2020届北大附中10月份高三数学月考试卷

北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）说明:本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟;考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上.）1.若集合A ＝{x ∈Z ||x |＜3}，B ＝{x ∈Z |x 2﹣3x ﹣4＜0}，则A ∩B ＝（ ） A. {0，1，2} B. {﹣2，﹣1，0，1，2，3} C. {﹣1，0，1，2，3} D. {﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}【答案】A 【解析】 【分析】化简集合,A B 后利用集合的交集运算进行运算可得. 【详解】因为集合{2,1,0,1,2}A =--,{0,1,2,3}B =, 所以{0,1,2}A B ⋂=, 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算,含绝对值不等式的解法,一元二次不等式的解法,属于基础题.2.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.【此处有视频，请去附件查看】3.已如函数f （x ）sinxx=，则f ′（π）+f ′（﹣π）＝（ ） A. ﹣2 B. 2 C. 2π-D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用导数公式以及导数的除法法则求导后,代入π和π-计算可得.【详解】因为f （x ）sinx x =,所以cos sin ()2x x x f x x-'=, 所以22cos sin cos()sin()()()()f f ππππππππππ-----''+-=+=-220ππππ-+=.故选:D【点睛】本题考查了导数公式以及导数的除法法则,属于基础题. 4.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件；故选A ． 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件判定． 【此处有视频，请去附件查看】5.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A. 若e a+2a=e b+3b ，则a ＞b B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A【解析】【详解】若223a b e a b +=+，必有22a b e a e b +>+． 构造函数：()2xf x e x =+，则()()f a f b >，则()20xf x e ='+>恒成立，故有函数()2xf x e x =+在x ＞0上单调递增，所以a ＞b 成立．故选A ． 6.已知曲线y ＝2sin （x 4π+）cos （4x π-）与直线y 12=相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5|等于（ ） A. π B. 2πC. 3πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】 将2sin()cos()44y x x ππ=+-化为1sin 2y x =+,根据已知条件得到关于x 的方程,求出方程的解,进而得到12345,,,,P P P P P 的横坐标,从而可得15||PP 的值. 【详解】因为2sin()cos()2sin[()]cos()44244y x x x x πππππ=+-=---22cos ()1cos(2)1sin 242x x x ππ=-=+-=+,所以由11sin 22x +=,得1sin 22x =-,所以7226x k ππ=+或11226x k ππ=+,k Z ∈,所以712x k ππ=+或1112x k ππ=+,k Z ∈,所以12345,,,,P P P P P 的横坐标依次是7117117,,,,21212121212ππππππππ+++, 所以1577||221212PP ππππ=+-=. 故选:B【点睛】本题考查了诱导公式,降幂公式,简单的三角方程,本题是一道关于关于三角函数的问题,掌握三角函数的转换公式是答题的关键,属于中档题.7.函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证． 8.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，给出如下命题：①()30f =；②直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴；③函数()y f x =在[]9,6--上为增函数； ④函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为（ ） A. ①② B. ②④C. ①②③D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定【详解】①令3x =，则由()()()63f x f x f +=+，函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得：()()()()33323f f f f =-+=，故()30f =，故①正确②由()30f =可得：()()6f x f x +=，故函数()f x 是周期等于6的周期函数()f x Q 是偶函数，y 轴是对称轴，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，故②正确③Q 当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，故()f x 在[]03，上为增函数 ()f x Q 是偶函数，故()f x 在[]30-，上为减函数Q 函数()f x 是周期等于6的周期函数故()f x 在[]96--，上为减函数，故③错误 ④Q 函数()f x 是周期等于6的周期函数()()()()93390f f f f ，∴-=-===故函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点，故④正确 综上所述，则正确命题的序号为①②④ 故选D【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解．二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分.请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上.)9.函数()f x =________． 【答案】[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 10.计算112ex dx x ⎛⎫⎰+ ⎪⎝⎭【答案】2e 【解析】 【分析】先求出被积函数2x 1x +的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可． 【详解】解：1e⎰（2x 1x+）dx ＝（x 2+lnx ） 1|e＝e 2+lne ﹣1﹣ln 1 ＝e 2故答案为e 2【点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．11.如图，点P 是函数y ＝2sin （ωx +φ）（x ∈R ，ω＞0）图象的一个最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若△MPN 为直角三角形，则ω＝_____．【答案】4π 【解析】 【分析】结合题意得到||4MN =,所以周期8T =,再根据周期公式可得答案. 【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN 的高为2， ∵△MPN直角三角形，∴根据对称性知△MPN 为等腰直角三角形，即MN ＝4，即三角函数的周期T ＝8，由T 2πω==8，得ω284ππ==， 故答案为:4π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到||4MN =,是答题的关键,属于基础题.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinC ＝2sinA ，b 2﹣a 212=ac ，则sinB 等于_____．7【解析】 【分析】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ，再由b 2﹣a 212=ac 得b 2=,然后由余弦定理可求得cos B ,根据同角公式可得sin B .【详解】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ， 又b 2﹣a 212=ac ，得b 2﹣a 212=a ×2a ＝a 2， 即b 2＝2a 2，则b 2=，由余弦定理得cosB 22222222423322244a cb a a a a ac a a a +-+-====⋅，因为0B π<<,所以sinB 239771()1416164=-=-==， 故答案为:74. 【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,同角公式,属于基础题.13.已知函数()122,0,20x x c f x x x x ⎧⎪≤≤=⎨⎪+-≤<⎩，其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是，则c 的取值范围是________．【答案】 (1). －1和0 (2). (0,4] 【解析】 【分析】根据分段函数的概念，分x 为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f （x ）的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[-2，0）时，函数f （x ）的值域恰好是[−14，2]，所以当0≤x≤c 时，f （x ）=12x 的最大值小于等于2，即可解出实数c 的取值范围. 【详解】当x≥0时，令12x =0，得x=0；当x ＜0时，令x 2+x=0，得x=-1或x=0（舍去） ∴f（x ）的零点是-1和0∵函数y=x 2+x=21124x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，在区间[-2，-12）上是减函数，在区间（-12，0）上是增函数∴当x∈[-2，0）时，函数f （x ）最小值为f （-12）=-14，最大值是f （-2）=2 ∵当0≤x≤c 时，f （x ）=12x 是增函数且值域为[0c ] ∵f （x ）的值域是[−14，2]c ≤2，即0＜c≤4【点睛】函数的零点是实数，是方程f （x ）=0的根，若能直接解方程求解，解方程即可；若不方便解方程，可通过图象法，函数的零点也是函数y=f （x ）与x 轴的交点的横坐标.