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第三节 随机变量的分布函数

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第三节-随机变量的分布函数

第三节-随机变量的分布函数

?
F ( x2 )
F ( x1 ) 分布
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
函数
2.分布函数的定义
定义 设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数 F(x) P{X x}
称为X的分布函数.
说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值
的概率情况. (2)分布函数 F ( x) 是 x 的一个普通实函数.
X 1 2 3
pk
111
424
求 X 的分布函数,并求 P{ X 1}, P{3 X 5}于 X 仅在 x 1,2,3 处概率不为0, 且 F ( x) P{X x},
0,
x 1,
得
F(x)
P{ X P{ X
1}, 1}
P{ X
2},
1 2 x
F(3) F(1) P{X 3} 1 4 1 3.
888
P{X 5.5} 1 P{X 5.5} 1 P{X 5.5} P{X 5.5} 1 1 0 0.
P{1 X 3} P{X 3} P{X 1} F(3) F(1) 14 1. 82
例2 设随机变量 X 的分布律为
P{ X x}是不可能事件,
于是F ( x) P{ X x} 0;
当 0 x 2时, P{0 X x} kx2 ,k是常数.
由 P{0 X 2} 1, 得 4k 1, 即 k 1 .
因而P{0 X x} x2 .
4
4
于是
F(x) P{X x}
P{X 0} P{0 X x} x2 .
F( x) P{X x} P{X 0} P{X 1}
pi 1. xi 3
P{X 2} P{X 3}

随机变量函数的分布

随机变量函数的分布

此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布。
变限函数求导公式:
b(x)
f
(t)dt
f b(x)b(x)
f a(x) a(x).
a(x)
例3：设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度.
1, 0 x 1, 解：因r.v.X~U(0,1),故X的概率密度为：fX (x) 0, 其它.
如图, fX (x)的非零段将整个 x轴分为三部分:
(-∞,0),[0,1),[1,+ ∞); 从而,整个y轴相应地也被分为三 部分: (-∞,1),[1,e),[e,+ ∞).
因此,应就y分为上述三个区 间来求Y的分布函数.
(1) 当y<1时,再分为两种情形:
a) 当y≤0时,
FY (y) PY y P eX y
P() 0;
b) 当0< y<1时,
fY
(
y)
1 y
,
1 y e,
0, 其它.
注意:本题是重要题型,必须熟练掌握。
方法2 公式法(y=g(x)为单调可导函数)
定理：设连续型随机变量X的概率密度为
f X (x)( x )
函数g(x)处处可导且有恒有 g(x) 0(g(x) 0)
则Y=g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为
◆如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概 率为这些相等值对应的X取值的概率之和.
例如,当 yk g(xi ) g(x j ) g(xm ),
则由基本事件互斥性与概率可加性得：
PY yk P X xi P X xj P X xm
例1:设r.v.X的分布列为:
X
-1
012
P 0.2 0.3 0.1 0.4

概率论-随机变量的分布函数

概率论-随机变量的分布函数
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机 变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(４)是鉴别 一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要 条件.
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件

概率论与数理统计课件：随机变量及其分布

概率论与数理统计课件：随机变量及其分布

随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
首页 返回 退出
定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)

《概率论》第2章§3随机变量的分布函数

《概率论》第2章§3随机变量的分布函数

面积成正比,且射击都能中靶,记 表示弹X 着
X
点与圆心的距离.求 的分布X函数.
显然当 x 时0 ,{X 故x} , 称这样的随机变量
F(x) P{X x} 0 为连续型随机变量
若 0 x 由2题, 意有 P{0 X为 常x}数 kx2 , k
Q P{0 X 2} k22 1 k 1/ 4
O
第二章
随机1 变量2及其分3布x
§3 随机变量的分布函数 3/5
r.v X的分布函数
F(x) P{X x } , x
F ( x)是单调不减函数
0 F(x) 1且
F () lim F(xx)10x,2 F() lim F(x) 1
F
(
x)
x Q {X
右连续函数即F ( x1 )
x1} {X P{X
x x2 } x1 }
当
x
时F
(
x
0)
lim
tx
F(t)P{XF
(x)x当2} x
F(x2) 时
{X x性} 质
是分布函数的本质{特X 征x} S
满r.v足的性分质布函PP{{数XX 必 xx满的}}关关足F于于(性x)质必xx 右左是连连某续续r.v的分布函数
第二章 随机变量及其分布
F(0x)当x0Px{X20,, xP时x}{X2P{存xXF0}在(0x}) P{0,令X
x}
x2 4
即 X的则若分x布由函2F, 题数(xF意)为(处有xf)F处(Ft()(x连x){)xPX续12{002/tPEX4,,,,,(N故,0xxS0x其xD})fx(t它0tx201S})d,,怎故2t第2,0,样二章理F随解(tO机1)这y变(t一量F1(x及)结0其2,t论分3布？2)x

