2017-2020年上海市春季高考数学试卷汇总

2017年上海市春季高考数学试卷2017.1一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 设集合{1,2,3}A =，集合{3,4}B =，则A B =U ；2. 不等式|1|3x -<的解集为 ；3. 若复数z 满足2136z i -=+（i 是虚数单位），则z = ；4. 若1cos 3α=，则sin()2πα-= ； 5. 若关于x 、y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = ； 6. 若等差数列{}n a 的前5项的和为25，则15a a += ；7. 若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为 ；8. 已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，则123lim n n na a a a a →∞+++⋅⋅⋅+= ； 9. 若2()nx x+的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 ； 10. 设椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得△12F F P 是 等腰三角形的点P 的个数是 ；11. 设1a 、2a 、…、6a 为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足1234||||a a a a -+-+ 56||3a a -=的不同排列的个数为 ；12. 设a 、b R ∈，若函数()a f x x b x =++在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取 值范围为 ；二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是（ ）A. [0,)+∞B. [1,)+∞C. (,0]-∞D. (,1]-∞14. 设a R ∈，“0a >”是“10a>”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）A. 三角形B. 长方形C. 对角线不相等的菱形D. 六边形16. 如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则131A A A P ⋅u u u u r u u u r 的取值范围为（ ）A. [0,8+B. [-+C. [8--D. [8--+三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =；（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；（2）求异面直线1A C 与1DD 所成角的大小；18. 设a R ∈，函数2()21x x a f x +=+； （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若2()2a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围；19. 某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于 点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ；（1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、 2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20. 已知双曲线222:1y x bΓ-=(0)b >，直线:l y kx m =+(0)km ≠，l 与Γ交于P 、 Q 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点(0,)N n ； （1）若点(2,0)是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若1b =，点P 的坐标为(1,0)-，且32NP P Q ''=u u u u r u u u u r ，求k 的值； （3）若2m =，求n 关于b 的表达式.21. 已知函数21()log 1x f x x+=-； （1）解方程()1f x =； （2）设(1,1)x ∈-，(1,)a ∈+∞，证明：1(1,1)ax a x -∈--，且11()()()ax f f x f a x a--=--； （3）设数列{}n x 中，1(1,1)x ∈-，1131(1)3n n n n x x x ++-=--，*n N ∈，求1x 的取值范围，使 得3n x x ≥对任意*n N ∈成立.参考答案一. 填空题1. {1,2,3,4}2. (2,4)-3. 23i -4. 13-5. 66. 107. 2 8.32 9. 160 10. 6 11. 48 12. (0,3-二. 选择题13. D 14. C 15. A 16. B三. 解答题17.（1）4；（2）arctan 3； 18.（1）1a =-；（2）[0,2]；19.（1）1M 半径34.6，2M 半径16.1；（2）1M 半径30，2M 半径20，造价42.0千元；20.（1）y =；（2）12k =±；（3）略； 21.（1）13x =；（2）略；（3）略；。

2017年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立．2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），k PQ =k 0，则，由，得（b 2﹣k 2）x 2﹣4kx ﹣4﹣b 2=0，，，由，得（）x 2﹣2k 0nx ﹣n 2﹣b 2=0，﹣x 1+x 2=，﹣x 1x 2=，∴x 1x 2==，即，即=，====，化简，得2n 2+n （4+b 2）+2b 2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b 2=k 2+k 02，由，得，即Q （，），代入x 2﹣=1，化简，得：，解得b 2=4或b 2=kk 0，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立．解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数，又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1），f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1；②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1），f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1），f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，1）≤1，即log2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x1≤．解得：f（x。

2020年上海市春季高考数学试卷含答案解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．集合{1A =，3}，{1B =，2，}a ，若A B ⊆，则a = ．2．不等式13x>的解集为 ．3．函数tan 2y x =的最小正周期为 ．4．已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 ．5．已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = ．6．若函数133x x y a =+g 为偶函数，则a = ．7．已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则11与2l 的距离为 ． 8．已知二项式5(2)x x +，则展开式中3x 的系数为 ．9．三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB =u u u r u u u rg ．10．已知{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 种．11．