2018课标版文数一轮(2)第二章-函数(含答案)5-第五节 指数与指数函数

第五节指数与指数函数A组基础题组1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是( )A.1B.C.D.2.已知a=,b=,c=2,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.2,+∞)C.-2,+∞)D.(-∞,-2]4.函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( )A.f(-4)>f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)<f(1)D.不能确定5.定义区间x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为a,b],值域为1,9],则区间a,b]的长度的最大值为,最小值为.6.若指数函数y=a x在-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a= .7.(2016安徽江淮十校第一次联考)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为.8.已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.9.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈-3,0]上的值域;(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.B组提升题组10.已知奇函数y=如果f(x)=a x(a>0,且a≠1)对应的图象如图所示,那么g(x)=( )A. B.- C.2-x D.-2x11.已知函数f(x)=e x,如果x1,x2∈R,且x1≠x2,则下列关于f(x)的性质:①(x1-x2)f(x1)-f(x2)]>0;②y=f(x)不存在反函数;③f(x1)+f(x2)<2f;④方程f(x)=x2在(0,+∞)上没有实数根,其中正确的是( )A.①②B.①④C.①③D.③④12.设f(x)=|3x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系中一定成立的是( )A.3c>3aB.3c>3bC.3c+3a>2D.3c+3a<213.若函数f(x)=a x-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是0,2],则实数a= .14.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)在-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在0,+∞)上是增函数,则a= .15.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.答案全解全析A组基础题组1.Da=(2+)-1=2-,b=(2-)-1=2+,∴(a+1)-2+(b+1)-2=(3-)-2+(3+)-2=+=. 2.A 因为a==,c=2=,函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a<c,又因为函数y=4x在R上单调递增,所以<,即b<a,所以b<a<c,故选A.3.B 由f(1)=得a2=,又a>0,所以a=,因此f(x)=.根据复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间是2,+∞).4.A 由题意知a>1,所以f(-4)=a3,f(1)=a2,由y=a x(a>1)的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).5.答案4;2解析由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,故满足题意的定义域可以为-2,m](0≤m≤2)或n,2](-2≤n≤0),故区间a,b]的最大长度为4,最小长度为2.6.答案解析若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0,解得a=或a=(舍去).若a>1,则a-a-1=1,即a2-a-1=0,解得a=或a=(舍去).综上所述,a=.7.答案e解析由于f(x)=max{e|x|,e|x-2|}=当x≥1时,f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;当x<1时,f(x)>e.故f(x)的最小值为f(1)=e.8.解析(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以解得a2=4,又a>0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在x∈(-∞,1]时恒成立.因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为.所以m≤,即m的取值范围是.9.解析(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令t=2x,则t∈.故y=2t2-t-1=2-,t∈,故y∈.即f(x)在x∈-3,0]上的值域为.(2)令m=2x,则m∈(0,+∞).关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.记g(m)=2am2-m-1,当a=0时,m=-1<0,不符合题意.当a<0时,g(m)图象的开口向下,对称轴m=<0,过点(0,-1),不符合题意.当a>0时,g(m)图象的开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以a>0.综上所述,a的取值范围是(0,+∞).B组提升题组10.D 由题图知f(1)=,∴a=,则f(x)=,由题意得g(x)=-f(-x)=-=-2x,故选D.11.B 因为e>1,所以f(x)=e x为定义域内的增函数,故①正确;函数f(x)=e x的反函数为y=lnx(x>0),故②错误;f(x 1)+f(x2)=+>2=2=2f,故③错误;作出函数f(x)=e x和y=x2的图象(图略)可知,两函数图象在(0,+∞)内无交点,故④正确.选B.12.D 画出f(x)=|3x-1|的图象,如图所示,要使c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b)成立,则有c<0,且a>0.∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,又f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即3a+3c<2.13.答案解析当a>1时,f(x)=a x-1在0,2]上为增函数,则a2-1=2,∴a=±.又∵a>1,∴a=.当0<a<1时,f(x)=a x-1在0,2]上为减函数,又∵f(0)=0≠2,∴不满足条件.综上可知,a=.14.答案解析g(x)=(1-4m)在0,+∞)上是增函数,应有1-4m>0,即m<.当a>1时,f(x)=a x为增函数,由题意知⇒m=,与m<矛盾.当0<a<1时,f(x)=a x为减函数,由题意知⇒m=,满足m<.故a=.15.解析(1)∵f(x)=e x-,∴f'(x)=e x+,∴f'(x)>0对任意x∈R都成立,∴f(x)在R上是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-e x=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立⇔t2+t≤x2+x=-对一切x∈R都成立⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=≤0,又≥0,∴=0,∴t=-,∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.。

第五节指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.3.知道指数函数是一类重要的函数模型．1．有理指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂：a mn＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：a-mn＝1amn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图像与性质图像a＞10＜a＜1定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1是R 上的增函数 是R 上的减函数1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (2)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(3)若a m ＜a n (a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n .( ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10D ．9B [原式＝(26)12－1＝8－1＝7.]3．