人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第7章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式及其应用

4
a=3,b=3时,等号成立,因此,1-
+
4
(a+b)-5=

+

的最小值是
1-
≥2
4.
4
· =4,

突破技巧通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);
(2)把确定的定值(常数)变形为1;
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定
4
x+
+
+
1
的最小值为
-
)
A.3 2
B.2 3
C.4
3 10
D. 2
(2)已知正实数 x,y 满足
1
A.2 + 2
2
1
C.2 + 3
1
B.3 +
1
D.2 +
1
4x+3y=2,则2+1
2
3
2
2
+
1
的最小值为(
3+2
)
答案:(1)A (2)C
解析:(1)∵x>y>0,∴x-y>0,
4
∴x+
瓶定价最多为50元.
(2)设月总利润为 f(x),
则 f(x)=(x-10) 8 − ( −
0.45
15)
(−15)2
33
1 0.45
- (x-16)=- x4
突破技巧通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和
为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的
实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.
对点训练 1(1)(2021 天津滨海新区二模)设 x>y>0,则
(
基本不等式的实际应用
典例突破
例4.某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用
权费为6 000元/m2.材料工程费在建造第一层时为500元/m2,以后每增加一
层费用增加30元/m2(每一层的建筑面积都相同).
(1)若把楼盘的楼房设计成x层,平均每平方米建筑面积的成本为y元,将y表
示成x的函数.
(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当
(2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当
x=y
x=y
时,x+y 有最 小
时,xy 有最
大
值是 2 .
2
值是 4 .
微点拨和定积最大,积定和最小:两个正数的和为定值时,则可求其积的最
大值;积为定值时,可求其和的最小值.
微思考若两个正数的和为定值,则这两个正数的积一定有最大值吗?
(
)
A.9
B.8
C.5
D.4
小值是(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
4

(2)(2021湖北汉阳一中高三月考)已知正数a,b满足a+b=1,则 1- + 1- 的最
答案:(1)D (2)C
解析:(1)由 x+2y-2xy=0,有
1
则(x+2y)·
1=(x+2y)·2

2
=
2

+
1

1
x+2y=2xy,所以2
1

+
4


=5+
+
4

≥5+2
4
· =9


当且仅当
2时取等号 ,
又
1
a+b+
4
+ =10,∴当
a=3,b=6 时,x(10-x)取得最小值 9,
∴x(10-x)≥9,即x2-10x+9≤0,解得1≤x≤9,满足0<x<10,
∴a+b的最大值为9.
=
4

, 即 =
考点二
4
4
3x+3-5=(3x-5)+3-5+5≥2
当且仅当(3x-5) =4,即
2
4
(3-5)·3-5+5=9,
7
x=3时,等号成立,故
4
3x+3-5的最小值为
9.
(2)因为-1<x<1,所以 0<1-x<2,
于是得
1
y=-2
当且仅当
(1-)2 +1 1
· 1- =-2
1
1-x= ,即
1-
(1 − ) +
1
1−
1
≤-2
×2
x=0 时取等号,所以当 x=0
1
(1-)·1- =-1,
2 -2+2
时,y=
有最大值-1.
2-2
1
(3)x(4-3x)=3
×3x(4-3x)≤
当且仅当 3x=4-3x,即
1 3+(4-3) 2 4
=3,
3
2
2
x=3时,取等号.故所求
x
2
的值为3.
第七章
第二节 基本不等式及其应用
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的
最大(小)值问题.
衍生考点
1.利用基本不等式求最值
2.基本不等式的实际应用
3.基本不等式的综合应用
核心素养
1.数学运算
2.逻辑推理
3.数学建模
强基础 增分策略
(1)据市场调查,若售价每提高1元,月销售量将相应减少2 000瓶,要使月总
利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该饮料
每瓶售价最多为多少元?
(2)为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革,计划每瓶售价
33
x(x≥16)元,并投入 4 (x-16)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每瓶售
0.45
价每提高 1 元,月销售量将相应减少
2
(-15)
万瓶,则当每瓶售价 x 为多少时,
下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润.
解:(1)设每瓶定价为t元,依题意,有[8-(t-15)×0.2](t-10)≥5×8,整理得t265t+750≤0,解得15≤t≤50.因此要使月总利润不低于原来的月总利润,每
解得10≤x≤40,所以楼层设计层数最少为10层.
6 000
(3)y=485+ +15x≥485+2
6 000
当且仅当 =15x,即
6 000

