九年级上册数学 压轴解答题试卷(word版含答案)
- 格式:doc
- 大小:2.15 MB
- 文档页数:30
九年级上册数学 压轴解答题试卷(word 版含答案)
一、压轴题
1.如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,点B 的坐标为(3,
4),一次函数2
3
y x b =-
+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ,并且满足OD BE =,M 是线段DE 上的一个动点 (1)求b 的值;
(2)连接OM ,若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3,求点M 的坐标; (3)设N 是x 轴上方平面内的一点,以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形,求点N 的坐标.
2.如图,在平面直角坐标系中,直线1l :1
62
y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ,且与直线2l :1
2
y x =
交于点A .
(1)分别求出点A 、B 、C 的坐标;
(2)若D 是线段OA 上的点,且COD △的面积为12,求直线CD 的函数表达式; (3)在(2)的条件下,设P 是射线CD 上的点,在平面内里否存在点Q ,使以O 、
C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理
由.
3.如图,在四边形ABCD 中,9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===,,点
P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动,点M 从点A 出发以15/cm s 的速
度沿AB 向点B 匀速移动,点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动.点
P M N 、、同时出发,当其中一个点到达终点时,其他两个点也随之停止运动,设移动时
间为ts . (1)如图①,
①当a 为何值时,点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值;
②连接AP BD 、交于点E ,当AP BD ⊥时,求出t 的值; (2)如图②,连接AN MD 、交于点F .当38
83
a t ==
,时,证明:ADF CDF S S ∆∆=.
4.如图,⊙O 的直径AB =26,P 是AB 上(不与点A ,B 重合)的任一点,点C ,D 为⊙O 上的两点.若∠APD =∠BPC ,则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”.
(1)若∠BPC =∠DPC =60°,则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗?并说明理由; (2)猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系,给出证明(提示:延长CP 交⊙O 于点E );
(3)若直径AB 的“回旋角”为120°,且△PCD 的周长为24+133,直接写出AP 的长. 5.已知,如图1,⊙O 是四边形ABCD 的外接圆,连接OC 交对角线BD 于点F ,延长AO 交BD 于点E ,OE=OF.
(1)求证:BE=FD ;
(2)如图2,若∠EOF=90°,BE=EF ,⊙O 的半径25AO =ABCD 的面积; (3)如图3,若AD=BC ;
①求证:22•AB CD BC BD +=;②若2•12AB CD AO ==,直接写出CD 的长. 6.如图1,Rt △ABC 两直角边的边长为AC =3,BC =4.
(1)如图2,⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ,与边BC 相切于点Y .请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点,以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S ,你认为能否确定S 的最大值?若能,请你求出S 的最大值;若不能,请你说明不能确定S 的最大值的理由.
7.如图,点A 和动点P 在直线l 上,点P 关于点A 的对称点为Q .以AQ 为边作
Rt ABQ △,使90BAQ ∠=︒,:3:4AQ AB =,作ABQ △的外接圆O .点C 在点P 右
侧,4PC =,过点C 作直线m l ⊥,过点O 作OD m ⊥于点D ,交AB 右侧的圆弧于点
E .在射线CD 上取点
F ,使3
2
DF CD =,以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ,设3AQ x =
(1)用关于x 的代数式表示BQ 、DF .
(2)当点P 在点A 右侧时,若矩形DEGF 的面积等于90,求AP 的长. (3)在点P 的整个运动过程中,当AP 为何值时,矩形DEGF 是正方形.
8.如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠.
(1)求证: AC 是⊙O 的切线;
(2)若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F , ①求证: CA CF =;
②若⊙O 的半径为3,BF =2,求AC 的长.
9.如图,已知矩形ABCD 中,BC =2cm ,AB =23cm ,点E 在边AB 上,点F 在边AD 上,点E 由A 向B 运动,连结EC 、EF ,在运动的过程中,始终保持EC ⊥EF ,△EFG 为等边三角形.
(1)求证△AEF ∽△BCE ;
(2)设BE 的长为xcm ,AF 的长为ycm ,求y 与x 的函数关系式,并写出线段AF 长的范围;
(3)若点H 是EG 的中点,试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上,并求在点E 由A 到B 运动过程中,点H 移动的距离.
10.已知,如图Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 为AC 的中点,Q 从点A 运动到B ,点Q 运动到点B 停止,连接PQ ,取PQ 的中点O ,连接OC ,OB . (1)若△ABC ∽△APQ ,求BQ 的长;
(2)在整个运动过程中,点O 的运动路径长_____;
(3)以O 为圆心,OQ 长为半径作⊙O ,当⊙O 与AB 相切时,求△COB 的面积.
