选择合适的方法解二元一次方程组

二元一次方程的解法二元一次方程的解法：认识二元一次方程组的有关概念，会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组的形式表示出来，学会用含有其中一个未知数的代数式表示另一个的方法。

下面小编整理了二元一次方程的解法，供大家参考。

代入消元(1)概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.(2)代入法解二元一次方程组的步骤。

①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数;②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. );③解这个一元一次方程，求出未知数的值;④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值;⑤用{联立两个未知数的值，就是方程组的解;⑥最后检验(代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边).例题：{x-y=3 ①{3x-8y=4②由①得x=y+3③③代入②得3(y+3)-8y=4y=1把y=1带入③得x=4则：这个二元一次方程组的解{x=4{y=1加减消元(1)概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.[5](2)加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式;②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法);③解这个一元一次方程，求出未知数的值;④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值;⑤用{联立两个未知数的值，就是方程组的解;⑥最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边)。

二元一次方程组教学目标二元一次方程组是高中数学中的重要内容，主要是由两个二元一次方程组成的方程组。

通过解二元一次方程组，可以求解两个未知数的值，从而解决实际问题。

二元一次方程组的教学目标主要包括以下几个方面：1. 理解二元一次方程组的概念和基本形式。

二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组，其中每个方程的最高次数为一。

学生需要掌握方程组的基本形式，并能够将实际问题转化为二元一次方程组。

2. 掌握解二元一次方程组的基本方法。

解二元一次方程组的基本方法有代入法、消元法和等式法等。

学生需要学会根据具体情况选择合适的解法，并能够熟练运用这些方法解题。

3. 培养解题思维和数学建模能力。

通过解二元一次方程组的练习，可以培养学生的解题思维和数学建模能力。

学生需要学会分析问题，提取关键信息，建立方程组，并通过解方程组得到问题的解答。

4. 发展数学推理和逻辑思维能力。

解二元一次方程组需要运用数学推理和逻辑思维能力，通过推导和变形来解决问题。

学生需要学会运用数学知识进行推理和证明，培养逻辑思维和严密的推理能力。

5. 培养合作学习和问题解决能力。

解二元一次方程组的过程中，可以通过小组合作学习的方式进行讨论和协作，培养学生的合作学习和问题解决能力。

学生需要学会与他人合作，共同解决问题，培养团队合作和沟通能力。

通过达到以上教学目标，学生可以掌握解二元一次方程组的方法和技巧，提高数学解题能力和数学思维能力。

同时，也能够将数学知识应用于实际问题的解决中，培养学生的数学建模和问题解决能力。

在教学过程中，可以采用多种教学方法和教学手段，如讲解、示范、练习、实践等，使学生能够全面理解和掌握二元一次方程组的知识和技能。

同时，还可以结合实际问题进行教学，通过解决实际问题来激发学生的学习兴趣和学习动力。

二元一次方程组的教学目标是培养学生的数学思维和解题能力，提高数学建模和问题解决能力。

通过解决二元一次方程组的实际问题，学生可以将数学知识应用于实际生活中，提高数学的实用性和应用性。

二元一次方程组解法练习题精选(含答案) 二元一次方程组解法练题精选（含答案）一．解答题（共16小题）1.求适合 $3x-2y=2$ 和 $6x+y=3$ 的 $x$，$y$ 的值。

解答：由 $(1)\times2$ 得：$3x-2y=2$（3），由$(2)\times3$ 得：$6x+y=3$（4），$(3)\times2$ 得：$6x-4y=4$（5），$(5)-(4)$ 得：$y=-\frac{1}{2}$，把 $y$ 的值代入 $(3)$ 得：$x=\frac{1}{2}$，故原方程组的解为$(x,y)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。

2.解下列方程组：begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 \\\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=2 \end{cases}$$解答：由题意得：$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$（1），$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=2$（2），先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法解二元一次方程组。

把 $(1)\times3$ 减去 $(2)\times2$，得到 $x=-1$，把$x=-1$ 代入 $(1)$，得到 $y=6$，故原方程组的解为 $(x,y)=(-1,6)$。

3.解方程组：begin{cases} 3x+2y=7 \\ 2x+3y=8 \end{cases}$$解答：把两方程相加得到 $5x+5y=15$，即 $x+y=3$，把$x+y=3$ 代入其中一个方程，如 $(1)$，得到 $x=-1$，再把$x=-1$ 代入 $(1)$ 或 $(2)$ 中的一个方程，如 $(1)$，得到$y=4$，故原方程组的解为 $(x,y)=(-1,4)$。

4.解方程组：begin{cases} x+y=5 \\ 2x-y=4 \end{cases}$$解答：把两方程相加得到 $3x=9$，即 $x=3$，把$x=3$ 代入其中一个方程，如 $(1)$，得到 $y=2$，再把 $x=3$，$y=2$ 代入原方程组检验，发现符合，故原方程组的解为$(x,y)=(3,2)$。

