人教版数学必修二1.3球的体积和表面积18PPT课件
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高中数学必修2《球的体积和表面积》课件
教学目标
1.掌握球的体积、表面积公式及其应用. 2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用
数学的能力. 3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”
与“外切”的几何体问题.
重点难点
教学重点
球的体积和表面积的计算公式的应用
教学难点
解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题
R
R O
R
R O
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面
设平行于大圆且与大圆的距离为 l 的平面截半球所得圆
面的半径为r,则r R2 l2 ,则截面面积 S1 πr 2 π(R2 l 2 )
设圆大环半径为R小圆半径为 l，面积 S2 πR2 πl2
所以 S1 S2
R
R
l lR
O
s3
s2
R
s1
O
V球
4
3
R3
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
...
1 3
R(S1
S2
S3
...)
1 3
RS球表
S球表=4πR2
s3 s2
R s1
O
知识要点
球的体积公式：
V 4 πR3 3
思考：球的体积、表面积的 求解由哪个量来决定的？
球半径R
球的表面积公式：
S 4πR2
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上.
1.掌握球的体积、表面积公式及其应用. 2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用
数学的能力. 3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”
与“外切”的几何体问题.
重点难点
教学重点
球的体积和表面积的计算公式的应用
教学难点
解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题
R
R O
R
R O
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面
设平行于大圆且与大圆的距离为 l 的平面截半球所得圆
面的半径为r,则r R2 l2 ,则截面面积 S1 πr 2 π(R2 l 2 )
设圆大环半径为R小圆半径为 l，面积 S2 πR2 πl2
所以 S1 S2
R
R
l lR
O
s3
s2
R
s1
O
V球
4
3
R3
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
...
1 3
R(S1
S2
S3
...)
1 3
RS球表
S球表=4πR2
s3 s2
R s1
O
知识要点
球的体积公式：
V 4 πR3 3
思考：球的体积、表面积的 求解由哪个量来决定的？
球半径R
球的表面积公式：
S 4πR2
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上.
高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
多得10分,是考试中最不该失分的地方.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
人教版数学必修2课件-球的体积和表面积
例2 圆柱的底面直径与高都等于球 的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比； (2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题 2. 教科书P.28 练习 第2题
一个正方体的 顶点都在球面上， 它的棱长是a cm， 求球的体积．
A
RO C
B
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
例1 有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
体积公式的应用.
1.3.2 球的体积 和表面积
复习引入
讲授新课
1．球的概念
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
人教版高中数学课件-球的表面积和体积
球的體積
已知球的半徑為R,用V表示球的體積.
A
A
r3
O
C2
r2
B2
O
r1
r1
R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2 . n
球的體積 A
ri
O
R (i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2, n. n
球的體積
1.3.2球的表面積和體積
球
人類的家－－地球
人類未來的家－－火星
探索火星的航太飛船
實際問題
如果用油漆去塗一個乒乓球和一個籃球，且塗 的油漆厚度相同，問哪一個球所用的油漆多？為 什麼？
實際問題
一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球， 球內的氣壓相同，若忽略球內部材料的厚度，則 哪一個球充入的氣體較多？為什麼？
(n
1) n (2n 6
1) ]
12 22 (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
6
R 3[1
1 n2
(n
1)(2n 6
1) ]
球的體積
1
1
(1 )(2 )
V半球 R 3 [1
n
n]
6
当n 时, 1 0. n
V半 球
2 R3
3
从而V 4 R3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
解： 3設球 2的 內徑是2xcm，那麼球的品質為：
7.9 4 50 517054 (g) 3
x 11239.42, 3
解得： x 22.4.
2x 44.8.
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
球的体积和表面积-课件
解:由图可知,半球的半径为4 cm,
圆锥的高为12 cm.
∴V半球 1443128cm3,
23
3
V圆锥 1 π·42·12=64π cm3, 3
64 128
3
∴冰激凌化了,不会溢出杯子.
