2018届苏教版 4.3简单的三角恒等变换 单元测试

数学苏教必修4第3章 三角恒等变换单元检测(满分：100分 时间：60分钟)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若α的值为__________．2．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，2c ，则a ，b ，c 的大小关系是__________．3．已知2sin 3α＝，则cos(π－2α)＝__________. 4．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值是__________．5__________．6．已知α∈(π，2π)＝__________. 7．若π1sin =63α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________. 8．若θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ的值为__________． 9．(2012江苏高考，11)设α为锐角，若π4cos =65α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．10．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝__________.二、解答题(本大题共4小题，共50分)11．(12分)已知12cos 13α＝，4sin 5β-＝，α，β均是第四象限角，求sin(α－β)的值． 12．(12分)已知函数()π4cos sin 16f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－． (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 13．(12分)化简下列各式：； (2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 14．(14分)已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2cos 22f αα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，求α的大小．参考答案1. 答案：－3解析：原式＝cos 2sin |cos ||sin |αααθ+＝cos 2sin cos sin αααα+--＝－1－2＝－3. 2. 答案：a ＜c ＜b解析：a sin 59°，b sin 61°，c sin 60°，所以a ＜c ＜b .3. 答案：19- 解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝19-. 4. 答案：4解析：(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋[tan(21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°)]＋tan 21°tan 24°＝2，同理，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，所以原式＝4.5.解析：＝cos20cos35(cos10sin10)︒︒⋅︒-︒＝sin70︒︒. 6. 答案：cos 2α-∵α∈(π，2π)，∴2α∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，.∴cos <02α.cos 2α-. 7. 答案：79- 解析：∵πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ππcos 26α⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝π1cos =33α⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭＝πcos 23α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝2π2cos 13α⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝2×19－1＝79-.8. 答案：3解析：(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ ＝5192+sin 22θ＝1，故28sin 29θ＝. 又因为2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2(k ∈Z )， 所以4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π(k ∈Z )．所以sin 2θ＞0，即sin 23θ＝.9. 解析：∵α为锐角，π4cos =65α⎛⎫+⎪⎝⎭， ∴π3sin =65α⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴πsin 26α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝ππ2sin cos 66αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝34242=5525⨯⨯， 且0＜α＋π6＜π4，故0＜α＜π12， ∴π26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2α＋π3∈ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴π7cos 2=625α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππsin 234α⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝ ＝ππsin 2cos 34α⎛⎫+⎪⎝⎭ππcos 2sin 34α⎛⎫+ ⎪⎝⎭－ ＝ππππsin 2cos cos 2sin 6464αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝2472525-. 10. 答案：π6解析：m ⊥n ⇒3cos A －sin A ＝0⇒A ＝π3，sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C ⇒C ＝π2，∴B ＝π6. 11. 解：∵α，β均是第四象限角，∴5sin=13α-，3cos5β.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝5312433=13513565⎛⎫-⨯-⨯-⎪⎝⎭.12.解：(1)因为()π4cos sin16f x x x⎛⎫+⎪⎝⎭＝－＝14cos cos122x x x⎛⎫+⎪⎪⎝⎭－sin 2x＋2cos2x－1sin 2x＋cos 2x＝π2sin26x⎛⎫+⎪⎝⎭，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为π6－≤x≤π4，所以π6－≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即当π6x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝π6－，即π6x＝－时，f(x)取得最小值－1．13.解：(1)2sin8012sin50cos10cos1022⎛⎫︒︒+︒+︒⎪︒()2sin802sin50cos6010︒︒+︒-︒＝2cos5⎫︒︒⎪⎝⎭︒＝2cos(5045)cos5︒-︒︒＝2.(2)解法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin20cos20cos40cos804sin20︒︒︒︒︒＝2sin 40cos 40cos802sin80cos808sin 2016sin 20︒︒︒︒︒=︒︒＝sin160116sin 2016︒==︒. 解法二：令M ＝sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°，N ＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°，则MN ＝(sin 10°cos 10°)(sin 30°cos 30°)(sin 50°cos 50°)(sin 70°cos 70°) ＝412sin 20°sin 60°sin 100°sin 140° ＝412cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝412N ， ∴116M ＝，即sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116. 14. 解：(1)由ππ242x k π+≠+，k ∈Z ， 得ππ82k x ≠+，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为ππ|,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z . f (x )的最小正周期为π2. (2)由2f α⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2cos 2α， 得πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2cos 2α， 即πsin 4πcos 4αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2(cos 2 α－sin 2 α)， 整理得sin cos cos sin αααα+-＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因为α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即1sin 22α＝. 由α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以π2=6α，即π=12α.。

专题21简单的三角恒等变换1．已知sin2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.13 B ．－13C.23 D ．－23解析：cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23，故选C 。

答案：C2．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32C.32 D ．1＋ 3 解析：f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎫2x －π6＋12。

又x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， ∴f (x )max ＝1＋12＝32.故选C 。

答案：C3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝π6C ． x ＝－π12D ．x ＝－π24解析：对函数进行化简可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6，则由4x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π12，k ∈Z 。

当k ＝0时，x ＝π12.故选A 。

答案：A4．如图，已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，BP ⊥AC ，BP ＝PC ，CD ＞AB ，则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是( )A ．AB 与AD B ．AB 与BCC ．BD 与BC D ．AD 与APC 选项：假设BD ＝BC ，则有2sin θ＝1＋sin 2θ sin θ＋cos θ 2，即1＋2sin 3θcos θ＝sin 2θ，无解。