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图像可能是( )A B C DC [法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a ＞1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，A ，B ，D 都不合适；当0＜a ＜1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，因为0＜a ＜1，故排除选项D.]4．(教材改编)已知0.2m ＜0.2n ，则m ________n (填“＞”或“＜”).【导学号：5796】＞ [设f (x )＝0.2x ，f (x )为减函数， 由已知f (m )＜f (n )，∴m ＞n .]5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________.【导学号：5796】(1,2)[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]指数幂的运算[解](1)＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.6分(2)12分[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．[变式训练1]化简求值：指数函数的图像及应用(1)(·郑州模拟)定义运算a b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则函数f (x )＝12x的图像是( )(2)若曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围． (1)A [(1)因为当x ≤0时，2x ≤1； 当x ＞0时，2x ＞1. 则f (x )＝12x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x ＞0，故选A.](2)曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，8分 则b 的取值范围是(0,1).12分[规律方法] 指数函数图像的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.[变式训练2] (1)函数f (x )＝a x －b 的图像如图2-5-1，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )图2-5-1A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)方程 2x ＝2－x 的解的个数是________．(1)D (2)1 [(1)由f (x )＝a x －b 的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上递减，所以0＜a ＜1，函数f (x )＝a x －b 的图像是在y ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]指数函数的性质及应用☞角度1 比较指数式的大小(1)(·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则()【导学号：5796】A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(·浙江高考)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R .( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b ，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b D ．若f (a )≥2b ，则a ≥b (1)A (2)B[(1)a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523.∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .(2)∵f (x )≥|x |，∴f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误．若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．∵f (x )≥2x ，∴f (a )≥2a .若f (a )≤2b ，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．若f (a )≥2b 且f (a )≥2a ，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.]☞角度2 解简单的指数方程或不等式(·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______．{x |－1＜x ＜2}()或(－1，2) [∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.] ☞角度3 探究指数型函数的性质已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13-x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 则g (x )在区间(－∞，－2)上递增，2分在区间[－2，＋∞)上递减，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，因此f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).4分 (2)由f (x )有最大值3知，ax 2－4x ＋3有最小值－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.8分(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.12分[规律方法] 1.比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．[思想与方法]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．[易错与防范]1．指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论．2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．。

第5讲 指数与指数函数, )1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a mn＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编 化简12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9B2.教材习题改编 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3B 因为x ＋x －1＝3.所以(x ＋x －1)2＝9，即x 2＋x －2＋2＝9， 所以x 2＋x －2＝7. 3．函数f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4.教材习题改编 若a >1且a3x ＋1>a－2x，则x 的取值范围为________．因为a >1，所以y ＝a x为增函数， 又a3x ＋1>a－2x，所以3x ＋1>－2x ，即x >－15.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，＋∞ 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b－3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________． 【解析】 (1)由f (x )＝a x －b的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点， 所以方程有一解．【答案】 (1)D (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即 0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.⎝⎛⎭⎪⎫0，12指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围．(1)(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(2017·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________． 【解析】 (1)因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .(2)当a ＜1时，41－a＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入不成立． (3)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0， 解得x ＞4或x ＜0.所以不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}． 