概率论 随机变量的函数及其分布

概率论 随机变量的函数及其分布

p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , 0 y , pY ( y ) 其他 . 0，
1 [ f 1 ( y )] , 0 f 1 ( y ) 1, 其他 . 0, 1 1 , 0 ln y 1, y 其他 . 0, 1 , 1 y e, y 0, 其他 .
证 F ( x )是分布函数
0 F ( x ) 1, 且F ( x )单调不减
依题意， 又知 F ( x )严格单调增加
故 y R,
FY ( y ) P{Y y } P { F ( X ) y }
FY ( y ) P{Y y } P{ F ( X ) y } y 0, P ( ), P{ F ( X ) y }, 0 y 1, P ( ), y 1. y 0, 0, P{ X F 1 ( y )}, 0 y 1, 1, y 1.
且恒有f ( x ) 0(或恒有f ( x ) 0), 则Y f ( X )是连
续型随机变量，其概率 密度为
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , y , pY ( y ) 0, 其它. 其中 f 1 ( y ) 是 f ( x ) 的反函数, ( , )是f 1 ( y )的定义域，
y 0, 0, 0, 0 y 1, FY ( y ) ln y , 1 y e, y e. 1,
从而
d FY ( y ) pY ( y ) dy
1 , 1 y e, y 0, 其他 .
例6 设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布

2.3 随机变量的分布函数-

2.3 随机变量的分布函数-

x 1,
(2)
F(x)

P{ X

x}


P{ X P{ X

1}, 1}
P{ X

2},
1 x 2, 2 x 3,
1,
0, x 1,
即
F(x)

1 3
4, 4,
1 x 2, 2 x 3,
F(x) 1
x 3.
作 业 P57 19
思考与练习
0, x 1,
1、设离散性随机变量 X的分布函数为
F
(
x)

0.4, 0.8,
1 x 1, 1 x 3,
求X的分布律。
1, x 3.
2、可作为某一随机变量的分布函数的是（）
1 A: F(x) 1 x2
B : F ( x) 1 arctan x 1
x
x
（3）F( x)处处右连续.
即
lim
x x0
F
(
x)

F(
x0
),
( x0 ).
重要公式 ——用分布函数计算某些事件的概率
(1) P{a X b} F (b) F (a ),
(2) P{ X a} 1 F (a).
(3)P{X b} F(b) P{X b} (4)P{a X b} F(b) F(a) P{X b} (5)P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
（3）P{ X a} 1 P{ X a} 1 F (a)
（4）P{ X b} P{ X b} P{ X b} F (b) P{ X b}

第三节 随机变量的分布函数

第三节 随机变量的分布函数

x 0, 0, 1 2 F ( x) x , 0 x 2, 4 x 2. 1,
F(x) 1
o
2
x
从而得
1 k . 4
1 2 P{0 X x} x . 4
即 于是
1 2 F ( x) P{ X x} P{ X 0} P{0 X x} x . 4
若 x 2, 则 {X x} 是必然事件，于是
F ( x) P{ X x} 1.
故X的分布函数为
性，为证 lim F ( x) 0, 只要证 lim F (n) 0. 考虑事件：
An X n, n 1,2,, 则 An An 1 , An
n 1
x
n

