高中数学选择性必修三 第六章测评

第六章测评
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.(2020重庆高三月考)(x+1)8的展开式的各项系数和为()
A.256
B.257
C.254
D.255
x=1,则(1+1)8=28=256,即(x+1)8的展开式的各项系数的和为256.故选A.
2.把编号为1,2,3,4,5的5位运动员排在编号为1,2,3,4,5的5条跑道中,要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同,共有不同排法的种数是()
A.10
B.20
C.40
D.60
,有C52,剩余的有2种排法,共有2×C52=20(种).
3.(2020河南高二月考)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的不同的选法种数是()
A.18
B.24
C.30
D.36
3名学生男女生都有,所以可分成两类:
第1类,3人中是1男2女,共有C41C32=4×3=12(种)不同的选法;
第2类,3人中是2男1女,共有C42C31=6×3=18(种)不同的选法.
所以男女生都有的不同的选法种数是12+18=30.
4.(2020浙江高三专题练习)已知A3m−C32+0!=4,则m=()
A.0
B.1
C.2或3
D.3
A3m−C32+0!=4,∴A3m=6.
当m=2时成立;
当m=3时也成立.故选C.
5.(2020黑龙江牡丹江一中高三期末)张、王夫妇各带一个小孩儿到游乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外两个小孩要排在一起,则这6个人的排法种数是()
A.12
B.24
C.36
D.48
,共有A22种方法;将两个小孩作为一个整体,与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间,共有A22A33种方法.由分步乘法计数原理可得所有的排法有A22A22A33=24(种).故选B.
6.(2020全国1高考)(x+y 2
x
)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为() A.5 B.10
C.15
D.20
(x+y)5的通项公式为C5k·x5-k·y k(k=0,1,2,3,4,5),所以当k=1时,y 2
x
·C51x4y=5x3y3,当k=3
时,x·C53x2y3=10x3y3,所以x3y3的系数为10+5=15.
7.如图所示,要给①②③④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为()
A.320
B.160
C.96
D.60
,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320(种).
8.(2020山东济南高三模拟)某学校实行新课程改革,即除语文、数学、外语三科为必考科目外,还要在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业,按照该大学上一年高考招生选考科目要求,物理、化学必选,为该生安排课表(上午四节、下午四节,每门课每天至少一节),已知该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表有()
A.444种
B.1 776种
C.1 440种
D.1 560种
,且物理、化学必选,
所以只需在生物、历史、地理、政治中四选一,有C41=4(种).
对语文、外语排课进行分类,第1类,语文、外语有一科在下午第一节,则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节,剩下的四科可全排列,有C21C41A44=192(种);
第2类,语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语文、数学、外语三科的另三科中选择,有C31=3(种),
语文和外语可都安排在上午,即上午第一、三节,上午第一、四节,上午第二、四节,有3×A 22=6(种),
也可一科在上午任一节,一科在下午第二节,有C 41A 22
=8(种), 其他三科可以全排列,有C 31(6+8)A 33=252(种).
综上,共有4×(192+252)=1 776(种). 故选B .
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2020江苏扬中高级中学高二期中)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是( ) A.若任意选择三门课程,选法总数为A 73
B.若物理和化学至少选一门,选法总数为C 21C 52
C.若物理和历史不能同时选,选法总数为C 73−C 51
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为C 21C 52−C 51
,选法总数为C 73,故A 错误;
若物理和化学至少选一门,选法总数为C 21C 52+C 22C 51
,故B 错误; 若物理和历史不能同时选,选法总数为C 73−C 22C 51,故C 正确;
若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为C 21C 52+C 22C 51−C 51,故D 错误.故
选ABD .
10.(2020江苏丰县中学高二期中)下列等式中,成立的有 ( )
A.A n m =
n !
m !
B.C n m -1+C n m
=C n+1m C.C n m =C n n -m
D.A n m =n A n -1m -1
n m =n (n-1)…(n-m+1)=n !
(n -m )!,故A 错误;
根据组合数性质知B,C 正确;
A n m =n !(n -m )!=n ·(n -1)!
