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2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第二章 基本初等函数、导数及其应用》2-9

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2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第9讲 课件

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第9讲 课件

的方程是 v＝－2t＋70. 1 当 t＝4 时，v＝12，所以 s＝ ×4×12＝24. 2
1 32 (2)当 0≤t≤10 时，s＝ ×t×3t＝ t ； 2 2 1 当 10<t≤20 时，s＝ ×10×30＋(t－10)×30＝30t－150； 2 1 当 20<t≤35 时，s＝150＋300＋ ×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝ 2 －t2＋70t－550. 综上可知，s 随 t 变化的规律是 3t2，t∈[0，10]， 2 s＝30t－150，t∈（10，20]， 2 －t ＋70t－550，t∈（20，35].
[典例引领] (2017· 湖北省教学合作高三联考 ) 据气象中心观察和 预测：发生于沿海 M 地的台风一直向正南方向移动，其移动 速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示，过线段 OC 上 一点 T(t，0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的 面积即 t(h)内台风所经过的路程 s(km)．
9 了________km. [解析] 设出租车行驶 x km 时，付费 y 元，
9，0＜x≤3， 则 y＝8＋2.15（x－3）＋1，3＜x≤8， 8＋2.15×5＋2.85（x－8）＋1，x＞8， 由 y＝22.6，解得 x＝9.
一次函数与二次函数模型(高频考点) 高考对函数应用的考查常与二次函数、基本不等式及导数 等知识交汇，以解答题为主要形式出现． 高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命 题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) 在(0，＋∞)上 的单调性 增长速度 图象的变化 y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

2018年大一轮数学文高考复习人教课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用2-12 精品

2018年大一轮数学文高考复习人教课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用2-12 精品

[例 2] 点．
1 3 3 2 已知 x＝1 是函数 f(x)＝ ax － x ＋(a＋1)x＋5 的一个极值 3 2
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)若曲线 y＝f(x)与直线 y＝2x＋m 有三个交点，求实数 m 的取值 范围．
解：(1)f′(x)＝ax2－3x＋a＋1＝0，由 f′(1)＝0， 1 3 3 2 得 a＝1，∴y＝3x －2x ＋2x＋5. (2)曲线 y＝f(x)与直线 y＝2x＋m 有三个交点， 1 3 3 2 即 g(x)＝3x －2x ＋2x＋5－2x－m＝0 有三个根，即有 3 个零点． 由 g(x)′＝x2－3x＝0 得 x＝0 或 x＝3. 由 g′(x)＞0 得 x＜0 或 x＞3，由 g′(x)＜0 得 0＜x＜3.
答案：B
[例 4]
(2017· 河北唐山一模)已知 f(x)＝(1－x)ex－1.
(1)求函数 f(x)的最大值； fx (2)设 g(x)＝ x ，x＞－1，且 x≠0，证明：g(x)＜1.
解：(1)f′(x)＝－xex. 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 所以 f(x)的最大值为 f(0)＝0. (2)证明：由(1)知，当 x＞0 时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1. 当－1＜x＜0 时，g(x)＜1 等价于 f(x)＞x. 设 h(x)＝f(x)－x，则 h′(x)＝－xex－1.
当 x＞0 时，令 h(x)＝x3－3x2＋4，则 g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)． h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，所以 g(x)＞h(x)≥h(2)＝0. 所以 g(x)＝0 在(0，＋∞)上没有实根． 综上，g(x)在 R 上有唯一实根，即曲线 y＝f(x)与直线 y＝kx－2 只 有一个交点．

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第5讲 课件

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第5讲 课件
r s
＋
ars ②(ar)s＝________( a>0，r，s∈Q)； arbr ③(ab)r＝__________( a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质 y＝ax 图象 a>1 0<a<1
定义域 值域
R ____ (0，＋∞) ______________
过定点____________ (0，1)
性质
y>1 ； 当 x>0 时，________ 0<y<1 当 x<0 时， ____________
在 R 上是增函数
当 x>0 时， 0<y<1 ____________ ； y>1 当 x<0 时， ________ 在 R 上是减函数
1．辨明三个易误点 (1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则， 或 在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等． (2)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质与 a 的取值有关， 要特别注意区分 a>1 或 0<a<1. (3)在解形如 a2x＋b· ax＋c＝0 或 a2x＋b· ax＋c≥0(≤0)的指数方 程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元” 的范围． 2．指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点： 1 (1，a)，(0，1)，－1，a.
1.教材习题改编 化简[(－2) ] －(－1)0 的结果为( B ) A．－9 C．－10 B．7 D．9
1 6 2
2.教材习题改编 设 x＋x－1＝3，则 x2＋x－2 的值为( B ) A．9 B．7 C．5

