高中数学北师大版选修1-2课时作业1.2.1 条件概率与独立事件 Word版含解析

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2§2 独立性检验 2.1 条件概率与独立事件课时目标 1.在具体情境中，了解条件概率的概念.2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．1．条件概率定义：已知________________A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A|B)．2．公式P(A|B)＝__________.一、选择题1．设P(A|B)＝P(B|A)＝12，P(A)＝13，则P(B)等于( )A.12B.13C.14D.162．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为( )A.599B.120C.19396D.95993．甲乙两人独立地解同一道题，甲解对的概率为34，乙解对的概率为23，则恰有1人解对的概率为( )A.34B.23C.12D.512 4．某人独立射击三次，每次射中的概率为0.6，则三次中至少有一次射中的概率为( ) A ．0.216 B ．0.064 C ．0.936D ．0.0365．某零件加工由两道工序完成，第一道工序的废品率为a ，第二道工序的废品率为b ，假定这两道工序是否出废品彼此无关，那么产品的合格率为( )A ．ab －a －b ＋1B ．1－a －bC ．1－abD ．1－2ab二、填空题6．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是________．7．一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A)＝________.三、解答题9．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．10.甲、乙、丙三位学生用计算机联网进行数学测试，每天独立完成10道数学题，已知甲及格的概率是810，乙及格的概率是610，丙及格的概率是710，三人各答一次，求三人中只有一人答题及格的概率．能力提升11．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730.问该地四月份刮东风时下雨的概率是________．12．栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6,0.5，移栽后成活的概率分别为0.7,0.9.(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；(2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．1．所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下的概率．2．已知事件A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，求P(B|A)时，除按公式外，还可把A看做新的基本事件空间来计算B发生的概率．3．事件A、B独立，B发生不影响A的概率．§2 独立性检验2．1 条件概率与独立事件答案知识梳理1．B 发生的条件下 2.P(AB)P(B)作业设计1．B [P(AB)＝P(A)P(B|A)＝13×12＝16，由P(A|B)＝P(AB)P(B)，得P(B)＝P(AB)P(A|B)＝16×2＝13，故选B.] 2．D [第1次抽出的是次品之后，还剩下4件次品，95件正品，所以所求概率为9599.]3．D [记“甲解对此题”为事件A ，“乙解对此题”为事件B ，它们相互独立． 则恰有1人解对为事件A B ∪A B ， ∴P(A B ∪A B)＝P(A B )＋P(A B) ＝P(A)P(B )＋P(A )P(B) ＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＝512.] 4．C [可以考虑利用对立事件的概率以及相互独立事件的关系来求． P ＝1－0.4×0.4×0.4＝0.936.]5．A [合格率为(1－a)·(1－b)＝ab －a －b ＋1.] 6.23解析 记事件A ：“用满3 000小时不坏”，P(A)＝34；记事件B ：“用满8 000小时不坏”，P(B)＝12.因为B ⊂A ，所以P(AB)＝P(B)＝12，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1234＝12×43＝23.7.23解析 一个家庭的两个小孩只有4种可能{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本条件空间为Ω，A ＝“其中一个是女孩”，B ＝“其中一个是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2434＝23.8.23解析 由已知P(A ·B )＝P(A )P(B )＝19①又P(A ·B )＝P(A ·B)，即[1－P(A )]·P(B )＝P(A )[1－P(B )]② 由①②解得P(A )＝P(B )＝13，所以P(A)＝23.9．解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝6×5＝30，n(A)＝4×5＝20， 于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝4×3＝12， 于是P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝1230＝25.(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2523＝35.方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝1220＝35.10．解 设甲、乙、丙三人答题及格分别为事件A 、B 、C ， 则P(A)＝810，P(B)＝610，P(C)＝710，设三人各答题一次，只有一人及格为事件D ， 则D 的情况为：A B C 、A B C 、A B C. 所以P(D)＝P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C) ＝P(A)P(B )P(C )＋P(A )P(B)P(C )＋P(A )·P(B )P(C)＝810×⎝⎛⎭⎪⎫1－610⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－810×610×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－810⎝ ⎛⎭⎪⎫1－610×710＝47250.11.78解析 记“某地四月份刮东风”为事件A ，“某地四月份下雨”为事件B ， 则P(A)＝830，P(AB)＝730，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝78.12．解 分别记甲、乙两种果树成苗为事件A 1、A 2；分别记甲、乙两种果树苗移栽后成活为事件B 1、B 2，则P(A 1)＝0.6，P(A 2)＝0.5，P(B 1)＝0.7，P(B 2)＝0.9.(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 P(A 1＋A 2)＝1－P(A 1·A 2)＝1－0.4×0.5＝0.8.(2)分别记甲、乙两种果树培育成苗且移栽成活为事件A 、B ，则P(A)＝P(A 1B 1)＝0.42，P(B)＝P(A 2B 2)＝0.45.恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为P(A B ＋A B)＝0.42×0.55＋0.58×0.45＝0.492.。

课时分层作业(二)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是()A．0.56B．0.48C．0.75 D．0.6A[设甲击中为事件A，乙击中为事件B.因为A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.]2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()A.110 B.210C.810 D.910A[某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×110×9＝110，所以选A.]3．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是()A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件A[由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．]4．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是()A．0.504 B．0.994C ．0.496D ．0.06B [系统可靠即A ，B ，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.]5．2018年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160B [用A ，B ，C 分别表示甲，乙，丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝23×34×45＝25，故至少有一人去北京旅游的概率为1－25＝35.]二、填空题6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________．13 [设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B .则P (B |A )＝2×530＝13.]7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．0．98 [设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”， ∴P (A )＝1－P (A )＝1－(1－0.80)×(1－0.90) ＝1－0.2×0.1＝0.98.]8．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．35 [设该队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，p 2＝925. 又0<p <1，所以p ＝35.] 三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．[解] 画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P (A )＝1836＝12， P (AB )＝636＝16， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13.则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为13.10．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．[解] 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，所以所求概率P ＝915＝35.[能力提升练]1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于( )A ．2个球都是白球的概率B ．2个球都不是白球的概率C ．2个球不都是白球的概率D ．2个球中恰有1个是白球的概率C [记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P (AB )＝P (A )P (B )＝13×12＝16，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故56为2个球不都是白球的概率．]2．