由概率的连续性，得
（3） 由 F(x) 的单调性，为证此性质，只须证明：
由概率的 连续性得：
例1： 口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球, 求取出的三个球中的白球数的分布函数 解： 设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能
取值为1，2，3。而且由古典概率可算得
于是，X的分布函数为：
F(x)
1
0.9
0.3
o
的分布律为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
第三节 随机变量的分布函数
定义2:设X是一随机变量，x为任意实数，函数 称为随机变量X的分布函数。
分布函数的性质:
（1）F(x) 是一个单调不减函数； （2） （3）F(x) 是右连续的. 即对任意的实数 x , 有
证明：
(2) 由 F(x) 的定义易得 0 F ( x) 1. 利用 F(x) 的单调
例2: 考虑如下试验：在区间[0，1]上任取一点，记录它 的坐标X。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为 X取到[0，1]上任一点的可能性相同。求X的分布函数。 解 ： 由几何概率的计算不难求出X的分布函数 当x<0时

概率论与数理统计3.3 随机变量的分布函数

概率论与数理统计3.3 随机变量的分布函数
F () =P X P 0
F() =P X P 1
3. 记{xn}是严格递减的数列且xn x,
F (x1) F (x)

P{ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X

x1}

P


xn1
X

xn



n1


P xn1 X xn [F (xn ) F (xn1)]
2.3、随机变量的分布函数
设X是一个随机变量, x 是任意实数, 函数
F( x) P{X x}
称为X的分布函数．
几何定义：将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，分布
函数F ( x)在 x 处的函数值就表示 X 落在区间(, x]上 的概率。
X
0x
x
FX (x) P( X x), x
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F(x)

F ( x0 )
分布函数性质的证明：
1. x1, x2 R且x1 x2.
则 F (x2 ) F (x1) P{x1 X x2} 0，
F (x1) F (x2 )
2. F (x) P{X x},
F(x) P(X x), （ x ）
分布函数的性质(充要条件）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
(2) F() lim F x 0 F() lim F x 1
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1 )

概率论(随机变量的分布函数)

概率论(随机变量的分布函数)
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a) a f ( x)d x.
注： 1. 设X为连续型随机变量，对于任意可能值 a ,
P{X a} 0.
证明 x 0,则{X a} {a x X a}
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x) 0(x 0 )
试求c为待定常数又因为0x2为必然事件故1216补充定义x2处函数值为0后得到简称概率密度密度函数的概率称为其中为连续型随机变量使对任意实数非负可积函数存在的分布函数如果对于随机变量一定义probabilitydensity
第三节 随机变量的分布函数
一、概念的引入
需要知道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率.
(1) 曲线关于直线 x= 对称 . 1 f(x)
2
这表明P{ h X } P{ X h}
(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x) 1
为X 的分布函数(distribution function) 记作 X ～ F(x) 或 FX(x)
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
(, x] 的概率.
—X——x |——> x
三、分布函数的性质
1 单调不减 即 若 x1< x2，则F(x1) ≤F(x2)；
例如 求随机变量 X 落在区间( x1, x2 ]内的概率.
P{ x1 X x2} P{ X x2}P { X x1}

分布函数

分布函数
F(b 右不包含b：F(bx0} P{X < x0}=F(x0)F(x0o) 所以 P{X = 1}=F{ 1} F{1o}= 0.4 0=0.4； P{X = 1}=F(1)F(1o)= 0.80.4= 0.4； P{X = 3}=F(3) F(3o) = 1 0.80= 0.2
F( 1 ) F(1o)= 1
P{X = 1 } =
1 =1 2 6 3
P{X > 1 } = 1 P{X ≤ 1 } = 1F(1)=
1 1 = 2
1 6
1 2
X P
1
1/6
1
2/6
2
3/6
P{X ≥ 1 } = 1 P{X <1 } = 1F(1o)= 1 P{X < 1} = F( 1o) = 1
跳跃度1/6 跳跃度 跳跃度2/6 跳跃度 跳跃度3/6 跳跃度
6)落在点a处的概率P{x=a}=F(a)–F(a – o)
分布函数
用分布函数（离散）计算下列事件的概率： 用分布函数（离散）计算下列事件的概率： 1.落在点x处的概率P{X = a } = F( a ) F(ao) 0 x < 1 1 1 ≤ x < 1 2. P{X > a } = 1 P{X ≤ a } = 1F(a)； 6 F ( x) = 1 3. P{X ≥ a } = 1 P{X < a } = 1F(ao)； 2 1 ≤ x < 2 1 x≥2 4. P{X < a} = F( ao)
xi ≤ x
i
分布函数
定义：离散型随机变量X的概率分布为P{X=xi}= pi ( i =1,2,..) 定义： 则离散型随机变量X的分布函数为 F ( x) = P{ X ≤ x} = x∑x pi ≤ /例 1/ 设袋中有标号为1，1，1，2，2，2的六个球，从中任取