三角恒等变换单元练习题一、选择题（5×12＝60分） 1．cos 2π8 －12 的值为A.1B. 12C.22D.242．tan π8 －cot π8 等于A.－2B.－1C.2D.03．若sin θ2 ＝35 ，cos θ2 ＝－45 ，则θ在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．cos 25π12 ＋cos 2π12 ＋cos 5π12 cos π12 的值等于A.62B. 32C. 54D.1＋345．已知π＜α＜3π2 ，且sin(3π2 ＋α)＝45 ，则tan α2等于A.3B.2C.－2D.－3 6．若tan θ＋cot θ＝m ，则sin2θ等于 A. 1mB. 2mC.2mD.1m 27．下面式子中不正确的是A.cos(－π12 )＝cos π4 cos π3 ＋64B.cos 7π12 ＝cos π4 ·cos π3 －22sin π3C.sin(π4 ＋π3 )＝sin π4 ·cos π3 ＋32cos π4D.cos π12 ＝cos π3 －cos π48．如果tan α2 ＝13 ，那么cos α的值是A. 35B. 45C.－35D.－459．化简cos （π4 ＋x ）－sin （π4＋x ）cos （π4 ＋x ）＋sin （π4 ＋x ）的值是A.tan x2B.tan2xC.－tan xD.cot x10．若sin α＝513 ，α在第二象限，则tan α2的值为A.5B.－5C. 15D.－1511．设5π＜θ＜6π，cos θ2 ＝a ，则sin θ4 等于A.－1＋a2B.－1－a2C.－1＋a2D.－1－a212．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2 ，则此三角形为A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题(4×6＝24分)13．若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝_____.14．已知sin α＝13 ，2π＜α＜3π，那么sin α2 ＋cos α2 ＝_____.15．cos 5π8 cos π8＝_____.16．已知π＜θ＜3π2 ，cos θ＝－45 ，则cos θ2 ＝_____.17．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.18．若cos(α＋β)＝45 ，cos(α－β)＝－45 ，且π2 ＜α－β＜π，3π2＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.第Ⅱ卷二、填空题13 14 1516 17 18三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)19．已知sinα＋sinβ＝1，cosα＋cosβ＝0，求cos2α＋cos2β的值.20．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sinα、tanα.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14 ，求cos4x 的值.22．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1).三角恒等变换单元练习题答案一、选择题二、填空题 1355 14 －233 15 －24 16 －1010 17 1 18 －725－1 三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)19．已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝0，求cos2α＋cos2β的值.1 20．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α.解：∵sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1 ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0即：cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0⇒cos 2α(sin α＋1)(2sin α－1)＝0 又α∈(0，π2 )，∴cos 2α>0，sin α＋1>0.故sin α＝12 ，α＝π6 ，tan α＝33.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14，求cos4x 的值.解析：由sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14⇒12 ［sin(2x －π)＋sin(－π2 )］＝－14 ⇒sin2x ＝－12 ⇒cos4x ＝1－2sin 22x ＝12 .22．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcos α－sin2αsin α ＝(2cos 2α－1)cos α－2sin 2αcos α ＝2cos 3α－cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2(1－cos 2α)cos α ＝4cos 3α－3cos α＝右边.23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1).求2cos2αcos2β＋p sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β)的值. 解：由条件知tan α、tan β是方程 x 2－4px －2＝1的两根.∴⎩⎨⎧tan α＋tan β＝4p tan αtan β＝－3∴tan(α＋β)＝4p1－（－3）＝p.∴原式＝2cos2αcos2β＋tan(α＋β)sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋2sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2。

阶段质量检测（三） 三角恒等变换(时间120分钟 满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于＝________. 解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.答案：tan 2α2. sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°＝________.解析：原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 答案：223. 已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：由tan(π＋2α)＝－43，得tan 2α＝－43，又tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12或tan α＝2，又α是第二象限的角，所以tan α＝－12. 答案：－124．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则tan α＝_______. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4－11＋tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17－11＋17＝－34. 答案：－345．定义运算a ⊙b ＝a 2－ab －b 2，则sin π6⊙cos π6＝________.解析：sin π6⊙cos π6＝sin 2π6－sin π6cos π6－cos 2π6＝－12－34.答案：－12－346．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)＝________.解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.答案：－37. 已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝__________.解析：因为tan θ2＝3，所以原式＝2sin 2θ2＋sin θ2cos 2θ2＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝tan 2θ2＋tanθ21＋tanθ2＝tan θ2＝3.答案：38．化简：sin 20°1＋cos 40°cos 50°＝__________.解析：sin 20°1＋cos 40°cos 50°＝sin 20°2cos 220°cos 50°＝22sin 40°cos 50°＝22.答案：229．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值为________．解析：根据题意得tan α＋tan β＝－4a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a －3a ＝43. 又∵a >1，∴tan α＋tan β<0，tan αtan β>0， ∴tan α<0，tan β<0.又∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴－π2<α＋β2<0，∴tan α＋β2<0，由tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，∴tan α＋β2＝－2⎝⎛⎭⎫tan α＋β2＝12舍去. 答案：－210．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP ·OQ ＝－12，则cos 2θ＝________.解析：因为OP ·OQ ＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12()1－cos 2θ－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝13.答案：1311．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝______.解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，所以sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3. 答案：π312．已知函数f (x )＝1x －a，若存在φ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，使f (sin φ)＋f (cos φ)＝0，则实数a 的取值范围为________．解析：依题意有1sin φ－a ＋1cos φ－a＝0，即sin φ＋cos φ＝2a ，因为φ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以sin φ＋cos φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4∈(1，2)，所以12＜a ＜22. 答案：⎝⎛⎭⎫12，2213．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析：因为tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，所以tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α.又因为α，β均为锐角，所以β＝π4－α，即α＋β＝π4，所以tan(α＋β)＝tan π4＝1.答案：114．化简：tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3[tan(18°－x )＋tan(12°＋x )]＝__________. 解析：因为 tan[(18°－x )＋(12°＋x )] ＝tan 18°－x ＋tan 12°＋x 1－tan 18°－x tan 12°＋x＝tan 30°＝33，所以tan(18°－x )＋tan(12°＋x )＝33[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )]，所以原式＝tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3·33[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )]＝1.答案：1二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4的值． 解：(1)由0<α<π2，sin α＝45，得cos α＝35，所以sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝⎝⎛⎭⎫452＋2×45×353×⎝⎛⎭⎫352－1＝20.(2)因为tan α＝sin αcos α＝43，所以tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17. 16．(本小题满分14分)(1)已知3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103， 求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π2的值；(2)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210，求β.解：(1)因为3π4<α<π，所以－1<tan α<0，由tan α＋1tan α＝－103，得，3tan 2α＋10tan α＋3＝0， 解得tan α＝－13或tan α＝－3(舍去)．故 5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝52(1－cos α)＋4sin α＋112(1＋cos α)－8－2cos α＝3cos α＋4sin α－2cos α＝－322－22tan α＝－322－22×⎝⎛⎭⎫－13＝－526. (2)因为0<α<π2，tan α2＝12，所以tan α＝2tanα21－tan 2α2＝11－14＝43.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝45，cos α＝35.又因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π. 因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210. 所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝7210×35＋210×45＝22. 因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以β＝3π4. 17．(本小题满分14分)已知f (x )＝cos x (cos x －3)＋sin x ·(sin x －3)． (1)若x ∈[2π，3π]，求f (x )的单调递增区间； (2)若x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4且f (x )＝－1，求tan 2x 的值．解：(1) 由已知，f (x )＝cos 2x －3cos x ＋sin 2x －3sin x ＝1－3(cos x ＋sin x )＝1－32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)．因为 x ∈[2π，3π]，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤9π4，3π.(2)由(1)知f (x )＝1－32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝23， 所以cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝59. 所以sin 2x ＝－59.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以2x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2. 所以cos 2x ＝－1－sin 22x ＝－2149. 所以tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝51428.18．(本小题满分16分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cos α＋β2的值；(2)tan(α＋β)的值．解：(1)因为π2<α<π，0<β<π2，所以π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2.所以sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝217，cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝32. 所以cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－277×32＋217×12＝－2114.(2)因为π4<α＋β2<3π4，所以sin α＋β2＝1－cos 2α＋β2＝5714.所以tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－533.所以tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝5311.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 所以最小正周期T ＝π，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]． 而f (x )＝m ＋2， 所以m ＋2∈[2,3]， 即m ∈[0,1]．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.解：(1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z)．(2)①因为f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x＝5sin(x ＋φ)，⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25. 若sin(x ＋φ)＝m5在[0,2π)内有两个不同的解α，β. 则－1<m5<1，故m 的取值范围是(－5，5)． ②证明：因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解， 所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m 5. 当1≤m <5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5<m <1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)， 所以cos(α－β)＝－cos[2(β＋φ)]＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝⎛⎭⎫m 52－1＝2m 25－1.。

