【2013考研精品资料】考研 数学笔记 经典记录

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目前，众多小机构经常会非常不负责任的给考生推荐北大、清华、北外等名校，希望广大考生在选择院校和专业的时候，一定要慎重、最好是咨询有丰富经验的考研咨询师！IS—LM模型凯恩斯的基本框架、三大基本心理规律（见书上P155）IS—LM模型既然在产品市场上R最终能传导影响Y，而R由货币市场决定，那么把这两个市场结合起来分析，可以分析出当两个市场都均衡的时候的整个大市场的均衡情况。

当然了把IS—LM结合也遭到了很多经济学家的批评，但是凯恩斯主义者们就是这样做的。

下面我们具体分析这样的结合。

（如上图，IS与LM的交点决定了均衡的R与Y，图中的A、B、C、D四点既不是产品市场上的均衡也不是货币市场上的均衡，他们会受到均衡力量的拉力，例如A、B两点，他们都是ESM，货币供给大于货币需求，该力量会拉着利率R下降。

所以向下的受到向下的力量。

而同时他们受到水平方向的调整力量，但是我们假定货币市场的均衡率先实现，因此他们会向下移动到LM曲线上，再逐步调整到两个曲线的交点。

）均衡点的分析以及两个乘数当两个市场同时实现均衡时，我们得到：联立IS曲线：Y=αA0—αbRLM曲线：M0/P=kY—hR求解有：现在由上面的式子我们可以轻松地得到在IS-LM模型中，财政政策乘数、货币政策乘数：关于财政货币政策效力在其他教材上常见的几个错误说法（书P163、P164）宏观经济政策实践第一节货币政策一．货币政策工具法定准备金率、公开市场业务、再贴现率、道义地劝告（详细内容参考书P169—P178）货币政策传导机制图形分析数学推导推导的逻辑基础:第一轮（初始效应）： M/P→R→I→AD→Y第二路（引致效应）：消费路径：Y→T→Yd→C→AD→Y投资路径：Y→L→R→I→AD→Y结合图形具体分析：①初始效应（从图中的E→E'→A）（逻辑基础： M/P→R→I→AD→Y）∆M0/P →∆R=—∆M0/（hP）→∆I= b∆M0/（hP）→∆AD=b∆M0/（hP）→∆Y1=b∆M0/（hP）②引致效应走消费路径（逻辑基础：Y→T→Yd→C→AD→Y）∆Y1 →∆T = t∆Y1 →∆Yd = （1—t）∆Y1 →∆C= c（1—t）∆Y1 →∆AD=c（1—t）∆Y1→∆Y c=c（1—t）∆Y1。

大学数学学习提高群398643171大学《数学分析》笔记笔记：目标院校目标专业本科生笔记或者辅导班笔记讲义：目标院校目标专业本科教学课件期末题：目标院校目标专业本科期末测试题2-3套模拟题：目标院校目标专业考研专业课模拟测试题2套复习题：目标院校目标专业考研专业课导师复习题真题：目标院校目标专业历年考试真题，本项为赠送项，未公布的不送！目录第二模块笔记 (3)第一部分实数集与函数 (3)第二部分数列极限 (8)第三部分函数极限 (10)第四部分函数连续性 (15)第五部分导数与微分 (30)第六部分微分中值定理及其应用 (36)第八部分不定积分 (51)第九部分定积分 (54)第十部分定积分的应用 (60)第十一部分反常积分 (68)第十二部分数项级数 (72)第十三部分函数列与函数项级数 (90)第十四部分幂级数 (101)第十五部分傅里叶级数 (116)第十六部分多元函数的极限与连续 (131)第十七部分多元函数微分学 (136)第十八部分隐函数定理及其应用 (148)第十九部分含参量积分 (152)第二十部分曲线积分 (163)第二十一部分重积分 (166)第二十二部分曲面积分 (175)第二模块笔记第一部分实数集与函数§1实数数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念一．实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数。

例如：记为；0记为；记为实数大小的比较定义1给定两个非负实数其中为非负整数，。

若由1）则称与相等，记为2）若存在非负整数，使得，而，则称大于（或小于），分别记为（或）。

规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数，若按定义1有，则称实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。

对于负实数的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如，则1.4,1.41,1.414,1.4142,称为的不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143,称为的过剩近似值。

第一部分第一章集合与映射§1.集合§2.映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。

第二章数列极限§1.实数系的连续性§2.数列极限§3.无穷大量§4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。