11.抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ,作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交
于点A 、B ,无论h 、k 为何值,AB 的长度都为4. (1)请直接写出a 的值____________; (2)若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等, ①求b 的值;
②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴,交抛物线于M 、N 两点,且4QM QN +=,求
c 的取值范围;
(3)若1c b =--,2727b -<<AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ,将抛
物线绕原点逆时针旋转α,且1
tan 2
α=
,此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点,若点D 在点C 上方,请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上,并求CD 的最大值.
12.如图,抛物线2
)1
2
(0y ax x c a =-
+≠交x 轴于,A B 两点,交y 轴于点C .直线1
22
y x =
-经过点,B C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P 是抛物线上一动点,过P 作x 轴的垂线,交直线BC 于M .设点P 的横坐标是
t .
①当PCM ∆是直角三角形时,求点P 的坐标;
②当点P 在点B 右侧时,存在直线l ,使点,,A C M 到该直线的距离相等,求直线解析式y kx b =+(,k b 可用含t 的式子表示).
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、压轴题
1.(1)b=3;(2)点M 坐标为7(1,)3;(3)93(,)42-或3654(,)1313
【解析】 【分析】
(1)首先在一次函数的解析式中令x=0,即可求得D 的坐标,则OD=b ,则E 的坐标即可利用b 表示出来,然后代入一次函数解析式即可得到关于b 的方程,求得b 的值; (2)首先求得四边形OAED 的面积,则△ODM 的面积即可求得,设出M 的横坐标,根据三角形的面积公式即可求得M 的横坐标,进而求得M 的坐标;
(3)分两种情况进行讨论,①四边形OMDN 是菱形时,M 是OD 的中垂线与DE 的交点,
M 关于OD 的对称点就是N ;②四边形OMND 是菱形,OM=OD ,M 在直线DE 上,设出M 的坐标,根据OM=OD 即可求得M 的坐标,则根据OD ∥MN,且OD=MN 即可求得N 的坐标. 【详解】
(1)在2
3
y x b =-+中,令x=0,解得y=b , 则D 的坐标是(0,b),OD=b , ∵OD=BE ,
∴BE=b ,则点E 坐标为(3,4-b ),
将点E 代入2
3
y x b =-+中,得:4-b=2+b, 解得:b=3; (2)如图,∵OAED S 四边形=
11
()(31)3622
OD AE OA +=⨯+⨯=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13
=42
ODM OAED S S ∆=
四边形 设M 的横坐标是a ,则13
322
a ⨯=, 解得:1a =, 将1x a ==代入2
33
y x =-
+中,得: 27333
y =-⨯+=
则点M 坐标为7
(1,)3
;
(3)依题意,有两种情况:
①当四边形OMDN 是菱形时,如图(1),M 的纵坐标是32
, 把32y =
代入2
33
y x =-+中,得: 23332x -+=,解得:94
x =,
∴点M 坐标为93(,)42
, 点N 坐标为93(,)42
-;
②当四边形OMND 是菱形时,如图(2),OM =OD =3, 设M 的坐标2
(,3)3
m m -
+, 由OM=OD 得:2
22
(3)93
m m +-+=, 解得:36
13
m =
或m=0(舍去), 则点M 坐标为3615(,)1313
, 又MN ∥OD ,MN=OD=3,
∴点N 的坐标为3654(
,)1313
, 综上,满足条件的点N 坐标为93(,)42
-或3654(
,)1313
.
【点睛】
本题考查一次函数与几何图形的综合,涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识,解答的关键是认真审题,找出相关知识的联系点,运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算. 2.(1)A(6,3),B(12,0),C(0,6);(2)y=-x+6;(3)满足条件的Q 点坐标为:(-3,3)或22)或(6,6). 【解析】 【分析】
(1)根据坐标轴上点的坐标特点,可求出B,C两点坐标.两个函数解析式联立形成二元一次方程组,可以确定A点坐标.(2)根据坐标特点和已知条件,采用待定系数法,即可作答.(3)在(2)的条件下,设P是射线CD上的点,在平面内存在点Q,使以O、C、P、2为顶点的四边形是菱形,如图所示,分三种情况考虑:①当四边形OP1Q1C为菱形时,由∠COP1=90°,得到四边形OP1Q1C为正方形;②当四边形OP2CQ2为菱形时;③当四边形OQ3P3C为菱形时;分别求出Q坐标即可.
【详解】
解:(1)由题意得
1
6
2
1
2
y x
y x
⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
解得
6
3 x
y
=⎧
⎨
=⎩
∴A(6,3)
在y=-1
6
2
x+中,当y=0时,x=12,
∴B(12,0)
当x=0时,y=6,
∴C(0,6).