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第3讲 课件

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第3讲 课件

(2)判断下列函数的奇偶性． 1 ①f(x)＝x － ； x
3
②f(x)＝ x2－1＋ 1－x2； x2＋2，x＞0， ③f(x)＝0，x＝0， －x2－2，x＜0.
[解] (1)因为 f(x)为偶函数， 所以 f(－x)－f(x)＝0 恒成立， 所以－xln(－x＋ a＋x2)－xln(x＋ a＋x2)＝0 恒成立，所以 xln a＝0 恒成立，所以 ln a＝0，即 a＝1.故填 1. (2)①原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个 x 都有
[解析] 法一：根据题意作出 y＝f(x)的简图，由图知选 B.
法二：当 x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]， 由题意得 f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4， 所以－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上 f(x)min＝－4，f(x)max ＝3，故选 B.
4.教材习题改编 函数 f(x)的定义域为 R，且对于 x∈R，恒有 f(x＋2)＝f(x)．当 x∈[2，4]时，f(x)＝x2－2x，则 f(2 017)＝
3 1 1 f(－x)＝(－x) － ＝－x －x＝－f(x)， －x
3
从而函数 f(x)为奇函数．
②f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又 f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数． ③f(x)的定义域为 R，关于原点对称， 当 x＞0 时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当 x＜0 时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当 x＝0 时，f(0)＝0，也满足 f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数．
(1)判断函数奇偶性的常用方法及思路 ①定义法

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第10讲 课件

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第10讲 课件
[解析] 由 y＝0 得 xln x＝0，即 x＝1， 所以 P 点的坐标为(1，0)． 又 y′＝ln x＋1，所以曲线在点 P 处的切线斜率为 y′|x＝1＝ln 1 ＋1＝1.故切线方程为 y＝x－1.
5．若曲线 y＝e x 上点 P 处的切线平行于直线 2x＋y＋1＝0， (－ln 2，2) 则点 P 的坐标是______________ ．
－
[解析] 设 P(x0，y0)，因为 y＝e x，所以 y′＝－e x，
－ －
所以点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以 x0＝－ln 2， 所以 y0＝eln 2＝2，所以点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
导数的计算 [典例引领] (1)已知函数 y＝f(x)的导函数为 f′(x)且 f(x)＝x 3 π 6－4π ． sin x，则 f′3 ＝________
(2)导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上
切线的斜率 瞬时速度就是位移函数 s(t)对时 点 P(x0， y0)处的____________(
间 的 导 数 ) ． 相 应 地 ， 切 线 方 程 为 y－y0＝f′(x0)(x－x0) ____________________________________ ． (3)函数 f(x)的导函数 f（x＋Δ x）－f（x） lim Δ x→0 Δx 称函数 f′(x)＝__________________________ 为 f(x)的导函数． t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π π π π f′ 3 ＝2× f′ 3 ＋cos . 3 3 π 3 3 f′ 3 ＝ .故填 . 6－4π 6－4π

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第8讲 课件

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第8讲 课件

[解析] 因为 y＝ln x 与 y＝2x－6 在(0，＋∞)上都是增函数， 所以 f(x)＝ln x＋2x－6 在(0，＋∞)上是增函数． 又 f(1)＝－4，f(2)＝ln 2－2＜ln e－2＜0，f(3)＝ln 3＞0. 所以零点在区间(2，3)上，故选 C.
5．若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝bx2 －ax 的零点是( C ) A．0，2 1 C．0，－ 2 1 B．0， 2 1 D．2，－ 2
[解析] 因为 f(x)＝ln ln
1－1 1－2 ＝ln
1x－2 x－2 的
B．(1，2) D．(3，4)
1x－2 x－2 在(0，＋∞)是增函数，又
f(1)＝
1－2＜0，
11 3－2 ＞0，
f(2)＝ln
10 2－2 ＜0，f(3)＝ln
这个 c 也就是 f(x)＝0 的根．我们把这一结论称为函数零点存 在性定理．
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 二次函数 y ＝ax2＋bx＋ c (a＞0)的图 象 与 x 轴的交 点 零点个数 Δ＝0 Δ＜0
(x1，0) ______________ ， (x2，0) ______________
第二章
基本初等函数、导数及其应用
第8讲
函数与方程
1．函数的零点
f(x)＝0 (1)函数零点的定义：对于函数 y＝f(x)，把使______________
的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象 零点 ． x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有______ 与______