分段函数的值域，是每个分段区间内对应的函数的值域的并集.14.设集合 {}n P 1,2,,n =L ，*n N ∈．记 ()f n 为同时满足下列条件的集合 A 的个数：① n A P ⊆； ②若 x A ∈，则 2x A ∉；③若 n P x A ∈ð，则 n P 2x A ∉ð． 则（1） ()f 4=_____________；（2） ()f n 的解析式（用 n 表示）()f n =_____________．【答案】 (1). 4 (2). ()n2n 122,n ,f n 2,n .+⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数【解析】（1）当4n =时，{}41,2,3,4P =，符合条件的集合A 为{}{}{}{}2,1,4,2,3,1,3,4， 所以()44f =．（2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2L ，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是2k x m =⋅，其中m 为奇数，k N +∈．由条件知，若m A ∈，则m A k ∈⇔为偶数；若m A Ï，则m A k ∈⇔为奇数． 于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设n Q 是n P 中所有奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集个数． 当n 为偶数（或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n（或12n +）， 所以()2122,2,nn n f x n 为偶数为奇数+⎧⎪=⎨⎪⎩.点睛：本题主要考查了有关集合的创新性试题和函数的解析式的求解问题，其中解答中涉及到元素与集合的关系，求解函数的解析式，以及集合之间的包含关系等知识点的综合考查，试题比较新颖，具有一定的创新性，解答是需要认真审题，仔细作答，有一定的难度，属于难题.三、解答题（本大题共6道小题，共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上.) 15.在ABC V 中，AC=6，4cos .54B C π==， （1）求AB 的长； （2）求()6cos A π-的值.【答案】（1）52（2）72620- 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ，再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以2243sin 1cos 1(),55B B =-=-= 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以26sin 25 2.3sin 5AC CAB B⨯⋅===（2）在ABC V 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cossin sin,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故42322cos 525210A =-⨯+⨯=-因为0A π<<，所以272sin 1cos 10A A =-=因此23721726cos()cos cossin sin66610102A A A πππ--=+=-+= 【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等. 【此处有视频，请去附件查看】 16.有时可用函数0.115ln ,(6)(){ 4.4,(6)4ax a xf x x x x +≤-=->-描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x ∈N ），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1） 证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.【答案】（1）见解析（2）乙科 【解析】【详解】⑴中，要证明掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降，只需利用函数的单调性证明(1)()f x f x +-单调递减即可；⑵中，根据题意，()60.85f =建立方程求a 的估计值，结合给出的范围，进行判断. ⑴证明：当7x ≥时，()()0.41(3)(4)f x f x x x +-=--，(3)(4)0x x -->，函数(3)(4)y x x =--单调递增，故()()1f x f x +-单调递减， 所以当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降. ⑵解：由题意知0.115ln0.85,6a a +=-整理可得0.05,6ae a =-所以(]0.050.05620.506123.0,123.0121,127.1e a e =⋅≈⨯=∈-由此可知，该学科为乙科.【此处有视频，请去附件查看】17.已知函数f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π-）sin （4π+x ）． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的对称轴方程，并求函数f （x ）在区间[12π-，2π]上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ； （Ⅱ）最小值为﹣1，最大值为2． 【解析】【详解】（Ⅰ）f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π-）sin （4π+x ） ＝cos 2xcos23π-sin 2xsin 23π+2cos （4π+x ）sin （4π+x ） 12=-cos 2x sin 2x +sin （2π+2x ）12=-cos 2x sin 2x +cos 2x12=cos 2x sin 2x ＝cos （2x 3π+）， 由2k π﹣π≤2x 3π+≤2k π，k ∈Z 得k π23π-≤x ≤k π6π-，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ． （Ⅱ）由2x 3π+=kπ得x 26k ππ=-，即函数的对称轴方程为x 26k ππ=-，k ∈Z ， 当122x ππ-≤≤时，6π-≤2x ≤π，6π≤2x 433ππ+≤， 所以当2x 3π+=π,即3x π=时，函数f （x ）取得最小值，最小值为f （x ）＝cosπ＝﹣1，当2x 36ππ+=,即12x π=-时，函数f （x ）取得最大值，最大值为f （x ）＝cos6π=． 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式,诱导公式,函数的单调区间,对称轴,最大最小值,属于中档题.18.设函数f （x ）＝x ﹣x 2+3lnx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）证明：曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)． 【答案】（Ⅰ）极大值3ln 3324-；无极小值； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），转化为证明()0g x ≤,利用导数求得最大值即可证明结论.【详解】（Ⅰ）f （x ）的定义域是（0，+∞），f ′（x ）＝1﹣2x ()()2231323x x x x x x x--+-+++==， 令f ′（x ）＞0，解得：0＜x 32＜，令f ′（x ）＜0，解得：x 32＞， 故f （x ）在（0，32）递增，在（32，+∞）递减， 故f （x ）极大值＝f （32）3924=-+3ln 32=3ln 3324-；无极小值；（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），g ′（x ）＝﹣2x ﹣1()()2223132323x x x x x x x x x x+---++-+==-=-， 令g ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1，令g ′（x ）＜0，解得：x ＞1， 故g （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 故g （x ）max ＝g （1）＝﹣1﹣1+2+3ln 1＝0，故曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)．【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值,等价转化思想,易错警示:忽视函数的定义域,本题属于中档题.19.已知函数2(),()()xf x x ax bg x e cx d =++=+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a b c d ,,,的值;（Ⅱ）若2x ≥-时,()()f x kg x ≤,求k的取值范围.【答案】（I ）4,2,2,2a b c d ====；（II ）2[1,e ].【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意()()02,02f g ==,由导数的几何意义可知()()'04,'04f g ==,从而可求得a b c d ,,,的值．（2） 由（1）知，()()()242,21x f x x x g x e x =++=+,令()()()F x kg x f x =-,即证2x ≥-时()0F x ≥．先将函数()()()F x kg x f x =-求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得()()02,02f g ==，()()'04,'04f g == 而()()()'2,'xf x x ag x ecx d c =+=++，4,2,2,2a b c d ∴====（4分）（2）由（1）知，()()()242,21xf x x xg x ex =++=+，设函数()()()()()22142,2xF x kg x f x kex x x x =-=+---≥-，()()()()'2224221x x F x ke x x x ke =+--=+-．