专题1.6 数轴(拓展提高)(解析版)

专题1.6 数 轴（拓展提高）
一、单选题
1．在数轴上表示﹣2.1和3.3两点之间的整数有（ ） A ．4个 B ．5个
C ．6个
D ．7个
【答案】C
【分析】在数轴上找出点-2.1和3.3，找出两点之间的整数即可得出结论． 【详解】解：依照题意，画出图形，如图所示．
在﹣2.1和3.3两点之间的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2，3，共6个， 故选：C ．
【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答．
2．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且这两个点到原点的距离相等，下列结论中，正确的是（ ）
A ．0a b +=
B ．0a b -=
C ．||||a b <
D ．0ab >
【答案】A
【分析】根据实数a 、b 在数轴上的位置，即可得到a ，b 的符号，逐项进行判断即可． 【详解】解：由题可得，0a b <<， 这两个点到原点的距离相等，
a ∴，
b 互为相反数，
||||a b ∴=，故C 选项错误；
0a b ∴+=，故A 选项正确； 0a b -<，故B 选项错误； 0ab <，故D 选项错误；
答案：A ．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
3．如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【答案】B
【分析】把每段的整数写出来即可得到答案．
【详解】解：由数轴每段的端点可以得到：
段①的整数为-2，段②的整数为-1，0，段③的整数为1，段④的整数为2，
故选B．
【点睛】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键．
4．如图，数轴上有三个点A、B、C，且A、B表示的数互为相反数，若每个单位长度表示1，则点C表示的数为（）
A．不能确定B．-2 C．2 D．0
【答案】B
【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数．
【详解】解：∵点A、B表示的数互为相反数，
∴原点在线段AB的中点处，
∴点C对应的数是-2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数轴，关键是正确确定原点的位置．
5．如图，一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2021秒时所对应的数是（）
A．-406 B．-405 C．-2020 D．-2021
【答案】B
【分析】根据每向左运动3秒就向右运动2秒，也就是每经过3+2秒就向左移动1个单位，解答即可．【详解】解: ∵每向左运动3秒就向右运动2秒，即每经过3+2秒就向左移动1个单位，
∴2021÷5=404……1，即经过404个5秒后，又经过1秒的左移，
∴404+1=405个单位，
∴动点运动到第2021秒时所对应的数是-405， 故选B ．
【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是根据题目给出的条件，找出规律．
6．如图，在数轴上，点A 表示数1,现将点A 沿数轴作如下移动，第一次将点A 向左移动3个单位长度到达点1A ，第二次将点1A 向右移动6个单位长度到达点2A ，第三次将点2A 向左移动9个单位长度到达点3A ，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点2021A ，那么点2021A 所表示的数为（ ）
A ．3029-
B ．3032-
C ．3035-
D ．3038-
【答案】C
【分析】从A 的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可. 【详解】∵A 表示的数为1， ∴1A =1+（-3）×1=-2， ∴2A =-2+（-3）×（-2）=4， ∴3A =4+（-3）×3=-5= -2+（-3）， ∴4A =-5+（-3）×（-4）=7，
∴5A =7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2， ∴2021A = -2+（-3）×1011=-3035， 故选C.
【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键.