题型三 综合问题
例3:正方体､等边圆柱(即底面直径与母线长相等的圆柱)､球 的体积相等时,哪一个表面积最小?
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/42021/3/4Marc h 4, 2021
C . 4
D . 6
解析:设正方体的棱长为a,依题意知,内切球的直径为a,∴
球的表面积S球=4π =6a2.
(a )2 a2
2
,正方体的表面积S正
∴S球:S正 . 6
答案:D
3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2 cm,则球的表 面积是( ) A.8π cm2B.12 πcm2 C.16 πcm2D.20 π cm2
10.如图,有一倒放着的轴截面为正三角形的圆锥形容器,内盛 有高为h的水,放入一个铁球后,上升后的水平面恰好和球相切, 求球面上的点到圆锥顶点的最小距离.
解:如图,作轴截面,设球半径为R,水面上升后锥体顶点到水面 的高度为x,则x=3R.由题意:V水+V球=V锥.
11.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方 形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
解:设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
人教版数学必修二课件：1-3-3球的体积和表面积
答案：C
图 10
这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
(2)(2019 年高三模拟)已知边长为 2 的正方形 BCDE 所在的平面与腰长为 3 的等腰
三角形 ABC 所在的平面垂直，若多面体 ABCDE 的各个顶点均在球面上，则该球的表
面积为( )
A．226π
B．113π
图5
C.238π
D.1183π
第一章 空间几何体
第三节 空间几何体的表面积与体积
第三课时 球的体积和表面积
目标导向
1．知识与技能 能运用球的表面积和体积公式解决实际问题． 2．过程与方法 直接给出球的体积与表面积公式，证明留待以后．求球的体积与表面积关键是求球 的半径． 3．情感、态度与价值观 通过利用球的体积与表面积公式解决实际问题，增强学生的数学应用意识．
知识导学
知识点 1 V 球＝43πR3(R 为球的半径) 知识点 2 S 球面＝4πR2
重点导析
重点：能灵活运用球的表面积和体积公式解决实际问题．
思维导悟
导悟 1 球的体积和表面积 【例 1】 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积． 【(3分)已析知】球的在体面积积为和5体 030积π公，式求中它，的共表面3 个积量．，半径 R 起着桥梁作用，知一可求二， 关键求半径 R. 【解】 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm. ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
图4
(2)球心 O 在 PE 上，AE＝2 2，PA＝2 11 设 PO＝OA＝R 在 Rt△AOE 中，R2＝(6－R)2＋(2 2)2 R＝131 S＝4πR2＝4849π 【答案】 (1)27π (2)B
人教版必修二数学课件：1.3 球表面积和体积 (共14张PPT)
y-3 y-2 y 3b y y1-y2 x1+x2 (x1+x2)(y1-y2) y1-y2 y-4 16 x1-x2 0-4 0-3 -4-2 -2 2 x-4 x1-x2 2
AM PC BB BB BB BB MN MN MN MN a b a b a b AB AB PA· PB=0 AB'×PC PB×PC AM PC m n m n BM· PC m· n EC· n PM· n | |· · · ① 则 sin=| 则cos = |m|· 则 d=| |· · · ① |· · · ① · · · ① |BM|· |PC| | n| |n| |PM|· |n| a· b · m| · y = y = B 甲= b= b= b=b= 则d=| AB · · ① | m| |a|· |b| 8 8 8 0 Lim 8 8 8 | -1 △x→∞ 5 2= x i i=1
例3. 两个平行的球小圆面积为49 和400 , 它们之间的距离为9, 求球的半径. r1 o1 A 2 解: r1 =49 => r1=7 r2 o2 B o r22=400 => r2=20
① O1O2=9 => O1O - O2O=9 R2 -72 - R2 -202 =9, R=25 ② O1O2=9 => O1O+O2O=9 R2 -72 + R2 -202 =9, 无解 r1 o1 A B
$5.球的表面积和体积
1. 球的表面积: S球=4 R2 4 2. 球的体积: V球= 3 R3
例1. ①圆柱形玻璃瓶的内径为6cm, 内装有 8cm 高的水, 浸入一个铁球后 水面升高到 8.5 cm, 求铁球的表面积.