由题设可得()00F ≥，即1k ≥，令()'0F x =得12ln ,2x k x =-=-, ．．（6分） ①若21k e ≤<，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()'0F x <，当()1,x x ∈+∞时，()'0F x >，即F （x ）在()12,x x ∈-单调递减，在()1,x +∞单调递增，故()F x 在1x x =取最小值()1F x ， 而()()2111111224220F x x x x x x =+---=-+≥．∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ．（8分） ②若2k e =，则()()()22'22x F x ex e e =+-，∴当2x ≥-时，()'0F x ≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增，而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立， ③若2k e >，则()()22222220F kee k e ---=-+=--<，∴当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立． ．（10分）综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．（12分） 考点：用导数研究函数的性质． 【此处有视频，请去附件查看】20.对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-V 已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}．(Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B V ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +V V 的最小值；(Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =V V V V ？【答案】(1)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =，(2)4，（3）128 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X , ①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出()()ΔΔCard X A Card X B +的最小值．（Ⅲ）由P ，Q ⊆A ∪B ，且（P △A ）△（Q △B ）=A △B求出集合P ，Q 所满足的条件，进而确定集合对（P ，Q ）的个数． 试题解析：(Ⅰ)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =. (Ⅱ)根据题意可知：对于集合,C X ,①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-; ②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.所以要使()()ΔΔCard X A Card X B +的值最小,2,4,8一定属于集合X ;1,6,10,16是否属于X 不影响()()ΔΔCard X A Card X B +的值;集合X 不能含有A B ⋃之外的元素. 所以当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,()()ΔΔCard X A Card X B +取到最小值4.(Ⅲ)因为()(){|1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-, 所以ΔΔA B B A =.由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅.所以对任意元素x ,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅.所以()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =. 所以()()ΔΔΔΔA B C A B C =.由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =知：()()ΔΔΔΔP Q A B A B =. 所以()()()()()ΔΔΔΔΔΔΔΔP Q A B A B A B A B =. 所以ΔΔP Q ∅=∅. 所以ΔP Q =∅,即P Q =. 因为,P Q A B ⊆⋃,所以满足题意的集合对(),P Q 的个数为72128=.点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,C X ,若a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+，由此可得结论；(3)由题意易得ΔΔA B B A =，由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅，易知()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =，由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =可得()()ΔΔΔΔP Q A B A B =，则结论易得.。

北京市师大附中上学期高三年级月考数学试卷（文科）第Ⅰ卷（试题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知βα,表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 设()π,0∈x ，则函数x x y sin 22sin +=的最小值是（ ） A. 2B. 49C. 25D. 33. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（ ）A. 2B. 1C.32D.31 4. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S （ ） A.－11B. －8C. 5D. 115. 已知0,0>>b a ，若不等式ba mb a +≥+212恒成立，则m 的最大值等于（ ） A. 10B. 9C. 8D. 7 6. 若正项数列}{n a 满足043,221211=--=++n n n n a a a a a ，则}{n a 的通项=n a （ ）A. 122-=n n aB. nn a 2=C. 122+=n n aD. 322-=n n a7. 给出如下四个命题：①若0,0≥≥b a ，则b a b a +≥+)(222； ②若0>ab ，则b a b a +<+；③若4,4,0,0>>+>>ab b a b a ，则2,2>>b a ； ④若R c b a ∈,,,，且1=++ca bc ab ，则3)(2≥++c b a ； 其中正确的命题是（ ）A. ①，②B. ①，④C. ②，③D. ③，④8. 等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别为n S 和n T ，对一切自然数n 都有132+=n n T S n n ，则=55b a （ ）A.32 B.149 C.3120 D.1711 9. 已知函数R x x x x f ∈+=,)(3，若当20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A. )1,0(B. )0,(-∞C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,D. )1,(-∞10. 已知函数12)(-=x x f ，若()⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫⎝⎛=21log ,3log ,2ln 132f c f b f a ，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A. c a b <<B. c b a <<C. b c a <<D. a c b <<二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11. 设实数y x ,满足,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--y y x y x 则x y 的最大值是 。

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷上学期高三10月月考文科数学试题创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31 审核人： 北堂本一 创作单位： 雅礼明智德学校一、选择题1.已知集合{}{}31,|,|3m x x n x x =-<<=≤-则m n ⋃= ( ) A.∅B.{}|3x x ≥- C.{}|1?x x ≥ D.{}|1x x <2.已知复数11iz i+=-,则复数z 的模为( ) A.2B.2C.1D.0 3已知向量(,1),(3,6),ax b a b ==⊥ ,则实数的值为()A.-2B.12C.2D. 12—4.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为( ) A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.75.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的,a b 分别为5,2,则输出的n = ( ) A.2B.3C.4D.56.已知,x y 满足不等式组22y x x y x ⎧≤+≥≤⎪⎨⎪⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为( )A.4B.6C.8D.107.已知a 为函数()312f x x x =-的极小值点,则a =( )A.16B.2C.-16D. -28.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且316,4S a ==,则公差d 等于( ) A.1B.53C.3D.2- 9.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至多需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.310D.3810.如下图,在ABC ∆中,1,3AN NC P =是BN 上的一点,若29AP mAB AC =+,则实数m 的值为( ) A.13B.19C.3D.1 11.设0,0a b >>.若1a b +=,则1122a b+的最小值是( ) A.1B.18C.2D.4 12.已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a = ( )A.1B.12C.13D.12- 二、填空题13.若命题2:,log 0p x R x ∀∈≥,则p ⌝是__________。

