同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章 函数与极限§1. 2 数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积:A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子:{1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ , 1+n n ⋅ ⋅ ⋅; {2n }: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n , ⋅ ⋅ ⋅;{n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ;{n n n 1)1(--+}: 2, 21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ . 它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+. 数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数:x n =f (n ),它的定义域是全体正整数.数列的极限:数列的极限的通俗定义：对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11lim =+∞→n n n ,021lim =∞→n n , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n}, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞). 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.数列极限的几何解释: 例题:例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n 1, 即ε1>n . 证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -1|=ε<=--+-n n n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 例2. 证明0)1()1(lim2=+-∞→n n n . 分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n . 对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn . 证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n , 所以0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 例3. 设|q |<1, 证明等比数列1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使|x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。

第一篇 函数、极限与连续第一章 函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节 集合与函数1.1 集合1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为{}P x x M 具有性质|=.例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为{}02|2<--=x x x A .由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .1.1.2 区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则（1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(；（3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(，{}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）图 1-1 在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的邻域，记作),(0δx U ，即{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o，即 {}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o,图形表示为（图1-3）：图1-3 其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域.1.2函数的概念1.2.1函数的定义定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y 为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即{}D x x f y y R f ∈==),(|.函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例1 求函数211x x y --=的定义域. 解 x1的定义区间满足：0≠x ；21x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x .这两个函数定义区间的公共部分是1001≤<<≤-x x 或.所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.例2 判断下列各组函数是否相同.（1）x x f lg 2)(=，2lg )(x x g =；（2）334)(x xx f -=，31)(-=x x x g ；（3）x x f =)(，2)(x x g =.解 （1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以)(x f 和)(x g 是相同函数.（3）x x f =)(，x x x g ==2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例: 例3 函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如图1-4：图1-4例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ， 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x 通过对于法则f 有确定的y 值与之对应，但这个y 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2 函数的性质设函数)(x f y =，定义域为D ，D I ⊂.（1）函数的有界性定义3 若存在常数0>M ，使得对每一个I x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在I 上有界.若对任意0>M ，总存在I x ∈0，使M x f >)(0，则称函数)(x f 在I 上无界.如图1-6：图1-6例如 函数 x x f sin )(=在),(+∞-∞上是有界的:1sin ≤x .函数 xx f 1)(=在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.（2）函数的单调性 设函数)(x f y =在区间I 上有定义, 1x 及2x 为区间I 上任意两点, 且21x x <.如果恒有)()(21x f x f <, 则称)(x f 在I 上是单调增加的；如果恒有)()(21x f x f >, 则称)(x f 在I 上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性 设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称.