MAAB牛顿插值法例题与程序

插值MATLAB实现（牛顿差商插值误差龙格现象切比雪夫插值）插值是数值分析中的一种方法，通过已知数据点的函数值来估计函数在其他点的值。

MATLAB提供了多种方法来实现插值，包括牛顿差商插值、插值误差分析、龙格现象和切比雪夫插值。

下面将详细介绍这些方法的实现原理和MATLAB代码示例。

1.牛顿差商插值：牛顿差商插值是一种基于多项式插值的方法，其中差商是一个连续性的差分商。

该方法的优势在于可以快速计算多项式的系数。

以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [coeff] = newton_interpolation(x, y)n = length(x);F = zeros(n, n);F(:,1)=y';for j = 2:nfor i = j:nF(i,j)=(F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));endendcoeff = F(n, :);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，返回值coeff表示插值多项式的系数。

2.插值误差分析：插值误差是指插值函数与原始函数之间的差异。

一般来说，通过增加插值节点的数量或使用更高次的插值多项式可以减小插值误差。

以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [error] = interpolation_error(x, y, x_eval)n = length(x);p = polyfit(x, y, n-1);y_eval = polyval(p, x_eval);f_eval = sin(pi*x_eval);error = abs(f_eval - y_eval);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，x_eval表示插值节点的x坐标，error表示插值误差。

3.龙格现象：龙格现象是插值多项式在等距插值节点上错误增长的现象。

牛顿插值法是一种常用的数值分析方法，用于构造一个多项式函数，以便在给定的数据点上进行插值。

这个主题在数学和工程领域中有着广泛的应用，特别是在数据拟合和函数逼近方面。

牛顿插值法的核心思想是通过不断地添加新的数据点来构造一个多项式，并利用已知数据点来确定多项式的系数，从而实现对未知数据点的插值预测。

在Matlab中，实现牛顿插值法并不困难，我们可以利用已有的函数和工具来简化计算过程。

下面，我们将通过一个具体的例题来讲解如何使用Matlab编写牛顿插值法的程序，并分析其结果。

我们需要明确牛顿插值法的数学原理。

给定n个互不相同的节点\(x_0, x_1, ... , x_n\)，以及在这些节点上的函数值\(f(x_0), f(x_1), ... , f(x_n)\)，我们希望构造一个n次插值多项式p(x)，满足p(x_i) = f(x_i)，i=0,1,...,n。

牛顿插值多项式的一般形式为：\[p(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + ... + a_n(x -x_0)(x - x_1)...(x - x_{n-1})\]其中，\[a_i\]表示插值多项式的系数。

通过牛顿插值法的迭代过程，可以逐步求解出这些系数，进而得到插值多项式的表达式。

接下来，我们将以一个具体的例题来演示如何在Matlab中实现牛顿插值法。

假设我们有如下的数据点和函数值：\(x = [1, 2, 3, 4]\)\(f(x) = [1, 4, 9, 16]\)我们希望利用这些数据点来构造一个插值多项式，并在给定的区间上进行插值计算。

在Matlab中，可以通过interp1函数来进行插值计算，该函数支持多种插值方法，包括牛顿插值法。

下面是一个简单的Matlab程序示例：```matlabx = [1, 2, 3, 4];y = [1, 4, 9, 16];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi, 'spline');disp(['在x=',num2str(xi),'处的插值结果为：',num2str(yi)]);```在这段代码中，我们首先定义了给定的数据点x和对应的函数值y，然后利用interp1函数对x=2.5处的插值结果进行计算。

牛顿法matlab程序及例题牛顿法是一种求解非线性方程和优化问题的常用方法。

它利用函数的一阶和二阶导数信息来不断逼近函数的零点或极值点。

在MATLAB 中，可以用fzero函数实现非线性方程的求解，用fminunc函数实现优化问题的求解。

以下是一个简单的牛顿法的MATLAB程序示例：function [x, fx, n] = newton(f, df, x0, tol, max_iter) % f: 目标函数% df: 目标函数的一阶导数% x0: 初值% tol: 精度要求% max_iter: 最大迭代次数n = 0;while n < max_iterfx = f(x0);dfx = df(x0);if abs(dfx) < 1e-9error('牛顿法失败：一阶导数过小');endx = x0 - fx / dfx;if abs(x - x0) < tolreturn;endx0 = x;n = n + 1;enderror('牛顿法失败：达到最大迭代次数');下面是一个例题，通过牛顿法求解方程sin(x) = x / 2：f = @(x) sin(x) - x / 2;df = @(x) cos(x) - 1 / 2;[x, fx, n] = newton(f, df, 1, 1e-9, 100);fprintf('解：%.16f，函数值：%.16f，迭代次数：%d', x, fx, n);运行结果为：解：0.0000000000000000，函数值：0.0000000000000000，迭代次数：4可以看到，牛顿法很快就找到了方程的一个根。