第三章函数极限与连续函数§1.函数极限§2.连续函数§3.无穷小量与无穷大量的阶§4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。

第四章微分§1.微分和导数§2.导数的意义和性质§3.导数四则运算和反函数求导法则§4.复合函数求导法则及其应用§5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。

第五章微分中值定理及其应用§1.微分中值定理§2.L＇Hospital法则§3.插值多项式和Taylor公式§4.函数的Taylor公式及其应用§5.应用举例§6.函数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。

第六章不定积分§1.不定积分的概念和运算法则§2.换元积分法和分部积分法§3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。

2013硕士研究生入学考试数学一一、选择题:1—8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题．．纸．指定位置上. 1.已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==- B.12,2k c == C.13,3k c ==- D.13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（） A.2x y z -+=- B.0x y z ++= C.23x y z -+=- D.0x y z --=3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （）A.34B.14C.14-D.34- 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰ ，则{}1234m a x ,,,I I I I =A.1IB.2IC.3I D 4I 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（） A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（）A.0,2a b ==B.0,a b =为任意常数C.2,0a b ==D.2,a b =为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（） A.123P P P >> B.213P P P >> C.322P P P >> D 132P P P >>8.设随机变量~()X t n ，~(1,)Y F n ，给定α,(00.5)α<<,常数C 满足{}2P X c >=，则{}2P Y c >=(A) α (B) 1-α (C) 2α (D)1-2α二、填空题：9—14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y)确定，则01lim [()1]n n f n→-＝ 。

2013山大数学分析考研经验分享首先给同学们介绍一下我用的参考书：《复变函数》（第四版），余家荣著，高等教育出版社2007年版；《复变函数论》（第三版），钟玉泉编著，高等教育出版社2004年版；《实变函数与泛函分析》（第二版），郭大钧、黄春朝、梁方豪编著，山东大学出版社2005年版；《常微分方程教程》（第二版），丁同仁、李承治编著，高等教育出版社2006年版；《复变函数教程》扈配础著，科学出版社，2008年第一版；《山东大学数学分析考研复习精编》，乐学山大考研网；《山东大学线性代数与常微分方程考研复习精编》，乐学山大考研网。

关于数学专业: 数学就好好看书做题吧，有很多题目都有很多解法,习题解上的解法也不一定是最好的,所以尽可以大胆地自己重新理思路,给出全新的解法。

可以做做笔记,我个人觉得做笔记对我来说很有用,有些题目看了解答可能还不一定完全接受,自己把思路重新理下,然后写在笔记本上。

第二遍复习时也可以比较有针对性地学习。

如果可以,文理交替学习应该是不错的。

如果可以找个一同考研一同复习的伙伴就最好了,这样有问题可以相互交流,也不容易懈怠,可以彼此鼓励,不过如果没有也没什么关系,我当时绝大部分时间也是一个人学习。

关于真题：考研论坛或者前辈或者战友一般都是有的,最近一年或两年的题目可能没有,就要去买了,淘宝上都有,小心别上当就行了,据说有些是骗人的,我当时很幸运得到一个学长的帮助,他给我推荐了《山东大学数学分析考研复习精编》和《山东大学线性代数与常微分方程考研复习精编》这两本参考书，里面收录了近10年的历年真题, 这样就不用自己到处去找资料了。

如果收集不到的同学们可以去乐学山大考研网看看。

另外我希望大家可以擦亮眼睛,不要以为别人的经验之谈一定是绝对客观准确的,当然也包括我这篇所谓的心得了。

每个人所处的环境,时代都可能会有些异样,感受也很有可能有些偏颇,最重要的是适合自己，适合自己的方法才是最好的。

2013考研数学一真题及答案解析目录第一章总论............................................................. 错误!未定义书签。

1.1项目提要........................................................... 错误!未定义书签。

1.2结论与建议....................................................... 错误!未定义书签。

1.3编制依据 .......................................................... 错误!未定义书签。

第二章项目建设背景与必要性............................. 错误!未定义书签。

2.1项目背景........................................................... 错误!未定义书签。

2.2项目建设必要性 .............................................. 错误!未定义书签。

第三章市场与需求预测......................................... 错误!未定义书签。

3.1优质粮食供求形势分析 .................................. 错误!未定义书签。

3.2本区域市场需求预测 ...................................... 错误!未定义书签。

3.3服务功能 .......................................................... 错误!未定义书签。

3.4市场竞争力和市场风险预测与对策.............. 错误!未定义书签。

1：数列极限 手册P131.01：求极限时候，函数中有阶乘且趋近于无穷大，要用级数法，即证明函数是收敛的（可以用根值，比值），故趋近于无穷大为0.1.02：已知0x lim ()x f x A ->=，则()f x A α=+，0x lim 0x α->= 1.1：奇+奇=奇，偶+偶=偶，()==奇偶奇奇，（奇）偶，偶偶偶1.2：f(x)为周期函数，0x =(t)dt x Ff ⎰（），不一定是周期函数，但是f （x ）如果是奇函数，这个就成立了。