[(n -1)-(m -1)]!=n A n -1m -1
,故D 正确.故选BCD.
11.(2020山东高二期中)若(1+mx )8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8且a 1+a 2+…+a 8=255,则实数m 的值可以为( ) A.-3
B.-1
C.0
D.1
(1+mx )8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8,令x=1,得(1+m )8=a 0+a 1+a 2+…+a 8,
令x=0,得a 0=1. 因为a 1+a 2+…+a 8=255,
所以(1+m )8-1=255,所以(1+m )8=256=28,
所以1+m=2或1+m=-2, 解得m=1或m=-3.故选AD .
12.(2020山东宁阳第四中学高二期中)已知(ax 2√x
)n
(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( ) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x 15的项的系数为45
5项与第7项的二项数系数相等,可知n=10.
又因为展开式的各项系数之和为1 024,即当x=1时,(a+1)10=1 024,所以a=1. 所以二项式为(x 2√
x )10=(x 2+x -1
2)10.
二项式系数和为210=1 024,则奇数项的二项式系数和为1
2×1 024=512,故A 错误; 由n=10可知展开式共有11项,故第6项的二项式系数最大,
因为x 2与x -1
2的系数均为1,则该二项展开式的二项式系数与相应各项的系数相同,所以第6项的系数最大,故B 正确;
若展开式中存在常数项,由通项T k+1=C 10k x 2(10-k )x -1
2k
可得2(10-k )-1
2k=0,解得k=8,故C 正确;
由通项T k+1=C 10k x 2(10-k )x -1
2k
可得
2(10-k )-1
2k=15,解得k=2,所以系数为C 102
=45,故D 正确.故选BCD .
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019上海高二期末)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,则甲、乙两人都抢到红包的情况有 种.
1步,甲、乙抢到红包,有A 42=4×3=12(种),第2步,其余三人抢剩下的两个红包,有A 32=3×2=6(种),所以甲、乙两人都抢到红包的情况有12×6=72(种).
14.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有 种. 先分组C 52C 32C 1
1
A 2
2,再把三组分配到三个不同的场馆,得共有不同的分配方案
C 52C 32C 11
A 2
2A 33
=90(种).
15.(2020安徽高三模拟)(x 2+2)(2x -1
x )6的展开式中的常数项为 .
解析因为2x-
1x 6的展开式中含1x 2的项为C 64
(2x )2(-1x
)4=
60x 2,(2x -1x
)6的展开式中含常数项C 63
(2x )3(-1x )3=-160,所以(x 2+2)(2x -1
x
)6的展开式中的常数项为60-320=-260.
260
16.(2020浙江高三专题练习)某学校要安排2名高二的同学、2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目,有五个乡村小镇A,B,C,D,E(每名同学选择一个小镇),由于某种原因高二的同学不去小镇A,高一的同学不去小镇B,初三的同学不去小镇D 和E,则共有 种不同的安排方法.
A,则高二学生选1人去B,另外三人去C,D,E,故不同的安排方法有
C 21A 33=12(种);
如果初三学生去B,则高一学生选1人去A,另外三人去C,D,E,故不同的安排方法有
C 21A 33=12(种);
如果初三学生去C,则高二学生选1人去B,高一学生选1人去A,另外两人去D,E,故不同的安排
方法有C 21C 21A 22=8(种).
故共有不同的安排方法12+12+8=32(种).
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020黑龙江海林朝鲜族中学高二期末)已知(1-2x )7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7,求: (1)a 1+a 2+…+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7; (3)a 0+a 2+a 4+a 6; (4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.
根据所给的等式求得常数项a 0=1.
令x=1,可得a 0+a 1+a 2+…+a 7=-1. 则a 1+a 2+…+a 7=-2. (2)在所给的等式中,令x=1, 可得a 0+a 1+a 2+…+a 7=-1.① 令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 7=37.② (①-②)÷2,可得a 1+a 3+a 5+a 7=-1 094. (3)由(2),(①+②)÷2,可得a 0+a 2+a 4+a 6=1 093. (4)在所给的等式中,令x=-1,
可得|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 7=37=2 187.