已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1n n n n A A A A n +++==u u u u u u r u u u u u u u u r g ，2，3)，112||||1(1n n n n A A A A n n +++=+=u u u u u u r u u u u u u u u rg，2，3)，则15||A A u u u u r的最小值为 ．12．已知()1f x x =-1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．计算：1135lim (35n nn n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．514．“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线 16．数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( ) A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =．（1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点0(M x ，0)y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M 2M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y g 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y =g 且P Q y y g 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由． 21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +…恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质；（2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[x a ∈，)+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．2020年上海市春季高考数学试卷含答案解析参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．集合{1A =，3}，{1B =，2，}a ，若A B ⊆，则a = 3 ． 【思路分析】利用集合的包含关系即可求出a 的值．【解析】：3A ∈Q ，且A B ⊆，3B ∴∈，3a ∴=，故答案为：3．【总结与归纳】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．2．不等式13x >的解集为 1(0,)3．【思路分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．【解析】：由13x >得130x x ->，则(13)0x x ->，即(31)0x x -<，解得103x <<，所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．【总结与归纳】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题．3．函数tan 2y x =的最小正周期为 2π．【思路分析】根据函数tan y x ω=的周期为πω，求出函数tan 2y x =的最小正周期．【解析】：函数tan 2y x =的最小正周期为2π，故答案为：2π．【总结与归纳】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 2 ．【思路分析】设z a bi =+，(,)a b R ∈．根据复数z 满足26z z i +=+，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解析】：设z a bi =+，(,)a b R ∈．Q 复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+， 可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =．则z 的实部为2．故答案为：2．【总结与归纳】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = 1arccos 3．【思路分析】根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论．【解析】：3sin22sin x x =Q ，6sin cos 2sin x x x =，(0,)x π∈Q ，sin 0x ∴≠，1cos 3x ∴=，故1arccos 3x =．故答案为：1arccos 3．【总结与归纳】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键．6．若函数133x x y a =+g 为偶函数，则a = 1 ．【思路分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得()()113333x x x x a a --+=+g g ，变形分析可得答案．【解析】：根据题意，函数133x x y a =+g 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()113333x x x x a a --+=+g g ，变形可得：(33)(33)x x x xa ---=-，必有1a =；故答案为：1．【总结与归纳】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题． 7．已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则11与2l 的距离为 2 ．【思路分析】由12//l l 求得a 的值，再根据两平行线间的距离计算即可．【解析】：直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，当12//l l 时，210a -=，解得1a =±； 当1a =时1l 与2l 重合，不满足题意；当1a =-时12//l l ，此时1:10l x y --=，2:10l x y -+=；则11与2l 的距离为2221(1)d =+-2 【总结与归纳】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题． 8．已知二项式5(2)x x +，则展开式中3x 的系数为 10 ． 【思路分析】由41435(2)()10C x x x =，可得到答案．【解析】：41435(2)()10C x x x =，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10．【总结与归纳】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．9．三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB =u u u r u u u r g 194．【思路分析】根据余弦定理即可求出11cos 16BAC ∠=，并得出1()2AD AB AB AC AB =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，然后进行数量积的运算即可．【解析】：Q 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯g ，∴111124162AB AC =⨯⨯=u u u r u u u r g ，且D 是BC 的中点，∴1()2AD AB AB AC AB =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g21()2AB AB AC =+u u ur u u u r u u u r g 111(4)22=⨯+ 194=． 故答案为：194．【总结与归纳】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10．已知{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 18 种． 【思路分析】先讨论a 的取值，得到对应b 的值，再整体求和即可． 【解析】：当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种，故共有：2464218++++=．故答案为：18．【总结与归纳】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．