二、填空题
7．在数轴上与﹣3的距离等于4的点表示的数是___________________． 【答案】7-或1
【分析】根据数轴上两点间的距离即可求解．
【详解】解：在数轴上与﹣3的距离等于4的点表示的数有两个，
在数轴上分别位于﹣3的左右两侧，
-或1，
它们是7
-或1．
故答案为：7
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，注意有两个．
8．数轴上有A、B两点，点A表示6的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，沿数轴以1单位长度/秒的速度运动，4秒后，点P到点A的距离为_____单位长度．
【答案】10或2
【分析】根据题意确定出点A与B表示的数字，利用平移规律求出所求即可．
【详解】解：根据题意得：A表示的数为﹣6，B表示的数为0，
∵点P经过4秒后的路程为1×4＝4（个单位长度），且向左或向右平移，
∴平移后点P对应的数字为﹣4或4，
则点P到点A的距离为10或2个单位长度．
故答案为：10或2．
【点睛】醒考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的求法是解题关键．
9．等边ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，点B对应的数是__．
【答案】2020
【分析】先确定AB＝AC＝BC＝1，翻转1次后，点B所对应的数为1；翻转4次后，点B所对应的数为1+3×1；翻转7次后，点B所对应的数为1+3×2，由于2020＝1+673×3，从而可判断△ABC连续翻转2020次后，点B对应的数为1+673×3．
【详解】解：∵点A、C对应的数分别为0和﹣1，
∴AC＝1，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝1，
∵△ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，翻转3次后，点B 所对应的数为3，翻转4次后，点B所对应的数为1+3×1；翻转7次后，点B所对应的数为1+3×2，
而2020＝1+673×3，
∴△ABC连续翻转2020次后，点B对应的数为1+673×3＝2020．
故答案为2020．
【点睛】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．也考查了等边三角形的性质和数字变换规律型问题的解决方法．
10．一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经122岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在________岁了． 【答案】68
【分析】在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做线段AB ，类似爷爷比小红大时看做当A 点移动到B 点时，此时B 点所对应的数为-40，小红比爷爷大时看做当B 点移动到A 点时，此时A 点所对应的数为122，所以可知爷爷比小红大[122-（-40）]÷3=54，可知爷爷的年龄． 【详解】借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做线段AB ， 类似爷爷比小红大时看做当A 点移动到B 点时， 此时B 点所对应的数为-40，
小红比爷爷大时看做当B 点移动到A 点时， 此时A 点所对应的数为122，
∴可知爷爷比小红大[122-（-40）]÷3=54， 可知爷爷现在年龄为122-54=68， 故答案为：68．
【点睛】考查了数轴的特点和运用，解题关键是把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（线段AB ），先求得AB 的长度．
11．a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示，把a ，a -，b ，b -按照从小到大的顺序排列为________．
【答案】b a a b -<<-<
【分析】根据数轴表示数的方法得到0a b <<，且b a >-，则有b a a b -<<-<． 【详解】解：
0a b <<，且b a >-，
b a a b ∴-<<-<．
故答案为：.b a a b -<<-<
【点睛】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了数轴．
12．点A ，B ，C 在同一条数轴上，其中点A ，B 表示的数分别为3-，1，若2BC =，则AC 等于______． 【答案】2或6
【分析】根据题意求出AB ，分点C 在点B 的右侧和点C 在点B 的左侧两种情况计算．
【详解】此题画图时会出现两种情况，即点C 在线段AB 内，点C 在线段AB 外，所以要分两种情况计算， ∵点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，∴AB=4， 第一种情况：在AB 外，如答图1，AC=4+2=6；
第二种情况：在AB 内，如答图2，AC=4﹣2=2；
故答案为：2或6．
【点睛】本题考查了数轴的概念，灵活运用分情况讨论思想，掌握数轴的概念是解题的关键．
13．数轴上有点A 和点B ，点A 到原点的距离为m ，点B 到原点的距离为n ，且点B 在点A 的左边，若m ＜n ，则点A 与点B 的距离等于______． 【答案】m n +或m n -+
【分析】根据题意求得点A 对应的数为±
m ，点B 对应的数为﹣n ，利用数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵点A 到原点的距离为m ，点B 到原点的距离为n ， ∴点A 对应的数为±m ，点B 对应的数为±n ， 又∵点B 在点A 的左边，且m ＜n ，
∴点A 对应的数为±m ，点B 对应的数为﹣n ，
