一元二次不等式的解法含参不等式恒成立问题及根的分布

微专题不等式

一元二次不等式恒成立问题

一、备考基础——查清

一、 解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：

一是函数性质法，借助相应的函数图像，构造含参数的不等式(组)；

二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题.

二、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式的解集的范围彼此联系，可彼此转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果.

二、热点命题——悟通

考点1 形如f(x)≥0(x∈R)

例一、若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则常数a的取值范围是________________．

[解析由题意得a<0，Δ＝1＋4a≤0，解得a≤－14.

例二、不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )

A．[－1，4] B．(－∞ ，－2]∪ [5，＋∞)

C．(－∞ ，－1]∪ [4，＋∞) D．[－2，5]

[解析] [思路点拨] 由一元二次不等式大于0恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x轴没有交点；

方式一：原不等式可化为x2－2x－a2＋3a＋5≥0，要使不等式对任意实数x恒成立，则Δ＝(－2)2－4(－a2＋3a＋5)≤0，即a2－3a－4≤0，解得－1≤a≤4，故选A.

方式二：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.

考点2 形如f(x)≥0(x∈[a，b])

例3、设对任意实数x∈[－1，1]，不等式x2＋ax－3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．a＞0 B．a＞12 C．a＞14 D．a＞0或a＜－12

第二章 一元二次函数、方程和不等式

专题3 一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考的一个难点问题。含参一元二次不等式恒成立问题设计二次函数的性质和图象，渗透着换元、划归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力。

【题型导图】

类型一 实数集R上的不等式恒成立问题

例1：若一元二次不等式23208kxkx对一切实数 x恒成立，则 k的取值范围是（ ）

A．3,0 B．3,0 C．(,3] D．(0,)

【变式1】“0a”是“一元二次不等式20axbxc恒成立”的

A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式2】设a为实数，若关于x的一元二次不等式20xxa恒成立，则a的取值范围是_____.

【变式3】若不等式270xmxm在实数集R上恒成立，求m的取值范围.

类型二 在给定区间上一元二次不等式恒成立问题

例2.1,3x，一元二次不等式2-(2)20xmxm恒成立．．．，则m的取值范围是（ ）

A．2,2 B．52，

C．22, D．2，

【变式1】（2021·全国高一课时练习）当13x，时，一元二次不等式2280xxa恒成立，求实数a的取值范围.

【变式2】（2021·吉林白城市·白城一中高一月考）已知二次函数222yxax.

若15x≤≤时，不等式3yax恒成立，求实数a的取值范围.

【变式3】若14x时，不等式2241xaxa恒成立，求实数a的取值范围.

类型三 已知参数范围的一元二次不等式恒成立问题

例3.（2021·全国高一课时练习）关于x的函数y=x2（a1）x2a对于任意a∈[1，1]的值都有y>0，求实数x的取值范围.

ＮＯ　４　２Ｏ１１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｌ　ｎｅｓｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　２０１　１年第４期　

摘要：在“一元二次不等式恒成立”的教学过程中，用十　

个问题把整节课串联成一个整体，旨在突出新课程下高中数学　问题教学法在培养学生思维和激发学生兴趣方面的作用，以及　

高中数学问题教学法在教学过程中问题的预设、提问和解答等　方面要注意的事项．　

关键词：问题教学法；一元二次不等式；恒成立问题　

一、案例背景　

在近几年的教学实践中我们发现这样的现象：绝大多数学　生认为数学很重要，但很难，太抽象、太枯燥，学得很苦，要　

不是升学，才不会去理会，况且将来用数学的机会很少．这说明　了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心．这样　的心态怎能在学习数学的过程中有所创新呢？即使有所创新，　

也与学生所花的代价不成比例，其问扼杀了他们太多的快乐和　个性特长．布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受　

者，而是主动的、积极的知识的探究者．教师的作用是创设学生　能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程．　

在课堂教学中，教师应该创设适当的问题情境，来激发学　生的求知欲．“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动　

探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合《普通高中数学　课程标准（实验）》　（以下简称《标准》）的要求．因此，“问题　

