矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。

为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。

§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。

一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。

且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。

其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。

矩阵的秩与线性方程组线性代数的应用技巧矩阵是线性代数中的重要概念，对于解决线性方程组以及其他相关问题非常有用。

在矩阵的运算中，秩是一个重要的指标，它可以帮助我们判断矩阵的性质以及求解线性方程组的解。

一、矩阵的秩的定义矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关行数，用r(A)表示。

换言之，矩阵的秩是指矩阵经过初等行变换后，行阶梯形矩阵中非零行的个数。

二、线性方程组的解与矩阵的秩的关系线性方程组可以用矩阵来表示，对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的矩阵B，线性方程组可以表示为AX=B。

1. 当矩阵A的秩小于n时，即r(A) < n，存在自由变量，线性方程组有无穷多个解。

这是因为秩小于n时，矩阵A的行向量之间存在线性相关性，会导致方程组中存在冗余的方程，从而使得方程组的解不唯一。

2. 当矩阵A的秩等于n时，即r(A) = n，不存在自由变量，线性方程组有唯一解。

这是因为秩等于n时，矩阵A的行向量之间线性无关，不会存在冗余的方程，方程组的解是唯一的。

三、矩阵的秩的计算方法1. 初等行变换法：通过初等行变换把矩阵A化为行阶梯形矩阵，然后矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的个数。

2. 矩阵的秩与其特征值的关系：矩阵A与其特征值λ有关，矩阵A 的秩等于特征值λ不等于0的个数。

四、矩阵的秩在实际应用中的意义矩阵的秩在很多实际问题中都有广泛的应用，包括物理、工程、经济等领域。

1. 线性回归分析：在线性回归分析中，我们可以通过计算相关系数矩阵的秩来判断自变量之间的相关性。

如果相关系数矩阵的秩小于自变量的个数，说明自变量之间存在冗余，可以进行变量选择。

2. 图像处理：在图像处理中，我们可以使用矩阵的秩来判断图像的压缩比例或图像的清晰度。

秩越小的矩阵代表图像的冗余信息越多，而秩越大的矩阵则代表图像的信息丢失越少，图像越清晰。

3. 线性规划：在线性规划中，我们可以通过计算约束矩阵的秩来判断约束条件是否完全满足，进而判断解的可行性。

利用初等变换求矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中一个非常重要的概念。

它可以帮助我们分析线性方程组的解的情况以及矩阵的性质。

在理解矩阵的秩之前，我们需要了解“初等变换”是什么。

初等变换是指对矩阵进行以下三种操作之一：1. 交换矩阵的任意两行；2. 用一个非零常数乘矩阵的任意一行；3. 将矩阵中某一行加上另一行的若干倍。

通过这些操作，我们可以得到新的矩阵。

如果一个矩阵可以通过一系列的初等变换得到另一个矩阵，那么这两个矩阵就是等价矩阵。

显然，等价矩阵具有相同的秩。

我们可以利用初等变换将原矩阵化为行阶梯形矩阵或者规范形矩阵。

具体来说，行阶梯形矩阵是指具有如下形式的矩阵：$$\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$即在该矩阵中，第一行至少有一个非零元素，而且第二行非零元素的列数要比第一行少，第三行非零元素的列数要比第二行少，以此类推，最后一行最多只有一个非零元素。

规范形矩阵则更加简化，具有如下形式：即在该矩阵中，除了第一行第一个元素为1之外，其余元素都为0。

对于一个行阶梯形矩阵，它的秩就是矩阵中非零行的个数。

这是因为对于一个非零行，它一定是由前面的行通过初等变换得到的，因此它对应的向量可以写成前面所有向量的线性组合，也就是说它不会增加向量空间的维数。

举个例子，给定一个3×3的矩阵：通过初等变换，我们可以将它化为行阶梯形矩阵：可以看出，该矩阵中非零行的个数为2，因此原矩阵的秩为2。

总而言之，利用初等变换求矩阵的秩是一种非常方便和实用的方法。

高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。

由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。

于是它们等价。

而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。

同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。

3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。

证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。

而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。

显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。

B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。

例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。

矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。

换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。

于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。

其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。

问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。

非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。

其中),(~b A A = 为增广矩阵。

问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。

证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。

则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。

线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质一、初等矩阵及其性质在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的基本概念，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的秩等基本知识点。