第08练二元一次方程组及其解法知识点一、二元一次方程：（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．（3）二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．知识点二、二元一次方程组的定义：（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．知识点三、二元一次方程组的解法：（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x （或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．一、单选题1．方程组34225x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．23xy=⎧⎨=⎩B．21xy=⎧⎨=-⎩C．11xy=⎧⎨=⎩D．11xy=⎧⎨=-⎩【答案】B【解析】【分析】由2x-y=5可得y=2x-5，将方程y=2x-5代入方程3x＋4y＝2进行求解，得到x的值，再将x 的值代入y=2x-5求解即可．【详解】解：由2x-y=5可得y=2x-5将方程y=2x-5代入方程3x＋4y＝2得：3x＋4（2x-5）＝2，解得：x＝2，将x＝2代入方程y=2x-5得：y=2×2-5=-1，∴该方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩故选：B ． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能根据题目选择合适的消元方法进行计算．2．已知关于x ，y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为24x y =⎧⎨=⎩，则关于方程组111222(1)2(1)3(1)2(1)3a x b y c a x b y c ++-=⎧⎨++-=⎩的解为（ ） A ．57x y =⎧⎨=⎩B ．513x y =⎧⎨=⎩C ．13x y =⎧⎨=⎩D ．17x y =⎧⎨=⎩【答案】A 【解析】 【分析】将方程组变形，结合题意得出()()11232143x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即可求出x ，y 的值．【详解】解：方程组()()()()11122212131213a x b y c a x b y c ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩变形为()()()()111222121133121133a x b y c a x b y c⎧++-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩，设()()113213x m y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则111222a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩，x 和y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是24x y =⎧⎨=⎩，∴24m n =⎧⎨=⎩，∴()()11232143x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得57x y =⎧⎨=⎩，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．3．若二元一次联立方程式2143221x yx y+=⎧⎨-+=⎩的解为,x a y b==，则a b+之值（）A．192B．212C．7 D．13【答案】D【解析】【分析】先求出二元一次方程组的解，然后代入代数式求解即可．【详解】解：解方程组214 3221x yx y+=⎧⎨-+=⎩得112 xy=⎧⎨=⎩因为二元一次方程组2143221x yx y+=⎧⎨-+=⎩的解为x ay b=⎧⎨=⎩，所以a=1，b=12，所以a+b=13．故选D．【点睛】题目主要考查解二元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．4．已知关于x，y的方程组34754x yx y m+=⎧⎨-=⎩的解互为相反数，则m的值为（）A．63 B．7 C．－7 D．－63【答案】D【解析】【分析】根据相反数的定义得到x=-y，代入第一个方程求出x、y的值，再代入第二个方程求出m．【详解】解：∵方程组34754x yx y m+=⎧⎨-=⎩的解互为相反数，∴x=-y，∵3x +4y =7，∴-3y +4y =7，得y =7， ∴x =-7，∴m =5x -4y =-35-28=-63， 故选：D ． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组的解法，正确理解题意得到x=-y 是解题的关键．5．已知关于x ，y 的方程组1427x y ax y a +=+⎧⎨-=--⎩，则下列结论中正确的是：①当0a =时方程组的解是方程1x y +=的解；②当x y =时，52a =-；③当1y x =，则a 的值为1或3-；④不论a 取什么实数，3x y -的值始终不变．（ ） A ．①②③ B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】B 【解析】 【分析】①把a 看作已知数表示出方程组的解，把0a =代入求出x 与y 的值，代入方程检验即可； ②令x y =求出a 的值，即可作出判断；③把x 与y 代入3x y -中计算得到结果，判断即可； ④令23x y =求出a 的值，判断即可． 【详解】解：1427x y a x y a +=+⎧⎨-=--⎩，据题意得：336x a =-， 解得：2=-x a ，把2=-x a 代入方程14x y a +=+得：33y a =+， 当0a =时，2x =-，3y =，把2x =-，3y =代入1x y +=得：左边231=-+=，右边1=， 所以2x =-，3y =是方程的解，故①正确； 当x y =时，233a a -=+， 即52a =-，故②正确；当1y x =时，()3321a a +-=，即1a =±或3，故③错误336339x y a a -=---=-，无论a 为什么实数，3x y -的值始终不变为-9，故④正确．∴正确的结论是：①②④，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．如果32x y =⎧⎨=-⎩是方程组15ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a 2008+2b 2008的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将方程组的解代入方程组可得关于a 、b 的二元一次方程组321325a b a b -=⎧⎨+=⎩，再求解方程组即可求解． 【详解】解：∵32x y =⎧⎨=-⎩是方程组15ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，∴321325a b a b -=⎧⎨+=⎩①②，①＋②得，a ＝1， 将a ＝1代入①得，b ＝1， ∴a 2008＋2b 2008＝1＋2＝3， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．二、填空题7．对于实数,x y ，规定新运算：1x y ax by *=+-，其中,a b 是常数．若124*=，()2*310-=，则a b *= ___________． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据题意得到关于a 、b 的二元一次方程组21423110a b a b +-=⎧⎨-+-=⎩，求出a 、b 的值，然后根据221a b a b *=+-进行求解即可． 【详解】解：由题意得：21423110a b a b +-=⎧⎨-+-=⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩，∴()222211319a b a b *=+-=-+-=， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，正确理解题意求出a 、b 的值是解题的关键．8．若x ＝a ，y ＝b 是方程组342,25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，则22a b -=______．【答案】3 【解析】 【分析】先解方程组求出x 和y 的值，然后代入计算即可． 【详解】解：34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②×4，得 11x =22， ∴x =2． 把代入②，得 4-y =5， ∴y =-1，∵x ＝a ，y ＝b 是方程组342,25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，∴a =2，b =-1， ∴22a b -=4-1=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 9．若()22x y -与25x y +-互为相反数，则()2021x y -=______．【答案】1- 【解析】 【分析】由题意，得到()22250x y x y -++-=，然后利用非负数的性质，求出x 、y 的值，再代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵()22x y -与|25|x y +-互为相反数， ∴()22250x y x y -++-=， ∴20x y -=，250x y +-=，联合两个方程，解得12x y =⎧⎨=⎩，∴()20212021 (12)1x y -=-=-故答案为：-1． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，解题的关键是熟练运用非负数的性质进行解题． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（0m >，0n >），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A '，B '，则=a ______，m =______，n =______．若正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，则点F 的坐标为______．【答案】12，12，2，（1，4） 【解析】 【分析】首先根据点A 到A '，B 到B '的点的坐标可得方程组3102a m a n -+=-⎧⎨⨯+=⎩，3202a m a n +=⎧⎨⨯+=⎩，解可得a 、m 、n 的值，设F 点的坐标为(x ，y )，点F '、点F 重合可列出方程组，再解可得F 点坐标． 【详解】解：将点A (-3，0)的横、纵坐标都乘以实数a ，再将得到的点向右平移m 个单位，向上平移n 个单位后的坐标为：（- 3a + m ， n ）， 又知点A '的坐标为（-1，2）， ∴3102a m a n -+=-⎧⎨⨯+=⎩①， 解得2n =，将点B (3，0)的横、纵坐标都乘以实数a ，再将得到的点向右平移m 个单位，向上平移n 个单位后的坐标为：（3a + m ，n ）， 又知点B '的坐标为（2，2）， ∴3202a m a n +=⎧⎨⨯+=⎩②，①+②得：2m = 1， 解得12m =，将12m =代入②得：1322a +=，解得12a =， ∴正方形进行的操作为：把每个点的横、纵坐标都乘以实数12，再将得到的点向右平移12个单位，向上平移2个单位，设点F 的坐标为（x ，y ），依题意得1122122x y y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，∴点F 的坐标为（1，4）． 故答案为：12，12，2，（1，4）． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据点的坐标列出方程组． 11．对于x 、y 定义一种新运算“※”：x y ax by =+※，其中a 、b 为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算，已知5227=※，3419=※，那么23=※_______． 【答案】13 【解析】 【分析】利用题中的新定义化简已知等式求出a 与b 的值，即可确定出所求． 【详解】解：根据题中的新定义得：52273419a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，①×2﹣②得：7a =35， 解得：a =5，把a =5代入①得：b =1， 则23=※2×5+3×1=13． 故答案为13． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．12．已知关于x ，y 的二元一次方程组3226x y kx y k +=⎧⎨-=+⎩有下列说法：①当x 与y 相等时，解得k ＝﹣4；②当x 与y 互为相反数时，解得k ＝3；③若4x •8y ＝32，则k ＝11；④无论k 为何值，x 与y 的值一定满足关系式x ＋5y ＋12＝0，其中正确的序号是_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据x ＝y 列出方程，求出a 即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出a 即可判断；③把底数统一化成a ，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x ，y 的方程，把方程组的解代入求出a ；④在原方程中，我们消去a ，即可得到x ，y 的关系． 【详解】解：3226x y k x y k +=⎧⎨-=+⎩①②，由②得：x ＝2y +k +6③， 把③代入①中，得：y ＝187k --④，把④代入③中，得：x ＝567k +，∴原方程组的解为567187k x k y +⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩．①当x 与y 相等时，x ＝y ， 即567k +＝187k --，解得：k ＝﹣4，∴①正确；②∵方程的两根互为相反数，∴x +y ＝0， 即567k ++187k --＝0，解得：k ＝3，∴②正确；③4x •8y ＝32，∴（22）x •（23）y ＝25，∴22x •23y ＝25，∴22x +3y ＝25，∴2x +3y ＝5，将方程组的解代入得： 2×567k ++3×187k --＝5，解得：k ＝11，∴③正确；④3226x y k x y k +=⎧⎨-=+⎩①②，①﹣②×2得x +5y ＝﹣12，即x +5y +12＝0．∴④正确．综上所述，①②③④都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键．三、解答题13．解二元一次方程组：3324x y x y -=⎧⎨+=⎩． 【答案】21x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】利用加减消元法即可求解．【详解】3324x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①×2+②得：5x =10，解得x =2；将x =2代入①中，得y =-1,∴方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法、代入消元法是解答本题的关键． 14．解方程组：(1)11912435x y x y -=⎧⎨-+=-⎩(2)()()22341312x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=--⎩【答案】(1)373x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2)23x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】利用两个整式加减消元或者代入消元来解二元一次方程组；(1)11912435x y x y -=⎧⎨-+=-⎩①②②式×3+①式得，x =3，将x =3，代入①式得，y =73， 故方程组的解为373x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； (2)()()22341312x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=--⎩①② ②式化简后得，4x -y =5 ③，①式×3+③式得，x =2，将x =2代入①得，y =3，故方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握整式加减消元或代入消元是解题的关键． 15．北京冬奥会、冬残奥会期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，为双奥的成功举办做出巨大贡献．同时，“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一．期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的84.9%，为历届冬奥会最高．冬奥会开幕式当天，北京大学组织本校全体参与开幕式活动的志愿者统一乘车去国家体育场鸟巢，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？北京大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者；(2)调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．【解析】【分析】（1）根据题意，找到等量关系式，列一元一次方程求解即可；（2）由（1）得，志愿者有218人，根据题意，列二元一次方程，找整数解即可．(1)解：设计划调配36座新能源客车x 辆，则调配22座新能源客车（x +4）辆，由题意，得36x +2=22（x +4）-2解得x=6则志愿者的人数为：36x+2=36×6+2=218答：计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者．(2)解：设调配36座新能源客车a辆，则调配22座新能源客车b辆，由题意，得36a+22b=218∴18a+11b=109∵a，b为正整数∴当a=3，b=5时，既保证每人有座，又保证每车不空座答：调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系式是解决问题的关键．16．将1到2021之间的所有奇数按顺序排成下图：记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．(1)P45＝；(2)若Pmn＝2021，则m＝，n＝；(3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．【答案】(1)45；(2)169，3；(3)覆盖的4个数之和能等于200【解析】【分析】（1）根据题意可知P45表示第4行第5个数，每行都有6个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值；（2）根据题意，可以得到2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2021，然后m为整数，1≤n≤6，即可得到m、n的值；（3）先判断，然后设4个阴影格子中的数分别为2n﹣3、2n﹣1、2n+1、2n+11，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由．(1)解：（1）由题意可得，P 45＝2×（6×3+5）﹣1＝45， 故答案为：45；(2)解：∵Pmn ＝2021，∴2[6（m ﹣1）+n ]﹣1＝2021，∴12m +2n ﹣13＝2021，∵m 为正整数，1≤n ≤6，∴m ＝169，n ＝3，故答案为：169，3；(3)解：所覆盖的4个数之和能等于200，理由：设4个阴影格子中的数分别为2n ﹣3、2n ﹣1、2n +1、2n +11，由题意可得（2n ﹣3）+（2n ﹣1）+（2n +1）+（2n +11）＝200，解得：n ＝24，∴所覆盖的4个数之和能等于200．【点睛】此题考查了数字类规律的运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解数字的排列规律并应用是解题的关键．17．对于任意的实数x ，y ，规定运算“※”如下：x y ax by =+※．(1)当3a =，4b =时，求12-※（）的值； (2)若5316=※，232-=-※（），求a 与b 的值．【答案】(1)-5(2)a 的值为2，b 的值为2【解析】【分析】（1）根据规定运算“※”，进行计算即可解答；（2）根据题意可得关于a ，b 的二元一次方程组，然后进行计算即可解答．(1)当a =3，b =4时，∴1※（-2）=3×1+4×（-2）=-5，∴1※（-2）的值为-5；(2)∵5※3=16，2※（-3）=-2，∴5316232a b a b +⎧⎨--⎩＝①＝②， ①+②得：2a +5a=14解得a =2，把a =2代入①得：10+3b =16，解得b =2，∴原方程组的解为22a b ⎧⎨⎩＝＝， ∴a 的值为2，b 的值为2．【点睛】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的步骤，以及理解材料中规定的运算是解题的关键．18．备解二元一次方程组4*8x y x y -=⎧⎨+=⎩，现系数“*”印刷不清楚． (1)李宁同学把“*”当成3，请你帮助李宁解二元一次方程组438x y x y -=⎧⎨+=⎩； (2)数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x 、y 是一对相反数，你知道原题中“*”是 ．【答案】(1)31x y ==-⎧⎨⎩(2)5【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相加消掉未知数y ，得到x 的一元一次方程，求出x 的值，把x 的值代入第一个方程，求出y 的值，即得方程组的解；（2）用x -y =4与x +y =0组成方程组，求出x 、y 的值，把x 、y 的值代入*x +y =8，求出*的值．(1)438x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得，4x =12，把x =3代入①，得，3-y =4，∴y =-1，∴31x y ==-⎧⎨⎩； (2)04x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②，得，2x =4，∴x =2，把x =2代入①，得，2+y =0，∴y =-2，∴22x y =⎧⎨=-⎩， ∴228*-=，∴5*=．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解的定义，运用加减消元法解二元一次方程组，是解决问题的关键．1．定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a ※b ＝am －bn ，等式右边是通常的减法和乘法运算．若3※2＝5，1※（－2）＝－1，则（－3）※1的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－7D ．－11 【答案】A【解析】【分析】按照定义新运算的法则，先求出m 和n 的值，再把算式转化为有理数运算即可．解：根据题意，3※2＝5，1※（－2）＝－1，得，32521m n m n -=⎧⎨+=-⎩， 解得，11m n =⎧⎨=-⎩， 则（－3）※1=（-3）×1-1×（-1）=-2，故选：A ．【点睛】本题考查了定义新运算，二元一次方程组和有理数混合计算，解题关键是根据定义新运算法则把两个等式转化为二元一次方程组，求出m 、n 的值．2．已知关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩给出下列结论：正确的有_____．（填序号） ①当1a =时，方程组的解也是21x y a +=+的解；②无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；③x ，y 都为正整数的解有3对【答案】①②【解析】【分析】①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断；②将a 看做已知数求出方程组的解表示出x 与y ，即可做出判断；③将a 看做已知数求出方程组的解表示出x 与y ，即可判断正整数解；【详解】解关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩得2122x a y a =+⎧⎨=-⎩①当1a =时，原方程组的解是30x y =⎧⎨=⎩，此时30x y =⎧⎨=⎩是213x y a +=+=的解，故①正确； ②原方程组的解是2122x a y a =+⎧⎨=-⎩，∴30x y +=≠，即无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数，故②正确；③x ，y 都为正整数，则210220x a y a =+>⎧⎨=->⎩，解得112a -<<，正整数解分别是当10,2a a ==时，故只有两组，故③错误；故答案为①②【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．3．阅读以下内容：已知有理数m，n满足m+n＝3，且3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m，n的方程组3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩，再求k的值；乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；丙同学：先解方程组3232m nm n+=⎧⎨+=-⎩，再求k的值．（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；（2）在解关于x，y的方程组()()11821a x byb x ay⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩①②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．【解析】【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．【详解】解：（1）选择甲，3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩①②，①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，解得：m＝2185k-，②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，解得：n＝2145k-，代入m+n＝3得：21821455k k--+＝3，去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，移项合并得：7k＝21，解得：k＝3；选择乙，3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②， ①+②得：5m +5n ＝7k ﹣6，解得：m +n ＝7-65k ， 代入m +n ＝3得：7-65k ＝3， 去分母得：7k ﹣6＝15，解得：k ＝3；选择丙，联立得：3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩①②， ①×3﹣②得：m ＝11，把m ＝11代入①得：n ＝﹣8，代入3m +2n ＝7k ﹣4得：33﹣16＝7k ﹣4，解得：k ＝3；（2）根据题意得：1327a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：52b a =⎧⎨=⎩， 检验符合题意，则a 和b 的值分别为2，5．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．[阅读材料]善于思考的小明在解方程组253(1)4115(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程(2)变形：4105x y y ++=，即()2255(3)x y y ++=，把方程(1)代入(3)得：235y ⨯+=，所以1y =-，将1y =-代入(1)得4x =，所以原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．21 [解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组3259419x y x y -=⎧⎨-=⎩， （2）已知x ，y 满足方程组2222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩，求224x y +的值． 【答案】（1）原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩；（2）22420x y += 【解析】【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．【详解】解：()13259419x y x y -=⎧⎨-=⎩①② 将方程②变形得:()332219x y y -+=③把方程①代入③得:35219y ⨯+=，所以2,y =将2y =代入①得3x =，所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩； ()22222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①②， 把方程①变形，得到223(4)550x xy y xy ++-=③，然后把②代入③，得325550xy ⨯-=，∴5xy =，∴22425520x y +=-=；【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．。

二元一次方程解题技巧及练习Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】二元一次方程解题技巧及练习基本思路：二元一次方程化简消元/转化一元一次方程 基本方法：代入消元或者加减消元法 适用情况： 1. 代入当有一个未知数系数为1或者－1； 2. 加减当同一个字母的未知数的系数相同或者相反时； 当同一个字母的未知数的系数互为倍数时； 3. 代入加减一起使用两个相同的未知数系数之和分别相等时； 其中一个未知数系数相差1时；4. 整体代入，即两个方程中有相同整式时； 练习1: y ＝x-3 2x+3y ＝11 5x+2y ＝7 7x+2y ＝-1 2x-y ＝1 x+y ＝5 x-y ＝3 3x-8y ＝14 4x+8y ＝12 3x+2y ＝5 6x+4y ＝10 4x+6y ＝20 4x+7y ＝222 5x+6y ＝217 2x+3y ＝1 3x+5y ＝练习2:一．解答题（共16小题） 1．求适合的x ，y 的值．2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．3．解方程组：4．解方程组：5．解方程组：6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=37．解方程组：（1）；（2）．8．解方程组：9．解方程组：10．解下列方程组：（1）（2）11．解方程组：（1）（2）12．解二元一次方程组：（1）；（2）．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么（2）求出原方程组的正确解．14．15．解下列方程组：（1）；（2）．16．解下列方程组：（1）（2）参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．求适合的x，y的值．解二元一次方程组．考点：分先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法析：消去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=，∴．本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．点评：2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．考点：解二元一次方程组．分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可；（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为，①+②得，6x=36，x=6，①﹣②得，8y=﹣4，y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：，①×2+②得，x=，把x=代入②得，3×﹣4y=6，y=﹣．所以原方程组的解为．点评：利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法：①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法；②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．3．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法．解答：解：原方程组可化为，①×4﹣②×3，得7x=42，解得x=6．把x=6代入①，得y=4．所以方程组的解为．点评：注意：二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法．4．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单．解答：解：（1）原方程组化为，①+②得：6x=18，∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法．5．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解．解答：解：，①﹣②，得s+t=4，①+②，得s﹣t=6，即，解得．所以方程组的解为．点评：此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）将两组x，y的值代入方程得出关于k、b的二元一次方程组，再运用加减消元法求出k、b的值．（2）将（1）中的k、b代入，再把x=2代入化简即可得出y的值．（3）将（1）中的k、b和y=3代入方程化简即可得出x的值．解答：解：（1）依题意得：①﹣②得：2=4k，所以k=，所以b=．（2）由y=x+，把x=2代入，得y=．（3）由y=x+把y=3代入，得x=1．点评：本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的数．7．解方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．分析：根据各方程组的特点选用相应的方法：（1）先去分母再用加减法，（2）先去括号，再转化为整式方程解答．解答：解：（1）原方程组可化为，①×2﹣②得：y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=1．∴方程组的解为；（2）原方程可化为，即，①×2+②得：17x=51，x=3，将x=3代入x﹣4y=3中得：y=0．∴方程组的解为．点评：这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，掌握消元的方法有：加减消元法和代入消元法．根据未知数系数的特点，选择合适的方法．8．解方程组：考点：解二元一次方程组．题：分析：本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解．解答：解：原方程组可化为，①+②，得10x=30，x=3，代入①，得15+3y=15，y=0．则原方程组的解为．点评：解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消元法解方程组．9．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减消元法解本题．解答：解：原方程变形为：，两个方程相加，得4x=12，x=3．把x=3代入第一个方程，得4y=11，y=．解之得．点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程中含有分母的要先化去分母，再对方程进行化简、消元，即可解出此类题目．10．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．题：分析：此题根据观察可知：（1）运用代入法，把①代入②，可得出x，y的值；（2）先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解．解答：解：（1），由①，得x=4+y③，代入②，得4（4+y）+2y=﹣1，所以y=﹣，把y=﹣代入③，得x=4﹣=．所以原方程组的解为．（2）原方程组整理为，③×2﹣④×3，得y=﹣24，把y=﹣24代入④，得x=60，所以原方程组的解为．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．11．解方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：方程组（1）需要先化简，再根据方程组的特点选择解法；方程组（2）采用换元法较简单，设x+y=a，x﹣y=b，然后解新方程组即可求解．解答：解：（1）原方程组可化简为，解得．（2）设x+y=a，x﹣y=b，∴原方程组可化为，解得，∴∴原方程组的解为．点评：此题考查了学生的计算能力，解题时要细心．12．解二元一次方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）运用加减消元的方法，可求出x、y的值；（2）先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出x、y的值．解答：解：（1）将①×2﹣②，得15x=30，x=2，把x=2代入第一个方程，得y=1．则方程组的解是；（2）此方程组通过化简可得：，①﹣②得：y=7，把y=7代入第一个方程，得x=5．则方程组的解是．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么（2）求出原方程组的正确解．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．解答：解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x=15，y=8．则原方程组的解是．点评：此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．14．考点：解二元一次方程组．分析：先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可．解答：解：由原方程组，得，由（1）+（2），并解得x=（3），把（3）代入（1），解得y=，∴原方程组的解为．点评：用加减法解二元一次方程组的一般步骤：1．方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；2．把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3．解这个一元一次方程；4．将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．15．解下列方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．分析：将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元．解答：解：（1）化简整理为，①×3，得3x+3y=1500③，②﹣③，得x=350．把x=350代入①，得350+y=500，∴y=150．故原方程组的解为．（2）化简整理为，①×5，得10x+15y=75③，②×2，得10x﹣14y=46④，③﹣④，得29y=29，∴y=1．把y=1代入①，得2x+3×1=15，∴x=6．故原方程组的解为．点评：方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程．16．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．分析：观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解．解解：（1）①×2﹣②得：x=1，答：将x=1代入①得：2+y=4，y=2．∴原方程组的解为；（2）原方程组可化为，①×2﹣②得：﹣y=﹣3，y=3．将y=3代入①得：x=﹣2．∴原方程组的解为．点解此类题目要注意观察方程组中各方程的特点，采用加减法或代入法求解．评：。