简单的三角恒等变换基础巩固组1.已知cosπ4-x =35,则sin 2x=().A.1825B.725C.-725D.-1625答案:C解析:∵sin2x=cosπ2-2x=cos2π4-x =2cos2π4-x -1,∴sin2x=2×352-1=1825-1=-725.2.函数y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)是().A.奇函数且在0,π2上单调递增B.奇函数且在π2,π 上单调递增C.偶函数且在0,π2上单调递增D.偶函数且在π2,π 上单调递增答案:C解析:y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=sin2x-cos2x=-cos2x,故函数是偶函数,且在0,π2上单调递增.3.已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为().A.π,[0,π]B.2π,-π4,3π4C.π,-π8,3π8D.2π,-π4,π4答案:C解析:由f(x)=sin2x+sin x cos x=1-cos2x+1sin2x=1 2+2222sin2x-22cos2x =12+22sin2x-π4,则T=2π2=π.又2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2(k ∈Z ),∴k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间.故选C.4.已知tan α+π4 =-12,且π2<α<π,则sin2α-2cos 2αsin α-π4等于( ).A .2 55B.-3 510C.-2 55D.-3 1010答案:C 解析:sin2α-2cos 2αsin α-π4=222(sin α-cos α)=2 2cos α,由tan α+π4 =-12,得tan α+11-tan α=-12, 解得tan α=-3.因为π2<α<π,所以cos α=-1010.所以原式=2 2cos α=2 2× -1010=-2 55. 5.(2015河南洛阳二模)已知tan α,tan β是lg(6x 2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)= . 答案:1解析:lg(6x 2-5x+2)=0⇒6x 2-5x+1=0,∴tan α+tan β=56,tan α·tan β=16,∴tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=561-16=1. 6.设函数f (x )=1+cos2x2sin π2-x+sin x+a 2sin x +π4的最大值为 2+3,则常数a= .答案:± 3解析:f (x )=1+2cos 2x -12cos x+sin x+a 2sin x+π4=cos x+sin x+a 2sin x +π4 = sin x +π4 +a 2sin x +π4 =( +a 2)sin x +π4 .依题意有 2+a 2= 2+3,则a=± 3.7.已知cos 4α-sin 4α=23,且α∈ 0,π2 ,则cos 2α+π3 = .答案:2- 156解析:∵cos 4α-sin 4α=(sin 2α+cos 2α)(cos 2α-sin 2α)=23,∴cos2α=23,又α∈ 0,π2 , ∴2α∈(0,π).∴sin2α= 1-cos 22α=53.∴cos 2α+π3 =12cos2α- 32sin2α=12×23−32×53=2- 156. 8.已知α∈ 0,π2 ,tan α=12,求: (1)tan 2α的值; (2)sin 2α+π3 的值.解:(1)因为tan α=12,所以tan2α=2tan α1-tan 2α=43.(2)因为α∈ 0,π2 ,所以2α∈(0,π). 又tan2α>0,所以sin2α=45,cos2α=35. 所以sin 2α+π3 =sin2αcos π3+cos2αsin π3 =45×12+35×32=4+3 310. 能力提升组9.若函数f (x )=2tan x-2sin 2x2-1sin x 2cos x 2,则f π12 的值为( ).A.-43 3 B.8C.4 3D.-4 3答案:B 解析:f (x )=2tan x+1-2sin 2x212sin x =2tan x+2cos xsin x=2sin x cos x =4sin2x ,∴fπ12=4sinπ6=8.10.函数y=cos2 x+π4的图象沿x轴向右平移a个单位长度(a>0),所得图象关于y轴对称,则a的最小值为().A.πB.3π4C.π2D.π4答案:D解析:y=cos2 x+π4=1+cos2x+π22=1-sin2x2=12−12sin2x,函数图象向右平移a个单位长度得到函数y=12−12sin[2(x-a)]=12−12sin(2x-2a),要使函数的图象关于y轴对称,则有-2a=π2+kπ,k∈Z,即a=-π4−kπ2,k∈Z,所以当k=-1时,a有最小值为π4.故选D.11.已知函数f(x)=sin ωx+π6+sin ωx-π6-2cos2ωx2(x∈R,ω>0),则f(x)的值域为.答案:[-3,1]解析:f(x)=sin ωx+π6+sin ωx-π6-2cos2ωx2=2sinωx cosπ6-2cos2ωx2=3sinωx-cosωx-1=2sin ωx-π6-1,又sin ωx-π6∈[-1,1],∴f(x)的值域为[-3,1].12.若函数f(x)=cos 2x+a sin x在区间π6,π2内是减函数,则a的取值范围是.答案:(-∞,2]解析:f(x)=cos2x+a sin x =1-2sin2x+a sin x.令t=sin x,∵x∈π6,π2,∴t∈12,1,∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+112<t<1,由题意知-a2×(-2)≤1,∴a≤2,∴a的取值范围为(-∞,2].13.已知函数f(x)=cos x-π3-sinπ2-x .(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若α∈ 0,π2 ,且f α+π6 =35,求f (2α)的值.解:(1)∵f (x )=12cos x+ 32sin x-cos x= 32sin x-12cos x=sin x -π6, ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)知f (x )=sin x -π6,则f α+π6 =sin α+π6-π6 =sin α=35,∵α∈ 0,π2 ,∴cos α= 1-sin 2α= 1- 35 2=45.∴sin2α=2sin αcos α=2×35×45=2425,cos2α=2cos 2α-1=2× 45 2-1=725, ∴f (2α)=sin 2α-π6 =32sin2α-12cos2α=32×2425−12×725=24 3-750.。