概率论第二章随机变量以其分布第3节随机变量的分布函数

概率论第二章随机变量以其分布第3节随机变量的分布函数
F () 1, 知 1 P{ X 2}
2 (a b) (2 a) 3 2a b 2 , 3
且 a b 1.
由此解得 a 1 , b 5 . 66
27
因此有
0,
1 ,
F
(
x
)
6 1
,
2
1,
从而 X 的分布律为
X 1
1
P
6
x 1, 1 x 1,
1 x 2, x 2.
分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以看 出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
10 F (x) 是一个不减的函数．F(x)
即当x2 x1时， 1 F(x2 ) F(x1).
01 2 3
x
返回主目录
证明 由 x1 x2 { X x1} { X x2 },
得 P{X x1} P{X x2}, 又 F ( x1) P{X x1}, F ( x2 ) P{X x2}, 故 F ( x1) F ( x2 ).
（3） 若 x 2 , 则 {X x} 是必然事件，于是
F(x) P{X x} 1.
返回主目录
§3 随机变量的分布函数
0,
F ( x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2,
x 2.
F(x) 1
01 2 3
x
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§3 随机变量的分布函数
3. 分 布 函 数 的 性 质
x
x
o
x
同样,当 x 增大时 P{ X x}的值也不会减小,而
X (, x), 当 x 时, X 必然落在 (,)内.
o
x
16
§3 随机变量的分布函数
30 F(x 0) F(x), 即 F(x)是右连续的.

随机变量的分布函数

随机变量的分布函数

随机变量的分布函数
分布函数是研究随机变量的概率分布的数学函数。

它可以用来表示一个随机变量的概率分布，即随机变量取某个值的概率。

分布函数在概率论和统计学中非常重要，可以用来描述离散型随机变量以及连续型随机变量的概率分布。

离散型随机变量的分布函数可以用概率质量函数（PMF）表示，而连续型随机变量的分布函数可以用概率密度函数（PDF）表示。

概率质量函数PMF是用来描述离散型随机变量的分布函数，即它可以用来表示离散型随机变量取某个值的概率。

它的定义为：设X 是一个离散型随机变量，其样本空间为S，则X的概率质量函数P （X）定义为：P（X）=P（X=x）,x∈S。

概率密度函数PDF是用来描述连续型随机变量的分布函数，即它可以用来表示连续型随机变量取某个值的概率。

它的定义为：设X 是一个连续型随机变量，其样本空间为S，则X的概率密度函数f （X）定义为：f（X）=f（x）,x∈S。

分布函数有多种，如泊松分布、伽马分布、指数分布、正态分布、均匀分布等等。

这些分布函数不仅可以用来描述不同随机变量的概率分布，还可以用来推断不同随机变量之间的关系，从而获得更多有用的结论。

总之，分布函数是研究随机变量的概率分布的重要数学函数，它可以用来表示离散型和连续型随机变量的概率分布，也可以用来推断不同随机变量之间的关系，从而获得更多有用的结论。

