将①式两边同时除以2得2x+y=11就可以用代入消元的方法来做.由2x+y=11可得y=11-2x ③ 将③代人②，得： 17x+7(11-2x)=80，解这个一元一次方程得：x=1； 将x=1代人③，得y=9；所以原方程组的解为：19x y =⎧⎨=⎩(2)4714412824x y y x +=⎧⎨-=⎩①②本题如果用代入消元法来处理会非常麻烦，注意到①式中x 的系数是4，而②式中x 的系数不带符号看是8，正好成两倍关系，因此我们可以采用加减消元法来处理．将①×2得：8x+14y=288 ③ 把③+②消去x 可得 26y=312， l 从而解得了y=12.将y=12代入①式可求得x=15.所以原方程组的解为：1512x y =⎧⎨=⎩8.小高与萱萱一起在水果店买水果，小高买了3千克苹果和2千克梨，共花了18.8元，萱萱买了2千克苹果和3千克梨，共花了18.2元．你能算出1千克苹果多少元，l 千克梨多少元吗？答案：l 千克苹果4元，1千克梨3.4元 【解析】设1千克苹果x 元，1千克梨y 元，则根据两人的花费列出方程组：3218.82318.2x y x y +=⎧⎨+=⎩①②把①式左右两边同对乘以2，得到： 6x+4y=37.6 ③把②式左右两边同时乘以3，得到： 6x+9y=54.6 ④ 用④式减去③式，得到： 5y=17, 解得y=3.4．把y=3.4代入①式得： 3x+2×3.4=18.8． 解出x=4．由此可见x=4，y=3.4．也就是说，1千克苹果4元，1千克梨3.4元．9.2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的310，8个蟹将和10个虾兵就能把龙宫全部打扫完．如果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？答案：蟹将12个，虾兵30个【解析】设一个蟹将所能完成的工作量是x ，一个虾兵所能完成的工作量是y.根据题意，“2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的310”，我们有方程32410x y +=；再根据“8个蟹将和10个虾兵就能打扫完全部龙宫”，还可列出方程8101x y +=．将这两个方程联立即得方程组：324108101x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩①②将①式两边乘以10可将其化为整数方程 20r+40y=3； ③再将②式两边同乘以4可得 32x+40y=4； ④ 再将④-③即可得112x =，进而可得130y =. 因此，只让蟹将打扫需要12个；只让虾兵打扫需要30个.10.如图4-1，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的．正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1:2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 答案：1：2【解析】假设竖式纸盒有x 个，横式纸盒有y 个，由分析可知，正方形纸板有(x+2y)块，长方形纸板有(4x+3y)块，由题意：正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1:2，因此我们列出方程：21432x y x y +=+该分数方程交叉相乘可得()4322x y x y +=+化简之后为y=2x ，即x:y=1:2．因此，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1：2．拓展篇：1.解下列方程：（1）31714612x x xx +-++=+（2）321721223423x x ⎡⎤⎛⎫⨯⨯++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（3）355412x x +=+ （4）()()()21725x x x ++=++答案：(1)12x = (2)65x = (3)514x = (4)12x =【解析】(1)原方程可化为：12x+3(x+3)+2(x-l)=7x+12， (两边同时乘以12) 12x+3x+9+2x-2=7x+12， （去括号） 17x+7=7x+12,17x-7x=12-7， （移项） lOx=5． x=0.5(2)原方程可化为：3212722234323x x ⎡⎤⨯++-=⎢⎥⎣⎦（先去小括号）3187226323x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦ 1724423x x +-= （再去中括号）112423x x += （化简）211342x x -= （移项）51122x =65x =(3)原方程可化为：()()235541x x +=+ （交叉相乘）610205x x +=+ （去括号） 206105x x -=- （移项） 145x =514x =(4)原方程可化为：()()()()772225x x x x x x +++=++++ （先拆开一个括号）22772245x x x x x x +++=++++ （再拆开一个括号） 228749x x x x ++=++8749x x +=+ （消去两边的2x ）42x = （移项） 12x =2．一个分数，分子与分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是15，那么原来的分数是多少？答案：3389．【解析】设原来分数的分子是x ，则分母是122x -，分子、分母减去19之后，分别等于x-19和103-x ．此时分数等于15．根据这一等量关系列出方程得1911035x x -=-交叉相乘后得5(x-19)=103-x ，求解可得x=33．此时原来分数的分母是122-x=122-33=89，即原分数就是3389.3．130克含盐5%的盐水，与若干含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水，请问：最后配成的盐水有多少克？答案：200克【解析】设新添的浓度为9%的盐水有x克，那该溶液中盐的重量就9%x克．那么混合后的盐水总质量是(130+x)克，含盐(130×5%+9%x)克．由于混合前与混合后盐的重量相同，因此我们有如下方程：133×5%+9%x=6.4%×(130+x).两边同时乘以100，就可以去掉百分号，变成130×5+9x=6.4×(130+x).求解该方程，可得x=70.由于溶液混合后重量保持不变，因此最终的溶液是130+70=200克．4．如图4-2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余l，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是n．图4-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍，求这个自然数．答案：1993【解析】由图4-2可以看出，第二次商等于（8a+7），第一次商等于[8(8a+7)+1]=64a+57，所求的自然数是8（64a+57）+1. ①同样地，由图4-3中的短除式可得，以17为除数的第一次商是（17×2a+15），所求的自然数就是17 (17×2a+15)+4．②由于①、②两式表示的是同一个自然数，因此这两个式子相等，由此可得方程8(64a+57)+1=17 (17×2a+15)+4.解方程可得a=3因此所求的自然数就是17 (17×2a+15)+4=17×(17×6+15)+4=1993．5.数学老师从一个装有若干个红色和蓝色小球的口袋中取出1个红色小球后，袋中剩下的小球有17是红色小球；如果一开始从口袋中取出2个蓝色小球后，袋中剩下的小球就有15是红色小球，那么原来这个口袋中有多少个小球？答案：22个【解析】设原来这个口袋中有x 个小球，依题意得： ()()1111275x x -+=-解得x=22.所以原来这个口袋中有22个小球．6.给六年级五班的同学分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个，已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果．问：该班一共有多少名学生？答案：56名【解析】假设第二组有x 名学生，那么第一组、第三组、第四组学生的人数分别有2x 、（22-x ）、（22-x ）．由题意，总共分出去230个苹果，于是我们以苹果的总数作为等量关系列出方程：2x ×3+x ×4+(22-x ）×5+(22-x)×6=230, 化简得6x+4x+ll0-5x+132-6x=230. 求解得x=12.因此，该班学生的总数是2x+x+(22-x)+(22-x)=44+x=56人.7.甲、乙两车同时从A 、B 两地出发，相向而行，在A 、B 之间不断往返行驶，甲车到达B 地后，在B 地停留了2个小时，然后返回A 地；乙车到达A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B 地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A 、B 两地相距多少千米？答案：420千米【解析】设A 、B 两地相距x 千米，依题意，先求出乙车行驶的时间，减去2小时就是甲车行驶的时间，再乘以甲车的速度就等于甲车行驶的路程，列出方程如下：228826028840x x -⎛⎫-⨯=+⎪⎝⎭ 3432120288x x --=+2840x = 420x =所以A 、B 两地相距420千米．8.解下面的方程组：（1）1194913317x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）2113859y x x y -=⎧⎨-=⎩ （3）18293071628284x y x y +=⎧⎨+=⎩答案：(1) x=2, y=3 (2) x=7, y=4 (3) x=9,y=5【解析】(1)先给方程组编号1194913317x y x y +=⎧⎨-=⎩①②注意到两个方程中y 的系数为9和3，9是3的倍数，因此该方程适合用加减消元法；将①+3×②，并化简得：50x=100 ③ 解③得：x=2．将x=2代人①解得：y=3．所以原方程组的解为：x=2, y=3(2)先给方程组编号2113859y x x y -=⎧⎨-=⎩①②不难看出，第一个方程中的x 很容易用y 来表示，因此该方程适合用代入消元法；由①得：x=2y-l ． ③将③代人②得：13(2y-1)-8y=59． ④ 解④得：y=4．将y=4代入③得：x=7．所以原方程组的解为：x=7, y=4.(3)先给方程组编号18293071628284x y x y +=⎧⎨+=⎩①②两方程的y 的系数相差l ，相减后y 的系数恰为1，因此可以先用两式相减，再用代入消元法来求解；由①-②得：2x+y=23. ③ 由③得：y=23-2x ．将y=23-2x 代入②得：16x+28(23-2x)=284. ④ 解④得：x=9．将x=9代入y=23-2x 得：y=5． 原方程组的解为：x=9,y=59.商店里有大盒、中盒、小盒共27盒筷子，其中大盒中装有18双筷子，中盒中装有12双筷子，小盒中装有8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍．问：三种包装的筷子各有多少盒？答案：大盒数9，中盒数6，小盒数12【解析】设中盒数量为x ，则小盒数量是2x ，两者加在一起为3x ，因此大盒的数量为27-3x ．根据筷子总数为330，我们列出方程：()281227318330x x x ⨯+⨯+-⨯=将其化简整理可得()2818273330x x +-=解得x=6． }所以中盒数为x=6，小盒数为2x=12，大盒数为27-3x=9．10．甲、乙两人从柜距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先出发2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先出发2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问：甲、乙两人每小时各走多少千米？答案：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米【解析】假设甲每小时走x 千米，乙每小时走y 千米．我们以两次行走的总路程为等量．列出方程：()()2 2.5362336x x y y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 即：95723536x y x y +=⎧⎨+=⎩①②用①式减去②式，得：6x=36，即：x=6．把x=6代入②式，得：5y=18，即：y=3.6因此甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米.11.一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡．如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡．如果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加50克砝码，两边才能平衡，问：白球、黑球每个各重多少克？答案:每个白球重20克，每个黑球重15克【解析】设白球每个重量是x 克，黑球每个重量是y 克.第一次调整，右盘减少了一个白球，增加了两个黑球，所以变化量为2y-x ，而右盘增加了一个白球、一个20克的砝码，并减少了两个黑球，因此变化量为x-2y+20．由于天平仍然维持平衡，因此变化量相等，因此有方程：2022x y y x +-=-用同样的方法，我们可以利用第二次调整过程，列出第二个方程：2250x y y x -=-+将这两个方程联立，即得方程组：20222250x y y x x y y x +-=-⎧⎨-=-+⎩ 解这个方程组可得:x=20,y=15因此每个白球的重量是20克，每个黑球的重量是15克.12．奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．墨莫买了一个大号的、三个中号的和两个小号的，共花了360元；小高买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；卡莉娅买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元，请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少元？答案:大号80元，中号60元，小号50元【解析】设奥运指定商品零售店里大号、中号和小号福娃的单价是x 元,y 元，z 元.由题意，容易列出以下方程组：32360227022300x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③ 解三元一次方程组的方法还是消元，消去一个未知数，使其变为二元一次方程组．本题可以利用代入消元法求解：①式可转化为x=360-(3y+2z)，将该式代 入②式和③式，得到以下二元一次方程组：()()2360322703603222300y z y z y z y z ⨯--++=⎧⎪⎨--++=⎪⎩解之得到y=60和z=50.为进一步求出x ，我们利用①式的变形x=360-(3y+2z)，再将上面求出的y 、z 代入该式即可得到x=80．最终方程组的解为x=80，y=60，z=50即大号、中号、小号福娃的单价分别是80元、60元、50元．13.如图4-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向下滑动了一段距离，现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木板的长度吗？答案:250厘米【解析】假设木板下滑后的高度是x 厘米，那么开始时的高度就是(x+90)厘米，由勾股定理，开始时木板长度的平方就是：702+(x+90)2，下滑后木板长度的平方就是：(130+70)2+x 2.由于两个式子表示的是同一块木板，因此有方程：()()2222709013070x x ++=++ 这是一个二次方程，但是把括号拆开就很容易看出含有x 2的项抵消了：4900+180x+8100=40000剩下的就是180x=27000即：x=150因此木板下滑后的高度是150厘米.把x=150代人(130+70)2+x 2，得：(130+70)2+x 2=2002+1502=2502.所以木板的长度就是250厘米.14.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17岁．问：这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？答案:18【解析】设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为a 、b 、c 、d ，我们根据题意列出方程，得到一个四元一次方程组：293233213173b c d a a c db a b dc a b cd ++⎧+=⎪⎪++⎪+=⎪⎨++⎪+=⎪⎪++⎪+=⎩ 先别着急用代入消元法计算，我们来看看方程组有什么特点．每个方程未知数的系数都是一个1和3个13，方程的形式都相同，但未知数循环出现．我们可以根据这个特点，用加减消元法计算．首先把这四个方程相加得：()113292321173a b c d ⎛⎫+⨯⨯+++=+++ ⎪⎝⎭将其化简可得：a+b+c+d=45． ⑤把①式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3a-a=29×3-45，即a=21;把②式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3b-b=23×3-45，即b=12；把③式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3c-c=21×3-45，即c=9；把④式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3d-d=17×3-45，即d=3．因此，这四个人的年龄分别是21、12、9、3，其中最大年龄与最小年龄的差是21-3=18.事实上，我们可以把方程组变形，得：22933223332213321733a a b c d b a b c d c a b c d d a b c d +++⎧+=⎪⎪+++⎪+=⎪⎨+++⎪+=⎪⎪+++⎪+=⎩ 很显然，在a 、b 、c 、d 四个数中，最大的是a ，最小的是d ．把第一个式子与第四个式子相减，就可以得到()229173a d -=-，解得a-d=18，也可以得到问题的结果．超越篇：1.丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：2536704x y x y +=⎧⎨+=⎩其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了．甲计算得出方程的解是7x =，3y =；而乙误把“2536”看作“1536”，得到的解是4x =，4y =．试问：方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？答案:38【解析】设方程组的四个系数依次是a 、b 、c 、d ，即2536704ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩甲没有看错数，得出方程组的解是x=7，y=3，代入方程组：73253673704a b c d +=⎧⎨+=⎩乙误把“2536”看作“1536”，得出方程组的解是x=4，y=4代入方程组：44153644704a b c d +=⎧⎨+=⎩ 将上述4个方程重新组合可得:732536441536a b a b +=⎧⎨+=⎩①②7370444704c d c d +=⎧⎨+=⎩③④先解①、②两式组成的方程组，得到解为34638a b =⎧⎨=⎩再解③、④两式组成的方程组，得到44132c d =⎧⎨=⎩ 比较a 、b 、c 、d 这四个系数的大小，可知其中最小的系数是38.2.幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人．老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣．结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣，问：三个班总共分了多少个枣？答案:673个【解析】设乙班人数为x ，则甲班人数和丙班人数分别是(x+4)和(x-4)人，再设乙班小孩每人分y 个枣，则甲班和丙班每个小孩分到的枣的个数分别为(y-3)和(y+5)个，将这些条件整理成表格如下所示：再根据甲、乙、丙三个班总枣数的差，可以列出方程：()()()()433455x y xy xy x y +--=⎧⎪⎨--+=⎪⎩①②接下来化简方程 ①式左端()()43x y xy =+--()()()43443124312x y x xyxy y x xy y x =+-+-⎡⎤⎣⎦=+---=--类似的，②式左端4520y x =-+这样①、②两方程就化简为43155415y x x y -=⎧⎨-=⎩①②①式与②式相加消去y ，即得2x=30,所以x=15．把x=15代入①式，即得y=(15+3x)÷4=15．于是甲、乙、丙3个班人数分别是19、15、11，每个人分到的枣的个数分别是12、15、20，共分到枣数为19×12+15×15+11×20=228+225+220=673个．3.下表显示了一次钓鱼比赛的结果：已知：①冠军钓到15条鱼；②钓到3条或3条以上的选手平均每人钓到了6条鱼；③钓到12条或者12条以下的选手平均每人钓到了5条鱼．请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓到了多少条鱼？答案:共有175名选手参赛，共钓到943条鱼【解析】设钓鱼数在3到12条的人数有x 人，共钓了y 条鱼．则钓了3条或3条以上的所有选手有x+5+2+1=x+8人，他们一共钓了y+13×5+14×2+15×1= y+108条鱼；钓了12条或者12条以下的选手有x+9+5+7=x+21人，他们一共钓了y+0×9+1×5+2×7=y+19条鱼；钓鱼的总人数为(9+5+7)+(x+8)=x+29人，他们共钓了(0×9+l ×5+2×7)+(y+108)=y+127条鱼.根据所给的条件②和③，我们可以列出方程组：()()6810852119x y x y +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得：146816x y =⎧⎨=⎩所以钓鱼的总人数为x+29=175人，他们一共钓了y+127=943条鱼.4.A 、B 两地相距2400米．甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B 地，乙又继续行进50分钟到达A 地．请问：甲比乙每分钟多走多少米？答案:20米【解析】我们不妨设甲、乙分别从A 、B 两地同时出发相向而行要花x 分钟相遇，则分析题中的条件可以知道：甲x 分钟走的路程乙要花50分钟走完，甲18分钟走的路程乙要花x 分钟走完．由路程固定时速度与时间成反比，因而有 50=18x x =甲速乙速 交叉相乘得x 2=900，所以x=30;而505=303=甲速乙速． 另外根据相遇问题速度公式，甲速十乙速=2400÷30=80，再根据甲乙速度的比例关系，我们可以求得两人的速度分别为每分钟50米和30米，因此甲比乙每分钟多走20米．5.甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运5次；如果一起运，各运6次就刚好运完．问：甲车单独运要几次运完？答案:10次【解析】我们设搬运这堆货物的总工作量是1，并设甲单独运需要x 次，则乙单独运需要(z+5)次，这样甲、己两人的工作效率分别是1x 和15x +，两人一起运，各运6次刚好可以运完，所以 6615x x +=+ ① 两边同时乘以x ×(x+5)=x 2+5x ，得到()263065x x x x ++=+ ，移项便得()23077x x x x =-=⨯- ②x 是整数，需要把30分解为两个差为7的整数的乘积，将30分解质因数可知30=2×3×5=3×(2×5)=3×10.由此可以直接解出x=10，并且容易看出满足该方程的自然数只能有这一个． 于是甲单独运这批货物共需要10次．6.一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以2，末项乘以2，这些数的平均数就增加了7；如果把首项乘以2，末项除以2，平均数就少了2．已知这个等差数列中所有数的和等于245，求这个数列的末项．答案:56【解析】设数列的首项和末项分别为a 、b,项数为n.把“首项除以2，末项乘以2”，则总量增加了一个末项，减少了半个首项，因此变化量为增加12b a -；而“平均数增加7”意味着数列总和增加7n ，因此 172b a n -= ① 把“首项乘以2，末项除以2”说明数列综合变化为增加一个首项，减少半个末项，而总的变化量是减少，这说明减少的比增加的多。

第4讲应用题（一）例题1、某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。

每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？1、百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。

如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？2、新华小学买了两张桌子和5把椅子，共付款195元。

已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍，每张桌子多少元？3、王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付款156元。

已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。

每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？例题2、一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。

问：油和桶各重多少千克？1、一筐梨，连筐重38千克，吃去一半后，连筐还有20千克。

问：梨和筐各重多少千克？2、一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送给一年级小朋友，余下的苹果连筐重11千克。

这筐苹果重多少千克？3、一只油桶里有一些油，如果把油加到原来的2倍，油桶连油重38千克；如果把油加到原来的4倍，这里油和桶共重46千克。

原来油桶里有油多少千克？例题3、有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。

原来每盒茶叶有多少克？1、有6筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个，6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。

原来每筐有多少个？2、在5个木箱中放着同样多的橘子。

如果从每个木箱中拿出60个橘子，那么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。

原来每个木箱中有多少个橘子？3、某食品店有5箱饼干，如果从每个箱子里取出20千克，那么5个箱子里剩下的饼干正好等于原来3箱饼干的重量。

原来每个箱子里装多少千克饼干？例题4、一个木器厂要生产一批课桌。

原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。

原计划要生产多少张课桌？1、电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产90台，可以按期完成。

第4讲应用题（一）一、知识要点解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。

二、精讲精练【例题1】某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。

每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？练习1：（1）百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。

如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？（2）新华小学买了2张桌子和5把椅子，共付款195元。

已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍，每张桌子多少元？【例题2】一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。

问：油和桶各重多少千克？练习2：（1）一筐梨，连筐重38千克，吃去一半后，连筐还有20千克。

问：梨和筐各重多少千克？（2）一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送给一年级小朋友，余下的苹果连筐重11千克。

这筐苹果重多少千克？【例题3】有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。

原来每盒茶叶有多少克？练习3：（1）有6筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个，6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。

原来每筐有多少个？（2）在5个木箱中放着同样多的橘子。

如果从每个木箱中拿出60个橘子，那么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。

原来每个木箱中有多少个橘子？【例题4】一个木器厂要生产一批课桌。

原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。

原计划要生产多少张课桌？练习4：（1）电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产90台，可以按期完成。

实际每天多生产5台，结果提前1天完成任务。

这批电视机共有多少台？（2）小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每天多看8页，结果提前2天看完。

第4讲分数加减法2023年小升初数学常规应用题高频易错题汇编（通用版）真题汇编一．应用题1．三（5）班共有45位同学。

据统计，其中有25的同学参加学校素质托管班，有15的同学参加基础托管班。

请问三（5）班参加基础托管班和素质托管班的同学共占全班同学的几分之几？2．一张纸的310涂黄色，110涂红色，剩下的涂蓝色。

涂蓝色的部分占这张纸的几分之几？3．学校要修建操场，足球场占操场的12，篮球场占操场的310，跑道占操场的15。

球场部分比跑道部分多占操场的几分之几？4．学校购进一批书，其中38是文艺书，25是科技书，其余为故事书。

科技书比文艺书多的本数占这批图书的几分之几？5．一条绳子，截去了710米。

剩下的比截去的多25米。

这条绳子有多长？6．曲妍周日练习吉他43小时，比练习绘画多16小时，她周日练习吉他和绘画一共多少小时？7．五（1）班同学去革命老区参观，共用去8小时．其中路上用去的时间占14，吃午饭与休息时间共占38，剩下的是游览时间，游览的时间占几分之几？8．光谷一个筑路队修筑一条公路，第一天修了这条公路的16，第一天比第二天少修了全长的112，两天共修了这条公路的几分之几？9．小学生每天在校集中学习时间不能超过6小时．刘强在校学习语、数学科的时间占2 5，参加体育活动时间占16，其余是学习其它学科时间．刘强学习其它学科时间占几分之几？10．李伯伯家有块菜地，这块菜地的15种了西红柿，25种了黄瓜。