本章我们将学习一些矩阵的“变换”的概念，主要介绍矩阵的初等变换及其性质。

矩阵的初等变换指的是将一个矩阵通过某种方式变化成另外一个矩阵的运算。

初等变换可以分为三种：交换矩阵的某两行或某两列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列，再加到另一行或另一列上。

这三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类变换。

对于任意一个矩阵A，我们可以进行一系列的初等变换，从而将A变换成标准形。

标准形主要有三种：行简化阶梯形矩阵、列简化阶梯形矩阵和对角矩阵。

从定义可以看出，行简化阶梯形矩阵和列简化阶梯形矩阵都是初等矩阵形式，是矩阵的标准形。

初等矩阵的定义：如果矩阵B是A通过一次初等变换得到的，则称矩阵B为矩阵A的初等矩阵。

我们前面已经学习过，矩阵的逆是一个重要的概念。

下面我们就来发现一个有趣的性质：一个矩阵是可逆矩阵，当且仅当它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。

定理1：矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。

以上两个定理的证明可以参考矩阵论相关的课程。

二、矩阵的等价关系在学习矩阵的初等变换时，我们介绍了三类变换，也就是矩阵的第一类、第二类和第三类变换。

我们可以使用这三类变换将一个矩阵变换成另一个矩阵。

如果对于任意的矩阵A、B，B可以通过一系列的初等变换变成A，那么我们就称A和B是等价的。

性质1：等价关系具有反身性、对称性和传递性。

性质2：如果一个矩阵可以通过初等变换化为一个标准形，则标准形是唯一的。

性质3：如果一个矩阵可逆，则它和单位矩阵等价。

性质4：如果A、B等价，则r(A)=r(B)。

三、矩阵的秩和特殊矩阵在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的秩的定义和性质。

矩阵的秩是矩阵实际所包含的信息量，因此秩是矩阵的一个重要特征。

高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。

由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。

于是它们等价。

而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。

同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。

3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。

证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。

而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。

显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。

B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。

例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组第三章主要介绍了矩阵的初等变换与线性方程组的关系，以及利用矩阵的初等变换来求解线性方程组的方法。

一、矩阵的初等变换1.矩阵的初等变换包括三种操作：互换两行、用一些非零标量乘以其中一行、将其中一行的若干倍加到另一行上。

2.初等变换的性质：初等变换保持矩阵的秩不变；有逆变换；多次初等变换的结果等于这些变换分别作用于单位矩阵的结果的乘积。

二、线性方程组的解1.线性方程组可用矩阵表示为AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知向量，B为常数列。

2.系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A，B)的秩，即r(A)=r(A，B)。

3.齐次线性方程组与非齐次线性方程组：-齐次线性方程组为AX=0，其中0为零向量。

它总有零解，即使有非零解也有无穷多个。

-非齐次线性方程组为AX=B，其中B不为零向量。

它只有唯一解或无解两种可能。

4.矩阵的秩和线性方程组解的关系：r(A)=n，即系数矩阵A的秩等于未知数的个数，则线性方程组只有唯一解；r(A)<n，则线性方程组有无穷多解或无解。

三、求解线性方程组的方法1.初等变换法：-将线性方程组的系数矩阵A和常数列B增广为(A，B)的增广矩阵。

-利用初等变换将增广矩阵化为行简化形式。

-根据化简后的增广矩阵，确定线性方程组的解。

2.矩阵的逆法：-若系数矩阵A可逆，则可将AX=B两边同时左乘A的逆矩阵A-1，得到X=A-1B。

-利用矩阵的逆可以直接求解线性方程组的解。

3.克拉默法则：-若系数矩阵A可逆，则线性方程组AX=B的解可以表示为Xi=，Ai，/，A，其中Ai是将系数矩阵A的第i列替换为常数列B后所得到的矩阵，A，是系数矩阵A的行列式。