概率与数理统计 第二章-3-随机变量的分布函数

概率与数理统计 第二章-3-随机变量的分布函数

则X的分布函数为： 0
x x1
p1
x1 x x2
F ( x)
PX
x
p1 p2 p1 p2
p3
x2 x x3 x3 x x4
L
L
分布函数F(x)是一个右连续的函数,在
x=xk(k=1,2…)处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下 图所示
例5 随机变量X的概率分布为：
X 1 2 4
在概率论的研究中发现：无论是何种类型的随机变量， 如果对任意的实数x , 事件{X≤x}的概率P{X≤x}已知时，随 机变量X取任何值及任何区间的概率都可以由概率P{X≤x} 求出。如
{a<X≤b}= {X≤b} —{X≤a}
(]
a
b
事件{X≤x}的概率P{X≤x}随 x 的不同而变化，
是x的实函数，称此函数为随机变量X的分布函数。
（1） 0 F(x) 1
（2）单调非减：若a < b, 则F(a)≤F(b)；
（3） lim F (x) F () 0, x lim F (x) F () 1; x
F(x)在任一 点x处至少
（4） 右连续性： 即
右连续
lim
xx0
F
(x)
F
(x0
)
F(x0 0)
证明: (2) 对a<b,
(2)
对任意的x1< x2 P{x1 <X≤ x2}=
, 有： F(x2) －
( F(x1).x1
] x2
此因：{x1 <X≤ x2}= {X≤x2}－ {X≤ x1}
(3) P{X x1} F(x1 0)
此因：P{X
<
x1
}=

随机变量的分布函数、连续型

随机变量的分布函数、连续型

02
偏度是描述数据分布不对称性的量，即三阶中心矩与三阶原点矩的比值。偏度 大于0表示分布右偏，偏度小于0表示分布左偏。
03
峰度是描述数据分布形态陡峭或扁平程度的量，即四阶中心矩与四阶原点矩的 比值。峰度大于3表示分布比正态分布更陡峭，峰度小于3表示分布比正态分布 更扁平。
PART 04
连续型随机变量的应用
用。
PART 03
连续型随机变量的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
概率密度函数（PDF）
概率密度函数（PDF）描述了随机变量取值在 某个区间的概率，即密度函数值与该区间长度 之积等于该区间内事件发生的概率。
PDF具有非负性，即对于所有实数x， PDF(x)≥0。
整个实数轴上的概率总和为1，即 ∫∞−∞f(x)dx=1，其中f(x)是随机变量的概率密 度函数。
在模拟连续型随机变量时，蒙特卡洛方法通过产生大 量随机样本，并计算其统计量，来估计随机变量的分
布函数和概率密度函数。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，适用于各种类型的 分布函数，但缺点是精度取决于样本数量，样本数量
越多，精度越高。
逆变换采样法
逆变换采样法是一种基于概率分布的反向抽样方法，即先从均匀分布的随机数中抽取样本，再通过概 率分布的反函数变换得到所需的随机变量。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布的实际应用案例
金融领域
正态分布被广泛用于描述金融数据的分布，如股 票价格、收益率等。
自然现象
许多自然现象的分布呈现正态分布特征，如人类 的身高、智商等。
统计学
在统计学中，正态分布是最常用的分布之一，用 于描述数据的集中趋势和离散程度。

第二章03分布函数

第二章03分布函数

4) 0 F ( x ) 1, x ;
5)当 x 时 F ( x ) 0, 当 x 时 F ( x ) 1.
0, x 0 1 / 3, 0 x 2 例(p59)已知随机变量X的分布函数为 F ( X ) 2 / 3, 2 x 5 1, x 5 求X的概率分布表.
解:X为离散型随机变量,它所取的值就是分布函数的间断点,即 0,2,5,且取各个值的概率等于间断点的跃度，即
P(X=0)=1/3
P(X=2)=2/3-1/3=1/3
P(X=5)=1-2/3=1/3 X P
0 1/3 2 1/3 5 1/3
概率分布表为
二项分布的分布函数
2.3.3连续型随机变量的分布函数
a
b
x
1)F(x)是连续函数 2)F(x)是单调不减的函数 3) 当 x 时 F ( x ) 0, 当 x 时 F ( x ) 1. x dF ( x ) 4) F ( x ) f ( t )dt, f ( x ) dx 并且
f ( x) lim
当 x 0 时，
x F ( x) P( X x) et dt et |0 1 ex 0
x
Ae 3 x , x 0 例(p59)设随机变量X具有概率密度： f ( x ) 0, x 0 试确定常数A及X的分布函数。 3e 3 x , x 0 1 解 由 1 f ( x )dx Ae 3 x dx A 知A=3,即 f ( x ) 0 3 0, x 0
现在假定我们以很快的速度抛掷一枚不均匀的硬币(每δ秒抛 掷一次,δ<<1),每次抛掷正面向上的概率为 p 1 e 这样，第一次得到正面向上所抛掷的次数为X，第一次正面向上 的时刻为Xδ。Xδ与参数为λ的指数随机变量十分接近（下图）。

