数学【常规秋季班】第3册 PC 第06讲 重叠问题 (下) 教师版

PC 第06讲
重叠问题（下）
教学目标：
1、掌握解决几何图形重叠问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性；
2、鼓励学员尽可能多的在纸上画一画，写一写重叠问题的相关问题，提升计算准度和速度；
3、进一步丰富对直观的认识，发展形象思维，养成善于观察、善于思考的良好学习品质。

教学重点：
掌握几何图形重叠问题的解题思路和方法，体验解决问题策略的多样性。

教学难点：
掌握解决重叠问题的一些基本策略。

教学过程：
【环节一：预习讨论，案例分析】
【知识回顾——温故知新】----参考时间-2分钟
解答重叠问题常用方法：
解答重叠问题，必须从条件入手，要认真地进行分析，有时还要画出图示，借助图进行思考，找到哪些是重复的，重复了几次，明确求出的是哪一部分，从而找到解答方法。

【知识回顾——上期巩固】----参考时间-3分钟
有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的木板长多少厘米?
解析部分：引导学生思考,画图分析
四根木板的长度是80×4=320（厘米）。

钉在一起后，共有3个10厘米的重叠，要从总长度中把这多算的30厘米减掉，才是现在木板的长度．
给予新学员的建议：教师可以引导学员画图分析题意
哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。

参考答案：
80×4-10×3=290（厘米）
答：钉成的木板长290厘米。

【预习题分析——本期预习】----参考时间-7分钟
如图所示，桌上有两个部分重叠的正方形，大正方形的边长为3厘米，小正方形的边长为2厘米，重叠部分是一个边长为1厘米的正方形，两个正方形盖住多大面积？
解析部分：让学生思考，两个正方形出现了重叠部分，盖住的面积能不能直接把两个正方形的面积相加；如果大正方形的面积加上小正方形的面积的话，中间的阴影部分被多计算了1次；因为有部分面积重叠了，应该从两个正方形面积和减去重叠部分的面积；
被两个正方形盖住的面积是3×3+2×2-1×1=12（平方厘米）。

给予新学员的建议：教师可以引导学员会计算正方形的面积；
哈佛案例教学法：学员通过预习，初步了解新知识，对后面的学习有所帮助，让学员分享解题方法，拓宽解题思路。

参考答案：
3×3+2×2-1×1=12（平方厘米）。

答：两个正方形盖住的面积是12平方厘米。

【环节二：知识拓展、能力提升】
【知识点分析——本期知识点】----参考时间-2分钟
解答几何图形重叠问题常用方法：
1、先把原来两个图形面积相加，再减去重叠的面积；
2、把覆盖住的面积分解成几个常见的几何图形，分别求出这几个图形面积再加起来。

【例题分析——讲解室】----参考时间-10分钟
如图所示是两个相同的正方形，中间重叠在一起的部分是30平方厘米的小正方形，整个图形覆盖面积是150平方厘米。

求每个大正方形的面积。

➢两个正方形出现了重叠部分，盖住的面积是把两个正方形的面积相
加吗？
➢如何利用重叠部分的面积进行计算？
解析部分：
第一步：让学生思考，两个正方形出现了重叠部分，盖住的面积不是直接把两个正方形的面积相加；
第二步：让学生将两个正方形面积相加，中间的阴影部分被多计算了1次；那么用覆盖住的面积加上重叠的面积就等于两个正方形的面积；
第三步：让学生求出每个正方形的面积是（150+30）÷2=90（平方厘米）
给予新学员的建议：引导学员理解几何图形的重叠部分如何计算；
哈佛案例教学法：引导学生进行分组讨论，让学生根据讨论问题找到解题方法。

参考答案：
（150+30）÷2=90（平方厘米）
答：每个正方形的面积是90平方厘米。

【环节三：阶段复习】
【游戏环节——游乐场】----参考时间-2分钟
游戏名称：以物换物
游戏规则：
老师准备些各种各样的小物品，设置一些交换关系。

让后分发给学生一些物品，老师保留一些。

让学生模仿以物换物的市场买卖，可以和学生换，也可以和老师换，最后看看谁赚了，谁亏了。

参考答案：略
【练习分析——练习场（一）】----参考时间-7分钟
至慧兔看到桌面有两张纸，有一部分重叠在一起，长方形的纸的长15厘米，宽8厘米，三角形纸的面积是50平方厘米，阴影部分是三角形与长方形纸的重叠部分，已知阴影部分面积是20平方厘米，三角形与长方形覆盖住的面积是多少平方厘米？
解析部分：引导学员思考：
方法一：大长方形+两个小三角形；
方法二：大三角形面积+“L”形的面积；
方法三：将大长方形和大三角形的面积相加，因为有部分面积重叠了，应该再减去阴影部分的面积。

给予新学员的建议：让学员根据题意算出中间重叠部分。

哈佛案例教学法：引导学生进行分组讨论，让学生根据讨论问题找到解题方法。

参考答案：
方法一：
两个小三角形的面积：50-20=30（平方厘米）
大长方形面积：15×8=120（平方厘米）
纸片覆盖的面积是：120+30=150（平方厘米）
方法二：
一个“L”形状面积：15×8-20=100（平方厘米）
➢被覆盖住的面积是大三角形的面积加大正方形的面积吗？
➢如何利用重叠原理解决此类面积问题？
大三角形：50平方厘米
纸片覆盖的面积是：100+50=150（平方厘米）
方法三：
大长方形面积：15×8=120（平方厘米）
大三角形面积：50平方厘米
纸片覆盖的面积是：120+50-20=150（平方厘米）
答：三角形与长方形覆盖住的面积是150平方厘米。

【练习分析——练习场（二）】----参考时间-7分钟
如图所示，一个长方形与一个三角形（有一个角是直角，夹直角的两条边相等）重叠在一起，长方形的长为20厘米，宽为10厘米，大三角形的面积为200平方厘米，重叠部分的面积为160平方厘米，求三角形与长方形覆盖住的面积是多少平方厘米？
解析部分：让学生先求出长方形面积是20×10=200（平方厘米），长方形面积加上三角形的面积是200+200=400（平方厘米），重叠部分的面积是160平方厘米，所以，覆盖住的面积是400-160=240（平方厘米）。

给予新学员的建议：引导学员计算长方形的面积；
哈佛案例教学法：引导学生进行分组讨论，让学生根据讨论问题找到解题方法。

参考答案：
长方形面积是20×10=200（平方厘米）
覆盖住的面积是200+200-160=240（平方厘米）。

【本节总结】
解答几何图形重叠问题常用方法：
1、先把原来两个图形面积相加，再减去重叠的面积；
2、把覆盖住的面积分解成几个常见的几何图形，分别求出这几个图形面积再加起来。

➢被覆盖住的面积是由哪些图形组成的？
➢如何利用重叠原理解决此类面积问题？。