(2)∵点D在线段OA上,
∴设D(x,1
2
x) (0≤x≤6)
∵S△COD=12
∴1
2
×6x=12
x=4
∴D(4,2),
设直线CD的表达式为y=kx+b,
把(10,6)与D(4,2)代入得
6
24
b
k b
=
⎧
⎨
=+⎩
解得
1
6 k
b
=-⎧
⎨
=
⎩
直线CD的表达式为y=-x+6
(3) 存在点2,使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形,
如图所示,分三种情况考虑:
①当四边形OP 1Q 1C 为菱形时OC==OP 1,由∠COP 1=90°,得到四边形OP 1Q 1C 为正方形,此时Q 1P 1=OP 1=OC=6,即Q:(6,6);
② 当四边形OP 2CQ 2为菱形时,OP 2=CP 2 ,由C 坐标为(0,6),得到Q 2纵坐标为3,把y=3代入直线OQ 2解析式y=-x 中,得:x=-3,此时Q 2(-3,3);
③当四边形0Q 3P 3C 为菱形时,OC=CP 3,则有OQ 3=OC=CP 3=P 3Q 3=6,设坐标为(x ,-x+6), ∵OC=CP 3
∴x 2+x 2= CP 32= OC 2=62
解得,2P 的坐标为2,2) 此时Q 322).
综上,点Q 的坐标是(-3,3)或2,2)或(6,6). 【点睛】
本题是一次函数、勾股定理、特殊的平行四边形的综合应用,是一道压轴题,在考试中第一问必须作答,二三问可以根据自己的情况进行取舍.
3.(1)① 2.5t =, 1.1a =或2t =,0.5a =;②1t =;(2)见解析 【解析】 【分析】
(1)①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时,分别列出方程即可解决问题; ②当AP BD ⊥时,由ABP BCD ≅△△,推出BP CD =,列出方程即可解决问题; (2)如图②中,连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△,推出OA OC =,可得ADO CDO S S ∆∆=,AFO CFO S S ∆∆=,推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-,即ADF CDF S S ∆∆=;
【详解】
解:(1)①90ABC BCD ∠=∠=︒,
∴当PBM PCN ≅△△时,有BM NC =,即5t t -=①
5 1.54t at -=-②
由①②可得 1.1a =, 2.5t =.
当MBP PCN ≅△△时,有BM PC =,BP NC =,即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④,
由③④可得0.5a =,2t =.
综上所述,当 1.1a =, 2.5t =或0.5a =,2t =时,以P 、B 、M 为顶点的三角形与
PCN △全等; ②AP BD ⊥, 90BEP ∴∠=︒,
90APB CBD ∴∠+∠=︒,
90ABC ∠=︒,
90APB BAP ∴∠+∠=︒, BAP CBD ∴∠=∠,
在ABP △和BCD 中,
BAP CBD AB BC
ABC BCD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
, ()ABP BCD ASA ∴≅△△,
BP CD ∴=, 即54t -=, 1t ∴=;
(2)当38a =,8
3
t =时,1DN at ==,而4CD =,
DN CD ∴<,
∴点N 在点C 、D 之间, 1.54AM t ==,4CD =, AM CD ∴=,
如图②中,连接AC 交MD 于O , 90ABC BCD ∠=∠=︒, 180ABC BCD ∴∠+∠=︒, //AB BC ∴,
AMD CDM ∴∠=∠,BAC DCA ∠=∠, 在AOM 和COD △中, AMD CDM AM CD
BAC DCA ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
, ()AOM COD ASA ∴≅△△,
OA OC ∴=,
ADO CDO S S ∆∆∴=,AFO CFO S S ∆∆=, ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-, ADF CDF S S ∆∆∴=.
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
4.(1)∠DPC是直径AB的回旋角,理由见解析;(2)“回旋角”∠CPD的度数=CD的度数,证明见解析;(3)3或23.
【解析】
【分析】
(1)由∠BPC=∠DPC=60°结合平角=180°,即可求出∠APD=60°=∠BPC,进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角;
(2)延长CP交圆O于点E,连接OD,OC,OE,由“回旋角”的定义结合对顶角相等,可得出∠APE=∠APD,由圆的对称性可得出∠E=∠D,由等腰三角形的性质可得出∠E=
∠C,进而可得出∠D=∠C,利用三角形内角和定理可得出∠COD=∠CPD,即“回旋
角”∠CPD的度数=CD的度数;
(3)①当点P在半径OA上时,在图3中,过点F作CF⊥AB,交圆O于点F,连接PF,则PF=PC,利用(2)的方法可得出点P,D,F在同一条直线上,由直径AB的“回旋角”为120°,可得出∠APD=∠BPC=30°,进而可得出∠CPF=60°,即△PFC是等边三角形,根据等边三角形的性质可得出∠CFD=60°.连接OC,OD,过点O作OG⊥CD于点G,则∠COD
=120°,根据等腰三角形的性质可得出CD=2DG,∠DOG=1
2
∠COD=60°,结合圆的直径
为26可得出CD=3PCD的周长为3DF=24,过点O作
OH⊥DF于点H,在Rt△OHD和在Rt△OHD中,通过解直角三角形可得出OH,OP的值,再根据AP=OA﹣OP可求出AP的值;②当点P在半径OB上时,用①的方法,可得:BP=3,再根据AP=AB﹣BP可求出AP的值.综上即可得出结论.
