九年级上册数学 压轴解答题试卷(word版含答案)

九年级上册数学 压轴解答题试卷（word 版含答案）
一、压轴题
1．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，
4），一次函数2
3
y x b =-
+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点 （1）求b 的值；
（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标； （3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：1
62
y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，且与直线2l ：1
2
y x =
交于点A .
（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标；
（2）若D 是线段OA 上的点，且COD △的面积为12，求直线CD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内里否存在点Q ，使以O 、
C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理
由.
3．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点
P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速
度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点
P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时
间为ts ． （1）如图①，
①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值；
②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38
83
a t ==
，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．
4．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上（不与点A ，B 重合）的任一点，点C ，D 为⊙O 上的两点．若∠APD ＝∠BPC ，则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”．
（1）若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系，给出证明（提示：延长CP 交⊙O 于点E ）；
（3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为24+133，直接写出AP 的长． 5．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.
（1）求证：BE=FD ；
（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；
①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长. 6．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝3，BC ＝4．
（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．
7．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作
Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右
侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点
E ．在射线CD 上取点
F ，使3
2
DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =
（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．
（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．
8．如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠．
（1）求证: AC 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F ， ①求证: CA CF =；
②若⊙O 的半径为3，BF =2,求AC 的长．
9．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．
（1）求证△AEF ∽△BCE ；
（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；
（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．
10．已知，如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 为AC 的中点，Q 从点A 运动到B ，点Q 运动到点B 停止，连接PQ ，取PQ 的中点O ，连接OC ，OB ． (1)若△ABC ∽△APQ ，求BQ 的长；
(2)在整个运动过程中，点O 的运动路径长_____；
(3)以O 为圆心，OQ 长为半径作⊙O ，当⊙O 与AB 相切时，求△COB 的面积．
11．抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交
于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4． （1）请直接写出a 的值____________； （2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；
②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求
c 的取值范围；
（3）若1c b =--，2727b -<<AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ，将抛
物线绕原点逆时针旋转α，且1
tan 2
α=
，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．
12．如图，抛物线2
)1
2
(0y ax x c a =-
+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线1
22
y x =
-经过点,B C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是
t ．
①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；
②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．
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一、压轴题
1．（1）b=3；（2）点M 坐标为7(1,)3；（3）93(,)42-或3654(,)1313
【解析】 【分析】
（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D 的坐标，则OD=b ，则E 的坐标即可利用b 表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b 的方程，求得b 的值； （2）首先求得四边形OAED 的面积，则△ODM 的面积即可求得，设出M 的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M 的横坐标，进而求得M 的坐标；
（3）分两种情况进行讨论，①四边形OMDN 是菱形时，M 是OD 的中垂线与DE 的交点，
M 关于OD 的对称点就是N ；②四边形OMND 是菱形，OM=OD ，M 在直线DE 上，设出M 的坐标，根据OM=OD 即可求得M 的坐标，则根据OD ∥MN,且OD=MN 即可求得N 的坐标． 【详解】
（1）在2
3
y x b =-+中，令x=0，解得y=b ， 则D 的坐标是(0,b)，OD=b ， ∵OD=BE ，
∴BE=b ，则点E 坐标为（3,4-b ），
将点E 代入2
3
y x b =-+中，得：4-b=2+b, 解得：b=3； (2)如图，∵OAED S 四边形=
11
()(31)3622
OD AE OA +=⨯+⨯=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13
=42
ODM OAED S S ∆=
四边形 设M 的横坐标是a ，则13
322
a ⨯=， 解得：1a =， 将1x a ==代入2
33
y x =-
+中，得： 27333
y =-⨯+=
则点M 坐标为7
(1,)3
；
（3）依题意，有两种情况：
①当四边形OMDN 是菱形时，如图(1),M 的纵坐标是32
， 把32y =
代入2
33
y x =-+中，得： 23332x -+=，解得：94
x =，
∴点M 坐标为93(,)42
， 点N 坐标为93(,)42
-；
②当四边形OMND 是菱形时，如图(2)，OM =OD =3， 设M 的坐标2
(,3)3
m m -
+， 由OM=OD 得：2
22
(3)93
m m +-+=， 解得：36
13
m =
或m=0(舍去)， 则点M 坐标为3615(,)1313
， 又MN ∥OD ，MN=OD=3，
∴点N 的坐标为3654(
,)1313
， 综上，满足条件的点N 坐标为93(,)42
-或3654(
,)1313
．
【点睛】
本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关知识的联系点，运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 2．(1)A(6，3)，B(12，0)，C(0，6)；(2)y=-x+6；(3)满足条件的Q 点坐标为：(-3，3)或22)或(6，6). 【解析】 【分析】
（1）根据坐标轴上点的坐标特点，可求出B,C两点坐标.两个函数解析式联立形成二元一次方程组，可以确定A点坐标.（2）根据坐标特点和已知条件，采用待定系数法，即可作答.（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、2为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形；②当四边形OP2CQ2为菱形时；③当四边形OQ3P3C为菱形时；分别求出Q坐标即可.