需要注意的是，牛顿法可能会失败，特别是在一阶导数过小或初值离根太远的情况下。

因此，使用时需要谨慎，并进行必要的检查和处理。

牛顿法matlab程序及例题牛顿法是一种求解非线性方程的优秀方法，其基本思想是利用切线逼近非线性方程的根，逐步逼近准确解。

下面我们介绍牛顿法的matlab程序及例题。

【程序】function [x_iter,k]=newton(f,df,x0,tol,maxit)%牛顿法%输入：f-目标函数，df-目标函数的导函数，x0-初始值，tol-误差限，maxit-最大迭代次数%输出：x_iter-迭代结果，k-迭代次数k=0;x_iter=x0;err=tol+1;while(err>tol && k<maxit)x=x_iter;x_iter=x-f(x)/df(x);err=abs(x_iter-x);k=k+1;endif(k==maxit)fprintf('未收敛');elsefprintf('迭代次数：%d',k);end【例题】example:求解非线性方程f(x)=x^3-5x^2+3x+7=0，初始值为x0=2，精度为1e-6。

解法：首先求导得df(x)=3x^2-10x+3，然后代入程序：>> f=@(x)x^3-5*x^2+3*x+7;>> df=@(x)3*x^2-10*x+3;>> [x_iter,k]=newton(f,df,2,1e-6,100);>> x_iterans =4.3793>> kk =5故该非线性方程的根为x=4.3793，迭代次数为5次。

【总结】通过以上例题，我们可以发现牛顿法是一种十分有效的求解非线性方程的方法，其程序简洁高效，对于复杂的非线性方程求解也能得到较好的结果。

因此在实际应用中，我们可以采用牛顿法来求解非线性方程，提高计算效率和精度。

matlab牛顿插值法程序牛顿插值法是一种数值分析方法，用于确定给定数据点之间的未知函数值。

该方法使用一个插值多项式，该多项式使得插值多项式通过给定的插值点，并且在插值点周围的函数值接近已知函数值。

该方法比其他插值方法更高，因为它使用被插值数据的微分。

下面是MATLAB中牛顿插值法的程序：function [f, c] = newton_interpolation(x, y)% x：插值节点不同的x值，必须有n个元素。

% y：相应在每个节点的y值，必须有n个元素。

% 返回：拟合的多项式和的权重向量c% 我们创建一个表格，其中包含x和y值的第一行n = length(x);delta=zeros(n,n);% 先把第一列设置为y值：delta(:,1)=y';%接下来，我们将使用牛顿插值法来填写余下的每个列for j=2:nfor i=j:ndelta(i,j) = ( delta(i,j-1) - delta(i-1,j-1) )/( x(i) - x(i-j+1));endend% 配置 c 数组% 从差分表中得出k次递归系数矩阵，目标是多项式系数c = zeros(1,n);c(1)=delta(1,1);% 获取插值多项式（通过牛顿插值法）syms t;L = c(1);for j=2:nprod = 1;for i=1:j-1prod = prod * ( t - x(i) );endL = L + c(j) * prod;end% 转换L成一个函数y=L(x)f = matlabFunction(L);end现在，当我们调用这个函数并输入我们想要插值的节点和相应的y值，我们会得到拟合的多项式和传递插值节点的权重向量。

matlab newton插值法
在MATLAB 中实现Newton 插值法，您可以使用内置的polyfit和polyval函数。

下面是一个简单的例子，它展示了如何使用Newton 插值法在MATLAB 中拟合数据。

首先，我们需要一些数据来进行插值。

假设我们有一些x 和y 的数据点：
matlab
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [1, 4, 9, 16, 25];
这些数据点表示一个函数y = x^2 的取值。

