第22讲 相似三角形

重难点 相似三角形的性质与判定 如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB 平分∠ADC，过点 B
作 BM∥CD 交 AD 于点 M，连接 CM 交 DB 于点 N. (1)求证：BD2＝AD·CD. (2)若 CD＝6，AD＝8，求 MN 的长．
【思路点拨】 (1)根据要证的乘积式分析出要判定相似的两个三 角形，利用相似三角形的判定方法结合已知条件选择合适的方法证明； (2)利用相似三角形的性质，建立已知线段和要求线段之间的等量关系， 求出线段长．
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数学 第一轮 中考考点系统复习(讲解册)
第四单元 图形的初步认识与三角形 第22讲 相似三角形
比例线段 1．比例线段： (1)定义：对于四条线段 a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它 们长度的比)与另两条线段的比① 相等 ，如ab＝dc(即 ad＝② bc )，我 们就说这四条线段成比例．
续表
直角三角形
找一对锐角相等或两组边对应成比例.
等腰三角形 找顶角相等或一对底角相等或底边与腰对应成比例.
5．已知△ABC∽△DEF，且△ABC 与△DEF 的相似比为 4∶1， 则：
(1)△ABC 与△DEF 对应边上的高的比为 4∶1 ； (2)△ABC 与△DEF 对应边上的中线的比为 4∶1 ； (3)△ABC 与△DEF 对应角的平分线的比为 4∶1 ； (4)△ABC 与△DEF 的周长的比为 4∶1 ； (5)△ABC 与△DEF 的面积的比为 16∶1 ．
3．相似三角形的判定：
类型
判定方法
示例
一般三角 形
平行于三角形一边的
∵DE∥BC， 直线和其他两边相交，
∴△ADE∽△ 所构成的三角形与原三ຫໍສະໝຸດ 角形相似．ABC.
图示
三 边对应成比例的两
个三角形相似．
一般三角 形
两边对应 成比例 且 夹角 相等的两个三角
形相似．
∵AA′BB′＝BB′CC′＝ AA′CC′， ∴△ABC∽△A′B ′C′. ∵AA′BB′＝AA′CC′，∠A ＝∠A′， ∴△ABC∽△A′B ′C′.
所得的对应线段⑬ 成比例
．如图
2，若
DE∥BC，则ADDB＝⑭
AE EC；如
图
3，若
DE∥BC，则AADB＝⑮
AE AC
．
3．如图，a∥b∥c，直线 m 分别交直线 a，b，c 于点 A，B，C， 直线 n 分别交直线 a，b，c 于点 D，E，F.若 AB＝2，CB＝4，DE＝3， 则 EF＝ 6 ．
＞BC)，如果
AC
是线段
AB
和
BC
的⑦ 比例中项
，且AC＝BC＝ AB AC
5－1 ⑧ 2 ≈⑨ 0.618
，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点．
1．如果ba＝dc，那么下列等式：①a＋b b＝c＋d d；②ba＋ ＋cd＝ba；③ab22＝ dc22；④ad＝bc，其中一定成立的是 ①③④ ．(填序号)
2．已知线段 AB＝10，点 P 是 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP， 则 AP＝ 5 5－5 ．(用根式表示)
平行线分线段成比例
1．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
⑩ 成比例
．如图
1，若
l1∥l2∥l3，则ABCB＝⑪
DE EF
或AACB＝⑫
DE DF
．
2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，
6．如图，P 是△ABC 的边 AC 上一点，连接 BP. (1)请你添加一个条件∠ABP＝∠C 或∠APB＝∠ABC 或AAPB＝AACB (写出所有的情况)，使得△ABP∽△ACB，并选择其中一个条件证明 △ABP∽△ACB.
(2)在(1)的条件下，若 AC＝8，AP＝2，则 AB＝ 4 ． 证明：答案不唯一，选∠ABP＝∠C. ∵∠ABP＝∠C，∠BAP＝∠CAB， ∴△ABP∽△ACB.
(2)基本性质：
性质 1：若ba＝dc，则 ad＝③ bc
(b，d≠0)；若
ad＝bc，则ba＝④
c d
(b，
d≠0)．
性质
2：若ba＝dc，则a±bb＝⑤
c±d d
(b，d≠0)．
性质 3：若ba＝dc ＝…＝mn (b＋d＋…＋n≠0)，则ab＋＋cd＋＋……＋＋mn＝ a ⑥b．
2．黄金分割：如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC
4．如图，在△ABC 中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4.
8
16
若 EG＝4，则 AE＝ 3 ，GC＝ 3 ．
相似三角形的概念、性质及判定 1．概念：对应角⑯ 相等 ，对应边⑰ 成比例 的两个三角形叫做 相似三角形，相似三角形对应边的比叫做⑱ 相似比 .
2．相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角⑲相等 ，对应边⑳ 成比例 ； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都 等于 相似比 ； (3)相似三角形周长的比等于 相似比 ，面积的比等于相似比的 平方 ．
∵∠A＝∠A′，∠
一般三角 两角分别 相等的两 B＝∠B′，
形
个三角形相似.
∴△ABC∽△A
′B′C′.
斜边和一直角边对应 直角三
AC AB ∵A′C′＝A′B′，
角形
成比例 的两个直角 ∴Rt△ABC∽Rt△
三角形相似．
A′B′C′.
4.相似三角形的常见模型：
5.判定两个三角形相似的思路： 已知条件 判定思路 有平行截线 用平行线的性质找等角. 有一对等角 找另一对角相等或角的两邻边对应成比例. 有两组边对 找夹角相等或第三组边也对应成比例或有一对直 应成比例 角.
相似多边形 1．概念：两个边数相等的多边形，如果它们的角对应 相等 ，边 对应 成比例 ，那么这两个多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做 相似比．
2．相似多边形的性质： (1)相似多边形的对应角 相等 ，对应边 成比例 ； (2)相似多边形周长的比等于 相似比 ，面积的比等于相似比的 平方 ．
7．如图，六边形 ABCDEF∽六边形 GHIJKL，相似比为 2∶1， 则：
(1)∠E 与∠K 的数量关系是 ∠E＝∠K ；
(2)BC 与 HI 的数量关系是 BC＝2HI ； (3)C 六边形 ABCDEF 与 C 六边形 GHIJKL 的数量关系是 C 六边形 ABCDEF＝
2C 六边形 GHIJKL ； (4)S 六边形 ABCDEF 与 S 六边形 GHIJKL 的数量关系是 S 六边形 ABCDEF＝ 4S 六边形 GHIJKL .