如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是12且互相独立，灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14C [因为灯不亮的概率为12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12 ＝316，所以灯亮的概率为1－316＝1316.]3．某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，则他恰在第3次打开房门的概率为________．15 [第1次未打开房门的概率为45；第2次未开房门的概率为34；第3次打开房门的概率为13，所求概率为：P ＝45×34×13＝15.]4．如图所示，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”．则：(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________.(1)2π (2)14 [正方形的面积为2，圆的面积为π. (1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， ∴P (A )＝2π.(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”， ∴P (AB )＝12π， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.]5．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．[解] (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×56×23＝19，∴恰有两个项目成功的概率为 29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝190， ∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.。

选修1-2 第一章 §2 课时作业33一、选择题1．生产某零件要经过两道工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.03，则该零件的次品率是( )A ．0.13B ．0.03C ．0.127D ．0.873解析：两道工序的次品率相互独立，该零件的正品率为(1－0.1)×(1－0.03)＝0.873. ∴该零件的次品率是1－0.873＝0.127.答案：C2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )A.1425B.1225C.34D.35解析：设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，依题意知，P (A )＝810＝45，P (B )＝710，且A 与B 相互独立． 故他们都命中目标的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝45×710＝1425. 答案：A3．下列说法正确的是( )A. P (B |A )＝P (AB )B. P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的 C. 0<P (B |A )<1D. P (A |A )＝0解析：∵P (B |A )＝P (AB )P (A )，1P (A )≥1， ∴P (B |A )≥P (AB )，故A 不正确；当P (A )＝1时，P (B )＝P (AB )，则P (B |A )＝P (B )＝P (B )P (A )，所以B 正确； 而0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，∴C 、D 不正确．答案：B4．[2014·山东莱州一中高二期末]某地一农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A. 0.02B. 0.08C. 0.18D. 0.72解析：设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件B |A ，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件AB ，且P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：D二、填空题5．某条道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是__________．解析：P ＝2560×3560×4560＝35192. 答案：351926．抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1，x 2分别表示第一次、二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1>x 2}．则P (B |A )＝________.解析：∵P (A )＝336＝112，P (AB )＝136， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝136112＝13. 答案：137．袋中有7只白球，3只红球，白球中有4只木球，3只塑料球，红球中有2只木球，1只塑料球，现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同，若已知取到的球是白球，则它是木球的概率是__________．解析：设A 表示“取到的球是白球”；B 表示“取到的球是木球”．则n (A )＝7，n (AB )＝4，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝47.答案：47三、解答题8．一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸到白球”为A ∩B ，先摸一球不放回，再摸一球共有4×3种结果．∴P (A )＝2×34×3＝12，P (AB )＝2×14×3＝16. ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13. (2)设“先摸出一个白球放回”为事件A 1，“再摸出一个白球”为事件B 1，两次都摸到白球为事件A 1∩B 1.P (A 1)＝2×44×4＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14， ∴P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12. ∴先摸一个白球不放回，再摸一个白球的概率为13；先摸一个白球后放回再摸出一个白球的概率为12. 9．把外形相同的30个球分装在三个盒子里，每盒装10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母a,3个球标有字母b ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母a 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若在第一个盒子中取得标有字母b 的球，则在第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球，则称试验成功．求试验成功的概率．解：设从第一个盒子中取得标有字母a 的球为事件A ，从第一个盒子中取得标有字母b 的球为事件B ，第二次取出的球是红球为事件R ，第二次取出的球是白球为事件W ，则容易求得P (A )＝710，P (B )＝310， P (R |A )＝12，P (W |A )＝12， P (R |B )＝45，P (W |B )＝15.事件“试验成功”表示为(RA)∪(RB)，又事件RA与事件RB互斥，由概率的加法公式得P[(RA)∪(RB)]＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝12×710＋45×310＝0.59.。

§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件自主整理1.已知B 发生的条件下,A 发生的概率,称为____________,记为____________.2.一般地,对两个事件A 、B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称____________.高手笔记1.解答概率问题,首先要区分是条件概率,还是无条件概率,条件概率的前提条件是:在知道事件A 必然发生的前提下,只需局限在A 发生的范围内考虑问题,在事件A 发生的前提下事件B 发生,等价于事件A 和事件B 同时发生,即AB 发生,由古典概型知其条件概率为: P(B|A)=)()()()()()()()(A P AB P n A n n AB n A n AB n =ΩΩ=,其中n(Ω)为一次试验中可能出现的结果数,n(A)为事件A 所包含的结果数,n(AB)为AB 同时发生时的结果数.2.如果B 、C 是两个互斥事件,在事件A 发生的前提下,互斥事件B 、C 有一个发生的概率为P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).特殊地.若事件A 是一次试验的所有可能结果就与无条件的概率统一起来.3.区别事件间的“互斥”与“相互独立”概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.4.应用公式时要注意前提条件,只有对于相互独立事件才能用P(A·B)=P(A)·P(B),而1-P(A)P(B)是表示相互独立事件A 与B 中至少有一个不发生的概率,它在求概率计算中经常用到.而在一般情况下,对于n 个随机事件A 1,A 2,…,A n ,有P(A 1+A 2+…+A n )=1-P(1A ·2A ·…·n A ).5.如果A 、B 相互独立,则A 与B ,A 与B,A 与B 也相互独立,如果A 1,A 2, …,A n 相互独立,则有P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2)…P(A n ).名师解惑如果A 、B 相互独立,证明A 与,A 与B,A 与B 也相互独立.证明:∵A 、B 相互独立,则P(B|A)=P(B)=)()(A P AB P , 从而P(B |A)=1-P(B|A)=1-P(B)=P(B)=)()(A P B A P , ∴P(A B )=P(A)P(B ).∴A 与B 相互独立.同理,A 与B 也相互独立.∴P(A B)=P(A )P(B).又∵P(B|A )=1-P(B|A )=1-P(B)=P(B )=)()(A P B A P , ∴P(A ·B )=P(A )P(B ).∴A 与B 也相互独立.讲练互动【例1】在由12道选择题和4道填空题组成的考题中,如果不放回地依次抽取2道题. 求:(1)第一次抽到填空题的概率;(2)第一次和第二次都抽到填空题的概率;(3)在第一次抽到填空题的前提下,第二次抽到填空题的概率.分析：(1)为无条件古典概型,(2)为相互独立事件同时发生的概率,(3)为条件概率,可由(1)(2)求出. 解：设第一次抽到填空题为事件A,第二次抽到填空题为事件B,则第一次和第二次都抽到填空题为事件AB. (1)P(A)=21611514A A A =411516154=⨯⨯. (2)P(AB)=60315163421624=⨯⨯=A A . (3)P(B|A)=5141603)()(==A P AB P . 绿色通道求概率时分清是否为条件概率,并弄清事件A 、事件B 及计算公式.变式训练1.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙两人依次各抽1题,在甲抽到选择题的前提下,乙抽到判断题的概率是多少?解:设甲抽到选择题为事件A,乙抽到判断题为事件B,则P(A)=5311016=A A ,P(AB)=154910462101416=⨯⨯=∙A A A .则P(B|A)=9453154)()(==A P AB P . 答:在甲抽到选择题的前提下,乙抽到判断题的概率是94. 【例2】10张奖券中有3张有奖,甲、乙两人从中各抽1张,甲先抽、乙后抽,求:(1)甲中奖的概率;(2)乙中奖的概率;(3)在甲未中奖的情况下,乙中奖的概率.分析：甲未中奖与甲中奖是对立事件,(3)为条件概率.解：设甲中奖为事件A,乙中奖为事件B.(1)则P(A)=103,(2)P(B)=P(AB+A B)=P(AB)+P(A B),P(AB)=103×15192=, P(A B)=107×93=307,∴P(B)=151+307=309=103. (3)P(A )=107,P(A B)=307, ∴P(B|A )=)()(A P B A P 31107307=. 答:甲中奖的概率为103,乙中奖的概率为103,在甲未中奖的条件下,乙中奖的概率为31. 绿色通道在无任何条件下,甲、乙不论谁先、谁后中奖概率相同,但在已知甲未中奖的情况下乙中奖的概率就变大了.变式训练2.15张奖券中有5张能中奖,甲、乙、丙三人依次抽1张.解:设甲中奖为事件A,乙中奖为事件B,丙中奖为事件C,则P(A)=31155=,P(B)=31155=,P(C)=31. 设甲、乙都未中奖为事件D,则P(D)=P(A B )=1510×149=73,P(CD)=1510×149×135=9115, ∴P(C|D)=135739115)()(==D CD P . ∴在甲、乙都未中奖的前提下,丙中奖的概率是135. 求:(1)甲中奖的概率;(2)乙中奖的概率;(3)在甲、乙都未中奖的前提下,丙中奖的概率.【例3】甲射击命中目标的概率是21,乙命中目标的概率是31,丙命中目标的概率是41,现在三人同时射击目标,求目标被击中的概率.分析：甲、乙、丙分别射中目标是相互独立的,利用独立事件来求概率,目标被击中是指甲、乙、丙三人至少有一人射中目标.解：设甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,丙击中目标为事件C,目标未被击中为事件C B A ,则目标被击中的概率P=1-P(C B A )=1-P(A )P(B )P(C )=1-［1-P(A)］［1-P(B)］［1-P(C)］=1-(121-)(131-)(141-)=43. 答:目标被击中的概率为43. 绿色通道已知事件A 、事件B 、事件C 为相互独立事件,则A 、B 、C 也为相互独立事件,∴P(C B A )=P(A )P(B )P(C ).变式训练3.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.6.求:(1)两人都击中目标的概率;(2)其中恰有1人击中目标的概率;(3)至少有1人击中目标的概率.答案：设甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,则P(A)=0.6,P(B)=0.6,P(A)=0.4,P(B)=0.4.(1)P(AB)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)P(A B+A B)=P(A B)+P(A B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.6×0.4+0.4×0.6=0.48.(3)至少有一人击中目标的概率为P(AB)+P(A B+A B)=0.36+0.48=0.84或1-P(A B)=1-P(A)P(B)=1-0.4×0.4=0.84.【例4】有三种产品,合格率分别为0.90,0.95,0.95,各抽取一件进行检验,(1)求恰有一件不合格的概率;(2)求至少有两件不合格的概率.分析：恰有一件不合格分三种情况,可以看成由三个基本事件构成的,三个事件之间又是相互独立的,至少有两件不合格,正面考虑情况复杂,可考虑此事件的对立事件.解：设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别是A、B和C,P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95,P(A)=0.10,P(B)=P(C)=0.05.(1)∵事件A、B、C相互独立,恰有一件不合格的概率为P(AB C)+P(A B C)+P(A BC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=2×0.90×0.95×0.05+0.1×0.95×0.95=0.176.答:恰有一件产品不合格的概率为0.176.(2)方法一:至少有两件不合格的概率为P(A B C)+P(A B C)+P(A B C)+P(A B C)=0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012.答:至少有两件不合格的概率为0.012.方法二:三件产品都合格的概率是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.952=0.812,由(1),知恰有一件不合格的概率为0.176,∴至少有两件不合格的概率为1-［P(ABC)+0.176］=1-(0.812+0.176)=0.012.答:至少有两件不合格的概率为0.012.绿色通道把一个笼统事件等价转化后,分解成几个具体的相互独立的事件是解决问题的关键.变式训练4.某工人看管三台设备,在一天内不需要工人维护的概率,第一台为0.9,第二台为0.8,第三台为0.85.问一天内:(1)3台机器都要维护的概率是多少?(2)其中恰有一台要维护的概率是多少?(3)至少有一台要维护的概率是多少?解:用A、B、C分别表示事件第一、第二、第三台设备不需要维护,这三个事件是相互独立的.(1)三台机器都要维护的概率为P=P(A B C)=P(A)P(B)P(C)=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003.(2)恰有一台要维护的概率是P(A BC+A B C+AB C)=P(A BC)+P(A B C)+P(AB C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9·(1-0.8)×0.85+0.9×0.8(1-0.85)=0.329.(3)三台设备都不需要维护的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.612.∴至少有一台需要维护的概率为1-0.612=0.388.。

§2　独立性检验2．1　条件概率与独立事件1．了解条件概率的概念及计算．(重点)2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式．(重点)3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．(难点)[基础·初探]教材整理1　条件概率阅读教材P 17～P 18部分，完成下列问题．1．概念已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )．2．公式当P (B )＞0时，P (A |B )＝.P (AB )P (B)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ． B ． 1814C ． D ．2512【解析】　从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法，事件A 包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B 包含(2,4)一个基本事件，故P (A )＝，P (AB )＝.所以P (B |A )＝＝.410110P (AB )P (A )14【答案】　B教材整理2　相互独立事件阅读教材P 19“练习”以上部分，完成下列问题．1．定义对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立．2．性质如果A ，B 相互独立，则A 与，与B ，与也相互独立．B A A B 3．如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A ．B ．1625C ．D ．21556【解析】　记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A ，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B ，则事件A ，B 是相互独立事件，故P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.242616【答案】　A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________解惑：___________________________________________________疑问2：___________________________________________________解惑：___________________________________________________疑问3：___________________________________________________解惑：___________________________________________________[小组合作型],条件概率　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ，事件“第二次抽到黑球”为B ．(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率；(2)求P (B |A )．【精彩点拨】　解答本题可先求P (A )，P (B )，P (AB )，再用公式P (B |A )＝求概率．P (AB )P (A )【自主解答】　由古典概型的概率公式可知：(1)P (A )＝，25P (B )＝＝＝，2×1＋3×25×482025P (AB )＝＝.2×15×4110(2)P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )1102514用定义法求条件概率P (B |A )的步骤是：(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P (A )，P (AB )；(3)代入公式求P (B |A )＝.P (AB )P (A)[再练一题]1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A ． B ．1423C ．D ．1213【解析】　一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝，P (AB )＝.问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发3414生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝＝.143413【答案】　D,事件独立性的判断　判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【精彩点拨】　利用相互独立事件的定义判断．【自主解答】　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件58发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；47若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，57对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．判断两事件是否具有独立性的三种方法：(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立．(3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．[再练一题]2．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【解析】　(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P (A )＝＝，P (B )＝＝，P (AB )＝＝×，即P (AB )＝P (A )P (B )，因36122613161213此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．【答案】　(1)A (2)B[探究共研型],相互独立事件同时发生的概率探究1　甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求：甲、乙都未击中的概率．