第一篇：《代入法解二元一次方程组》教学设计消元——二元一次方程组的解法（代入消元法）学情分析: 因为学生已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。

讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。

三维目标知识与技能1、会用代入法解二元一次方程组2、初步体会二元一次方程组的基本思想---“消元”过程与方法: 通过对方程组中的未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养学生观察能力，体会化归思想。

情感态度与价值观:通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识和探究精神。

教学重点：用加减消元法解二元一次方程组。

教学难点：理解加减消元思想和选择适当的消元方法解二元一次方程组。

教学过程(一）创设情境，激趣导入在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y场)，x y22可以列方程组2x y40 表示本章引言中问题的数量关系。

如果只设一个未知数(设胜x场)，这个问题也可以用一元一次方程________________________[1]来解。

分析：[1]2x＋(22－x)=40。

观察上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2] [2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。

这正是下面要讨论的内容。

（二）新课教学可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(22－x)＝40。

解这个方程，得x＝18。

把x＝18代入y=22－x，得y＝4。

从而得到这个方程组的解。

二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。

二元一次方程解题技巧及练习基本思路：二元一次方程→化简→消元/转化→一元一次方程基本方法：代入消元或者加减消元法适用情况：1. 代入当有一个未知数系数为1或者－1；2. 加减当同一个字母的未知数的系数相同或者相反时；当同一个字母的未知数的系数互为倍数时；3. 代入加减一起使用两个相同的未知数系数之和分别相等时；其中一个未知数系数相差1时；4. 整体代入，即两个方程中有相同整式时；练习1:y ＝x-3 2x+3y ＝11 5x+2y ＝7 7x+2y ＝-1 2x-y ＝1x+y ＝5x-y ＝33x-8y ＝144x+8y ＝12 3x+2y ＝5 6x+4y ＝10 4x+6y ＝204x+7y ＝2225x+6y ＝2172x+3y ＝1 3x+5y ＝12.9 练习2:一．解答题（共16小题）1．求适合的x ，y 的值．2．解下列方程组 （1）（2） （3） （4）．3．解方程组：4．解方程组：5．解方程组：6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？7．解方程组：（1）；（2）．8．解方程组：9．解方程组：10．解下列方程组：（1）（2）11．解方程组：（1）（2）12．解二元一次方程组：（1）；（2）．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．14．15．解下列方程组：（1）；（2）．16．解下列方程组：（1）（2）参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．求适合的x，y的值．：解二元一次方程组．分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=，∴．点评：本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为，①+②得，6x=36，x=6，①﹣②得，8y=﹣4，y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：，①×2+②得，x=，把x=代入②得，3×﹣4y=6，y=﹣．所以原方程组的解为．点评：利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法：3．解方程组：分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法．解答：解：原方程组可化为，①×4﹣②×3，得7x=42，解得x=6．把x=6代入①，得y=4．所以方程组的解为．点评：注意：二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的4．解方程组：分析：把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单．解答：解：（1）原方程组化为，①+②得：6x=18，∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边5．解方程组：分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解．解答：解：，①﹣②，得s+t=4，①+②，得s﹣t=6，即，解得．所以方程组的解为．点评：此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？：计算题．分析：（1）将两组x，y的值代入方程得出关于k、b的二元一次方程组，再运用加减消元法求出k、b的值．（2）将（1）中的k、b代入，再把x=2代入化简即可得出y的值．（3）将（1）中的k、b和y=3代入方程化简即可得出x的值．解答：解：（1）依题意得：①﹣②得：2=4k，所以k=，所以b=．（2）由y=x+，把x=2代入，得y=．（3）由y=x+把y=3代入，得x=1．7．解方程组：（1）；（2）．转化为整式方程解答．解答：解：（1）原方程组可化为，①×2﹣②得：y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=1．∴方程组的解为；（2）原方程可化为，即，①×2+②得：17x=51，x=3，将x=3代入x﹣4y=3中得：y=0．∴方程组的解为．8．解方程组：分析：本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解．解答：解：原方程组可化为，①+②，得10x=30，x=3，代入①，得15+3y=15，y=0．则原方程组的解为．点评：解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入9．解方程组：分析：本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减消元法解本题．解答：解：原方程变形为：，两个方程相加，得4x=12，x=3．把x=3代入第一个方程，得4y=11，y=．解之得．10．解下列方程组：（1）（2）（2）先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解．解答：解：（1），由①，得x=4+y③，代入②，得4（4+y）+2y=﹣1，所以y=﹣，把y=﹣代入③，得x=4﹣=．所以原方程组的解为．（2）原方程组整理为，③×2﹣④×3，得y=﹣24，把y=﹣24代入④，得x=60，所以原方程组的解为．11．解方程组：（1）（2）方程组（2）采用换元法较简单，设x+y=a，x﹣y=b，然后解新方程组即可求解．解答：解：（1）原方程组可化简为，解得．（2）设x+y=a，x﹣y=b，∴原方程组可化为，解得，∴∴原方程组的解为．12．解二元一次方程组：（1）；（2）．（2）先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出x、y的值．解答：解：（1）将①×2﹣②，得15x=30，x=2，把x=2代入第一个方程，得y=1．则方程组的解是；（2）此方程组通过化简可得：，①﹣②得：y=7，把y=7代入第一个方程，得x=5．则方程组的解是．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．方程组．解答：解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x=15，y=8．则原方程组的解是．14．分析：先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可．解答：解：由原方程组，得，由（1）+（2），并解得x=（3），把（3）代入（1），解得y=，∴原方程组的解为．15．解下列方程组：（1）；（2）．分析：将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元．解答：解：（1）化简整理为，①×3，得3x+3y=1500③，②﹣③，得x=350．把x=350代入①，得350+y=500，∴y=150．故原方程组的解为．（2）化简整理为，①×5，得10x+15y=75③，②×2，得10x﹣14y=46④，③﹣④，得29y=29，∴y=1．把y=1代入①，得2x+3×1=15，∴x=6．故原方程组的解为．点评：方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程．16．解下列方程组：（1）（2）分析：观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解．解答：解：（1）①×2﹣②得：x=1，将x=1代入①得：2+y=4，y=2．∴原方程组的解为；（2）原方程组可化为，①×2﹣②得：﹣y=﹣3，y=3．将y=3代入①得：x=﹣2．∴原方程组的解为．。

二元一次方程组换元法解题方法When it comes to solving a system of linear equations using the method of substitution, it can sometimes be a bit challenging to decide which variable to solve for first. 当涉及使用替换法解决线性方程组时，有时可能会有点挑战，需要先决定首先解决哪个变量。

The substitution method involves solving one equation for one variable and then using that result to substitute back into the other equation. 替换法涉及解一个变量的方程，然后用该结果替换回另一个方程。

Typically, the first step when using the substitution method to solvea system of linear equations is to solve one equation for one of the variables in terms of the other variable. 通常，使用替换法解决线性方程组的第一步是解一个方程，以另一个变量的形式来解决其中一个变量。

After solving for one variable, the next step is to substitute that expression into the other equation and solve for the remaining variable. 在解出一个变量后，下一步是将该表达式替换到另一个方程中，并解出剩下的变量。

The key to successfully using the substitution method is to choose which variable to solve for first in a way that simplifies the process and avoids unnecessary complications. 成功使用替换法的关键是选择首先解决哪个变量，以简化过程和避免不必要的复杂性。

《消元-—解二元一次方程组》教案1第一课时★新课标要求（一）知识与技能1．知道代入法的概念．2．会用代入消元法解二元一次方程组．(二）过程与方法1．通过探索,了解解二元一次方程的“消元"思想，初步体会数学的化归思想．2．培养探索、自主、合作的意识，提高解题能力．（三）情感、态度与价值观1．在消元的过程中体会化未知为已知、化复杂为简单的化归思想，从而享受数学的化归美,提高学习数学的兴趣．2．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神．★教学重点用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元．★教学难点用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉．★教学方法1．关于检验方程组的解的问题．教学时要强调代入“原方程组”和“每一个”这两点．2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元"．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性．3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难,逐步加深．随着例题由简到繁,由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速,而且可以减少错误．教师启发、引导，学生观察、试验、比较、思考，讨论、交流学习成果．★教学过程一、引入新课教师活动：请同学们回忆上节课我们讨论的篮球联赛的问题．大家可以得到两种方程﹙组﹚．设此篮球队胜场，负场．方法一：；方法二：方法一得到的方程是我们学过的一元一次方程．大家很容易解得．所以该篮球队胜18场，负场．二、进行新课1．代入消元法的概念方法二得到的是二元一次方程组,怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么联系？学生活动：思考、讨论、发现二元一次方程组中第1个方程说明，将第2个方程的换为，这个方程就化为一元一次方程．教师活动：介绍消元思想，师生共同归纳代入消元法的概念．归纳：消元思想：这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．上面的解法，是把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．2．学习用代入消元法解二元一次方程教师活动：把下列方程写成用含的式子表示的形式：（1）；（2）．学生活动：独立完成，回答结果．教师活动：出示例１,巡视，指导学生解答．例１:用代入法解方程组学生活动：解答例１，体验代入消元法解二元一次方程组,试着归纳用消元法解二元一次方程组的步骤．分析:方程①中的系数是１，用含有的式子表示，比较就简便．解：由①，得③把③代入②,得．（把③代入①可以吗？）解这个方程，得．把代入③，得．(把代入①或②可以吗？)所以这个方程组的解是教师归纳总结强调:（1）一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程”由于方程③是由方程①得到的,所以它只能代入方程②,而不能代入方程③．（2)个未知数的值后,把它代入方程①②③都能得到另一个未知数的值,其中代入方程③最简捷．教师活动:指导学生认真阅读教材Ｐ例２．要求学生阅读思考找出题目中所包含的等量关系，列出二元一次方程组，并解答．例2：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为．某厂每天生产这种消毒液22.5吨,这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？学生活动：一生板演，余生自做．教师活动：针对学生的解答进行点评．分析:问题中包含两个条件:，大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量．解：设这些消毒液应该分装大瓶和小瓶．根据大、小瓶数的比以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得由①,得把③代入②，得．解这个方程，得．把代入③，得．所以这个方程组的解是答：这些消毒液应该分装大瓶和小瓶．上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：三、课堂总结这节课我们介绍了二元一次方程组的一种解法——-代入消元法．了解到解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把二元变成“一元”．在学习方法上，还要学会主动探索，从不同的角度来思考问题的学习方法，逐步理解数学的转化思想和整体代入思想．四、课后练习1．把下列方程改写成用含的式子表示的形式：（1）；（2)．2．用代入法解下列方程组：（1）(2)3．有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛．了；篮、排球队各有多少支参赛？4．张翔从学校出发骑自行车去县城,中途因道路施工步行一段路,1.5小时后到达县城．他骑车的平均速度是15千米/小时，步行的平均速度是5千米/小时，路程全长20千米．他骑车与步行各用多少时间？第二课时★新课标要求（一）知识与技能1．掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤．2．能运用加减法解二元一次方程组．3．培养学生的计算能力和应用数学解决实际问题的意识．（二）过程与方法经历探索用“消元”方法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求方程组的解的过程，体会“消元”方法在解方程中的作用．（三）情感、态度与价值观1．进一步理解解二元一次组的消元思想,在化“未知为已知"的过程中，体验化归的数学美．2．根据方程组的特点，引导学生多角度思考问题,培养开拓创新意识．★教学重点进一步渗透消元思想,掌握用加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤；能熟练运用加减法解二元一次方程组．★教学难点明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等★教学方法通过复习上节课利用代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入新课，让学生观察比较，从而发现只要将相同未知数前的系数化为绝对值相等的值，即可实施加减消元法．进一步让学生探究用代入法还是用加减法解方程组更简单,明确用加减法解题的优越性．通过反复的训练、归纳；再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论．★教学过程一、创设问题情境，导入新课教师活动：请同学们考虑下列问题:1．用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？2．用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确．学生活动：口答第１题，书面完成第２题,通过投影展示学生的不同解法．教师活动:对学生的解法给予肯定，激励．问:对于二元一次方程是不是还有其它解法,也可以消去一个未知数，达到消元的目的呢？二、进行新课1．对加减消元法的认识教师活动：第（2)题的两个方程中，未知数的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加,就可以消掉，得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解．解:①+②,得．解得．把代入①,得．∴．∴学生活动:比较用这种方法得到的值是否与用代入法得到的相同．（相同）上面方程组的两个方程中，因为的系数互为相反数,所以我们把两个方程相加，就消去了，观察一下的系数有何特点？(相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去？（相减) 学生活动：观察、思考,尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同．（相同）教师活动：归纳总结．两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称“加减法”．2．加减消元法解二元一次方程组提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单,还是用加减法简单？（加减法）②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）③什么条件下用加法、什么条件下用减法？(某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法)教师活动：出示课本例3要求学生思考“不用代入法怎样解”?例3：用加减法解方程组学生活动：在教师的引导下总结怎样解未知数的系数不一定刚好相等，也不一定互为相反数的二元一次方程．﹙用最小公倍数将同一未知数系数转化为相等或相反的数,然后再把两个方程的左右两边分别相加或相减﹚一生板演，师生共评．解：①×3，得②×2，得③+④，得,．把代入①，得,，．所以这个方程组的解是教师活动：出示投影片加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？（两方程中同一未知数的系数不相等也不相反，所以不能通过直接加减来消元．为消元需要在方程两边乘适当的数，使某个未知数在两方程中的系数相等或相反．）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么?学生活动：分组讨论、总结，解决以上问题．教师活动：和学生一道分析讨论结果，投影出示加减消元的基本思想和解二元一次方程组的一般步骤．学生活动：阅读例４．师生共同分析列出方程组．然后交由学生解方程组．例4:2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3。

初中数学解方程所有公式大全详解一、引言在初中数学中，解方程是一个非常重要的知识点。

无论是线性方程、二次方程还是其他类型的方程，掌握解方程的公式和方法都是至关重要的。

本文将详细介绍初中数学中解方程的所有公式和方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

二、一元一次方程一元一次方程是最基础的方程类型，其一般形式为ax+b=0。

解一元一次方程的公式为：x=-b/a。

在实际解题过程中，需要先对方程进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。

三、二元一次方程组二元一次方程组是由两个一元一次方程组成的方程组。

其一般形式为：{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2}解二元一次方程组的公式为：{x=(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)y=(c1a2-c2a1)/(a1b2-a2b1)}这个公式也叫做克拉默法则。