如果在D 上有)()(x f x f =-, 则称)(x f 为偶函数；如果在D 上有)()(x f x f -=-, 则称)(x f 为奇函数.例如，函数2)(x x f =，由于)()()(22x f x x x f ==-=-，所以2)(x x f =是偶函数；又如函数3)(x x f =，由于)()()(33x f x x x f -=-=-=-，所以3)(x x f =是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数)(x f y =的定义域为D . 如果存在一个不为零的数l ,使得对于任一D x ∈有()D l x ∈±, 且())(x f l x f =±, 则称)(x f 为周期函数, l 称为)(x f 的周期.如果在函数)(x f 的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(x f 的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.例如，函数x y sin =和x y cos =是周期为π2的周期函数，函数x y tan =和x y cot =是周期为π的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如，常量函数C x f =)(，对任意实数l ，都有)()(x f l x f =+，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数⎩⎨⎧∈∈=c Qx Q x x D ,0,1)(， 当c Q x ∈时，对任意有理数l ，cQ l x ∈+，必有)()(x D l x D =+，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期. 1.3 反函数 在初等数学中的函数定义中，若函数)(:D f D f →为单射,若存在:1-f D D f →)(，称此对应法则1-f 为f 的反函数.习惯上,D x x f y ∈=),(的反函数记作)(),(1D f x x f y ∈=-.例如，指数函数),(,+∞-∞∈=x e y x 的反函数为),0(,ln +∞∈=x x y ，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数)(x f y = 单调递增(减)，其反函数)(1x fy -=存在，且也单调递增（减）. （2）函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.下面介绍几个常见的三角函数的反函数：正弦函数x y sin =的反函数x y arcsin =，正切函数x y tan =的反函数x y arctan =. 反正弦函数x y arcsin =的定义域是]1,1[-，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；反正切函数x y arctan =的定义域是),(+∞-∞，值域是⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，如图1-10：9图1-101.4复合函数定义4 设函数f D u u f y ∈=),(，函数f g g D R D x x g u ⊂∈=值域,),(，则()()g D x x g f y x g f y ∈==),()( 或称为由)(),(x g u u f y ==复合而成的复合函数，其中u 为中间变量.注：函数g 与函数f 构成复合函数g f 的条件是f g D R ⊂，否则不能构成复合函数.例如，函数]1,1[arcsin -∈=u u y ，，R x x u ∈+=,22.在形式上可以构成复合函数()2arcsin 2+=x y .但是22+=x u 的值域为]1,1[),2[-⊄+∞，故()2arcsin 2+=x y 没有意义. 在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则： 从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5 对函数x a y sin =分解.解 x a y sin =由u a y =，x u sin =复合而成.例6 对函数)12(sin 2+=x y 分解.解 )12(sin 2+=x y 由2u y =，v u sin =，12+=x v 复合而成.1.5初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数：常数函数：C y =（C 为常数）；幂函数：)0(≠=ααx y ；指数函数：)10(≠>=a a a y x 且；对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======；反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.这六种函数统称为基本初等函数.定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，x e y sin =，)12sin(+=x y ，2cot x y =等都是初等函数. 需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数⎩⎨⎧≥<-=0,0,x x x x y ， 可表示为2x y =.习题 1-11.求下列函数的定义域.（1）21x y -=； （2）2411x xy -++=； （3）2ln 2x x y -=； （4）43arcsin -=x y ； （5）452+-=x y ； （6）2)3ln(--=x x y . 2.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同，为什么？（1）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （2）x x f =)(，2)(x x g =； （3）x x f =)(，x e x g ln )(=； （4）x x f =)(，)sin(arcsin )(x x g =.3.已知)(x f 的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.（1）)(2x f ； （2）)(tan x f ； （3）)0)(()(>-++a a x f a x f .4.设()5312++=+x x x f ，求)(x f ，)1(-x f . 5.判断下列函数的奇偶性.（1）x x y tan sin ⋅=； （2）()1lg 2++=x x y ； （3）2xx e e y -+=； （4）)1(3+=x x y ； （5）⎩⎨⎧>+≤-=0,10,1x x x x y . 6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(>-l l l 上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.（1）)1sin(+=x y ； （2）x y 2cos =；（3）x y πsin 1+=； （4）x y 2cos =.8.求下列函数的反函数.（1）31-=x y ； （2）)2lg(1++=x y ；（3）x x e e y +=1； （4）),(2sin 2ππ-∈=x x y ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=4,241,1,2x x x x x y x .9.下列函数是有哪些函数复合而成的.（1）)13sin(+=x y ； （2）)21(cos 3x y +=；（3）))1ln(arcsin(+=x y ； （4）2sin x e y =.10.设2)(x x f =，x x ln )(=ϕ，求())(x f ϕ，())(x f f ，())(x f ϕ.第2节 极限极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义1 若按照一定的法则，有第一个数1a ，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数n a ，那么，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。