【提示】　记A ＝“甲击中”，B ＝“乙击中”，C ＝“甲、乙都没有击中”．由题意，甲击中与否并不影响乙，由此可认为A 与B 是相互独立的，则，A 也是相互独立的，则B P (C )＝P ( )＝P ()·P ()＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.A B A B 探究2　上述问题中如何求敌机被击中的概率？【提示】　记D ＝“敌机被击中”，则P(D)＝1－P()＝1－0.2＝0.8.A B　某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：【导学号：67720003】(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．明确已知事件的概率及其关系【精彩点拨】　→把待求事件的概率表示成已知事件的概率选择公式计算求值→【自主解答】　设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5.B A(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)＋(B)表示．由于事件A与B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事B A件的概率为B A B AP(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095.即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.B(3)法一　“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(A)＋(A B AB)表示．由于事件AB，A和B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P (AB )＋P (A )＋P (B )＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.B A 法二　1－P ( )＝1－(1－0.05)2＝0.097 5.A B 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5.求P (AB )时注意事件A ，B 是否相互独立，求P (A ＋B )时同样应注意事件A ，B 是否互斥，对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路：(1)分类讨论；(2)求对立事件，利用P ()＝1－P (A )来运算．A [再练一题]3．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求：1314(1)两个人都破译出密码的概率；(2)两个人都破译不出密码的概率；(3)恰有一人破译出密码的概率；(4)至多一人破译出密码的概率；(5)至少一人破译出密码的概率．【解】　记事件A 为“甲独立地破译出密码”，事件B 为“乙独立地破译出密码”．(1)两个人都破译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.1314112(2)两个人都破译不出密码的概率为P ( )＝P ()P ()A B A B ＝[1－P (A )][1－P (B )]＝＝.(1－13)(1－14)12(3)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即A ＋B ，B A ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )B A B A ＝P (A )P ()＋P ()P (B )B A ＝×＋×＝.13(1－14)(1－13)14512(4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴1－P (AB )＝1－＝.1121112(5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码，∴1－P ( )AB＝1－＝.1212[构建·体系]1．已知P (B |A )＝，P (A )＝，则P (AB )等于( )1325A ． B ． 56910C ． D ．215115【解析】　由P (B |A )＝，得P (AB )P (AB )P (A )＝P (B |A )·P (A )＝×＝.1325215【答案】　C2．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )A ．1－a －bB ．1－abC ．(1－a )(1－b )D ．1－(1－a )(1－b )【解析】　∵2道工序相互独立，∴产品的正品率为(1－a )(1－b )．【答案】　C3．把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )等于________.【解析】　P (AB )＝，P (A )＝，∴P (B |A )＝＝.1412141212【答案】　124．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为，，两个气象91045台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________.【解析】　P ＝1－＝.(1－910)(1－45)4950【答案】　49505．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为，，，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．131223【解】　设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝.131223停车一次即为事件BC ＋A C ＋AB ，A B C 故概率为P ＝××＋××＋××＝.(1－13)122313(1－12)231312(1－23)718我还有这些不足：(1) ___________________________________(2)___________________________________我的课下提升方案：(1) ___________________________________(2) ___________________________________学业分层测评(二)　(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )A ．0.56B ．0.48C ．0.75D ．0.6【解析】　设甲击中为事件A ，乙击中为事件B ．∵A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.56.【答案】　A2．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＜P (AB )B ．P (B |A )＝是可能的P (B )P (A )C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0【解析】　由条件概率公式P (B |A )＝及0＜P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB )，P (AB )P (A )故A 选项错误；当事件A 包含事件B 时，有P (AB )＝P (B )，此时P (B |A )＝，故B 选项正确，由于0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，故C ，D 选项错P (B )P (A )误．故选B ．【答案】　B3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )A ．B ．110210C ．D ．810910【解析】　某人第一次失败，第二次成功的概率为P ＝＝，所以9×110×9110选A ．【答案】　A4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与是( )A 2A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件【解析】　由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第A 2A 2二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与是相互独立事件．A 2【答案】　A2．如图1­2­1，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是( )图1­2­1A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06【解析】　系统可靠即A ，B ，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.【答案】　B 二、填空题6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________.【解析】　设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B ．则P (B |A )＝＝.2×53013【答案】　137．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.【解析】　设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，∴P (A )＝1－P ()＝1－(1－0.80)×(1－0.90)A＝1－0.2×0.1＝0.98.【答案】　0.988．如图1­2­2，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”．则： 【导学号：67720004】图1­2­2(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.【解析】　正方形的面积为2，圆的面积为π.(1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，∴P (A )＝.2π(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，∴P (AB )＝，12π∴P (B |A )＝＝.P (AB )P (A )14【答案】　(1)　(2)2π14三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．【解】　画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P (A )＝＝，183612P (A ∩B )＝＝，63616∴P (B |A )＝＝＝.P (A ∩B )P (A )161213则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为.1310．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．【解】　将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，所以所求概率P ＝＝.91535[能力提升]1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率13是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于( )1256A ．2个球都是白球的概率B ．2个球都不是白球的概率C ．2个球不都是白球的概率D ．2个球中恰有1个是白球的概率【解析】　记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝，它表示从131216甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故为2个球不都是白球的概率．56【答案】　C2．如图1­2­3，已知电路中4个开关闭合的概率都是且互相独立，灯亮的12概率为( )图1­2­3A ． B ．31634C ．D ．131614【解析】　因为灯不亮的概率为××1212(1－12×12)＝，所以灯亮的概率为1－＝.3163161316【答案】　C3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A ，则第2次也抽到A 的概率为________.【解析】　设第1次抽到A 为事件M ，第2次也抽到A 为事件N ，则MN 表示两次都抽到A ，P (M )＝＝，452113P (MN )＝＝，4×352×51113×17P (N |M )＝＝.P (MN )P (M )117【答案】　1174．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且455623三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率；(2)求至少有一个项目成功的概率．【解】　(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××＝，4556(1－23)29只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××＝，45(1－56)23445只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××＝，(1－45)562319∴恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.29445191945(2)三个项目全部失败的概率为××＝，(1－45)(1－56)(1－23)190∴至少有一个项目成功的概率为1－＝.1908990。

