14.2.1正比例函数1

正比例函数知识点总结正比例函数是数学中一种重要的函数形式，也是高中数学中常见的函数类型之一。

它是指两个变量之间的关系是成正比的，即当一个变量增大（或减小）时，另一个变量也相应地增大（或减小）。

下面将从定义、性质、图像、应用等方面对正比例函数进行总结。

一、定义正比例函数又称为一次函数，它的数学定义为：如果两个变量x和y之间的比值恒定，即y与x的比值为常数k，则称y是x的正比例函数，记作y=kx。

其中k为比例系数，表示y与x之间的关系。

正比例函数可以看作是一条直线，其斜率为k，过原点(0,0)。

二、性质1. 常数k为正比例函数的比例系数，它决定了函数图像的斜率。

当k>0时，函数图像向上倾斜；当k<0时，函数图像向下倾斜。

2. 正比例函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。

因为无论x 取任何实数，对应的y都可以通过比例系数k计算得出。

3. 正比例函数的图像经过原点(0,0)，这是因为当x=0时，根据函数定义，y=k*0=0。

4. 当x>0时，y也大于0；当x<0时，y也小于0。

这是因为正比例函数的比例系数k为正，所以x的增大必然导致y的增大，x的减小必然导致y的减小。

三、图像正比例函数的图像为一条直线，过原点(0,0)，斜率为k。

当k>0时，图像向上倾斜；当k<0时，图像向下倾斜。

当k=0时，函数图像为一条水平直线，即y=0。

四、应用正比例函数在实际生活中有许多应用，例如：1. 速度与时间的关系：当物体的速度恒定时，速度与时间成正比。

速度为正比例函数，时间为自变量，速度为因变量。

2. 成本与产量的关系：在某些生产过程中，成本与产量呈正比例关系。

成本为正比例函数，产量为自变量，成本为因变量。

3. 周长与半径的关系：在一个圆形中，周长与半径成正比。

周长为正比例函数，半径为自变量，周长为因变量。

4. 温度与气压的关系：在恒定的体积下，温度与气压成正比。

温度为正比例函数，气压为自变量，温度为因变量。

正比例函数的相关概念
正比例函数是数学中的一种基本函数类型。

它描述了两个变量
之间的线性关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成正比。

定义
正比例函数可以表示为 y = kx，其中 y 是因变量，x 是自变量，k 是比例常数。

比例常数 k 表示了 y 和 x 之间的线性关系的斜率或
倾斜度。

特点
正比例函数有以下几个特点：
1. 直线关系：正比例函数的图像是一条直线。

这是因为两个变
量之间的关系是线性的，而直线是线性函数的典型图像。

2. 常比例关系：正比例函数中，比例常数 k 是固定的。

这意味
着不管 x 取何值，y 与 x 的比值始终保持不变。

3. 始终通过原点：正比例函数的图像始终通过坐标原点(0, 0)。

这是因为当自变量 x 为 0 时，因变量 y 也必定为 0。

示例
以下是一个正比例函数的示例：y = 2x。

根据这个函数，当 x
的值为 1 时，y 的值为 2；当 x 的值为 2 时，y 的值为 4；以此类推。

不论 x 取何值，y 的值始终是 x 的两倍。

应用
正比例函数在实际生活中有很多应用。

例如，速度和时间之间
的关系就可以用正比例函数来表示。

当速度是固定的，时间与距离
成正比。

另外，在商业领域中，成本和产量之间的关系也可以用正
比例函数来描述。

正比例函数的相关概念对于数学和科学的学习都非常重要。

通
过理解和掌握正比例函数，我们可以更好地理解和解决实际生活和
问题中的线性关系。

14.2.1 《正比例函数》学案学习目标1．认识正比例函数的意义． 2．掌握正比例函数解析式特点． 3．理解正比例函数图象性质及特点． 4．能利用所学知识解决相关实际问题． 学习重点1．理解正比例函数意义及解析式特点． 2．掌握正比例函数图象的性质特点．3．能根据要求完成转化，解决问题 学习难点正比例函数图象性质特点的掌握．学法指导：让学生在画图过程中培养动手动脑的能力，并在动手动脑的过程中逐步理解正比例函数的图象和性质，通过对问题的讨论归纳，在与老师的交流中学习知识，从而达到“学会”和“会学”的目的。

一、课前预习1、自学教材第110-111页的内容，读懂问题，圈、点、勾、划重难点，体会正比例函数的定义。

2、观察下列函数式有什么共同特点？（1）l=2πr （2）h=0.5n（3）T= -2t （4）y=200x （0≤x ≤12）3、归纳 一般的，形如_________( )的函数，叫做正比例函数，其中，____叫做比例系数。

