基于GA、RBF_和改进Cao_方法的空中交通流预测方法

基于GA、RBF和改进Cao方法的
空中交通流预测方法*
王莉莉▲赵云飞
（中国民航大学天津市空管运行规划与安全技术重点实验室天津300300）
摘要：针对传统空中交通流量预测方法精度不足、时效性差的问题，考虑空中交通流量时间序列的混沌特征，在相空间重构理论的基础上，研究了结合遗传算法（GA）、径向基（RBF）神经网络与改进Cao方法的空中交
通流量预测方法。

为降低传统Cao方法人为参数选择引入的误差，提高相空间重构精度，通过判定虚假邻近点，以及迭代比较嵌入维度离差和可接受偏差，确定重构相空间嵌入维度值的选择标准，进而得到重构后的空
中交通流量时间序列数据；为提升径向基神经网络预测精度并降低参数误差，使用遗传算法优化RBF神经网
络的中心矢量、加权系数和输出层阈值，再通过最优系数标定后的神经网络对重构后的时间序列进行预测；利
用实际空中交通流量数据进行仿真以验证方法的有效性，并结合最大Lyapunov指数和预测结果分析了预测的
时效性以及时间尺度对精度影响。

结果显示：①改进后的预测方法具有更好的非线性拟合能力，提高了交通
流量时间序列的预测精度；②以5min时间间隔预测为例，相比传统RBF神经网络，改进方法的平均绝对误差、均方误差以及平均绝对百分比误差分别降低了19.44%、34.78%和27.21%；③相比反向传播（BP）神经网络和长
短期记忆（LSTM）神经网络，所提方法的平均绝对误差分别降低了36.20%和16.10%，运行速度分别提高了27.42%和35.00%。

综上所述，所提方法能更好地解析系统的混沌特性，提升空中交通流量预测精度与速度。

关键词：航空运输管理；空中交通流量预测；混沌时间序列；改进Cao方法；径向基神经网络
中图分类号：V355.1文献标识码：A doi:10.3963/j.jssn.1674-4861.2023.01.012
A Method for Predicting Air Traffic Flow Based on a Combined
GA,RBF,and Improved Cao Method
WANG Lili▲ZHAO Yunfei
(ATM Operation Planning and Safety Techniques Key Lab of Tianjin,Civil Aviation University of China,
Tianjin300300,China)
Abstract:Considering the chaotic characteristic of air traffic flow time series data,a prediction model based on the phase space reconstruction theory is proposed to improve the accuracy and effectiveness of previous air traffic flow prediction methods,which combines genetic algorithm(GA),radial basis function(RBF)neural network(NN)and improved Cao method.First,to reduce the error introduced by the human in the traditional Cao method and improve the accuracy of phase space reconstruction,the criteria for determining the dimension of the reconstructed phase space is developed by identifying false neighboring points and iteratively comparing the deviation of the embedded dimension with its acceptable limits.In this way,reconstructed air traffic flow time series data is developed.Second-ly,to improve the prediction accuracy of the traditional RBF neural network,GA is employed to optimize center vec-tors,weight coefficients,and output layer thresholds of the neural network.Then,the reconstructed time series are predicted by the calibrated RBF neural network with optimal coefficients.Finally,the proposed method is verified using the observed air traffic flow data,the effectiveness of the prediction is evaluated,and the influence of the time scale on the accuracy is analyzed by incorporating the maximal Lyapunov exponent and the quality of the predic-
收稿日期：2022-06-02
*国家自然科学基金委员会与中国民用航空局联合基金项目（U1633124）资助
▲第一作者（通信作者）简介：王莉莉（1973—），博士，教授.研究方向：空中交通流量管理.E-mail：*****************
tion.Study results show that①the proposed method fits the nonlinear data well and improves the accuracy of traffic flow prediction.②Taking the prediction with a5-min time interval as the instance,compared with the traditional RBF neural network,the mean absolute errors(MAE),mean square errors(MSE)and mean absolute percentage er-ror(MAPE)is reduced by19.44%,34.78%,and27.21%,respectively.③Compared with the back propagation(BP) neural network and the long short-term memory(LSTM)neural network model,the MAE of the proposed method is reduced by36.20%and16.10%,respectively,and the response speed is increased by27.42%and35.00%.In sum-mary,the proposed method can explain the intricate chaotic properties of the system and improves the accuracy and efficiency of air traffic flow prediction.
Keywords:air transport management;air traffic flow prediction;chaotic time series;improved Cao method;radial basis function neural network
0引言
空中交通系统受外界环境影响产生了很强的随机性，但航路的固定性、航空器的跟驰性等又使其存在确定性，这正是以非线性、复杂性和随机性为特征的混沌系统的体现。

