高数第二学期总复习题及答案

一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定，求yzx z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x ． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分)五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ． 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f ． (5分)八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4．计算⎰⎰--Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性． 解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解． 解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241， (3分)x xe C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解x x e e y -+-=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分) 四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQy P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值． 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）.1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yz x z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分） 设022=-++xyz z y x ，求xz∂∂ 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、（共6分）计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分）设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8.设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-．9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10. 交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解： 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p pn n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-27．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 3．级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。

高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。

解：选D 。

()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。

高数二试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)的值是：A. 5B. 4C. 3D. 24. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 25. 以下哪个选项是定积分∫(0,1) x^2 dx的结果？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/4二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，则f'(x) = __________。

7. 函数y = √x的导数是 y' = __________。

8. 曲线y = x^2 + 1与x轴所围成的面积是 __________。

9. 定积分∫(0,2) e^x dx的值是 __________。

10. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f''(x) = __________。

三、解答题（每题10分，共40分）11. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。

12. 证明函数f(x) = x^3 - 3x在区间(-∞, +∞)上是增函数。

13. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(1, 4)处的切线方程。

14. 计算定积分∫(1, e) (2x + 1) / x dx。

四、证明题（每题15分，共30分）15. 证明函数f(x) = x^2 + 2x + 3在区间[-1, 1]上是凹函数。

16. 证明定积分∫(0, 1) x * sin(πx) dx = 1/π。

答案：一、选择题1. C2. C3. A4. C5. A二、填空题6. 3x^2 - 12x + 97. 1/(2√x)8. 1/39. e^2 - 110. -2sin(x) - 2cos(x)三、解答题11. 最大值：f(2) = 11，最小值：f(-1) = -1012. 证明略13. 切线方程：y - 4 = 4(x - 1)，即4x - y - 4 = 014. 结果：1 - 1/e^2四、证明题15. 证明略16. 证明略。

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3 B 。

4 C 。

5 D 。

62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A 。

a ∥bB 。

a ⊥b C.3,π=b a D 。

4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A 。

(){}21,22≤+≤y x y x B 。

(){}21,22<+<y x y xC 。

(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4。

两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A 。

0=⋅b a B.0 =⨯b a C 。

0 =-b a D.0 =+b a5。

函数xy y x z 333-+=的极小值是（ )。

A.2 B.2- C 。

1 D.1- 6。

设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝( ).A 。

22B.22-C.2 D 。

2-7。

若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A 。

p 1< B 。

1≤p C 。

1>p D.1≥p8。

幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）。

A 。

[]1,1-B ()1,1- C.[)1,1- D 。

(]1,1-9。

幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是( ）.A.x -11 B 。

x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）。

A 。

xce y = B 。

xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5)1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2。

函数()xy z sin =的全微分是______________________________。

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。

二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。

（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。

（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。

（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。

2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。

原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。

高数下册期末试题及答案第一题：已知函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1，求 f(x) 的导函数。

解析：要求 f(x) 的导函数，即求 f'(x)。

根据求导法则，对于多项式函数 f(x) = ax^n：1. 当 n 不等于 0 时，f'(x) = anx^(n-1)。

2. 当 n 等于 0 时，f'(x) = 0（常数项的导数为 0）。

所以，对于 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1：f'(x) = d/dx (2x^3 - 4x^2 + 3x + 1)= 6x^2 - 8x + 3。

答案：f'(x) = 6x^2 - 8x + 3。

第二题：已知函数 f(x) = e^x * ln(x)，求其不定积分。

解析：要求函数 f(x) 的不定积分，即求∫ f(x) dx。

根据积分法则，对于函数 f(x) = e^x * ln(x)：1. 对于∫ e^x dx，由指数函数的积分法则得知∫ e^x dx = e^x + C1（其中 C1 为常数）。