教学法”在高中数学的教学中尤显重要．　下面结合“一元二次不等式恒成立”的教学过程就高中数　

学问题教学法谈一些个人体会．　二、案例过程　１．创设情境　

师：上节课我们学习了～元二次不等式在实数集Ｒ上恒成　立的问题可以用数形结合法解决．若一元二次不等式不是在Ｒ　

上恒成立，而是在一个区间上恒成立，又该怎么解决呢？　２．例题剖析　例不等式　一２ａｘ＋２一ａ≤０在　∈［０，２］上恒成立，求ａ　的取值范围．　

问题１：　一２　＋２一ａ≤０在　∈［０，２］上恒成立，能否转　

全方位课外辅导体系

Comprehensive Tutoring Operation System

1 全方位教学辅导教案

学科：数学 任课教师：夏应葵 授课时间：2013年3 月 22 日 星 期 五 学号

姓 名 林 康 性 别 男 年 级 高 一 总 课 次: 第 1 9 次课

教 学

内 容 一元二次不等式解集的恒成立问题

重 点

难 点 一元二次不等式解集的恒成立问题

教 学

目 标 使学生在掌握一元二次不等式的基本解法及分类讨论思想的基础上，理解一元二次不等式解集的恒成立问题与二次函数图像的紧密关系，从而会解一元二次不等式解集的恒成立问题。

教

学

过

程 课前检查与交流 作业完成情况：

交流与沟通：

针

对

性

授

课 一、课前练习

1. 若集合}3121|{xxA，}02|{xxxB，则BA( )

A.}01|{xx B. }10|{xx C. }20|{xx D. }10|{xx

2. 已知1,log2xxyyU，2,1xxyyP，则PCU( )

A. ,21 B.21,0 C.,0 D. ,210,

3. 已知集合2{|1}Pxx，{}Ma，若PMP，则a的取值范围是（ ）

A. (,1] B. [1,) C. [1,1] D. (,1][1,)

4.设mxxxf2)(，且2)1(1f，求：（1）m的值；（2）)4(f的值。

一元二次不等式的恒成立问题

- 1 - / 1- 1 - / 4 总课题 必修5 第三章不等式 总课时 6 第 1 课时

课题 一元二次不等式的恒成立问题 课 型 新授 时间 年 11月 日

主备人 复核人 备课组长

【课时目标】

（1） 理解恒成立问题与解一元二次不等式的区别；

（2） 恒成立问题的常见处理方法（通法通则）。

【探究主题】一元二次不等式的恒成立问题

课前自学学案

问题1、对于任意的Rx，不等式012mxx恒成立，求实数m的取值范围。

解决问题1：是让我们解不等式求x的集合吗？

解决问题2：你会解决问题吗？你想到的工具是什么？如何求解？

问题2对于任意的2,1x，不等式012mxx恒成立，求实数m的取值范围。

两个问题的区别在哪里？如何解决呢？

一元二次不等式的恒成立问题

- 1 - / 1- 1 - / 4

课堂师生互动学案

【探究难点】数形结合的数与形的结合---如何由图形的变换列式求解。

探究1：对于任意的2,1x，不等式012mxx恒成立，求实数m的取值范围。

两个问题的区别在哪里？如何解决呢？

【变式训练】对于任意的2,1x，不等式012mxx恒成立，求实数m的取值范围。

【探究重点】 一元二次不等式的恒成立问题

- 1 - / 1- 1 - / 4

探究2：关于x的不等式042222xmxm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

当堂检测【自主学习，自我展示】

1、 对于任意的Rx，不等式02mxx恒成立，求实数m的取值范围是____。

2、对于任意的1,1x，不等式0122mxx恒成立，求实数m的取值范围。

一元二次不等式的恒成立问题

- 1 - / 1- 1 - / 4

主题总结

1、

2、

知识拓展 能力训练

第1页 共1页 一元二次不等式恒成立问题

似曾相识燕归来（认真听讲，做好笔记，就不会似曾相识）

无可奈何花落去（大而化之，步步紧逼，就不会无可奈何）

大而化之，步步紧逼

（化，分解讨论的意思）

【师】好，我们今天来继续研究一元二次不等式问题.对于一元二次不等式，通过三四天的学习，想必大家已经非常熟悉了，对于一般的一元二次不等式，大家都能熟练的掌握.那么对于一元二次不等式的综合问题，大家可能还没有头绪，一拿到这种题，都可能头晕脑涨了.这不禁令我想起了古人的一句诗（师板书）：