【详解】
解：(1)由题意得
1
6
2
1
2
y x
y x
⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
解得
6
3 x
y
=⎧
⎨
=⎩
∴A(6，3)
在y=-1
6
2
x+中，当y=0时，x=12，
∴B(12，0)
当x=0时，y=6，
∴C(0，6).
(2)∵点D在线段OA上，
∴设D(x，1
2
x) (0≤x≤6)
∵S△COD=12
∴1
2
×6x=12
x=4
∴D(4，2)，
设直线CD的表达式为y=kx+b，
把(10，6)与D(4，2)代入得
6
24
b
k b
=
⎧
⎨
=+⎩
解得
1
6 k
b
=-⎧
⎨
=
⎩
直线CD的表达式为y=-x+6
(3) 存在点2，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
如图所示，分三种情况考虑：
①当四边形OP 1Q 1C 为菱形时OC==OP 1，由∠COP 1=90°，得到四边形OP 1Q 1C 为正方形，此时Q 1P 1=OP 1=OC=6，即Q:（6，6）；
② 当四边形OP 2CQ 2为菱形时，OP 2=CP 2 ，由C 坐标为（0，6），得到Q 2纵坐标为3，把y=3代入直线OQ 2解析式y=-x 中，得：x=-3，此时Q 2（-3，3）；
③当四边形0Q 3P 3C 为菱形时，OC=CP 3，则有OQ 3=OC=CP 3=P 3Q 3=6，设坐标为（x ，-x+6）， ∵OC=CP 3
∴x 2+x 2= CP 32= OC 2=62
解得，2P 的坐标为2，2) 此时Q 322).
综上，点Q 的坐标是(-3，3)或2，2)或(6，6). 【点睛】
本题是一次函数、勾股定理、特殊的平行四边形的综合应用，是一道压轴题，在考试中第一问必须作答，二三问可以根据自己的情况进行取舍.
3．（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；
【详解】
解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，
∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①
5 1.54t at -=-②
由①②可得 1.1a =， 2.5t =．
当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，
由③④可得0.5a =，2t =．
综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与
PCN △全等； ②AP BD ⊥， 90BEP ∴∠=︒，
90APB CBD ∴∠+∠=︒，
90ABC ∠=︒，
90APB BAP ∴∠+∠=︒， BAP CBD ∴∠=∠，
在ABP △和BCD 中，
BAP CBD AB BC
ABC BCD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，
BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；
（2）当38a =，8
3
t =时，1DN at ==，而4CD =，
DN CD ∴<，
∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，
如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=︒， 180ABC BCD ∴∠+∠=︒， //AB BC ∴，
AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠， 在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CD
BAC DCA ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ()AOM COD ASA ∴≅△△，
OA OC ∴=，
ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=， ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-， ADF CDF S S ∆∆∴=．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．（1）∠DPC是直径AB的回旋角，理由见解析；（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，证明见解析；（3）3或23．
【解析】
【分析】
（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角；
（2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝
∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋
角”∠CPD的度数＝CD的度数；
（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD
＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝1
2
∠COD＝60°，结合圆的直径
为26可得出CD＝3PCD的周长为3DF＝24，过点O作
OH⊥DF于点H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论．
【详解】
（1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠APD＝∠BPC，
∴∠DPC是直径AB的回旋角．
（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，理由如下：
如图2，延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE．
∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB，
∴∠APE＝∠APD．
∵圆是轴对称图形，
∴∠E＝∠D．
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠C，
∴∠D＝∠C．
由三角形内角和定理，可知：∠COD＝∠CPD，
∴“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数．
（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC．
同（2）的方法可得：点P，D，F在同一条直线上．
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PFC是等边三角形，
∴∠CFD＝60°．
连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，
∴CD＝2DG，∠DOG＝1
2
∠COD＝60°，
∵AB=26，∴OC=13，
∴
133 CG=
∴CD＝2×133
2
＝133
∵△PCD的周长为24+133，∴PD+PC+CD＝24+133，
∴PD+PC＝DF＝24．
过点O作OH⊥DF于点H，则DH＝FH＝1
2
DF＝12．
在Rt△OHD中，OH2222
13125
OD DH
--=,
在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，
∴OP＝2OH＝10，
∴AP＝OA﹣OP＝13﹣10＝3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法，可得：BP＝3，
∴AP＝AB﹣BP＝26﹣3＝23．
综上所述，AP的长为：3或23．
【点睛】
此题是圆的综合题，考查圆的对称性质，直角三角形、等腰三角形与圆的结合，（3）是此题的难点，线段AP的长度由点P所在的位置决定，因此必须分情况讨论.