且为奇函数时候。

00(t)dt (t)dt x x f f -=⎰⎰1.3：判断函数有无上下界，用绝对值放缩或导数最大最小，文登P31.305：奇函数的原函数一定是偶函数。

1.31：()lim ()n f x g x ->∞=，一般把g （x ）给分段 1.4：证明连续：00->0lim[f(x +)-f(x )]x x ∆∆ 1.5：22sin(1)(1)sin[(1)]n n n n ππ+=-+-这个让原本不是交错级数的变成了交错级数。

1.6： xlny=xln （y-1+1),于是等价无穷小于x （y-1）前提是y 趋近于11.7：20f(x)-g(x),0....o x 37式出现可以对二者使用迈克劳林，然后消去相同项，注意不能消去（）文登P 1.8：测试函数：（1）x 大于0,为1，小于0为-1 （有界不收敛）（2）x=sinn ，y=1/n （x 发散，y 收敛，无穷大时xy=0）（3）x （n ）在n 为奇数时为n ，为偶数时为0，y （n ）反过来，xy 都是无界，但是xy=01.9：文登P26.1.55 P23.1.491.91：证连续就是要证，左值=右值=等于该点值，证可导是左导数等于右导数即可。

1.92：看到导数大于小于0的时候，不仅有递增递减，还可以写出导数的极限表达式，然后利用保号性可以通过极限分式下半部的正负性决定上半部的正负性。

2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析来源：文都教育1.已知极限0arctan limkx x xc x ®-=，其中k ，c 为常数，且0c ¹，则（）A. 12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案（D ）解析：用洛必达法则222112100011arctan 1111lim limlim lim (1)kk k k x x x x xx x x x cx kx kx x k x ---®®®®--+-+====+因此112,k c k-==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（）A. 2x y z -+=-B. 0x y z ++=C. 23x y z -+=-D. 0x y z --=答案（A ）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1(1,,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n p ==ò，令1()s i n nnS x b n x p ¥==S ，则（）A .34B. 14C. 14-D. 34-答案（C ）解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ì-Îïï=íï-+Î-ïî，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x Î-且()f x 在x处连续时，()()s x f x =。

考研数学笔记整理考研数学作为考研的三大科目之一，对于许多考生来说是一个不小的挑战。

在备考过程中，进行数学笔记整理可以帮助我们更好地掌握知识点和解题技巧，让我们在考试中更加得心应手。

下面就给大家介绍一些考研数学笔记整理的方法和技巧。

1.题目分类在做数学笔记的时候，我们可以根据题目类型进行分类，比如题型、解题方法等等。

这样可以帮助我们更好地打通知识体系，不至于把某个重要的知识点漏掉了。

同时，这样分类也方便我们复习查漏补缺，知道自己哪方面还需要更细致的学习和整理。

2.多角度思考在做数学笔记的过程中，我们应该注意多角度思考。

比如在学习解题方法时，我们可以边看边想，把自己的思考过程记录下来。

这样可以让我们更深刻地理解这个解题方法，而不是简单地背诵。

同时，注重思考还能够帮助我们在之后的练习中更好地掌握解题技巧。

我们有必要在做笔记时，就开始把自己脑袋里的东西输出出来，这样不仅能够加深印象，还可以帮助我们整理思路。

3.解题思路在做数学笔记时，我们不仅要记录题目和各类解法，还要关注每一个解题方法背后的思路。

对于一些常见的解题思路，我们需要仔细地分析其中的原理及其应用场景。

定期对自己的笔记进行总结，从笔记中找到解题思路，不断提高自己的数学解题能力。

4.注重细节在做数学笔记时，我们要注意记录一些细节，如每个定理的前提条件和结论。

这样可以避免遗漏重要的知识点，以及使我们更好地掌握每个知识点的具体操作方法。

5.不要忘记刷题做笔记是为了帮助我们更好地理解及记忆知识点，但最后考试的目标是拿到高分。

因此，做完笔记后我们要注重刷题及做模拟试题，以加深对知识点的理解和记忆。

通过大量的练习，我们可以检验自己的学习成果和解题水平。

总之，在备考过程中，合理的整理笔记是必不可少的。

希望上述笔记整理方法可以帮助大家更好地备考考研数学。

加油！6.珍视错题在学习过程中，不可避免地会出现错误和疑问。

我们应该珍视自己的错题，及时记录下来，并加以分析和总结。

【转】告诉你该怎么整理考研数学笔记来源：杨双洁w anna的日志得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中，大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。