18.(12分)(2020安徽六安中学高二期中)某医院有内科医生8名、外科医生6名,现选派4名参加抗击新冠肺炎疫情医疗队.
(1)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?
(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?
不考虑甲、乙两人,从所有14名医生中选派4名共有C 144=1 001(种);甲、乙两人都没被选派共有C 124=495(种).故甲、乙两人至少有一人参加,有1 001-495=506(种).
(2)此时4名医生的组成可分为三类:
第1类,1名内科医生、3名外科医生,共有C 81C 63
=160(种); 第2类,2名内科医生、2名外科医生,共有C 82C 62=420(种); 第3类,3名内科医生、1名外科医生,共有C 83C 61=336(种).
故队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有160+420+336=916(种)选法. 19.(12分)(2020四川仁寿第二中学高二月考(理))在√x 3
−12√x
3
n
的展开式中,前三项系数的绝对值成
等差数列.
(1)求展开式的第四项; (2)求展开式的常数项; (3)求展开式中各项的系数和.
T k+1=(-1
2
)k C n k x
n -2k 3.
由已知,(-12)0C n 0,
12C n 1,(12)2
C n 2成等差数列,得2×12C n 1=1+14C n 2,解得n=8,故T k+1=(-1
2
)k C 8k x 8-2k
3.
(1)令k=3,得T 4=(-1
2)3C 83x 2
3
=-7x 2
3.
(2)令8-2k=0,得k=4,故T 5=35
8. (3)令x=1,得各项的系数和为
128=1
256
. 20.(12分)(2020江苏高二期中)有7本不同的书: (1)全部分给6个人,每人至少一本,有多少种不同的分法? (2)全部分给5个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?
根据题意,将7本书分给6个人,且每人至少1本,则必须是其中1个人2本,其他人每人1本,则分两步:
第1步,将7本书,分为6组,其中1组2本,其他组每组1本,有C 72
=21(种)分组方法;
第2步,将分好的6组对应6人,将6组进行全排列即可,有A 66=720(种)方法. 一共有21×720=15 120(种)不同的分法.
(2)分两类:第1类,1人得3本,其余4人各得一本,方法数为C 73A 55=4 200; 第2类,2人各得2本,其余3人各得1本,方法数为1
2C 72C 52A 55=12 600.
所以所求分法种数为4 200+12 600=16 800.
21.(12分)(2020河南南阳中学高二月考)已知(√x 3
+x 2)2n
的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的二项式系数和大992.求(2x -1
x )2n 的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.
22n -2n =992,解得n=5.
(1)(2x -1
x )10的展开式中第6项的二项式系数最大,即T 6=T 5+1=C 105
·(2x )5·(-1x
)5=-8 064.
(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,
T k+1=C 10k ·(2x )10-k ·(-1x )k =(-1)k ·C 10k ·210-k ·x 10-2k ,则{C 10k ·210-k ≥C 10k -1·210-k+1
,
C 10k ·210-k
≥C 10k+1·210-k -1
,
即{C 10k ≥2C 10k -1
,2C 10k ≥C 10k+1,
即{11-k ≥2k ,2(k +1)≥10-k , 解得83≤k ≤11
3,故k=3.
系数的绝对值最大的项为T 4=C 103
(2x )7(-1
x
)3=-15 360x 4.
22.(12分)(2020江苏徐州高二月考)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数?
(2)在(1)中的七位数中,三个偶数排在一起的有几个?
(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? (4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?
分步完成:第1步,在四个偶数中取三个,可有C 43
种情况;
第2步,在五个奇数中取四个,可有C 54
种情况;
第3步,三个偶数,四个奇数进行排列,可有A 77种情况.
所以符合题意的七位数有C 43C 54A 77=100 800(个).
(2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有C 43C 54A 55A 33=14 400(个).
(3)上述七位数中,三个偶数排在一起,四个奇数也排在一起的有C 43C 54A 33A 44A 22=5 760(个).
(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把四个奇数排好,再将三个偶数分别插入5个空位,共有
A 54C 43A 53=28 800(个).。