4、辨析：指出下列函数，那些是正比例函数？是正比例函数的说出比例系数？()21615121423323122-+=+=+-==-==x ay xy x y xy x y x y ）（）（）（）（）（）（二、课堂研讨我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律． 1. y=2x 2．y=-2x1．函数在图（1图（1）． 图（2）2．y=-2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值： 在图（2）中画出图像3．两个图象的共同点： 。

不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈 状态，即y 随着x 的增大而；经过第 象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈 状态，即y 随x 增大y 而 ；•经过第 象限． 尝试练习：在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较． 1．比较两个函数图象可以得出: 正比例函数图象性质1.正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过 象限，从左向右 ，即随x 的增大y 也 ；当k<0时，•图象经过 象限，从左向右 ，即随x 增大y 反而 ．2.经过原点与点（1，k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？ (小组内进行讨论) ★ ．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k ）．因为两点可以确定一条直线．3.画出函数y=-3x 的图象4.设函数5||)2(--=m x m y 是正比例函数，且图象过一、三象限，求m 的值。

正比例函数是什么
1. 对于任意的 x 值，都有 y=kx 成立，即自变量和因变量之间存在着一个恒定的比例关系。

2.k值是常数，表示变量之间的比例关系不会随着自变量的变化而改变。

3.线性关系，正比例函数的图像是一条直线，通过原点，并且具有正斜率。

4.y=0时，x=0；x=0时，y=0。

即正比例函数通过原点，而且原点是这条直线的唯一交点。

1.面积和周长的关系：例如一个正方形的面积和它的边长之间就是正比例关系，即面积等于边长的平方。

当边长增加时，面积也会相应增加。

2.时间和距离的关系：例如在匀速运动中，时间和距离之间是正比例关系。

当时间增加时，距离也会相应增加。

3.常数和变量的关系：例如电阻和电流之间的关系就是正比例关系。

当电阻增加时，电流也相应减小。

正比例函数与比例函数的区别在于，比例函数可以对两个变量之间的比例关系进行更一般的描述，而不仅仅局限于一次函数的形式。

比例函数的一般形式为 y=kx^n，其中 x 和 y 分别表示自变量和因变量，k 表示比例常数，n 表示指数，表示两个变量之间的比例关系的程度。

总结起来，正比例函数是一种常见的函数形式，表示两个变量之间的比例关系，具有线性关系，通过原点，并且具有正斜率。

正比例函数在多个领域中有着广泛的应用。

正比例函数知识讲解
正比例函数的特点是，自变量x和因变量y成正比关系，当x的值增加时，y的值也随之增加。

斜率k表示了y每增加一个单位，x增加的单位数。

如果k是正数，则y随着x的增加而增加，如果k是负数，则y随着x的增加而减少。

1.定义：
2.斜率和截距：
在正比例函数 y = kx 中，斜率 k 表示了直线的倾斜程度。

斜率大于 0 时，曲线向上倾斜；斜率小于 0 时，曲线向下倾斜。

截距 b 表示函数图像与 y 轴的交点位置。

3.表示形式：
4.性质：
- 常数比例：对于一个给定的正比例函数 y = kx，k 是一个恒定的比例常数，即函数图像上任意两个点的斜率都相同。

-零值：正比例函数不包括(0,0)这个点，因为零值不属于定义域。

-相关变量：正比例函数中的两个变量是相关的，即当x值发生变化时，y值也会发生相应变化。

-数量比较：可以通过比较不同x值时y的大小来比较两个相关量的大小关系。

5.应用举例：
-资金计算：金融领域中的利息计算和复利计算都可以通过正比例函数进行建模。

-物理学：速度和时间、距离和时间之间的关系可以通过正比例函数进行描述。

-经济学：供求关系中的供应量和价格之间的关系可以用正比例函数表示。

-比例问题：在解决比例问题时，常常需要使用正比例函数来建立比例关系。

总结：
正比例函数是一种重要的数学函数，它的性质和应用非常广泛。

正比例函数能够帮助我们建立和描述各种实际生活中的关系，并进行数量上的比较和计算。

对于理解和应用正比例函数，我们需要掌握其基本定义、性质和应用场景，以及如何确定斜率和截距。

初中数学知识归纳正比例函数正比例函数作为初中数学中的重要知识点之一，是指两个变量之间存在着一种特定关系：当其中一个变量的值发生变化时，另一个变量的值也相应地发生变化，并且二者之间的比值始终保持不变。