5．（1）见详解；（2）125；（3）①见详解，②32-6
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；
（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=1
2•BD•AM+
1 2•BD•CM=
1
2
•BD•AC即可求解；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．
【详解】
（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OH⊥EF，
∵OH⊥BD，
∴BH=HD，
∴BE=DF；
（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．
∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，
∴∠OEF=∠OAC=45°，
∴∠AME=90°，即AC⊥BD，
连接OB．设OH=a，
∵BE=EF，
∴BE=2EH=2OH=2a，
在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，
∴a2+（3a）2=（25）2，
∴a=2或-2（舍弃），
∴BD=BE+EF+DF=6a=62，
在Rt△AOC中，AC=2AO=210，
∴S四边形ABCD=1
2
•BD•AM+
1
2
•BD•CM=
1
2
•BD•AC=
1
2
×210×62=125；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OA=OC，
∴∠EOH=1
2
∠EOF=
1
2
（∠EAC+∠ACO）=
1
2
×2∠OAC=∠OAC，
∴AC∥OH，
∵AD=BC，
∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，
∴AB=2BM，CD=2DM，CM=DM，
∴AB•CD+BC2=2BM•2DM+BM2+CM2=（BM+DM）2=BD2；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，
∵∠BOC=2∠BDC=90°，
∴BC=2OB=26，
∵AB•CD+BC2=BD2，AB•CD=AO2=12，
∴12+24=BD2，
∴BD=6（负根已经舍弃），
在Rt△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，
∴（26）2=（6-x）2+x2，
∴x=3-3或3+3（舍弃），
∴CD=2x=32-6．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
6．(1)作图见解析；（2）4
9 .
【解析】
试题分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心；
（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．
试题解析：（1）如图所示：
①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆
心，以大于2
3
GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于
点O，则点O即为⊙O的圆心．
（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是
∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为∠ABC
∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BPsin∠ABM，当BP1＞BO时，P1Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P 的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；如图2，
∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，
时⊙P的面积就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴AB=5，
设PC=x，则PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA2=PE2+AE2，
∴（1-x）2=x2+（5-2）2，
∴x=25-4；
②如图3，
同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则（2-y）2=y2+（5-1）2，
∴y=51 ；
③如图4，
同理可得，当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF=z，
∵△APF∽△PBE，
∴PF：BE=AF：PE，
∴， ∴z=49
． 由①、②、③可知，
49＞512
-＞
∴z ＞y ＞x ， ∴⊙P 的面积S 的最大值为π．
考点:1. 切线的性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.作图—复杂作图．
7．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65
AP =
或3AP = 【解析】
【分析】
（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12
AH BH AB ==，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32
QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<
时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当
4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．
【详解】
解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =
∴4AB x =
∴在Rt ABQ △中，225BQ AQ AB x =
+= ∵OD m ⊥，m l ⊥
∴//OD l
∵OB OQ =
∴122
AH BH AB x ==
= ∴2CD x =
∴332
FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q
∴3AP AQ x ==
∵4PC =
∴64CQ x =+
过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：
∵90BAQ ∠=︒
∴//OM AB
∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒
∴点O 是BQ 的中点 ∴1322
QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-
=+ ∵1522
OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=
+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形
∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）
∴39AP x ==
∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．
（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =
①点P 在A 点的右侧时，如图：
∴243x x +=
∴4x =
∴312AP x ==
②点P 在A 点的左侧时
I.当点C 在Q 右侧时
i.当 407
x <<时，如图：
∵47DE x =-，3DF x =
∴473x x -=
∴25
x = ∴635AP x x ==
ii.当4273
x ≤<时，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =（不合题意，舍去）
II. 当点C 在Q 的左侧时，即23
x ≥，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =
∴33AP x ==
∴综上所述，当12AP =或65
AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65
AP =
或3AP = 【点睛】 本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．
8．（1）详见解析；（2）①详见解析；②8
【解析】
【分析】
（1）先得到90ADB ∠=︒，利用圆周角定理得到DBA DAC ∠=∠，即可证明AC 是切线；
（2）①利用等弧所对的圆周角相等，得到BAE DAE ∠=∠，然后得到
CFA CAF ∠=∠，即可得到结论成立；
②设AC CF x ==，利用勾股定理，即可求出AC 的长度.