【详解】
(1)∵∠BPC=∠DPC=60°,
∴∠APD=180°﹣∠BPC﹣∠DPC=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠APD=∠BPC,
∴∠DPC是直径AB的回旋角.
(2)“回旋角”∠CPD的度数=CD的度数,理由如下:
如图2,延长CP交圆O于点E,连接OD,OC,OE.
∵∠CPB=∠APE,∠APD=∠CPB,
∴∠APE=∠APD.
∵圆是轴对称图形,
∴∠E=∠D.
∵OE=OC,
∴∠E=∠C,
∴∠D=∠C.
由三角形内角和定理,可知:∠COD=∠CPD,
∴“回旋角”∠CPD的度数=CD的度数.
(3)①当点P在半径OA上时,在图3中,过点F作CF⊥AB,交圆O于点F,连接PF,则PF=PC.
同(2)的方法可得:点P,D,F在同一条直线上.
∵直径AB的“回旋角”为120°,
∴∠APD=∠BPC=30°,
∴∠CPF=60°,
∴△PFC是等边三角形,
∴∠CFD=60°.
连接OC,OD,过点O作OG⊥CD于点G,则∠COD=120°,
∴CD=2DG,∠DOG=1
2
∠COD=60°,
∵AB=26,∴OC=13,
∴
133 CG=
∴CD=2×133
2
=133
∵△PCD的周长为24+133,∴PD+PC+CD=24+133,
∴PD+PC=DF=24.
过点O作OH⊥DF于点H,则DH=FH=1
2
DF=12.
在Rt△OHD中,OH2222
13125
OD DH
--=,
在Rt△OHP中,∠OPH=30°,
∴OP=2OH=10,
∴AP=OA﹣OP=13﹣10=3;
②当点P在半径OB上时,
同①的方法,可得:BP=3,
∴AP=AB﹣BP=26﹣3=23.
综上所述,AP的长为:3或23.
【点睛】
此题是圆的综合题,考查圆的对称性质,直角三角形、等腰三角形与圆的结合,(3)是此题的难点,线段AP的长度由点P所在的位置决定,因此必须分情况讨论.
5.(1)见详解;(2)125;(3)①见详解,②32-6
【解析】
【分析】
(1)如图1中,作OH⊥BD于H.根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可;
(2)如图2中,作OH⊥BD于H,连接OB,求出AC,BD,根据S四边形ABCD=1
2•BD•AM+
1 2•BD•CM=
1
2
•BD•AC即可求解;
(3)①如图3中,连接OB,作OH⊥BD于H.利用等腰直角三角形的性质,完全平方公式等知识即可;
②如图3中,连接OB,设DM=CM=x,想办法求出BC,DB,在Rt△BCM中,利用勾股定理构建方程即可.
【详解】
(1)证明:如图1中,作OH⊥BD于H.
∵OE=OF,OH⊥EF,
∵OH⊥BD,
∴BH=HD,
∴BE=DF;
(2)解:如图2中,作OH⊥BD于H,连接OB.
∵∠EOF=90°,OE=OF,OA=OC,
∴∠OEF=∠OAC=45°,
∴∠AME=90°,即AC⊥BD,
连接OB.设OH=a,
∵BE=EF,
∴BE=2EH=2OH=2a,
在Rt△BOH中,∵OH2+BH2=OB2,
∴a2+(3a)2=(25)2,
∴a=2或-2(舍弃),
∴BD=BE+EF+DF=6a=62,
在Rt△AOC中,AC=2AO=210,
∴S四边形ABCD=1
2
•BD•AM+
1
2
•BD•CM=
1
2
•BD•AC=
1
2
×210×62=125;
(3)①如图3中,连接OB,作OH⊥BD于H.
∵OE=OF,OA=OC,
∴∠EOH=1
2
∠EOF=
1
2
(∠EAC+∠ACO)=
1
2
×2∠OAC=∠OAC,
∴AC∥OH,
∵AD=BC,
∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°,
∴AB=2BM,CD=2DM,CM=DM,
∴AB•CD+BC2=2BM•2DM+BM2+CM2=(BM+DM)2=BD2;
②如图3中,连接OB,设DM=CM=x,
∵∠BOC=2∠BDC=90°,
∴BC=2OB=26,
∵AB•CD+BC2=BD2,AB•CD=AO2=12,
∴12+24=BD2,
∴BD=6(负根已经舍弃),
在Rt△BCM中,∵BC2=BM2+CM2,
∴(26)2=(6-x)2+x2,
∴x=3-3或3+3(舍弃),
∴CD=2x=32-6.