11．已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1n n n n A A A A n +++==u u u u u u r u u u u u u u u r g ，2，3)，112||||1(1n n n n A A A A n n +++=+=u u u u u u r u u u u u u u u rg，2，3)，则15||A A u u u u r 的最小值为 6．【思路分析】可设12||A A x =u u u u r ，从而据题意可得出232||A A x =u u u u u r ，344538||,||23x A A A A x==u u u u u r u u u u u r ，并设1(0,0)A ，根据是求15||A A u u u u r 的最小值，从而可得出52(,)23x A x--，从而可求出221524||49x A A x =+u u u u r ，从而根据基本不等式即可求出15||A A u u u u r 的最小值．【解析】：设12||A A x =u u u u r ，则232||A A x =u u u u u r ，344538||,||23x A A A A x==u u u u u r u u u u u r ，设1(0,0)A ，如图，Q 求15||A A u u u u r的最小值，则：2(,0)A x ，3422(,),(,)2x A x A x x -，52(,)23x A x--，∴2222152242||()()23493x x A A x x =-+-=+u u u u r …，当且仅当22429x x=时取等号，15||A A ∴u u u u r 的最小值为6．故答案为：6．【总结与归纳】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．12．已知()1f x x =-其反函数为1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 3[4，)+∞ ．【思路分析】因为1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数若1()y f x a -=-与()y f x a =+有实数根()y f x a ⇒=+与y x =有交点⇒1x a x +-=，有根．进而得出答案．【解析】：因为1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，若1()y f x a -=-与()y f x a =+有实数根，则()y f x a =+与y x =有交点，1x a x +-=，即221331()244a x x x =-+=-+…，故答案为：3[4，)+∞．【总结与归纳】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．计算：1135lim (35n nn n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．5【思路分析】把113535n nn n --++分子分母同时除以15n -，则答案可求．【解析】：111133()5355lim lim 5335()15n n nn n n n n ---→∞→∞-++==++．故选：D ． 【总结与归纳】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题．14．“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【思路分析】容易看出，由αβ=可得出22sin cos 1αβ+=，而反之显然不成立，从而可得出“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分不必要条件．【解析】：（1）若αβ=，则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=，∴ “αβ= “是“22sin cos 1αβ+= “的充分条件；（2）若22sin cos 1αβ+=，则22sin sin αβ=，得不出αβ=，∴ “αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件，∴ “αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件．故选：A ．【总结与归纳】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，22sin cos 1αα+=，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．15．已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【思路分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可． 【解析】：2AB Q „，2CD ∴„，判断轨迹为上下两支，即选双曲线， 设(,)A m t ，(,)D t n ，所以(,)P m n ，因为2212m t +=，2212t n +=，消去t 可得：22212m n -=，故选：B ．【总结与归纳】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题．16．数列{}na各项均为实数，对任意*n N∈满足3n na a+=，且行列式123n nn na aca a+++=为定值，则下列选项中不可能的是()A．11a=，1c=B．12a=，2c=C．11a=-，4c=D．12a=，0c=【思路分析】化简行列式，由已知条件，作差化简得．【解析】：行列式131223n nn n n nn na aa a a a ca a++++++=-=，Q对任意*n N∈满足3n na a+=，∴2122123n n nn n na a a ca a a c+++++⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，作差整理得：1n na a+=（常数列，0)c=，或12n n na a a++++=，当12n n na a a++++=，则12n n na a a+++=-及212n n na a a c++=-，∴方程220n nx a x a c++-=有两根1na+，2na+，∴△2224()430n n na a c c a=--=->，因为B错，故选：B．【总结与归纳】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD-，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD．（1）若5PC=，求四棱锥P ABCD-的体积；（2）若直线AD与BP的夹角为60︒，求PD的长．【思路分析】（1）利用已知条件求出，棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可．（2）由已知中四棱锥P ABCD-的底面是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD．异面直线AD与PB所成角为60︒，可得PBC∆为直角三角形，且60PBC∠=︒，3BC=，代入求出PC后，解直角PDC∆可得答案．【解析】：（1）PD⊥Q平面ABCD，PD DC∴⊥．3CD=Q，5PC∴=，4PD∴=，2134123P ABCDV-∴=⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD-的体积为12．（2）ABCDQ是正方形，PD⊥平面ABCD，BC PD∴⊥，BC CD⊥又PD CD D=Q IBC∴⊥平面PCDBC PC∴⊥Q 异面直线AD 与PB 所成角为60︒，//BC AD∴在Rt PBC ∆中，60PBC ∠=︒，3BC =故33PC =在Rt PDC ∆中，3CD = 32PD ∴=【总结与归纳】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =．（1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．【思路分析】（1）设等差数列的公差为d ，运用等差数列的求和公式，解方程可得d ，进而得到所求通项公式； （2）设等比数列的公比为q ，由等比数列的通项公式可得q ，再由等比数列的求和公式，解不等式可得n 的最小值．