第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重第二章要的内容，要掌握求极限的集中方法）第三章第四章第一节映射与函数（一般章节）第五章一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解）第六章注：P1--5 集合部分只需简单了解第七章P5--7不用看第八章P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界第九章P17--20 不用看第十章P21 习题1.1第十一章1、2、3大题均不用做第十二章4大题只需做（3）（5）（7）（8）第十三章5--9 均做第十四章10大题只需做（4）（5）（6）第十五章11大题只需做（3）（4）（5）第十六章12大题只需做（2）（4）（6）第十七章13做14不用做15、16重点做第十八章17--20应用题均不用做第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看）一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解）二、P26--28 例1、2、3均不用证三、p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解四、P30 定理4不用看五、P30--31 习题1-2六、1大题只需做（4）（6）（8）七、2--6均不用做第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题）一、（了解）二、（了解）二、P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可三、P35 例6 要会做例7 不用做四、P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看五、六、p37习题1--3七、1--4 均做5--12 均不用做第四节（重要）第五节第六节一、无穷小（重要）二、无穷大（了解）第七节第八节 p40 例2不用做 p41 定理2不用证第九节 p42习题1--4第十节第十一节 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在)第六节p43 定理1、2的证明要理解第七节p44推论1、2、3的证明不用看第八节p48 定理6的证明不用看第九节p49 习题1--5第十节1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14)第十一节2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明第七节第八节第九节p50 准则1的证明要理解第十节p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)第十一节第十二节p53另一个重要极限的证明可以不用看第十三节p55--56柯西极限存在准则不用看第十四节第十五节p56习题1--7第十六节第十七节1大题只做(1)(4)(6)第十八节2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做第七节(重要）第八节p58--59 定理1、2的证明要理解第九节p59 习题1--7 全做第十节第八节（基本必考小题）第九节p60--64 要重点看第八节基本必出考题第十节p64 习题1--8第十一节第十二节1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做第十三节6--8不用做第九节（了解）第十节p66--67 定理3、4的证明均不用看第十一节p69 习题1--9第十二节1、2要做第十三节3大题只做（3）——（6）第十四节4大题只做（4）——（6）第十五节5、6均要重点做第十节（重要，不单独考大题，但考大题会用到）第十一节第十二节一、（重要）二、（重要）p72三、一致连续性（不用看）第十三节p74习题1--10第十四节1、2、3、5要做，要会用5的结论。

高等数学电子教案word【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。

教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。

1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如a={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},m={x | x具有性质p }.例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a或x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a且x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即a\b={x|x∈a且x?b}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.集合运算的法则:设a、b、c为任意三个集合, 则(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.(a?b)c=ac ?bc的证明:x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.3. 区间和邻域有限区间:设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|axb}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).二、映射1. 映射的概念定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作f : x→y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即d f=x ;x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即r f=f(x)={f(x)|x∈x}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22满射、单射和双射:设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即g : r f →x,对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : x→y 1,f : y 2→z,其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.三、函数1. 函数概念定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈d,其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:1 求函数y=-x2-4的定义域. x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).单值函数与多值函数:【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

第一章：函数与极限1.1 初等函数图象及性质1.1.1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。

幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。

例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。

但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。

最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]1.1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。

因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。

若a>1，指数函数a x是单调增加的。

若0<a<1，指数函数a x是单调减少的。

由于y=(1/a)-x=a-x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。

[如图]2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a>0，a≠1），叫做对数函数。

它的定义域是区间(0,+∞)。

对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。

y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。

若a>1，对数函数log a x是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞)内函数值为正。

若0<a<1，对数函数log a x是单调减少的，在开区间(0,1)内函数值为正，而在区间(1,+∞)内函数值为负。

[如图] 1.1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞)，值域都是必区间[-1,1]。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。