条件概率与独立事件 同步练习【选择题】1、一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回.则若已知第一只是好的，第二只也是好的概率为（ ）A ．53B ．52C ．95D ．31 2、袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率（ ） A ．53 B ．101 C ．31 D ．52 3、某射手命中目标的概率为P ，则在三次射击中至少有1次未命中目标的概率为 （ ）A ．P 3B ．(1-P)3C ．1-P 3D ．1-(1-P)34、设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）．A ．0.873B ．0.13C ．0.127D ．0.035、甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为51，31，41，则此密码能译出的概率是 （ ）A ．601B ．52C ．53 D ．6059 6、一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率为 （ ）A ．31 B ．41 C ．32 D ．52 7、n 件产品中含有m 件次品，现逐个进行检查，直至次品全部被查出为止．若第n-1次查出m-1件次品的概率为r ，则第n 次查出最后一件次品的概率为（ ）A ．1B ．r-1C ．rD ．r +18、对同一目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是 （ ）A ．0.36B ．0.64C ．0.74D ．0.63【填空题】9、某人把6把钥匙，其中仅有一把钥匙可以打开房门，则前3次试插成功的概率为 __.10、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是____________________（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是____________________11、2个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每个投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是______________________．12、有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是21，乙能解决的概率是31，两人试图独立地在半小时内解决它．则难题在半小时内得到解决的概率________.【解答题】13、设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.95，0.9．求：（1）在一次射击中，目标被击中的概率；（2）目标恰好被甲击中的概率．14、在如图所示的电路中，开关a ，b ，c 开或关的概率都为21，且相互独立，求灯 亮的概率.15、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话.参考答案1、C2、B3、C4、C5、C6、C7、A8、A9、21 10、(1) 0.67 (2) 0.60 11、0.191 12、32 13、 解：设甲击中目标事件为A ，乙击中目标为事件B ，根据题意，有P(A)＝0．95，P(B)＝0.9(1) P(A ·B +A ·B +A·B)＝P(A ·B )十P(A ·B)十P(A·B) ＝P(A)·P(B )十P(A )·P(B)十P(A)·P(B)＝0．95×(1—0．9)十(1—0．95)×0．9十0．95×0．90 ＝0．995(2) P(A ·B )＝P(A) ·P(B )＝0．95×(1一0．90)＝0．095．14、解法1：设事件A 、B 、C 分别表示开关a,b,c 关闭，则a,b 同时关合或c 关合时灯亮，即A·B·C ，A·B·C 或A ·B·C，A·B ·C，A ·B ·C 之一发生，又因为它们是互斥的，所以，所求概率为 P=P （A ·B·C ）+P （A ·B·C）+P （A·B ·C）+P （A ·B ·C）+P （A·B·C）=P （A ）·P（B ）·P（C ）+P （A ）·P（B ）·P（C ）+P （A ）·P（B ）·P （C ）+P （A ）·P（B ）·P（C ）+P （A ）·P（B ）·P（C ）=.85)21(53=⨯ 解法2：设A ，B ，C 所表示的事件与解法1相同，若灯不亮，则两条线路都不通，即C 一定开，a ，b 中至少有一个开.而a,b 中至少有一个开的概率是1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P（B ）=43， 所以两条线路皆不通的概率为P （C ）·[1－P （A ·B ）]=.834321=⋅ 于是，灯亮的概率为85831=-=P . 15、解：设A i ={第i 次拨号接通电话}，i=1，2，3. （1）第3次才接通电话可表示为321A A A ⋅⋅于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=⋅⋅A A A P（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1+32121 A A A A A ⋅⋅+⋅于是所求概率为P （A 1+32121A A A A A ⋅⋅+⋅）=P(A 1)+P(21A A ⋅)+P(321A A A ⋅⋅)=.103819810991109101=⨯⨯+⨯+。

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课时素养评价二条件概率与独立事件(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为( )A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9【解析】选C.设“第一个路口遇到红灯”为事件A,“第二个路口遇到红灯”为事件B,则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,则P(B|A)==0.8.2.在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x),若A=, B=,则P(B|A)等于( )A. B. C. D.【解析】选A.P(A)==.因为A∩B=,所以P(AB)==,所以P(B|A)===.3.下列说法正确的是( )A.P(B|A)<P(AB)B.P(B|A)=是可能的C.0<P(B|A)<1D.P(A|A)=0【解析】选B.由条件概率公式P(B|A)=及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB),故A选项错误;当事件A包含事件B时,有P(AB)=P(B),此时P(B|A)=,故B选项正确,由于0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1,故C,D选项错误.4.7名同学站成一排,已知甲站在中间,则乙站在末尾的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.记“甲站在中间”为事件A,“乙站在末尾”为事件B, 则n(A)=6×5×4×3×2×1=720,n(AB)=5×4×3×2×1=120,P(B|A)==.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A|B)=0.6,则P(B|A)为________.【解析】因为P(A|B)=,所以P(AB)=0.3.所以P(B|A)===0.75.答案:0.756.生产零件需要经过两道工序,在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p,每道工序产生废品相互独立,若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3,则p=________.【解析】因为生产零件需要经过两道工序,在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p,每道工序产生废品相互独立,经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3,所以由题意得:(1-0.01)(1-p)=0.960 3,解得p=0.03.答案:0.03三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知男人中有5%患色盲,女人中有0.25%患色盲,从100个男人和100个女人中任选一人.(1)求此人患色盲的概率.(2)如果此人是色盲,求此人是男人的概率.【解析】设“任选一人是男人”为事件A;“任选一人是女人”为事件B,“任选一人是色盲”为事件C.(1)P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=.(2)P(A|C)===.8.某投资商准备在某市投资甲、乙、丙三个不同的项目,这三个项目投资是否成功相互独立,预测结果如表:预测结果项目概率成功失败甲乙丙(1)求恰有一个项目投资成功的概率.(2)求至少有一个项目投资成功的概率.【解析】(1)设投资甲、乙、丙三个不同项目成功的事件分别为A,B,C, P1=P(A + B + C)=××+××+××=.所以恰有一个项目投资成功的概率为.(2)P2=1-P()=1-××=,所以至少有一个项目投资成功的概率为.(15分钟·30分)1.(5分)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,下列各组事件是相互独立事件的组数为 ( )①A={掷出偶数点},B={掷出奇数点};②A={掷出偶数点},B={掷出3点};③A={掷出偶数点},B={掷出3的倍数点};④A={掷出偶数点},B={掷出的点数小于4};A.1B.2C.3D.4【解析】选A.①P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,所以A与B不相互独立.②P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,所以A与B不相互独立.③P(A)=,P(B)=,P(AB)=,P(AB)=P(A)P(B),所以A与B相互独立.④P(A)=,P(B)=,P(AB)=,P(A)P(B)≠P(AB),所以A与B不相互独立.2.(5分)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则等于( )A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率【解析】选 C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,由于A,B相互独立,所以1-P()P()=1-×=.