真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。

我今年数学考得不够好的原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提醒自己时刻细心做题。

数学的辅导书我个人比较反感陈文登的，蛮支持李永乐的，蔡遂林的也不错。

我数学资料做了一大批。

要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。

轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析，让你知道考研真正考什么？该准备什么。

强烈推荐。

2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题，很像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。

2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。

黄庆怀考研高数辅导书--北航出版社出版，这是我见过最好的高数辅导书，有条理有深度，值得买。

武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。

强烈推荐。

其实上面这么多书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。

线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。

强烈推荐。

概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁，还可以，有些地方有些繁琐，有些根本不会考的也作了详细介绍。

2013考研数学一真题及答案解析目录第一章总论........................................................... 错误！未定义书签。

1.1项目提要......................................................... 错误！未定义书签。

1.2结论与建议..................................................... 错误！未定义书签。

1.3编制依据 ........................................................ 错误！未定义书签。

第二章项目建设背景与必要性........................... 错误！未定义书签。

2.1项目背景......................................................... 错误！未定义书签。

2.2项目建设必要性 ............................................ 错误！未定义书签。

第三章市场与需求预测....................................... 错误！未定义书签。

3.1优质粮食供求形势分析 ................................ 错误！未定义书签。

3.2本区域市场需求预测 .................................... 错误！未定义书签。

3.3服务功能 ........................................................ 错误！未定义书签。

3.4市场竞争力和市场风险预测与对策............ 错误！未定义书签。

第四章项目承担单位情况................................... 错误！未定义书签。

考研数学重要定理、性质及公式证明总结1. 证明一元函数可微、可导及连续的关系 :（1） 函数y = f ( x )在点x 0处可微的充分必要条件是函数y = f ( x )在点x 0处可导,且当函数y = f (x )在点x 0处可微时,有dy = f '( x 0 ) ∆x = f '( x 0 ) d x ； （2） 如果函数y = f ( x )在点x 0处可导,则函数函数y = f ( x )在点x 0处必连续,反之不一定.证明:（1）参看同济教材七版上册111页； （2）参看同济教材七版上册82页.2. 证明费马定理 :设函数f ( x )在x = x 0处可导且取极值,则f '( x 0 ) =0. 证明:参看同济教材七版上册125页.3. 证明罗尔定理 :设f ( x )在[a , b ]上连续,在(a , b )内可导,且f (a ) = 证明:参看同济教材七版上册126页.4. 证明柯西中值定理 :f (b ),则至少存在一点ξ ∈(a ,b ), 使得f '(ξ ) =0. 设f ( x )、g ( x )在[a , b ]上连续, (a , b )内可导, 且g '( x ) ≠ 0,则∃ξ ∈(a , b ),使得f (b ) - f (a ) = f '(ξ ).证明:参看同济教材七版上册130页.5. 证明洛必达法则:设f ( x ), g ( x )在点x 0的某去心邻域内可导,且g '( x ) ≠ 0, 又满足:f '( x )f ( x )g (b ) - g (a )f '( x )g '(ξ )（1）lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0（, 2）极限lim 存在或为∞;则lim = lim .x →x 0 x → x 0 x →x 0 g '( x ) x →x 0 g ( x ) x → x 0 g '( x ) 证明:参看同济教材七版上册133页.6. 证明函数单调性的充分判别法 :设f ( x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导,且f '( x ) > 0 (< 0), 则f ( x )在[a , b ]上单调增加（单调减少）. 证明:参看同济教材七版上册144页.7. 