【点睛】
本题属于圆综合题,考查了垂径定理,等腰三角形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
6.(1)作图见解析;(2)4
9 .
【解析】
试题分析:(1)作出∠B的角平分线BD,再过X作OX⊥AB,交BD于点O,则O点即为⊙O的圆心;
(2)由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定,故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切;⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时;⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论.
试题解析:(1)如图所示:
①以B为圆心,以任意长为半径画圆,分别交BC、AB于点G、H;②分别以G、H为圆
心,以大于2
3
GH为半径画圆,两圆相交于D,连接BD;③过X作OX⊥AB,交直线BD于
点O,则点O即为⊙O的圆心.
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时,由角平分线的性质可知,动点P是
∠ABC的平分线BM上的点,如图1,在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1(不为∠ABC
∵OX=BOsin∠ABM,P1Z=BPsin∠ABM,当BP1>BO时,P1Z>OX即P与B的距离越大,⊙P 的面积越大,这时,BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点;如图2,
∵∠BPA>90°,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则E在边AB上,
∴以P为圆心、PC为半径作圆,则⊙P与CB相切于C,与边AB相切于E,即这时⊙P是符合题意的圆,
时⊙P的面积就是S的最大值,
∵AC=1,BC=2,∴AB=5,
设PC=x,则PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中,PA2=PE2+AE2,
∴(1-x)2=x2+(5-2)2,
∴x=25-4;
②如图3,
同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时,设PC=y,则(2-y)2=y2+(5-1)2,
∴y=51 ;
③如图4,
同理可得,当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时,设PF=z,
∵△APF∽△PBE,
∴PF:BE=AF:PE,
∴, ∴z=49
. 由①、②、③可知,
49>512
->
∴z >y >x , ∴⊙P 的面积S 的最大值为π.
考点:1. 切线的性质;2.角平分线的性质;3.勾股定理;4.作图—复杂作图.
7.(1)(1)5BQ x =;3FD x =(2)9AP =(3)12AP =或65
AP =
或3AP = 【解析】
【分析】
(1)由:3:4AQ AB =、3AQ x =,易得4AB x =,由勾股定理得BQ ,再由中位线的性质得12
AH BH AB ==,求得CD 、FD ; (2)利用(1)的结论,易得CQ 的长,作OM AQ ⊥于点M ,则//OM AB ,由垂径定理得32
QM AM x ==,由矩形性质得OD MC =,利用矩形面积求得x ,得出结论; (3)点P 在A 点的右侧时,利用(1)、(2)的结论和正方形的性质得243x x +=,得AP ;点P 在A 点的左侧时,当点C 在Q 右侧,当407x <<
时,473x x -=,解得x ,易得AP ;当
4273x ≤<时,743x x -=,得AP ;当点C 在Q 的左侧时,即23x ≥,同理得AP .
【详解】
解:(1)∵:3:4AQ AB =,3AQ x =
∴4AB x =
∴在Rt ABQ △中,225BQ AQ AB x =
+= ∵OD m ⊥,m l ⊥
∴//OD l
∵OB OQ =
∴122
AH BH AB x ==
= ∴2CD x =
∴332
FD CD x == (2)∵点P 关于点A 的对称点为Q
∴3AP AQ x ==
∵4PC =
∴64CQ x =+
过点O 作OM AQ ⊥于点M ,如图:
∵90BAQ ∠=︒
∴//OM AB
∵O 是ABQ △的外接圆,90BAQ ∠=︒
∴点O 是BQ 的中点 ∴1322
QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-
=+ ∵1522
OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=
+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形
∴13x =,25x =-(不合题意,舍去)
∴39AP x ==
∴当点P 在点A 右侧时,若矩形DEGF 的面积等于90,AP 的长为:9.
(3)若矩形DEGF 是正方形,则DE DF =
①点P 在A 点的右侧时,如图:
∴243x x +=
∴4x =
∴312AP x ==
②点P 在A 点的左侧时
I.当点C 在Q 右侧时
i.当 407
x <<时,如图:
∵47DE x =-,3DF x =
∴473x x -=
∴25
x = ∴635AP x x ==
ii.当4273
x ≤<时,如图:
∵74DE x =-,3DF x =
∴743x x -=
∴1x =(不合题意,舍去)
II. 当点C 在Q 的左侧时,即23
x ≥,如图:
∵74DE x =-,3DF x =
∴743x x -=
∴1x =
∴33AP x ==
∴综上所述,当12AP =或65
AP =或3AP =时,矩形DEGF 是正方形. 故答案是:(1)5BQ x =;3FD x =(2)9AP =(3)12AP =或65
AP =
或3AP = 【点睛】 本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等,综合性强,难度大,正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题.