【答案】 (1)A (2)12(3){x |x ＞4或x ＜0}有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一 比较指数幂的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC 因为指数函数y ＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C.角度二 解简单的指数方程或不等式 2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________．因为2x 2－x<4，所以2x 2－x<22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三 研究指数型函数的性质3．(2017·太原模拟)函数y ＝2x －2－x是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减A 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数．角度四 求解指数型函数中参数的取值范围4．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.－32, )——利用换元法求解指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________． 【解析】 因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1＝2(2x )2－2x－1， 令t ＝2x，x ∈，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1， 当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立，当a ＞0时，开口向上， 对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)必有一个根为正， 所以a >0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．, )1．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1aD 解析] 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 2．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A ．B ．C ．D ． 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是()D 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，所以选D.4．(2017·德州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <aD 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，所以b <c ，又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，所以a >c ， 所以b <c <a ，故选D.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a <1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3，1)． 6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在，则实数a ＝________． 当a >1时，f (x )＝a x－1在上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在上为减函数， 又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3.38．已知函数f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________．因为f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，所以e a －e －ae a ＋e －a ＝－12.所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.129．(2017·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．(0，1)∪(2，＋∞)10．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e. e11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x.要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56. 所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.12．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B 函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． (1)当x <0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x>0，所以x ＝1.(2)当t ∈时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0， 所以m ≥－(22t＋1)， 因为t ∈，所以－(22t＋1)∈， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

第五节　指数与指数函数考试要求：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念．3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．一、教材概念·结论·性质重现1．n 次方根(1)根式的概念一般地，如果x n ＝ a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当有意义时，叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的性质①()n ＝a ．②当n 为奇数时，＝a ．当n 为偶数时，＝|a |＝2．有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a ＝()m ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)正数的负分数指数幂：a ＝＝(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质,a r a s ＝a r ＋ s (a ＞0，r ，s ∈Q)；(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )；(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )3．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ．形如y ＝ka x (k ≠1)，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质定义域R 值域(0 ，＋∞ )性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1 ；当x >0时，0< y <1 当x >0时，y >1 ；当x <0时，0< y <1减函数增函数二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)＝()n ＝a ．(　×　)(2)(－1)＝(－1)＝．(　×　)(3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．(　×　)(4)函数y ＝2x 是指数函数．(　√　)(5)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n ．(　×　)2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9B 解析：原式＝2－1＝23－1＝7．故选B ．3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1B 解析：由指数函数的定义知a 2－4a ＋4＝1且a ≠1，解得a ＝3．4．若函数f (x)＝ax (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ，则f (－1)＝________．　解析：由题意知＝a 2，所以a ＝，所以f (x )＝，所以f (－1)＝＝．5．若函数y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是________．a >或a <－　解析：由y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，得a 2－1>1，解得a >或a <－．考点1　指数幂的化简与求值——基础性1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．(a)4＝D　解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．2．