相关对混沌理论和空中交通流的研究表明：空中交通流量、速度的统计序列都具有混沌特性。

Packard等[1]将相空间重构理论应用到混沌时间序列的研究。

李善梅等[2]利用最大李雅普诺夫指数分析了飞行冲突时序数据的混沌特性。

郑旭芳等[3]根据实际航迹数据从宏观和微观2个角度研究了交汇航路空中交通流的混沌特性。

杨阳[4]研究发现，流量越大的空域，交通流的混沌性越明显。

王飞[5]验证了空中交通流量时间序列的分形特征。

丛玮[6]研究了机场和扇区交通系统的混沌特征，并分析了交通行为与管制行为的关联特性。

基于上述背景，从空中交通系统运行规律出发，立足空中交通流量的混沌特性实现对空中交通流量精准预测，对空中交通管理具有重要意义。

目前空中交通流量预测主要包括线性、非线性和智能预测3类方法，线性预测方法较为简单，适用于长期宏观预测，对短期复杂交通情况预测效果不好。

非线性预测方面，杨阳等[7]利用回声状态网络预测空中交通流量，但并没有深入分析交通流的非线性特征。

王超等[8]对加权一阶局域法进行改进，构建空中交通流量预测模型，但预测精度和速度还有不足。

王飞等[9]基于迭代函数系建立相似日分形插值模型，通过多次迭代获得稳定的吸引子曲线，进而得到小时流量预测值，但该方法对小统计尺度的流量预测效果不佳。

此外上述研究在分析混沌特征时并没有针对空中交通流的特征修正混沌分析方法的参数。

智能预测方法方面，潘志毅[10]结合灰色预测和BP神经网络建立了灰色BP神经网络预测模型。

崔德光等[11]结合神经网络与回归分析法预测空中交通流量。

Zhang等[12]构建了疫情前后的支持向量机的空中流量预测模型。

Lin等[13]根据空中交通系统的特性，建立了卷积神经和长短期记忆网络的混合预测模型。

Yang等[14]将气象因素纳入到流量预测中提出结合LSTM和XGBoost的组合预测方法。

上述智能预测方法的相关研究对空中交通流的非线性特征考虑不足，与实际情况有出入。

综合上述研究，当前对于空中交通流量预测的研究仍存在以下不足。

1）非线性混沌预测方法有待求参数少、快速等优点，但由于混沌分析方法中的参数选择误差，并不能完全反映混沌系统的特征。

例如上述研究利用Cao方法[4-5]确定嵌入维数时直接使用计算结果，导致重构后的时间序列不能充分反映原系统的多变量相空间结构，影响预测准确性。

2）智能预测方法具有较强的抗干扰能力。

但是以上研究中并没有针对空中交通流对所采用方法的参数敏感性、过度拟合、收敛较慢等问题进行改进。

同时因系统固有的混沌特征考虑不足，对非线性系统拟合差的问题未得到有效解决。

3）相关研究大多集中在分析预测的精度，缺少对预测时效性的分析。

流量预测属于战术流量管理范畴，预测的时效性分析对流量管理决策有重要影响。

且相关研究的时间尺度的选取范围较大，不能详细地分析不同时间尺度的影响。

基于此，为得到更能反映混沌系统特征的相空间结构，对传统混沌分析方法中的参数选择误差进行修正。

在对时间序列相空间重构的基础上综合非线性预测与智能预测的优点，提出空中交通流量综合预测方法，同时考虑使用智能算法优化预测网络参数，以提高精确性。

1基于改进Cao方法的相空间重构
相空间重构即根据1个有限的变量重构动力系
统的包含与之相关的多个变量的相空间，从而提取和恢复出动力系统原来的高维空间下的规律[15]。

相空间重构的关键是确定延迟时间和嵌入维度。

1.1延迟时间的确定
目前大多采用自相关函数确定延迟时间τ，但自相关函数属于线性函数，并不适合用于判断非线性混沌系统的相关性，因此采用互信息法确定更加精确的延迟时间[16]。

离散信息系统S 和Q 之间的信息熵分别见式（1）和式（2）。

H (S )=-åi =1n
P i (s i )1b P s (s i )
（1）H (Q )=-åj =1
m P q (q j )1b P q (q j )
（2）
式中：P s (s i )和P q (q j )分别为S 和Q 中事件s i 和q j 的概率。

已知S 可以求得S 和Q 的互信息，见式（3）。

I (Q S )=H (Q )-H (Q |S )（3）
式中：H (Q |s i )的值为-åj
[P sq (S i q j )P s (S i )]1b [P sq (S i q j )
P s (S i )]。