8.(1)详见解析;(2)①详见解析;②8
【解析】
【分析】
(1)先得到90ADB ∠=︒,利用圆周角定理得到DBA DAC ∠=∠,即可证明AC 是切线;
(2)①利用等弧所对的圆周角相等,得到BAE DAE ∠=∠,然后得到
CFA CAF ∠=∠,即可得到结论成立;
②设AC CF x ==,利用勾股定理,即可求出AC 的长度.
【详解】
(1)证明: ∵AB 是⊙O 的直径,
∴90ADB ∠=︒,
∴90DBA DAB ∠+∠=︒,
∵DEA DBA ∠=∠,DAC DEA ∠=∠,
∴DBA DAC ∠=∠,
∴90DAC DAB ∠+∠=︒,
∴90CAB ∠=︒,
∴AC 是⊙O 的切线;
(2)① ∵点E 是弧BD 的中点,
∴BAE DAE ∠=∠,
∵CFA DBA BAE ∠=∠+∠,CAF CAD DAE ∠=∠+∠,
∴CFA CAF ∠=∠
∴CA CF =;
② 设CA CF x ==,
在Rt ABC ∆中,
2BC x =+,CA x =,6AB =,
由勾股定理可得
222(2)6x x +=+,
解得:8x =,
∴8AC =.
【点睛】
本题考查了切线的判定,等角对等边,以及勾股定理,要证直线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
9.(1)详见解析;(2)21y 2x =-
,302AF ≤≤;(3)3. 【解析】
【分析】
(1)由∠A =∠B =90°,∠AFE =∠BEC ,得△AEF ∽△BCE ;(2)由(1)△AEF ∽BCE 得
AF AE
BE BC =,y x =,即212y x =-+,然后求函数最值;(3)连接FH ,取EF 的中点M ,证MA =ME =MF =MH ,则A 、E 、H 、F 在同一圆上;连接AH ,证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上,得∠EAH =∠EFH =30°,线段AH 即为H 移动的路径,在直角三角
形ABH 中,
60AH sin AB =︒=,可进一步求AH. 【详解】
解:(1)在矩形ABCD 中,∠A =∠B =90°,
∴∠AEF +∠AFE =90°,
∵EF ⊥CE ,
∴∠AEF +∠BEC =90°,
∴∠AFE =∠BEC ,
∴△AEF ∽△BCE ;
(2)由(1)△AEF ∽BEC 得
AF AE BE BC =,232
y x x -=, ∴2132y x x =-
+, ∵2132y x x =-
+=213(3)22x --+, 当3x =时,y 有最大值为32
, ∴302
AF ≤≤; (3)如图1,连接FH ,取EF 的中点M ,
在等边三角形EFG 中,∵点H 是EG 的中点,
∴∠EHF =90°,
∴ME =MF =MH ,
在直角三角形AEF 中,MA =ME =MF ,
∴MA =ME =MF =MH ,
则A 、E 、H 、F 在同一圆上;
如图2,连接AH ,
∵△EFG 为等边三角形,H 为EG 中点,∴∠EFH =30°
∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°,
如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径,
在直角三角形ABH 中,
3602
AH sin AB =︒=, ∵AB =23
∴AH =3, 所以点H 移动的距离为3.
【点睛】
此题主要考查圆的综合问题,会证明三角形相似,会分析四点共圆,会运用二次函数分析最值,会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键.