3 r 解: V柱=V球 => R2h= 4 3 3 => r= 3 32· 0.5=4 r · 2 3 S球= 4 r2 =9 (cm2)
高中数学球的体积和表面积课件课件
V柱体 = S h
S `= S
V台体 =
h S + SS ` + S `
S `=
(
)
V锥体 =
Sh
运用类似的方法我们还能证实这样一个有趣的结论 : 一个底面半径和高都等于 R 的圆柱 , 挖去一个以上底 面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥后, 所得几何体的 体积与一个半径为R的半球的体积相等 (图 − − ). 由此得到 V球 = π R ⋅ R − π R R = π R , 所以
棱柱 (圆柱 )可由多边形 (圆)沿某一方向平移得到 ,因此 , 两个底面积相等、 两个底面积相等、高也 相等的棱柱 (圆柱 )应该具有相 等的体积 (图 − − ).
恒 恒 这一点可用祖日 原理来说明.有关祖日 原理的介绍见阅读材料 .
h
h
S
S
S
图 − −
柱体 (棱柱、圆柱 )的体积等于它的底面积S和高h的 积, 即 V柱体 = S h .
V= .
≈ .
(mm ) =
(个).
.
(cm ).
约有毛坯
. ×
÷( . × .
个.
)≈
答 这堆毛坯约有
例 图 − − 是一个奖杯的三视图 (单位 : cm ), 试画 出它的直观图 , 并计算这个奖杯的体积 ( 精确到 . cm ).
解 采用斜二测画法 .先画底座, 这是一个正四棱台; 再画杯身,是长方体; 最后画出球体.如图 − − .
R
O
图 − −
这时, 这些 "准锥体" 的 高趋向于球半径 R, 底 面积 S , S , S ,⋅ ⋅ ⋅的和趋 向于球面积 , 所有这些" 准锥体"的体积和趋向 于球体积,因此
高中数学(新教材)《球的表面积和体积》课件
球的表面积和体积
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
知识点 球的表面积和体积
1．球的表面积
如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ □01 4πR2 .
2．球的体积 如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
□02 43πR3 .
答案 (1)C (2)1 (3)43π (4)4π
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答案
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题型一 球的表面积与体积 例 1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5030π，求它的表面积．
R－r＝1， 4πR2－4πr2＝28π，
∴Rr＝＝34.，
∴它们的体积和为43πR3＋43πr3＝3634π.
(2)设球的半径为 R cm，由题意可知 2πR＝16π，解得 R＝8，
则 S 球＝4πR2＝256π(cm2).
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解析
题型二 球的截面问题 例 2 一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离 为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π [解析] 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，
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2．做一做
(1)若球的过球心的圆面圆周长是 c，则这个球的表面积是( )
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知识点 球的表面积和体积
1．球的表面积
如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ □01 4πR2 .
2．球的体积 如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
□02 43πR3 .
答案 (1)C (2)1 (3)43π (4)4π
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题型一 球的表面积与体积 例 1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5030π，求它的表面积．
R－r＝1， 4πR2－4πr2＝28π，
∴Rr＝＝34.，
∴它们的体积和为43πR3＋43πr3＝3634π.
(2)设球的半径为 R cm，由题意可知 2πR＝16π，解得 R＝8，
则 S 球＝4πR2＝256π(cm2).
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解析
题型二 球的截面问题 例 2 一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离 为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π [解析] 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，
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2．做一做
(1)若球的过球心的圆面圆周长是 c，则这个球的表面积是( )
高一数学必修二 1.3.2 球的体积和表面积
B.81π
C.27π
解析:V=
4π 3
×
33
=
36π.
