专题19 立体几何中体积与表面积—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)

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1.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A ．π
B ．
3π4
C ．
π2
D ．
π4
【答案】B
【解析】如果，画出圆柱的轴截面，
11,2
AC AB ==，所以3
2r BC ==，那么圆柱的体积是2
233124V r h πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪，故选B.
【考点】圆柱体积
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
2.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）（B ）
（C ）
（D ）
【答案】
【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.
【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解
所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.
本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.
3.【2016高考新课标1文数】平面过正文体ABCD—A 1B1C1D1的顶点A,
,,则m,n所成角的正弦值为（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【解析】
考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.
【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.
4.【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.
【答案】
92
π 【解析】
试题分析：设正方体边长为a ，则2
2
6183a a =⇒=，
外接球直径为344279
23,πππ3382
R V R ====⨯=. 【考点】球与几何体的组合体
【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单. 5.【2015新课标2文10】已知是球
的球面上两点,
,
为该球面上的动
点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
【考点定位】本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. 【名师点睛】由于三棱锥
底面AOB 面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球
的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查
空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练. 6. [2016高考新课标Ⅲ文数]在封闭的直三棱柱
内有一个体积为
的球，若
，
，
，，则
的最大值是（）
（A ）4π （B ）
（C ）6π （D ）
【答案】B
【解析】
试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．
【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．
7.【2014全国2，文7】正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为
中点，则三棱锥的体积为( )
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【考点定位】棱柱、棱锥、棱台的体积
【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，属于中档题，求解几何体的底面面积与高是解题的关键，对于三棱锥的体积还可利用换底法与补形法进行处理．
8.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）
（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r ，则
，所以
，所以米堆的体积为
=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式
【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是
圆锥，底面周长是两个底面半径与
圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径
的方程，解出底面半径，是基础题.
9.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π
因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =
31111
23323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
所以31933
r r =⇒=，所以球的表面积为2
436r ππ=
【考点】三棱锥外接球
【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），
这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．
10.【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 【答案】14π
.
【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R ==== 【考点】球的表面积
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
11.【2017江苏，6】如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.
记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则
1
2
V V 的值是 ▲ .
【答案】
32
【考点】圆柱体积
【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求
解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
12【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______. 【答案】
【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的 等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为
如图，因为AA 1∥PN ，故AA 1∥面PMN ， 故三棱锥P －A 1MN 与三棱锥P －AMN 体积相等， 三棱锥P －AMN 的底面积是三棱锥底面积的
，高为1
故三棱锥P －A 1MN 的体积为
【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力. 【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.
13.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.
【答案】80
；40．
P
C 1
B
1
A 1
N
C
M
B
A
考点：三视图.
【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积． 14.【2017课标II ，文18】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01
,90.2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;
（2）若△PAD 面积为P ABCD -的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅰ）4√3 【解析】
试题解析：（1）在平面ABCD 内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC ∥AD.又
BC PAD ⊄平面，AD PAD ⊂平面，故BC ∥平面PAD.
（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由1
2
AB BC AD ==及BC ∥AD ，∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM ⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为CM ABCD
底面，所以PM⊥CM.
设BC=x，则CM=x，CD=√2x，PM=√3x，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥
CD，所以PN=√14
2
x
因为△PCD的面积为2√7，所以
1 2×√2x×√14
2
x=2√7，
解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=2√3，
所以四棱锥P-ABCD的体积V=1
3×2(2+4)
2
×2√3=4√3.
【考点】线面平行判定定理，面面垂直性质定理，锥体体积
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
15.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）详见解析；（2）1
试题解析：（1）证明：取AC 中点O ，连OB OD , ∵CD AD =，O 为AC 中点， ∴OD AC ⊥，
又∵ABC ∆是等边三角形， ∴OB AC ⊥，
又∵O OD OB =I ，∴⊥AC 平面OBD ，⊂BD 平面OBD ， ∴BD AC ⊥.