(多选题)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a＋a＝±D．a＋＝2ABD　解析：在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a ＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a ＋a)2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以a＋a＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．3．已知a＞0，b＞0，化简：·＝________．　解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝．4．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝__________．－　解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－．1．解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计考点2　指数函数的图象及应用——综合性(1) (2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2a x－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是( )A．(1,6)B．(1,5)C．(0,5)D．(5,0)A　解析：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过点P(1,6)．故选A．(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________ __．(0,1)　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？b≥1或b＝0　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是b≥1或b＝0．1．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝的图象的说法正确的是( ) A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．都在x轴的上方D．都过点(0,1)ACD　解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝的图象(略)，知两函数的图象关于y 轴对称，A项正确．由指数函数的性质，知选项CD正确．2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[－1,1]　解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1．3．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中可能成立的有________．(填序号)①②⑤　解析：函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0．故①②⑤可能成立，③④不可能成立．考点3　指数函数的性质及应用——应用性考向1　比较大小(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA　解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c．(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A　解析：因为2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y．因为y＝2x－3－x＝2x－在R上单调递增，所以x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞ln 1＝0．考向2　解指数不等式若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为．{x|x＞4或x＜0}　解析：当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4．所以f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0．所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．考向3　指数型函数的单调性函数f(x)＝的单调递减区间为________．(－∞，1]　解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．在例4中，若函数f(x)＝改为f(x)＝2－x2＋2x＋1，结果如何？[1，＋∞)　解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝2u在R上为增函数，所以函数f(x)＝2－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为[1，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间为[1，＋∞)．考向4　指数型函数的最值(1)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________．－　解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，则即无解．当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，则即解得所以a＋b＝－．(2)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________．1　解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此有解得a＝1．1．研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．2．研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．1．已知a＝()，b＝2，c＝9，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA　解析：a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3．由2<3，得a<c．由>，得a>b，所以c>a>b．故选A．2．(2021·柳州高三月考)已知函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1>x2≥1时，f(x)单调递增，则关于a的不等式f(9a＋1)<f(3a－5)的解集为( )A．(－∞，1)B．(－∞，log32)C．(log32,1)D．(1，＋∞)B　解析：因为函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数y＝f(x)关于x＝1对称．因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)为增函数，所以函数y＝f(x)在(－∞，1]为减函数．不等式f(9a＋1)<f(3a－5)等价于|9a＋1－1|<|3a－5－1|，即|3a－6|>9a⇒3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)得到：t2－t＋6<0或t2＋t －6<0．当t2－t＋6<0时，无解．当t2＋t－6<0时，(t＋3)(t－2)<0，解得t<2，即3a<2，a<log32．3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( ) A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞)C　解析：由f(x)的图象过定点(2,1)可知b＝2．因为f(x)＝3x－2在[2,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，f(x)max＝f(4)＝34－2＝9．故选C．4．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________；又f(x)在R 上是减函数，则实数a的取值范围是________．(3，－1) 解析：对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，则f(x)＝(2a－1)0－2＝1－2＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．又∵函数f(x) ＝(2a－1)x－3－2 在R上是减函数，故有0<2a－1<1，求得 <a<1．故答案为(3，－1)；．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a[四字程序]读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1．利用函数单调性．2．通过中间量比较大小．3．作差或商比较1．构造函数．2．统一幂指数．3．化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．