根据互斥事件可知C正确.3.(5分)6位同学参加百米短跑初赛,赛场共有6条跑道,已知甲同学排在第一跑道,则乙同学排在第二跑道的概率是________.【解析】甲同学排在第一跑道后,还剩5个跑道,则乙排在第二跑道的概率为.答案:4.(5分)已知甲有5张红卡、2张蓝卡和3张绿卡,乙有4张红卡、3张蓝卡和3张绿卡.他们分别从自己的10张卡片中任取一张进行打卡游戏比赛.设事件A1,A2,A3表示甲取出的一张卡分别是红卡、蓝卡和绿卡;事件B表示乙取出的一张卡是红卡,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①P(B)=;②P(A1|B)=;③事件B与事件A1相互独立;④A1,A2,A3是彼此相互独立的事件;⑤A1,A2,A3是两两互斥的事件.【解析】因为P(B)==,所以①错误;因为事件B与事件A1相互独立,所以P(A1|B)=P(A1)==,所以②错误,③正确;A1,A2,A3是两两互斥的事件,所以④错误,⑤正确.答案:③⑤5.(10分)在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立.(1)求恰有两个项目成功的概率.(2)求至少有一个项目成功的概率.【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××=,只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××=, 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××=,所以恰有两个项目成功的概率为++=.(2)三个项目全部失败的概率为××=,所以至少有一个项目成功的概率为1-=.乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,每次发球的胜负结果相互独立.甲、乙在一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率.(2)求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.【解析】记A i表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i 分,i=0,1,2;B i表示事件:第3次和第4次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;A表示事件:第3次发球,甲得1分;B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2;C表示事件:开始第5次发球时,甲得分领先.(1)B=A0·A+A1·,P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48,P(B)=P(A0·A+A1·)=P(A0·A)+P(A1·)=P(A0)P(A)+P(A1)P()=0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352.(2)P(B0)=0.62=0.36,P(B1)=2×0.4×0.6=0.48,P(B2)=0.42=0.16,P(A2)=0.62=0.36.C=A1·B2+A2·B1+A2·B2P(C)=P(A1·B2+A2·B1+A2·B2)=P(A1·B2)+P(A2·B1)+P(A2·B2)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16=0.307 2.关闭Word文档返回原板块。

高中数学 1.2.1 条件概率与独立事件同步精练 北师大版选修1-21．下列说法正确的是( )．A ．P (B |A )<P (AB )B ．是可能的C ．0<P (B |A )<1D ．P (A |A )＝02．下列事件A 、B 是独立事件的是( )．A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“人能活到20岁”，B ＝“人能活到50岁”3．如图，A 、B 、C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9、0.8、0.7，那么系统的可靠性是( )．A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.064．某人每周晚上值班2次，在已知他星期日一定值班的前提下，则值班表安排他连续两天值班的概率为( )． D. C. B. A. __________.＝)AB (P ，__________等于)B (P 则．设5 6．某个家庭中有2个小孩，已知其中1个是男孩，则另1个也是男孩的概率为________．7．某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．8．任意向x 轴上(0,1)这一区间内投掷一个点，问：内的概率是多少？该点落在区间(1)内的概率．(2)在的条件下，求该点落在(1)9.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.与(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．参考答案1．B 显然当P (AB )＝P (B )时B 成立．2．A 依据独立事件定义，B ，C ，D 中两事件发生的概率显然相互影响．3. B 系统可靠即A 、B 、C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.4．A 设事件A 表示“他星期日值班”，事件B 表示“他连续两天值班”(星期六、星期日和星期日、星期一值班都是连续两天值班)． ，， .∴ .∵ 5. .＝)AB (P ，)B (P ＝＝)A (P 种可能：两个都是男孩，第一个是男孩，第二个是4一个家庭的两个小孩只有 6. 女孩，第一个是女孩，第二个是男孩，两个都是女孩，由题目可知这4个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为Ω，A 表示“其中一个是男孩”，B 表示“另一个也是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，男)}，∴n (A )＝3，n (AB )＝1..故 7．解：记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B . ，，.8．解：由题意可知，任意向(0,1)这一区间内投掷一点，该点落在(0,1)内任意位置是，由几何概型的计算公式可知．＝A 等可能的，令 .(1) ，，则令(2) .∴ 故在A 的条件下B 发生的概率为 .9.，，则B 为事件”乙投一次命中“，A 为事件”甲投一次命中“记(1)解：.，， 恰好命中一次的概率为∴.，则1P 的概率为”甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中“设事件(2). .甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少一次命中的概率为∴。

第一章§课时作业一、选择题．若¬是¬的必要条件，则是的( )．充分条件．必要条件．非充分条件．非必要条件解析：¬是¬的必要条件，即¬⇒¬为真命题，故¬⇒¬的逆否命题⇒也为真命题．∴是的必要条件．答案：．对任意实数，，，在下列命题中，真命题是( )．“>”是“>”的必要条件．“＝”是“＝”的必要条件．“>”是“>”的充分条件．“＝”是“＝”的充分条件解析：当＝时，＝，而当＝时，若＝，则和不一定相等．答案：．[·湖北高考]设为全集．，是集合，则“存在集合使得⊆，⊆∁”是“∩＝∅”的( )．充分而不必要的条件．必要而不充分的条件．充要条件．既不充分也不必要的条件解析：由韦恩图易知充分性成立．反之，∩＝∅时，不妨取＝∁，此时⊆.必要性成立．故选.答案：．一次函数＝－＋的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )．>，> ．<．<，< ．>解析：一次函数＝－＋的图像同时经过第一、二、四象限，即(\\(－()<，,()>，))得>，>.由题意可得，>，>可以推出选项条件，而反之不成立，所以选.答案：二、填空题．用“充分条件”和“必要条件”填空．()“＝”是“＋＝”的．()“△≌△′′′”是“△∽△′′′”的．解析：()＝＋＝(如＝＝－)，＋＝⇒()＝⇒＝.()△≌△′′′⇒△∽△′′′，△∽△′′′△≌△′′′.答案：()必要条件()充分条件．已知α、β是不同的两个平面，直线⊂α，直线⊂β，：与无公共点，：α∥β，则是的条件．解析：面面平行时定有分别位于两个面内的直线无公共点，但是两个面内的直线无公共点时，这两个面的关系可能是平行的，也可能是相交，故是的必要不充分条件．答案：必要不充分．已知：＋－>，：>，若是的充分不必要条件，则的取值范围是．解析：将，分别视为集合＝{＋－>}＝{>或<－}，＝{>}，已知是的充分不必要条件，即，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的的取值范围为≥.答案：≥三、解答题．下列命题中，判断条件是条件的什么条件：()：＝，：＝；()：△是直角三角形，：△是等腰三角形；()：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形．解：()∵＝＝，但＝⇒＝，∴是的必要条件，但不是充分条件．()△是直角三角形△是等腰三角形．△是等腰三角形△是直角三角形．∴既不是的充分条件，也不是的必要条件．()四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴是的必要条件，但不是充分条件．．[·河南省郑州一中月考]已知：关于的不等式<<，：(－)<，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．解：记＝{<<}，＝{(－)<}＝{<<}，若是的充分不必要条件，则.。

选修1-2　第一章　§2　课时作业34一、选择题1．对于独立性检验，下列说法中错误的是( )A. χ2的值越大，说明两事件相关程度越大B. χ2的值越小，说明两事件相关程度越小C. χ2≤3.841时，有95%的把握说事件A与B无关D. χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关解析：在独立性检验中，随机变量χ2的取值大小可说明两个变量相关的程度．一般地随机变量χ2的值越大，两变量的相关程度越大，反之就越小．两个临界值χ2>6.635说明有99%的把握认为二者有关系，χ2≤3.841则说明二者几乎无关．因此可知C中说法是不正确的．答案：C　2．变量X和Y的列联表如下：y1y2总计x1a b a＋bx2c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d则下列说法正确的是( )A. ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B. ad－bc越大，说明X与Y关系越弱C. (ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D. (ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强解析：对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强．答案：C　3．[2014·广州高二检测]利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验，现通过计算高中生的性别与喜欢数学课程列联表中的数据，得到χ2≈5.12，并且知道P(χ2≥3.841)≈0.05，那么下列结论中正确的是( )A．100个高中生中只有5个不喜欢数学B．100个高中生中只有5个喜欢数学C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为高中生的性别与喜欢数学课程有关系D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为高中生的性别与喜欢数学课程没有关系解析：当χ2≈5.12时，P(χ2≥3.841)≈0.05，说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为高中生性别与喜欢数学课程有关系．