2. 对于∫ ln(x) dx，由对数函数的积分法则得知∫ ln(x) d x = x * ln(x) - x + C2（其中 C2 为常数）。

所以，对于 f(x) = e^x * ln(x)：∫ f(x) dx = ∫ (e^x * ln(x)) dx= ∫ e^x dx * ∫ ln(x) dx= (e^x + C1) * (x * ln(x) - x + C2)= xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)（其中 C(x) 为常数）。

答案：∫ f(x) d x = xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)。

第三题：已知函数 f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)，证明 f'(x) = 0。

高数下册复习题及答案一、选择题1. 函数f(x)=\( e^x - 1 \)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. \( e \)2. 曲线y=\( x^2 \)在点(1,1)处的切线斜率是：A. 2B. 1C. -1D. 03. 函数f(x)=\( \sin x \)的二阶导数是：A. \( \cos x \)B. \( -\sin x \)C. \( -\cos x \)D. \( \sin x \)二、填空题1. 函数f(x)=\( x^3 - 2x^2 + 3x \)的一阶导数是_________。

2. 若f(x)=\( \ln x \)，求f'(1)的值为_________。

3. 曲线y=\( x^3 \)在点(2,8)处的法向量是_________。

三、计算题1. 求函数f(x)=\( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的极值点。

2. 求曲线y=\( x^2 + 2x - 3 \)在x=1处的切线方程。

3. 证明函数f(x)=\( x^3 \)在R上是严格递增的。

四、解答题1. 已知函数f(x)=\( 3x^2 - 5x + 2 \)，求其在区间[1,3]上的最大值和最小值。

2. 解微分方程：\( (x^2 + 1)y'' - 2xy' + 2y = 0 \)。

3. 讨论函数f(x)=\( \ln(1 + x) \)的连续性和可导性。

五、证明题1. 证明罗尔定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2. 证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得\( f'(c) =\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。

六、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=\( 0.5x^2 - 100x + 500 \)，求该工厂生产x件产品时的最低成本。

第八章 多元函数微分法及其应用8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1）()y ,x f 在点()y ,x 可微分是()y ,x f 在该点连续的充 分条件；()y ,x f 在点()y ,x 连续是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件。

（2）)y ,x (f z =在点()y ,x 的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存在是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件；)y ,x (f z =在点()y ,x 可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存的充 分条件。

（3）)y ,x (f z =的偏导数x z ∂∂及y z∂∂点()y ,x 存在且连续是()y ,x f 在该点可微分的充 分条件。

（4）函数()y ,x f z =的两个二阶混合偏导数y x z 2∂∂∂及x y z2∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的充 分条件。

8.02求函数()()222yx 1ln y x 4y ,x f ---=的定义域，并求()y ,x f lim 0y 21x →→。

解：1)⎩⎨⎧≤<+<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-x4y 1y x 01y x 10y x 10y x 422222222，定义域：(){}x 4y ,1y x 0y ,x D 222≤<+<= 2)由初等函数的连续性知：43ln 20211ln 0214)0,21(f )y ,x (f lim 2220y 21x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯==→→+8.03 证明极限422y 0x y x xy lim+→→不存在。

证明：当点()y ,x 沿用x k y 1=趋于点()0,0时，有222220x 4220x k y 0x k 1k x k x kx lim y x xy lim 1+=+=+++→→=→，显然它是随着k 的不同而改变的，故：极限422y 0x y x xy lim+→→+不存在。

高数期末考试题及答案下册一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. 左极限lim(x→a-) f(x)存在C. 右极限lim(x→a+) f(x)存在D. 所有选项都正确答案：D2. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：C3. 若f(x)=sin(x)，则f'(x)是：A. cos(x)B. -sin(x)C. x*cos(x)D. x*sin(x)答案：A4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D5. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标为：A. (1,1)B. (2,8)C. (4,16)D. (0,0)答案：B6. 若∫(0,1) f(x)dx = 2，则∫(0,1) x*f(x)dx的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：B7. 函数f(x)=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项为：A. 1-xB. x-x^2/2C. -x^2/2D. -1-x答案：D8. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递减函数B. 单调递增函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：B9. 函数f(x)=e^x的无穷级数展开式为：A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...B. 1-x+x^2-x^3+...C. 1+x-x^2+x^3-...D. 1-x-x^2+x^3-...答案：A10. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则∫(a,b) f(x)dx：A. 一定存在B. 可能不存在C. 等于0D. 等于f(a)-f(b)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。

高数下册复习题答案一、选择题1. 函数 \(f(x) = \ln(x^2 - 1)\) 的定义域为：A. \( (-∞, -1) \cup (1, +∞) \)B. \( (-∞, -1] \cup [1, +∞) \)C. \( (-1, 1) \)D. \( (-∞, 1) \cup (1, +∞) \)答案：A2. 若 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2\)，则 \(f(0)\) 等于：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：D3. 以下哪个级数是收敛的：A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)答案：D二、填空题1. 函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 的导数是 \(f'(x) = ______\)。

答案：\(3x^2 - 3\)2. 若 \(\int_{a}^{b} f(x) dx = 10\)，且 \(f(x) = 2x + 1\)，那么 \(a + b = ______\)。

答案：\(-5\)3. 函数 \(y = \ln(x)\) 的反函数是 \(x = ______\)。

答案：\(e^y\)三、解答题1. 求函数 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\) 在 \(x = 2\) 处的切线方程。

解答：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)，然后计算\(f'(2) = 3\)。

切点坐标为 \((2, f(2)) = (2, -2)\)。

切线方程为\(y + 2 = 3(x - 2)\)，即 \(y = 3x - 8\)。

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空3 分，共15 分）1。

设,则.2。

曲面在点处的切平面方程是.3.交换累次积分的次序：.4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成，则：使得格林公式：成立的充分条件是：。

其中L是D的取正向曲线；5.级数的收敛域是。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.当，时,函数的极限是A。

等于0； B. 等于；C。

等于; D. 不存在.2.函数在点处具有偏导数,是函数在该点可微分的A.充分必要条件；B。

充分但非必要条件；C。

必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件。

3.设,则A。

; B。

；C.；D。

4.若级数在处收敛，则此级数在处A。

绝对收敛; B。

条件收敛；C.发散；D.收敛性不确定。

5。

微分方程的特解应设为A.;B.；C.;D.。

三。

（8分）设一平面通过点，而且通过直线,求该平面方程.解：平行该平面该平面的法向量所求的平面方程为：即：四.（8分)设，其中具有二阶连续偏导数,试求和.解：令，五.（8分）计算对弧长的曲线积分其中是圆周与直线在第一象限所围区域的边界.解：其中：：：：而故：六、（8分)计算对面积的曲面积分，其中为平面在第一卦限中的部分.解：：,七。

（8分）将函数,展开成的幂级数.解:，而,,,八。

（8分)求微分方程：的通解。

解:，原方程为：通解为：九。

幂级数:1。

试写出的和函数；（4分）2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分)解:1、于是2、令：由1知：且满足：通解：由，得:；故:十.设函数在上连续,且满足条件其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与平面(参数)所围成的空间区域。

1、将三重积分写成累次积分的形式；（3分) 2、试求函数的表达式。

（7分）解:1、旋转曲面方程为：由，得：故在面的投影区域为：：2、由1得：记：则:两边乘以：，再在上积分得：解得：故:第二学期期末高数（下)考试试卷及答案2三、填空题(每空3 分，共15 分)1.曲线，绕轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是。