A　解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝．因为0<<1，所以函数y＝为减函数．又因为>，所以b＝<＝c．再比较a与c，因为＝>＝1，且a，c均大于0，所以a>c，所以a>c>b．故选A．思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．A　解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝＝，b5＝＝，c5＝＝，所以a5>c5>b5，即a>c>b．故选A．思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．A　解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b．故选A．1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法3比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法3，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．2．基于新课程标准，解决比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识．解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝a x与幂函数g(x)＝x b“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较a b与b a的大小；(3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求m的取值范围．解：(1)依题意得解得所以F(x)＝(2)因为a b＝＝，b a＝，指数函数y＝在R上单调递减，所以＜，即a b＜b a．(3)由(m＋4)＜(3－2m)，得解得－＜m＜，所以m的取值范围是．。

第五节 指数函数———————————————————————————————— 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时，n a n＝a . (3)当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a，－a a＜(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂①正分数指数幂：a ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a＝1a m n＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 3．指数函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4－4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( )(1)× (2)× (3)× (4)×2．化简12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D．9B3．函数y ＝a x－a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )【导学号：31222044】A B C DC4．(教材改编)已知0.2m＜0.2n，则m ________n (填“＞”或“＜”)． ＞5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2)(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－－(0.01)0.5；(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.6分(2)原式＝＝1a .12分1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 化简求值：(1)(0.027)－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫279－(2－1)0；(2)56a ·b －2·(－3a －b －1)÷(4a ·b －3) .(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫259－1＝103－49＋53－1＝－45.6分＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.12分(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A B C D(2)若曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围． (1)A ，只有A 满足上述两个性质．](2)曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，8分则b 的取值范围是(0,1).12分指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. (1)函数f (x )＝ax －b的图象如图2­5­1，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )【导学号：31222045】图2­5­1A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)方程 2x＝2－x 的解的个数是________． (1)D (2)1☞角度1(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝2，b ＝3，c ＝25，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(2016·浙江高考)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x，x ∈R.( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b D ．若f (a )≥2b，则a ≥b (1)A (2)B☞角度2 解简单的指数方程或不等式(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______．{x |－1＜x ＜2}()或－1，☞角度3 探究指数型函数的性质已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 则g (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，2分在区间 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0＜a＜1和a＞1两种情况分类讨论．2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．课时分层训练(八) 指数函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f(x)＝2|x－1|的大致图象是( )【导学号：31222046】A B C DB2．(2016·山东德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜aD3．(2016·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2A4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( ) 【导学号：31222047】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]A5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C 二、填空题 6．计算：________.【导学号：31222048】27．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．(1,5)8．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．m ＞n三、解答题 9．求不等式a2x －7＞a4x －1(a ＞0，且a ≠1)中x 的取值范围．设y ＝a x(a ＞0且a ≠1)， 若0＜a ＜1，则y ＝a x为减函数， ∴a2x －7＞a4x －1⇔2x －7＜4x －1，解得x ＞－3；5分若a ＞1，则y ＝a x为增函数， ∴a2x －7＞a4x －1⇔2x －7＞4x －1，解得x ＜－3.9分综上，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－3，＋∞)； 当a ＞1时，x 的取值范围是(－∞，－3).12分 10．已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域； (2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0.