10.(1)BQ=8.2cm ;(2)5cm ;(3)S △BOC =
39625
. 【解析】
【分析】 (1)根据ABC APQ ∆~∆得AC AB AQ AP
=,从而得到AQ 的长即可求出BQ 的长; (2)由点Q 与点A 重合和点Q 与点B 重合时,可以确定点O 的位置,再根据点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时,由点O 是PQ 的中点,点F 是PB 的中点可知OF 是PBQ ∆的中位线,从而得到点O 的运动轨迹是APB ∆的 中位线,即线段EF ,即可求得答案;
(3)连接AO ,过点O 作ON AC ⊥ ,先证明APQ ABC ∆~∆得到
AQ AP PQ AC AB BC == ,所以求得,AQ PQ 的值,且OP OQ =,再证明PON PAQ ∆~∆得到ON PO AQ PA
=,求得ON 的值,再根据BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--即可求得答案;
【详解】
解:(1)如图1所示,
∵90,6,8C AC cm BC cm ∠===
∴10AB cm =
又∵点P 为AC 的中点,
∴3AP cm =
∵ABC APQ ∆~∆
∴AC AB AQ AP = ,即6103
AQ = 解之得: 1.8AQ =
则8.2BQ AB AQ cm =-=
(2)如图2,
当点Q 与点A 重合时,点O 位于点E 的位置,
当点Q 与点B 重合时,点O 位于点F 的位置,
则
EF 是△APB 的中位线,
∴EF ∥AB ,且EF =
12AB =5,152
EF AB == 而当点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时,
∵点O 是PQ 中点,点F 是PB 的中点,
∴OF 是△PBQ 的中位线, ∴OF ∥BQ ,
∴点O 的运动轨迹是线段EF , 则点O 的运动路径长是5cm ;
故答案为5cm . (3)如图3,连接AO ,过点O 作ON AC ⊥于点N ,
∵⊙O 与AB 相切,
∴PQ AB ⊥ ,即90AQP ∠= ,
∵,90PAQ BAC ACB AQP ∠=∠∠=∠=
∴APQ ABC ∆~∆
∴AQ AP PQ AC AB BC == ,即36108
AQ PQ == 解之得: 912,55AQ PQ =
= 则65
OP OQ == ∵ON AC ⊥
∴90PNO PQA ∠=∠=
又∵OPN APQ ∠=∠
∴PON PAQ ∆~∆,
∴ON PO AQ PA = ,即6
593
5
ON = , 解之得:1825
ON = 则BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--
111•••222
BC AC AB OQ AC ON =-- 11611868106225225
=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 39625
= 【点睛】
本题主要考查了相似三角形和圆的综合问题,掌握圆的切线判定、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、割补法求面积等知识点是解题关键.
11.(1)1;(2)①4b =-;②26c ≤<;(3)D 一定在线段AB 上,
2
=CD 【解析】
【分析】
(1)根据题意顶点P (k ,h )可将二次函数化为顶点式:()2
y a x k h =-+,又4y k =+与抛物线交于点A 、B ,无论h 、k 为何值,AB 的长度都为4,即可得出a 的值; (2)①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等,可得到顶点P 的横坐标,根据韦达定理结合(1)即可得到b 的值,
②根据(1)和(2)①即可得二次函数对称轴为x=2,利用点Q (0,2)关于对称轴的对称点R (4,2)可得QR=4,又QR 在直线y=2上,故令M 坐标(t ,2)(0≤t <2),代入二次函数即求得c 的取值范围;
(3)由c=-b-1代入抛物线方程即可化简,将抛物线绕原点逆时针旋转αα,且tanα=2,转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ,且tanα=2,可得到直线l 的解析式,最后联立直线方程与抛物线方程运算求解.
【详解】
解:(1)根据题意可知1二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的顶点为P (k ,h ),
故二次函数顶点式为()2y a x k h =-+,
又4y k =+与抛物线交于点A 、B ,且无论h 、k 为何值,AB 的长度都为4,
∴a=1;
故答案为:a=1.
(2)①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等 ∴222
b b x a =-=-= ∴4b =-
故答案为:4b =-.
②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R
当2c =时,2
42y x x =-+
令2y =,则2242x x =-+
解得14x =,20x =
此时()0,2M ,()4,2N ,4MN QR ==
∵4QM QN +=∵QM NR =
∴4QN NR QR +==
∴N 在线段QR 上,同理M 在线段QR 上
设(),2M m ,则02m ≤<,224m m c =-+
2242(2)6c m m m =-++=--+
∵10-<,对称轴为2m =,02m ≤<
∴c 随着m 的增大而增大
∴26c ≤<
故答案为:26c ≤<.
(3)∵1c b =--∴21y x bx b =+--
将抛物线绕原点逆时针旋转α,且tan 2α=,转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ,且tan 2α=,
∴l 的解析式为2y x =
221
y x y x bx b =⎧⎨=+--⎩∴2(2)10x b x b +---= ∴222
4(2)448b ac b b b ∆=-=-++=+
∴x =
∴12,22b D b ⎛-+-++ ⎝⎭ 2224412444244AB ac b b b b y k b a ---+-+=+=+==-++
124224AB D b y y b b ⎛⎫-+-=-++-++= ⎪⎝
⎭∵20b ≥
∴12404410444
D AB b y y -+-+-=≥==> ∴点1D 始终在直线AB 上方
∵222b C b ⎛-+--+- ⎝⎭
∴
222 2
4448 282
44
B
C A
b b b
y y b b b
⎛⎫
-+--+ -=-+-+--++=
⎪
⎝⎭
∴
2222
448848416 AB C
b b b b
y y
-+++--++-+ -==
()2
28216
4
b
-+-+
=
∵2727
b
-<<,即2
028
b
≤<,
∴2
2284
b
≤+<
设28
n b
=+,224
n
≤<
∴
2
(2)16
4
AB C
n
y y
--+
-=
∵
1
4
-<,对称轴为2
n=
∴当224
n
≤<时,AB C
y y
-随着n的增大而减小
∴当4
n=时,0
AB C
y y
-=
∴当224
n
≤<时,AB C
y y
>
∴区域S的边界与l的交点必有两个
∵
1
D AB
y y
>
∴区域S的边界与l的交点D一定在线段AB上
∴D AB
y y
=
∴
2
(2)16
4
D C C
AB
n
y y y y
--+
-=-=
∴当22
n=时,D C
y y
-有最大值122
+
此时
122
2
D C
x x
+
-=
由勾股定理得:()()
225210
2
C C
D D
CD x x y y
+
=-+-=,
故答案为:=
CD . 【点睛】 本题考查二次函数一般式与顶点式、韦达定理的运用,以及根与系数的关系判断二次函数交点情况,正确理解相关知识点是解决本题的关键.