这块菜地还剩几分之几？11．春天到了，农民伯伯给果树浇水。

上午浇了所有果树的715，下午浇了所有果树的13，一共浇了所有果树的几分之几？12．有一个果园的总面积是127公顷，其中桃树占13，梨树占524，其余的地种了苹果树。

苹果树占总面积的几分之几？13．一块地有23公顷，其中25种小麦，14种玉米，剩下的用来种蔬菜，种蔬菜的面积占这块地的几分之几？14．在一节体育课中，做准备运动的时间占15，游戏时间占310，剩下的是训练时间。

第四讲分数应用题转化单位“ 1、知识梳理分数应用题研究的是数与量的对应关系，确定单位“ 1”是解答分数应用题的关键。

当问题中有多个分率，且这些分率单位“ 1”不同时，要分析不变量，将单位“ 1 ”进行统这种方法叫转化单位“ 1”、方法归纳1. 总量不变，转化为以总量为单位“1”，一种量不变，以不变的量为单位“ 1”，差量不变，以差量为单位“ 1 ”。

2. 在转化的过程中，注意分率与比之间的转化，注意“份数”思想。

三、课堂精讲例1.修路队修一条公路，第一天修了这条公路的-，第二天修了余下的-，已知这两天5 3共修路120米，这条公路全长多少米？【规律方法】总量不变，以总量（这条公路）为单位“。

1【搭配课堂训练题】 【难度分级】A看了 20页，这本书共有多少页?2. 运送一堆水泥，第一天运了这堆水泥的运，这堆水泥有多少吨？例2. （2013天河省实）某校六年级有三个班，在为 4.20雅安地震献爱心的活动中，一班22的捐款数是二、三班捐款数之和的一，二班的捐款数是一、三班捐款数之和的一，已知三35班的捐款数比一班少 180元，问三个班共捐款多少元？ 【规律方法】三个班捐款总量不变，以总量为单位“1 ”。

【搭配课堂训练题】 【难度分级】B13.甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的 -211乙队筑的路是其他三个队的 -，丙队筑的路是其他三个队的一 丁队筑了多少米？1. 小方三天看完一本书，第一天看了全书的1，第二天看了余下的:第二天比第一天多1 一 2，第—天运的是第一天的，还剩84吨没有433 4 '4例3 .兄弟两人各有人民币若干元，其中弟的钱数是兄的，若弟给兄4元，则弟的钱数52是兄的3，求兄弟两人原来各有多少元？【规律方法】在变化过程中，不变的是两人总钱数，以总钱数为单位“14. 小明看一本课外读物，读了几天后，已读的页数是剩下页数的-后来他又读了20页81这时已读的页数是剩下页数的-，这本课外读物共有多少页?615. 王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的，后来从合格产品中又发现了2个不19合格产品，这时算出产品的合格率是94%。

四年级奥数重点常考第四讲解决问题（一）分层练习基础卷1、菜市场运来1520千克蔬菜，分别装在24个大筐和40个小筐中，已知两个大筐装的蔬菜和3个小筐装的蔬菜一样多。

每个大筐和每个小筐分别能装多少千克？答案：每个小筐装：1520÷（24÷2×3＋40）＝20（千克）每个大筐装：20×3÷2＝30（千克）2、一瓶油，连瓶重46千克，把油加到原来的3倍，连瓶重86千克。

原来瓶中有油多少千克，瓶重多少千克？答案：原来：一瓶油+瓶=46千克加入原先三倍的油：三瓶油+瓶=86千克86-46=40千克（两倍的油）40/2=20千克（一倍的油）46-20=26千克（油瓶的重量）3、一筐苹果，连筐共120千克，先卖出苹果的一半，再卖出剩下的一半，剩下的苹果连筐共39千克。

原来筐里有苹果多少千克？答案：(39x2x2一120)÷3=12 筐120一12=108千克4、有8盒糖果，如果从每盒中取出200克，那么8盒剩下的糖果质量正好等于原来4盒的质量。

原来每盒糖果多少克？答案：200×8÷（8-4），=200×8÷4，=400（克）．答：原来每盒糖果400克．5、某超市有5筐大米，如果从每个筐中取出60千克．那么5个筐里剩下的大米正好是原来的3筐。

原来每个筐里装多少千克大米？答案：60x5÷（5-3）=300÷2=150（千克）6、有6筐梨，每筐梨的个数相等。

如果从每筐中取出30个。

那么6筐梨剩下的个数的总和比原来2筐梨多24个，原来每筐有梨多少个？答案：每筐取出30个,6筐梨剩下的个数的总和比原来两筐梨多24个。

第4讲巧解盈亏应用题方法和技巧分配某种物品，分配者一定，被分配的物品数一定，两种分配方案的结果会出现“盈”（余）或“亏”（不足），求分配者数和被分配物品数，这类问题叫盈亏问题。

常用方法：总差额÷每人（或每件的差额）＝人数（或件数）A级基础点睛【例1】小波从家去体育馆参加比赛，先以50米每分钟的速度走了4分钟后，发现这样走下去要迟到3分钟；后来他改用65米每分钟的速度前进，结果提前3分钟到达。

问：小波家和体育馆相距多少米？做一做1 动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。

问：猴山有猴多少只？共买来多少个桃？做一做2 农民种树，其中有3人分得树苗各4棵，其余每人分得3棵，这样最后余下树苗11棵，如果1人先得3棵，其余的每人分得5棵，则树苗恰好分尽。