阶段质量检测(三) 三角恒等变换[考试时间：90分钟试卷总分：160分］一、填空题(本大题共14小题，每小题5分,共70分．将答案填在题中的横线上）1．化简：错误!＝________。

2．若sin αsin β＝1，则cos（α－β）＝________。

3．已知tan α＝12,tan(α－β)＝－错误!，那么tan（β－2α)的值为________．4．设a＝sin 14°＋cos 14°,b＝sin 16°＋cos 16°，c＝错误!，则a,b，c的大小关系是__________________．5．已知sin错误!＝错误!，则sin 2x＝________.6．f（sin x）＝cos 2x,则f错误!＝________.7．函数y＝sin x cos x＋错误!cos2x－错误!图象的对称轴方程为________．8．化简错误!＝________.9．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________．10.错误!错误!化简结果为________．11。

错误!＝________.12．函数y＝tan x2－错误!的周期是________．13．已知sin(α－β）＝错误!，α－β是第一象限角，tan β＝错误!，β是第三象限角,则cos α的值为________．14．已知（sin x－2cos x）（3＋2sin x＋2cos x）＝0,则错误!的值为________．二、解答题(本大题共6小题,共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分)已知cos α－sin α＝错误!,且π<α〈错误!π，求错误!的值．16．(本小题满分14分)求函数y＝2＋2sin x cos x＋sin x＋cos x的最大值和最小值．17.（本小题满分14分)已知tan 错误!＋tan 错误!＝4，且－π<θ<－错误!，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．18．（本小题满分16分）已知cos 错误!＝－错误!，sin 错误!＝错误!且α∈（）π2，π，β∈错误!.求：(1）cos错误!；(2）tan(α＋β)．19．(本小题满分16分）求y＝错误!＋sin 2x的最小值．20．(本小题满分16分）已知函数f（x）＝错误!sin ωx＋cos错误!＋cos错误!，x∈R(其中ω>0）．（1)求函数f(x）的值域；（2)若函数f（x）的最小正周期为错误!,求当x∈错误!时，f(x)的单调递减区间．答案1。

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________．解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.答案：122．计算2cos 2π8－1的值为________．解析：2cos 2π8－1＝cos(2×π8)＝cos π4＝22.答案：223.已知tan α＝－43，则tan(α＋134π)的值是________．解析：tan(α＋134π)＝tan α＋tan 134π1－tan αtan 134π＝－43＋11－（－43）×1＝－17. 答案：－174.函数y ＝sin x ·(cos x ＋sin x )的最小正周期T ＝________． 解析：y ＝sin x (cos x ＋sin x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12 ＝22sin(2x －π4)＋12， ∴最小正周期T ＝π. 答案：π 5．tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝________．解析：原式＝tan(18°＋42°)(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°·tan 42°＝3(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°tan 42°＝ 3.答案： 36.已知α是第二象限角，且cos α＝－45，则tan 2α＝________．解析：由α是第二象限角，且cos α＝－45，得sin α＝35；∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725；∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247.答案：－2477.已知sin 2α＝13，则tan α＋1tan α＝________．解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112sin 2α＝6. 答案：68.若sin(α＋β)＝47，sin(α－β)＝67，则tan αtan β＝________．解析：由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＝47，sin αcos β－cos αsin β＝67，∴sin αcos β＝57，cos αsin β＝－17，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－5. 答案：－5 9.3－sin 70°2－cos 210°＝________． 解析：原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝6－2sin 70°3－sin 70°＝2.答案：210.若α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于________．解析：∵α是第三象限角，且sin α＝－2425，∴cos α＝－1－sin 2α＝－725，∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43.答案：－4311.已知cos α＝－14，则cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝________．解析：cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝22（cos α－sin α）2cos 2α－2sin αcos α＝22（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝24cos α＝－ 2. 答案：－ 212.计算2cos 55°－3sin 5°cos 5°＝________．解析：原式＝2cos （60°－5°）－3sin 5°cos 5°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 5°＋32sin 5°－3sin 5°cos 5°＝1.答案：113.函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x 的最大值为________．解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)，∴当2x ＋π4＝2kπ＋π2(k ∈Z )，即x ＝kπ＋π8(k ∈Z )时，f (x )取最大值1＋ 2.答案：1＋ 214.已知B 是△ABC 的一个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f (B )＝4sin B cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B 1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m <2恒成立， ∴m >2sin B －1恒成立． ∵0<B <π，∴0<sin B ≤1.∴－1<2sin B －1≤1，故m >1. 答案：(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知cos(α－β)＝35，sin α＝3365，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，求sinβ的值．解：由已知得：－β∈(0，π2)，又α∈(0，π2)，∴α－β∈(0，π)；∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45；由α∈(0，π2)及sin α＝3365得cos α＝5665；∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝3365×35－5665×45＝－12565×5＝－513. 16.(本小题满分14分)已知α∈(0，π2)，sin α＝55，求tan 2α和sin(2α＋π3)的值．解：由已知得cos α＝255，∴tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－（12）2＝43. ∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)，∵tan 2α＝43>0，∴2α∈(0，π2)，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35.∴sin(2α＋π3)＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.17.(本小题满分14分)如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为(35，45)，△AOB 为正三角形．求sin ∠COA 和cos ∠COB 的值．解：∵点A 的坐标为(35，45)，根据三角函数定义可知：x ＝35，y ＝45，r ＝1；∴sin ∠COA ＝y r ＝45，cos ∠COA ＝x r ＝35.∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， ∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35×12－45×32＝3－4310. 18.(本小题满分16分)设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)．解：∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. 故由cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19， 得sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝459， 由sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，得cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝53. ∴cos α＋β2＝cos [(α－β2)－(α2－β)]＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×⎝⎛⎭⎫75272－1＝－239729. 19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ， (1)求f (x )的最大值及相应的x 的值；(2)若f (θ)＝35，求cos 2(π4－2θ)的值．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin (2x －π4)，∴当2x －π4＝2kπ＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋38π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 2；(2)由f (θ)＝sin 2θ－cos 2θ，及f (θ)＝35得：sin 2θ－cos 2θ＝35，两边平方得1－sin 4θ＝925，即sin 4θ＝1625，∴cos 2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin 4θ＝1625.20.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2，(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的值域；(3)求当x ∈[π，2π]时，f (x )的零点．解：(1)∵f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2＝12sin x ＋32(1＋cos x )＝sin(x ＋π3)＋32， ∴最小正周期T ＝2π.(2)由f (x )＝sin(x ＋π3)＋32，得f (x )的值域为[32－1，32＋1]．(3)令f (x )＝0，即sin(x ＋π3)＋32＝0，也就是sin(x ＋π3)＝－32；∵x ∈[π，2π]，∴x ＝π或x ＝43π，∴当x ∈[π，2π]时，f (x )的零点为x ＝π与x ＝43π.。