由式（3）可求得I (Q S )，见式（4）。

I (Q S )=åi åj
P sq (s i q j )´1b [P sq (s i q j )P s (s i )P q (q j )]
n !r !()n -r !（4）
式中：事件s i 和q j 的联合分布概率为P sq (s i q j )。

定义[s q ]=[x (t ) x (t +τ)]，用s 表示x (t )，用q 表示x (t +τ)，I (Q S )可以用τ来表示，记为I (τ)。

当I (τ)=0时，表示s 和q 不相关，当I (τ)取极小值时，
表示s 和q 是最大可能不相关，此时对应的τ为此时间序列的延迟时间。

1.2基于虚假邻近点改进的Cao 方法
较小的嵌入维度m 时，吸引子在相空间的投影与周围的点形成虚假的最邻近点。

增加m ，比较吸引子的真实邻近点和虚假邻近点，没有虚假邻近点时的m 即为最佳嵌入维度[17]，具体步骤如下。

步骤1。

找出空间中每个点的欧式距离最邻近点，任意2点间欧式距离见式（5）。

||X i X j ||=[ål =1m -1
(x i +l τ-x j +l τ)2]
1
2
（5）
步骤2。

通过以下2个判据判断是否为虚假邻近点。

判据1见式（6）。

[
R 2m +1(i j )-R 2
m (i j )
R 2m (i j )
]1
2
=
|x i +m τ-x j +m τ|
R m (i j )
>R tol
（6）
式中：R 2m +1(i j )，R 2m (i j )为任意1对最邻近点在嵌入维度为m +1和m 时欧式距离的平方；
R tol 为门限值，一般取值范围是[10，50]。

此判据对无限长数据有较好的效果，但不适用于有限长且包含噪声的数据，因此需增加判据。

判据2见式（7）。

R m +1(i j )
R A
>A tol
（7）
式中：R A =1N ån =1N
[x (n )-x ˉ]2
；x ˉ=1N ån =1
N
x (n )；
A tol =2。

步骤3。

求虚假邻近点数与全部相点数的比值，随m 增大，虚假邻近点占比小于5%或不再变化时的m 即为最佳嵌入维度。

虚假最邻近点法对时间序列
的噪声较敏感，且判据主观性较大，导致重构后时间序列不能准确的反映内在混沌特征，因此提出了基于虚假最邻近点法的改进的Cao 方法[18]。

设{x 1 x 2 x N }为1个时间序列，其重构后向量见式（8）。

X m (i )=[x (i ) x (i +τ) x (i +(m -1)τ)]
（8）
式中：
i =1 2 N -(m -1)τ。

X NN
m (i )是嵌入维数m 时的X m (i )最邻近点，X NN
m (i )见式（9）。

X NN
m (i )=[x NN (i ) x NN (i +τ) x NN (i +(m -1)τ)]（9）
利用a (i m )判断在m 维重构相空间中邻近的2个点在m +1维重构相空间中是否仍邻近，如果邻近则这一对点为真邻近点，否则为虚假邻近点，
a (i m )见式（10）。

a (i m )=
||X m +1(i )-X NN
m +1(i )||||X m (i )-X NN m (i )||
（10）
式中：X NN
m +1(i )为X m +1(i )在m +1维空间的第i 个向
量的最邻近点。

为衡量m 的变化程度，定义E (m )和E 1(m )，见式（11）~（12）。

E (m )=
1
N -m τ
åi -1
N -m τ
a (i m )（11）E 1(m )=E (m +1)/E (m )
（12）
式中：
E (m )为所有a (i m )的平均值，E (m )仅和延迟时间值τ和嵌入维度值m 有关；E 1(m )为E (m )到E (m +1)，即从m 到m +1的变化程度。

在计算时，当m 增大E 1(m )不再变化的m 即为
嵌入维度。

此外要增加区分确定性和随机性信号准则，见式（13）~（14）。

E *
(m )=1N -m τ
´
åi =1
N -m τ
|x (i +m τ)-x NN (i +m τ)|（13）E 2(m )=E *(m +1)/E *(m )
（14）
式中：E *(m )为所有邻近点距离的平均值；E 2(m )为E *(m )到E *(m +1)的变化程度。