求人数和树苗的总数各是多少？B级更上层楼【例3】某中学买了一批英文打字机，分给高中三年级各班。

其中两个班各分6台，其余各班分3台，则多6台；如果有一个班分7台，其余各班分5台，则还差12台。

问：学校买来了多少台打字机分给多少个高中三年级的班？做一做3 农民锄草，其中5人每人锄4公顷，余下的人每人锄3公顷，这样分配最后还余下26公顷无人锄；如果其中3人每人锄3公顷，余下的人每人锄5公顷，最后还余下3公顷。

求锄地面积和人数各是多少？【例4】聪聪用10元钱买了3支圆珠笔和7个练习本，剩下的钱若买一支圆珠笔就少0.14元，若买一个练习本还多0.8元。

问：一支圆珠笔的售价为多少元？做一做4小明用2元钱买了5支铅笔和8块橡皮，余下的钱买一支铅笔就缺4分，买一块橡皮就多出2分。

问：每支铅笔的价格是多少？【例5】箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2个。

每次从箱子里取出7个白球和15个红球，经过若干次后，箱子里还剩下3个白球和53个红球。

问：箱子里原有的红球比白球多多少个？做一做5 苹果和梨各有若干个，如果5个苹果和3个梨装一袋，则还多4个苹果，梨恰好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，则苹果恰好装完，梨还多12个。

第4讲应用题（一）一、知识要点解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。

二、精讲精练【例题1】某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。

每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？练习1：（1）百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。

如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？（2）新华小学买了2张桌子和5把椅子，共付款195元。

已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍，每张桌子多少元？【例题2】一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。

问：油和桶各重多少千克？练习2：（1）一筐梨，连筐重38千克，吃去一半后，连筐还有20千克。

问：梨和筐各重多少千克？（2）一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送给一年级小朋友，余下的苹果连筐重11千克。

这筐苹果重多少千克？【例题3】有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。

原来每盒茶叶有多少克？（1）有6筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个，6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。

原来每筐有多少个？（2）在5个木箱中放着同样多的橘子。

如果从每个木箱中拿出60个橘子，那么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。

原来每个木箱中有多少个橘子？【例题4】一个木器厂要生产一批课桌。

原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。

原计划要生产多少张课桌？（1）电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产90台，可以按期完成。

实际每天多生产5台，结果提前1天完成任务。

这批电视机共有多少台？（2）小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每天多看8页，结果提前2天看完。

第四讲百分数应用题(一)知识点：百分数应用题的解题关键是找准单位“1”。

①.单位“1”的量已知，用乘法计算。

如：200的50%是多少？200×50%=100②.单位“1”的量未知，用除法计算。

如：（）的50%是100？100÷50%=200③求一个数是另一个数的百分之几用除法计算。

如：100是200的百分之几？100÷200=50%求比一个数增加百分之几的数是多少？如：比24增加20%的数是多少？列式为： 24×（1＋20%）=28.8例1、建造一栋楼房，计划投资100万元，实际超用了10%，实际投资了多少万元？练习、学校图书室原有图书1400册，今年图书册数增加了20%。

现在图书室有多少册图书？求比一个数减少百分之几的数是多少？如：比40减少10%的数是多少？列式为：40×（1－10%）=36例2建造一栋楼房，计划投资100万元，实际节约了10%，实际投资多少万元？练习、一件衣服原价200元，现在降价20%现价（）元。

已知一个数增加百分之几是多少，求这个数如：（）增加20%是24列式为：24÷（1＋20%）=20例3、建造一栋楼房，用了110万元，比计划超出10%，计划投资多少万元？练习、某市现有出租车4800辆，比去年增加了20%，去年有出租车多少量？已知一个数减少百分之几是多少，求这个数如：（）减少20%是40列式为：40÷（1-20%）=50例4、建造一栋楼房，用了90万元，比计划节约了10%，计划投资多少万元？练习、一个工厂由于采用了新工艺，现在每件产品的成本是378元，比原来降低了10%，原来每件产品的成本是多少元？求一个数是另一个数的百分之几如：一个比20多10的数，比20多（）%，列式为：10÷20×100%=50%例5：光明村今年每百户拥有彩电120台，比去年增加36台，今年比去年增长了百分之几？求一个数比另一个数多百分之几如:8比5多百分之几?﹝(8-5)÷5﹞×100%=60%例6：炼钢厂8月份生产钢材8万吨，9月份生产钢材10万吨。

第4讲三位数乘两位数（思维导图+知识锦囊+典例精讲+真题演练）【思维导图】【知识锦囊】【典例精讲】【典例一】红星小学四年级学生去公园游玩，一班48人，二班52人，三班46人，为了节约费用，三个班合起来购票，共需多少元？兴庆公园的游园票价规定如下表：购票人数/人1~50 51~100 100以上每人票价/人23 20 16【分析】先计算出三个班的总人数，然后根据“单价×数量＝总价”计算出三个班合买需要的钱即可。