证明曲线凹凸性的充分判别法 :设f ( x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内二阶可导,且f ''( x ) > 0 (< 0), 则f ( x )在[a , b ]上的图形是凹的（凸的）. 证明:参看同济教材七版上册148页.8. 证明极值点的充分条件 :设f (x )在x = x 0处二阶可导, f '( x 0 ) = 0, 若f '( x 0 ) > （0 证明:参看同济教材七版上册155页.< 0）,则x = x 0是极小（大）值点.a∆ → a 9. 证明拐点的必要条件及充分条件 :（1）设f ( x )在x = x 0处二阶可导,且点( x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点,则f ''( x 0 ) = 0； （2）设f (x )在x = x 0处三阶可导, f ''( x 0 ) = 0, 若f ''( x 0 ) ≠ 0, 则点(x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点. 证明:（1）设f ''( x 0 )∃ ⇒ f ( x )在x = x 0的某邻域可导,因( x 0 , f ( x 0 ))是曲线的拐点 ⇒ f ( x )在x = x 0的两侧凹凸性相反⇒ f '( x )在x = x 0的两侧单调性相反,又f '( x )在x = x 0连续 ⇒ x = x 0是f '( x )的极值点,对f '( x )使用费马定理, 得f ''( x 0 ) = 0.（2）f ''( x ) = lim f '( x ) - f '( x 0 ) = lim f '( x ) > 0或< 0 ⇒ f '( x )在x = x 两侧异号 0x → x 0 x - x x →x 0 x - x0 0 0⇒ ( x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点.10. 证明积分中值定理 :设f ( x )在[a , b ]上连续,则至少存在一点ξ ∈(a , b ), 使得⎰b f ( x )dx =f (ξ )(b - a ). 证明:参看同济教材七版上册242页例6.11. 证明变限积分函数的连续性 :设f ( x )在[a , b ]上可积,则对∀x 0 ∈[a , b ], 有F ( x ) = xf (t )dt 在[a ,b ]上连续.证明:因f ( x )在[a , b ]上可积, 故f ( x )在[a , b ]上有界,则可设 f ( x ) ≤ M （x ∈[a , b ]）.x +∆xx +∆x 又∀x , x + ∆x ∈[a , b ], 有 ∆F = F ( x + ∆x ) - F ( x ) = ⎰xf (t ) d t - ⎰x f (t )dt = ⎰xf (t )dtx +∆x x +∆x≤ ⎰xf (t ) d t ≤ ⎰xMdt = M ∆x ,因此,当x , x + ∆x ∈[a ,b ]时,lim ∆F = 0,即F ( x )在[a , b ]上连续.x 012. 证明牛顿 — 莱布尼茨公式:设F ( x )是连续函数f ( x )在区间[a , b ]上的一个原函数,则⎰bf ( x )dx = F (b ) - F (a ). 证明:参看同济教材七版上册240页.13. 证明二元函数可微的必要条件 :设z = f ( x , y )在点( x , y )处可微,则z = f ( x , y )在点( x , y )处可导,且z = f ( x , y )在点( x , y )处的 全微分dz = ∂z dx + ∂zdy .∂x ∂y证明: 参看同济教材七版下册73页.14. 证明二元函数可微的充分条件 :设z = f (x , y )的两个偏导数∂z , ∂z在点( x , y )处都连续,则z = f ( x , y )在点( x , y )处可微. ∂x ∂y证明: 参看同济教材七版下册74页.⎰x⎰L Pdx + Qdy = ⎪ ∑ ∞15. 证明比值判别法（数一数三）:⎧⎪⎪ρ < 1 ⇒ ∑ n =1u n 收敛 ∞ u n +1 ⎪ ∞设∑u n 为正项级数, 设ρ = lim ,则⎨ ρ > 1 ⇒ ∑u n 发散n =1 n →∞ u n⎪⎪ρ = 1 ⇒ ∞ n =1u n 可能收敛也可能发散 ⎩证明: 参看同济教材七版下册262页.16.证明阿贝尔定理（数一数三）:∞n =1 如果级数∑ a x n 当x = x ( x ≠ 0)时收敛,那么满足 x < x 的一切x 都使该幂级数绝对收敛;nn =0 ∞反之,如果级数∑ a x n 当x = x 时发散,那么满足 x > x 的一切x 都使该幂级数发散.nn =0证明: 参看同济教材七版下册274页.17. 证明格林公式（数一）:设区域D 由分段光滑的闭曲线L 围成,函数P ( x , y )及Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则 ⎛ ∂Q - ∂P ⎫⎰⎰ ∂x ∂y ⎪dxdy . D ⎝ ⎭证明: 参看同济教材七版下册205页.18. 证明曲线积分与路径无关问题（数一）:我们已知:设P ( x , y ), Q ( x , y )在区域D 上连续,则曲线积分⎰LPdx + Qdy 在D 内与路径无关⇔ 对区域D 内∀ 分段光滑闭曲线C , 有⎰CPdx + Qdy = 0.证明: 设区域D 是一个单连通区域,函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则曲线积分⎰ Pdx + Qdy 在D 内与路径无关 ⇔ ∂Q = ∂P(( x , y )∈ D ).L证明: 参看同济教材七版下册209页.∂x ∂y 证明: 设区域D 是一个单连通区域,函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则Pdx + Qdy 在D 内是某一函数u ( x , y )的全微分⇔ ∂Q = ∂P(( x , y )∈ D ).∂x ∂y （这里的u ( x , y )也称为Pdx + Q dy 的一个原函数） 证明: 参看同济教材七版下册211页.。

