卫星变轨时速度加速度变化分析与应用

卫星变轨时速度加速度变化分析与应用作者：***
来源：《中学教学参考·理科版》2020年第10期
[摘要]学生在学习天体运动知识及应用相关知识解决实际问题时，往往会感到比较困难，因为这部分知识的学习与运用需要较强的空间想象能力和抽象思维能力，比如比较椭圆轨道上远地点与圆周轨道上速度、加速度问题，就有不少学生觉得较难。

为提升学生解决相关问题的
能力，文章从一道习题出发，通过理论分析推导卫星变轨时速度加速度的变化，为学生准确分析判别交点处速度、加速度的变化提供帮助。

[关键词]卫星变轨;速度;加速度;万有引力
[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2020）29-0053-02
卫星变轨问题是高中物理的重难点问题，该类问题往往涉及周期、速度以及加速度。

下面通过实例进行分析探讨。

【例题】（2019年福建泉州市第一次质量检查题）如图1所示，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道。

a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则（）。

A.卫星在轨道Ⅱ上的运行周期为轨道Ⅰ的2倍
B.卫星经过a点的速率为经过b点的[2]倍
C.卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍
D.质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能
解析：对B选项，由公式[v=GMr] 可知，如果卫星在Ⅱ轨道做椭圆运动，卫星经过两个轨道交点处的速率为经过b点的[2]倍。

而卫星在Ⅰ轨道上运动时，需要经过加速才能变轨到轨道Ⅱ上做椭圆运动，所以卫星经过a点的速率不是经过b点的[2]倍，故B错误。

这样的解释明显不能让学生掌握辨析两点线速度大小的关键，反而可能误导学生。

那么如何求解此题呢？能不能定量计算推导求解呢？
一、卫星变轨时速度加速度变化分析
要定量求解卫星在各点的线速度和加速度的大小关系，对高中生而言，仅使用物理课本所学知识是不够的，还要具备以下知识：
1.椭圆的曲率半径
可将质点的椭圆运动看成两个相互垂直的同步同频率简谐振动的叠加，这两个简谐振动的方程为：
2.卫星在近地点和远地点的速度关系
高中阶段，因为还没有学习角动量守恒定律，我们姑且用开普勒第二定律倒推近地点和远地点的速度关系。

开普勒第二定律告诉我们：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，如图3所示。

取[Δt]很小，则扫过的两部分都可以看成是直角三角形，圆弧相当于底边，根据面积相等有：
对本题，依据上述知识可得出以下推论。

推论1：在圆轨道与椭圆轨道交点处的圆轨道上的加速度跟椭圆轨道上的向心加速度是相等的。

在椭圆轨道上，设卫星在近地点的速度为[v1]，远地点的速度为[v2]，椭圆的半长轴为[a]，半短轴为[b]，焦距为[2c]。

由机械能守恒定律可得：
即在近地点处，圆轨道和椭圆轨道的交点处，卫星在圆轨道上运动的加速度和在椭圆轨道上运动的向心加速度是相等的。

推论2：针对本题，可推出卫星在圆轨道的a点和在椭圆轨道b点线速度大小关系。

由于圆轨道和椭圆轨道的交点处加速度和向心加速度是相等的，则有：
因此，要比较椭圆上远地点与圆轨道上的速度大小，则必须要用到开普勒第二定律的推论或者角动量守恒定律求解，当然也要注意在椭圆轨道与圆轨道相交的那个位置，其实万有引力是等于椭圆轨道上对应的向心力的，也就是加速度与向心加速度相等。

二、拓展应用
[例1]人造飞船首先进入的是距地面近地点高度为200 km，远地点高度为340 km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆行轨道上，如图5所示，试处理下面几个问题（地球的半径R=6370 km，g=9.8 m/s2）：
飞船在椭圆轨道1上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（）。

A.飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力
B.飞船在轨道1上运动时，P点的万有引力大于该点所需的向心力
C.飞船在轨道1上P点的速度小于在轨道2上P点的速度
D.飞船在轨道1上P点的加速度大于在轨道2上P的加速度
解析：本题给出的参考答案是BC。

对于AB有，万有引力大于该点所需的向心力，飞船会做近心运动，万有引力小于该点所需的向心力，飞船会做离心运动。

即飞船在Q点的万有引力小于该点所需的向心力，故A错;飞船在轨道1上运动时，P点的万有引力大于该点所需的向心力，故B正确;
对于C有，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，万有引力不够提供向心力，飞船做圆周运动，而飞船在轨道1上做椭圆运动，且椭圆的半长轴与圆轨道2的半径相等，所以飞船在轨道1上P点的速度小于在轨道2上P点的速度，故C正确;
对于D有，卫星仅受万有引力作用，所以加速度的大小由万有引力的大小决定，所以飞船在轨道1上P点的加速度等于在轨道2上P点的加速度，故D错误。

注意向心加速度是指质点做曲线运动时，指向圆心（曲率中心）的加速度，与曲线切线方向垂直，也叫作法向加速度。

向心加速度是反映圆周运动速度方向变化快慢的物理量。

向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

在椭圆与圆相交的点上，因为速度方向刚好与万有引力方向垂直，所以切向加速度为0，合加速度等于向心加速度，而合加速度都是由万有引力提供的，所以不管卫星在椭圆轨道上还是在圆轨道上，向心加速度应该是相等的，但是由于它们在不同轨道上运行，对应的曲率半径并不相等，导致它们对应的速度不相等。

（責任编辑易志毅）。