第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

把答案填在题中横线上）1. 在△ABC中，若cos Bcos C-sin Bsin C≥0，则这个三角形一定不是三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).2. 若△ABC的内角A满足sin 2A= ，则sin A+cos A = .3. = .4. 若函数y=f（x）=sin x+ cos x+2，x∈[0，2π），且关于x的方程f（x）=m有两个不等实数根，，则sin（+）= .5. 已知：-=，tan=3m，tan=3-m，则m = .6. 已知函数f(x)=cos(2x+)+sin 2x，则 f（x）的最小正周期为 .7. 已知函数f(x)=acos2x-bsin xcos x-的最大值为，且f()= ，则f(-)= .8. 函数y=2sin x-cos 2x的值域是 .9. 设-＜＜，- ＜＜，tan，tan是方程x2-3x+4=0的两个不等实根，则+的值为 .10. = .11. 已知f（cos x）=cos 2x，则f（sin x）的表达式为．12. 函数y=lg（sin x+cos x）的单调递减区间为．13.函数f(x)=cos x-cos 2x(x∈R)的最大值等于．14. 若f（x）是以5为周期的函数，f（3）=4，且 cos=，则f（4cos2）= .二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15. （12分）已知函数f（x）=2cos2x+2 sin xcos x．（1）求函数f（x）定义在[-，]上的值域．（2）在△ABC中，若f （C）=2，2sin B=cos（A-C）-cos（A+C），求tan A的值．16.(12分)已知0＜x＜,化简:lg(cosx·tan x+1- 2sin2)+lg[2cos(x-)-lg(1+sin 2x).17. (12分) 已知向量a =(cos，sin)，b =(cos，sin)，|a–b |= ．（1）求cos（-）的值；（2）若0＜＜，＜＜0，且sin= ，求sin．18. （12分）已知函数f（x）=tan x，x∈（0，）．若x1，x2∈（0，），x1≠x2，证明 [f（x1）+ f（x2）]＞f（）．19. （16分）已知为第二象限的角，sin=，为第一象限的角，cos=．求tan（2-）的值．20.(16分)已知-＜x＜0，sin x+cos x=. （1）求sin x-cos x的值；（2）求的值.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15．16.17.18.19.20.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 锐角解析：在△ABC中，若cos Bcos C-sin Bsin C≥0，则有 cos（B+C）≥0，故B+C为锐角或直角，故角A为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形．2. 解析：由sin 2A=2sin Acos A＞0，可知A为锐角，所以sin A+cos A＞0.又(sin A+cos A)2=1+sin 2A=，所以sin A+cos A=．3. 解析： == =sin30°= ．4. 解析：函数y=f（x）=sin x+ cos x+2=2（ sin x+ cos x ）+2=2sin（x+）+2．再由x∈[0，2π）可得≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．由题意可得 2sin（x+）+2=m有两个不等实数根，，且这两个实数根关于直线x+=或直线 x+=对称，故有=，或 =，故 +=或+=，故 sin（+）= ．5. 解析：∵-=，∴tan（–）=tan = .又tan=3m，tan=3-m，∴tan（–）== =（3m-3-m），∴（3m-3-m）= ，即3m-3-m=，整理得：（3m）2-3m-1=0，解得：3m=，∴3m= 或3m=- （舍去），则m=．6. π 解析：函数f(x)=cos(2x+)+sin2x=cos 2xcos-sin 2xsin =- sin 2x+，所以函数f(x)的最小正周期是T==π．7. 0或–解析：∵函数f(x)=acos2x-bsin xcos x-=a• -b•sin 2x- =•cos 2x-b•sin 2x．它的最大值为 =，故有a2+b2=1．①再由f()= 可得-a- b=，即 a+b=- ②由①②解得∴f(- )= -a+ b =- ，或 f(- )= -a+ b =0．8. [，3] 解析：由题意可得：y=2sin x-cos 2x=2sin2x+2sin x-1=2(sin x+)2，又sin x∈[-1，1]，当sin x=-时，函数f（x）取到最小值为，当sin x=1时，函数f（x）取到最大值为3，综上函数f（x）的值域是[，3]．9. 解析：∵tan，tan是方程x2-3x+4=0的两个不等实根，∴有tan+tan=3，①tan•tan=4，②∴tan（+）= = =-.∵＜＜，＜＜，由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数，∴0＜＜，0＜＜，∴0＜+＜π，∴+=.10. 2 解析：原式=====2.11. f（sin x）=-cos 2x 解析：∵ cos 2x=2cos2x-1，∴f（cos x）=cos 2x=2cos2x-1．∴f（sin x）=2sin2x-1=-（1-2sin2x）=-cos 2x．故答案为f（sin x）=-cos 2x．12. [ +2kπ，+2kπ）解析：由题意，令m=sin x+cos x= sin（x+），由m＞0得，2kπ＜x+ ＜π+2kπ，解得- +2kπ＜x＜+2kπ，∴函数的定义域是（+2kπ，+2kπ）.又∵y=lg x在定义域内是增函数，∴原函数的单调递减区间是y=sin（x+ ）的递减区间，∴ +2kπ≤x+≤ +2kπ，解得+2kπ≤x≤+2kπ，∴所求的单调递减区间是[ +2kπ，+2kπ）．13. 解析： f（x）=cosx-cos2x=cosx-（2cos2x-1）=-cos2x+cosx+=-(cosx-)2+，所以f（x）的最大值为．14.4 解析：∵4cos2=4（2cos2-1）=-2，∴ f（4cos2）=f（-2）=f（-2+5）=f（3）=4．二、解答题15. 解：（1）f（x）=1+cos 2x+ sin 2x=2sin（2x+）+1.∵-≤x≤,∴- ≤2x+≤.∴- ≤sin(2x+)≤1.∴f（x）∈[0，3]，即f（x）的值域为[0，3].（2）由f（C）=2得2sin（2C+ ）+1=2，∴sin（2C+ ）= ．∵0＜C＜π∴＜2C+ ＜.∴2C+= ∴C= ∴A+B=．又∵2sin B=cos（A-C）-cos（A+C），∴2sin B=2sin Asin C，∴2sin( -A)= sin A，即 cos A+sin A= sin A，∴( -1)sin A= cos A，∴tan A= =．16.解：∵ 0<x<，∴原式=lg(cos x·+cos x)+lg(cos x+ sin x)-lg(1+sin 2x)=lg(sin x+cos x)+lg(cos x+sin x)-lg(1+sin 2x)=lg(sin x+cos x)2-lg(1+sin 2x)=lg(1+sin 2x)-lg(1+sin 2x)=0.17. 解：（1）∵a =(cos，sin)，b =(cos，sin)，∴a–b =(cos-cos ，sin-sin)．∵| a–b |= ，∴ = ，即2-2cos(-)= ，∴cos(-)= ．（2）∵0＜＜，–＜＜0，∴0＜-＜π.∵cos(-)= ，∴sin(-)= ．∵sin=- ，∴cos= ，∴sin=sin[（-）+]=sin（–）cos +cos（–）sin= × ×(- )= .18. 证明：tan x1+tan x2=+===.∵x1，x2∈（0，），x1≠x2，∴2sin（x1+x2）＞0，cosx1cosx2＞0，且0＜cos（x1-x2）＜1，从而有0＜cos（x1+x2）+cos（x1-x2）＜1+cos（x1+x2），由此得tan x1+tan x2＞，∴（tan x1+tan x2）＞tan，即 [f（x1）+f（x2）]＞f（）．19. 解：∵为第二象限角，sin=，∴cos=- ，tan=- ，tan2=-又∵为第一象限角，cos=，∴sin=，tan=，∴tan（2–）= ==.20.解：（1）由sin x+cos x=，得sin2x+2sin xcos x+cos2x=，即2sin xcos x=-.∴（sin x-cos x）2=1-2sin xcos x=.又∵ -＜x＜0，∴ sin x＜0，cos x＞0，sin x-cos x＜0，故sin x-cos x=-.（2）==sin xcos x（2-cos x-sin x）=（–）×（2–）=-. 备注：以下内容仅显示部分，需完整版请下载！Tagged:三角恒等变换高一数学单元测验。