∴点A 与点B 的距离等于m ﹣（﹣n ）=m+n 或﹣m ﹣（﹣n ）=﹣m+n ， 故答案为：m n +或m n -+
【点睛】本题考查了数轴，会熟知数轴上两点间的距离公式，能正确得出点A 、B 对应的数是解答的关键． 14．一个三角板顶点B 处刻度为“0”如图1，直角边AB 落在数轴上，刻度“30”和“20”分别与数轴上表示数字3-和1-的点重合，现将该三角板绕着点B 顺时针旋转90°，使得另一直角边BC 落在数轴上，此时BC 边上的刻度“15”与数轴上的点P 重合，则点P 表示的数是_______．
【答案】6
【分析】根据三角板上的长度和数轴上的长度的对应关系求出三角板上的长度“15”等价的数轴上的长度，再求出点B 表示的数，就可以得到点P 表示的数．
【详解】解：∵刻度“30”和“20”分别与数轴上表示数字3-和1-的点重合， ∴三角板上的长度“10”对应数轴上的长度2， ∴三角板上的长度“15”等于数轴上的长度是3， ∵点B 到表示-1的点的长度是“20”，
∴对应数轴上的长度是4，则点B 表示的数是3， ∴点P 表示的数是6． 故答案是：6．
【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握用数轴上的点表示数．
三、解答题
15．把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接各数；
1
32
，-4.5，54-，0，-1，1；
【答案】-4.5<-1<0<1<1
32
；数轴见解析
【分析】首先根据数轴的意义把各数在数轴上表示出来，然后再根据数轴左边的数小于右边的数进行排列． 【详解】解：如图：
由数轴可得： -4.5<54-
<-1<0<1<1
32
； 【点睛】本题考查有理数在数轴上的应用，熟练掌握用数轴上的点表示有理数及比较有理数的大小是解题关键 ．
16．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和6 （1）求线段AB 的长；
（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．
【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；
（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．
【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，
答：AB的长为8；
（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：
如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MA＝MP＝1
2
PA，NP＝NB＝
1
2
PB，
所以MN＝NP﹣MP
＝1
2
PB﹣
1
2
PA
＝1
2
（PB﹣PA）
＝1
2
AB
＝1
2
×8
＝4．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．
17．如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B 重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4，由此可得到木棒长为cm．
（2）图中点A所表示的数是，点B所表示的数是．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决以下问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要25年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【答案】（1）4；（2）8，12；（3）75岁
【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是16﹣4＝12（cm），依此可求木棒长为4cm，（2）根据木棒长为4cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4，依此可求出A，B两点所表示的数；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为﹣25，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为125，所以可知爷爷比小红大[125﹣（﹣25）]÷3＝50，可知爷爷的年龄．
【详解】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是16﹣4＝12（cm），
则木棒长为：12÷3＝4（cm）．
故答案为：4．
（2）∵木棒长为4cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16，
∴B点表示的数是12，
∵将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4，
∴A点所表示的数是8．
故答案为：8，12；
（3）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，
类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，
此时B点所对应的数为﹣25，
小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，
此时A点所对应的数为125，
∴可知爷爷比小红大[125﹣（﹣25）]÷3＝50，
可知爷爷的年龄为125﹣50＝75（岁）．
故爷爷现在75岁．
【点睛】本题考查的是数轴，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒AB），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中．