【详解】48＋52＋46＝100＋46＝146（人）146×16＝2336（元）答：三个班合起来购票，共需2336元。

【点评】此题考查的是经济问题的计算，熟练掌握总价、单价、数量之间的关系是解答此题的关键。

【典例二】某单位组织26名劳模从当地出发去九寨沟旅游，汽车平均每小时行驶105km，需要12小时到达。

（1）从当地到九寨沟的路程有多少千米？（2）如果他们国庆节去旅游，比元旦节去要多花门票费多少钱？【分析】（1）路程＝数量×时间，代入计算即可。

（2）国庆节时每张门票220元，元旦节时每张门票80元。

先求出国庆节时每张门票比元旦时每张门票贵的钱数。

再根据总价＝单价×数量解答即可。

【详解】（1）105×12＝1260（千米）答：从当地到九寨沟的路程有1260千米。

（2）（220－80）×26＝140×26＝3640（元）答：如果他们国庆节去旅游，比元旦节去要多花门票费3640元。

【点评】熟练掌握公式路程＝速度×时间以及公式总价＝单价×数量，灵活运用公式解决问题。

【典例三】两个数相乘，若是一个因数增加3，另一个因数不变，积就增加90，若是另一个因数减少6，前一个因数不变，积就减少120，原来两个数的乘积是多少？【分析】两个数相乘，一个因数增加3，积就增加了3个另一个因数，90就是另一个因数的3倍，从而求出另一个因数．另一个因数减少6，则积减少了6个第一个因数，120就是第一个因数的6倍，求出第一个因数，最后求出两个因数的乘积．【详解】90÷3＝30120÷6＝2030×20＝600答：原来两个数的乘积是600．【典例四】王老师要买24套教具，下面是营业员列出的一张表格：（1）请你帮营业员把表格填完整。

第4讲应用题（一）一、知识要点解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。

二、精讲精练【例题1】某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。

每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？练习1：（1）百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。

如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？（2）新华小学买了2张桌子和5把椅子，共付款195元。

已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍，每张桌子多少元？【例题2】一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。

问：油和桶各重多少千克？练习2：（1）一筐梨，连筐重38千克，吃去一半后，连筐还有20千克。

问：梨和筐各重多少千克？（2）一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送给一年级小朋友，余下的苹果连筐重11千克。

这筐苹果重多少千克？【例题3】有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。

原来每盒茶叶有多少克？（1）有6筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个，6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。

原来每筐有多少个？（2）在5个木箱中放着同样多的橘子。

如果从每个木箱中拿出60个橘子，那么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。

原来每个木箱中有多少个橘子？【例题4】一个木器厂要生产一批课桌。

原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。

原计划要生产多少张课桌？（1）电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产90台，可以按期完成。

实际每天多生产5台，结果提前1天完成任务。

这批电视机共有多少台？（2）小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每天多看8页，结果提前2天看完。

第四讲 分数应用题一、量率对应 解答分数应用题首先应从分率入手找出单位“1”的量，如果单位“1”的量已知则用乘法解，如果单位“1”的量未知，则用除法解。

（1）已读了多少页例1一本书30页，已读了52， （2）还剩下多少页)（3）已读的比剩下的少多少页全书的分率：（ ）；已读的分率：（ ） 剩下的分率：（ ）；已读比剩下少的分率：（ ）·练习1（1）白花多少朵红花有60朵，白花比红花多61， （2）白花比红花多多少朵（3）两种花一共有多少朵 、红花的分率：（ ）；白花的分率：（ ）； 白花比红花多的分率；（ ）；两种花一共的分率：（ ）例2一辆汽车4小时行了全程的31，照这样的速度，再行几小时到达【练习2：六（1）班，男生比女生少8人，女生比男生多31，全班多少人&例3 小红看一本小说，第一天看总页数的121还多19页，第二天看的比总页数的81少17页，还余下93页，这本书共多少页！练习3 …一批木料，先用去总数的52，又用去总数的94，这时用去的比剩下的多21方，这批木料共多少方《二、抓不变量：解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变量，把不变的量看做单位1,将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位1的几分之几，再列式解答。

例1：晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的41，第二天看了的52，第二天比第一天多看了15页。

这本书共有多少页.练习1：有一批货物，第一天运了这批货物的41，第二天运的是第一天的53，还剩90吨没有运。

这批货物有多少吨例2：甲数是乙数的32，乙数是丙数的43，甲、乙、丙的和是216。

甲、乙、丙各是多少;练习2： >甲数是乙数的65，乙数是丙数的43，甲、乙、丙的和是152。

甲、乙、丙各是多少例3：牛的头数比羊的头数多20%，羊的头数比牛的头数少几分之几、，练习3：甲仓存粮的吨数比乙仓的少25%，乙仓存粮的吨数比甲仓多几分之几￥例4：某工厂有三个车间，第一车间的人数占总人数的41，第二车间人数是第三车间的43。

第4讲应用题（一）一、知识要点解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。

二、精讲精练【例题1】某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。

每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？练习1：（1）百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。

如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？（2）新华小学买了2张桌子和5把椅子，共付款195元。

已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍，每张桌子多少元？【例题2】一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。

问：油和桶各重多少千克？练习2：（1）一筐梨，连筐重38千克，吃去一半后，连筐还有20千克。

问：梨和筐各重多少千克？（2）一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送给一年级小朋友，余下的苹果连筐重11千克。

这筐苹果重多少千克？【例题3】有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。

原来每盒茶叶有多少克？（1）有6筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个，6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。

原来每筐有多少个？（2）在5个木箱中放着同样多的橘子。

如果从每个木箱中拿出60个橘子，那么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。

原来每个木箱中有多少个橘子？【例题4】一个木器厂要生产一批课桌。

原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。

原计划要生产多少张课桌？（1）电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产90台，可以按期完成。

实际每天多生产5台，结果提前1天完成任务。

这批电视机共有多少台？（2）小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每天多看8页，结果提前2天看完。

学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题简单应用题教学内容1．能运用“工作效率、工作时间与工作量”这组数量关系解决简单实际问题；2．能列综合算式表达正推的过程，并解决一些简单实际问题；3．结合树状算图运用“综合——分析法”分析应用题的数量关系，能正确运用“综合——分析法”解决一些实际问题。