答案：C　4．[2014·江西高考]某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 成绩不及格及格总计性别 男61420女102232总计163652表2 视力好差总计性别 男41620女122032总计163652表3 智商偏高正常总计性别 男81220女82432总计163652表4 阅读量性别 丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A. 成绩B. 视力C. 智商D. 阅读量解析：因为χ＝2152×(6×22－14×10)216×36×32×20＝，52×8216×36×32×20χ＝＝，252×(4×20－16×12)216×36×32×2052×112216×36×32×20χ＝＝，2352×(8×24－12×8)216×36×32×2052×96216×36×32×20χ＝＝，2452×(14×30－6×2)216×36×32×2052×408216×36×32×20则有χ>χ>χ>χ，所以阅读量与性别关联的可能性最大．2422321答案：D 二、填空题5．下列说法正确的是__________．①对事件A 与B 的检验无关，即两个事件互不影响②事件A 与B 关系越密切，χ2就越大③χ2的大小是判断事件A 与B 是否相关的唯一数据④若判定两事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生解析：对于①，事件A 与B 的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错．②是正确的．对于③，判断A 与B 是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故③错．对于④，两事件A 与B 有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A 发生B 一定发生，故④错．答案：②6．在一次独立性检验中，有300人按性别和是否色弱分类如下表：男女正常142140色弱135由此表计算得χ2≈________.(结果保留两位小数)解析：代入χ2公式计算即可．答案：3.247．[2013·广东湛江一模]为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球总计男生20525女生101525总计302050则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示)．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析：χ2＝＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )≈8.333>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提50×(20×15－5×10)225×25×30×20下认为喜爱打篮球与性别有关．答案：1%三、解答题8．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？解：(1)由已知可列2×2列联表：患胃病未患胃病总计生活规律20200220生活不规律60260320总计80460540(2)根据列联表中的数据，由计算公式得χ2的值：χ2＝≈9.638.540×(20×260－200×60)2220×320×80×460因为9.638>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．9．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：积极支持改革不太赞成改革合计工作积极544094工作一般326395合计86103189依据表中的数据对人力资源部的研究项目进行分析，能够得出什么结论？解：计算χ2＝≈10.759.189×(54×63－32×40)294×95×86×103由于10.759>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2条件概率与独立事件 同步练习【选择题】1、一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回.则若已知第一只是好的，第二只也是好的概率为（ ）A ．53B ．52 C ．95D ．312、袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率（ ）A ．53B ．101C ．31 D ．523、某射手命中目标的概率为P ，则在三次射击中至少有1次未命中目标的概率为（ ）A ．P 3B ．(1-P)3C ．1-P 3D ．1-(1-P)34、设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）．A ．0.873B ．0.13C ．0.127D ．0.035、甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为51，31，41，则此密码能译出的概率是 （ ）A ．601 B ．52C ．53D ．6059 6、一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率为 （ ） A ．31 B ．41C ．32D ．527、n 件产品中含有m 件次品，现逐个进行检查，直至次品全部被查出为止．若第n-1次查出m-1件次品的概率为r ，则第n 次查出最后一件次品的概率为（ ）A ．1B ．r-1C ．rD ．r +18、对同一目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是 （ ）A ．0.36B ．0.64C ．0.74D ．0.63【填空题】9、某人把6把钥匙，其中仅有一把钥匙可以打开房门，则前3次试插成功的概率为__.10、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是____________________（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是____________________11、2个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每个投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是______________________． 12、有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是21，乙能解决的概率是31，两人试图独立地在半小时内解决它．则难题在半小时内得到解决的概率________.【解答题】13、设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.95，0.9．求： （1）在一次射击中，目标被击中的概率； （2）目标恰好被甲击中的概率．14、在如图所示的电路中，开关a ，b ，c 开或关的概率都为21，且相互独立，求灯亮的概率.15、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： （1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话.参考答案1、C2、B3、C4、C5、C6、C7、A8、A9、21 10、(1) 0.67 (2) 0.60 11、0.191 12、32 13、 解：设甲击中目标事件为A ，乙击中目标为事件B ，根据题意，有P(A)＝0．95，P(B)＝0.9(1) P(A ·B +A ·B+A ·B)＝P(A ·B )十P(A ·B)十P(A ·B) ＝P(A)·P(B )十P(A )·P(B)十P(A)·P(B)＝0．95×(1—0．9)十(1—0．95)×0．9十0．95×0．90 ＝0．995(2) P(A ·B )＝P(A) ·P(B )＝0．95×(1一0．90)＝0．095．14、解法1：设事件A 、B 、C 分别表示开关a,b,c 关闭，则a,b 同时关合或c 关合时灯亮，即A ·B ·C ，A ·B ·C 或A ·B ·C ，A ·B ·C ，A ·B ·C 之一发生，又因为它们是互斥的，所以，所求概率为 P=P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ）=.85)21(53=⨯解法2：设A ，B ，C 所表示的事件与解法1相同，若灯不亮，则两条线路都不通，即C 一定开，a ，b 中至少有一个开.而a,b 中至少有一个开的概率是 1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P （B ）=43， 所以两条线路皆不通的概率为P （C ）·[1－P （A ·B ）]=.834321=⋅于是，灯亮的概率为85831=-=P .15、解：设A i ={第i 次拨号接通电话}，i=1，2，3.（1）第3次才接通电话可表示为321A A A ⋅⋅于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=⋅⋅A A A P （2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1+32121 A A A A A ⋅⋅+⋅于是所求概率为 P （A 1+32121A A A A A ⋅⋅+⋅）=P(A 1)+P(21A A ⋅)+P(321A A A ⋅⋅)=.103819810991109101=⨯⨯+⨯+。

§2独立性检验2.1条件概率与独立事件课时过关·能力提升1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解出这个问题的概率是p1,乙解出这个问题的概率为p2,那么恰好有一人解决了这个问题的概率是()A.p1p2B.p1(1-p2)+p2(1-p1)C.1-p1p2D.1-(1-p1)(1-p2)答案:B2.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡除灯口外,其他均相同,且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从盒中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A.310 B.29C.78D.79解析:记事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”,事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”,则P(A)=310,P(AB)=310×79=2190=730.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽到卡口灯泡的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=730310=79.答案:D3.设M,N为两个随机事件,给出以下命题:①若M,N为互斥事件,且P(M)=15,P(N)=14,则P(M∪N)=920;②若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则M,N为相互独立事件;③若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则M,N为相互独立事件;④若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则M,N为相互独立事件;⑤若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=56,则M,N为相互独立事件.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:D4.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件A表示“出现偶数点”,事件B表示“出现3点或6点”,则事件A与B的关系为()A.互斥事件B.相互独立事件C.既是互斥事件又是相互独立事件D.