北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。

北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题 1.已知集合,B ＝{|(1)(3)0}x x x --<,则A∩B=（ ）A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {|2x x >或1}x <【答案】B 【解析】试题分析：{|(1)(3)0}{|13}B x x x x x x =--<=<< 又{}2A x x =所以{|23}A B x x ⋂=<< 故答案选B考点：集合间的运算．2.若角θ的终边过点()3,4P -,则()tan θπ+=( ) A.34B. 34-C.43D. 43-【答案】D 【解析】分析：利用任意角三角函数的定义,诱导公式,求得要求的式子的值详解：Q 角θ的终边过点()34P -，, 则()4tan 3y tan x θπθ+===- 故选D点睛：本题主要考查了任意角的三角函数的定义,属于基础题,结合诱导公式运用定义即可求出结果。

3.已知函数,log ab y x y x ==的图像如图所示,则A. 1b a >>B. 1b a >>C. 1a b >>D.1a b >>【答案】A 【解析】由图象,得log b y x =在(0,)+∞上单调递增,即1b >,ay x =在[0,)+∞上单调递增,且增加得越来越慢,即01a <<,则1b a >>.故选A.【点睛】本题考查对数函数、幂函数的图象和性质.解决本题的难点是利用幂函数的图象判定幂指数a 与1的大小,若0a >时,幂函数a y x =在[0,)+∞上单调递增,要与常见函数2y x =、y x =、12y x =的图象对照确定.4.已知函数()f x 的定义域为R ,则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：()2f x x =满足()00f =,但不是奇函数,因此充分性不成立；若()f x 是奇函数,又定义域为R ,因此()()()0000f f f =-⇒=,必要性成立,因此选B. 考点：充要关系【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 （1）命题判断法：设“若p,则q”为原命题,那么：①原命题为真,逆命题为假时,p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假,逆命题为真时,p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时,p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时,p 是q 的既不充分也不必要条件． （2）集合判断法：从集合的观点看,建立命题p,q 相应的集合：p ：A ＝{x|p(x)成立},q ：B ＝{x|q(x)成立},那么：①若A ⊆B,则p 是q 的充分条件；若A ≠⊂B 时,则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A,则p 是q 的必要条件；若B ≠⊂A 时,则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ⊆B 且B ⊆A,即A ＝B 时,则p 是q 的充要条件． （3）等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件． 5.已知3cos ,(,0)42παα=∈-,则sin 2α的值为（ ）A. 38B. 38-D. 【答案】D 【解析】试题分析：由题意sin α===,所以sin 22sin cos ααα=32(4=⨯⨯=故选D ． 考点：同角间的三角函数关系,二倍角公式．6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏【答案】B 【解析】【详解】设塔顶的a 1盏灯, 由题意{a n }是公比为2的等比数列,∴S 7=()711212a --=381,解得a 1=3． 故选：B ．7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 A. 4 B. 5 C. 6D. 7【答案】C 【解析】分析：对于四个选项中给出的参赛人数分别进行分析,看是否满足条件,然后可得结论． 详解：对于A,若参赛人数最少为4人,则当冠军3次平局时,得3分,其他人至少1胜1平局时,最低得3分,所以A 不正确．对于B,若参赛人数最少为5人,当冠军1负3平局时,得3分,其他人至少1胜1平局,最低得3分,所以B 不正确．对于C,若若参赛人数最少为6人,当冠军2负3平局时,得3分,其他人至少1胜1平局,最低得3分,此时不成立；当冠军1胜4平局时,得6分,其他人至少2胜1平局,最低得5分,此时成立．综上C 正确．对于D,由于7大于6,故人数不是最少．所以D 不正确． 故选C ．点睛：本题考查推理问题,考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要根据所给出的条件进行判断、分析,看是否得到不合题意的结果．8.已知定义在R 上的的数()()20xa x f x ln x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，，若方程()1=2f x 有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是（ ） A. 1122a -≤≤ B. 102a ≤<C. 01a ≤<D.102a -<≤ 【答案】A 【解析】【详解】当12a=-时,11222xx≤⎧⎪⎨-=⎪⎩或11ln()22xx>⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1210,2x e=+,即有两个不相等的实数根,所以去掉B,C,D,选A.二、填空题9.已知函数()y f x=的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数()y f x=在x=_____处取得极值.【答案】-1【解析】【分析】利用导函数的图象,通过导函数的零点,以及函数返回判断函数的极值点即可．【详解】由图象,得当1x<-时, ()0f x'<,当1x>-且2x≠时, ()0f x'>, ()20f'=,即函数()f x在(),1-∞-上单调递减,在()1,-+∞上单调递增,即函数()f x在1x=-处取得极小值.【点睛】本题考查函数的导数以及导函数的图象的应用,函数的极值的判断,是基础题．10.32-,123,2log5三个数中最大数的是．【答案】2log5【解析】【详解】31218-=<,12331=>,22log5log423>>>,所以2log5最大.11.在ABC△中,13cos,7314A a b==,则B=______________.【答案】π3或2π3【解析】因为13cos14A=,所以π6A<<且33sin A=,又因为73a b=,所以7sin3sinA B=,即3373sin B⨯=,解得3sin B=,因为0πB<<,所以π3B=或2π3B=.12.去年某地的月平均气温()y C︒与月份x（月）近似地满足函数πsin()6y a b xϕ=++.（,a b为常数,π2ϕ<<）.其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为______________,Cϕ︒=______________.【答案】 (1). 5- (2).π6【解析】由题意,得当51182x+==时,πsin(8)16ϕ⨯+=±,又因为π2ϕ<<,所以π4π11π236ϕ<+<,即4π3π32ϕ+=,π6ϕ=,即ππsin()66y a b x=++,则5ππsin()13668ππsin()3166a ba b⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,即1331aa b=⎧⎨-=⎩,即1315ab=⎧⎨=-⎩,当2x=时,2ππ1318sin()566y=-+=-.13.在等腰梯形ABCD中,已知AB DCP,2,1,60,AB BC ABC==∠=o点E和点F分别在线段BC和CD上,且21,,36BE BC DF DC==u u u r u u u r u u u r u u u r则AE AF⋅u u u r u u u r的值为．【答案】2918【解析】在等腰梯形ABCD中,由AB DCP,2,1,60,AB BC ABC==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积. 【此处有视频,请去附件查看】14.如图,线段AB =8,点C 在线段AB 上,且AC =2,P 为线段CB 上一动点,点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP =x ,V CPD 的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 ；()f x '的零点是 ．【答案】（2,4）（2分）,3（3分） 【解析】 试题分析： 由题意知,,,的三边关系如图,三角形的周长是一个定值,故其面积可用海伦公式表示出来 即令故答案为；考点：函数的实际应用． 三、解答题15.已知函数()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图象过点（0,12）,最小正周期为23π,且最小值为－1. （1）求函数()f x 的解析式.（2）若[,]6x m π∈,()f x 的值域是[1,-,求m 的取值范围. 【答案】（1）()cos(3)3f x x π=+；（2）25[,]918m ππ∈ 【解析】试题分析：（1）根据余弦函数的性质求出最大值A,再利用周期公式求出参数ω,最后根据三角函数值求出ϕ的值即可.（2）由题意求出33x π+的取值范围,然后再根据余弦函数的性质求解即可.试题解析：（1）由函数的最小值为－1,可得A=1,因为最小正周期为23π,所以ω=3.可得()cos(3)f x x ϕ=+,又因为函数的图象过点（0,12）,所以1cos 2ϕ=,而02πϕ<<,所以3πϕ=,故()cos(3)3f x x π=+.（2）由[,]6x m π∈,可知533633x m πππ≤+≤+,因为5()cos 66f ππ==,且cos π=－1,7cos6π=,由余弦曲线的性质的,7336m πππ≤+≤,得25918m ππ≤≤,即25[,]918m ππ∈. 考点：（1）余弦函数的性质和图象；（2）余弦函数性质的应用. 16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9,公差为1-的等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =,且数列{}n b 的前n 项和记为n T ,求415T T +的值.【答案】(1)211n a n =-+；(2)149. 【解析】 【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得n S ,再由数列的递推式,可得所求通项公式；（2）求得|||112|n n b a n ==-,讨论当15n 剟时,6n …时结合等差数列的求和公式,可得所求和．【详解】解：（1）Q 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9,公差为1-的等差数列, ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-,即210n S n n =-+,① 2n ∴…时,21(1)10(1)n S n n -=--+-,②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+, 又当1n =时,119a S ==,满足上式, 211n a n ∴=-+；（2）由题意,|||112|n n b a n ==-,∴当15n 剟时,212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+==-+；6n …时,2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查分类讨论思想和转化思想,考查运算能力,属于基础题．17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,()8sin 17A C +=,且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=,ABC △的面积为2,求边长b . 【答案】(1)1517；(2)2. 【解析】 【分析】（1）由三角函数的诱导公式进行转化,结合同角三角函数的基本关系式进行转化求解即可． （2）结合三角形的面积公式求出ac 的值,利用余弦定理进行转化求解即可． 【详解】解：（1）8sin()17A C +=Q , ()()8sin sin sin 17B AC A C π∴=-+=+=⎡⎤⎣⎦, Q 角B 为锐角,cos 0B ∴>,即15cos 17B =．（2）ABC ∆Q 的面积为2, 118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=,则172ac =, 6a c +=Q ,2222cos b a c ac B ∴=+-215171715()2236223617154172217a c ac ac =+--=-⨯-⨯⨯=--=g ,则2b =．【点睛】本题主要考查解三角形的应用,结合同角关系式,三角形的面积公式以及余弦定理是解决本题的关键． 18.已知函数1()xax f x e-=. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）当0a <时,求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值.【答案】（Ⅰ）(,2)-∞递增,在(2,)+∞递减；（Ⅱ）10a -≤<时,min ()1,1f x a =-<-时,min 11()aa f x e+=.【解析】试题分析：（Ⅰ）代值,求导,利用导函数的符号变化确定函数的单调性即可；（Ⅱ）求导,通过讨论a 的范围研究导函数的符号和函数的单调性,进而确定函数的最值.试题解析：（Ⅰ）当1a =时,()()12,,,x xx x f x x R f x e e '--+=∈∴= 令()0,f x '>解得:2,x < 令()0,f x '<解得:2,x >()f x ∴在(),2-∞递增,在()2,+∞递减;（Ⅱ）由()1xax f x e -=得: ()[]1,0,1xax a f x x e-+-∈'=, 令()0,0,f x a ='<Q 解得111,x a=+< ①110a+≤时,即10a -≤<时,()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立, ()f x ∴[]0,1递增,()()min 01f x f ==-;②当1011<+<时,即1a <-时,()(),,x f x f x '在[]0,1上的情况如下:()1min 111;aa f x f a e +⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭综上,10a -≤<时,()min1,1f x a =-<-时,()1min 1aa f x e+=.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值.解决本题的难点是第二步,利用分类讨论求函数的最值,分类讨论思想的高中数学重要数学思想之一,学生对“分类讨论的标准、为什么讨论”搞不清,如本题中要讨论导函数的零点和所给区间的关系.19.已知函数()39f x x x =-,函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处有公共切线,求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞,求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 5或﹣27；(2)(](),275,-∞-+∞U . 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标,利用切点处导函数值等于切线斜率且切点为两个函数交点,列出方程组,解出切点坐标和a 的值．（2）构造函数()h x ,把不等式()()f x g x <转化为()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞,利用导数分析出函数()h x 的单调区间和极值,画出函数图象,数形结合得到符合题意的a 的取值范围． 【详解】解：（1）2()39f x x '=-,()6g x x '=,设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ,0)y ,则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎨-=⎩,解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩,a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--,则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞,2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-Q ,∴令()0h x '=,得：1x =-或3, 列表：()h x +-+()h x '增 极大值 减极小值 增()h x ∴的极大值为(1)5h -=,极小值为h （3）27=-,又Q 当x →+∞时,()h x →+∞,当x →-∞时,()h x →-∞, 如图所示：∴当5a >或27a -…时,满足题意,∴实数a 的取值范围为： (](),275,-∞-+∞U ．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数画出函数的大致图象,做题时注意数形结合,是中档题．20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”：①1230n a a a a ++++=…；②1231n a a a a ++++=…. (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”； (2)若某2013阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式； (3)记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…,试证：12k S ≤. 【答案】（1）数列12-,0,12为三阶期待数列,数列38-,18-,18,38为四阶期待数列；(2)()1007,201310061007n n a n N n *-+=∈≤⨯；(3)证明见解析.【解析】 【分析】（1）数列12-,0,12为三阶期待数列,数列38-,18-,18,38为四阶期待数列．（2）设该2013阶“期待数列”的公差为d ,由于1220130a a a ++⋯+=,可得10070a =,1008a d =,对d 分类讨论,利用等差数列的通项公式即可得出．（3）当k n =时,显然1||02n S =…成立；当k n <时,根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+,即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+,再利用绝对值不等式的性质即可得出． 【详解】解：（1）数列12-,0,12为三阶期待数列, 数列38-,18-,18,38为四阶期待数列． （2）设该2013阶“期待数列”的公差为d , 1220130a a a ++⋯+=Q ,∴120132013()02a a +=,120130a a ∴+=,即10070a =, 1008a d ∴=,当0d =时,与期待数列的条件①②矛盾,当0d >时,据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=, 100610051100622d d ⨯∴+=,即110061007d =⨯, *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯,2013)n …,当0d <时,同理可得100710061007n n a -+=⨯,*(n N ∈,2013)n …．（3）当k n =时,显然1||02n S =…成立； 当k n <时,根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+, 即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+,12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=…,1||(12k S k ∴=…,2,⋯,)n ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”,推理能力与计算能力,属于中档题．。