2018年高考数学理一轮复习课件 第二章 基本初等函数、

2018年高考数学理一轮复习课件 第二章 基本初等函数、

图象特 征
上方 ，过定点_________ (0，1) 在 x 轴________
当 x 逐渐增大时，当 x 逐渐增大时， 图象逐渐上 图象逐渐下降 升
函数 定义域 值域 单调性 性 质 函数值
y＝ax(a>0，且 a≠1)
R ________
(0，＋∞) _________ 减 _________ 增 _________
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
n m a * ①正分数指数幂：a ＝________ (a>0，m， n ∈ N ，且 n>1)； 1 1 m m n m － a n ＝_________ ②负分数指数幂：a n ＝_________ (a>0，m， a
m n
n∈N*，且 n>1)；
0 ，0 的负分数指数幂 ③ 0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 ______ 无意义 ． _________
其中正确的个数是( B ) A．1 B．2
C．3 D．4 [解析] ①④正确， （－10）2＝|－10|＝10，②错误；
4
（3－π）4＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误，故选 B.
2．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是 ( D ) A．f(x)＝x
1 2
B．f(x)＝x3 D．f(x)＝3x
1x C．f(x)＝2
[解析] 根据各选项知，选项 C、D 中的指数函数满足 f(x＋y) ＝f(x)·f(y)．又 f(x)＝3x 是增函数，所以 D 正确．
3． (2017· 东北三校联考)函数 f(x)＝ax 1(a＞0， a≠1)的图象恒
－
过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是( A ) A．y＝ 1－x C．y＝2x－1 B．y＝|x－2| D．y＝log2(2x)

2018高考数学(文)(人教新课)大一轮复习课件：第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 2.2

2018高考数学(文)(人教新课)大一轮复习课件：第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 2.2

(2015·湖南)设函数 f(x)＝ln(1＋x)-ln(1-x)，则 f(x)是( A．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
)
解： f(x) 的定义域为 (-1 ， 1) ，关于原点对称．又 f(-x) ＝ ln(1-x)-ln(1＋x)＝-f(x)，故 f(x)为奇函数．显然，f(x)在(0，1) 上单调递增．故选 A.
第二章
函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用
2． 2
函数的单调性与最大(小)值
1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： ①如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 的自变量的值 x1，x2，当 ． 的自变量的值 x1，x2，当 ．
x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 ②如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 (2)单调性与单调区间
解：函数的对称轴为直线 x＝a，因此要使函数 f(x)在 区间[1，2]上具有单调性，只需 a≤1 或 a≥2.故填(-∞， 1]∪[2，＋∞)．
类型一 判断函数的单调性， 求函数的单调区 间
(1)求下列函数的单调区间： ①y＝-x2＋2|x|＋3； ②y＝x3-3x.
解：①依题意，可得 当 x≥0 时，y＝-x2＋2x＋3＝-(x-1)2＋4； 当 x＜0 时，y＝-x2-2x＋3＝-(x＋1)2＋4. 由二次函数的图象知，函数 y＝-x2＋2|x|＋3 在(-∞，-1]，[0，1] 上是增函数，在[-1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故 y＝-x2＋2|x|＋3 的 单调增区间为(-∞，-1]和[0，1]；单调减区间为[-1，0]和[1，＋∞)． ②y′＝3x2-3＝3(x＋1)(x-1)， 令 y′＞0，得 x＞1 或 x＜-1， 由 y′＜0，得-1＜x＜1， 所以 y＝x3-3x 的单调增区间为(-∞，-1)和(1，＋∞)，单调减区间为 (-1，1)．

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第7讲 课件

2018高考数学(文)一轮复习课件：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第7讲 课件

12 9 ＋x＋2＝－x－2 ＋ . 4
12 9 x－ － ，x≥2， 2 4 所以 y＝ 1 这是分段函数，每段函数的图象 9 －x－ 2＋ ，x<2. 2 4 可根据二次函数图象作出(如图)．
(2)对称变换
关于x轴对称 －f(x) ①y＝f(x)―――――→y＝____________ ；
f(－x) ②y＝f(x)――――――→y＝____________ ；
关于y轴对称
－f(－x) ③y＝f(x)――――――→y＝______________ ；
关于原点对称
logax(x＞0) ④y＝a (a＞0 且 a≠1)―――――→y＝__________________ ．
(4)伸缩变换 ①y＝f(x) 1 a＞1，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变 a → 1 0＜a＜1，横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变 a f(ax) y＝____________ ． ②y＝f(x) a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 → 0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变
[解析] 法一：取 a＝2 作出 y＝2x 与 y＝log1 (－x)的图象如图． 2
由图象知 y＝2x 与 y＝log1 (－x)的图象关于直线 x＋y＝0 对称， 2 故选 D. 法二：y＝ax(a＞0 且 a≠1)关于 x 轴对称的解析式为 y＝－ax， A 错误．关于 y 轴对称的解析式为 y＝a－x，B 错误．关于 x－y ＝0 对称的解析式为 y＝logax，C 错误，故选 D.
af(x) y＝____________ ．
1．辨明两个易误点 (1)在解决函数图象的变换问题时， 要遵循“只能对函数关系式 中的 x，y 变换”的原则，如从 f(－2x)的图象到 f(－2x＋1)的 1 1 图象是向右平移 个单位，其中是把 x 变成 x－ . 2 2 (2)明确一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不 同函数的对称关系．

2018年大一轮数学文高考复习人教课件：第二章 基本初

2018年大一轮数学文高考复习人教课件：第二章 基本初

10 － ＋1 5－2
＝
－10( 5＋2)＋1
4 167 ＝ ＋10 5－10 5－20＋1＝－ . 9 9
解：原式＝
5 1 5 ab =－4· 3＝－ 4ab2 . ab
[方法引航] 指数幂的化简方法 1有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. 2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是 带分数的，先化成假分数. 4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用 指数幂的运算性质来解答.
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a ＝ ②负分数指数幂：a n＞1)； ③0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 无意义 ． ＝ n am (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)； 1 a ＝ 1 n am (a＞0，m，n∈N*，且
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
－b
的图象可以观察出函数 f(x)＝ax
－
－b
在定义域上
单调递减，所以 0＜a＜1.函数 f(x)＝ax b 的图象是在 f(x)＝ax 的基 础上向左平移得到的，所以 b＜0.
答案：D
(2)k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？
解：函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单 位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的， 函数图象如图所示．当 k＜0 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图 象无交点，即方程无解；当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当 0＜k＜1 时， 直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有两个不同的交 点，所以方程有两解．

2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第二章 基本初等函数、导数及其应用》2-10

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数学
考点二 导数的几何意义 1.已知切点求切线斜率 命题 点 或切线方程 2.已知切线方程或斜率 求切点 3.过点求切线方程
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数学
[例 2]
已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程．
fx f′xgx－fxg′x ③ (g(x)≠0)． 2 ′＝ g x [ g x ]
特殊情况[c· f(x)]′＝c· f′(x)．
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数学
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(×) (2)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函数值．(√) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)
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数学
(2)导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上 点 P(x0，y0) 处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t)对时 间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)·(x－x0) (3)函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)＝ 为 f(x)的导函数． ．
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数学
考点一 导数的运算 1.求已知函 命题 数的导函数 点 2.求导函数 的值
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数学
[例 1]
(1)函数 y＝(1－
x) 1＋
1 ，则 y′＝________. x
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2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第二章 基本初等函数、导数及其应用》2-9

2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第二章 基本初等函数、导数及其应用》2-9

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数学
解析：选 C.设利润为 f(x)万元，则 f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2) ＝0.1x2＋5x－3 000(0＜x＜240，x∈N*)． 令 f(x)≥0，得 x≥150， ∴生产者不亏本时的最低产量是 150 台．
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数学
考点二 命题点
分段函数模型 目标函数为分段 函数模型
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数学
考点一
一次函数模型与二次函数模型 命题点 目标函数为一次 函数或二次函数
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数学
[例 1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的
支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种 可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最 多为 600 吨， 月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可 1 2 近似地表示为：y＝ x －200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得 2 到可利用的化工产品的价值为 100 元．则该单位每月能否获利？ 如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多 少元才能使该单位不亏损？
第7页
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n (6)不存在 x0，使 ax0＜x0 ＜logax0.(×)
(7)美缘公司 2010 年新上市的一种化妆品，由于脱销，在 2011 年 曾提价 25%,2014 年想要恢复成原价，则应降价 25%.(×) (8)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售，后因库存 积压降阶，若按九折出售，则每件还能获利．(√) (9)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，恒有 h(x) ＜f(x)＜g(x)．(√) (10)若函数反映的是实际问题，其定义域一定为[0，＋∞)．(×)