课程名称：《高等数学Ⅱ》一、 单项选择题 （从下列各题的四个备选答案中选出一个正确答案，选错或未选者，此题不得分，每小题2分，共40分。

）二、 多项选择题 （从下列各题四个备选答案中选出正确答案，答案选错者，该题不得分，每小题 4分，共 40 分。

）三、 判断题 (你认为下列命题是正确的，就在题后方括号内加“A ”，错误的加“B ”。

每小题判断2分，共20分。

)《高等数学Ⅱ》（A ）卷一、 单选题 (每题2分，共40分）1. 当+∞→n 时，下列数列中哪项数列收敛（ ）A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1B 、{}n n )1(-C 、{}n lgD 、{}2n2.=-→)3(lim 22x x （ ）A 、1-B 、2C 、1D 、3-3.=-+∞→)213lim 2x x x （（ ）A 、∞B 、3C 、0D 、44. =---→24lim 222x x x x （ ）A 、∞B 、34C 、0D 、15. 下列哪项为无穷小？（ ）A 、x cos )0(→xB 、x 1)0(→xC 、x tan )0(→xD 、x2)0(→x6. =→x xx 5sin lim0（ ） A 、51B 、1C 、0D 、5 7. =+∞→x x x 2)21(lim （ ）A 、2eB 、1C 、eD 、4e8. 若x x y 1ln +=，则=dy （ ）A 、211x x -B 、211x x +C 、dx x x )11(2-D 、dx x x )11(2+9. 由参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x sin 2143确定的函数的导数=dx dy （ ）A 、26cos t t B 、t t cos 62 C 、26cos t t- D 、t t cos 62-10. =+∞→x xx ln lim（ ）A 、0B 、∞-C 、∞+D 、1 11. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.A 、()()2ln 2ln f x x g x x == 和B 、()||f x x = 和 ()g x =C 、()f x x = 和 ()2g x =D 、()||x f x x=和 ()g x =1 12. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.A 、0B 、14 C 、1 D 、213. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. A 、1y x =- B 、(1)y x =-+ C 、()()ln 11y x x =-- D 、y x = 14. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.A 、连续且可导B 、连续且可微C 、连续不可导D 、不连续不可微14. 点0x =是函数4y x =的（ ）.A 、驻点但非极值点B 、拐点C 、驻点且是拐点D 、驻点且是极值点15. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. A 、只有水平渐近线 B 、只有垂直渐近线C 、既有水平渐近线又有垂直渐近线D 、既无水平渐近线又无垂直渐近线 17.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. A 、1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B 、1fC x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭C 、1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D 、1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭18.x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.A 、arctan x e C +B 、arctan x eC -+ C 、x x e e C --+D 、ln()x x e e C -++ 19. 下列定积分为零的是（ ）.A 、424arctan 1x dx x ππ-+⎰ B 、44arcsin x x dx ππ-⎰ C 、112x xe e dx --+⎰ D 、()121sin x x x dx -+⎰ 20. 设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.A 、()()20f f -B 、()()11102f f -⎡⎤⎣⎦C 、()()1202f f -⎡⎤⎣⎦ D 、()()10f f - 二、 多选题 (每题4分，共40分)21、在空间直角坐标系中，不是方程22z x y =+的图形是( )。

1. 求下列方程通解： (1)b y a y x y +'-'= 解. 原方程整理为：1by y x a x a'-=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰⎰--⎰-c dx e a x b ey a x dxax dxb a x C +-=)((2)0cos )sin 1(=-'+y y y x 解. 原方程整理为：01sin cos =--⋅y dydxyyx tgy x cos 1=⋅-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰-⎰c dy e y e x tgydy tgydy cos 1yc y x cos +=(3)x y y 2cos 24=+''*12*12**()***.()cos :[()cos ()sin ],(),,(,0)x n k x n n k i xn y P y Py P x e x y y x e Q x x Q x x y y x eQ x y y y i k k αααββββαβ+'''++==⋅+=⋅=+=注方程的特解的求法法1.设用待定系数法求法2.先设用待定系数法求后的实部其中是特征方程的重根或1解. 特征方程：042=+r 特征根为：i2±∴对应齐次方程的通解为x C x C Y 2sin 2cos 21+= 所给方程自由项x x x f 2cos 1cos 2)(2+==设*1y 是：14=+''y y 的一个特解 *2y 是x y y 2cos 4=+''的一个特解可求得41*1=y ，x x y 2sin 4*2= ∴ 原方程的一个特解为x xy 2sin 441*+=∴原方程的通解为*y Y y +==x C x C 2sin 2cos 21++x x2sin 441+2. 设z=arctg xy +ln(x 2+y),求dz 。

解. dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=其中 222)(1)(x y x x y x y x z +∂++-=∂∂ , 221)(11x y xy x y z +++=∂∂ 3. 设Z=f (x 2y,x y )有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂2 解. xy z yx z''=∂∂∂2)(2221xy f xy f x z -'+'=∂∂ 11.:(,)2y f f x y x ''注记号也可记为 )2(21)(1122112x f xy x f x f y x z yx z⋅'+⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⋅''=∂∂∂∂=∂∂∂)1())(1(22222221x f x y x f x f -'+-''+''+22312311)()2()2(f x y f y y y x f ''-+''-+''=22112f x f x '-'+ 4. 求函数f (x,y,z)=xy 2+yz 3在点（1，2，1）处沿着向量→l ={1,2,5}的方向导数. 解.456fl→∂=+=∂ 5. 求球面x 2+y 2+z 2=9/4与椭球面3x 2+(y-1)2+z 2=17/4交线上对应于x=1的点处的切线与法平面方程。

新建试卷20181221084106一、单选题（共86题，86分）1、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 42、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 43、A、 0B、 2C、 3D、 14、A、 0B、 1C、 2D、 eE、 3 5、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 4 6、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 4A、 ln3B、 ln2C、 0D、 1E、 2 8、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 4 9、A、 1-exB、 eC、 ex+eD、 0E、 110、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、连续且偏导存在D、既不连续偏导也不存在11、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 412、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 413、B、 2C、 3D、 4E、 014、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 e15、A、 0B、 2C、 3D、 4E、 116、B、 1C、 2D、 4E、 317、A、 ln3B、 ln2C、 1D、 2E、 318、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 419、A、 1-exB、 ex+eD、 0E、 120、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、既不连续偏导也不存在D、连续且偏导存在21、下列关于多元函数连续、偏导及可微说确的是（）A、若可微，则偏导存在B、若连续，则偏导存在C、若偏导存在，则连续D、若偏导存在，则可微22、A、B、C、D、23、A、 dx+2dy+dzB、 dx+dy+dzC、 2dx+dy+dzD、 2dx+2dy+dz24、A、 1B、 -1C、 0D、 225、A、B、C、D、26、设u=cos(xy),则du=( ).A、 -cos(xy)(ydx+xdy)B、 -sin(xy)(ydx+xdy)C、 cos(xy)(ydx+xdy)D、 sin(xy)(ydx+xdy)27、A、 2B、 4C、 -2D、 128、A、 2B、 0C、 1D、 329、A、 3B、 2C、 1D、 030、A、B、C、 y D、31、A、B、C、D、32、A、 2x+2y-z=0B、 2x+2y-z-1=0C、 