北京市海淀区北京大学附属中学2022届高三10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}()(){}21,120A x x B x x x =-<<=+-≥，则A B ⋃=（ ） A ．[)1,1-B ．()1,1-C ．(]2,2-D ．()2,2-2．已知复数z 满足()12i 5z +=，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +3．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,1上为增函数的是（ ） A．y =B ．1y x x=+C ．e x y x =+D ．122x xy =-4．已知sin 0,tan 0αα<>，则角α可以为第（ ）象限角 A ．1 B ．2C ．3D ．45．设3a =，312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<6．已知角α和角β的终边关于角34π的终边所在直线对称，则下列结论总成立的是（ ）A ．sin cos αβ=B ．cos sin 0αβ+=C ．sin 2sin 20αβ+=D ．cos 2cos 2αβ=7．已知定义在()0,2π上的函数()()cos ,sin f x x x g x x ==，则函数()f x 与()g x 的图象的交点（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．设函数(),11,1x a x f x x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则“()f x 存在极值点”是“0a ≤”的（ ）A ．充分不要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()()2,21x a f x e g x x x x =-=--.若对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()()121f x g x -≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)22,e ⎡+∞⎣B ．)222,e ⎡-+∞⎣C ．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．(],1-∞10．如图所示，有一半径为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4圈，且水轮上的点P 在t =0时刚刚从水中浮现，则5秒钟后点P 与水面的距离是（结果精确到0.1米）（ ）A ．9.3米B ．9.9米C ．15.3米D ．15.9米二、填空题11．若1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan α的值为___________12．在ABC 中，2,cos b B A A =∠=∠=a 的值为___________ 13．设函数3,(),x x af x x x a <⎧=⎨≥⎩，若对任意实数t ，都有()f t t ≥，则实数a 的取值范围为___________14．如果函数()f x 的定义域为R ，且满足以下两条性质：（i ）对任意,x y R ∈，只要0xy ≤，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪-⎝⎭；（ii ）任意0x >，都有()0f x >，则称函数()f x 为函数.给出下列结论： ①存在()f x 为函数满足()01f =②函数是奇函数③函数在(),-∞+∞上是增函数④如果()f x 为函数，那么对任意()0,0,x x f x >∆>在[],x x x +∆上的平均变化率小于()f x 在[]0,x ∆上的平均变化率其中，所有正确结论的序号是___________三、双空题15．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.9mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，x 小时后体内的酒精含量为___________mg/mL ；他至少经过___________小时，才能开车？（精确到1小时，参考数据：lg30.48,lg 40.60≈≈）四、解答题16．已知函数()4cos cos 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期（2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间17．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象中相邻的两个对称中心的距离为2π，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知 （1）直接写出()f x 的解析式 （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到曲线()y g x =，若在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在0x 满足()0g x m ≤，求实数m 的取值范围 条件①：函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称；条件②：函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；条件③：对任意实数x ，()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立.18．已知函数()3234,f x x x ax a R =-++∈（1）当2a =时，求()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值（2）若()0f x >对()1,2x ∈恒成立，求a 的取值范围 19．在ABC 中，2222cos cos b c a ac C c A +-=+ （1）求A ∠的大小（2）若a =ABC sin sin B C +的值 20．已知函数()2223x f x x x +=+-（1）求曲线()y f x =在点()()2,2A f --处的切线方程（2）判断方程()ln f x x =的解的个数，并证明你的结论（3）若存在m 条互相平行的直线与曲线()y f x =相切，写出m 的最大值（只需写出结论）21．已知集合M 中的元素都为正整数.若任取集合M 中的元素(),a b a b <，都有2b a M -∉，则称M 为“α集”（1）判断22222221234567{1,2,3,4,5,6,7},{2,2,2,2,2,2,2}A B ==是否为“α集”，并说明理由；（2）已知集合A ，B 都为“α集”，且对于集合A 的任意元素(),i j i j a a a a >都有2i j a a B -∈：对于集合B 中的任意元素(),i j i j b b b b >，都有2i j b b A -∈.证明：A ，B 都为无限集；（3）判断是否存在集合A ，B 为“α集”，且满足：,N A B A B *⋂=∅⋃=，并证明你的结论.参考答案1．C 【分析】解不等式求得集合B ，然后由并集定义计算. 【详解】()(){}120{|(1)(2)0}{|12}B x x x x x x x x =+-≥=+-≤=-≤≤，所以{|22}A B x x ⋃=-<≤. 故选：C. 2．A 【分析】根据复数的除法法则计算. 【详解】 由题意55(12i)5(12i)12i 12i (12i)(12i)5z --====-++-. 故选：A. 3．D 【分析】先确定奇偶性，排除两个选项，再根据单调性得出正确结论． 【详解】函数y =[1,)-+∞，函数不是奇函数，e x y x =+中0x =时，1y =，函数不是奇函数．1()f x x x=+时，1()()f x x f x x -=--=-，是奇函数，115()2223f =+=，11105()33332f =+=>，()f x 在(0,1)上不是增函数，1()2222x x x x g x -=-=-，)()(22x x g g x x --=-=-是奇函数，且2x y =是增函数，2x y -=是减函数，因此22x x y -=-是增函数，在(0,1)上也是增函数， 故选：D ． 4．C 【分析】根据象限角三角函数值的符号确定．【详解】sin 0α<，则α的终边在x 边下方，tan 0α>，α是第一象限或第三象限角，综上，α是第三象限角． 故选：C ． 5．D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】333321222b a -⎛⎫==>== ⎪⎝⎭，且322222log 4log 3a c =>=>=，故c a b <<.故选：D. 6．B 【分析】根据角的终边的对称性及三角函数的定义计算可得解. 【详解】设角α终边上一点(,)P x y ， 则由角α和角β的终边关于角34π的终边所在直线对称知， (,)P y x '--在角β的终边上，所以由三角函数定义知，cos sin 0x xr rαβ+=-=. 故选：B 7．B 【分析】令()()()h x f x g x =-，求导函数()sin h x x x '=-，分析单调性结合()()()00,0,220,h h h ππππ==-<=>即可得到函数零点个数从而得出结果．【详解】令()()()cos sin h x f x g x x x x =-=-，则()sin h x x x '=-当()0,x π∈，有()sin 0h x x x '=-<；当(),2x ∈ππ，有()sin 0h x x x '=->所以函数()h x 在()0,π上单调递减，在(),2ππ上单调递增，又因为()()()00,0,220,h h h ππππ==-<=>故函数()h x 在()0,2π上有一个零点， 故函数()f x 与()g x 的图象的交点有一个． 故选：B 8．C 【分析】分别作出当0a ≤与0a >时的函数()f x 的图象即可求解． 【详解】 如图所示：当0a ≤时，函数()f x 有极大值点1x =， 当0a >时，函数()f x 无极值点，则“()f x 存在极值点”是“0a ≤”的充分必要条件， 故选：C9．