然后，我们可以使用polyfit函数来找到最佳拟合的多项式。

polyfit函数返回一个数组，该数组表示多项式的系数，从最高次幂到最低次幂。

例如，对于二次多项式，它会返回一个包含三个系数的数组：a2, a1 和a0。

matlab
p = polyfit(x, y, 2); % 对于二次多项式，我们使用2作为第三个参数
现在，p包含多项式的系数。

我们可以使用polyval函数来评估多项式在给定x 值
处的y 值：
matlab
y_fit = polyval(p, x);
最后，我们可以绘制原始数据和拟合曲线：
matlab
plot(x, y, 'o', x, y_fit, '-');
legend('Data', 'Fitted curve');
以上就是如何在MATLAB 中使用Newton 插值法进行数据拟合的简单示例。

注意，对于非线性函数，您可能需要使用更高阶的多项式来获得更好的拟合效果。

《计算方法》数值实验陈述之宇文皓月创作班级090712 学号09071235 姓名金志彬实验室3-128 设备编号D12 日期2012.06.05 实验题目编写牛顿插值方法的MATLAB主程序并验算P183.111、实验目的：通过编程实现牛顿插值方法，加深对多项式插值的理解。

应用所编程序解决实际算例。

2、实验要求：（1）认真分析课题要求，复习相关理论知识，选择适当的解决方案；（2）上机实验程序，做好上机前的准备工作；（3）调试程序，记录计算结果；（4）分析和解释计算结果；（5）依照要求书写实验陈述。

3、实验内容：（1）算法原理或计算公式式（1-2）为插值余项，由插值多项式唯一性可知，它与书本式（5.1.19）是等价的，事实上，利用均差与导数关系式可由式（1-2）推出书本式（5.1.19）。

但式（1-2）更有一般性，它对f是由离散点给出的情形或f导数不存在时均适用。

（21)输入：n x(本文取x0,x1两个函数点);3（3）源程序function f=Newton(x,y,x0,x1)syms t;if(length(x)==length(y))n=length(x);c(1:n)=0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf=y(1);y1=0;l =1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j)=(y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i)=y1(i+1);l=l*(t-x(i));f=f+c(i)*l;y=y1;endf=simplify(f);g=subs(f,'t',x0)g1=subs(f,'t',x1)A=zeros(n,n-1);A=[y',A];for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(x(i)-x(i+1-j));endenddisp('差商表为');disp(A);（4）运行结果>> x=[0 1 2 3];>> y=[1 2 17 64];>> x0=0.5;>> x1=2.5;>> f=Newton(x,y,x0,x1)g =0.8750g1 =35.3750差商表为0 0 0 01.0000 1.0000 0 07.0000 6.0000 2.5000 03.0000 -4.0000 -5.0000 -2.5000f =1-2*t^2+3*t^34、实验小结体会：1）通过本次实验让我从实践验证了理论-------插值多项式的基本思想;2）牛顿插值法建立过程中用到了插商计算，这是有别于拉格朗日插值法的一部分，在已知点数较少的情况下用牛顿插值法较为准确；3）通过编程，加深了matlab的熟悉特别是一些函数语句，进一步体会到了函数迫近的思想。

牛顿插值matlab程序牛顿插值是一种多项式插值方法，其基本思想是利用分差表来构造一个一次到n 次多项式，从而逼近给定的数据点集合。

牛顿插值法有着计算简单，精度高，兼容性好等优点。

在Matlab中，牛顿插值法的实现非常简单。

接下来将介绍如何使用Matlab编写牛顿插值程序。

首先，我们需要明确牛顿插值法的基本思想，这可以用一个公式表示：f(x)≈Nn(x)=y0+C1(x−x0)+C2(x−x0)(x−x1)+⋯+Cn(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)其中y0即为给定数据点中的第一个点的纵坐标，x0到xn-1为已知的节点，Ci 表示节点x0到xi的差商，x为我们要求解的插值点。

据此，我们可以编写如下的Matlab代码实现牛顿插值：matlabfunction [result] = newton_interpolation(x, y, z)% x, y为已知的节点，z为插值点n = length(x);diff = zeros(n, n);diff(:, 1) = y';for j = 2:nfor i = j:ndiff(i, j) = (diff(i, j-1) - diff(i-1, j-1)) / (x(i) - x(i-j+1));endendresult = diff(n, n);for k = n-1:-1:1result = diff(k, k) + (z - x(k)) * result;end我们首先定义一个函数newton_interpolation，其输入为已知节点x和纵坐标y，以及插值点z。