【详解】
（1）证明： ∵AB 是⊙O 的直径，
∴90ADB ∠=︒，
∴90DBA DAB ∠+∠=︒，
∵DEA DBA ∠=∠,DAC DEA ∠=∠，
∴DBA DAC ∠=∠，
∴90DAC DAB ∠+∠=︒，
∴90CAB ∠=︒，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）① ∵点E 是弧BD 的中点，
∴BAE DAE ∠=∠，
∵CFA DBA BAE ∠=∠+∠，CAF CAD DAE ∠=∠+∠，
∴CFA CAF ∠=∠
∴CA CF =；
② 设CA CF x ==，
在Rt ABC ∆中，
2BC x =+，CA x =，6AB =，
由勾股定理可得
222(2)6x x +=+，
解得：8x =，
∴8AC =.
【点睛】
本题考查了切线的判定，等角对等边，以及勾股定理，要证直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
9．（1）详见解析；（2）21y 2x =-
,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】
【分析】
（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得
AF AE
BE BC =，y x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角
形ABH 中，
60AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，
∴∠AEF +∠AFE =90°，
∵EF ⊥CE ，
∴∠AEF +∠BEC =90°，
∴∠AFE =∠BEC ，
∴△AEF ∽△BCE ；
（2）由（1）△AEF ∽BEC 得
AF AE BE BC =，232
y x x -=， ∴2132y x x =-
+， ∵2132y x x =-
+=213(3)22x --+， 当3x =时，y 有最大值为32
， ∴302
AF ≤≤； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，
在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，
∴∠EHF =90°，
∴ME =MF =MH ，
在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，
∴MA =ME =MF =MH ，
则A 、E 、H 、F 在同一圆上；
如图2，连接AH ，
∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°
∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，
如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，
在直角三角形ABH 中，
3602
AH sin AB =︒=， ∵AB =23
∴AH =3， 所以点H 移动的距离为3．
【点睛】
此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．
10．(1)BQ=8.2cm ；(2)5cm ；(3)S △BOC ＝
39625
. 【解析】
【分析】 (1)根据ABC APQ ∆~∆得AC AB AQ AP
=，从而得到AQ 的长即可求出BQ 的长； （2）由点Q 与点A 重合和点Q 与点B 重合时，可以确定点O 的位置，再根据点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时，由点O 是PQ 的中点，点F 是PB 的中点可知OF 是PBQ ∆的中位线，从而得到点O 的运动轨迹是APB ∆的 中位线，即线段EF ，即可求得答案；
（3）连接AO ，过点O 作ON AC ⊥ ，先证明APQ ABC ∆~∆得到
AQ AP PQ AC AB BC == ，所以求得,AQ PQ 的值，且OP OQ =，再证明PON PAQ ∆~∆得到ON PO AQ PA
=，求得ON 的值，再根据BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--即可求得答案；
【详解】
解：(1)如图1所示，
∵90,6,8C AC cm BC cm ∠===
∴10AB cm =
又∵点P 为AC 的中点，
∴3AP cm =
∵ABC APQ ∆~∆
∴AC AB AQ AP = ，即6103
AQ = 解之得： 1.8AQ =
则8.2BQ AB AQ cm =-=
(2)如图2，
当点Q 与点A 重合时，点O 位于点E 的位置，
当点Q 与点B 重合时，点O 位于点F 的位置，
则
EF 是△APB 的中位线，
∴EF ∥AB ，且EF ＝
12AB ＝5，152
EF AB == 而当点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时，
∵点O 是PQ 中点，点F 是PB 的中点，
∴OF 是△PBQ 的中位线， ∴OF ∥BQ ，
∴点O 的运动轨迹是线段EF ， 则点O 的运动路径长是5cm ；
故答案为5cm ． (3)如图3，连接AO ，过点O 作ON AC ⊥于点N ，
∵⊙O 与AB 相切，
∴PQ AB ⊥ ，即90AQP ∠= ，
∵,90PAQ BAC ACB AQP ∠=∠∠=∠=
∴APQ ABC ∆~∆
∴AQ AP PQ AC AB BC == ，即36108
AQ PQ == 解之得： 912,55AQ PQ =
= 则65
OP OQ == ∵ON AC ⊥
∴90PNO PQA ∠=∠=
又∵OPN APQ ∠=∠
∴PON PAQ ∆~∆，
∴ON PO AQ PA = ，即6
593
5
ON = ， 解之得:1825
ON = 则BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--
111•••222
BC AC AB OQ AC ON =-- 11611868106225225
=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 39625
= 【点睛】
本题主要考查了相似三角形和圆的综合问题，掌握圆的切线判定、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、割补法求面积等知识点是解题关键.