【解析】：（1）数列{}n a 为公差为d 的等差数列，1070S =，11a =，可得110109702d +⨯⨯=，解得43d =，则4411(1)333n a n n =+-=-；（2）数列{}n a 为公比为q 的等比数列，418a =，11a =，可得318q =，即12q =，则11()2n n a -=，111()122()1212nn n S --==--， 100n n S a >，即为11112()100()22n n --->g ，即2101n >，可得7n …，即n 的最小值为7．【总结与归纳】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？【思路分析】（1）利用题目所给定义表示出60(){|60|f x x =-，|120|}min x -，分类讨论可得60()f x ；（2）利用题意可得||,0.5(120)()|120|,0.5(120)t t x x t f x x x t -+⎧=⎨->+⎩„，表示出()t f x 与坐标轴围成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可【解析】：（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2)ω的距离， 所以60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，60(95)|12095|25f =-=，由题意得，60(){|60|f x x =-，|120|}min x -，则当|60||120|x x --„，即90x „时，60()|60|f x x =-； 当|60||120|x x ->-，即90x >时，60()|120|f x x =-； 综上60|60|,90()|120|,90x x f x x x -⎧=⎨->⎩„；（2）由题意得(){||t f x t x =-，|120|}min x -，所以||,0.5(120)()|120|,0.5(120)t t x x t f x x x t -+⎧=⎨->+⎩„，则()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以222113(120)603600244S t t t t =+-=-+，由题意，(60)S S <，即2360360027004t t -+<，解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利．【总结与归纳】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点0(M x ，0)y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M 2M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y g 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y =g 且P Q y y g 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由． 【思路分析】（1）点M 的横坐标2(2)2M x ==，由2y x =，得12p =，由此能求出M 与焦点的距离． （2）设200(,)M y y ，直线0201:1(1)1y PM y x y --=--，当1x =-时，0011A y y y -=+，同理求出0011B y y y --=-，由此能证明A B y y g 为常数．（3）解设200(,)M y y ，(,)A A t y ，直线200020:()A y y MA y y x y y t--=--，联立2y x =，得22220000000A A y t y t y y y y y y y y ---+-=--，求出00A P A y y t y y y -=-，同理得001B Q B y y y y y -=-，由此能求出存在1t =，使得1A B y y =g 且P Q y y g 为常数1．【解析】：（1）解：Q 抛物线2y x =上的动点0(M x ，0)y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点． 点M 2，∴点M 的横坐标2(2)2M x ==，2y x =Q ，12p ∴=，M ∴与焦点的距离为192244M p MF x =+=+=．（2）证明：设200(,)M y y ，直线0201:1(1)1y PM y x y --=--，当1x =-时，0011A y y y -=+，直线0201:1(1)1y QM y x y ++=--，1x =-时，0011B y y y --=-，1A B y y ∴=-，A B y y ∴g 为常数1-． （3）解：设200(,)M y y ，(,)A A t y ，直线200020:()A y y MA y y x y y t--=--， 联立2y x =，得22220000000A Ay t y ty y y y y y y y ---+-=--， 2000p A y t y y y y -∴+=-，即00A P A y y t y y y -=-，同理得001B Q B y y y y y -=-，1A B y y =Q g ，2200200()()1A B P Q A B y ty y y t y y y y y y -++∴=-++， 要使P Q y y 为常数，即1t =，此时P Q y y 为常数1，∴存在1t =，使得1A B y y =g 且P Q y y g 为常数1．【总结与归纳】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +„恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质；（2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[x a ∈，)+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值． 【思路分析】（1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可；（2）依题意，1()()f x x x a x=+…为增函数，由双勾函数的图象及性质即得解；（3）由题意，(2)()f k p k Z =∈，(21)()f n q n Z -=∈，又为常值函数，故(2)(21)f k f n =-，由此即可得解． 【解析】：（1）()f x x =-Q 为减函数，()(1)f x f x ∴<-， ()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x =Q 为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +„恒成立，∴1()()f x x x a x=+…为增函数（不可能为常值函数）， 由双勾函数的图象及性质可得1a …，当1a …时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +„恒成立， 综上，实数a 的取值范围为[1，)+∞．（3）D Q 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，∴当2t =-，()(2)f x f x =-恒成立，即(2)()f k p k Z =∈，(21)()f n q n Z -=∈，由题意，p q =，则(2)(21)f k f n =-，当2x k =，()(221)f x f x n k =+--，221(,)m n k n k Z ∴=--∈，当21x n =-，()(221)f x f x k n =+-+，221(,)m k n n k Z ∴=-+∈，综上，m 为奇数．【总结与归纳】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．。

2017年上海市春季高考数学试卷
16．如图所示，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【试题再现】若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
且2z x y =+的最大值和最小值分别
为M 和m ，则M m -=（ ）．
（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5
解析四：（向量法）如图2，画出不等式组表示的可行域——由点
11(1,1),(2,1),(,)22
A B C ---围成的三角形区域（包括边界）. 构造向量(2,1),(,)OP OQ x y ==，并设向量OP 与OQ 的夹角为θ，则因为2c o s 5c o s z x y O P O Q O P O Q O Q θθ=+=⋅=⋅=⋅，所以本题关键是考查向量OQ 在OP 方向上的投影（即：cos OQ θ）何时取得最值.