同样地，在实际解题过程中，需要先对方程组进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。

四、一元二次方程一元二次方程是初中数学中的一个重要知识点，其一般形式为ax^2+bx+c=0。

解一元二次方程的公式为：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。

这个公式也叫做求根公式。

同样地，在实际解题过程中，需要先对方程进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。

需要注意的是，当判别式b^2-4ac小于0时，方程无实数解。

五、分式方程分式方程是一种比较特殊的方程类型，其一般形式为f(x)/g(x)=0。

解分式方程的公式和方法比较灵活，通常需要先对方程进行变形和化简，消去分母，然后求解。

常用的方法有去分母法、换元法等。

在实际解题过程中，需要根据具体情况选择合适的方法。

六、无理方程无理方程是一种含有根号等无理式的方程类型。

其解法通常需要将无理式转化为有理式，然后利用已知的方法进行求解。

常用的方法有平方差公式法、换元法等。

在实际解题过程中，需要根据具体情况选择合适的方法。

七、高次方程和方程组高次方程和方程组是指次数高于2的方程和方程组。

代入法解二元一次方程组教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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二元一次方程解题技巧及练习基本思路：二元一次方程化简消元/转化一元一次方程 基本方法：代入消元或者加减消元法 适用情况： 1. 代入当有一个未知数系数为1或者－1； 2. 加减当同一个字母的未知数的系数相同或者相反时； 当同一个字母的未知数的系数互为倍数时； 3. 代入加减一起使用两个相同的未知数系数之和分别相等时； 其中一个未知数系数相差1时；4. 整体代入，即两个方程中有相同整式时； 练习1:y ＝x-32x+3y ＝11 5x+2y ＝7 7x+2y ＝-12x-y ＝1 x+y ＝5 x-y ＝33x-8y ＝14 4x+8y ＝12 3x+2y ＝5 6x+4y ＝10 4x+6y ＝20 4x+7y ＝2225x+6y ＝217 2x+3y ＝1 3x+5y ＝练习2:一．解答题（共16小题） 1．求适合的x ，y 的值．2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．3．解方程组：4．解方程组：5．解方程组：6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=37．解方程组：（1）；（2）．8．解方程组：9．解方程组：10．解下列方程组：（1）（2）11．解方程组：（1）（2）12．解二元一次方程组：（1）；（2）．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么（2）求出原方程组的正确解．14．15．解下列方程组：（1）；（2）．16．解下列方程组：（1）（2）参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．求适合的x，y的值．解二元一次方程组．考点：分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=，∴．点评：本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．考点：解二元一次方程组．分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可；（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为，①+②得，6x=36，x=6，①﹣②得，8y=﹣4，y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：，①×2+②得，x=，把x=代入②得，3×﹣4y=6，y=﹣．所以原方程组的解为．点评：利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法：①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法；②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．3．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法．解答：解：原方程组可化为，①×4﹣②×3，得7x=42，解得x=6．把x=6代入①，得y=4．所以方程组的解为．点评：注意：二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法．4．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单．解答：解：（1）原方程组化为，①+②得：6x=18，∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法．5．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解．解答：解：，①﹣②，得s+t=4，①+②，得s﹣t=6，即，解得．所以方程组的解为．点评：此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）将两组x，y的值代入方程得出关于k、b的二元一次方程组，再运用加减消元法求出k、b的值．（2）将（1）中的k、b代入，再把x=2代入化简即可得出y的值．（3）将（1）中的k、b和y=3代入方程化简即可得出x的值．解答：解：（1）依题意得：①﹣②得：2=4k，所以k=，所以b=．（2）由y=x+，把x=2代入，得y=．（3）由y=x+把y=3代入，得x=1．点评：本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的数．7．解方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．分析：根据各方程组的特点选用相应的方法：（1）先去分母再用加减法，（2）先去括号，再转化为整式方程解答．解答：解：（1）原方程组可化为，①×2﹣②得：y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=1．∴方程组的解为；（2）原方程可化为，即，①×2+②得：17x=51，x=3，将x=3代入x﹣4y=3中得：y=0．∴方程组的解为．点评：这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，掌握消元的方法有：加减消元法和代入消元法．根据未知数系数的特点，选择合适的方法．8．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解．解答：解：原方程组可化为，①+②，得10x=30，x=3，代入①，得15+3y=15，y=0．则原方程组的解为．点评：解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消元法解方程组．9．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减消元法解本题．解答：解：原方程变形为：，两个方程相加，得4x=12，x=3．把x=3代入第一个方程，得4y=11，y=．解之得．点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程中含有分母的要先化去分母，再对方程进行化简、消元，即可解出此类题目．10．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：此题根据观察可知：（1）运用代入法，把①代入②，可得出x，y的值；（2）先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解．解答：解：（1），由①，得x=4+y③，代入②，得4（4+y）+2y=﹣1，所以y=﹣，把y=﹣代入③，得x=4﹣=．所以原方程组的解为．（2）原方程组整理为，③×2﹣④×3，得y=﹣24，把y=﹣24代入④，得x=60，所以原方程组的解为．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．11．解方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：方程组（1）需要先化简，再根据方程组的特点选择解法；方程组（2）采用换元法较简单，设x+y=a，x﹣y=b，然后解新方程组即可求解．解答：解：（1）原方程组可化简为，解得．（2）设x+y=a，x﹣y=b，∴原方程组可化为，解得，∴∴原方程组的解为．点评：此题考查了学生的计算能力，解题时要细心．12．解二元一次方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）运用加减消元的方法，可求出x、y的值；（2）先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出x、y的值．解答：解：（1）将①×2﹣②，得15x=30，x=2，把x=2代入第一个方程，得y=1．则方程组的解是；（2）此方程组通过化简可得：，①﹣②得：y=7，把y=7代入第一个方程，得x=5．则方程组的解是．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么（2）求出原方程组的正确解．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．解答：解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∴正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x=15，y=8．则原方程组的解是．点评：此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．14．考点：解二元一次方程组．分析：先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可．解答：解：由原方程组，得，由（1）+（2），并解得x=（3），把（3）代入（1），解得y=，∴原方程组的解为．点评：用加减法解二元一次方程组的一般步骤：1．方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；2．把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3．解这个一元一次方程；4．将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．15．解下列方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．分析：将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元．解答：解：（1）化简整理为，①×3，得3x+3y=1500③，②﹣③，得x=350．把x=350代入①，得350+y=500，∴y=150．故原方程组的解为．（2）化简整理为，①×5，得10x+15y=75③，②×2，得10x﹣14y=46④，③﹣④，得29y=29，∴y=1．把y=1代入①，得2x+3×1=15，∴x=6．故原方程组的解为．点评：方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程．16．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．分析：观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解．解答：解：（1）①×2﹣②得：x=1，将x=1代入①得：2+y=4，y=2．∴原方程组的解为；（2）原方程组可化为，①×2﹣②得：﹣y=﹣3，y=3．将y=3代入①得：x=﹣2．∴原方程组的解为．点评：解此类题目要注意观察方程组中各方程的特点，采用加减法或代入法求解．。

二元一次解方程组的方法
二元一次方程是指含有两个未知数及系数的方程，形如a某 + by = c，d某 + ey = f。

解二元一次方程组就是要找到满足这两个方程的未知数某和y的值。

解二元一次方程组的方法有多种，下面将介绍四种常见的方法：
1.替换法
替换法是解二元一次方程组最常用的方法之一、首先，将其中一个方程表示出其中一个未知数，然后将该式子代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，从而解得该未知数的值，再代回原方程组中求出另一个未知数的值。

2.消元法
消元法是另一种常用的解法。

通过对方程组进行适当的变换，使得其中一个未知数的系数相同，然后相减或相加，消除这个未知数，得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，进而求出该未知数的值，再代回原方程组求另一个未知数的值。

3.矩阵法
矩阵法是一种将方程组表达为矩阵形式的解法。

将方程组的系数和常数项构成一个增广矩阵，然后通过行变换将矩阵化为上三角矩阵或行最简形，最后通过回代求出未知数的值。

4.克莱姆法则
克莱姆法则是一种利用行列式的性质解方程组的方法。

通过求解方程组的系数矩阵的行列式和未知数矩阵的行列式，即方程组的增广矩阵的行列式，然后将这两个行列式相除，得到未知数的值。

以上四种方法都有其适用的场景和特点，根据具体问题的不同，选择合适的方法可以更高效地求解二元一次方程组。

需要注意的是，当求解二元一次方程组时，有时方程可能无解或有无穷解。

无解的情况是指两个方程表示的直线平行，即两个方程的斜率相等但截距不相等；而有无穷解的情况是指两个方程表示的直线重合，即两个方程的斜率和截距均相等。