专题6：三角恒等变换与解三角形班级 姓名一、前测训练1．（1）已知cos(α＋π6)＝13，α∈(0，π2)，则cos α＝ ；sin(α＋π3)＝ ；，cos(2α＋π6)＝ ．答案：16（3＋22）；13；16（22－3）；（2）已知cos(π4＋x )＝35， 17π12＜x ＜7π4，则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x＝ ． 答案：2875（3）计算 2sin50°＋sin80°(1＋3tan10°)1＋cos10°＝ ． 答案：2（4）已知tan(π4＋α)＝12．则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝ ． 答案：－562．（1）在△ABC 中，b ＝3，B ＝60°，c ＝1，则C ＝ ；a ＝ ． 答案：30°；2；（2）在△ABC 中，A ＝1200，a ＝7，b ＋c ＝8，则b ＝ ；c ＝ ．答案：3或5；5或3（3） 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ， AD ＝10， AB ＝14，∠BDA ＝60︒， ∠BCD ＝135︒ ，则BC ＝ .答案：8 23．（1）在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为 ．答案：等腰或直角三角形（2） 在△ABC 中，sin A ＝2cos B sin C ，则△ABC 的形状为 ．答案：等腰三角形 四、反馈练习1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝________.答案：－34；(考查三角变换，二倍角公式).2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A＝ . 答案：72；(考查正弦定理).3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若a 2－c 2＝3b ，且sin B ＝8cos A sin C ，则边b ＝ .答案：4；(考查两角和差的三角函数关系，正余弦定理).4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，，则△ABC 的面积为 . 答案：32；(考查正弦定理).5.△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则△ABC 的形状是 ．答案：等边三角形；(考查正余弦定理，等差数列与等比数列).6. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________. 答案：8；(考查余弦定理，三角形面积).7.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为____________．答案：3；(考查正、余弦定理).8.钝角△ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝ .答案：5；(考查正、余弦定理)9.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为 .答案：6∶5∶4；(考查正、余弦定理).10.在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝________. 答案： －1010(考查解三角形，三角变换). 11.已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－ 7210．（1）求cos2α的值；（2）求2α－β 的值．答案：（1）cos2α＝－ 35； （2） 2α－β＝－π4．（考查两角和差的三角函数关系）.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B ．(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小. 答案：(1)略；(2) A ＝π2或A ＝π4. （考查正、余弦定理，三角形面积与三角变换）.13.已知△ABC 的面积为S ，且─→AB ·─→AC ＝S .（1）求tan2A 的值；（2）若B ＝π4，|─→CB －─→CA |＝3，求△ABC 的面积S .答案：（1）－43；（2）3.（考查正、余弦定理，平面向量，三角变换）.14.如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．答案：设计∠AMN 为60︒时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． （考查正、余弦定理的应用，三角变换，求函数最值，解析几何，矩阵变换等）.A P M NB C。