在本文中，将对初中数学中关于正比例函数的相关知识进行归纳总结。

一、正比例函数的定义正比例函数是指当两个变量 x 和 y 之间的比值始终保持不变时，它们之间的关系可以用一个乘法关系来表示，即 y = kx，其中 k 是常数，称为比例系数。

当 x 的值增加或减少时，y 的值也相应地按照比例系数的倍数增加或减少。

例如，如果一个物体的长度和宽度成正比，那么当长度变为原来的2倍时，宽度也会变为原来的2倍；当长度变为原来的一半时，宽度也会变为原来的一半。

二、常见的正比例函数的图象特点1. 直线经过原点：正比例函数的图象始终经过坐标原点，即当 x = 0 时，对应的 y 值也为 0。

因为我们可以将 y = kx 改写为 y = kx + 0，所以当 x = 0 时，y 也等于 0。

2. 斜率相等：正比例函数的图象是一条直线，直线的斜率等于比例系数 k。

斜率可以表示函数的变化速率，即 y 值的增量与 x 值的增量的比值。

在正比例函数中，斜率恒定不变，意味着 y 值和 x 值的比值始终保持不变。

3. 全为正值：由于正比例函数的斜率为正数，所以函数曲线在第一象限和第三象限上。

4. 区间延伸性：正比例函数的图象可以在坐标平面上无限延伸，因为比例系数 k 是一个常数，可以适用于任意的 x 值。

三、正比例函数的性质和应用1. 终点截距：正比例函数的图象在 y 轴上有一个特殊的点，称为终点截距。

在 y = kx 中，当 x = 0 时，y = 0，所以终点截距为坐标原点 (0, 0)。

2. 等比例点：正比例函数的图象上任意两个不同的点，它们对应的x 和 y 值的比值是相等的。

3. 比例系数与变量之间的关系：在 y = kx 中，当 x = 1 时，y 的值就等于 k。

什么是正比例函数正比例函数是数学中的一种特殊类型的函数，也是初中数学中的重要内容之一。

本文将以通俗易懂的语言介绍正比例函数的定义、性质、图像和应用等方面的知识。

一、正比例函数的定义正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。

它的定义可以表示为：如果一个函数y=kx，其中x和y分别是自变量和函数值，而k是一个常数，那么这个函数就是正比例函数。

其中，k称为比例系数或比例常数。

二、正比例函数的性质1. 零点性质：当自变量为0时，正比例函数的函数值为0。

2. 单调性质：当自变量的值增大时，函数值也随之增大；反之，自变量的值减小时，函数值也随之减小。

3. 比例关系：自变量和函数值之间存在着一种恒定的比例关系，当自变量的值成倍增加或成倍减少时，函数值也相应地成倍增加或成倍减少。

三、正比例函数的图像正比例函数的图像通常是通过原点的直线，其斜率就是比例常数k。

当k>0时，函数图像为上斜直线；当k<0时，函数图像为下斜直线；当k=0时，函数图像为水平直线y=0。

四、正比例函数的应用正比例函数在现实生活中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 比例尺：地图上的比例尺就是一个正比例函数，它关系到实际距离和地图上的比例。

2. 聚会费用分摊：当朋友们一起聚会时，费用可以根据每个人的消费金额成比例分摊。

3. 速度和时间关系：在汽车行驶过程中，速度和时间之间存在着一种正比例关系，即速度等于行驶距离除以行驶时间。

综上所述，正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。

它具有零点性质、单调性质和比例关系等性质。

其图像为直线，斜率为比例系数k。

正比例函数在现实生活中有着广泛的应用，比如比例尺、费用分摊和速度与时间关系等。

通过学习正比例函数，可以帮助我们更好地理解数学知识，并将其应用于实际问题中。

正比例函数知体验成功正比例函数图象（4）S =πr2不是r的正比例函数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？例 1 画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：x -3 -2 -1 0 1 2 3y -6 -4 -2 0 2 4 6画出图象如图（1）．２．y=-2x的自变量取值X围可以是全体实数，列表表示几组对应值：x -3 -2 -1 0 1 2 3y 6 4 2 0 -2 -4 -6画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．通过活动，了解正比例函数图象特点及函数变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程，从而提高各方面能力及学习兴趣．归纳活动尝试练习随堂向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；•经过第二、四象限．[活动一]在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．１．y=12x ２．y=-12xx -6 -4 -2 0 2 4 6y=12x -3 -2 -1 0 1 2 3Y=-12x 3 2 1 0 -1 -2 -3比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=12x•的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-12x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．[师]就以上活动及练习的结果，大家可否总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律呢？[师]很好！正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx．[活动二]活动内容设计：经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？请学生在坐标黑板画图．时小结作业。