高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》难题汇编附答案解析

新《复数》专题
一、选择题
1．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨
⎨-==-⎩⎩
，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.
本题选择D 选项.
2．若1z i =+，则
31i zz =+（ ） A ．i -
B ．i
C ．1-
D ．1 【答案】B
【解析】
因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1
i zz i i i zz =+-==+，故选B.
3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
【答案】A
【解析】
【分析】
设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．
【详解】
设()z x yi x y R =+∈、，
1x yi ++=
，()11iz i x yi +=++=
y x =-，
所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．
4．已知i 是虚数单位，则
31i i +-=（ ） A ．1-2i
B ．2-i
C ．2+i
D ．1+2i 【答案】D
【解析】 试题分析：根据题意，由于
33124121112
i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算 点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．
5．已知(,)a bi a b R +∈是
11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12-
C ．12
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】 先利用复数的除法运算法则求出
11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．
【详解】 ()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a +b ＝﹣1，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
6．设3443i z i -=
+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i
B ．i -
C ．1i -+
D ．1i +
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．
【详解】
解：3443i z i
-=+Q ()()()()
344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q
()()()2
1f z i i i ∴=---+=
故选：A
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
7．设复数21i x i =
-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．1i +
B ．i -
C ．i
D ．0
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．
【详解】 解：复数2(1i x i i =-是虚数单位）， 而1122332020202020202020
202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2
121(1)111(1)(1)
i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020
202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．
8．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )
A ．[0,1]
B ．[1,1]-
C ．(0,1)(1,)⋃+∞
D ．(1,)-+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，
2a x a y b t
=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，
则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，
解得0t >且1t ≠ ，
即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .
故选：C
【点睛】
本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
9．若复数()234sin
12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23
π 【答案】B
【解析】
分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.
详解：若复数()2
3412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩
， 结合()0,θπ∈
，可知：sin 1
cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．设()()
2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C ．z 对应的点在实轴的下方
D ．z 一定为实数 【答案】C
【分析】
根据()2
222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.
【详解】
()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；
213,25302
t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
11．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若
231z i i =+-，则4z i +=（ ）
A ．6
B ．50
C ．
D 【答案】C
【解析】
【分析】
计算5z i =-，再代入计算得到答案.
【详解】
由231z i i
=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．
【点睛】
本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
12．在复平面内，复数21i z i =
+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】
分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.
详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112
i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.
本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=
在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）
A ．2
B
C ．1 D
．【答案】B
【解析】
分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a a z i -=
=-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i 2a z -=
在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212
a a z i -=⇒==-，,
z ==,故选B.
14．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i
i e e ππ表示的复数在复平面中位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B
【解析】
【分析】 根据欧拉公式计算
4i i e e ππ，再根据复数几何意义确定象限.
【详解】
因为
4
44
i
i
e cos isin
cos isin
e
π
π
ππ
ππ
+
===
+
，所以对应点
22
-
（，，在第
二象限，选B.
【点睛】
本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.
15．若复数z的虚部小于0
，|z|=4
z z
+=，则iz=（）
A．13i
+B．2i+C．12i
+D．12i
-
【答案】C
【解析】
【分析】
根据4
z z
+=可得()
2
z mi m
=+∈R，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】
由4
z z
+=，得()
2
z mi m
=+∈R
，因为||z==1
m=±.
又z的虚部小于0，所以2
z i
=-，12
iz i
=+.
故选：C
【点睛】
此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.
16．已知复数
1
34
z
i
=
+
，则下列说法正确的是（）
A．复数z的实部为3 B．复数z的虚部为
4
25
i
C．复数z的共轭复数为
34
2525
i
+D．复数的模为1
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数的基本概念得选项.
【详解】
13434
34252525
i
z i
i
-
===-
+
，
所以z的实部为
3
25
，虚部为
4
25
-，
z的共轭复数为
34
2525
i
+
1
5
=，
故选C.
【点睛】
该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.
17．复数z 11i i -=
+，则|z |=( ) A ．1
B ．2 C
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .
【详解】 由题意复数z 11i i
-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A
【点睛】
本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.
18．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,
则48z z a bi i +=+=+,
可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.
【详解】
设(,)z a bi a b R =+∈,
则48z z a bi i +=++=+,
48
a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.
故选:B
【点睛】
本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.
19．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在
的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限．
详解：由题意，
()()
()
22
22
22,
i i
i
z i
i i i
-⋅-
-
===--
⋅-
Q
22,
z i
∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限.
故选B.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【详解】
为纯虚数，故且，即.故选：.
【点睛】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。