11．（1）1；（2）①4b =-；②26c ≤<；（3）D 一定在线段AB 上，
2
=CD 【解析】
【分析】
（1）根据题意顶点P （k ，h ）可将二次函数化为顶点式：()2
y a x k h =-+，又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，即可得出a 的值； （2）①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等，可得到顶点P 的横坐标，根据韦达定理结合（1）即可得到b 的值，
②根据（1）和（2）①即可得二次函数对称轴为x=2，利用点Q （0，2）关于对称轴的对称点R （4，2）可得QR=4，又QR 在直线y=2上，故令M 坐标（t ，2）（0≤t ＜2），代入二次函数即求得c 的取值范围；
（3）由c=-b-1代入抛物线方程即可化简，将抛物线绕原点逆时针旋转αα，且tanα=2，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tanα=2，可得到直线l 的解析式，最后联立直线方程与抛物线方程运算求解．
【详解】
解：（1）根据题意可知1二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的顶点为P （k ，h ），
故二次函数顶点式为()2y a x k h =-+，
又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，且无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，
∴a=1；
故答案为：a=1．
（2）①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等 ∴222
b b x a =-=-= ∴4b =-
故答案为：4b =-．
②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R
当2c =时，2
42y x x =-+
令2y =，则2242x x =-+
解得14x =，20x =
此时()0,2M ，()4,2N ，4MN QR ==
∵4QM QN +=∵QM NR =
∴4QN NR QR +==
∴N 在线段QR 上，同理M 在线段QR 上
设(),2M m ，则02m ≤<，224m m c =-+
2242(2)6c m m m =-++=--+
∵10-<，对称轴为2m =，02m ≤<
∴c 随着m 的增大而增大
∴26c ≤<
故答案为：26c ≤<．
（3）∵1c b =--∴21y x bx b =+--
将抛物线绕原点逆时针旋转α，且tan 2α=，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tan 2α=，
∴l 的解析式为2y x =
221
y x y x bx b =⎧⎨=+--⎩∴2(2)10x b x b +---= ∴222
4(2)448b ac b b b ∆=-=-++=+
∴x =
∴12,22b D b ⎛-+-++ ⎝⎭ 2224412444244AB ac b b b b y k b a ---+-+=+=+==-++
124224AB D b y y b b ⎛⎫-+-=-++-++= ⎪⎝
⎭∵20b ≥
∴12404410444
D AB b y y -+-+-=≥==> ∴点1D 始终在直线AB 上方
∵222b C b ⎛-+--+- ⎝⎭
∴
222 2
4448 282
44
B
C A
b b b
y y b b b
⎛⎫
-+--+ -=-+-+--++=
⎪
⎝⎭
∴
2222
448848416 AB C
b b b b
y y
-+++--++-+ -==
()2
28216
4
b
-+-+
=
∵2727
b
-<<，即2
028
b
≤<，
∴2
2284
b
≤+<
设28
n b
=+，224
n
≤<
∴
2
(2)16
4
AB C
n
y y
--+
-=
∵
1
4
-<，对称轴为2
n=
∴当224
n
≤<时，AB C
y y
-随着n的增大而减小
∴当4
n=时，0
AB C
y y
-=
∴当224
n
≤<时，AB C
y y
>
∴区域S的边界与l的交点必有两个
∵
1
D AB
y y
>
∴区域S的边界与l的交点D一定在线段AB上
∴D AB
y y
=
∴
2
(2)16
4
D C C
AB
n
y y y y
--+
-=-=
∴当22
n=时，D C
y y
-有最大值122
+
此时
122
2
D C
x x
+
-=
由勾股定理得：()()
225210
2
C C
D D
CD x x y y
+
=-+-=，
故答案为：=
CD ． 【点睛】 本题考查二次函数一般式与顶点式、韦达定理的运用，以及根与系数的关系判断二次函数交点情况，正确理解相关知识点是解决本题的关键．
12．（1）211242y x x =--；（2）①P (2，−2)或(-6，10)，②1122
y x =-或324y x t =-+-或4412424