简单的三角恒等变换测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） 1. 若cos (2α−π)sin (α+π4)=√22，则sin α−cos α的值为（ ）A.−√72B.−12C.12D.√722. （中诱导公式）sin 60∘cos (−45∘)−sin (−420∘)cos (−570∘)的值等于（ ） A.√6+√24B.√6−√34C.√6+34D.√6−343. 已知tan α=2，则3sin α−4cos αsin α+2cos α=( ) A.13B.−13C.12D.−124. 在△ABC 中，已知tan A+B 2=sin C ，则（ ）A.tan A cot B =1B.12<sin A ⋅sin B ≤1C.sin 2A +cos 2B =1D.cos 2A +cos 2B =sin 2C5. 已知sin α−3cos αsin α+cos α=2，则tan 2α=( ) A.512 B.43C.34D.−5126. 已知函数f(x)=a sin (πx +α)+b cos (πx +β)，且f(2009)=3，则f(2010)的值是（ ） A.−1 B.−2 C.−3 D.17. 已知复平面内复数z =sin α−i cos α(0<α<π)对应的点P 在直线y =√3x 上，则实数α的值为（ ） A.5π6B.2π3C.π3D.π68. 已知f(x)=sinπ3x，A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f(s)⋅f(t)=0的可能情况为（）A.12种B.13种C.14种D.15种9. 设A为实数，则下列算式一定正确的是（）A.(cos A+i sin A)2=cos2A+i sin2AB.(cos A+i sin A)2=2cos2A+i sin2AC.(cos A+i sin A)2=cos2A+i sin2AD.(cos A+i sin A)2=cos A+i sin A10. 若sinα−cosαsinα+cosα=12，则tan2α的值为( )A.3 4B. 35C. −34D.311. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是()A. B. C. D.12. 设α，β，γ∈(0, π2)，且sinα=sinβ+sinγ，cosβ=cosα+cosγ，则α−β等于（）A.π6B.−π6C.π3D.−π3二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）13. 已知tanα=12，则sinαcosα−2sin2α=________．14. 已知函数f(x)=cos2x−4a cos2x2cos2x2的最小值为g(a)，则g(a)=________．15. 若tan θ=12则sin 2θ−cos 2θ2cos 2θ=________．16. 若α,β∈(0,π2)，cos (α+β)=35，sin (α−β)=−513，则cos 2α=________． 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）17. （10分） 已知sin x =√55，角x 终边在第一象限，求tan x 2的值．18. （12分） 已知cos α=−1517，α∈(π,32π)，求sin 2α，cos α2的值．19.(12分) 计算： (1)sin 5π6cos (−π4)+sin 1π6cos 5π4tan 15∘+√331−√33tan 15∘20.(12分) 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有 sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β−−−−−−① sin (α−β)=sin αcos β−cos αsin β−−−−−−②由①+②得sin (α+β)+sin (α−β)=2sin αcos β−−−−−−③ 令α+β=A ，α−β=β 有α=A+B 2，β=A−B 2代入③得 sin A +sin B =2sinA+B 2cosA−B 2．（1） 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A −cos B =−2sin A+B 2sinA−B 2；（2）求值：sin 220∘+cos 250∘+sin 20∘cos 50∘（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论）21. （12分） 已知：cos α+β2=45，cos αcos β=cos α+cos β，求：cosα−β2的值．22. （12分）求值：cos10∘⋅tan70∘(√3tan20∘−1)参考答案与试题解析 简单的三角恒等变换测试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】已知等式左边利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理即可求出所求式子的值． 【解答】 解：∵ cos (2α−π)sin (α+π4)=√22(=(sin α+cos α)(sin α−cos α)√22(sin α+cos α)=√2(sin α−cos α)=√22， 则sin α−cos α=12， 故选C ． 2.【答案】 D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】利用诱导公式把sin (−420∘)和cos (−570∘)转化成−sin 60∘和−cos 30∘，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案． 【解答】 解：sin 60∘=√32，cos (−45∘)=cos 45∘=√22，sin (−420∘)=sin (−1×360∘−60∘)=−sin 60∘=−√32，cos (−570∘)=cos (−1×360∘−210∘)=cos 210∘=cos (180∘+30∘)=−cos 30∘=−√32， ∴ 原式=√32×√22−(−√32)(−√32)=√6−34， 故选D ． 3.【答案】 C【考点】三角函数的化简求值将所求式子的分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanα=2，∴3sinα−4cosαsinα+2cosα=3tanα−4tanα+2=3×2−42+2=12．故选C.4.【答案】D【考点】半角公式的运用运用诱导公式化简求值【解析】由于tan A+B2=tanπ−C2=cot C2，结合tan A+B2=sin C可求得cos C=0，从而可从选项中得到答案．【解答】解：∵tan A+B2=tanπ−C2=cot C2=cosC2sin C2=sin C=2sin C2cos C2，cos C2≠0，∴1−2sin2C2=0，即cos C=0，又0<C<π，∴C=π2．∴tan A cot B=tan A⋅tan A，不一定为1，故A不正确；sin A⋅sin B=sin A⋅cos A=12sin2A ≤12故排除B；sin2A+cos2B=sin2A+sin2A不一定为1，排除C，cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin2C，D正确；故选D．5.【答案】A【考点】三角函数的化简求值【解析】切化弦求出tanα=−5，再由正切函数二倍角公式能求出tan2α．【解答】解：∵sinα−3cosαsinα+cosα=2，∴切化弦得sinα−3cosαsinα+cosα=tanα−3tanα+1=2，解得tanα=−5，∴tan2α=2tanα1−tan2α=512．6.【答案】C【考点】三角函数的化简求值【解析】利用f(2009)=3，以及诱导公式化简f(2009)=a sin(2009π+α)+b cos(2009π+β)，求出a sinα+b cosβ=−3，然后化简整理f(2010)，即可求出结果．【解答】解：f(2009)=a sin(2009π+α)+b cos(2009π+β)=a sin(π+α)+b cos(π+β)=−a sinα−b cosβ=3．∴a sinα+b cosβ=−3．∴f(2010)=a sin(2010π+α)+b cos(2010π+β)=a sinα+b cosβ=−3．故选C7.【答案】A【考点】复数的基本概念弦切互化【解析】求出复数对应的点，代入直线y=√3x，化简，利用0<α<π求出实数α的值．【解答】解：由点P在上直线y=√3x上得−cosα=√3sinα可得tanα=−√3，3∵0<α<π∴α=5π，6故选A．8.【答案】B【考点】三角函数的化简求值【解析】对于s值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f(s)⋅f(t)=0的个数．【解答】x，A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，解：已知函数f(x)=sinπ3现从A中任取两个不同的元素s、t，则使得f(s)⋅f(t)=0，=0，满足f(s)⋅f(t)=0的个数为s=3时7个s=3时f(s)=sinπs3t=3时7个，重复1个，共有13个．故选B．9.【答案】 A【考点】三角函数恒等式的证明 【解析】利用复数的运算性质与三角函数的二倍角公式即可求得答案． 【解答】解：∵ (cos A +i sin A)2 =cos 2A +2i sin A cos A +i 2sin 2A =cos 2A −sin 2A +2i sin A cos A =cos 2A +i sin 2A ， 故选A ． 10.【答案】 C【考点】三角函数的化简求值 弦切互化【解析】本题需熟练掌握二倍角公式，根据弦切互化化简求值即可. 【解答】解：sin α−cos αsin α+cos α=tan α−1tan α+1=12， 解得tan α=−3， 则tan2α=2tanα1−tan 2α=61−9=−34，故选C. 11.