当E 2(m )=1时，时间序列为随机信号，不可预测；
E 2(m )¹1时对应的m 才可取为时间序列的嵌入维度值。

当前对E 1(m )的变化趋势没有定量的判断标准，误差较大。

因此，引入计算离差与可接受偏差迭代比较判断嵌入维数的变化与否的依据，即稳定性准则，步骤如下。

步骤1。

根据E 1(m )的波动趋势选取可接受偏差水平e 。

步骤2。

计算E 1(m )的均值和离差的绝对值，见式（15）~（16）。

α=1
N
åi =1
N -1
E 1(i )（15）D i =|E 1(i )-α|
（16）
式中：
α为E 1(m )的均值；D i 为E 1(m )离差的绝对值；
1 i N -1。

步骤3。

比较离差绝对值D i 与可接受偏差水平e 大小。

如果max(D i ) e ，则第1个满足D i e 对应
的i 即为嵌入维度；如果max(D i )>e ，则找到min(D i )中D i 对应的下标u ，以u 为新的起始点重复步骤2~3，直到找到满足可接受偏差水平的嵌入维度。

1.3数值验证
利用Lorenz 混沌时间序列验证所提改进方法，Lorenz 系统的吸引子见图1。

5040302010040
20
0-20
-20
-10
010
20
Lorenz 吸引子图
z (t )
x (t )
y (t )
图1Lorenz 吸引子Fig.1
Lorenz attractor
通过对比系统的吸引子重构图的拓扑结构，验证改进方法的有效性，Lorenz 系统微分方程组见式（17）。

ìíîïïïïd x d t =-p (x -y )
d y
d t
=rx -y -yz d z d t
=xy -bz （17）
式中：p =10；
r =28；b =8/3。

用龙格-库塔法解方程，步长h 取0.01，取变量x 的包含8000个点的时间序列。

分别使用改进前后的Cao 方法求该序列的嵌入维度为8和14，见图2。

1.2
10.80.60.40.20
E1
E2
0246810121416182022242628303234363840
E 1（m ）&E 2（m ）图2
嵌入维度计算结果
Fig.2
Embedded dimension calculation results
m =8和m =14时系统的三维重构吸引子图分别见图3和图4。

Lorenz X 相三维重构吸引子图
20
-20
-10
1020
x (t )
100-10
-20-20
-100
1020x (t +t a u )
x (t +2*t a u )
图3嵌入维度为8的x 三维重构吸引子Fig.3
Embedded x -3d reconstruction attractor
with dimension 8
x (t )
x (t +t a u )
Lorenz X 相三维重构吸引子图
20
-20
-10
1020
10
-10-20-10
01020x (t +2*t a u )
-20图4
嵌入维度为14的x 三维重构吸引子Fig.4
Embedded x -3d reconstruction attractor
with dimension 14
对比图3和图4可见：m =8时，Lorenz 混沌时间
序列在x 相的三维重构吸引子图没有完全展开；m =14时，重构图可以更清晰地反映出Lorenz 系统
的拓扑结构，从而验证了改进方法的有效性。

2空中交通流量混沌时间序列预测方法
相空间重构后的空中交通系统的相空间轨迹，
可更好的反映整个系统的变化情况，减少对外界因素对预测模型的影响。

所以在相空间重构的基础上研究空中交通流量混沌时间序列预测方法。

2.1径向基函数神经网络
径向基（radial basis function ，RBF ）神经网络属于前馈式神经网络，具有全局最优性、权值调整量少和最佳逼近性能的优点[19]。

因此，应用RBF 神经网络进行空中交通流量预测，RBF 神经网络结构见图5。

q (n )
q (n -τ)
q (n -(m -1)τ)
q (n +1)
图5
RBF 神经网络结构图
Fig.5
RBF neural network structure diagram
第1层为RBF 网络的输入层，输入层将网络的输入传递到神经网，隐含层采用具有径向对称性的Gaussian Function ，见式（18）。

Φi (X )=exp[-||X -C i ||2
2δ2
i ]（18）
式中：X 为网络输入矢量，X =(x 1 x 2 x n )T ；Φi (X )为隐含层输出；C i 为Gaussian Function 的中心矢量；
||X -C i ||为向量的Euclid 范数；δi 为第i 个隐节点的标准化常数；
i =1 2 M 。

第3层为输出层，
Φi (X )®y 是1种由隐含层到输出层的线性映射，见式（19）。

y i =åi =1M
ωi Φi -b i
（19）
式中：y i 为输出层第i 个节点的输出；
ωi 为隐含层与输出层之间的加权系数；Φi 为隐含层第i 个节点的输出；
b i 为输出层阈值。