-克拉默法则可以用来求解二元线性方程组和三元线性方程组的解。

综上所述，矩阵的初等变换与线性方程组有着密切的关系。

利用矩阵的初等变换可以简化线性方程组的求解过程，而线性方程组的解与系数矩阵的秩有关。

在求解线性方程组时，可以通过初等变换法、矩阵的逆法或克拉默法则来得到方程组的解。

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组。

这篇文章将对矩阵的初等变换及其与线性方程组的关系进行详细阐述。

一、矩阵的初等变换的定义和种类矩阵的初等变换是指对矩阵进行的三种基本操作：交换两行，用数乘一个非零常数乘以其中一行，以及把一行的倍数加到另一行上去。

这三种操作都可以表示为可逆矩阵的乘积，因此初等变换不改变矩阵的行秩和行空间。

三种初等变换可以分别表示为：1. 交换两行：用一个单位矩阵的行交换矩阵作用于原矩阵，例如将第i行与第j行交换可以表示为Pij * A，其中Pij为单位矩阵的行交换矩阵。

2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：用一个对角矩阵作用于原矩阵，例如将第i行乘以非零常数k可以表示为Di(k)*A，其中Di(k)为对角矩阵。

3. 把一行的倍数加到另一行上去：用一个单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和作用于原矩阵，例如将第j行的k倍加到第i行可以表示为Lij(k) * A，其中Lij(k)为单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和。

二、矩阵的初等变换和线性方程组的关系解线性方程组的过程中，我们常用到矩阵的初等变换来简化方程组的形式，从而更容易找到方程组的解。

下面以一个简单的线性方程组为例进行说明。

假设有一个线性方程组：a1*x1+a2*x2=b1c1*x1+c2*x2=b2将该线性方程组表示为矩阵形式：A*X=B其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。

我们可以通过矩阵的初等变换来简化系数矩阵A，从而简化方程组的求解过程。

1.交换两行：通过交换方程组的两个方程，可以改变线性方程组的次序，从而改变系数矩阵A的排列顺序。

这样做有时可以使系数矩阵更容易进行进一步的变换和求解。

2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：通过将一些方程的系数乘以一个常数k，可以改变该方程的形式。

这样做可以使一些系数简化为1，从而更容易求解。

如果系数k为0，则可以直接删除该方程。

3.把一行的倍数加到另一行上去：通过将一些方程的系数与另一个方程相加，可以使两个方程中的一些系数为0，从而进一步简化系数矩阵A。

矩阵的初等变换与线性方程组求解矩阵在数学中扮演着重要的角色，它们被广泛用于各个领域的问题求解。

在矩阵中，初等变换是一种常用的工具，用于改变矩阵的形式，进而帮助我们解决线性方程组的求解问题。

本文将详细介绍矩阵的初等变换的概念和操作，以及如何利用初等变换来求解线性方程组。

一、初等变换的概念初等变换是指在满足一定规则下对矩阵进行的一系列基本操作。

根据初等变换的不同类型，可以将其划分为三类：交换两行或列、某行或列乘以非零常数、某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上。

通过这些操作，我们可以改变矩阵的行列式、秩、高斯消元等性质，从而为线性方程组的求解提供便利。

二、初等变换的操作1. 交换两行或列：通过交换矩阵中任意两行或两列的位置，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

2. 某行或列乘以非零常数：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

3. 某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，并加到另一行或列上，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

三、利用初等变换，我们可以将线性方程组的系数矩阵通过一系列操作，转化为特殊形式的矩阵。

这个特殊形式的矩阵通常被称为行简化阶梯形矩阵或行最简矩阵。

行简化阶梯形矩阵的主对角线上的元素全为1，并且每个主对角线上方的元素全为0。

得到行简化阶梯形矩阵后，就可以利用高斯消元法等技巧，快速求解线性方程组的解。

通过矩阵变换的过程，我们可以发现行简化阶梯形矩阵的解可以直接得到，而不需要进行繁琐的计算。

四、实例分析为了更好地理解矩阵的初等变换与线性方程组求解的过程，我们来看一个具体的例子。

考虑以下线性方程组：x + y + z = 62x + 3y + 4z = 174x + 5y + 6z = 28将其转化为矩阵形式：( 1 1 1 | 6 )( 2 3 4 | 17 )( 4 5 6 | 28 )接下来，我们利用初等变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵。