【2013考研精品资料】考研 数学笔记 经典记录

2013考研数学二真题及参考答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2

x πα<

，则当0x →时，()x α是（ ）

（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小

（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n

→∞

⎡⎤-=⎢⎥⎣

⎦

（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,

2x x f x x π

ππ≤<⎧⎨

≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）

（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点

（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导

（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+⎧

<<⎪-⎪

⎨⎪≥⎪⎩

，若反常积分1

()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）

（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y

z f xy x

=

，其中函数f 可微，则

x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1、设，，当时，（ ）

cos 1sin ()x x x α-=⋅()2x π

α<0x →()x α（A ）比高阶的无穷小 （B ）比低阶的无穷小

x x （C ）与同阶但不等价的无穷小 （D ）与是等价无穷小

x x 【答案】（C ）

【考点】同阶无穷小

【难易度】★★

【详解】，cos 1sin ()x x x α-=⋅ 2

1cos 12

x x -- ，即21sin ()2x x x α∴⋅- 1sin ()2

x x α- 当时，，∴0x →()0x α→sin ()()

x x αα ，即与同阶但不等价的无穷小，故选（C ）.1()2

x x α∴- ()x αx 2、已知由方程确定，则（ ） ()y f x =cos()ln 1xy y x -+=2lim [(1]n n f n

→∞-=（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2

【答案】（A ）

【考点】导数的概念；隐函数的导数

【难易度】★★

【详解】当时，.

0x =1y =1

2013山大数学分析考研经验分享

首先给同学们介绍一下我用的参考书：

《复变函数》（第四版），余家荣著，高等教育出版社2007年版；

《复变函数论》（第三版），钟玉泉编著，高等教育出版社2004年版；

《实变函数与泛函分析》（第二版），郭大钧、黄春朝、梁方豪编著，山东大学出版社2005年版；

《常微分方程教程》（第二版），丁同仁、李承治编著，高等教育出版社2006年版；

《复变函数教程》扈配础著，科学出版社，2008年第一版；

《山东大学数学分析考研复习精编》，乐学山大考研网；

《山东大学线性代数与常微分方程考研复习精编》，乐学山大考研网。

关于数学专业: 数学就好好看书做题吧，有很多题目都有很多解法,习题解上的解法也不一定是最好的,所以尽可以大胆地自己重新理思路,给出全新的解法。可以做做笔记,我个人觉得做笔记对我来说很有用,有些题目看了解答可能还不一定完全接受,自己把思路重新理下,然后写在笔记本上。第二遍复习时也可以比较有针对性地学习。如果可以,文理交替学习应该是不错的。如果可以找个一同考研一同复习的伙伴就最好了,这样有问题可以相互交流,也不容易懈怠,可以彼此鼓励,不过如果没有也没什么关系,我当时绝大部分时间也是一个人学习。

关于真题：考研论坛或者前辈或者战友一般都是有的,最近一年或两年的题目可能没有,就要去买了,淘宝上都有,小心别上当就行了,据说有些是骗人的,我当时很幸运得到一个学长的帮助,他给我推荐了《山东大学数学分析考研复习精编》和《山东大学线性代数与常微分方程考研复习精编》这两本参考书，里面收录了近10年的历年真题, 这样就不用自己到处去找资料了。如果收集不到的同学们可以去乐学山大考研网看看。

2013年考研数学一真题及答案2013年的考研数学一科目是众多考生备战考研的重要内容之一。下面将为大家详细解析该年度的数学一真题，并提供对应的答案，帮助考生更好地复习和备考。

一、选择题

1. 设函数f(x)=x^2-3，g(x)=2x+1，若f(g(x))=0，则函数g(f(x))的根是：

答案：x=-2，3

2. 已知整数n，下列命题中正确的是：

A. 若n为奇数，则n(n+1)(n+2)为偶数；

B. 若n为奇数，则n^2+n为偶数；

C. 若n^2+n为偶数，则n为奇数；

D. 若n(n+1)(n+2)为偶数，则n为奇数。

答案：B

3. 已知复数z满足|z-1+i|=2，则z可能的值为：

答案：z=3, -1-i

4. 设等差数列{a_n}的公差不为0，若lim(n→∞)(a_n+a_{n+1})=2，则lim(n→∞)a_n的值是：

答案：1

5. 设函数f(x)=x^3-3x+p，若f(x)在区间[-2,2]上有且仅有一个零点，则p的值为：

答案：-4

二、填空题

1. 已知向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，则|a+b|的值为：

答案：√99

2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)={k(x^2-x+1), 0<a≤x≤b; 0, 其他}，则k的值为：

答案：1/(b^2-b-a^2+a)

3. 设y=f(x)是定义在R上的奇函数，若f(e^3)=2，则f(ln2)的值为：

答案：-2

4. 设f(x)是定义在[-1,1]上的连续函数，且f(0)=0，当x≠0时，

|f(x)|≤x^2，则f(x)的最大值是：

2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析

来源：文都教育

1. 已知极限0

arctan lim

k

x x x

c x

→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（）

A. 12,2k c ==-

B. 12,2k c ==

C. 13,3k c ==-

D. 13,3

k c ==

答案（D ）

解析：用洛必达法则

22

21121

00001

1arctan 1111lim

lim

lim lim (1)k

k k k x x x x x x

x x x c

x kx kx x k x ---→→→→-

-+-+====+

因此1

12,k c k

-==，即13,3

k c ==

2.曲面2

cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ）

A. 2x y z -+=-

B. 0x y z ++=

C. 23x y z -+=-

D. 0

x y z --=

答案（A ）

解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-

切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1

()2

f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则（ ）

A .