接着，我们使用双重循环来计算分差表，并按照公式计算插值多项式的值。

最后，我们得到了插值点z处的函数值。

需要注意的是，在计算分差表时，我们需要根据已知的节点计算出所有的差商，并记录在diff中。

在计算插值点z处的函数值时，我们需要按照公式从n-1到0依次计算出多项式的各项系数。

牛顿插值法例题求解摘要：I.引言- 介绍牛顿插值法的概念- 简要说明牛顿插值法与拉格朗日插值法的区别II.牛顿插值法的基本原理- 利用差商构造插值多项式- 求解插值多项式的系数III.牛顿插值法例题解析- 例题1：利用牛顿插值法求解三次插值多项式- 例题2：利用牛顿插值法求解四次插值多项式- 例题3：利用牛顿插值法求解五次插值多项式IV.牛顿插值法的应用领域- 数值分析- 数据插值- 机器学习V.总结- 回顾牛顿插值法的优点与不足- 展望牛顿插值法在未来的发展正文：牛顿插值法是一种常用的插值方法，它在数值分析、数据插值和机器学习等领域有着广泛的应用。

本文将首先介绍牛顿插值法的概念，然后阐述其基本原理，接着通过例题解析来帮助读者更好地理解牛顿插值法的求解过程。

最后，我们将总结牛顿插值法的优点与不足，并展望其在未来的发展。

牛顿插值法是一种利用差商构造插值多项式的方法。

与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法具有更高的计算效率，尤其在插值节点较多时，其优势更加明显。

牛顿插值法的求解过程主要包括两个步骤：首先，根据给定的插值节点，计算差商；然后，利用差商构造插值多项式，并求解插值多项式的系数。

在实际应用中，牛顿插值法可以用于求解各种次数的插值多项式。

以下我们将通过三个例题来解析牛顿插值法的求解过程。

例题1：利用牛顿插值法求解三次插值多项式。

给定插值节点：x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3。

首先，计算差商：Δx = x2 - x1 = 2 - 1 = 1Δy = y2 - y1 = -1 - (-2) = 1Δx2 = x3 - x2 = 3 - 2 = 1Δy2 = y3 - y2 = 2 - (-1) = 3然后，利用差商构造插值多项式：y = y1 + Δy * (x - x1)= -2 + 1 * (x - 1)= x - 3最后，求解插值多项式的系数：a0 = y1 = -2a1 = Δy = 1a2 = Δx * Δy = 1 * 1 = 1a3 = Δx2 * Δy2 = 1 * 3 = 3因此，三次插值多项式为：y = -2 + 1 * (x - 1) + 1 * (x - 1)2 + 3 * (x - 1)3例题2和例题3的求解过程与例题1类似，这里不再赘述。

牛顿插值法在MATLAB 中的实现经过n+1个不同的插值点12n+1,,x x x …,，构造牛顿插值公式1211231212n+112n =[,]()[,,]()()[,,]()()()N f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x -+--++---（x ）……… 注：牛顿插值法中,用到了插值公式%我们以二次牛顿插值公式为例解析牛顿插值法的matlab 程序function[c,d ］=newpoly （x ，y ）%这里x 为3个节点的横坐标组成的向量，即()123,,x x x x =，y 为纵坐标的组成向量，即()()()()123,,y f x f x f x =％c 为所得的牛顿插值多项式的系数组成的向量n=length(x)；%测量向量x 的长度,即向量x 中元素i x 的个数，赋值给n,所以n=3，注:这里的“n ”仅为变量，和公式中的次数n 不一样d=zeros （n ，n ）; d=zeros(3,3）%把变量d 定义为一个n 行,n 列的零矩阵,此矩阵用来储存各阶差商，格式完全等同于书中21页的表2。

1 d （:，1）=y';%此句是把向量y 的转置，即123()()()f x y f x f x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，赋值给零矩阵d 的第一列％下面运用两个for 循环来构造书中21页的差商表2。

1%第一个循环(父循环），循环变量为kfor k=2：n%用来表示零矩阵d 中的第几行%第二个循环(父循环）,循环变量为kfor j=k ：n％用来表示零矩阵d 中的第几列d （k ，j)=（d （k ，j-1)—d(k-1，j —1））/（x （k)-x （k —j+1）)；％差商公式,其中d （k,j)表示零矩阵d 中的第k 行，第j 列的元素，d （k,j —1），d （k-1，j —1)等也类似,它们代表的元素随着双循环而变化，x(k —1)表示1k x -，这种计算差商的方法是根据差商表的排列位置而得来，具体解释见下面。

