22、2、3最简二次根式

二次根式知识点总结1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

二次根式知识点归纳 定义：一般的;式子a a ≥0叫做二次根式..其中“”叫做二次根号;二次根号下的a 叫做被开方数..性质：1、a a ≥0是一个非负数．即a ≥02、2a ＝│a │即a ≥0;等于a;a<0;等于-a3、4、a ·b ＝ab ．a ≥0;b ≥0反过来:ab =a ·b a ≥0;b ≥05、a b =a b a ≥0;b>0 反过来;a b =a ba ≥0;b>0 6、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式;叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同;这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2;算术平方根为2；②4=2;二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简②合并同类项 二次根式中考试题精选一.选择题：1.05宜昌化简20的结果是 .A.25B.52C.10542.05南京9的算术平方根是 .A.-3B.3C.±3D.813.05南通已知2x <;244x x -+ .A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.05泰州下列运算正确的是 .A ．a 2＋a 3=a 5B ．－2x 3=－2x 3C ．a －b －a ＋b=－a 2－2ab －b 2D 2832=5.05无锡下列各式中;与y x 2是同类项的是a 2＝aa ≥0A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.05武汉若a ≤1;则化简后为 . A.B. C. D. 7.05绵阳52-时;52-3(52)(52)(52)+-+52乙的解法是：52-(52)(52)52+--52;以下判断正确的是 .A.甲的解法正确;乙的解法不正确B.甲的解法不正确;乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.05杭州设32,23,52a b c ==-=;则,,a b c 的大小关系是: .A a b c >>B a c b >>C c b a >>D b c a >>9.05丰台4的平方根是 .A.8B.2C.±2D.±210.05北京下列根式中;与3是同类二次根式的是 . A.24 B.12 C.32 D.1811.05南平下列各组数中;相等的是 .A.-13和1B.-12和-1C.|-1|和-1D.2(1)-和112.05宁德下列计算正确的是.A 、x 2·x 3＝x 6B 、2a 32＝4a 6C 、a －12＝a 2－1D 、＝±213.05毕节2(3)a -―a 的正整数a 的值有.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.05黄岗已知y x ,为实数;且()02312=-+-y x ;则y x -的值为. A ．3 B ．–3 C ．1 D ．–115.05湘潭下列算式中;你认为错误的是.A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C 21-2．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.05连云港计算：)13)(13(-+=．2.05南京10在两个连续整数a 和b 之间;a<10<b;那么a;b 的值分别是..3.05上海计算：)2121＝ 4.05嘉兴a ab b 5.05丽水当a ≥0时;23a =．6.05南平=.7.05漳州观察分析数据;…;第n 个数.8.05曲靖在实数-2;31;0;-1.2;2中;无理数是． 9.05黄石若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式;则ab =．10.05太原将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化;制成一个大正方体铝块;这个大正方体的棱长为．不计损耗11.05黄岗立方等于–64的数是..12.05梅山2＝． 13.05湘潭计算：+―=．三、解答题 1、05连云港2(2+．2、05青岛计算：2251220+⎪⎭⎫ ⎝⎛--． 3.05苏州不使用计算器;)11212-÷+ 4.05温州计算：;5.05丰台计算：1218-- 6.05曲靖计算：1-+3.14-π0-；7.05玉林18)21(1221+--- 8.05泉州先化简下面的代数式;再求值：)1(2)2)(2(++-+x x x ;其中2=x9.05梅山已知：y ＜3;化简：13y +－110.05黄石计算：0232)17()2(27)21(|5|-----++-- 11.计算：210(2)(1---12.计算：13-0+31-1-2)5(--|-1| 13.05台州我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”;即已知三角形的三边长;求它的面积．用现代式子表示即为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241c b a b a s ……①其中a 、b 、c 为三角形的三边长;s 为面积.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：))()((c p b p a p p s ---=……②其中2c b a p ++=. ⑴若已知三角形的三边长分别为5、7、8;试分别运用公式①和公式②;计算该三角形的面积s ；⑵你能否由公式①推导出公式② 请试试.