B 【分析】令()()1h x g x =+，将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，结合导数得出实数a 的取值范围.【详解】令22()()12(1)1h x g x x x x =+=-=--，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以min ()(1)1h x h ==-，即1x a e x --在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立故x a x xe -+在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立令()x x xe x ϕ=-，则()()11xx x e ϕ'=+-令()()11x t x x e =+-，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()20xt x x e '=+>即函数()t x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()1()102x t x t ϕ⎛⎫'=≥=-> ⎪⎝⎭ 即函数()ϕx 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故2max ()(2)22x e ϕϕ==-所以222a e ≥- 故选：B 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，从而得出参数的范围. 10．D 【分析】5秒钟后点P 逆时针转了5436012060⨯⨯︒=︒，设AOP θ∠=，此时点P 与水面的距离是()10sin 120906h θ=︒+-︒+，计算结果即可．【详解】设AOP θ∠=，则843sin ,cos 1055θθ===，由于84sin 105θ==<，所以60θ<︒ 5秒钟后点P 逆时针转了5436012060⨯⨯︒=︒，则120180θ+︒<︒此时点P 与水面的距离是()()10sin 12090610sin 306915.9h θθ=︒+-︒+=︒++=+≈故选：D 11．3- 【分析】由两角和的正切公式计算即可. 【详解】tantan 1tan 14tan 41tan 21tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-⋅即1tan 22tan αα-+=+，解得tan 3α=-. 故答案为：3- 12【分析】由正弦定理结合倍角公式得出a 的值. 【详解】由正弦定理可得sin a A ===即a ==.13．[)1,+∞ 【分析】结合分段函数定义分类讨论． 【详解】x a <时，()f x x =，因此()f t t ≥恒成立，x a ≥时，3()f x x =，()f t t ≥，即3t t ≥，(1)(1)0t t t -+≥，10t -≤≤或1t ≥，因此()f t t ≥对任意实数t 都成立，则必有1a ≥． 故答案为：[1,)+∞． 14．②③④ 【分析】根据新定义求得(0)f ，判断①，由新定义结合奇函数、增函数和平均变化率的定义判断②③④． 【详解】①若()f x 为函数，则令0x y ==，有(0)(0)(0)f f f +=，(0)0f =，①错； ②若()f x 为函数，则(0)0f =，令y x =-，则20xy x =-≤，()()(0)0f x f x f +-==，()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，②正确； ③()f x 为函数，则()f x 是奇函数，设120x x ≤<，则210x x ->，由()f x 是奇函数得2121()()()()f x f x f x f x -=+-21211x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，由120x x ≤<，设12tan ,tan x x αβ==，02παβ≤<<，02πβα<-<， 则2121tan tan tan()011tan tan x x x x βαβαβα--==->++，所以2121()[tan()]01x x f f x x βα-=->+， 所以21()()0f x f x ->，12()()f x f x <．()f x 在[0,)+∞上是增函数，由()f x 是奇函数可得()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，③正确；④对任意0,0x x >∆>，()()1()1()x x x xf x x f x f f x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+∆-∆+∆-==⎢⎥⎢⎥++∆++∆⎣⎦⎣⎦， 又1()1x x x ++∆>，所以1()xx x x x ∆<∆++∆，所以()1()x f f x x x x ⎡⎤∆<∆⎢⎥++∆⎣⎦， 所以()()()f x x f x f x +∆-<∆，所以()()()f x x f x f x x x+∆-∆<∆∆，④正确．故答案为：②③④. 【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的奇偶性、单调性、平均变化率的定义．解题关键是利用新定义运算对函数式进行变化，结合函数的性质证明．在证明单调性时，利用两角和与差的正切公式进行变形是难点．本题属于难题．15．30.94x⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 9【分析】由题意得出x 小时后体内的酒精含量，结合对数的运算解不等式30.90.094x⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭即可.【详解】由题意可知，x 小时后体内的酒精含量为30.9(125%)0.94xx⎛⎫⨯-=⨯ ⎪⎝⎭由30.90.094x⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭得31410x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，两边取对数得31l 10g lg 4x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即125lg 3lg 43x -≥≈- 由25893<<得出至少经过9小时，才能开车. 故答案为：30.94x⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；916．（1）最小正周期为π；（2）单调递增区间为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得最小正周期； （2）由正弦函数的单调性求单调区间． 【详解】解：（1）因为()π4cos cos 6f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=ππsin s 4in 66cos cos cos x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+14sin cos 2x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x =- πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为π.（2）函数sin y x =的单调递增区间为()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .由()πππ2π22π232k x k k -≤+≤+∈Z ，得()5ππππ1212k x k k -≤≤+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .当且仅当0k =或1k =时，5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦与[]0,π有交集，分别为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17．（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）[)1,-+∞.【分析】（1）通过相邻对称中心的距离可得周期，进而可得ω，再根据条件①可得ππ2π122k ϕ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，则可求出ϕ，则()f x 的解析式就出来了；（2）先根据平移变换求出()y g x =，再通过整体法，利用正弦函数的图像可得()y g x =的最小值，则实数m 的取值范围也出来了. 【详解】解：（1）函数()y f x =的解析式为()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.下面为说明：因为函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象相邻的对称中心之间的距离为π2，所以π22T =，即周期πT =， 所以2π2Tω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 若选择①：因为函数()f x 的图象关于直线π12x =-轴对称， 所以ππ2π122k ϕ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，即2ππ3k ϕ=+，k ∈Z . 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-.所以函数()y f x =的解析式为()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择②：因为函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以π2π6k ϕ⨯+=，k ∈Z ，即ππ3k ϕ=-，k ∈Z .因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-.所以函数()y f x =的解析式为()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择③：对任意实数x ，()5π12f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以当5π12x =时，()f x 取得最大值. 