2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第二章 基本初等函数、导数及其应用》2-2

2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第二章 基本初等函数、导数及其应用》2-2
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考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练
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第2课时
函数的单调性与最值
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1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
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增函数
减函数
一般地， 设函数 f(x)的定义域为 I， 如果对于定义 域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2 定 当 x1＜x2 时，都有 当 x1＜x2 时， 都有 f(x1)＜f(x2)， f(x1)＞f(x2)， 义 那么 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 就说函数 f(x)在区 是增函数 间 D 上是减函数
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[方法引航] 判断函数单调性的方法 1定义法：取值，作差，变形，定号，下结论. 2利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个 函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这 两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”. 3图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降， 单调减. 4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.
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解析：利用函数的单调性或函数的图象逐项验证．A 项，函数 y ＝ x＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增 函数，故 A 正确；B 项，函数 y＝(x－1)2 在(－∞，1)上为减函数， 在[1，＋∞)上为增函数，故 B 错误；C 项，函数 y＝2
－x
1 ＝2x 在
2 ax1x2 2－ax1－ax2x1＋ax2 ＝ 2 x2 1－1x2－1
ax2－x1x1x2＋1 ＝ . 2 x2 － 1 x － 1 1 2 ∵－1＜x1＜x2＜1，

2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第二章 基本初等函数、导数及其应用》2-4

2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第二章 基本初等函数、导数及其应用》2-4
2 ＋k y ＝ a ( x ＋ h ) ②顶点式： (其中 a≠0，顶点坐标为(－h，k))．
③两根式：y＝ a(x－x1)(x－x2) (其中 a≠0，x1、x2 是二次函数的 图象与 x 轴的两个交点的横坐标)．
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3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)＝x2 与函数 f(x)＝2x2 都是幂函数．(×) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×) (3)幂函数的图象不经过第四象限．(√) (4)当 α＜0 时，幂函数 y＝xα 是定义域上的减函数．(×)
a＝－4，
1 2 ∴f(x)＝－4x－2 ＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)
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由已知 f(x)＋1＝0 两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8， 4a－2a－1－a2 即 ＝8. 4a 解得 a＝－4 或 a＝0(舍)． ∴所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
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[方法引航]
根据已知条件确定二次函数解析式， 一般用待定系数
法，规律如下：
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1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为 x＝2，最小值为－1，则 它的解析式是________．
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解析：设 y＝a(x－2)2－1 1 当 x＝0 时，4a－1＝1，a＝2， 1 ∴y＝ (x－2)2－1. 2 1 答案：y＝2(x－2)2－1
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用顶点式) 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
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所以甲户用水量为 5x＝5×1.5＝7.5 吨； 付费 S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为 3x＝4.5 吨， 付费 S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
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[方法引航]
1分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律
不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来， 再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 2构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏. 3分段函数的最大值最小值是各段的最大值最小值的最大者 最小者.
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(2017· 北京房山期末)某种病毒每经过 30 分钟由 1 个病毒可分裂成 2 个病毒，经过 x 小时后，病毒个数 y 与时间 x(小时)的函数关系 式为________，经过 5 小时，1 个病毒能分裂成________个．
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解析：设原有 1 个病毒， 经过 1 个 30 分钟有 2＝21 个病毒； 经过 2 个 30 分钟有 2×2＝4＝22 个病毒； 经过 3 个 30 分钟有 4×2＝8＝23 个病毒； „„
900x－15 000，0＜x≤30， S＝ x1 200－10x－15 000，30＜x≤75，
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即
900x－15 000，0＜x≤30， S＝ 2 － 10 x － 60 ＋21 000，30＜x≤75.
因为 S＝900x－15 000 在区间(0,30]上为单调增函数， 故当 x＝30 时，S 取最大值 12 000 元， 又 S＝－10(x－60)2＋21 000 在区间(30,75]上，当 x＝60 时，取得 最大值 21 000. 故每团人数为 60 人时，旅行社可获得最大利润．
∴k＝10，由题可知 m＝k－5＝5，故选 A.
答案：A
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(2)(2017· 广东广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是( A．y＝2x C．y＝2x－2 B．y＝x2－1 D．y＝log2x )
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解：设该单位每月获利为 S， 则 S＝100x－y
1 ＝100x－2x2－200x＋80 000
1 2 ＝－2x ＋300x－80 000 1 ＝－2(x－300)2－35 000， 因为 400≤x≤600， 所以当 x＝400 时，S 有最大值－40 000. 故该单位不获利， 需要国家每月至少补贴 40 000 元， 才能不亏损．
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解：(1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4，乙的用水量也不 超过 4 吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x； 当甲的用水量超过 4 吨时，乙的用水量不超过 4 吨，即 3x≤4，且 5x＞4 时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙的用水量超过 4 吨，即 3x＞4 时， y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6. 4 14.4x 0≤x≤5， 4 4 所以 y＝20.4x－4.8， 5＜x≤3， 4 24x－9.6， x＞3.