考研数学高等数学基础讲义目录第一讲极限 (1)第二讲高等数学的基本概念串讲 (9)第三讲高等数学的基本计算串讲 (13)第四讲高等数学的基本定理串讲 (24)第五讲微分方程 (27)第六讲多元函数微积分初步 (29)1 第一讲 极限核心考点概述1.极限的定义2.极限的性质3.极限的计算4.连续与间断内容展开 一、极限的定义1. lim 是什么？ lim 是什么？x →∙n →∞（1）lim 的情况：x →∙①“ x → ∙ ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x -, x → ∞, x → +∞, x → -∞②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。

比如下面这个例子：sinx sin 1 x【例】计算lim x →0. x sin 1x事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数），k πsin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim不存在. x sin 1 x x →0x sin 1x（2）lim 是什么？n →∞2.极限的定义（1）函数极限的定义：lim f (x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当0 < x →x 0x - x 0< δ 时，恒有f (x ) - A < ε1n n12注：趋向方式六种（2）数列极限定义：lim x = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞注：趋向方式只有一种【例】以下三个说法，（1）“ ∀ε > 0 ，∃X > 0 ，当 x > X 时，恒有件；εf (x ) - A < e 10”是“ lim x →+∞f (x ) = A ”的充要条（ 2 ）“ ∀ 正整数 N ， ∃ 正整数 K ，当 0 <“ lim f (x ) = A ”的充要条件；x →x 0x - x 0 ≤ K时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N（3）“ ∀ε ∈ (0,1) ， ∃ 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件；正确的个数为（）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3二、极限的性质1.唯一性（1） lim e x= ∞, lim e x= 0 ，（2）limsin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ]x →+∞x →-∞x →0xx →∞x →0不存在1- π e x 1【例】设k 为常数，且 I = lim x →0+k ⋅ arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。

高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限21、集合的概念22、常量与变量32、函数43、函数的简单性态44、反函数55、复合函数66、初等函数67、双曲函数及反双曲函数78、数列的极限89、函数的极限910、函数极限的运算规则11一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

目录第一讲极限一极限定义 (3)二极限性质 (4)三函数极限基本计算 (8)四综合计算 (11)五数列极限计算 (14)六函数连续与间断 (16)第二讲一元函数微积分一概念 (17)1. 导数 (18)2. 微分 (20)3. 不定积分 (21)4. 定积分 (23)5. 变限积分 (28)6. 反常积分 (29)二计算 (29)1. 求导 (29)2. 求积 (33)三应用 (40)1. 微分应用 (40)2. 积分应用 (43)四逻辑推理 (43)1. 中值定理 (49)2. 等式证明 (50)3. 不等式证明 (51)第三讲多元函数的微分学（公共部分）一概念 (51)1. 极限的存在性 (51)2. 极限的连续性 (52)3. 偏导数的存在性 (52)4. 可微性 (53)5. 偏导数的连续性 (54)二计算 (54)三应用 (56)第四讲二重积分（公共部分）一概念与性质 (59)二计算 (60)1. 基础题 (60)2. 技术题 (61)三综合计算 (62)第五讲微分方程一概念及其应用 (63)二一阶方程的求解 (64)三高阶方程的求解 (66)第六讲无穷级数一数项级数的判敛 (67)二幂级数求收敛域 (69)三展开与求和 (69)四傅里叶级数 (71)第七讲多元函数微分学一基础知识 (73)二应用 (75)第八讲多元函数积分学一三重积分 (76)二第一型曲线、曲面积分 (78)1. 一线 (78)2. 一面 (79)三第二型曲线、曲面积分 (80)1. 二线 (81)2. 二面 (83)。