(1)因为函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x－a ，即－a x ＋a 1－2x ＝a ·2x＋1－a 1－2x，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12.3分 又2x－1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).5分 (2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3).8分由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，解得m ＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能成立的关系式有( )【导学号：31222049】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B2．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．e3．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． (1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}.2分 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数.5分(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况． 当x ＞0时，要使f (x )＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0，即1a x －1＋12＞0，即a x ＋1a x －＞0，9分即a x－1＞0，a x＞1，a x＞a 0.又∵x ＞0，∴a ＞1. 因此a ＞1时，f (x )＞0.12分。

2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标8指数与指数函数 理[解密考纲]本考点主要考查指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上．一、选择题1．(2017·云南昆明模拟)设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( C )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．a >b >cD ．b >a >c解析：b ＝2.50＝1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5＝2－2.5，则2－2.5<1<22.5，即c <b <a .2．(2017·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( B )解析：|f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1， 且过点(1,0)，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32.又|f (x )|≥0，故选B ． 3．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( C )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.可知C 正确，故选C ．4．(2017·山西太原模拟)函数y ＝2x－2－x是( A ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析：令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C ，D ．又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数，故选A ．5．(2017·浙江丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)解析：原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2，故选C ．6．(2017·山东济宁模拟)已知函数f (x )＝|2x－1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( D )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a＜2cD ．2a＋2c＜2解析：作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图．∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )， 结合图象知0<f (a )<1，a <0，c >0， ∴0<2a<1.∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f (c )<1，∴0<c <1， ∴1<2c<2，∴f (c )＝|2c－1|＝2c－1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D ． 二、填空题7．(2017·吉林长春模拟)已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是(0,1)．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1.8．(2017·山东济南模拟)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝14.解析：因为g (x )在[0，＋∞)上为增函数， 则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上单调递增，最小值为1a＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，m ＝12，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上单调递减，最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116，综上知a ＝14.9．(2017·山东济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，则a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．解析：当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．三、解答题10．化简：(1)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13 b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0. 解析：(1)原式＝a 3b 2a 13b 23 12ab 2a －13 b 13＝a 32 ＋16 ＋13 －1·b 1＋13 －2－13 ＝ab －1. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12 －105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723 ＋50012 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 2＋3－4a，∵f (x )有最大值，∴g (x )应有最小值，且g (x )min ＝3－4a (a >0)，∴f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－4a ＝3，∴3－4a ＝－1，∴a ＝1.12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解析：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t2－1)等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎨⎧t ⎪⎪⎪⎭⎬⎫t >1或t <－13.。

第五节 指数与指数函数A 组 基础题组1.(2016贵州适应性考试)函数y=a x+2-1(a>0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A.(0,0)B.(0,-1)C.(-2,0)D.(-2,-1)2.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>bD.b>c>a3.(2017沈阳回民中学月考)函数y=a x-1a (a>0,且a ≠1)的图象可能是( )4.(2016莱芜模拟)函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)上不单调,则k 的取值范围是( ) A.(-1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,1)D.(0,2)5.已知函数f(x)= 1-2-x ,x ≥0,2x -1,x <0,则函数f(x)是( )A.偶函数,在[0,+∞)上单调递增B.偶函数,在[0,+∞)上单调递减C.奇函数,且单调递增D.奇函数,且单调递减6.化简a · -1a+( a 5)5+ a 66= .7.若函数y=(a 2-1)x在R 上为增函数,则实数a 的取值范围是 . 8.已知函数f(x)=a -x(a>0,且a ≠1),且f(-2)>f(-3),则a 的取值范围是 . 9.化简下列各式: (1) 279 0.5+0.1-2+ 21027 -2-3π0+3748;(2) a 7· a -33÷ a -3· a -13.10.