【答案】 D【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】将函数f (x )用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立《的不等量关系，即可求解 【解答】f (x )=2sin ωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx=sin ωx ⋅[1+cos (ωx −π2)]−sin 2ωx =sin ωx：f (x )在区间[−2π5,5π6]上是增函数，ω>0,−25πω≤56πω∴ 56πa ≤π2,∴ ωω≤35当而时，f(x)取得最大值，解得12≤ω<52综上，12≤ω≤35故选：D．12.【答案】C【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】首先，根据已知条件，得到sinα−sinβ=sinγ，①，cosβ−cosα=cosγ，②然后，两式平方相加，得到cos(α−β)=12，然后，结合角度的范围确定所求的角．【解答】解：∵sinα=sinβ+sinγ，cosβ=cosα+cosγ，∴sinα−sinβ=sinγ，①cosβ−cosα=cosγ，②根据①2+②2，得2−2cos(α−β)=1，∴cos(α−β)=12，∵α，β∈(0, π2)，∴−π2<α−β<π2，结合②知，β<α，∴α−β>0，∴0<α−β<π2，∴α−β=π3，故选：C．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】弦切互化【解析】先给sinαcosα−2sin2α加上分母1，即sinαcosα−2sin2αsin2α+cos2α，然后分子分母同时除以cos2α即可得到关于tanα的关系式，进而得到答案．【解答】解：∵tanα=12,∴ sin αcos α−2sin 2α =sin αcos α−2sin 2αsin 2α+cos 2α=tan α−2tan 2αtan 2α+1=12−2×1414+1=0.故答案为：0. 14. 【答案】 {1−4a(a >1)a +2a −2(a ≤1)【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】利用二倍角的余弦公式吧原函数化为关于cos x 的函数，然后分函数是二次函数及一次函数分类讨论求得最小值，整合后得答案． 【解答】解：f(x)=cos 2x −4a cos 2x2cos 2x2=cos 2x −a(2cos 2x2)2=cos 2x −a(1+cos x)2=2cos 2x −1−a −2a cos x −a cos 2x =(2−a)cos 2x −2a cos x −1−a ． 当a =2时，f min (x)=−7．当1<a <2时，f min (x)=1−4a ． 当a ≤1时，f min (x)=a+2a−2．当a >2时，f min (x)=1−4a ．综上，g(a)={1−4a(a >1)a+2a−2(a ≤1)．故答案为：{1−4a(a >1)a+2a−2(a ≤1)．15.【答案】【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】根据同角三角函数的基本关系，要求的式子即tan θ−12，再把tan θ=12代入运算求得结果． 【解答】解：若tan θ=12，则sin 2θ−cos 2θ2cos 2θ=2sin θcos θ−cos 2θ2cos 2θ=tan θ−12=0，故答案为 0．16. 【答案】5665【考点】 角的变换求两角和与差的正弦 【解析】由于(α+β)+(α−β)=2α，结合α,β∈(0,π2)，cos (α+β)=35，sin (α−β)=−&513α−βα可利用两角和的余弦公式解决． 【解答】解：∵ α,β∈(0,π2)，∴ −π2<α−β<π2，0<α+β<π，又cos (α+β)=35，sin (α−β)=−513，∴ sin (α+β)=45，cos (α−β)=1213，∴ cos 2α=cos [(α+β)+(α−β)]=cos (α+β)⋅cos (α−β)−sin (α+β)⋅sin (α−β)=35⋅1213−45⋅(−513)=5665． 故答案为：5665．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17. 【答案】 ∵ sin x =√55，角x 终边在第一象限，∴ cos x =2√55∴ tan x 2=1+cos x sin x=2+√5．【考点】任意角的三角函数 半角公式 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos x 的值，再利用半角公式求得tan x x2的值． 【解答】 ∵ sin x =√55，角x 终边在第一象限，∴ cos x =2√55∴ tan x 2=1+cos x sin x=2+√5．18. 【答案】解：∵ cos α=−1517，α∈(π,32π)， ∴ sin α=−√1−cos 2α=−817， ∴ sin 2α=2sin αcos α=240289；由α∈(π,32π)可得α2∈(π2, 3π4)，∴ cos α2<0，再由cos α=2cos 2α2−1=−1517可解得cos α2=√1717【考点】求二倍角的正弦 半角公式的运用【解析】由同角三角函数基本关系和角的范围可得sin α，由二倍角正弦可得sin 2α，又可得cos α2<0，由半角公式可得． 【解答】解：∵ cos α=−1517，α∈(π,32π)， ∴ sin α=−√1−cos 2α=−817， ∴ sin 2α=2sin αcos α=240289； 由α∈(π,32π)可得α2∈(π2, 3π4)， ∴ cos α2<0，再由cos α=2cos 2α2−1=−1517可解得cos α2=√171719.【答案】 【考点】三角函数的积化和差公式 三角函数的和差化积公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 20.【答案】解 （1）证明：因为cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β，------① cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β，------②…①-②得cos (α+β)−cos (α−β)=−2sin αsin β．------③… 令α+β=A ，α−β=B ，有 α=A+B 2，β=A−B 2，代入③得 cos A −cos B =−2sinA+B 2sinA−B 2．…（2）sin 220∘+cos 250∘+sin 20∘cos 50∘=1+12(cos 100∘−cos 40∘)+12(sin 70∘−sin30∘)…=1−sin70∘sin30∘+12sin70∘−12sin30∘=34．…【考点】三角函数的积化和差公式三角函数的和差化积公式【解析】（1）把两角和的余项公式减去两角差的余项公式，再把α+β=A，α−β=B代入化简可得结论．（2）利用半角公式以及积化和差公式化简要求的式子，即可求得结果．【解答】解（1）证明：因为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，------①cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ，------②…①-②得cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ．------③…令α+β=A，α−β=B，有α=A+B2，β=A−B2，代入③得cos A−cos B=−2sin A+B2sin A−B2．…（2）sin220∘+cos250∘+sin20∘cos50∘=1+12(cos100∘−cos40∘)+12(sin70∘−sin30∘)…=1−sin70∘sin30∘+12sin70∘−12sin30∘=34．…21.【答案】解：cosαcosβ=cosα+cosβ，可得12[cos(α+β)+cos(α−β)]=2cosα+β2cosα−β2即：12[2cos2α+β2−1+2cos2α−β2−1]=85cosα−β2令cosα−β2=t上式化为：t2−85t−925=0 t=−15．所以cosα−β2=−15．【考点】三角函数的化简求值三角函数的和差化积公式【解析】通过积化和差与和差化积化简cosαcosβ=cosα+cosβ，利用二倍角公式求出cosα+β2与cosα−β2的关系式，然后求出cosα−β2的值．【解答】解：cosαcosβ=cosα+cosβ，可得12[cos(α+β)+cos(α−β)]=2cosα+β2cosα−β2即：12[2cos 2α+β2−1+2cos 2α−β2−1]=85cosα−β2令cosα−β2=t 上式化为：t 2−85t −925=0 t =−15．所以cos α−β2=−15．22.【答案】 −1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】先把切转化成弦，进而利用诱导公式，两角和公式和二倍角公式对原式进行化简整理，求得答案． 【解答】解：tan 70∘cos 10∘(√3tan 20∘−1) =2cot 20∘cos 10∘(√3sin 20∘cos 20∘−1)=2cot 20∘cos 10∘(√32sin 20∘−12cos 20∘)1cos 20∘=2cos 20∘sin 20∘cos 10∘(sin 20∘cos 30∘−cos 20∘sin 30∘)1cos 20∘=−2sin 10∘cos 10∘sin 20∘=−1。

简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。

答案：B。

通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。

2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。

答案：C。

通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。

答案：B。

通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。

答案：B。

通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。

5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。

答案：D。