练习：一、选择题1、下列判断⑴和不是同类二次根式；⑵和不是同类二次根式；⑶与不是同类二次根式;其中错误的个数是A 、3B 、2C 、1D 、02、如果a 是任意实数;下列各式中一定有意义的是A 、B 、C 、D 、3、下列各组中的两个根式是同类二次根式的是A 、5和3B 、和C 、和D 、和4、下列二次根式中;是最简二次根式的是A 、B 、C 、D 、5、在、、中与是同类二次根式的个数是A 、0B 、1C 、2D 、36、计算： ⑴)36)(16(3--⋅-；⑵521312321⨯÷；⑶；4375-12532272-+ 5)21218(3+-⨯6xx x x 1246932-+ 7.你见过像324-;625-等这样的根式吗 这一类根式叫做复合二次根式;有一些复合二次根式可以化简..如()1313113233242-=-=+⨯-=- ⑴、请用上述方法化简625+；⑵、请自已编一道有上述特点的复合二次根式并化简； ⑶、思考：你会化简154+吗 请试一试..练习1..1．下列各式属于最简二次根式的是 A 、12+x B 、32y x C 、12D 、5.02、下列各组二次根式中;是同类二次根式的是 A 、122与B 、183与C 、182与D 、93与3、式子21+-x x 的取值范围是A 、x ≥1；B 、x>1且x ≠-2；C 、x ≠-2；D 、x ≥1且X ≠-2 4、10的整数部分是x;小数部分是y;则yx+10的值是A 、1B 、2C 、3D 、45、把-33a 根号外的因式移到根号内;所得的结果正确的是A 、-aB 、-a -C 、-a 3D 、a 36、若a<0;则|－a|的值是A 、0B 、2aC 、2a 或－2aD 、－2a7、把a －1根号外的因式移入根号内;其结果是A 、B 、－C 、D 、－8、若与是同类二次根式;则a 、b 的值为A 、a=2、b=2B 、a=2、b=0C 、a=1、b=1D 、a=0、b=2或a=1、b=19、下列说法错误的是A 、－22的算术平方根是2B 、－的倒数是+C 、当2<x<3时;;=D 、方程+2=0无解10、若+与－互为倒数;则A 、a=b －1B 、a=b+1C 、a+b=1D 、a+b=－111、若0<a<1;则－2÷1+×可化简为A 、B 、C 、1－a 2D 、a 2－1二、填空题1、要使;x+3+－x 0有意义;则x 的取值范围是..2、若=2;则a 的取值范围是..3、若=－x;则x 的取值范围是..4、观察下列各式：=2;=3;=4;……请你将猜想到的规律用含自然数nn≥1的代数式表示出来是..5、若a>0;化简=..6、若o<x<1;化简2+4－2－4=.7、化简：||－1|－2|=..8、在实数范围内分解因式：x 4+x 2－6=.四、化简求值1、已知x=+1;－1;y=－1;+1;求x 2－y 2的值..2、已知x=2+;y=2－;求+;－－－;＋的值..五、已知x ＋=4;求x －的值..练习2..认真填一填3*12=361、3的同类二次根式是写出一个即可2、当x 时;根式1-x 有意义..3、在实数范围内;因式分解a 2–3=4、化简：=8;=971; 5、如果化简后的二次根式—7535321-+x x 与是同类二次根式;则x= 6、12)12(-=;2若a >b;则2)(a b -=7、如果5-a +2-b =0;那么以a;b 为边长的等腰三角形的周长是8、在ΔABC 中;a;b;c 为三角形的三边;则b a c c b a ---+-2)(2=9、计算：20072007)154()415-⋅+=10、小明和小芳在解答题目：“先化简下式;再求值：a+221a a +-;其中a=9”时;得出了不同答案;小明的解答是：原式=a+2)1(a -=a+1-a=1；小芳的解答是：原式=a+2)1(a -=a+a+1=2a-1=2×9-1=17..则的解答错误;错误的原因是..11、观察思考下列计算过程：∵112=121;∴121=11;∵1112=12321; ∴12321=111..猜想：11234565432=12、观察下列各式：514513;413412;312311=+=+=+……;请你将猜想到的规律用含有自然数aa ≥1的代数式表达出来..一、选择题每小题3分;共39分1．若m -3为二次根式;则m 的取值为A ．m≤3B ．m ＜3C ．m≥3D ．m ＞32．下列式子中二次根式的个数有 ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸2)31(-；⑹)1(1>-x x ；⑺322++x x . A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．当22-+a a 有意义时;a 的取值范围是A ．a≥2B ．a ＞2C ．a≠2D ．a≠－24．下列计算正确的是 ①694)9)(4(=-⋅-=--；②694)9)(4(=⋅=--； ③145454522=-⋅+=-；④145452222=-=-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．化简二次根式3)5(2⨯-得A ．35-B ．35C ．35±D ．306．对于二次根式92+x ;以下说法不正确的是A ．它是一个正数B ．是一个无理数C ．是最简二次根式D ．它的最小值是37．把ab a123化去分母中的根号后得A ．b 4B ．b 2C ．b 21D ．b b 28;则正整数n 的最小值是A ．4；B ．5；C ．6；D ．79．下列二次根式中;最简二次根式是A ．23aB ．31C ．5.2D ．22b a - 10．计算：ab ab b a 1⋅÷等于 A ．ab ab 21B ．ab ab 1C ．ab b1D ．ab b 11．计算(231⎛++ ⎝2)12(23b a b b a ÷⋅。

二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b ba a=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质 例1下列各式 1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1)222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x x yy x x x ya （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0）0 （a =0）；例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。

《二次根式》的知识要点和习题知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。

注意：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-、2x -、12--x 等都不是二次根式；a 的根指数是2, 即2a ，可省略不写；b a 也是二次根式。

当b 为带分数时，要把b 改写成假分数。

538是二次根式，不能写成2532。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

如 ,,就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

①的有理化因式为，②的有理化因式为，③的有理化因式为，④的有理化因式为，⑤的有理化因式为5．二次根式的性质：（1）. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;（2）.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；（3）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=（4）.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。

（5）.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。

6．二次根式的乘除（1）. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

最简二次根式与同类二次根式
《最简二次根式与同类二次根式》
在数学中，二次根式是一种特殊的代数表达式，通常在形式上为一个数和一个根号的乘积。

在二次根式中，有两种特别重要的概念，分别是最简二次根式和同类二次根式。

首先来看最简二次根式。

最简二次根式指的是不能再约分根号内部的数的二次根式，也就是说，根号内的数不能再被开方，且在根号外的系数最小化。

例如，√2和√3就是最简二次根式，因
为它们的根号内部的数不能再被开方，且在根号外的系数也是最小的。

接下来是同类二次根式。

同类二次根式指的是二次根式中根号内部的数相同，根号外的系数也相同的二次根式。

例如，√2和2√2就是同类二次根式，因为它们的根号内部的数都是2，根号
外的系数也都是1。

最简二次根式和同类二次根式在化简和运算中都有其特殊的用途。

化简最简二次根式可以使得计算更加简便，而同类二次根式在加减乘除的运算中也有特定的规则。

总之，最简二次根式和同类二次根式是二次根式中的两个重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和重要的意义。

通过对这两个概念的深入理解，我们可以更好地应用二次根式进行化简和运算。

最简二次根式的定义。

全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最简二次根式是指根号下面的被开方数为正数，且不能再约简的二次根式。

它是代数学中一个非常重要的概念，常常出现在高中数学的教学内容中。

二次根式在数学中的引入，是为了解决方程x^2=a 中的数a 是不是负数时的问题。

在实数范围内，如果a 大于等于0，那么方程x^2=a 有两个不同的实根；如果a 小于0，那么方程就没有实数根了。

为了能够对所有的实数进行开平方运算，数学家就引入了二次根式的概念。

最简二次根式就是在二次根式中的一种特殊形式，它只包含一个根号和一个不可约的正整数。

也就是说，如果一个二次根式不能再约简，那么它就是最简二次根式。

最简二次根式的一般形式为\sqrt{n} ，其中n 是一个正整数，且n 不含有平方因子，即n 的素因数分解中没有一个数出现了两次及以上。

举例来说，\sqrt{2} 、\sqrt{3} 、\sqrt{5} 都是最简二次根式，因为它们没有共同的公因数，无法再约简；而\sqrt{4} 、\sqrt{6} 、\sqrt{8} 就不是最简二次根式，因为它们的因数中有平方因子。

最简二次根式在数学中的运算和化简中有着很重要的作用。

在代数中，我们常常需要对二次根式进行加减乘除等运算，而如果能够将二次根式化为最简形式，就可以简化运算过程，减少出错的可能性。

最简二次根式的化简规则是：提取出平方因数后，就无法再继续简化了。

对于\sqrt{4m^2} ，我们可以提取出m，得到m\times \sqrt{4} = 2m ，但不能再将其简化。

最简二次根式在数学中的应用非常广泛，不仅在代数中常见，也会在几何、物理等领域中不断出现。

掌握好最简二次根式的定义和化简方法，可以帮助我们更好地理解数学知识，提高解题的速度和准确性。

在学习最简二次根式的过程中，我们还需要注意以下几点：要能够区分最简二次根式和一般的二次根式；要掌握最简二次根式的化简规则；要多做练习，加深对最简二次根式的理解和运用能力。

二次根式二、知识要点1、二次根式的概念a ≥0）的式子叫做二次根式。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0，2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤03、二次根式a ≥0）的非负性a ≥0）表示a a ≥00（a≥0）。

注意：a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2（a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用0=，则a=0,b=020b =，则a=0,b=020b =，则a=0,b=0。

4、二次根式2的性质：2a =（a ≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注意：二次根式的性质公式2a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2a =，如：22=，212=。

5、二次根式的性质(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注意：（1）、化简一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即(0)a a a==≥；若a是负数，则等于a的相反数-a,即1.414 1.7322.236≈≈；；；2、a的取值范围可以是任意实数，即不论a3a，再根据绝对值的意义来进行化简。

6、2与1、不同点：22表示一个正数a的算术平方根的平a的平方的算术平方根；在2中a可以是正实数，0，负实数。

但220≥0≥。

因而它的运算的结果是有差别的，2a=（a≥0）(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩2、相同点：当被开方数都是非负数，即a≥0时，2a＜0时，2无意义，而a=-。

最简二次根式与同类二次根式【知识梳理】一．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．二．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【考点剖析】一．最简二次根式（共5小题）1．（2022秋•黄浦区月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求解．【解答】解：A．＝＝3，选项A不符合题意；B．＝＝，选项B不符合题意；C．是最简二次根式，选项C符合题意；D．＝＝a2，选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2．（2018秋•松江区期末）化为最简二次根式：＝．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键．3．（2022秋•长宁区校级期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，＝2，＝|x|是最简二次根式，故答案为：．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．4．（2022秋•虹口区校级月考）在，，，，中，最简二次根式有个．【分析】根据二次根式的定义即可得出答案．【解答】解：最简二次根式有，共1个．故答案为：1．【点评】此题考查了最简二次根式，最简根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数．5．（2019秋•宝山区校级月考）将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m﹣n＜0，∴n﹣m＞0，∴原式＝﹣（m﹣n）＝故答案为：【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．二．同类二次根式（共11小题）6．（2021秋•金山区期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【解答】解：＝2，A、原式＝2，故A不符合题意．B、原式＝2，故B不符合题意．C、原式＝，故C符合题意．D、原式＝，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式的定义，本题属于基础题型．7．（2021秋•宝山区校级期中）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是．【分析】根据同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同列方程，解出即可．【解答】解：∵最简二次根式3与是同类二次根式，∴2x﹣5＝7﹣x，解得x＝4；故答案为：4．【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，根据定义列方程是解题关键．8．（2022秋•虹口区校级期中）若两最简根式和是同类二次根式，则a+b的值的平方根是．【分析】根据同类二次根式的概念列出二元一次方程组，解二元一次方程组求出a、b，根据平方根的概念解答即可．【解答】解：由题意得：，整理得：，解得：，则a+b＝8，∵8的平方根为±2，∴a+b的平方根为±2，故答案为：±2．【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、平方根的概念、二元一次方程组的解法，掌握同类二次根式的概念是解题的关键．9．（2022秋•黄浦区期中）若最简二次根式和是同类二次根式，那么a+b的值是．【分析】由同类二次根式的概念即可求解．【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，∴b﹣1＝2，1﹣2a＝7，∴a＝﹣3，b＝3，∴a+b＝0．故答案为：0．【点评】本题考查同类二次根式的概念，关键是掌握：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．10．（2022秋•青浦区期中）下列各根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】把各选项中式子化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．【解答】解：A、＝，与为同类二次根式；B、＝与不是同类二次根式；C、＝4与不是同类二次根式；D、＝2与不是同类二次根式；故选：A．【点评】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．11．（2022秋•嘉定区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝．【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：，则a+b＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式及的知识，属于基础题，要熟练掌握最简同类二次根式的根指数相同，且被开方数相同．12．（2022秋•青浦区期中）如果最简二次根式和是同类二次根式，则ab＝．【分析】先根据同类二次根式的定义求出a，b的值，进而可得出结论．【解答】解：由题意得，，解得，所以ab＝0．故答案为：0．【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．13．（2022秋•徐汇区校级期中）如果最简二次根式与2是同类二次根式，则x的值是．【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，可得x2+7＝4x+3，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴x2+7＝4x+3，∴x2﹣4x+4＝0，∴（x﹣2）2＝0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．14．（2022秋•虹口区校级月考）在二次根式①；②；③；④；⑤中，与是同类二次根式的有．（填写编号）【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：∵①＝2，②＝，③＝2，④＝5，⑤＝a ，∴与是同类二次根式的有②⑤．故答案为：②⑤．【点评】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质与化简，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．15．（2018秋•普陀区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值．【分析】直接利用同类二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．16．（2022秋•宝山区校级期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝．【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，解得：a＝3，b＝﹣3．∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【过关检测】一、单选题【答案】C【分析】将各选项化简，不能化简的即为答案．A不符合题意；=，所以B不符合题意；C符合题意；==D不符合题意．a故选：C．【点睛】本题主要考查了最简二次根式，即被开方数中不含能被开方的数或式子．【答案】D【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出a 的值，再根据二次根式的定义列出不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：∵∴61822a a −=−，∴4a =，∴420a x −≥，∴1620x −≥，∴8x ≤，故选：D ．【点睛】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质：概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式；性质：被开方数为非负数．【分析】先判断a 和b 的符号，然后根据二次根式的符号化简即可． 【详解】解：20ba −≥0b ∴≤0ab >所以a 和b 同号，0,0a b ∴<<，a a ==−故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质；熟练掌握性质是解答本题的关键．【答案】D【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：0)m >有意义， ∴0n <=−故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可．【详解】A2A 选项不符合题意； B2=B 选项不符合题意；C 和C 选项符合题意；D D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．【答案】A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式将4x =代入得，原式1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母二、填空题1【分析】根据分母有理化进行化简,然后判断出整数部分和小数部分,相乘解出即可.【详解】∵,23< ,∴536< ,∴532<< ,∴2m = ,2n == ,∴1mn . 【点睛】本题考查分式的有理化,熟悉定义是本题关键.【答案】②⑤/⑤②【分析】先将各项化简成最简二次根式，再利用同类二次根式的性质判断即可作答．【详解】===②和⑤， 故答案为：②⑤．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．2/2−【分析】将分子和分母同时乘以(2 ，再运用平方差公式进行化简即可得到结果．2====．2【点睛】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键．【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．，==【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【答案】【详解】解：原式==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】2或0【分析】根据二次根式和同类二次根式的定义列方程求出x、y的值，再计算x y+．【详解】由题意得，12+=y，22311x x+=−，解得1y =，1x =±，∴当11x y ==，时，112x y +=+=； 当11x y =-=，时，110x y +=−+=； 故答案为2或0．【点睛】本题考查二次根式和同类二次根式的定义，二次根式省略的根指数为2，化成最简二次根式之后，若被开方数相同，称为同类二次根式，掌握基本概念是关键．【答案】2/0.5【分析】根据同类二次根式的被开方数相同，得出关于a 的方程，解出即可得出答案．【详解】解：∵ ∴223+=a ， 解得：12a =．故答案为：12【点睛】解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握同类二次根式的被开方数相同．【答案】5【分析】利用同类二次根式的概念即可求出．【详解】∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并，∴38172,5a a a −=−=． 故答案为：5．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式的概念为关键．当变形后移至根号内得______．【分析】根据二次根式的性质可得110a −>，则a<0，据此即可求解．【详解】解：∵∴110a −>，则a<0，∴==【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】±【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可，【详解】解：由题意可得：722573a b a b a b +=⎧⎨+−=+⎩，解得91a b =⎧⎨=−⎩8a b +=8的平方根为±故答案为：±【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【答案】3−【分析】根据同类二次根式的定义，即可求出a 、b 的值，然后计算a+b 的值即可.【详解】解：∵最简二次根式b +是同类二次根式， ∴1422a +=，12b +=，∴4a =−，1b =， ∴413a b +=−+=−； 故答案为：3−.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，正确求出a 、b 的值.【答案】2a −【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到430a b −≥，解得0b ≤a 化简即可得到答案．2a =430a b −≥，∴0b ≤，∴2a2a =−∴2a =−故答案为：2a −a及去绝对值运算等知识，熟练掌握二次根式是解决问题的关键．三、解答题【答案】1a =，1b =．【分析】根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式122543a a a b +=⎧∴⎨+=+⎩解得：11a b =⎧⎨=⎩ 即1a =，1b =．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【答案】【分析】根据二次根式的性质和非负数的性质可得关于x 、y 的方程，解方程即可求出x 、y 的值，然后代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x2﹣12x+＝0，∴x2﹣0，∴（x ﹣6）0，∴x ﹣6＝0，y+4＝0，解得：x ＝6，y ＝﹣4，=【点睛】本题考查了二次根式的性质和非负数的性质以及二次根式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键．【答案】【分析】先把原式的前两项化为最简二次根式，再合并即得结果． 【详解】解：原式=2334⋅⋅==【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基本题型，熟练掌握二次根式的加减运算法则是关键． 【答案】【分析】根据二次根式的性质先化简二次根式，再约分化简即可．【详解】解：原式25c ==． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和分式的乘法，属于常见题型，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】−【分析】根据二次根式的性质进行化简各二次根式后，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：由题意知，00，x y <<62=2623y x ⨯=2623y x ⨯==−【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．【答案】3x ≤【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，结果化为最简二次根式即可．−≥≥合并同类项得：x ≥系数化1得：x ≤，∴x ≤，∴3x ≤，∴原不等式解集为3x ≤．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，以及二次根式的化简，熟练掌握一元一次不等式的解法以及二次根式的运算法则是解答本题的关键．【答案】（1（2）（3）m=a ＋b ，n=ab【分析】观察上述例子可发现，通过把被开方数变成一个完全平方式，再利用二次根式性质化简即可， 需注意完全平方公式中的a2＋b2在被开方数中被合并，可以通过2ab 去判断a 、b 的值.【详解】解：（1，（2（3）通过以上规律不难发现：m=a ＋b ，n=ab.【点睛】此题考查的是利用完全平方公式化简同类二次根式，找出其中的规律是解决此题的关键.【答案】(1)6 (2)1023【分析】（1）根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a ； （2）代入a 的值，根据新定义的运算法则即可求解． 【详解】（1）∵∴2216a a −=−+， ∴6a =， （2）当6a =时 (2[])a a −※※ 26)[6](=−※※866==14646==−※542234==⨯ 1023=．【点睛】本题考查了同类二次根式的性质、新定义下的实数的运算等式，理解新定义的运算法则是解答本题的关键．【答案】(1)313(1)1,,212(1)n n n n +++ ;(2)221n n n ++【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+12+1+112+⋯+1+()11n n +，求出答案即可．【详解】（1）∵S1=1+22119124+= ，32=； ∵S2=1+2211492336+=，76=； ∵S3=1+221116934144+=，1312； ∵Sn=1+()()()22222211111n n n n n n+++=++，()n n 11n n 1)+++（；（2）解：S=()()11371326121n n n n +++++⋯++=()1111111126121++++++⋯+++n n=1111111n 1223341n n ⎛⎫+−+−+−+⋯+− ⎪+⎝⎭1n 11n =+−+=221n nn ++【点睛】本题考查二次根式的化简和数字类规律，解题的关键是掌握二次根式的化简运算和数字类规律基本解题方法．【答案】（1（22；（3）【分析】（1）观察题中给的例子，我们将10拆成22+与−根式的性质化简即可；（2）将10拆成222+与−（312拆成22+与接下来按照二次根式的性质化简即可.【详解】（1（22；（3=.【点睛】本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键.。