（2）设2==CD AD ，∴22=AC ，22==CD AB ， 又∵BD AB =，∴22=BD ， ∴≅∆ABD CBD ∆，∴EC AE =， 又∵EC AE ⊥，22=AC ， ∴2==EC AE ， 在
ABD ∆中，设
x
DE =，根据余弦定理
DE
AD AE DE AD BD AD AB BD AD ADB ⋅-+=
⋅-+=∠22cos 2
22222 x x ⨯⨯-+=
⨯⨯-+=22222
222)22()22(2222222
解得2=x ，∴点E 是BD 的中点，则ACE B ACE D V V --=，∴1=--ACE
B ACE
D V
V . 【考点】线面垂直判定及性质定理，锥体体积
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
16.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 【答案】详见解析 【解析】
试题解析：证明：（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.
（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ， 所以平面BDE ⊥平面PAC .
（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC I 平面BDE DE =， 所以PA DE ∥.
因为D 为AC 的中点，所以1
12
DE PA =
=，BD DC ==. 由（I ）知，PA ⊥平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC .
所以三棱锥E BCD -的体积1163
V BD DC DE =
⋅⋅=. 【考点】1.线面垂直的判断和性质；2,. 面面垂直的判断和性质；3.几何体的体积.
【名师点睛】线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直.
17.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,P A =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；
（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．
【答案】（I ）见解析（II ）作图见解析,体积为
试题解析：（I ）因为
在平面
内的正投影为
,所以
因为在平面内的正投影为,所以
所以平面,故
又由已知可得,,从而是的中点.
（II）在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.
理由如下：由已知可得,,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影.
连接,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心.
由（I）知,是的中点,所以在上,故
由题设可得平面,平面,所以,因此
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得
在等腰直角三角形中,可得
所以四面体的体积
考点：线面位置关系及几何体体积的计算
【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.
18.【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面
平面，为等边三角形，
且，，分别为，的中点．
（I）求证：平面；
（II）求证：平面平面；
（III）求三棱锥的体积．
【答案】（I）证明详见解析；（II）证明详见解析；（III）.
（II）先在三角形中得到，再利用面面垂直的性质得平面，最后利用面面垂直的判定得出结论；（III）将三棱锥进行等体积转化，利用，先求出三角形的面积，由于平面，所以为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.
试题解析：（Ⅰ）因为分别为，的中点，
所以.
又因为平面，
所以平面.
（Ⅰ）因为，为的中点，
所以.
又因为平面平面，且平面，
所以平面.
所以平面平面.
（Ⅰ）在等腰直角三角形中，，
所以.
所以等边三角形的面积.
又因为平面，
所以三棱锥的体积等于.
又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
所以三棱锥的体积为.
考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.
【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法．
19.[2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥中，平面，，
，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）．
试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为
中点知，. ......3分
又，故，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面. ........6分
（Ⅰ）因为平面，为的中点，
所以到平面的距离为. ....9分
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故，
所以四面体的体积. .....12分
考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．
20.【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形中，
，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(I)证明：平面；
(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.
【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) .
(II)由已知，平面平面，且平面平面，又由(I)知，，所以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积，从而四棱锥的为
，由，得.
试题解析：(I)在图1中，因为，是的中点，所以，
即在图2中，
从而平面
又
所以平面.
(II)由已知，平面平面，
且平面平面
又由(I)知，，所以平面，
即是四棱锥的高，
由图1可知，，平行四边形面积，从而四棱锥的为
，
由，得.
【考点定位】1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空间几何体的体积.
【名师点睛】1.在处理有关空间中的线面平行、线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化；2.求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.
21. 【2014全国2，文18】（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.
（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅰ）设，三棱锥的体积，求到平面的距离.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅰ）
平面．所以，故平面．又．所以到平面的距离为．
【考点定位】1.直线与平面平行；2.点到平面的距离.