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国庆节期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，则给 予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
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考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练
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第9课时 函数模型及应用
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1．几类常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 函数解析式
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
k 反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b 为常数且 k≠0) x 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
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考点一
一次函数模型与二次函数模型 命题点 目标函数为一次 函数或二次函数
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[例 1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的
支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种 可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最 多为 600 吨， 月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可 1 2 近似地表示为：y＝ x －200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得 2 到可利用的化工产品的价值为 100 元．则该单位每月能否获利？ 如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多 少元才能使该单位不亏损？
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考点三 指数函数模型与对数函数模型 命 题 点 目标函数是指数函 数型或对数函数型
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[例 3]
(1)(2017· 四川德阳一诊)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙
中， t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y＝aent.假设过 5 a min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 k min 甲桶中的水只有4L， 则 m 的值为( A．5 C．9 ) B．8 D．10
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解析：∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， 1 ∴函数 y＝f(t)＝ae 满足 f(5)＝ae ＝ a， 2
nt 5n
1 t 1 1 ， 可得 n＝ ln ，∴f(t)＝a· 5 2 25
a 因此，当 k min 后甲桶中的水只有 L 时， 4
1k 1 1 k 1 ＝ a，即 ＝ ， f(k)＝a· 25 4 25 4
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解析：根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除 A； 根据 x＝2.01，y＝0.98，代入各选项计算，可以排除 B，C；将各 数据代入函数 y＝log2x，可知满足题意．故选 D.
答案：D
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[方法引航] 此类增长率问题， 在实际问题中常可以用指数函数模 型 y＝N1＋px其中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间和幂函数 模型 y＝a1＋xn其中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间的形式. 解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应 求解.
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指数函数模型
f(x)＝bax＋c (a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1) f(x)＝blogax＋c (a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型 幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
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2.三种基本初等函数模型的性质 函数 性质 在(0，＋∞) 上的增减性 增长速度 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
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解析：选 C.设利润为 f(x)万元，则 f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2) ＝0.1x2＋5x－3 000(0＜x＜240，x∈N*)． 令 f(x)≥0，得 x≥150， ∴生产者不亏本时的最低产量是 150 台．
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考点二 命题点
分段函数模型 目标函数为分段 函数模型
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(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增； 当 当 当
4 4 x∈0，5时，y≤f5＜26.4； 4 4 4 x∈5，3时，y≤f3＜26.4； 4 x∈3，＋∞时，令
24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5.
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[方法引航]
实际生活中的二次函数问题如面积、 利润、 产量等，
可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调 性、零点解决，解题时一定注意函数的定义域.
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某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y＝3 000 ＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为 25 万元， 则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( A．100 台 C．150 台 B．120 台 D．180 台 )
单调 递增 越来越快
单调 递增 越来越慢
单调递增 相对平衡
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图象的 变化 值的比较
随 x 的增大，随 x 的增大， 逐渐表现为 逐渐表现为 与 y轴 平行 与 x轴 平行
随 n 值变化而 各有不同
存在一个 x0，当 x＞x0 时，有 logax＜xn＜ax
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返回导航Βιβλιοθήκη 数学3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝2x 的函数值在(0， ＋∞)上一定比 y＝x2 的函数值大． (× ) (2)在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过 并远远大于 y＝xα(α＞0)的增长速度．(√) (3)“指数爆炸”是指数型函数 y＝a· bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长 速度越来越快的形象比喻．(×) (4)幂函数增长比直线增长更快．(×) (5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大 的实际问题．(√)