似曾相识燕归来

无可奈何花落去

【生】（笑，课堂气氛活跃）：老师，写反了！应该是：无可奈何花落去，似曾相识燕归来！

【师】（故作严肃）：我为什么写反啊？因为我们学数学需要逆向思维啊！…那么我们大家对于一元二次不等式的综合问题可能就是这个感觉.一接触到题就“似曾相识”，但一下笔就“无可奈何”了.（师在两句诗内相应的词下加下划线）这就要求我们平时听课的时候要认真听讲，做好笔记，这样一来我们做题的时候就不会似曾相似了，即使我们做不出来，我们也可以翻开笔记找到类似的题.（师在副标题相应的位置后面加认真听讲等语）.（生思考，拿出笔记本）而即使做到记笔记了，认真听讲了，有些同学做这类综合题的时候也会觉得“无可奈何”，这是什么原因呢？这就要求我们多做多练，练熟了，遇到这类题时就不会是“无可奈何”了，而是“下笔千言”了.（生笑，认真听讲）

那么对于这一类题，我们通常采用的是“大而化之，步步紧逼”的方法来解决.大家注意，这个“化”的意思是分解讨论的意思.（师在副标题下加上“大而化之，步步紧逼”8个字）

它既然是个大难题，那么我们就把它化为几个容易的步骤，再依次的讨论，这类题就做出来了.

好，我们今天就通过一个典型例题来研究不等式的恒成立问题.

（师板书）

一、典例

例：关于x的不等式042222xmxm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

四川省宁南中学高效课堂 编号：SXTG-必修1 使用时间：2016-9-1 编制 : 许良丽 审阅：许良丽

高一数学 第 1页 高一数学 第 2页 补充内容：一元二次不等式

一、导（3分钟）

回顾一元一次的解法，那么一元二次不等式如何求解呢？

二、思（8分钟）

思考1：画出一元二次函数652xxy的图像，并观察当x取什么范围，0y

那么0652xx时，x的范围为__________________。故一元二次不等式022xx的解集为________________________（这个方法叫做图像法求解不等式）

2，

的集合部分的点的的图像在二次函数的解集，就是的集合；部分的点的的图像在的解集，就是二次函数一元二次不等式xcbxaxycbxaxxcbxaxycbxax________0________02222

思考2：利用上述方法，求解下列不等式

253)2(076)1(22xxxx

022)4(012)3(22xxxx

032)5(2xx 0126)6(2xx

注：最高项系数为负的，一般转化为正（不等号要变号），再解答

知识点一：三个“二次”的关系：

0 0 0

二次函数cbxaxy2（0a）的图象

一元二次方程的根002acbxax

一元二次不等式20axbxc

一元二次不等式20axbxc

教学设计

一元二次不等式恒成立问题

似曾相识燕归来（认真听讲，做好笔记，就不会似曾相识）

无可奈何花落去（大而化之，步步紧逼，就不会无可奈何）

大而化之，步步紧逼

（化，分解讨论的意思）

【师】好，我们今天来继续研究一元二次不等式问题.对于一元二次不等式，通过三四天的学习，想必大家已经非常熟悉了，对于一般的一元二次不等式，大家都能熟练的掌握.那么对于一元二次不等式的综合问题，大家可能还没有头绪，一拿到这种题，都可能头晕脑涨了.这不禁令我想起了古人的一句诗（师板书）：