18．定义：数轴上给定不重合两点A ，B ，若数轴上存在一点M ，使得点M 到点A 的距离等于点M 到点B 的距离，则称点M 为点A 与点B 的“平衡点”．请解答下列问题：
（1）若点A 表示的数为－3，点B 表示的数为1，点M 为点A 与点B 的“平衡点”，则点M 表示的数为_______； （2）若点A 表示的数为－3，点A 与点B 的“平衡点”M 表示的数为1，则点B 表示的数为________； （3）点A 表示的数为－5，点C ，D 表示的数分别是－3，－1，点O 为数轴原点，点B 为线段CD 上一点． ①设点M 表示的数为m ，若点M 可以为点A 与点B 的“平衡点”，则m 的取值范围是________；
②当点A 以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C 同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为t （0t >）秒，求t 的取值范围，使得点O 可以为点A 与点B 的“平衡点”． 【答案】（1）－1；（2）5；（3）①43t -≤≤-；②26t ≤≤且 5t ≠ 【分析】（1）根据平衡点的定义进行解答即可； （2）根据平衡点的定义进行解答即可；
（3）①先得出点B 的范围，再得出m 的取值范围即可；
②根据点A 和点C 移动的距离，求得点A 、C 表示的数，再由平衡点的定义得出答案即可． 【详解】解：（1）（1）点M 表示的数=31
2
-+=−1； 故答案为：−1；
（2）点B 表示的数=1×2−（−3）=5； 故答案为：5；
（3）①设点B 表示的数为b ，则31b -≤≤-，
∵点A 表示的数为－5，点M 可以为点A 与点B 的“平衡点”， ∴m 的取值范围为：43m -≤≤-， 故答案为：43m -≤≤-；
②由题意得：点A 表示的数为5t -，点C 表示的数为33t -， ∵点O 为点A 与点B 的平衡点， ∴点B 表示的数为：5t -， ∵点B 在线段CD 上， 当点B 与点C 相遇时，2t =， 当点B 与点D 相遇时，6t =， ∴26t ≤≤，且 5t ≠，
综上所述，当26t ≤≤且 5t ≠时，点O 可以为点A 与点B 的“平衡点”．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上点的表示方法，以及两点的中点表示方法是解题的关键． 19．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且20AB =，动点P 以A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()0t t >秒．
（1）写出数轴上点B 表示的数_________；点P 表示的数_________（用含t 的代数式表示）．
（2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问多少秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2？
（3）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．
【答案】（1）-12；85t -；（2）2．25秒或2．75秒；（3）MN 长度不变，画图见解析，10MN =．
【分析】（1）根据点B 和点P 的运动轨迹列式即可．
（2）分两种情况：①点P 、Q 相遇之前；②点P 、Q 相遇之后，分别列式求解即可．
（3）分两种情况：①当点P 在点A 、B 两点之间运动时；②当点P 在点B 的左侧时，分别列式求解即可．
【详解】解：（1）数轴上点B 表示的数为：82012-=-，
点P 表示的数为：85t -．
故答案为：-12；85t -．
（2）设t 秒后P ，Q 之间的距离恰好等于2，
①点P ，Q 相遇前，由题意可得：
32520t t ++=，解得 2.25t =，
②点P ，Q 相遇之后，由题意可得：
32520t t -+=，解得 2.75t =．
答：若点P ，Q 同时出发，2．25秒或2．75秒时，P ，Q 之间的距离恰好等于2．
故答案为：2．25秒或2．75秒．
（3）线段MN 的长度不发生变化，都等于10，
①当点P 在A ，B 两点之间运动时，
MN MP NP =+
1122AP BP =+ ()12
AP BP =+ 12
AB = 120102=⨯=， ②当点P 在点B 的左侧时，
MN MP NP =-
1122
AP BP =
- 11()22
AP BP AB =-= 1202=⨯ 10=，
综上可得MN 长度不变，且10MN =．
【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键．
20．如图，直径为1个单位的圆片上有一点A 与数轴上的原点重合，AB 是圆片的直径．
（1）把圆片沿数轴向右滚动1周，点A 到达数轴上点C 的位置，点C 表示的数是 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：2+，1-，3+，4-，3-．
①第几次滚动后，A 点距离原点最近？
②当圆片结束运动时，A 点运动的路程共有多少？此时点A 所表示的数是多少？
【答案】（1）π；（2）①第四次A 点距离原点最近，第三次距离原点最远；②A 点运动的路程共有13π，点A 所表示的数是3π-．
【分析】（1）由数轴的定义，以及圆的周长公式，即可得到答案；
（2）由题意，数轴上正数在原点右侧，负数在原点左侧，距离加正负号就可确定数．①分别确定终点的位置，即可得到答案；②把所有的路程相加，即可得到答案．
【详解】解：（1）圆走一圈的距离：1ππ⨯=；
（2）①依次运动的终点的位置为2π，π，4π，0，3π-，
所以第四次A 点距离原点最近，第三次距离原点最远；
②当圆片结束运动时，A 点运动的路程234313ππππππ=++++=，
此时点A 所表示的数是3π-．
【点睛】本题考查数轴上的点与实数的对应关系：找出点到原点的距离，点对应的数的正负是关键．。