利用RBF 神经网络预测交通流量时，取输入神经元个数与嵌入维数m 相等，输出层取为一维，交通流预测具有较好效果[20]。

RBF 神经网络待确定的参数有：径向基函数的中心矢量C i 、隐含层与输出层
之间的加权系数ωi 和输出层的阈值b i 。

RBF 神经网络的参数目前主要靠人为主观设定，影响预测精度。

2.2遗传算法优化RBF 神经网络
遗传算法不依赖问题的具体领域，具有良好的全局搜索性能和快速收敛性的等优点，因此利用遗传算法对RBF 的参数进行寻优[21]，具体步骤如下。

步骤1。

编码和初始化群体。

以径向基函数的中心矢量C i 和隐含层与输出层之间的加权系数ωi 和输出层的阈值b i 为优化参数，采用实数编码形式。

步骤2。

计算种群个体适应度，以个体所获得的神经网络参数对RBF 神经网络进行训练。

步骤3。

判断是否达到预定精度或迭代次数，若是则输出结果；否则继续迭代。

步骤4。

采用轮盘赌的选择方法，算术交叉的遗传算子，染色体变异概率设定0.05。

根据个体适应度和进化代数，进行选择、交叉和变异操作。

步骤5。

如满足要求，遗传算法结束，否则重复执行算法。

步骤6。

用最优个体作为RBF 神经网络的权值进行仿真，使网络特性逼近实际的扇区交通运行特性。

步骤7。

将空中交通流量时间序列数据归一化
后，利用步骤6训练完成的网络进行预测，并通过相应的指标与实际数据进行对比，评价模型的有效性，归一化公式见式（20）。

x (i )=
y (i )-1N åi =1
N
y (i )
std (y )
（20）
式中：y 为初始数据集；y (i )为初始时间序列；x (i )为归一化后时间序列；
N 为序列长度；std 为标准差。

3空中交通流量预测实例分析
选择华北区域上空某扇区2021年5月1日00：00—
24：00的空中交通流量序列作为验证数据。

时间间隔的不同长度直接影响时间序列的形态特征以及对系统特性的精确反映，因此选择6组不同时间间隔
进行验证，分别为3，5，7.5，10，12，15min 。

以前75%交通流量训练网络，后25%进行预测试验，空中交通流量时间序列见图6。

3.1最大Lyapunov 指数
最大Lyapunov 指数是混沌研究中的重要参量，用于定量判断系统中是否存在混沌。

判断最大Ly-apunov 指数λ是否大于0，若满足λ>0，则时间序列呈混沌状态[22]。

Lyapunov 指数的计算方法有多种，在数据量有限的情况下，使用小数据量法[23]更为适
宜计算时间序列的λ，具体步骤如下。

步骤1。

对时间序列{x 1 x 2 x N }进行Fourier 变换，并求出平均周期。

在重构后相空间中，寻找每个X n 的最邻近X φ(n )，二者之间最近距离d n (0)见式（21）。

d n (0)=||X n -X φ(n )||=min ||X n -X n ||
（21）
式中：
|n -n |>P 。

步骤2。

计算相空间中任意相点与其最邻近点间的距离。

记X φ(n )+i 为X φ(n )经过i 个离散时间的对应相点，设d n (i )为X n +i 与X φ(n )+i 间距离，见式（22）。

d n (i )=||X n +i -X φ(n )+i ||
（22）
式中：
i =1 2 min(p -n p -φ(n ))；p =N -(m -1)τ。

步骤3。

对每个i 求ln(d n (i ))的均值，记为
y n (i )，见式（23）。

y n (i )=
åi =1
q
ln(d n (i ))q
（23）
步骤4。

利用最小二乘法拟合y n (i )随i 变化的曲线，此时直线斜率即为所求最大Lyapunov 指数λmax 。

以10min 时间序列为例，其y n (i )随i 变化的函数曲线拟合结果见图7。

350300250200
150100500
050100
150200250
i
y (i )
图7
10min 时间序列Lyapunov 指数
Fig.7
10-min time series maximum Lyapunov exponent
直线斜率为0.0214，所以最大Lyapunov 指数为0.0214。

依次求出其他时间尺度的最大Lyapunov 指数，结果见表1。

表1最大Lyapunov 指数
Tab.1Maximum Lyapunov exponent
时间尺度/min
3
57.5101215
时间延迟/min 365433
嵌入维度
346543
改进后
嵌入维度
678754
最大Ly 指数0.00150.00820.01030.02140.03420.0837
由表1可见：各个时间尺度的最大Lyapunov 指数均大于0，即空中交通流量序列均具有混沌特性。

此外随时间尺度增大，最大Lyapunov 指数也增大，则混沌系统的确定性减小，可预测性变小。

因而最大Lyapunov 指数越小，则空中交通流量时间序列的短期预测性越好。

3.2算例仿真
对6组时间序列进行预测，采用平均绝对误差G mae 、均方误差G mse 、平均绝对百分比误差G mape 对
比结果，其定义见式（24）~（26）。