（此环节设计时间在10-15分钟）案例1：根据以下条件，自己设置问题并列式计算修一段长1500米的公路，计划60天完成，实际每天比计划多修5米。

教法指导：让学生相互之间讨论，根据已知条件能够求出哪些量。

参考答案：（1）计划每天修多少米？1500÷60＝25（米）（2）实际每天修多少米？1500÷60＋5＝30（米）（3）实际多少天完成？1500÷(1500÷60＋5)＝50（天）（4）实际比计划提前几天完成？60－1500÷(1500÷60＋5)＝10（天）案例2：先找出各题中不同的地方，再解答。

(1)小巧借来一本科幻小说，共108页，计划9天看完，实际6天就看完了，实际每天比计划多看几页？(2)小巧借来一本科幻小说，共108页，计划9天看完，实际提前3天看完，实际每天比计划多看几页？(3)小巧借来一本科幻小说，计划每天看12页，9天看完，实际6天就看完了，实际每天比计划多看几页？(4)小巧借来一本科幻小说，共108页，计划9天看完，实际每天看18页，实际每天比计划多看几页？参考答案：(1)6页(2)6页(3)6页(4)6页（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：张师傅3小时可以加工150个零件，照这样计算，8小时可以加工多少个零件？要加工350个零件，需要用多少小时？教法指导：先求张师傅的工作效率（每小时做多少个），再进行计算。

1密度——题型：应用题一. 基础题1. 一个空瓶的质量是 0.3kg ，装满水后称的总质量是 0.8kg 。

现将水全部倒出，在该瓶中装满某种液体，称得瓶和液体的总质量是 0.75kg 。

求：（1） 这个瓶子的容积。

（500cm3 ）（2） 该液体的密度。

（0.9g/cm3）2. 一空瓶质量 200 克，装满水后总质量为 700 克，现向一空瓶内装一些金属颗粒，使瓶和金属质量共为 1000 克，然后再向瓶内灌满水，用天平测得此时的总质量为 1410 克。

求瓶内金属的密度。

（8.9 ×103kg/m 3）（保留小数点后一位）3. 一水桶内结满了冰，且冰面恰好与桶口相平，此时冰与桶的总质量为 22kg ，当冰完全融化后， 需要向桶内倒入 2L 的水，水面才正好与桶口相平，求桶的容积与桶的质量。

（冰的密度为 0.9×103kg/m3） （20L 、4kg ）二. 中档题1. 两种金属的密度分别为ρ1，ρ2，取质量相同的这两种金属做成合金，试证明合金的密度是多少？2ρ1ρ2（ ρ1 + ρ2 ）（假设混合过程中体积不变）2. 铁、铝、铜三个金属块的体积相同，铁块和铝块的质量之和是 31.8kg ，求铜块的质量。

（26.7kg ） （ρ铁＝7.9×103kg/m3，ρ铝＝2.7×103kg/m3，ρ铜＝8.9×103kg/m3 ）3.把质量相等的水、水银一起倒入横截面积为S 的圆柱形容器中，如果液体的总高度为73cm。

则其中的水银柱高 5 cm。

（注：水银的密度是13.6g/cm3）4.石油可以用油罐车来运输，它的密度是0.85×103kg/m3，如果每节油罐车的容量是80m3，运输2000t 石油需多少节油罐车？（30 节）5.一只杯子装满水后的总质量m1=200g，放入石子后，杯子、水、石子的总质量m2=215g，取出石子后，水和杯子的质量m3=190g，求石子的密度。

五年级数学上册应用题专项讲义（人教版）第4讲可能性（含解析）第4讲可能性（思维导图+知识锦囊+典例精讲+真题演练）【思维导图】【知识锦囊】【典例精讲】【典例一】在横线上填上“一定”“不可能”“可能”太阳_____从东边升起；明天_____会下雨；小猪_____飞起来．【答案】一定可能不可能【典例二】一天晚上10时25分天下起雨来，小明说：“据天气预报，23小时后雨过天晴，我们就可见到太阳了．”你同意小明的说法吗？为什么？【答案】不同意，因为23小时后是晚上9时25分，也不可能出太阳．【典例三】一个箱子里面有：20个红球、10个蓝球、5个白球。

请回答：摸出什么球的可能性最大？可能摸到紫色的球吗？【分析】由题意：任意摸出一个球，红球、蓝球和白球都有被摸出的可能，数量多的被摸到的可能性要大，数量少的可能性就小，因为箱子里面没有紫色球，所以不可能摸出紫色球。

【详解】20＞10＞5答：摸出红球的可能性最大，箱子里面没有紫色球，所以不可能摸到紫色的球。

【点评】本题考查了可能性问题，三种颜色的球，都有被模到的可有性，数量多的，摸到的可能性较大，反之，较少。

【典例四】盒子中装有8个红球、5个黄球、5个蓝球，要使摸到红球、黄球、蓝球的可能性都一样，应该怎么办？【分析】根据题意，要使摸到红球、黄球、篮球的可能性一样，盒子里的三种颜色的球的数量一样多，盒子里有8个红球，黄球也要有8个，篮球也要有8个，已知盒子里有红球和篮球各5个，用红球的个数减去黄球的个数，即需要增加几个黄球，用红球的个数减去篮球的个数，即需要增加几个篮球；或把红球的个数等于黄球的个数，用红球的个数减去黄球的个数，就是减去红球的数量，据此解答。

【详解】根据分析可知：增加：黄球个数：8－5＝3（个）篮球个数：8－5＝3（个）减少：红球：8－5＝3（个）如果使摸到红球、黄球、蓝球的可能性都一样，可以放入3个黄球，3个篮球；也可以拿出3个红球，这样摸到的红球、黄球和篮球的可能性一样。