答案:D
D.36π
12
知识梳理
2.球的表面积 如果球的半径为R,那么它的表面积S=4πR2.
【做一做 2】 半径为 5的球的表面积等于 . 解析:S=4π×( 5)2 = 20π. 答案:20π
与球有关的组合体问题的解题策略 剖析:可通过画过球心的截面来分析.例如,底面半径为r,高为h的 圆锥内部有一球O,且球与圆锥的底面和侧面均相切.
如图,过球心O和圆锥的顶点A作圆锥的截面,则球心是等腰三角 形ABC的内接圆的圆心,AB和AC均是圆锥的母线,BC是圆锥的底面 直径,D是圆锥底面的圆心.
用同样的方法可得出以下结论: (1)若长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是 球的直径; 若球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长; 若球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线. (2)若球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高, 也等于圆柱底面圆的直径. (3)若球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.
3π.
答案:3π
题型一 题型二 题型三
反思1.由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体 积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中 数据的含义.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆.
2.计算球或与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割 与拼接,避免重叠和交叉.
题型一 题型二 题型三
题型一 题型二 题型三
重点例题
【例 1】 (1)已知球的表面积为 64π,求它的体积;
(2)已知球的体积为
500π 3
高中数学：.2《球的表面积和体积》【新人教A版必修2】PPT完美课件
回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发， 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公 式．
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
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球的表面积
第 一 步： 分 割
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
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•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A 1A2A2A3 AnA 1) 1
2 pC正多边形
O
当 n 时 p ， R ,C 正多 边 C 圆形
p A3 A1 A2
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球的表面积
第 一 步： 分 割
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•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A 1A2A2A3 AnA 1) 1
2 pC正多边形
O
当 n 时 p ， R ,C 正多 边 C 圆形
p A3 A1 A2
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2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线
上).
(1)长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的体积为
.
(2)圆锥的底面半径为1,高为2,则圆锥的体积为
.
(3)圆柱的一个底面面积为S,高为h,则这个圆柱的侧面积等
于
.
【解析】(1)根据长方体的体积计算公式得V=abc.
答案：abc
(2) V11222.
提示：(1)正确.多面体的表面积是几何体表面的面积,因此表 面积=侧面积+底面积.故此说法是正确的. (2)错误.只有直棱柱的侧面积才等于底面周长C与侧棱长l的乘 积,故此说法是错误的. (3)错误.因为圆柱的体积为πr2h,所以体积变为原来的. (4)正确.根据几何体的体积计算公式,可知该说法正确. 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
3
3
答案：2
3
(3)设圆柱的底面半径为r，则S=πr2，所以 r S ，
所以侧面积为 2 Sh.2 Sh
答案：2 Sh
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 探究1：直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是什么图 形? 提示：直棱柱的侧面展开图是矩形;正棱锥的侧面展开图是由 各侧面的三角形组成的;正棱台的侧面展开图是由各侧面的等 腰梯形组成的.
(2)圆柱的表面积：底面半径为r,母线长为l的圆柱的侧面 积：S侧=_2_π__r_l ,表面积：S表=_2_π__r_(_r_+_l)_.
2.锥体的表面积 (1)棱锥的表面积：S表=S侧+_S_底_; 底面周长为C,斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的 正棱锥的侧面积：S侧=_12__C _h _ . (2)圆锥的表面积：底面半径为r、母线长为l的圆锥的侧面积 S侧=_π__r_l ,表面积：S表=_π__r_(_r_+_l)_.
探究2：对于一个多面体,如果沿不同 的棱将它剪开,然后展开,那么得到的 展开图相同吗?其表面积是否相等?
探究提示：从几何 体的侧面展开图考 虑探究
提示：由于剪开的棱不同,同一个多面体的表面展开图可能不
是全等的多边形,但是无论如何剪开,同一个多面体的表面展
开图的表面积是一样的.