G mae =1N åi =1N
(||x (i )-x (i ))
（24）G mse =1N åi =1
N (x (i )-x (i ))2
（25）
（a ）3min 间隔空中交通流时间序列
402000
100
200
300
400
500
交通流量/（架次/时段）
时段
交通流量/
（架次/时段）
（b ）5min 间隔空中交通流时间序列
402000
50
100
150200
250
300
时段
交通流量/
（架次/时段）
402000
50
100150200时段
（c ）7.5min 间隔空中交通流时间序列
（d ）10min 间隔空中交通流时间序列
50
100150
时段
交通流量/（架次/时段）
50
0（e ）12min 间隔空中交通流时间序列
50
00
20
40
60
80
100
120
时段
交通流量/（架次/时段）
（f ）15min 间隔空中交通流时间序列
02040
6080100
时段
50
交通流量/（架次/时段）
图6空中交通流量时间序列
Fig.6Air traffic flow time series
G mape =1N åi =1N ||
||||
x (i )-x (i )x (i )（26）
式中：
x (i )为实际值；x (i )为预测值。

预测结果分别见图8和图9。

真实值
未改进
GA 优化RBF
（a ）3min 时间序列
GA 优化RBF 并改进m 取值
0.60.40.20
-0.2
20
40
60
80
100
120
时段
交通流量/（
架次/时段）0
102030
4050607080
0.50
-0.5
交通流量/（
架次/时段）（b ）5min 时间序列
时段
5
10
1520
25
30
35
时段
0.50
-0.5
交通流量/（
架次/时段）（c ）7.5min 时间序列
时段
1.51
0.50
-0.5-10
5
10
15
20
25
30
35
交通流量/（
架次/时段）（d ）10min 时间序列
（e ）12min 时间序列
交通流量/（
架次/时段）0
2
4
6
810
12
14
16
18
1.51
0.50-0.5
时段
时段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
交通流量/（
架次/时段）1
0.50-0.5
（f ）15min 时间序列
图8
预测结果对比
Fig.8
Comparison of prediction results
为说明改进模型的优势，利用广泛应用于预测领域的BP 神经网络非线性预测模型和LSTM 神经
网络智能预测模型进行对比实验。

BP 神经网络同样取输入神经元个数与嵌入维数m 相等，输出层取为一维。

使用经验公式法确定LSTM 网络隐含层神经元数目范围，Sigmoid 函数为激活函数，并利用
Adam 优化器更新网络权重，输出层取为一维。

以相同的空中交通流量序列作为验证数据，前75%数据训练网络，后25%数据测试，进行对比试验，结果见图10。

未改进
GA 优化RBF
LSTM
246810121416
0.60.40.20
平均绝对误差BP
时段
（a ）平均绝对误差
2
4
6
8
1012
14
16
时段时间/s
20151050（b ）时间对比图104种预测方法预测效果与运行时间对比
Fig.10Comparison of prediction effect and operation time of
four prediction methods
1）通过6组流量时间序列的预测精度结果可知，遗传算法优化RBF 参数可提高预测精度，经过改进的Cao 方法重构的时间序列的相空间可更好的反映系统的内在混沌特征，提高预测的准确性。

以5min 间隔为例，从图8中可以看出点连线即未改进的
未改进
GA 优化RBF
GA 优化RBF 并改进m 取值
2
46810121416
0.60.40.20时段
平均绝对误差
（a ）平均绝对误差
2
4
6
810
12
14
16
时段
0.060.040.020均方误差（b ）均方误差
2
4
6
810
12
14
16
时段
0.60.40.20平均绝对百分比误差
（c ）平均绝对百分比误差
图9预测误差对比
Fig.9
Comparison of prediction error
RBF模型预测值与真实值的偏离很大，点画线和虚线与真实值的偏差较小，而且虚线更加贴近真实值。

定量计算得：改进前的预测方法G
MAE
为0.0854、
G
MSE 为0.0115、G
MAPE
为0.2102；GA优化RBF参数
后的预测方法G
MAE 为0.0722、G
MSE
为0.0078、
G
MAPE 为0.1752；优化嵌入维度后的预测方法G
MAE
为0.0688、G
M S E 为0.0075、G
MAPE
为0.1530。

GA
优化参数后误差分别减少了15.46%，32.17%，16.65%，优化参数并通过改进嵌入维度取值，误差分别减少了19.44%，34.78%，27.21%。

2）由图9可见：当时间尺度较小时，3种方法的误差较小；随着时间尺度的增大，预测的精度开始降低，与前文的大时间尺度下混沌系统的随机性增大，可预测性变小结论吻合；此外在大时间尺度情况下改进后的预测模型的精度比未改进方法的提升很多，说明预测模型在大时间情况下的优势明显。