12.(1)211242y x x =--;(2)①P (2,−2)或(-6,10),②1122
y x =-或324y x t =-+-或4412424
t t y x t t --=+-++ 【解析】
【分析】
(1)利用一次函数与坐标轴交点的特征可求出点B ,C 的坐标,根据点B ,C 的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式;
(2)①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC≠90°,分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑: (i )当∠MPC=90°时,PC //x 轴,利用二次函数可求出点P 的坐标;
(ii )当∠PCM=90°时,设PC 与x 轴交于点D ,易证△BOC ∽△COD ,利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标,根据点C ,D 的坐标,利用待定系数法可求出直线PC 的解析式,联立直线PC 和抛物线的解析式,通过解方程组可求出点P 的坐标; ②在ACM 中,如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等,则该直线应为ACM 的中位线,分开求解三条中位线方程即可求解.
【详解】
解:(1)因为直线交抛物线于B 、C 两点,
∴当x =0时,y =12
x −2=−2, ∴点C 的坐标为(0,−2);
当y =0时,12
x −2=0, 解得:x =4,
∴点B 的坐标为(4,0).
将B 、C 的坐标分别代入抛物线,得:
2144022a c c ⎧⨯-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩,解得:142
a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴抛物线的解析式为211242
y x x =--. (2)①∵PM ⊥x 轴,M 在直线BC 上,
∴∠PMC 为固定角且不等于90,
∴可分两种情况考虑,如图1所示:
(i )当∠MPC=90时,PC //x 轴,
∴点P 的纵坐标为﹣2,
将y p =-2,代入抛物线方程可得:
2112242
x x --=-解得: x 1=2,x 2=0(为C 点坐标,故舍去),
∴点P 的坐标为(2,−2);
(ii )当∠PCM=90°时,设PC 与x 轴交于点D ,
∵∠OBC+∠OCB=90°,∠OCB+∠OCD=90°,
∴∠OBC=∠OCD ,
又∵∠BOC=∠COD=90°,
∴BOC ∽COD (AAA ), ∴OD OC OC OB =,即OD=2
OC OB
, 由(1)知,OC=2,OB=4,
∴OD=1,
又∵D 点在X 的负半轴
∴点D 的坐标为(-1,0),
设直线PC 的解析式为:y =kx +b (k ≠0,k 、b 是常数),
将C(0,−2),D(-1,0)代入直线PC 的解析式,得:
20b k b =-⎧⎨-+=⎩,解得:22
k b =-⎧⎨=-⎩, ∴直线PC 的解析式为y =-2x −2,
联立直线PC 和抛物线方程,得:
22122142
x x x -=---, 解得:x 1=0,y 1=−2,x 2=-6,y 2=10,
点P 的坐标为(-6,10),
综上所述:当PCM 是直角三角形时,点P 的坐标为(2,−2)或(-6,10);
②如图2所示,在ACM 中,如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等,则该直线应为ACM 的中位线;
(a )当以CM 为底时,过A 点做CM 的平行线AN ,直线AN 平行于CM 且过点A ,则斜率为12,AN 的方程为:1(+2)2y x =,则中位线方程式为:1122
y x =-; (b )当以AM 为底时,因为M 为P 点做x 轴垂线与CB 的交点,则M 的横坐标为t ,且在直线BC 上,则M 的坐标为:1
,22M t t -(),其中4t >,则AM 的方程为:
44+242t t y x t t --=++,过C 点做AM 的平行线CQ ,则CQ 的方程为:4224
t y x t -=-+ ,则中位线方程式为:4412424
t t y x t t --=
+-++; (c )当以AC 为底时,AC 的方程式为:2y x =--,由b 可知M 的坐标为:1,22M t t -(),过M 做AC 的平行线MR ,则MR 的方程为:322
y x t =-+-,则中位线方程式为:324
y x t =-+-; 综上所述:当点P 在点B 右侧时,存在直线l ,使点,,A C M 到该直线的距离相等,直线解析式为:1122y x =
-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++. 【点睛】
本题考查了一次函数坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等,解题的关键是掌握三角形的顶点到中位线的距离相等.。