《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出书社第一周学习任务第一章第1 节习题1－14(3)(6) (8),5(3),9(2),15(4),17函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的成立第2 节习题1－21(2) (5) (8)数列极限的定义数列极限的性质(独一性、有界性、保号性)第3 节习题1－32,4函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的根本性质〔独一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等〕第4 节习题1－44,6无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系第5 节习题1－51(5)(11)(13),3,5 极限的运算法那么(6 个定理以及一些推论)第6 节习题1－61(2)(6),2(1)(4),4(1)(3)函数极限存在的两个准那么〔夹逼定理、单调有界数列必有极限〕两个重要极限〔注意极限成立的条件，熟悉等价表达式〕操纵函数极限求数列极限第7 节习题1－71,2,3(1),4(3)(4)无穷小阶的概念〔同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小〕及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法第8 节习题1－83(4),4,5函数的持续性，函数的间断点的定义与分类〔第一类间断点与第二类间断点〕判断函数的持续性和间断点的类型第9 节习题1－93(4)(6)(7),4(4) (6),6持续函数的、和、差、积、商的持续性反函数与复合函数的持续性初等函数的持续性第10 节习题1－101,3有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在长短常重要的一种方法)总复习题一总复习题一3(2),9(2)(4)(6),10,13总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第二周学习任务在进行第二周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第一周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第二章第1 节习题2－12,6,7,8,13,16(2),17导数的定义、几何意义、物理意义单侧与双侧可导的关系可导与持续之间的关系函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质按照定义求导及其适用的情形，操纵导数定义求极限会求平面曲线的切线方程和法线方程第2 节习题2－22(9),3(2),4,7(8),8(5),11(6)(9)导数的四那么运算公式〔和、差、积、商〕反函数的求导公式复合函数的求导法那么根本初等函数的导数公式分段函数的求导第3 节习题2－31(3), 3(2),4(1),8,10(2),高阶导数n 阶导数的求法〔归纳法，莱布尼兹公式〕第4 节习题2－41(1),2,3(4),4(1),5(2),10隐函数的求导方法，对数求导法由参数方程确定的函数的求导方法第5 节习题2－52,6函数微分的定义，几何意义根本初等函数的微分公式微分运算法那么，微分形式不变性一元函数微分在函数近似计算中的应用总复习题二总复习题二1,3,6(1),7,11,13,14总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第三周学习任务在进行第三周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第二周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第三章第1 节习题3－16,8,11(1),12,15费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义构造辅助函数第2 节习题3－21(10)(13)(15),4 洛必达法那么及其应用第3 节习题3－35,7,10(2) (3)泰勒中值定理麦克劳林展开式第4 节习题3－43(6) ,5(4),6,9(5) ,10(3),12函数的单调区间，极值点函数的凹凸区间，拐点第5 节习题3—51(8),4(3),10,11函数极值的存在性：一个必要条件，两个充实条件最大值最小值问题函数类的最值问题和应用类的最值问题第6 节习题3－61,4操纵导数作函数图形〔一般出选择题〕：函数f (x)的间断点、f '(x)和f ''(x)的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内f '(x)和f ''(x)的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点第四周学习任务在进行第四周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第三周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第三章第7 节习题3－75弧微分曲率的定义，曲率的计算公式,曲率圆、曲率半径总复习题三总复习题三1,2(2),6,7,9,10(4),11(3),12,17总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第四章第1 节习题4－11(1),2(1)(6)(8)(13)(17)(19)(21)(25),5原函数和不定积分的概念与根本性质〔之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系〕根本的积分公式原函数的存在性、几何意义和力学意义第2 节习题4－22(1)(3)(6)(9)(13)(15)(16)(17)(19)(21)(30)(32)(34)(36) (37)第一类换元积分法〔凑微分法〕第二类换元积分法第3 节习题4－32,5,6,9,14,17,18,19,22,24 分部积分法第4 节习题4－42,4,8,20,23 有理函数积分法，可化为有理函数的积分总复习题四总复习题四1,2,5,9,10,12,14,16,21,23,33,35,38 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第五周学习任务在进行第五周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第四周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第五章第1 节习题5—12(1),3(2)(3),11,12(2),13(5)定积分的定义与性质(7 个性质)函数可积的两个充实条件第2 节习题5—25(2),6(5)(8)(11)(12),9(2),10,12,13积分上限函数及其导数牛顿－莱布尼兹公式第3 节习题5—31(2)(4)(6)(10)(12)(19)(21)(24)(26) ,5,6,7(11)定积分的换元法定积分的分部积分法第4 节习题5—41(4)(8)(10),2无穷限的反常积分无界函数的反常积分总复习题五总复习题五1(1) (2) (4) ,3(2),4(2),10(7) (9)(10),11,12,13,14总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第六章第1 节————元素法第2 节习题6—21(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1)(3) ,16,19,21求平面图形的面积〔直角坐标情形、极坐标情形〕旋转体的体积及侧面积平行截面面积为的立体的体积、平面曲线的弧长第3 节习题6—35,11 用定积分求功、水压力、引力总复习题六总复习题六2,3,5 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第六周学习任务在进行第六周学习任务前，先拿出两天的时间对前五周学习的内容进行简单的复习.首先用一天的时间总结归纳第五周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库；其次用一天对前五周的常识点、难题及错题进行复习章学习内容习题章节操练标题问题备注第七章第1 节习题7—11(1)(4) ,2(2)(4),4(2),5(2)微分方程的根本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解第2 节习题7—21(1)(3)(4)(7),2(3),4,6可别离变量的微分方程的概念及其解法第3 节习题7—31(1)(4),2(1),3一阶齐次微分方程的形式及其解法可化为齐次的方程第4 节习题7—41(2)(3)(7)(10),2(1)(4),3,4,7(3),8(5)一阶线性微分方程的形式和解法伯努利方程的形式和解法第5 节习题7—51(1)(4)(7),2(2),3用降阶法解以下微分方程：y(n) = f ( x)，y'' = f ( x,y')和y'' = f ( y, y')第6 节习题7—61(1)(3)(6),4(2),n 阶线性微分方程的形式线性微分方程的解的布局：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质第7 节习题7—71(1)(4)(5),2(2)(3),特征方程特征方程的根与微分方程通解中的对应项微分方程的通解第8 节习题7—81(1)(3)(7)(9),2(2),6二阶常系数非齐次线性微分方程，此中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积第9 节习题7—96 欧拉方程的形式和通解总复习题七总复习题七1(1)(2)(3)(4), 2,3(1)(2)(7),4(4) ,7总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第七周学习任务在进行第七周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第六周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第八章第1 节习题8—113,15向量概念和线性运算，空间直角坐标系操纵坐标作向量的线性运算向量的模、标的目的角、投影第2 节习题8—23,7,9(1)(2)(3),10向量积、数量积、混合积的概念、性质、运算律、物理意义两向量平行、垂直的充要条件第3 节习题8—32,7,10(1)(4),11(3)曲面方程的概念旋转曲面的概念，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程柱面的概念及二次曲面的概念与常用二次曲面〔锥面、椭球面、双曲面、抛物面〕的方程及其图形第4 节习题8—4 3,5(1),8 空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程第5 节习题8—5 1,3,5,9平面的点法度方程、一般方程两平面的夹角，两平面垂直、平行或重合的充要条件第6 节习题8—6 1 ,3,4,5,8,14空间直线的一般方程、对称式方程、参数方程两直线的夹角，两直线垂直、平行或重合的充要条件直线与平面的夹角，直线与平面垂直、平行的充要条件平面束总复习题八总复习题八1(1)(2)(3)(4),7,10,12,13,14(1)(2),15,17,20 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第九章第1 节习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(4),7(1),8 二元函数的极限、持续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理第2 节习题9—2 1(4)(5)(6),4,6(2),8,9(2) 偏导数的概念，高阶偏导数的求解第3 节习题9—3 1(1) (4),2,3,5 全微分的定义，可微分的必要条件和充实条件第4 节习题9—4 2,4,6,8(1),10,12(1)多元复合函数求导法那么〔共3 个定理〕全导数全微分形式不变性第5 节习题9—5 1,4,6,8,10(1)一个方程的情形〔定理1，定理2〕方程组的情形〔定理3〕第八周学习任务在进行第八周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第七周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第九章第6 节习题9—6 3,6,8空间曲线的切线与法平面，曲线在一点处的切向量曲面的切平面与法线，曲面在一点处的法向量第7 节习题9—7 2,5,8标的目的导数的概念，标的目的余弦标的目的导数与可微的关系梯度的概念与计算公式第8 节习题9—8 1,2,6,9,11多元函数极值、极值点的概念多元函数极值的必要条件、充实条件条件极值，拉格朗日乘数法第9 节习题9—9 二元函数的二阶泰勒公式总复习题九总复习题九1,2,5,6(2) ,8,9,11,15,18 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十章第1 节习题10—1 2,4(1)(2)(3),5(1)(4)二重积分的定义、几何意义二重积分的性质〔6 个〕二重积分的中值定理第2 节习题10—21(1)(4),2(1)(3),4(1)(3),6(1)(2)(6),11(1)(3),12(1)(3),13(1 )(3),14(1) (3)操纵直角坐标计算二重积分操纵极坐标计算二重积分第九周学习任务在进行第九周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第八周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库天数学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十章第3 节习题10-31(2),4,5,6,7,9(1)(2), 10(1)(2),11(1)(2)(3)(4),12(1)(3)三重积分的定义和性质、操纵直角坐标计算三重积分、操纵柱面坐标计算三重积分、操纵球面坐标计算三重积分第4 节习题10—4 1,2,3,4(1),5,7,(1)(3) ,14 曲面的面积、质心、动弹惯量、引力总复习题十总复习题十1(1),2(1)(3),3(1),6,8(1),10,11,12 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十一章第1 节习题11—1 1,3(1)(3)(5)(7) 对弧长的曲线积分的概念、性质、计算方法第2 节习题11—2 1,3(1)(3)(5)(7),4(1) (3),7(1)(2)对坐标的曲线积分的概念、性质、计算方法两类曲线积分之间的联系第3 节习题11—31(1)(2),2(1),3,4(1)(2),5(1)(3), 6(1)(3)格林公式操纵格林公式计算曲线积分平面上曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积第4 节习题11—4 4(1)(2),5(1) (2),6 (1) (3) 对面积的曲面积分的概念、性质、计算方法第5 节习题11—5 3(1)(3) (4),4(1)对坐标的曲面积分的概念、性质、计算方法两类曲面积分之间的联系第十周学习任务在进行第十周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第九周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十一章第6 节习题11—61(1)(3),2(1),3(1)高斯公式操纵高斯公式计算曲面积分散度的概念与计算第7 节习题11—72(1)(2),3(1)斯托克斯公式操纵斯托克斯公式计算曲线积分旋度的概念与计算总复习题十一总复习题十一1,2,3(1)(3),3(6),4(1)(3),5,7 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十二章第1 节习题12—12(3)(4),3(1)(2)4(1)(2)(5)常数项级数的概念收敛级数的根本性质等比级数〔几何级数〕敛散性的判别级数收敛的必要条件第2 节习题12—21(1)(4)(5),2(1)(4),3(1)(3),4(1) (3)(5),5(2)(3)(5正项级数及其审敛法〔正项级数收敛的充要条件，比拟审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式，比值审敛法、根值审敛法，极限审敛法〕p 级数敛散性的判别交错级数及其审敛法〔莱布尼茨定理〕绝对收敛与条件收敛第3 节习题12—31(1)(2)(3) (6),2(1) (2)函数项级数的概念幂级数及其收敛性〔阿贝尔定理及其推论，幂级数的收敛半径〕幂级数的运算〔幂级数的和函数的性质〕第4 节习题12—42(1)(2)(4) ,4,5,6泰勒级数、麦克劳林级数把函数展开成幂级数的步调e x、sin x 、cos x、ln(1+ x)、(1 x)α + 的麦克劳林展开式用间接法把函数展开成幂级数第十一周学习任务在进行第十一周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第十周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十二章第7 节习题12—71(1)(2),2(1)(3),6三角级数三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数〔收敛定理，狄利克雷充实条件〕正弦级数和余弦级数第8 节习题12—81(1),2(1) 周期为2l的周期函数的傅里叶级数总复习题十二总复习题十二1,2(1)(5),4,5(1),5(2),6(1),7(1)(4),8(1)(3),9(1),10(1),11 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法备注以上第十二章的内容用两天的时间完成，用两天的时间将高等数学的上册做系统的复习，用两天的时间将高等数学的下册做系统的复习。