2x+2y-z-2=0D、 2x+y-z-2=033、A、必要条件但非充分条件B、充分条件但非必要条件C、既非必要条件也非充分条件D、充要条件34、A、 4B、 8C、 6D、 1035、A、 x+y-8z=116B、 x-y-8z=120C、 x-y+8z=110D、 x+y+8z=14036、A、 2B、 1C、 3D、 437、A、 4,0B、 1,2C、 0,438、A、 -2B、 2C、 -4D、 439、A、 (1,1)B、 (1,2)C、 (1,-1)D、 (2,1)40、A、 1B、 2C、 0D、 341、A、 3B、 6C、 942、A、 1+sin1B、 1-cos1C、 1-sin1D、 043、A、 4B、 5C、 -4D、 -544、A、 2B、 3C、 1D、 445、A、 3SB、 2SC、 SD、 4S46、A、 2B、 3C、 1D、 047、A、 2B、 1C、 0D、 448、A、 1B、 0C、 2D、 -149、A、大于0B、等于0C、无法确定D、小于050、A、B、C、 0D、 151、A、 1B、 2C、 3D、 052、A、 aB、 abcC、 bD、 053、A、 22πB、 21πC、 20πD、 25π54、A、 2πB、 4πC、 0D、 8π55、A、πB、π/2C、 0D、 256、A、 13/9B、 14/9C、 1D、 057、A、 0B、C、 2D、 158、A、 2πB、 4πC、πD、 3π59、A、 2B、 1C、 0D、 360、A、B、C、D、61、A、 4B、 16C、 8D、 1062、A、 3B、 1C、 0D、 463、A、I=JB、I<JC、I>JD、无法判断I,J大小64、A、4πB、0C、2D、2π65、A、0B、4πC、2D、2π66、A、-2B、4C、-4D、267、A、πB、2πC、π/2D、4π68、A、10B、8C、-8D、-1069、A、1B、2C、4D、070、A、dxB、dx+dyC、-dyD、dy71、A、（0,0）不是函数的极小值点B、（0,0）是函数的极大值点C、(0,0)是函数的极小值点D、（0,0）不是函数的极值点72、A、{4,4,8}B、{2,4,4}C、{4,4,12}D、{2,2,4}73、A、B、C、D、74、A、B、2C、/2D、175、A、B、C、D、76、A、连续B、极限不存在C、极限存在但不连续D、没有定义77、A、 0B、1C、 2D、 378、A、1B、2C、-2D、079、A、1B、-1C、2D、 380、A、48πB、16πC、24πD、πA、B、C、D、82、A、0B、1C、2D、383、A、B、C、D、84、A、e+1B、e-1C、-e-185、设C为一条平面闭曲线，方向为逆时针，则下面可表示所围区域D面积的是( )A、B、C、D、86、A、B、C、D、二、判断题（共18题，18分）1、√2、×3、√4、5、是否正确？√6、质心与形心两个概念没有任何区别.7、8、9、偏导存在且连续可以推出函数可微√10、计算空间体的体积只有二重积分和三重积分两种方法，其他类型的积分不能处理体积的问题.×11、二元函数在某点极值存在，且该点处偏导存在，则偏导数一定为零.12、二元函数在开区域部如果只有一个极值点，则该极值点为最值点.13、二元函数在某点极限存在当且仅当沿任何方向任意路径趋近于该点处极限均存在且相等.14、偏导存在能推出连续，连续不能推出偏导存在×15、二重积分的几何意义是曲顶柱体体积的代数和.√16、质心与形心两个概念是有所不同的.√17、方向导数是一个数，梯度是一个向量√18、×19、函数f(x,y,z)在有界闭区Ω上连续时，f(x,y,z)在Ω三重积分必存在。

高等数学(下)复习试题一、填空题 （请将答案填入题中横线上空白处，不填写解题过程。

）1. 函数y x y x xyz ++--=)1ln(22的定义域为__________． 2. 平面λ=-+z y x 32是曲面2232y x z +=在点)45,21,21(处的切平面，则λ＝。

3．函数23u xy z xyz =+-在点0(0,1,2)P -沿方向(1l 的方向导数0|P u ∂=∂l ． 4．设∑是球面z z y x 2222=++，γβαcos ,cos ,cos 是∑上的外法线向量的方向余弦，则积分⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (γβα＝。

