2019年高考数学题型全归纳：数列高考原创题探讨(含答案)

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2019.5
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列高考原创题探讨
素材 北师大版必修5
【原创题探讨】
数 列
【原创精典1】如图①，②，③，……是由花盆摆成的图案，
① ② ③
根据图中花盆摆放的规律，猜想第个图形中花盆的盆数n a = .
【解析】通过图形的变化寻求规律，以每行盆数为突破口。

【答案】2331n n -+
【原创精典2】已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．
【解析】利用a n ＝S n －S n －1求通项尤其注意n=1时的情况。

【答案】,110101)1lg(+=⇒=-⇒=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n －10n －1＝9·10 n －1．故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-)2(109)
1(111n n n
【原创精典3】将自然数0，1，2，…按照如下形式进行摆列：
，
根据以上规律判定，从2009到20xx 的箭头方向是( )
【解析】利用摆列的规律找到数列通项，从而确定所要箭头方向。

【答案】B
新动向前瞻
【样题1】计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数21
1611111）（个
转换成十进制形式是（ ）. A ．1722- B ．1622- C ．1621- D ．1521-
【解析】151********(1111)1212121221=⨯+⨯+
⨯+⨯=-
【答案】C
【样题2】已知数列：1，⎪⎭⎫ ⎝⎛+211，⎪⎭⎫ ⎝⎛++41211，⎪⎭⎫ ⎝⎛+++8141211，…，⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++-12141211n ，求它的前n 项的和S n ．
【解析】考查数列的求和。

【答案】∵ a n ＝1＋21＋41＋……＋
121-n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n n 21122
1121
1 ∴a n ＝2－121-n 则原数列可以表示为：
(2－1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-212，⎪⎭⎫ ⎝⎛-2212，⎪⎭⎫ ⎝⎛-3212，…⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1212n 前n 项和S n ＝(2－1)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-212＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-2212＋…＋⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1212n ＝2n －⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++-122121211n ＝2n －21121
1--
n ＝2n －2⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 211 ＝121
-n ＋2n －2
【样题3】已知公差大于0的等差数列{
n a 1}满足a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ．
【解析】
【答案】设{
n a 1}的公差为d(d ＞0)，由a 2，a 4，a 8成等比数列可知21a ，41a ，81a 也成等比数列， ∴(
41a )2＝21a ·81a ∴(11a ＋3d)2＝(11a ＋d)(1
1a ＋7d) 化简得d 2＝1a d ，∴1
1a ＝d 又a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1化简为
21a ＋41a ＋61a ＝6
421a a a ∴3·
41a ＝621a a ·41a ∴21a ·61a ＝3，即(11a ＋d)(1
1a ＋5d)＝3 2d·6d＝3 ∴d＝21，
11a ＝21 ∴n a 1＝1
1a ＋(n －1)d ＝2n ∴a n ＝n
2 【样题4】以数列{a n }的任意相邻两项为坐标的点P n (a n 、a n ＋1)均在一次函数y ＝2x ＋k 的图象上，数列{b n }满足条件：b n ＝a n ＋1－a n ，且b 1≠0． ⑴ 求证：数列{b n }为等比数列．
⑵ 设数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若S 6＝T 4，S 5＝－9，求k 的值．
【解析】考查特殊数列的判断及求和公式的灵活运用
【答案】⑴由题意，a n ＋1＝2a n ＋k
∴ b n ＝a n ＋1－a n ＝2a n ＋k －a n ＝a n ＋k
b n ＋1＝a n ＋1＋k ＝2a n ＋2k ＝2b n
∵ b 1≠0，∴ n
n b b 1+＝2 ∴ {b n }是公比为2的等比数列．
⑵ 由⑴知a n ＝b n －k
∵ b n ＝b 1·2n －1 ∴ T n ＝)12(2
1)21(11-=--n n b b S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )－nk ＝T n －nk ＝b 1(2n
－1)－nk
∵ ⎩⎨⎧-==9
546S T S ∴ ⎩⎨⎧-=-=-953115663111k b b k b 解得：k ＝8
【样题5】已知{}n a 是公差为的等差数列，它的前项和为n S ,4224S S =+,1n n n a b a +=
． （1）求公差的值；
（2）若152a =-，求数列{}n b 中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≤成立，求1a 的取值范围．
【解析】考查等差数列的综合运用及函数的增减性。

【答案】（1）∵4224S S =+，∴113442(2)42a d a d ⨯+
=++ 解得1d =
（2）∵152a =-，∴数列{}n a 的通项公式为17(1)2n a a n n =+-=- ∴111172
n n b a n =+=+- ∵函数1
()172f x x =+-在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上分别是单调减函数， ∴3211b b b <<<当4n ≥时，41n b b <≤
∴数列{}n b 中的最大项是43b =，最小项是31b =-
（2）由11n n b a =+得1111
n b n a =++- 又函数11()11f x x a =+
+-在()1,1a -∞-和()11,a -+∞上分别是单调减函数， 且11x a <-时1y <；11x a >-时1y >.
∵对任意的*n N ∈，都有8n b b ≤，∴1718a <-< ∴176a -<<- ∴1a 的取值范围是(7,6)--。