二次根式的运算（基础）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.要点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a ≥0，b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。

要点诠释： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（a ≥0，b >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 要点四、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式的加减运算1.计算： (1).+【答案与解析】(1)+=(2=+=【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三：【变式】计算:011(1)()52π--++-【答案】011(1)()52π--++- 类型二、二次根式的乘除法2．(1)×； (2)×； (3)； (4)；【答案与解析】(1)×=；(2)×==；(3)===2；(4)==×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．举一反三【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1).；(2).×=4××=4×=4=8.【答案】(1).不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2).不正确．改正：×=×===＝4.3.算：（1）)4323(4819-÷- （2）21521)74181(2133÷-⨯【答案与解析】（1）2=(9)(3-⨯-原式（2）原式=1328⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭34-. 【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.类型三、二次根式的混合运算4.下列各式计算正确的是（ ）A.+=B. 4﹣3=1C. 2×3=6D.÷=3【答案】D. 【解析】解：A.，无法计算，故此选项错误， B.4﹣3=，故此选项错误，C.2×3=6×3=18，故此选项错误，D.=，此选项正确，故选D ．【总结升华】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．5、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.【答案】1；10.【解析】22551a b ab ==-∴=-=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确. 举一反三：【变式】已知x=1﹣，y=1+，则x 2+y 2﹣xy ﹣2x ﹣2y 的值为 ．【答案与解析】 解：∵x=1﹣，y=1+，∴x 2+y 2﹣xy ﹣2x ﹣2y=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1﹣3xy ﹣1=（x+y ﹣1）2﹣3xy ﹣1=1﹣3×（1﹣）（1+）﹣1=1+3﹣1=3．。

二次根式加减法法则
二次根式加减法法则：先把各个二次根式化简成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。

根式加减法法则是根式的运算法则之一，若干根式相加减，先把各根式化成最简根式，再合并同类根式，并将不同类的根式用运算符号连写在一起。

二次根式的加减法
（1）同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

（2）合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就
叫做合并同类二次根式。

（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被
开方数相同的进行合并。

二次根式的乘除法
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最
简二次根式。

（1）乘法运算：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术
平方根。

（2）除法运算：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平
方根。