× 15=1 085,
x=20 时,等号成立,
故应把楼房设计成20层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低.
突破技巧1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解
1
故2+1
+
1
3+2
3+2
当且仅当
2+1
=
1
1
6 2+1
1
+ 3+2
1
(4x+2+3y+2)=6
=
4+2
,即
3+2
5-3 2
6 2-8
x=
,y=
时,等号成立.
2
3
3+
4+2
3+2
+
3+2
2+1
1
2
≥ +
2
,
3
考向2.常数代换法求最值
典例突破
例2.(1)(2021贵州遵义一模)若正数x,y满足x+2y-2xy=0,则x+2y的最小值为

1
1
∴ +y=
1
,
3
1
(2)

+

4
+
1
,∴ +y
= 6 时取等号
+
+

=
+2

4
=5+ +xy≥5+2
+
+
2
=2+


+
+
的最小值为

·=9
的最小值为 9.
2+2 2.


+ ≥2+2 2,
当且仅当 x= 2y,即 x= 2-1,y=11
故

4

2
时等号成立.

=2+2
+
2

+
≥2+2
1
=1,


2
×
2
=4,

= 1,
当且仅当
即
时,等号成立.故 x+2y 的最小值为 4.
=2
+ 2-2 = 0,
,
(2)已知正数 a,b 满足 a+b=1,
4
则1-
+

1-
当且仅当
=
4(1-)
1-
+

4

= +
1
4
-5=

1
+
1
2
对点训练 3(1)(2021 云南曲靖二模)已知 a,b,c∈(0,+∞),3a-2b+c=0,则
(

有

)
A.最大值是 3
C.最小值是 3
3
B.最大值是 3
3
D.最小值是 3
(2)(2021 安徽江淮十校第三次联考)已知正数 a,b 满足
a+b 的最大值是
.
1
a+b+
+
4
=10,则

答案:(1)B (2)9
数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.
(2)连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)ab≤
+ 2
(a,b∈R),当且仅当
2
a=b 时,等号成立.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0,y≥0,则
=3(1+y)+1+ -6≥2
当且仅当
3(1 +
12
3(1+y)= ,即
1+
12
)·1+ -6=12-6=6,
x=3,y=1 时,等号成立.即 x+3y 的最小值为 6.
突破技巧通过消元法利用基本不等式求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部
分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.
值的形式;
(4)利用基本不等式求解最值.
对点训练 2(1)(2021 上海嘉定二模)已知正数 x,y 满足
值为
4
1
x+ =1,则 +y


的最小
.
(2)(2021 江苏南通模拟)已知正数 x,y 满足
.
1
x+2y=1,则
+
+ 的最小值为
答案:(1)9 (2)2+2 2
4
解析:(1)∵x+ =1,
题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然
后用基本不等式求解.
2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调
性求解.
3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值
范围)内求解.
对点训练4某品牌饮料原来每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.
(2)若平均每平方米建筑面积的成本不高于1 235元,求楼房设计层数最少
为多少层?
(3)应把楼盘的楼房设计成多少层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费
最低?
解:(1)设每层的面积为z m2,则该楼盘材料工程总费用为
p=500z+(500+30)z+(500+60)z+…+[500+(x-1)×30]z
3-5
)
2 -2+2
y= 2-2 有(
)
(2)(2021 浙江诸暨中学高三月考)若-1<x<1,则
A.最大值-1
B.最小值-1
C.最大值1
D.最小值1
(3)已知0<x<1,则当x(4-3x)取得最大值时x的值为
.
答案:(1)C (2)A
2
(3)
3
5
解析:(1)∵x>3,∴3x-5>0,
则
令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,
得t≥6,即x+3y的最小值为6.
(方法 2 代入消元法)由 x+3y+xy=9,得
所以
9-3
x= 1+ ,
9-3
9-3+3(1+) 9+3 2 3(1+)2 -6(1+)+12
x+3y=
+3y=
=
=
1+
1+
1+
1+
12
解析:(1)因为 3a-2b+c=0,所以
所以
故


=
2
3+
≤

3
有最大值
.

3
2
2 3
=
3+
b=
,
2
3
,当且仅当
3
3a=c 时,等号成立.
(2)设
1
a+b=x,则

+
4
=10-x,

> 0,
∵a,b 均为正数,∴
解得 0<x<10,
10- > 0,
则 x(10-x)=(a+b)
=z 500 +
(−1)
×
2
30 =z(15x2+485x),
则平均每平方米建筑面积的成本费为
6 000+

=
6 000
6 000+15 2 +485
+15x,故
=485+


(2)依题意得 y≤1
6 000
+15x,x∈N*.
y=485+

6 000
235,所以 +15x≤750,所以 x2-50x+400≤0,
+
≥2
1
(
2
+
1
1
= (
-
2
+ ) ×
+ ) +
4