数值计算实验二姓名:方小开学号:20060810202 班级:计科0602一. 实验目的：1、差分的matlab实现；2、Newton插值的matlab实现；二. 实验原理：MATLAB在线性代数，矩阵分析，数值及优化，数理统计和随机信号分析，电路系统，系统动力学，信号与图像处理，控制理论分析和系统设计，过程控制，建模和仿真，通信系统，等有广泛的应用。

它具有功能强大，界面友好，语言自然即开放性等特点。

三．试验环境MATLAB7.0四. 试验过程及现象：1、牛顿插值公式：把下面的matlab程序在matlab中建立M-file文件并保存；function [d,v1]=newtonjz(x,y,v) %d 插商表 v是要插入x v1是插入的y值n=length(x);d=zeros(n,n);d(:,1)=y';for j=2:nfor i=j:nd(i,j)=(d(i,j-1)-d(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));endendw=1;v1=d(1,1);for i=2:nw=w*(v-x(i-1));v1=v1+d(i,i)*w;end分别给x,y赋初值，并调用Newton插值函数得到结果如下：x=[0.40,0.55,0.65,0.80,0.90,1.05];y=[0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652,1.25382];[z,xy]=newtonjz(x,y,0.596);z =0.4108 0 0 0 0 00.5782 1.1160 0 0 0 00.6967 1.1860 0.2800 0 0 00.8881 1.2757 0.3589 0.1973 0 01.0265 1.3841 0.4335 0.2130 0.0312 01.2538 1.5153 0.5249 0.2287 0.0314 0.0003xy =0.63192Newton前插公式：把Newton前插公式的matlab程序写在matlab中建立M-file文件并保存；function [d,v1]=newtonBefore(x,y,t)n=length(x);d=zeros(n,n);d(:,1)=y';for j=2:nfor i=1:n-j+1d(i,j)=(d(i+1,j-1)-d(i,j-1));endendw=1;m=1;v1=d(1,1);for i=2:nw=w*(t-i+2);m=m*(i-1);v1=v1+d(1,i)*(w/m);end分别给x,y赋初值，并调用Newton前插函数得到结果如下；x=[1 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30];y=[1 1.0247 1.04881 1.07238 1.09544 1.11803 1.14017];>> [z,qc]=newtonBefore(x,y,0.2);qc =1.004992263808003、Newton后插公式：把Newton后插公式的matlab程序写在matlab中建立M-file文件并保存；function [d,v1]=newtonAfter(x,y,t)n=length(x);d=zeros(n,n);d(:,1)=y';for j=2:nfor i=j:nd(i,j)=(d(i,j-1)-d(i-1,j-1));endendw=1;m=1;v1=d(1,1);for i=2:nw=w*(t+i-2);m=m*(i-1);v1=v1+d(n,i)*(w/m);end分别给x,y赋初值，并调用Newton后插函数得到结果如下；x=[1 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30];y=[1 1.0247 1.04881 1.07238 1.09544 1.11803 1.14017];>> [z,hc]=newtonAfter(x,y,-0.4);hc=1.13136982835200五．遇到的问题在调试的过程中也遇到了一些小小的问题，如输出的结果只显示4位有效数字，结果的精度太低了，不能满足要求，因此在matlab中把数据的格式从short型改成了long型，这样就大大的提高了结果的精确度，减少了误差。

MATLAB程序设计期中作业——编程实现牛顿插值成员:刘川（P091712797）签名＿＿＿＿＿汤意（P091712817）签名＿＿＿＿＿王功贺（P091712799）签名＿＿＿＿＿班级:2009信息与计算科学学院:数学与计算机科学学院日期:2012年05月02日牛顿插值的算法描述及程序实现一：问题说明在我们的实际应用中，通常需要解决这样的问题，通过一些已知的点及其对应的值，去估算另外一些点的值，这些数据之间近似服从一定的规律，于是，这就引入了插值法的思想。

插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

二：算法分析newton 插值多项式的表达式如下：010011()()()()()n n n N x c c x x c x x x x x x -=+-+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-其中每一项的系数c i 的表达式如下：12011010[,,,][,,,][,,,]i i i i i f x x x f x x x c f x x x x x -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=- 即为f (x)在点01,,,i x x x ⋅⋅⋅处的i 阶差商，（[]()i i f x f x =，1,2,,i n =），由差商01[,,,]i f x x x ⋅⋅⋅的性质可知： ()01001[,,,]()i i i j j k j k k j f x x x f x x x ==≠⋅⋅⋅=-∑∏ 牛顿插值的程序实现方法：第一步：计算[][][][]001012012,,,,,,,n f x f x x f x x x f x x x x 、、、、。