既不是互斥事件又不是相互独立事件解析:因为A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以P(A)=12,P(B)=13,P(AB)=16=12×13,所以A与B是相互独立事件.答案:B5.设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9,活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物,它能活到15岁的概率是()A.35 B.310C.23D.2750答案:C6.若两个独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)=( )A.29 B.118C.13D.23解析:由P(AB)=P(BA),得P(A)P(B)=P(B)P(A),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],得P(A)=P(B).又P(A B)=19,则P(A)=P(B)=13.故P(A)=23.答案:D7.★先后两次掷一枚质地均匀的骰子,再次落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则概率P(B|A)=()A.12 B.13C.14D.25解析:由题意知,若事件A“x+y为偶数”发生,则x,y两个数均为奇数或均为偶数,其有2×3×3=18个基本事件.故P(A)=1836=12.而A,B同时发生的基本事件有“2+4”“2+6”“4+2”“4+6”“6+2”“6+4”共6个基本事件.故P(AB)=636=16,所以在事件A发生的情况下,事件B发生的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=13.答案:B8.在一次三人象棋对抗赛中(无平局结果),甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,若比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者,则乙连胜四局的概率为.解析:乙连胜四局,即乙先胜甲,然后胜丙,接着再胜甲,最后再胜丙,概率为(1-0.4)×0.5×(1-0.4)×0.5=0.09.答案:0.099.如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=.解析:依题意,得P(A)=√2×√2π=2π,P(AB)=12×1×1π=12π,则由条件概率的意义可知P(B|A)=P(AB)P(A)=14.答案:1410.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10道不同的题目,其中选择题6道,判断题4道,甲、乙两人不放回地依次各抽1题,在甲抽到选择题的前提下,乙抽到判断题的概率是多少?分析:本题为条件概率,事件A为甲抽到选择题,事件B为乙抽到判断题.本题所求为在事件A发生的条件下事件B发生的概率.解:设甲抽到选择题为事件A,乙抽到判断题为事件B,则P(A)=610=35,P(AB)=6×410×9=415.所以P(B|A)=P(AB)P(A)=41535=49,即所求概率为49.11.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为25,34,13,若对这三名短跑运动员100 m跑的成绩进行一次检测,求:(1)三人成绩都合格的概率;(2)三人成绩都不合格的概率;(3)出现几人成绩合格的概率最大.解:设甲、乙、丙三人100 m跑的成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,则P(A)=25,P(B)=34,P(C)=13.设恰有k人成绩合格的概率为P k(k=0,1,2,3).(1)三人成绩都合格的概率为P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25×34×13=110.(2)三人成绩都不合格的概率为P0=P=P(A)P(B)P(C)=35×14×23=110.(3)恰有两人成绩合格的概率为P2=P(A BC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360.恰有一人成绩合格的概率为P1=1-P0-P2-P3=1−110−2360−110=2560=512.结合(1)(2)可知P1最大.故出现恰有一人成绩合格的概率最大.12.★一个元件能正常工作的概率叫这个元件的可靠性,设构成系统的每个元件的可靠性为P(0<P<1),且每个元件能否正常工作是相互独立的.现有6个元件按如图所示的两种联接方式构成两个系统(Ⅰ),(Ⅱ),试分别求出它们的可靠性,并比较它们可靠性的大小.解:系统(Ⅰ)有两条道路,它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作,而每条道路能正常工作当且仅当它的每个元件都能正常工作.系统(Ⅰ)每条道路正常工作的概率是P3,不能正常工作的概率是1-P3,系统(Ⅰ)不能正常工作的概率为(1-P3)2.故系统(Ⅰ)正常工作的概率是P1=1-(1-P3)2=P3(2-P3).系统(Ⅱ)由3对并联元件串联而成,它能正常工作当且仅当每对并联元件都能正常工作,由于每对并联元件不能正常工作的概率为(1-P)2,因而每对并联元件正常工作的概率是1-(1-P)2,故系统(Ⅱ)正常工作的概率是P2=[1-(1-P)2]3=P3(2-P)3.又P1-P2=P3(2-P3)-P3(2-P)3=-6P3(P-1)2<0,所以P1<P2,故系统(Ⅱ)的可靠性大.由Ruize收集整理。

§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件 学习目标 1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一 条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格． 令A ＝{产品的长度合格}，B ＝{产品的质量合格}，AB ＝{产品的长度、质量都合格}． 思考1 试求P (A )，P (B )，P (AB )．答案 P (A )＝93100，P (B )＝90100，P (AB )＝85100. 思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B 发生)，求它的长度(即A 发生)也合格(记为A |B )的概率．答案 事件A |B 发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P (A |B )＝8590. 思考3 P (B )，P (AB )，P (A |B )间有怎样的关系．答案 P (A |B )＝P (AB )P (B ). 梳理 条件概率(1)概念事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )．(2)公式P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )(其中，A ∩B 也可以记成AB )． (3)当P (A )>0时，A 发生时B 发生的条件概率为P (B |A )＝P (AB )P (A ). 知识点二 独立事件甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．思考1 事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？答案 不影响．思考2 P (A )，P (B )，P (AB )的值为多少？答案 P (A )＝35，P (B )＝12， P (AB )＝3×25×4＝310. 思考3 P (AB )与P (A )，P (B )有什么关系？答案 P (AB )＝P (A )·P (B )．梳理 独立事件(1)概念：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立．(2)推广：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．(3)拓展：若A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．1．在“A 已发生”的条件下，B 发生的概率可记作P (A |B )．( × )2．在某种情况下，条件概率中的条件意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算．( √ )3．如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( √ )4．“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( √ )类型一 条件概率例1 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？解 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则：(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23.(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60. 反思与感悟 条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).特别地，当B ⊆A 时，P (B |A )＝P (B )P (A ). (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 跟踪训练1 某地区气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率是110，设下雨为事件A ，刮风为事件B .求： (1)P (A |B )；(2)P (B |A )．考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率解 由题意知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110. (1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝110215＝34. (2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38. 类型二 事件的独立性的判断例2 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．考点 相互独立事件的定义题点 相互独立事件的判断解 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12. 由此可知P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38， 显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立． 从而事件A 与B 是相互独立的．反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立．(3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．跟踪训练2 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 是“第一枚为正面”，事件B 是“第二枚为正面”，事件C 是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填序号)①A ，B ；②A ，C ；③B ，C .考点 相互独立事件的定义题点 相互独立事件的判断答案 ①②③解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要P (AB )＝P (A )P (B )，P (AC )＝P (A )P (C )，P (BC )＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C 相互独立．类型三求相互独立事件的概率例3小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率解用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A，B，它们发生的概率分别为P(A)，P(B)，那么：。