似曾相识燕归来

无可奈何花落去

【生】（笑，课堂气氛活跃）：老师，写反了！应该是：无可奈何花落去，似曾相识燕归来！

【师】（故作严肃）：我为什么写反啊？因为我们学数学需要逆向思维啊！…那么我们大家对于一元二次不等式的综合问题可能就是这个感觉.一接触到题就“似曾相识”，但一下笔就“无可奈何”了.（师在两句诗内相对应的词下加下划线）这就要求我们平时听课的时候要认真听讲，做好笔记，这样一来我们做题的时候就不会似曾相似了，即使我们做不出来，我们也能够翻开笔记找到类似的题.（师在副标题相对应的位置后面加认真听讲等语）.（生思考，拿出笔记本）而即使做到记笔记了，认真听讲了，有些同学做这类综合题的时候也会觉得“无可奈何”，这是什么原因呢？这就要求我们多做多练，练熟了，遇到这类题时就不会是“无可奈何”了，而是“下笔千言”了.（生笑，认真听讲）

那么对于这个类题，我们通常采用的是“大而化之，步步紧逼”的方法来解决.大家注意，这个“化”的意思是分解讨论的意思.（师在副标题下加上“大而化之，步步紧逼”8个字）

它既然是个大难题，那么我们就把它化为几个容易的步骤，再依次的讨论，这类题就做出来了.

好，我们今天就通过一个典型例题来研究不等式的恒成立问题.

（师板书）

一、典例

例：关于x的不等式042222xmxm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

1 / 2

专题一——一元二次不等式恒成立问题

题型一：

判别式法例

1．"已知不等式x2-2ax+2>0对xR恒成立，求实数a的取值范围。

题型二：

分离变量

例2:若-30恒成立，求a的取值范围。（p59）例

3．"对任意a[1,1]，不等式x(a4)x42a0恒成立，求x的取值范围。2题型：

三根的分布

例4设f(x)x2mx2，当x[1,)时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。2对应练习：

1.已知函数ylg[x(a1)xa]的定义域为R，求实数a的取值范围。

2.

（1）已知不等式(x1)m2x1对x 0,3

恒成立，求实数m的取值范围。

（2）已知不等式(x1)m2x1对m 0,3

恒成立，求实数x的取值范围。

2 / 2

3.已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0恒成立，求x的取值范围.

5.已知f(x)x2 ax3a，若x[2,2],f(x)2恒成立，求a的取值范围.

22

专题一——一元二次不等式恒成立问题

题型一：判别式法

例1．已知不等式x2-2ax+2>0对Rx恒成立，求实数a的取值范围。

题型二：分离变量

例2:若-30恒成立，求a的取值范围。（p59）

例3．对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。

题型：三根的分布

例4设22)(2mxxxf，当),1[x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。

对应练习：

1. 已知函数])1(lg[22axaxy的定义域为R，求实数a的取值范围。

2. （1）已知不等式(1)21xmx对0,3x恒成立，求实数m的取值范围。

（2）已知不等式(1)21xmx对0,3m恒成立，求实数x的取值范围。

3. 已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立，求x的取值范围.

5.已知aaxxxf3)(2，若2)(],2,2[xfx恒成立，求a的取值范围.

高一数学集体备课学案与教学设计

章节标题 一元二次不等式恒成立问题 计划学时 1

学案作者 郝 艾 学案审核 郝 艾

高考目标

三维目标 一、知识与技能

二、过程与方法

三、情感态度与价值观

教学重点教学难点及

解决措施

教学要点 知

识

点 恒成立问题常见的解题策略：

策略一：利用二次函数的判别式

对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：

（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；

（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a

例1.若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

（2）01m时，只需0)1(8)1(012mmm，所以，)9,1[m。

策略二:利用函数的最值（或值域）

（1）mxf)(对任意x都成立mxfmin)(；

（2）mxf)(对任意x都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例2.已知aaxxxf3)(2，若2)(],2,2[xfx恒成立，求a的取值范围.

解析 本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[minxfx.若2)(],2,2[xfx恒成立2)(],2,2[minxfx237)2()(22minafxfa

或243)2()(2222minaaafxfa或27)2()(22minafxfa，即a的取值范围为]222,5[.