3）时间尺度与预测精度存在相关性。

预测模型对3，5min时间间隔的数据的预测精度较好。

随着时间尺度的增大，预测精度降低，因此，准确合理地选取时间尺度是保障预测效果的因素之一。

在实际的战术空中交通流量管理中，应根据不同的预测要求，选择能达到更理想预测效果的时间尺度的时间序列进行预测。

当关注每1个时间节点的预测值时，例如实时的进离场扇区流量管理，选择较小时间尺度交通流量预测效果较好。

当关注预测的整体效果时，如航路扇区流量管理，此时选择较大的交通流量预测效果更理想。

4）由图10可见：由于数据量的差异，时间间隔小的运行时间较长；耦合遗传算法后因为迭代的原因，模型预测时间有增加，增长幅度在10s以内，且运行时间较为稳定。

以5min间隔为例，改进前运行时间为5.01372s，改进后运行时间为10.3506s，增加了5.337s，根据战术交通流量预测时效性的要求以及华北空管的实际流量管控方式，运行时间满足实际的运行需要，增加的时间对于管制员和流量管理工作在可接受的水平。

同时与常见的BP神经网络和LSTM长短期记忆人工神经网络预测模型进行对比。

由运行时间可以看出运用改进后的算法预测交通流量时间明显要优于BP神经网络和LSTM长短期记忆人工神经网络，运行速度分别提高了27.42%，35%。

未改进前算法和BP网络的预测时间较低，但其预测精确度远低于改进预测模型。

LSTM 网络的预测效果在小时间尺度较好，但大时间尺度预测效果不如改进预测模型，说明无论是预测精度还是运行时间所提模型更适用于战术空中交通流量管理需求。

4结束语
采用迭代寻优的方式对传统Cao方法进行改进，减少了参数选择误差，得到更精确的空中交通流量时间序列相空间结构，在此基础上，将神经网络应用到空中交通流量混沌时间序列预测中，为解决神经网络参数选择问题，考虑遗传算法全局搜索和快速收敛的特点，利用其对神经网络网络参数进行寻优，提出了空中交通流量混沌时间序列预测方法。