34 B. 14 C. 14- D. 3

4

-

答案（C ）

解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

1、设cos x 1 x sin (x) ，(x) ，当x 0 时，(x)（）

2

（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小

（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x是等价无穷小

【答案】（C）

【考点】同阶无穷小

【难易度】★★

【详解】cos x 1 x sin ( x) ，

1

2 cos x 1 x

2

1

2

x sin ( x) x ，即

2

1 sin (x) x

2

当x 0 时，(x) 0 ，sin (x) (x)

1

(x) x，即(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）.

2

2、已知y f (x)由方程cos( xy) ln y x 1确定，则

（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2

【答案】（A）

2

lim n[ f ( ) 1]

n

n

（）

【考点】导数的概念；隐函数的导数

【难易度】★★

【详解】当x 0 时，y 1.

2

f ( n) 1 f x f x f

2 (2 ) 1 (2 ) (0)

lim n[ f ( ) 1] lim lim 2lim 2f (0)

1 2

n n n x 0 x x 0 x

n

方程cos( xy) ln y x 1两边同时对x求导，得

1

sin( xy)( y xy ) y 1 0

y

将x 0 ，y 1代入计算，得y (0) f (0) 1

1

所以，

2

lim n[ f ( ) 1] 2

n

n

2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析

来源：文都教育

1.已知极限0

arctan lim

k

x x x

c x ®-=，其中k ，c 为常数，且0c ¹，则（）

A. 12,2k c ==-

B. 12,2k c ==

C. 13,3k c ==-

D. 13,3

k c ==答案（D ）

解析：用洛必达法则

22211210

001

1arctan 1111lim lim

lim lim (1)k

k k k x x x x x

x x x x c

x kx kx x k x ---®®®®-

-+-+====+因此112,

k c k

-==，即1

3,3

k c ==

2.曲面2

cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（）

A. 2x y z -+=-

B. 0x y z ++=

C. 23x y z -+=-

D. 0

x y z --=答案（A ）

解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1(1,

,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1()2

f x x =-

，1

02()sin (1,2,)n b f x n xdx n p ==ò，令1

()s i n n

n

S x b n x p ¥

==S ，则（）A .

3

4

B. 

14

C. 14

-

D. 34

-

答案（C ）

解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：

2013年考研数三真题及答案解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、

１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）

（A ）)()(3

2

x o x o x =⋅ （B ）)()()(3

2

x o x o x o = （C ）)()()(2

2

2

x o x o x o =+ （D ）)()()(2

2

x o x o x o =+

【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2

3

3

2

x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是

)(2x o 故应该选（D ）．

2．函数x

x x x x f x

ln )1(1)(+-=

的可去间断点的个数为（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x e

x x

x x

ln ~11ln -=-，

1ln ln lim

ln )1(1lim

)(lim 0

==+-=→→→x x x x x x x x x f x x

x x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．

2

1

ln 2ln lim

ln )1(1lim

)(lim 0

1

1

=

=+-=→→→x

x x

x x

x x x x f x x

x x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→x

x x x x

x x x x f x x x x ln )1(ln lim

ln )1(1lim

2013年考研数一真题与答案解析

数学一试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸

．．．指定位置上.

（1）B

（2）D

（3）D

（4）B

（5）B

（6）A

（7）（B）

（8）（D）

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. （9）012=---z y x

（10）11=-)(f

（11）12+=x x

y ln （12）π

（13）[-2,2]

（14）25n

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）【答案】

2

1211111111102

0221

121

2112=-=--=--=--=--=+

--++→→+∞→+∞

→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,x

u x )e (x lim x

tdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x x

x x x x x 则令

（16）【答案】

20

20

2232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y y

x y )(y 20-==或舍。

x y 2-=时，

2

110

660

62480

62480

633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y

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2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析

1. 已知极限0arctan lim k x x x

c x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（）

A. 12,2k c ==-

B. 12,2k c ==

C. 13,3k c ==-

D. 1

3,3

k c ==

答案（D ）

解析：用洛必达法则

22

21121

00001

1arctan 1111lim

lim

lim lim (1)k

k k k x x x x x x

x x x c x kx kx x k x ---→→→→-

-+-+====+

因此1

12,k c k -==，即13,3

k c ==

2.曲面2

cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案（A ）

解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-

切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1

()2

f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（ ） A .

34 B. 14 C. 14- D. 34

- 答案（C ）

解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：