随机变量的分布函数

随机变量的分布函数

例2 设有函数 F(x)
概率论
sin x 0 ≤ x ≤ π F( x) = 0 其它
试说明F(x)能否是某个 的分布函数 能否是某个r.v 的分布函数. 试说明 能否是某个 上下降， 解: 注意到函数 F(x)在 [π 2,π ]上下降， 在 不满足性质(1)， 不能是分布函数. 不满足性质 ，故F(x)不能是分布函数 不能是分布函数 或者 F(+∞) = lim F( x) = 0
概率论
a
(k为常数 ) ka=1，k =1/a 由于 P(0 ≤X ≤a) = 1 ⇒ ， F(x) = P(X ≤ = P(X<0) + P(0 ≤X ≤x) =x / a x)
≤X ≤x) = kx
故
0, x < 0 x F( x) = , 0 ≤ x ≤ a a x>a 1,
概率论
即对∀x1 , x2 ∈( −∞, +∞) 且x1 < x2 ,都有F ( x1 ) ≤ F ( x2 ) ;
F ( x2 ) − F ( x1 ) = P{ x1 < X ≤ x2} ≥ 0
x o x1 XX2 x X X
(
]
3. F(−∞) = lim F ( x) = 0
F(+∞) = lim F ( x) = 1
x→+∞
x→−∞
概率论
o X
x
x→x0
x
4. F(x) 右连续 即: lim+ F( x) = F( x0 ) 右连续,
如果一个函数具有上述性质, 则一定是某个r.v 的分布函数. 如果一个函数具有上述性质 则一定是某个 X 的分布函数 也就是说， 也就是说，

概率论第二章

概率论第二章

将 p = 0.5 代入，得
1 0 X ~ 0 .5 0.25 2 0.125 3 0 .0625 0 .0625 4
下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分 布。 （一）0-1分布 分布 若X 的分布律为 k 1− k P { X = k } = p (1 − p ) , k = 0 ,1 或者 0 1 X p pk 1− p 则称随机变量 X 服从参数为 的0-1分布 参数为p的 分布. 参数为 如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成 功的概率为p，则成功的次数 X 服从参数为p的0-1 分布。
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
= 1 − (0.99) − 20(0.01)(0.99) = 0.0169 设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这 一事件，则有
20 19
P( A) ≥ P{ X ≥ 2} = 0.0169
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
= 1 − (0.98)
400
− 400(0.02)(0.98)
399
直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算 公式。我们先引入一个重要的分布。
(三) 泊松分布 三 泊松分布(Poisson Distribution) 如果随机变量 X 的分布律为：
例6 社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人 每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1 张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律. 解 设该人购买的次数为X ,则X的可能取值为
1, 2 , L .
{X = 1} 表示第一次购买就中奖,其概率为p.
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得
P{X
1
} F( ) , 4 2 2
5 } F( ) F( ) , 2 2 2 4 4 2 5 3
1
1
P{
3 2
X
3
1
1
P {2 X 3} F (3) F (2) P { X 2}
1
3 4

1 2

3 4
.
主讲：俞能福
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x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
即
0, 1 , 4 F (x) 3, 4 1,
x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
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主讲：俞能福
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由
F ( x) P{ X x},
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o
同样 , 当 x 增大时 P { X x } 的值也不会减小
x
,而 ( , )内 .
X ( , x ) , 当 x 时 , X 必然落在
o
主讲：俞能福
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x
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所以
x x0
lim F ( x ) lim P { X x } 1 .
主讲：俞能福
x 0, 0 x 2, x 2.
其图形为一连续曲线
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若记
t , f (t ) 2 0,
F (x)
0 t 2, 其它 .
则