5．设10,1:≤≤≤y x D 。

则⎰⎰+Dyd y y x σ)cos (5＝。

6．积分dy y x f dx x x ⎰⎰-21),(在极坐标系下的累次积分为。

7．若级数∑∞=-13)5(n nu收敛，则n n u ∞→lim ＝。

8．幂级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛域为。

9. 幂级数221)1(2-∞=-∑n nn x n 的收敛域为。

10．曲线2,3,4234t z t y t x ===在点)21,31,41(处的切线方程为。

11．设21arctan yx z +=，则11==y x dz＝。

12．若曲线积分⎰-++-Ldy y y x dx xy x )56()4(4214λλ在xoy 平面内与路径无关，则λ＝。

13. 曲线积分⎰+Lxdy ydx y x F ))(,(与路径无关，则可微函数),(y x F 满足的条件是 。

14. 设L 为平面上的椭圆12222=+by a x ，边界为正向，则曲线积分⎰+L ydy xdx cos 3＝。

15. 设),(z y xy f u +=，),(t s f 可微，则du ＝。

16．设∑：2222a z y x =++，则曲面积分⎰⎰∑++dS z y x 2222)(＝。

高数下期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0, 6]上的值域是：A. [2, 9]B. [3, 9]C. [1, 9]D. [2, 12]答案：C2. 若f(x)=3x^2+2x-5，求f(-1)的值：A. -12B. -8C. -4D. -2答案：A3. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1, 4)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D4. 根据定积分的性质，∫[0, 1] x dx等于：A. 0B. 1/2C. 1D. 2答案：B5. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 5，那么∫[a, b] 2f(x) dx等于：A. 10B. 5C. 2D. 1答案：A6. 函数y=sin(x)在区间[0, π]上的原函数是：A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. 2sin(x) + C答案：A7. 若∫[0, 1] f(x) dx = 3，且f(x) = 6x - 2，求∫[0, 1] x(6x -2) dx的值：A. 7B. 8C. 9D. 10答案：C8. 曲线y=x^2与直线y=4x在点(2, 4)处的切线相同，求该点处的切线方程：A. y = 4x - 4B. y = 8x - 12C. y = 4xD. y = x^2答案：A9. 若f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)的值：A. 3x^2-6x+2B. x^2-6x+2C. 3x^2-9xD. x^3-3x答案：A10. 若f(x)=e^x，求f'(x)的值：A. e^xB. x*e^xC. e^-xD. 1答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=x^2-4x+3，则f'(x)=________。

答案：2x-412. 曲线y=x^3-2x^2+x在x=1处的导数为________。

一。

微分方程 1. 一阶微分方程 (1)．微分方程12'x y e -=的通解是 （ C ）A ．2x y eC -=+ B ．2x y e C =+C ．22x y e C -=-+ D ．2x y Ce -=(2)．求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。

解: 22ln ln y x C -=(3) 求微分方程()3sin 1cos 0x x e ydx e ydy +-=的通解解：cos 3sin 1x x y e dy dx y e =-，cos 3sin 1xx y e dy dx y e =-⎰⎰ ()ln sin 3ln 1ln x y e c =-+，()3sin 1x y c e ⎡⎤=-⎣⎦(4) 计算满足下述方程的可导函数()y y x =，()()0cos 2sin 1xy x x y t tdt x +=+⎰解：原方程两端求导得cos sin 2sin cos sin 1y x y x y x y x y x ''-+=+= 即sin 1cos cos x y y x x'+=，这是标准的一阶线性微分方程 ()sin sin ln cos ln cos cos cos 11tan cos cos cos x xdx dx x x x x y e e c e e c x c x x x --⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 原方程令0x =得1y =，代入通解得1c =，从而sin cos y x x =+()sin 5.dy y x dx x x+=. 求微分方程的通解 cos .C xy x-=解:通解为:(6) 求微分方程212y x y '=-的通解解:原方程化为22dxx y dy-=-,这是关于未知函数为x 的一阶线性微分方程,通解为:22111224y y Ce y y -=+++ (7)、 求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解. 解：原式可以化为一阶线性微分方程1x y y xe x-'-= 由公式()111ln ln dx dx x x x x x x x x y e xe e dx c e xe e dx c x e dx c x c e -------⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (8) 设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通解。