【探究提升】对棱柱、棱锥、棱台的表面积的两点说明 (1)求棱柱、棱锥、棱台的侧面积是将它们的侧面展开后放到 一个平面内来求,这种将空间图形问题转化为平面图形问题来 求解的方法,在立体几何中经常用到. (2)求棱柱、棱锥、棱台的表面积可以先求侧面积,再求底面积.
圆柱的母线长l.
(3)圆锥的底面半径为r,母线长为l,则其展开图扇形的半径和 弧长各是多少? 提示：其展开图扇形的半径为圆锥的母线长l,弧长为圆锥底面 圆的周长2πr.
探究2：仔细观察圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式说出它们之 间具有什么关系? 提示：根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征,不难得到它们的侧 面积的关系,具体如下.
V柱体=Sh，V锥体= 1 Sh,V台体= 1 (S′+ S S +S)h
3
3
探究1：柱体的体积与哪些量有关？
提示：柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与底面的形
状以及是斜棱柱或直棱柱无关.
探究2：对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个 面为底面？ 提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面， 关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为 底面.
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积公式. 2.掌握柱体、锥体、台体的体积的计算. 3.会利用表面积和体积公式解决一些简单的实际问题.
1.柱体的表面积 (1)棱柱的表面积：S表=_S_侧__+_2_S_底__. ①其中底面周长为C,高为h的直棱柱的侧面积： S侧=_C_h_; ②长、宽、高分别为a,b,c的长方体的表面积： S表=_2_(_a_b_+_a_c_+_b_c_)_; ③棱长为a的正方体的表面积：S表=_6_a_2 .
Hale Waihona Puke 二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 探究1：观察下面几个几何体的侧面展开图,思考下面的问题：
(1)圆柱的侧面展开图为
;圆锥的侧面展开图
为
;圆台的侧面展开图为
.
提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别为矩形、扇形、
扇环.
答案：矩形 扇形 扇环
(2)圆柱的侧面展开图中长和宽分别由圆柱的哪些量确定?
提示：圆柱的侧面展开图中长是圆柱的底面圆周长2πr,宽是
3.台体的表面积 (1)棱台的表面积：S表=_S_侧__+_S_上_底_+_S_下__底_. (2)圆台的表面积：两底面半径分别为r′,r,母线长为l的圆 台的侧面积：S侧=_π__(_r_′__+_r_)_l , 表面积：S表=_π__(_r_′__2+_r_2_+_r_′__l_+_r_l)_.
【拓展延伸】圆锥、圆台侧面展开图中扇形、扇环的圆心角
(1)圆锥的侧面展开图的圆心角为：θ= ·r 360°(r表示圆锥
l
的底面半径，l表示圆锥的母线长).
(2)圆台的侧面展开图的圆心角为： R · r360°(R表示圆
l
台下底面半径，r表示圆台上底面半径，l表示圆台的母线长).
三、柱体、锥体、台体的体积
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.( )
(2)若一棱柱的底面周长为C,侧棱长为l,则该棱柱的侧面积等
于C·l.( ) (3)一个圆柱的高伸长为原来的2倍,底面半径缩短为原来的 1 ,
2
体积不变.( )
(4)简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关.( )
【探究提升】对圆柱、圆锥、圆台的表面积的两点说明 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积, 所以弄清它们的侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段或 曲线段与原旋转体的关系是掌握它们侧面积公式及解有关问 题的关键. (2)求圆柱、圆锥、圆台的表面积先求侧面积,再求底面积,其 和即为该几何体的表面积.
4.柱体、锥体、台体的体积
(1)柱体的体积：V柱体=_S_h_(S表示柱体的底面面积，h表示柱
体的高). (2)锥体的体积：V锥体=__13 _S _h _(S表示锥体的底面面积，h表示
锥体的高). (3)台体的体积：V台体=_13__(S____S__S__S_)_h_(S′,S分别表示台体
的上、下底面面积，h表示台体的高).