从而()5ππ22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ， 即()π2π3k k ϕ=-∈Z ， 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-.所以函数()y f x =的解析式为()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到曲线()y g x =， 所以()ππππ2sin 22sin 2121236g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当π7π266x -=，即2π3x =时，()g x 有最小值1-.因为在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在0x 满足()0g x m ≤，所以1m ≥-，即m 的取值范围是[)1,-+∞. 18．（1）最大值为10；（2）[)0,+∞. 【分析】（1）求出()'f x ，解方程()0f x '=得其根，列表得出()'f x 的正负与()f x 的单调性，求出极值，并求出区间端点处函数值，从而得出最大值；（2）不等式分离参数，引入新函数()243g x x x x =-+-，()1,2x ∈，由导数求得()g x 的最大值，从而得a 的取值范围． 【详解】解：（1）当2a =时，()32324f x x x x =-++，()2362f x x x '=-+，令()0f x '=，得11x =21x =，因为11132<<+<， 所以()f x 与()f x '的情况如下：又13528f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()310f =，所以()132f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值为()310f =.（2）当()1,2x ∈时，“()0f x >”等价于“243a x x x>-+-”， 设()243g x x x x =-+-，()1,2x ∈，则()2423g x x x '=-++. 因为23y x =-+与24y x =在()1,2上都是减函数， 所以()g x '在()1,2上是减函数， 所以()1,2x ∈时，()()20g x g ''>=， 所以()g x 在()1,2上增函数， 所以()()20g x g <=， 所以a 的取值范围是[)0,+∞.19．（1）π3A =；（2【分析】（1）方法1：由余弦定理得22cos cos cos bc A ac C c A =+，结合正弦定理由边化为角即可求解；方法2：由余弦定理得22cos cos cos bc A ac C c A =+，结合余弦定理由角化成边即可求解；（2）因为1sin 2S bc A ==4bc =，结合正余定理即可求解结果．【详解】解：（1）方法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos b c a bc A +-=.因为2222cos cos b c a ac C c A +-=+， 所以22cos cos cos bc A ac C c A =+， 因为0c >，所以2cos cos cos b A a C c A =+， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =. 因为()0,πA ∈，所以π3A =.方法2：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos b c a bc A +-=.因为2222cos cos b c a ac C c A +-=+， 所以22cos cos cos bc A ac C c A =+， 因为0c >，所以2cos cos cos b A a C c A =+. 由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=，222cos 2c b a Abc，得()()2222222cos 22a a b c c c b a b A ab bc+-+-=+. 得()()()222222222cos 2b A a b c c b a b =+-++-=，所以1cos 2A =. 因为()0,πA ∈，所以π3A =；（2）因为1sin 2S bc A ==sin A =，所以4bc =.由余弦定理得2222cos 16b c bc A a +=+=， 所以()222216824b c b c bc +=++=+=，所以b c +=因为4sin sin sin b c a B C A ====， 所以()1sin sin 4B C b c +=+=20．（1）320x y ++=；（2）有2个，证明见解析；（3）4. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，得切线斜率(2)f '-，计算出函数值(2)f -，由点斜式方程得结论； （2）引入新函数设()22ln 23x g x x x x +=-+-，由导数得出()g x 的极值与单调性，从而得解；（3）作出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】解：（1）因为()2223x f x x x +=+-，所以()()()()()22222223222472323x x x x x x f x x x x x +--++---'==+-+-，所以()123f '-=-，又()20f -=，所以曲线()y f x =在点()()2,2A f --处的切线方程为320x y ++=. （2）由()ln f x x =，得22ln 23x x x x +=+-，设()22ln 23x g x x x x +=-+-，定义域为()()0,11,+∞，则()()()()22222223471102323x x x g x x x x x x x -+----'=-=-<+-+-， 所以函数()g x 的单调减区间为0,1，1,.又210.121 2.1ln ln100100.10.2310 2.79g +⎛⎫=-=+> ⎪+--⎝⎭， 210.521 2.5ln ln 21ln 2020.5132 1.75g +⎛⎫=-=+<-+< ⎪+--⎝⎭，所以()g x 在区间0,1上存在唯一的零点. 23 1.523 3.53ln ln 02 1.5332 2.252g +⎛⎫=-=-> ⎪+-⎝⎭，()23253ln 3ln 3036312g +=-=-<+-，所以()g x 在区间1,上存在唯一的零点，所以方程()ln f x x =的解有2个. （3）4m =.由（1）可得()f x 在(,3)-∞-，(3,1)-，(1,)+∞上都是减函数，作出函数图象，如图，现作出切线320x y ++=，可得最多有4条平行直线与函数图象相切．21．（1）A 不是“α集”，B 是“α集”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）不存在满足要求的A ，B ，证明见解析. 【分析】（1）举例子2222517A ⨯-=∈可知A 不是“α集”；利用反证法证明B 为“α集”；（2）反证法，假设A 中的元素按照从小到大的顺序排列记为1a ，2a ，3a ，…，m a ，B 中的元素按照从小到大的顺序排列记为1b ，2b ，3b ，…，n b .不妨设m n a b ≥，由定义可得 可得12m a a B -∈，max 12n m m b b a a a =≥->，产生矛盾即可求证；由A 为无限集； 12i a a B -∈且各不相等，可知B 为无限集；（3）假设存在A ，B 满足要求，则A ，B 满足（2）中的条件和结论；先证明：“α集”中存在相邻的两个正整数；再证明：A ，B 中存在相邻的都大于1的两个正整数；不妨设1n >，n ，1n +在A 中，则1n -，2n B +∈，此时，A 中至少有n ，1n +；B 中至少有1n -，2n +，继续枚举后面的数产生矛盾即可得结论. 【详解】（1）A 不是“α集”；理由：2222517A ⨯-=∈，不满足定义.B 是“α集”；理由：假设B 不是“α集”，则存在正整数(),,i j k i j <， 满足2222k j i =⨯-，①因为j i >，所以2222222j i j j i j ⨯-=+->， 因此k j i >>.在①两边同除以2i ，则1221k i j i -+-=-，左边为偶数，右边为奇数，矛盾. 所以假设不成立，因此B 为“α集”；（2）假设A ，B 都是有限集，设A 中有m 个元素，B 中有n 个元素， 将A 中的元素按照从小到大的顺序排列记为1a ，2a ，3a ，…，m a ， 将B 中的元素按照从小到大的顺序排列记为1b ，2b ，3b ，…，n b . 由对称性，不妨设m n a b ≥，即A 中最大元素大于等于B 中最大元素. 由题意2m ≥，2n ≥，1m a a >，则12m a a B -∈， 即max 12n m m b b a a a =≥->，与m n a b ≥，矛盾，因此A ，B 至少一个为无限集.不妨设A 为无限集，则12i a a B -∈，2i =，3，4，…，且12i a a -各不相等， 因此B 也为无限集.（3）不存在满足要求的A ，B ，假设存在A ，B 满足要求，则A ，B 满足（2）中的条件和结论. 由定义，任何连续的三个正整数都不能同时在A ，B 中. 下面的证明分三部分：①先证明：“α集”中存在相邻的两个正整数.假设在“α集”中没有连续的两个正数，则对任意的m ，1m +，2m +三个正整数，m ，2m +在“α集”中， 因此1，3，5，7，9在“α集”中，得出矛盾， 所以A ，B 中存在相邻的两个正整数；②再证明：A ，B 中存在相邻的都大于1的两个正整数. 由①，不妨设m ，1m +出现在A 中，若1m ，则A 中存在相邻的都大于1的两个正整数； 若1m =，且由（2）得A 是无限集， 因此，存在比1m +大的正整数i a A ∈， 则2i a m B -∈，21i a m B --∈，则B 中存在相邻的都大于1的两个正整数， 设22i t a =-，则121i t a +=-， 因此，存在比1t +大的正整数j b B ∈， 则2j b t A -∈，21j B t A --∈，所以A 中一定存在相邻的都大于1的两个正整数， 同理，B 中也一定存在相邻的都大于1的两个正整数. ③不妨设1n >，n ，1n +在A 中，则1n -，2n B +∈， 此时，A 中至少有n ，1n +；B 中至少有1n -，2n +.继续枚举后面的数：()()2215n n n A +--=+∈， 所以()()2315n n n A +-+=+∈，因此3n A +∉，即3n B +∈，所以4n A +∈，6n B +∈， 此时{},1,4,5n n n n A ++⊆+，{}1,2,3,6n n n n B -+++⊆， 所以()()2639n n n A +-+=+∈，又()()2519n n n B +-+=+∈，矛盾，因此不存在满足要求的A ，B .。