让点(,)Q x y 在可行域内运动变化，分析易知：当点(,)Q x y 与点(2,1)B -重合时，向量OQ 在OP 方向上的投影取得最大值，所以22(1)3M =⨯+-=；当点(,)Q x y 与点(1,1)A --重合时，向量OQ 在
OP
方向上的投影取得最小值，
所以
2
(1)
(1)3m =⨯-+-=-.故3(3)6M m -=--=，选C ．
图2
评注：上述求解的关键是，先根据目标函数的表达式灵活构造向量，再借助动态分析法考查最值情景.显然，这种解法揭示了常规解法中动直线平移的实质——始终保证动直线与向量OP所在直线垂直.故值得我们去回味、深思！。

2017年上海市春季高考数学试卷一、填空题：（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，共54分）1．设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则AB = 2．不等式13x -<的解集为3．若复数z 满足2136z i -=+（i 为虚数单位），则z =4．若1cos 3α=，则sin()2πα-= 5．若关于x 、y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = 6．若等差数列{}n a 的前5项和为25，则15a a +=7．若P 、Q 为圆222440x y x y +-++=上的动点，则PQ 的最大值为8．已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，则123lim n n n a a a a a →∞++++=9．若2()nx x +的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 10．设椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得12PF F ∆是 等腰三角形的点P 的个数是11．设1a 、2a 、…、6a 为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足123456a a a a a a -+-+- 3=的不同排列的个数为12．设a 、b R ∈，若函数()a f x x b x =++在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取值范围为二、选择题（共4题，每题5分，共20分）13．函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是（ ）A [0,)+∞B [1,)+∞C (,0]-∞D (,1]-∞14．设a R ∈，“0a >”是“10a>”的（ ）条件 A 充分非必要 B 必要非充分 C 充要 D 既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）A 三角形B 长方形C 对角线不相等的菱形D 六边形16．如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则131A A A P ⋅的取值范围是（ ）A [0,86+B [-+C [8--D [8--+三、解答题（共5大题，共141414161876++++=分）17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；（2）求异面直线1A C 与1DD 所成角的大小.18．设a R ∈，函数2()21x x a f x +=+， （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若2()2a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围.19．某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥， 60AB AC AD ===，（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，（1）若6BAD π∠=，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．已知双曲线222:1y x b Γ-=（0b >），直线:l y kx m =+（0km ≠），l 与Γ交于P 、Q 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点(0,)N n ，（1）若点(2,0)是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若1b =，点P 的坐标为(1,0)-，且32NP P Q ''=，求k 的值； （3）若2m =，求n 关于b 的表达式.21．已知函数21()log 1x f x x+=-， （1）解方程()1f x =；（2）设(1,1)x ∈-，(1,)a ∈+∞，证明：1(1,1)ax a x -∈--，且11()()()ax f f x f a x a--=--； （3）设数列{}n x 中，1(1,1)x ∈-，1131(1)3n n n nx x x ++-=--，*n N ∈，求1x 的取值范围， 使得3n x x ≥对任意*n N ∈成立.【简答】一、填空题：1. {}1,2,3,42. (2,4)-3. 23i -4. 13- 5. 66. 107. 2 8. 32 9. 160 10. 6 11. 4812. (0,3-二、选择题：13. D 14. C 15. A 16. B三、解答题：17. （1）4；（2）；18. （1）1a =-；（2）[0,2]19. （1）1M 的半径为16.1，2M 的半径为34.6；（2）1M 的半径为30，2M 的半径为20，总造价为263.920. （1）y =；（2）2k =±；21. （1）13；（2）作差法。

2020年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间 120 分钟．试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴 在指定位置．3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．若集合{}1,3A =，{}1,2,B a =，若A B ⊆，则a =________. 2．不等式13x>的解集是________. 3．函数tan 2y x =的最小正周期为________. 4. 已知复数26z z i +=+，则z 的实部为________. 5．已知()3sin 2sin ,0,x x x π=∈，则x =________. 6．函数133xx y a =⋅+为偶函数，则a =________. 7．两条直线1:1l x ay +=，212:1l ax y l l +=，若∥，则12l l 与的距离为________.8．二项式(52x ，则3x 的系数为________.【答案】1. 3 2. 1|03x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3. 2π4. 25. 1arccos 36. 17.8. 109．在△ABC 中，D 是BC 的中点，2,3,4AB BC AC ===，则AD AB =________. 【答案】194【解析】法一：因为2,3,4AB BC AC ===，所以22224311cos 22416A +-==⨯⨯，在△ABC 中，D 是BC 的中点，所以2AB ACAD +=， 因此，AD AB =()22111119224222164AB AC AB AB AB AC +⎛⎫⋅=+⋅=+⋅⋅=⎪⎝⎭. 法二：因为2,3,4AB BC AC ===，所以2222341cos 2234B +-==-⨯⨯，在△ABC 中，D 是BC 的中点，所以12AD AB BD AB BC =+=+， 因此，AD AB =22111192232244AB AB BC ⎛⎫+⋅=+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭. 法三：在△ABC 中，D 是BC 的中点，所以2AB ACAD +=， 平方后，2211131(422416)24164AB AC AD ⎛⎫+==+⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭， 在△ABD中，32,,2AB BD AD ===所以3194cos BAD +-∠==，因此，AD AB=19cos 224AD AB BAD ⋅⋅∠=⨯=.10．已知{}3,2,1,0,1,2,3,,A a b A =---∈，则满足a b <的情况有________种. 【答案】18 【解析】枚举法11．已知12345,,,,A A A A A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，1121n n n n A A A A n +++⋅=+，其中123n =，，，则15A A 的最小值为________.【答案【解析】设120A A a =>，因为12230A A A A ⋅=12232A A A A ⋅=，所以232A A a=，且1223A A A A ⊥； 同理，3432a A A =，4583A A a=，且2334A A A A ⊥，3445A A A A ⊥. 要使得15A A 最小，则需如图排布（将A 1置于原点处）此时，532823a A a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，即5223a A a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 因此215A A =222224223493a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当a =时取得等号.12. 已知函数()f x =()f x 的反函数为1()f x -，若方程1()()f x a f x a --=+有实数根，则实数a 的取值范围为________.【答案】3[+4∞，）【解析】因为1()y fx a -=-与()y f x a =+互为反函数，所以“方程1()()fx a f x a --=+有实数根”意味着“函数1()y f x a -=-的图像与函数()y f x a =+的图像有公共点”，互为反函数的图像关于直线y=x 对称，问题转化为：函数()y f x a =+的图像与直线y=x 有公共点，求a 的范围.即方程()f x a x +=有实数根，x =等价于方程21a x x =-+在01x x a⎧⎨-⎩≥≥上有解.当12a >时，112a -<，21131224a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭≥，所以34a ≥；当12a ≤时， ()21(1)1a a a ---+≥，所以2(1)0a -≤，无解； 综上，34a ≥.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．1135lim 35n nn n n --→∞++的值为 ( ) Ａ．3 Ｂ．53 Ｃ．35Ｄ．5 【答案】D14．“αβ=”是22sincos 1αβ+=的 ( )Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 【答案】A15．已知椭圆221,2x y +=垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，垂直于y 轴的直线交椭圆于C D ，两点，且AB CD =，则两直线交点P 所在的曲线是 ( )Ａ．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．圆 Ｄ．抛物线 【答案】B【解析】方法一：依据图形对称性，选项D设(),()A s t C m n ，，，则()P s n ，， 因为AB CD =，所以t m =，又22221(1)21(2)2s t m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，将（1）—（2）х2得22212s n -=， 因此动点P 的轨迹方程为22212x y -=，轨迹为双曲线的一部分.方法二：设sin )sin )A C ααββ，，，，则sin )P αβ，, 因为AB CD =，所以sin αβ=，平方后，22sin 2cos αβ=，即221cos22sin αβ-=-，设()P x y ，，则sin x y αβ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以cos sin y αβ==⎩代入上式，因此动点P 的轨迹方程为22212x y -=，轨迹为双曲线的一部分.16．对于数列{}n a 有3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=，下列选项中不可能的是的 ( )Ａ．11,1a c == Ｂ．12,2a c == Ｃ．11,4a c =-= Ｄ．12,0a c == 【答案】B 【解析】因为123n n n n a a c a a +++=，所以312n n n n a a a a c +++-=，又3n n a a +=，所以212n n n a a a c ++-=， ①同理2123n n n a a a c +++-=，即212n n n a a a c ++-=， ②②-①，22121()0n n n n n a a a a a +++-+-=， 因此，10n n a a +-=或120n n n a a a ++++=，当10n n a a +-=时，数列{}n a 为常数列，D 正确；当120n n n a a a ++++=时，12n n n a a a +++=-，且212n n n a a a c ++=-，于是12,n n a a ++是方程2n x a x ++20n a c -=的两个根， 由∆≥0，得2340n a c -<，经检验选项A ，C 符合.三、解答题（本大题74分）本大题共有５题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）已知底面ABCD 为正方形的四棱锥P ABCD -,底面边长为3，PD ABCD ⊥面，若AD 与BP 夹角为60．（1）求PD 的长度；（2）求四棱锥P ABCD -的体积． 【解析】（1） 因为AD BC ∥，所以PBC ∠为异面直线AD 与BP 所成角（或其补角）由AD 与BP 夹角为60，所以PBC ∠=60．PD ABCD PD BC BC PCD BC PC BC ABCD ABCD CD BC ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊂⎬⎭⎪⇒⊥⎭面面面底面为正方形，在直角△PDC 中，PBC ∠=60，=3BC ，所以=6BP ， 在直角△PDB 中， =6BP，BDPD （2） 四棱锥P ABCD -的体积为11==33P ABCD ABCD V PD S -⋅⋅⋅18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =；（1）若已知{}10=70n S a ，成等差数列，求{}n a 的通项公式 （2）若{}41=8n a a ，成等比数列，求>100n n S a 时n 的最小值. 【解析】（1） 已知{}n a 成等差数列，所以1101010()==702a a S +，因为11a =，所以1013a =，公差10141013a a d -==-，因此，{}n a 的通项公式为141(1)3n n a a n d -=+-=；（2） 若{}n a 成等比数列，首项11a =，41=8a ，所以公比1=2q ，因此，11=2n n a -，112=112nn S --，代入>100n nS a ，化简得2101n >， 因为672=642=128，，所以满足>100n n S a 时n 的最小值为7.19. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(),0B x ，现要建设另一座垃圾投放点()2,0t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离；（1）若60,t =求()()()606060108095f f f ，，，并写出()60f x 的函数解析式；（2）定义：将()t f x 与坐标轴围成的面积估计为扔垃圾的便利程度，问：垃圾投放点2ω要建立在何处才能比建在中点时更加便利？ 【解析】（1）()()()60606010=60105080806020951209525f f f -==-==-=，，，()60f x 的函数解析式为()60|60|[090]=120(90120]x x f x x x -∈⎧⎨-∈⎩，，，，；（2）由(1)知()60f x 与坐标轴围成的面积为2011=60+6030=903022S ⨯⨯⨯⨯， 而()t f x 的函数解析式为()||[060]2=120(60120]2t t x t x f x t t x ⎧-∈+⎪⎪⎨⎪-∈+⎪⎩，，，，，()t f x 与坐标轴围成的面积为22111203=+(120)()=60+60602224t S t t t t -⨯⨯-⨯⨯-⨯，据题意，当0S S <时，垃圾投放点2ω比在中点时更加便利，即2360+1203090304t t ⨯-⨯<⨯，解得2060t <<. 因此，垃圾投放点2ω要建立在()20,0和()60,0两点之间，才能比建在中点时更加便利.20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分）已知抛物线2y x =上动点()00,M x y 过M 分别作两条直线交抛物线于,P Q 两点，交直线x t =交于,A B 两点.（1）若点M M 到抛物线焦点的距离； （2）若1,(1,1),Q(1,1)t P =--，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得A B y y ⋅=1且P Q y y ⋅为常数，若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 若点M M 的横坐标为2，依据抛物线的定义，点M 到抛物线焦点的距离等于到准线的距离， 因为抛物线2y x =的准线方程为1=4x -，所以点M 到抛物线焦点的距离为19244+=； （2） 设2(,)M a a ,直线MP 方程为：11(1)1y x a -=-+，令1x =-，得=A y 11a a -+； 直线MQ 方程为：11(1)1y x a +=--，令1x =-，得=B y 11a a +--， 因此A B y y ⋅=11a a -⨯+1=11a a +⎛⎫-- ⎪-⎝⎭为常数； （3） 设2(,)M a a ,(,)A t s ，1(,)B t s直线MA 方程为：2()a sy s x t a t--=--， 因为2y x =，代入上式整理得22220a s sa aty y a t a t---+=--，所以=P M y y ⋅2sa at a s--，即=P y sa ta s --；同理=Q y 11ata st s as a s--=--； 因此P Q y y ⋅=sa t a s -⨯-1a st as --=22222(1)+(1)sa s ta st sa s a s-+-++， 假设存在t ，使得A B y y ⋅=1且P Q y y ⋅为常数，记常数为k ，则22222(1)+=(1)sa s ta st k sa s a s-+-++，整理得，222(1)(1)()()0s k a s k t a s k t --+-+-=对于变量a 恒成立，当且仅当22(1)=0(1)()0()0s k s k t s k t -⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩，解得1k t ==，因此假设存在1t =，使得A B y y ⋅=1且P Q y y ⋅为常数1.21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）已知A R ⊆,对于定义域为D 的函数，任意,t A x D ∈∈,恒有()(),f x t f x +≥则称函数()f x 具有性质A .（1）若{}=1A -，判断()=,()2f x x g x x -=是否具有性质A ；（2）已知()=01A ，，[)1()=+,,f x x x a x∈+∞，若()f x 具有性质A ，求正实数a 的范围； （3）{}=2A m -，，m 为整数，()f x 是定义在整数集上的函数，若仅当()f x 为常值函数时，()f x 具有性质A ，求m 的所有可能值.【解析】（1）当{}=1A -，即1t =-时，若()=f x x -，则(1)=1f x x --+x -≥，恒有()(),f x t f x +≥所以()f x 具有性质A ；若()2g x x =，则(1)=22g x x --2x <，所以()g x 不具有性质A. （2）若[)1()=+,,f x x x a x∈+∞具有性质A ， 不等式[)11,,x t x x a x t x+++∈+∞+≥，()01t ∈，恒成立， 不等式[)210,,x tx x a +-∈+∞≥，()01t ∈，恒成立，（视作关于x 的二次函数） 记函数[)2()1,h x x tx x a =+-∈+∞，，其图像为对称轴1=,022t x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭的抛物线， 因为0a >，[)2()1,h x x tx x a =+-∈+∞，上单调递增，最小值为2()1h a a at =+-，所以只需210at a +-≥在()01t ∈，恒成立，（视作关于t 的一次函数） 只需当0t =时，210a -≥即可，所以1a ≥.（3） 征解。

上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。

若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。

11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

2017年上海春考数学试题一、填空题：（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，共54分）1．设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则AB = 2．不等式13x -<的解集为3．若复数z 满足2136z i -=+（i 为虚数单位），则z =4．若1cos 3α=，则sin()2πα-= 5．若关于x 、y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = 6．若等差数列{}n a 的前5项和为25，则15a a +=7．若P 、Q 为圆222440x y x y +-++=上的动点，则PQ 的最大值为8．已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，则123lim n n n a a a a a →∞++++=9．若2()nx x +的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 10．设椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得12PF F ∆是 等腰三角形的点P 的个数是11．设1a 、2a 、…、6a 为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足123456a a a a a a -+-+- 3=的不同排列的个数为12．设a 、b R ∈，若函数()a f x x b x =++在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取值范围为二、选择题（共4题，每题5分，共20分）13．函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是（ ）A [0,)+∞B [1,)+∞C (,0]-∞D (,1]-∞14．设a R ∈，“0a >”是“10a>”的（ ）条件 A 充分非必要 B 必要非充分 C 充要 D 既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）A 三角形B 长方形C 对角线不相等的菱形D 六边形16．如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则131A A A P ⋅的取值范围是（ ）A [0,8+B [-+C [8--D [8--+三、解答题（共5大题，共141414161876++++=分）17．如图，长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，13AA =，（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；（2）求异面直线1AC 与1DD 所成角的大小.18．设a R ∈，函数2()21x x a f x +=+， （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若2()2a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围.19．某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥， 60AB AC AD ===，（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，（1）若6BAD π∠=，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．已知双曲线222:1y x b Γ-=（0b >），直线:l y kx m =+（0km ≠），l 与Γ交于P 、Q 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点(0,)N n ，（1）若点(2,0)是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若1b =，点P 的坐标为(1,0)-，且32NP P Q ''=，求k 的值； （3）若2m =，求n 关于b 的表达式.21．已知函数21()log 1x f x x+=-， （1）解方程()1f x =；（2）设(1,1)x ∈-，(1,)a ∈+∞，证明：1(1,1)ax a x -∈--，且11()()()ax f f x f a x a--=--； （3）设数列{}n x 中，1(1,1)x ∈-，1131(1)3n n n nx x x ++-=--，*n N ∈，求1x 的取值范围， 使得3n x x ≥对任意*n N ∈成立.【简答】一、填空题：1. {}1,2,3,42. (2,4)-3. 23i -4. 13-5. 66. 107. 2 8.32 9. 160 10. 6 11. 48 12. (0,3- 二、选择题：13. D 14. C 15. A 16. B三、解答题：17. （1）4；（2）arctan 3； 18. （1）1a =-；（2）[0,2]19. （1）1M 的半径为16.1，2M 的半径为34.6；（2）1M 的半径为30，2M 的半径为20，总造价为263.920. （1）y =；（2）k =； 21. （1）13；（2）作差法。

绝密★启用前2020上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 计算：n →∞lim3n +5n 3n−1+5n−1=( )A. 3B. 53C. 35D. 52. “α=β”是“sin 2α+cos 2β=1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3. 已知椭圆x 22+y 2=1，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB =CD ，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 以上都不正确4. 数列{a n }各项均为实数，对任意n ∈N ∗满足a n+3=a n ，且行列式∣∣∣a n a n+1a n+2a n+3∣∣∣=c 为定值，则下列选项中不可能的是( ) A. a 1=1，c =1 B. a 1=2，c =2 C. a 1=−1，c =4D. a 1=2，c =0第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 集合A ={1,3}，B ={1,2,a}，若A ⊆B ，则a =______．6. 不等式1x >3的解集是 ． 7. 函数y =tan2x 的最小正周期 ．8. 已知复数z 满足z +2z −=6+i ，则z 的实部为______． 9. 已知3sin2x =2sinx ，x ∈(0,π)，则x =______． 10. 若函数y =a ⋅3x +13x 为偶函数，则a = ．11. 已知直线l 1：x +ay =1，l 2：ax +y =1，若l 1//l 2，则l 1与l 2的距离为 ． 12. 已知二项式(2x +√x)5，则展开式中x 3的系数为______．13. 三角形ABC 中，D 是BC 中点，AB =2，BC =3，AC =4，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．14. 已知A ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，a 、b ∈A ，则|a|<|b|的情况有 种． 15. 已知A 1、A 2、A 3、A 4、A 5五个点，满足A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A n+1A n+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(n =1,2,3)，|A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A n+1A n+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n +1(n =1,2,3)，则|A 1A 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______． 16. 已知f(x)=√x −1，其反函数为f −1(x)，若f −1(x)−a =f(x +a)有实数根，则a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。