【名师点睛】本题考查了直线与平面平行的判断与证明，等体积的求法求距离，属于中等题，考查学生分析解决问题的能力，要证线面平行，由判定定理可知，只需在面内作一直线与已知直线平行即可，如何作出这条面内线就是平时的经验积累与分析思维的能力了，求点到平面的距离，可用等体积法．
22.【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC 与BD交点，，
（I）证明：平面平面；
（II）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积. 【答案】（I）见解析（II）
【解析】
试题分析：（I）由四边形ABCD为菱形知AC BD，由BE平面ABCD知AC BE，由线
面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（II）设AB=，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在AEC中，用x 表示EG，在EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥的体积为求出x，即可求出三棱锥的侧面积.
试题解析：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC BD，
因为BE平面ABCD，所以AC BE，故AC平面BED.
又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED
（II）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.
因为AE EC，所以在AEC中，可得EG=.
由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2从而可得AE=EC=ED=.
所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为.
考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力
【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对几何体的体积和表面积问题，常用解法有直接法和等体积法.
23.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
(Ⅰ)证明：AB平面PFE.
(Ⅰ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
【答案】（Ⅰ）祥见解析，（Ⅰ）或.
（Ⅰ）设则可用将四棱锥的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于的一个一元方程，解此方程，再注意到即可得到的长．
试题解析：证明：如题(20)图.由知，为等腰中边的中点，故
，
又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，从而.
因.
从而与平面内两条相交直线，都垂直，
所以平面.
(2)解：设,则在直角中，
.从而
由，知，得,故，
即.
由,,
从而四边形DFBC的面积为
由(1)知，PE 平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.
在直角中，,
体积,
故得，解得，由于，可得.
所以或.
【考点定位】1. 空间线面垂直关系，2. 锥体的体积，3.方程思想.
【名师点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的判定及简单几何体的体积的运算，第一问通过应用面面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直来完成证明，第二通过设元，将已知几何体的体积表示出来，建立方程，通过解方程完成解答.本题属于中档题，注意方程思想在解题过程中的应用.
24.【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P-ABC中，P A平面ABC，
.
（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅰ）证明：在线段PC上存在点M，使得AC BM，并求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅰ）
由面
可知是三棱锥的高,又
所以三棱锥的体积
（Ⅰ）证：在平面内，过点B作，垂足为，过作交于，连接.
由面知，所以.由于，故面，又面，所以.
在直角中，，从而.由，得.
【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.
【名师点睛】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中，本题的第（Ⅰ）问需要学生构造出线面垂直，进而利用性质定理证明出面面垂直，本题考查了考生的空间想象能力、构造能力和运算能力.
25.【2015高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （Ⅰ）证明：平面. 试判断四面体是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅰ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．
【答案】（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；（Ⅰ）
（Ⅰ）由已知，是阳马的高，所以；由（Ⅰ）知，是鳖臑的高，，所以.在△中，因为，点是的中点，所以，于是
【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.
【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.
26.【2015高考福建，文20】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，
垂直于圆所在的平面，且．
（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；
（Ⅰ）求三棱锥体积的最大值；
（Ⅰ）若，点在线段上，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅰ）；（Ⅰ）．
【解析】解法一：（I）在中，因为，为的中点，
所以．又垂直于圆所在的平面，所以．
因为，所以平面．
（II）因为点在圆上，
所以当时，到的距离最大，且最大值为．
又，所以面积的最大值为．
又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．
又因为，，所以垂直平分，
即为中点．从而，
亦即的最小值为．
解法二：（I）、（II）同解法一．
（III）在中，，，
所以，．同理．
所以，所以．
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．
当，，共线时，取得最小值．
所以在中，由余弦定理得：
．
从而．
所以的最小值为．
【考点定位】1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．
【名师点睛】证明直线和平面垂直可以利用判定定理，即线线垂直到线面垂直；也可以利用面面垂直的性质定理，即面面垂直到线面垂直；决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解．
27.(2014课标全国Ⅰ，文19)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.。