x
f (t ) d t.
f ( t ) 在区间 ( , x ] 上的积分
得 P { X x 1 } P { X x 2 },
又 F ( x 1 ) P { X x 1 },
故 F ( x 1 ) F ( x 2 ).
F ( x 2 ) P { X x 2 },
主讲：俞能福
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( 3) F ( ) lim F ( x ) 0,
P { 1 X 3 }, P { X 5 . 5 }, P { 1 X 3 }.
解
S
设 H 正面 , T 反面 ,
则
HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT ,
X p 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8
pk
xk x
主讲：俞能福
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例3 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x 0时 ,
P { X x } 是不可能事件 , 于是 F ( x ) P { X x } 0 ; 当 0 x 2 时 , P { 0 X x } kx , k 是常数 . 1 由 P { 0 X 2 } 1, 得 4 k 1, 即 k . 4 2 x 因而 P { 0 X x } . 4
.
F ( x ) 恰是非负函数
此时称
,
X 为连续型随机变量
注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不 一样.
主讲：俞能福
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四、小结
1.离散型随机变量的分布函数
F ( x ) P{ X x }
pk .
xi x
2.分布律与分布函数的关系
主讲：俞能福
P {1 X 3 } P { X 3 } P { X 1 }
F ( 3 ) F (1 )
1
4 8

1 2
.
主讲：俞能福
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例2
设随机变量
X 的分布律为
X
1
2
3
pk
1 4
1 2
1 4 1
2 3 2 5 2
求 X 的分布函数 P { 2 X 3 }.
0, 1 8, 所以 F ( x ) 4 8 , 7 8 , 1,
x 0, 0 x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
P {1 X 3 } P { X 3 } P { X 1 } P { X 3 }

pi

当 x 3时 ,
1 8

3 8

3 8

7 8
xi 2
;
F ( x ) P { X x } P { X 0} P { X 1} P { X 2 } P { X 3 } pi 1.
xi 3
主讲：俞能福
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, 但它们却有相同的分布
0 , x 1; F ( x ) 1 2 , 1 x 1; 1, x 1 .
主讲：俞能福
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离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P { X x k }
分布函数
F ( x ) P{ X x }
{ X a } {a X b} ,
所以 故 P { X b } P { X a } P { a X b }, P { a X b } F ( b ) F ( a ).
主讲：俞能福
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三、例题讲解
例1
将一枚硬币连掷三次 , X 表示“三次中正面 , 并求下 出现的次数 列概率值 ” 求 X 的分布律及分布函数 ,
实例
抛掷均匀硬币, 令
1, X 0, 出正面 , 出反面 .
求随机变量 X 的分布函数. 解
p{ X 1} p{ X 0 }
1 2
,


当 x 0时,
0
1
x
F ( x ) P { X x 0} 0 ;
主讲：俞能福
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P { x 1 X x 2 } P { X x 2 } P { X x 1 }

?
F ( x2 ) P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ).
主讲：俞能福
F ( x1 )
分布 函数
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x x
(4) lim F ( x ) F ( x 0 ),
( x 0 ).
即任一分布函数处处右连续.
F (x)
0, p1 , F (x) p2 , 1,
x 0, 0 x x1 , x1 x x 2 , x x2.
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请同学们思考 不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?
答
不一定.
1, X1 1,
例如抛均匀硬币, 令
出正面 ; 出反面 . X2 1, 1, 出正面 ; 出反面 .
X1 与 X
2
在样本空间上的对应法
则不同 , 是两个不 函数
同的随机变量
F ( 3 ) F (1 ) P { X 3 }
1
4 8

1 8

3 8
.
主讲：俞能福
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P { X 5 .5 } 1 P { X 5 .5 }
1 P { X 5 .5 } P { X 5 .5 }
1 1 0 0.
2
主讲：俞能福
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于是
F (x) P{X x}
P { X 0 } P { 0 X x }
x
2
.
当 x 2时 ,
4
F ( x ) P { X x } 1.
故 X 的分布函数为
0, 2 x F (x) , 4 1,
因此分布律为
主讲：俞能福
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求分布函数



当 x 0时 ,
o
1
2
3
x
F ( x ) P { X x } 0;
当 0 x 1时 ,
F ( x ) P { X x } P { X 0}
当 1 x 2时 ,

xi 0
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第三节
随机变量的分布函数
一、分布函数的概念
二、分布函数的性质
三、例题讲解
四、小结
主讲：俞能福
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一Байду номын сангаас分布函数的概念
1.概念的引入
对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x 1 , x 2 ] 内的概率 .