t t y x t t --=+-++ 【解析】
【分析】
（1）利用一次函数与坐标轴交点的特征可求出点B ，C 的坐标，根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；
（2）①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑： （i ）当∠MPC=90°时，PC //x 轴，利用二次函数可求出点P 的坐标；
（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，易证△BOC ∽△COD ，利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标，根据点C ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线PC 的解析式，联立直线PC 和抛物线的解析式，通过解方程组可求出点P 的坐标； ②在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线，分开求解三条中位线方程即可求解．
【详解】
解：（1）因为直线交抛物线于B 、C 两点，
∴当x =0时，y =12
x −2=−2， ∴点C 的坐标为(0，−2)；
当y =0时，12
x −2=0， 解得：x =4，
∴点B 的坐标为(4，0)．
将B 、C 的坐标分别代入抛物线，得：
2144022a c c ⎧⨯-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：142
a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为211242
y x x =--． （2）①∵PM ⊥x 轴，M 在直线BC 上，
∴∠PMC 为固定角且不等于90，
∴可分两种情况考虑，如图1所示：
（i ）当∠MPC=90时，PC //x 轴，
∴点P 的纵坐标为﹣2，
将y p =-2，代入抛物线方程可得：
2112242
x x --=-解得： x 1=2，x 2=0（为C 点坐标，故舍去），
∴点P 的坐标为(2，−2)；
（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，
∵∠OBC+∠OCB=90°，∠OCB+∠OCD=90°，
∴∠OBC=∠OCD ，
又∵∠BOC=∠COD=90°，
∴BOC ∽COD （AAA ）， ∴OD OC OC OB =，即OD=2
OC OB
， 由（1）知，OC=2，OB=4，
∴OD=1，
又∵D 点在X 的负半轴
∴点D 的坐标为(-1，0)，
设直线PC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 是常数)，
将C(0，−2)，D(-1，0)代入直线PC 的解析式，得：
20b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：22
k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线PC 的解析式为y =-2x −2，
联立直线PC 和抛物线方程，得：
22122142
x x x -=---， 解得：x 1=0，y 1=−2，x 2=-6，y 2=10，
点P 的坐标为(-6，10)，
综上所述：当PCM 是直角三角形时，点P 的坐标为(2，−2)或(-6，10)；
②如图2所示，在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线；
（a ）当以CM 为底时，过A 点做CM 的平行线AN ，直线AN 平行于CM 且过点A ，则斜率为12，AN 的方程为：1(+2)2y x =，则中位线方程式为：1122
y x =-； （b ）当以AM 为底时，因为M 为P 点做x 轴垂线与CB 的交点，则M 的横坐标为t ，且在直线BC 上，则M 的坐标为：1
,22M t t -（），其中4t >，则AM 的方程为：
44+242t t y x t t --=++，过C 点做AM 的平行线CQ ，则CQ 的方程为：4224
t y x t -=-+ ，则中位线方程式为：4412424
t t y x t t --=
+-++； （c ）当以AC 为底时，AC 的方程式为：2y x =--，由b 可知M 的坐标为：1,22M t t -（），过M 做AC 的平行线MR ，则MR 的方程为：322
y x t =-+-，则中位线方程式为：324
y x t =-+-； 综上所述：当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，直线解析式为：1122y x =
-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++． 【点睛】
本题考查了一次函数坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等，解题的关键是掌握三角形的顶点到中位线的距离相等．。