设函数f(x)=a x-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.(1)求k的值;(2)若f(1)<0,试判断函数的单调性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范围.B组提升题组11.若函数f(x)=a x,x>1,(2-3a)x+1,x≤1是R上的减函数,则实数a的取值范围是()A.23,1 B.34,1 C.23,34D.23,+∞12.如图,平行四边形OABC的面积为8,对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E,某指数函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象经过点E,B,则a=()A. B.3 C.2 D.313.(2017北京海淀月考)定义区间[x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为[a,b],值域为[1,9],则区间[a,b]的长度的最大值为,最小值为.14.(2016济南模拟)已知函数f(x)=x+1(0≤x<1),2x-12(x≥1),设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围是.15.已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式1a x+1bx-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.答案全解全析 A 组 基础题组1.C 解法一:因为函数y=a x(a>0且a ≠1)的图象恒过点(0,1),将该图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到y=a x+2-1(a>0且a ≠1)的图象,所以y=a x+2-1(a>0且a ≠1)的图象恒过点(-2,0),选项C 正确. 解法二:令x+2=0,得x=-2,此时y=a 0-1=0,所以y=a x+2-1(a>0且a ≠1)的图象恒过点(-2,0),选项C 正确. 2.A 由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.3.D 当x=-1时,y=1a -1a=0,所以函数y=a x-1a的图象必过定点(-1,0),结合选项可知选D.4.C 由于函数y=|2x-1|在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,而函数在区间(k-1,k+1)上不单调,所以有0∈(k-1,k+1),则k-1<0<k+1,解得-1<k<1.5.C 易知f(0)=0,当x>0时,f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,而-x<0,则f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,-f(x)=1-2x,而-x>0,则f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).综上,函数f(x)是奇函数,又易知其单调递增,故选C. 6.答案 - -a解析 由题意可知a<0,故原式=- -(-a )2a+a+(-a)=- -a .7.答案 a> 2或a<- 2解析 由y=(a 2-1)x在(-∞,+∞)上为增函数,得a 2-1>1,解得a> 2或a<- 2. 8.答案 (0,1)解析 因为f(x)=a -x= 1a x,且f(-2)>f(-3),所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以1a >1,解得0<a<1. 9.解析 (1)原式= 259 12+10.12+ 6427 -23-3+3748=53+100+916-3+3748=100. (2)原式= a 7·a -33÷ a -3·a -13= a 73÷ a -13=a 76÷a -16=a 86=a 43.10.解析 (1)∵f(x)是定义域为R 的奇函数,∴f(0)=a 0-(k-1)a 0=1-(k-1)=0,∴k=2. (2)由(1)知f(x)=a x-a -x(a>0且a ≠1).∵f(1)<0,∴a -1a <0,又a>0且a ≠1,∴0<a<1,∴y=a x 在R 上单调递减,y=a -x 在R 上单调递增,故f(x)=a x -a -x在R 上单调递减.不等式f(x 2+tx)+f(4-x)<0可化为f(x 2+tx)<f(x-4),∴x 2+tx>x-4,∴x 2+(t-1)x+4>0恒成立,∴Δ=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5.∴所求实数t的取值范围是-3<t<5.B组提升题组11.C依题意知,a的取值应满足0<a<1,2-3a<0,(2-3a)×1+1≥a1,解得23<a≤34.12.A设点E(t,a t),则点B的坐标为(2t,2a t).∵点B在函数y=a x的图象上,∴2a t=a2t,∴a t=2.∴平行四边形OABC的面积=OC·AC=a t·2t=4t.又平行四边形OABC的面积为8,∴4t=8,∴t=2,∴a=2(负值舍去).故选A.13.答案4;2解析由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,故满足题意的定义域为[-2,m](0≤m≤2)或[n,2](-2≤n≤0),故区间[a,b]的最大长度为4,最小长度为2.14.答案34,2解析函数的图象如图所示.因为a>b≥0,f(a)=f(b),所以12≤b<1且32≤f(a)<2.所以34≤b·f(a)<2.15.解析(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以b·a=6,b·a3=24,解得a2=4,又a>0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,12x+13x-m≥0恒成立,即m≤12x+13x在x∈(-∞,1]时恒成立.因为y=12x与y=13x均为减函数,所以y=12x+13x也是减函数,所以当x=1时,y=12x+13x在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为56.所以m≤56,即m的取值范围是-∞,56.。

第九节函数模型及其应用A组基础题组1.物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预期的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()2.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升3.已知某矩形广场的面积为4万平方米,则其周长至少为()A.800米B.900米C.1 000米D.1 200米4.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是()A.118元B.105元C.106元D.108元5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油6.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式的电话费相差()A.10元B.20元C.30元D.元7.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.8.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.9.A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度.(1)求x的取值范围;(2)把月供电总费用y表示成x的函数;(3)核电站建在距A城多远时,才能使供电总费用y最少?B组提升题组10.某工厂八年来某产品总产量y与时间t(年)的函数关系如图所示,则下列说法中正确的是()①前三年总产量增长速度越来越慢;②前三年总产量增长速度越来越快;③第三年后,这种产品年产量保持不变;④第三年后,这种产品停止生产.A.①③B.①④C.②③D.②④11.世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.0075≈1.017)()12.(2016四川德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有 L,则m的值为()A.5B.8C.9D.1013.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元万元14.(2016湖北八校联考)某人根据经验绘制了2016年春节前后,从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在1月30日大约卖出了西红柿千克. 15.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖权以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?16.小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子商品需投入年固定成本3万元,每生产x万件,需另投入流动成本W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)=x2+x;在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+-38.