通过对实际空中交通流量序列进行仿真分析，证明了所提方法适用于空中交通流量预测问题且提高了预测精度。

研究过程中只分析了空中交通流量序列的混沌特征，并没有从理论上分析其产生和演化机理。

此外，预测模型对不同间隔的预测精度以及对不同区域扇区的普适性还有待深入研究，相关参数需要进一步调整以适应不同应用场景。

参考文献
References
[1]PACKARD N H，CRUTCHFIELD J P，FARMER J D.Geom-
etry from a time series[J].Physics Review Letters，1980，45（9）：712-713.
[2]LI S，XU X，MENG L.Flight conflict forecasting based on
chaotic time series[J].Transactions of Nanjing University of
Aeronautics and Astronautics，2012，29（4）：388-394.
[3]王超，郑旭芳，王蕾.交汇航路空中交通流的非线性特征
研究[J].西南交通大学学报，2017，52（1）：171-178.
WANG C，ZHENG X F，WANG L.Research on nonlinear
characteristics of air traffic flows on converging air routes[J].
Journal of Southwest Jiaotong University，2017，52（1）：171-178.（in Chinese）
[4]杨阳.空中交通流量短期预测方法研究[D].天津：中国民
航大学，2017.
YANG Y.Research on short term forecasting method of air
traffic flow[D].Tianjin：Civil Aviation University of China，2017.（in Chinese）
[5]王飞.空中交通流非线性分形特征[J].西南交通大学学报，
2019，54（6）：1147-1154.
WANG F.Nonlinear fractal characteristics of air traffic
flow[J].Journal of Southwest Jiaotong University，2019，54（6）：1147-1154.（in Chinese）
[6]丛玮.空中交通多尺度行为模式识别方法研究[D].南京：
南京航空航天大学，2016.
CONG W.Research on the recognition method of multi-scale
behavior patterns in air traffic management[D].Nanjing：Nan-
jing University of Aeronautics and Astronautics，2016.（in
Chinese）
[7]杨阳，王超.空中交通流扇区内飞行流量优化预测管
理[J].计算机仿真，2017，34（9）：74-78.
YANG Y，WANG C.Forecasting and management of flight in
air traffic flow sector[J].Computer Simulation，2017，34（9）：74-78.（in Chinese）
[8]王超，朱明，赵元棣.基于改进加权一阶局域法的空中交
通流量预测模型［J］.西南交通大学学报，2018，53（1）：206-213.
WANG C，ZHU M，ZHAO Y D.Air traffic flow prediction
model based on improved adding-weighted one-rank local-re-
jion method［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2018，53（1）：206-213.（in Chinese）
[9]王飞，韩翔宇.基于分形插值的空中交通流量短期预测[J].
航空学报，2022，43（9）：513-520.
WANG F，HAN X Y.Short-term prediction of air traffic flow
based on fractal interpolation[J].Acta Aeronautica et Astro-
nautica Sinica，2022，43（9）：513-520.（in Chinese）
[10]潘志毅.基于灰色神经网络的空中交通流量预测方法[J].
微计算机信息，2011，27（9）：163-164.
PAN Z Y.Air traffic flow forecast method based on grey neu-
ral network[J].Microcomputer Information，2011，27（9）：163-164.（in Chinese）
[11]崔德光，吴淑宁，徐冰.空中交通流量预测的人工神经网
络和回归组合方法[J].清华大学学报（自然科学版），2005
（1）：96-99.
CUI D G，WU S N，XU B.Air traffic flow forecasts based
on artificial neural networks combined with regression meth-
ods[J].Journal of Tsinghua University（Science and Technol-
ogy），2005（1）：96-99.（in Chinese）
[12]ZHANG Z，ZHANG A，SUN C，et al.Research on air traffic
flow forecast based on ELM non-iterative algorithm[J].Mo-
bile Networks and Applications，2021（26）：425-439.
[13]LIN Y，ZHANG J，LIU H.Deep learning based short-term
air traffic flow prediction considering temporal-spatial corre-
lation[J].Aerospace Science and Technology，2019（93）：105-113.
[14]YANG Z，WANG Y，LI J，et al.Airport arrival flow predic-
tion considering meteorological factors based on deep-learn-
ing methods[J].Complexity，2020（1）：1-11.
[15]TAKENS F.Detecting strange attractors in fluid in turbu-
lence[J].Lecture Notes in Mathematics，1981（898）：361-381.
[16]张玉梅.交通流时间序列的分析与应用[M].北京：科学出
版社，2019.
ZHANG Y M.Analysis and application of traffic flow time
series[M].Beijing：Science Press，2019.（in Chinese）[17]KENNEL M B，BROWN R，ABARBANEL H D I.Deter-
mining embedding dimension for phase-space reconstruction
using a geometrical construction[J].Physical Review A，1992
（45）：3403-3411.
[18]CAO L.Practical method for determining the minimum em-
bedding dimension of a scalar time series[J].Physica D：Nonlinear Phenomena，1997，110（1/2）：43-50.
[19]张敏.基于RBF神经网络的短时交通流预测研究[D].兰
州：兰州理工大学，2021.
ZHANG M.Research on short-term traffic flow forecasting
based on RBF neural network[D].Lanzhou：Lanzhou Uni-
versity of Technology，2021.（in Chinese）
[20]张玉梅，曲仕茹，温凯歌.基于混沌和RBF神经网络的短时
交通流量预测[C].2007全国控制科学与工程博士生学术
论坛，上海：中国机械工程学会，2007.
ZHANG Y M，QU S R，WEN K G.A short-term traffic flow
forecasting method based on chaos and RBF neural net-
work[C].2007National Control Science and Engineering
Doctoral Academic Forum，Shanghai：Chinese Mechanical
Engineering Society，2007.（in Chinese）
[21]刘凌，李志成，张莹.面向双关节机械臂的参数可调RBF
神经网络控制[J].西安交通大学学报.2021.55（4）：1-7.
LIU L，LI Z C，ZHANG Y.A RBF network control with ad-
justable parameters for2-yoint robot manipulators[J].Jour-
nal of Xi'An Jiaotong University，2021，55（4）：1-7.（in Chi-
nese）
[22]张勇.交通流的非线性分析、预测和控制[D].北京：北京
交通大学，2011.
ZHANG Y.Nonlinear characteristics analysis，predication
and control of traffic flow[D].Beijing：Beijing Jiaotong Uni-
versity，2011.（in Chinese）
[23]张海龙，闵富红，王恩荣.关于Lyapunov指数计算方法的
比较[J].南京师范大学学报（工程技术版），2012，12（1）：5-9.
ZHANG H L，MIN F H，WANG E R.The comparison for
Lyapunov exponents calculation methods[J].Journal of Nan-
jing Normal University（Engineering and Technology Edi-
tion）.2012，12（1）：5-9.（in Chinese）。