同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章 函数与极限

一、内容提要

（一）主要定义

【定义 1.1】 函数 设数集,D R ⊂如果存在一个法则，使得对D 中每个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称:f D R →为定义在D 上的函数,记作

(),y f x x D =∈.

x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域.

【定义1.2】 数列极限 给定数列{}

x n 及常数a ,若对任意0ε>,总存在正整数N ,使得当n N >时,恒有x a n -

x n 收敛于a ,记为a x n n =∞

→lim .

【定义1.3】 函数极限

（1）对于任意0ε>,存在()0δε>,当δ<-<00x x 时,恒有()ε<-A x f .则称A 为()f x 当0x x →时的极限,记为A x f x x =→)(lim 0

.

（2） 对于任意0ε>,存在0X >,当x X >时,恒有f x A ()-

()f x 当x →∞时的极限,记为lim ()x f x A →∞

=.

（3）单侧极限

左（右）极限 任意0ε>,存在()0δε>,使得当000(0)

x x x x δδ-<-<<-

→→时)(x f 有左（右）极限A ,记为

00

lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -

+→→== 或00(0)((0))f x A f x A -=+=.

单边无穷极限 任意0ε>,存在0X >,使得当x X >（x X <-）时, 恒有

f x A ()-

=（lim ()x f x A →-∞

=） .

【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()f x 当0x x →(或x →∞)时的极限为零（|()|f x 无限增大）,那么称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小（无穷大）.

第一章函数与极限〔考研必考章节，其中求极限是本章最重要的内容，要掌握求极限的集中方法〕第一节映射与函数〔一般章节〕一、集合〔不用看〕二、映射〔不用看)三、函数(了解〕注：P1--5 集合部分只需简单了解P5--7不用看P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界P17--20 不用看P21 习题1.11、2、3大题均不用做4大题只需做〔3〕〔5〕〔7〕〔8〕5--9 均做10大题只需做〔4〕〔5〕〔6〕11大题只需做〔3〕〔4〕〔5〕12大题只需做〔2〕〔4〕〔6〕13做14不用做15、16重点做17--20应用题均不用做

第二节数列的极限〔一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看〕

一、数列极限的定义〔了解〕二、收敛极限的性质〔了解〕P26--28 例1、2、3均不用证p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解P30 定理4不用看P30--31 习题1-21大题只需做〔4〕〔6〕〔8〕2--6均不用做

第三节〔一般章节〕〔标题不再写了对应同济六版教材标题〕

一、〔了解〕二、〔了解〕P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可P35 例6 要会做例7 不用做P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4〞完全不用看p37习题1--31--4 均做5--12 均不用做

第四节〔重要〕一、无穷小〔重要〕二、无穷大〔了解〕p40 例2不用做 p41 定理2不用证p42习题1--41做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做

第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在)p43 定理1、2的证明要理解p44推论1、2、3的证明不用看p48 定理6的证明不用看p49 习题1--51题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做

第一篇 函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续

高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.

第1节 集合与函数

1.1 集合

1.1.1 集合

讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.

通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.

如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.

一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.

集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成

A ={1,2,3,4,5}；

第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为

{}P x x M 具有性质|=.

例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为

{}

02|2<--=x x x A .

由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：

（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；

高等数学教学教案

第一章函数、连续与极限授课序号01

)C

C

C B A B =； （)C

C

C B A B =.

C ，其中C 为某确定的常数它的定义域为(),

D =-∞+∞，值域为轴的直线，这个函数称为常数函数,0

x x x ≥⎧=),-∞+∞[)0,W =+∞

授课序号02

授课序号03

授课序号04

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【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01

章函数与极限】

第一章函数与极限

教学目的：

1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问

题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限

存在与左、右极限

之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两

个重要极限求极限

的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等

价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间

断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续

函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应

用这些性质。

教学重点：

1、复合函数及分段函数的概念；

2、基本初等函数的性质及其图形；

3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；

4、两个重要极限；

5、无穷小及无穷小的比较；

6、函数连续性及初等函数的连续性；

7、区间上连续函数的性质。

教学难点：

1、分段函数的建立与性质；

2、左极限与右极限概念及应用；

3、极限存在的两个准则的应用；

4、间断点及其分类；

5、闭区间上连续函数性质的应用。

1. 1 映射与函数

一、集合

1. 集合概念

集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.

《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出书社

第一周学习任务

第一章第1 节习题1－1

4(3)(6) (8),5(3),9(2),15(4),17

函数的概念

函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

复合函数、反函数、分段函数和隐函数

初等函数具体概念和形式，函数关系的成立

第2 节习题1－2

1(2) (5) (8)

数列极限的定义

数列极限的性质(独一性、有界性、保号性)

第3 节习题1－3

2,4

函数极限的概念

函数的左极限、右极限与极限的存在性

函数极限的根本性质〔独一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数

极限与数列极限的关系等〕

第4 节习题1－4

4,6

无穷小与无穷大的定义

无穷小与无穷大之间的关系

第5 节习题1－5

1(5)(11)(13),3,5 极限的运算法那么(6 个定理以及一些推论)

第6 节习题1－6

1(2)(6),2(1)(4),4(1)(3)

函数极限存在的两个准那么〔夹逼定理、单调有界数列必有极限〕

两个重要极限〔注意极限成立的条件，熟悉等价表达式〕

操纵函数极限求数列极限

第7 节习题1－7

1,2,3(1),4(3)(4)

无穷小阶的概念〔同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶

无穷小〕及其应用

一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法

第8 节习题1－8

3(4),4,5

函数的持续性，函数的间断点的定义与分类〔第一类间断点与第二类间断点〕

判断函数的持续性和间断点的类型

第9 节习题1－9

3(4)(6)(7),4(4) (6),6

持续函数的、和、差、积、商的持续性

反函数与复合函数的持续性