每件商品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?答案全解全析A组基础题组1.B选项B中,Q的值随t的变化越来越快.2.B因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600-35 000=600(千米),故每100千米平均耗油量为48÷6=8(升).3.A设这个矩形广场的长为x米,则宽为米.所以其周长为l=2≥800,当且仅当x=200时取等号.故其周长至少为800米.4.D设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.5.D对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5 km,则A错; 对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错; 对于C选项:甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.6.A依题意可设S A(t)=20+kt,k≠0,S B(t)=mt,m≠0.∵S A(100)=S B(100),∴100k+20=100m,得k-m=-0.2,于是S A(150)-S B(150)=20+150k-150m=20+150×(-0.2)=-10,即当通话150分钟时,两种方式的电话费相差10元,选A.7.答案 4.24解析∵m=6.5,∴[m]=6,则所需通话费为1.06×(0.5×6+1)=4.24(元).8.解析(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40,因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10).(2)f(x)=6x+10+-10≥2·-10=70,当且仅当6x+10=,即x=5时等号成立.所以当隔热层厚度为5 cm时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.9.解析(1)由题意知x的取值范围为[10,90].(2)y=5x2+(100-x)2(10≤x≤90).(3)因为y=5x2+(100-x)2=x2-500x+25 000=-+.所以当x=时,y min=.故核电站建在距A城 km处时,能使供电总费用y最少.B组提升题组10.D由题图知,前三年产品总产量与时间的函数图象越来越陡,说明总产量增长的速度越来越快;三年后总产量与时间的函数图象平行于横轴,说明该产品不再生产了,故选D.11.C设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,得40 lg(1+x)=lg 2,所以lg(1+x)=≈0.007 5,由100.007 5≈1.017,得1+x≈1.017,所以x约是1.7%.12.A∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等,∴函数y=f(t)=ae nt满足f(5)=ae5n=a,可得n=ln,∴f(t)=a·,因此,当k min后甲桶中的水只有 L时,f(k)=a·=a,即=,∴k=10,由题可知m=k-5=5,故选A.13.C设总利润为y万元,公司在A地销售该品牌的汽车为x辆,则在B地销售该品牌的汽车为(16-x)辆,所以可得利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1-+0.1×+32.因为x∈[0,16]且x∈N,所以当x=10或11时,能获得最大利润,且最大利润为43万元.14.答案解析前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b(k≠0),将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k=,b=,所以y=x+,则当x=6时,y=.15.解析设该店月利润余额为L元,则由题设得L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,(※)由题图易得Q=--代入(※)得L=(1)当14≤P≤20时,L max=450,此时P=19.5;当20<P≤26时,L max=,此时P=.故当P=19.5元时,月利润余额最大,为450元.(2)设可在n年后脱贫,依题意有12n×450-50 000-58 000≥0,解得n≥20. 即最早可望在20年后脱贫.16.解析(1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元.依题意得,当0<x<8时,L(x)=5x--3=-x2+4x-3;当x≥8时,L(x)=5x---3=35-.所以L(x)=---(2)当0<x<8时,L(x)=-(x-6)2+9,当x=6时,L(x)取得最大值L(6)=9.当x≥8时,L(x)=35-≤35-2·=35-20=15.当且仅当x=,即x=10时,L(x)取得最大值15.因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.。

第讲指数与指数函数,[学生用书])．根式 ()根式的概念式子.*∈其中>且，则叫做的次方根，＝若①叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．②的次方根的表示：＝⇒()根式的性质 ①()＝(∈*，＞)．②＝．有理数指数幂 ()幂的有关概念①正分数指数幂：＝(>，，∈*，且>)； ②负分数指数幂：＝＝(>，，∈*，且>)；．无意义的负分数指数幂，的正分数指数幂等于③ ()有理数指数幂的运算性质)；∈，，(>＋＝① ②()＝(>，，∈)； ③()＝(>，>，∈)． ．指数函数的图象与性质．辨明三个易误点()指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．()指数函数＝(>，≠)的图象和性质与的取值有关，要特别注意区分>或<<.()在解形如＋·＋＝或＋·＋≥(≤)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数＝(>，且≠)的图象，应抓住三个关键点：(，)，(，)，.化简[(－)]－(－)的结果为( ) ．－． ．－．[答案]设＋－＝，则＋－的值为( )．．．．[解析]因为＋－＝.所以(＋－)＝，即＋－＋＝，所以＋－＝.．函数()＝－(＞，≠)的图象恒过点，下列函数中图象不经过点的是( )．＝－．＝．＝()．＝－[解析]由()＝－(＞，≠)的图象恒过点(，)，又＝，知(，)不在＝的图象上．若>且＋>－，则的取值范围为．[解析]因为>，所以＝为增函数，又＋>－，所以＋>－，即>－.[答案]．若指数函数＝(－)在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数的取值范围是．[解析]由题意知<－<，即<<，得－<<－或<<.[答案] (－，－)∪(，)指数幂的运算[学生用书][典例引领]化简下列各式：()＋－·－()；()·－·÷.【解】()原式＝＋×－＝＋×－＝＋－＝.()原式＝－－－÷＝－－－÷＝－·＝－·＝－.指数幂运算的一般原则()有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．()先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．()底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．()若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[注意]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：()()＋－；()·.[解]()原式＝＋－＝＋－＝.()原式＝＝＝.指数函数的图象及应用[学生用书][典例引领]()函数()＝－的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是( )。

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课时分层训练(八）指数函数A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1．函数f（x）＝2|x－1|的大致图象是( )【导学号:31222046】A B C DB [f（x)＝错误!所以f（x)的图象在[1，＋∞）上为增函数，在（－∞,1)上为减函数．］2．（2016·山东德州一模)已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则（) A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜c＜aD ［∵y＝错误!x为减函数，错误!＞错误!,∴b＜c.又∵y＝x错误!在（0，＋∞)上为增函数，错误!＞错误!,∴a＞c，∴b＜c＜a，故选D。

］3．（2016·河南安阳模拟）已知函数f(x）＝a x，其中a＞0，且a≠1，如果以P（x1,f（x1）),Q （x2，f(x2)）为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1）·f（x2）等于( ）A．1 B．aC．2 D．a2A ［∵以P(x1，f（x1)），Q(x2，f(x2））为端点的线段的中点在y轴上,∴x1＋x2＝0。

又∵f（x）＝a x,∴f（x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝a x1＋x2＝a0＝1,故选A.]4．函数y＝错误!2x－x2的值域为( ）【导学号：31222047】A。