策略三：利用零点分布

页眉内容

页脚内容3 补充内容：一元二次不等式

一、导（3分钟）

回顾一元一次的解法，那么一元二次不等式如何求解呢？

二、思（8分钟）

思考1：画出一元二次函数652xxy的图像，并观察当x取什么范围，0y

那么0652xx时，x的范围为__________________。故一元二次不等式022xx的解集为________________________（这个方法叫做图像法求解不等式） 2，

的集合部分的点的的图像在二次函数的解集，就是的集合；部分的点的的图像在的解集，就是二次函数一元二次不等式xcbxaxycbxaxxcbxaxycbxax________0________02222

思考2：利用上述方法，求解下列不等式

253)2(076)1(22xxxx

022)4(012)3(22xxxx

032)5(2xx 0126)6(2xx

注：最高项系数为负的，一般转化为正（不等号要变号），再解答

知识点一：三个“二次”的关系：

0 0 0

二次函数cbxaxy2（0a）的图象

一元二次方程的根002acbxax

一元二次不等式20axbxc

一元二次不等式20axbxc

小结：有两根的，不等式大于0，两根之外，小于0，两根之间

三、议（10分钟）

议论1：求解下列关于x的不等式

0144)1(2xx 0232)2(2xx

263)3(2xx 0154)4(2xx

0)6(032)5(22xxxx

一元二次不等式怎么解解法有哪些

一元二次不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。下面是由编辑为大家整理的“一元二次不等式怎么解

解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

解一元二次不等式的一般步骤：

1、对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2+bx+c>0(a>0)，ax2+bx+c<0(a>0);

2、计算相应的判别式;

3、当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根;

4、根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。

一元二次不等式有哪些解法

1、公式法：公式法不能解没有实数根的方程(也就是b²-4ac<0的方程)。求根公式： x=-b±√(b^2-4ac)/2a。

2、配方法：首先将方程二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方。

3、数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x的值的集合，小于零的则相反。口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。”

4、一元二次函数图象：通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。

拓展阅读：解一元二次不等式应注意的问题

1、在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数。

2、二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况。

3、解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号。

4、一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同。

高中数学一元二次含参不等式的解法探究

一元二次含参不等式是高中数学中的重要内容之一，也是数学建模中常见的问题类型。对于一元二次含参不等式的解法，可以通过以下几种方法进行探究。

方法一：图像法

对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，首先可以绘制出函数的图像。然后通过观察函数图像的特征，来推测不等式的解。

例如对于不等式y<0，可以通过观察函数图像的凹凸性来判断不等式的解集。当a>0时，函数的图像是开口向上的抛物线，抛物线位于x轴下方的部分对应的y值小于0，所以不等式的解为抛物线位于x轴下方的部分，即解集为抛物线下方的区域。

方法二：求解法

对于一元二次含参不等式，可以通过求解方程的方法来确定不等式的解集。

例如对于不等式ax^2+bx+c>0，可以先求出方程ax^2+bx+c=0的根，然后通过分析抛物线和x轴的关系来确定不等式的解集。

当a>0时，如果方程的根为x1和x2，且x1x2时，方程的值大于0，所以不等式的解为xx2。

当a>0时，不等式的解集可以表示为{c/a < x < +∞}；

通过对参数的取值范围的分析，可以推断不等式的解集。

一元二次含参不等式的解法可以通过图像法、求解法和参数化法来进行探究。在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的解法，可以更有效地求解一元二次含参不等式。

含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按2x项的系数a的符号分类，即0,0,0aaa;

例1 解不等式：0122xaax

例2 解不等式00652aaaxax

分析 因为0a，0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

二、按判别式的符号分类，即0,0,0；

例3 解不等式042axx

分析 本题中由于2x的系数大于0,故只需考虑与根的情况。

例4 解不等式Rmxxm014122

三、按方程02cbxax的根21,xx的大小来分类，即212121,,xxxxxx；

例5 解不等式)0( 01)1(2axaax

例6 解不等式06522aaxx，0a

练习、（1）解关于x的不等式：.0)2(2axax

（2）解关于x的不等式：.01)1(2xaax

（3）解关于x的不等式：.012axax

不等式恒成立、能成立问题【七大题型】

【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】............................................................................................2

【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】........................................................................................2

【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】....................................................................................3

【题型4 基本不等式求解恒成立问题】................................................................................................................4

【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】................................................................................................4

【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】................................................................................................5

【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】............................................................................................5