实验报告内容：一：不动点迭代法解方程二：牛顿插值法的MA TLAB实现完成日期：2012年6月21日星期四数学实验报告一日期：2012-6-21hold on>> fplot(g,[-2,2])>> fplot(f,[-2,2])>> hold off>> grid输出结果如下所示：所以，确定初值为x0=1二：不断迭代算法：第一步：将f(x0)赋值给x1第二步：确定x1-x0的绝对值大小，若小于给定的误差值，则将x1当做方程的解，否则回到第一步编写计算机程序：clearf=inline('0.5*sin(x)+0.4');x0=1;x1=f(x0);k=1;while abs(x1-x0)>=1.0e-6x0=x1;x1=f(x0);k=k+1;fprintf('k=%.0f,x0=%.9f,x1=%.9f\n',k,x0,x1)end显示结果如下：k=2,x0=0.820735492,x1=0.765823700k=3,x0=0.765823700,x1=0.746565483k=4,x0=0.746565483,x1=0.739560873k=5,x0=0.739560873,x1=0.736981783k=6,x0=0.736981783,x1=0.736027993k=7,x0=0.736027993,x1=0.735674699k=8,x0=0.735674699,x1=0.735543758k=9,x0=0.735543758,x1=0.735495216k=10,x0=0.735495216,x1=0.735477220k=11,x0=0.735477220,x1=0.735470548k=12,x0=0.735470548,x1=0.735468074k=13,x0=0.735468074,x1=0.735467157>>。

6.3.5 牛顿插值法的MATLAB 综合程序求牛顿插值多项式、差商、插值及其误差估计的MATLAB 主程序function [y,R,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)n=length(X); m=length(x);for t=1:mz=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));endq1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j;endC=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n)));for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endy(k)= polyval(C, z);endR=M*q1/c1;L(k,:)=poly2sym(C);例6.3.6 给出节点数据00.27)00.4(=-f ，00.1)00.0(=f ，00.2)00.1(=f ，00.17)00.2(=f ，作三阶牛顿插值多项式，计算)345.2(-f ，并估计其误差.解 首先将名为newdscg.m 的程序保存为M 文件，然后在MATLAB 工作窗口输入程序>> syms M,X=[-4,0,1,2]; Y =[27,1,2,17]; x=-2.345;[y,R,A,C,P]=newdscg(X,Y,x,M)运行后输出插值y )345.2(-≈f 及其误差限公式R ，三阶牛顿插值多项式P 及其系数向量C ，差商的矩阵A 如下y =22.3211R =1323077530165133/562949953421312*M （即R =2.3503*M ）A=27.0000 0 0 01.0000 -6.5000 0 02.0000 1.0000 1.5000 017.0000 15.0000 7.0000 0.9167C =0.9167 4.2500 -4.1667 1.0000P =11/12*x^3+17/4*x^2-25/6*x+1欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

(){}21()(11),5,10,20:12521()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)()()235,20:1100(i i ii n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x nxy i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+= 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。

已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max()n k n k n k n k n k n k kkN x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和；、计算，；解释你所得到的结果。

算法组织:本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式)(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。

如此，则第三、四问则迎刃而解。

计算两种插值多项式的算法如下：一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下：Newton 插值多项式的表达式如下：)())(()()(110010--⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N其中每一项的系数c i 的表达式如下：1102110),,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-根据i c 以上公式，计算的步骤如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----),,,,(1),,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下：所谓三次样条插值多项式)(x S n 是一种分段函数，它在节点i x 011()n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=分成的每个小区间1[,]i i x x -上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：22331111111()[()()]()()666[,]1,2,,.i i i i i i i i i i i i i i i i i h x x h x x S x x x M x x M y M y M h h h x x x i n --------=-+-+-+-∈=⋅⋅⋅，，因此，只要确定了i M 的值，就确定了整个表达式，i M 的计算方法如下： 令：11111111116()6(,,)i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i h h h h h h y y y y d f x x x h h h h μλμ++++--+++⎧===-⎪++⎪⎨--⎪=-=⎪+⎩， 则i M 满足如下n-1个方程：1121,2,,1i i i i i i M M M d i n μλ-+++==⋅⋅⋅-，方程中有n+1个未知量，则令0M 和n M 分别为零，则由上面的方程组可得到(11)i M i n ≤≤-的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式)(x S n 。