2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测(二十九)数列的概念与简单表示法 理(普通高中)

第一节列的概念与简单表示法列的概念及表示方法(1)了解列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(2)了解列是自变量为正整的一类函．知识点一列的概念1．列的定义按照一定顺序排列的一列称为列，列中的每一个叫作这个列的项．排在第一位的称为这个列的第1项(通常也叫作首项)．2．列的分类易误提醒1．由前n 项写通项、列的通项并不唯一．2．易混项与项两个不同的概念，列的项是指列中某一确定的，而项是指列的项对应的位置序号．[自测练习]1．列{a n }：1，－58，715，－924，…，的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n(n ∈N ＋) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋)解析：观察列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案：D2．已知列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是列{a n }中的项 B ．只是列{a n }中的第2项 C ．只是列{a n }中的第6项 D ．是列{a n }中的第2项或第6项解析：令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是列{a n }中的第2项或第6项．答案：D知识点二 列与函关系及递推公式 1．列与函的关系从函观点看，列可以看作定义域为正整集N ＋(或它的有限子集)的函，当自变量从小到大依次取值时，该函对应的一列函值就是这个列．2．列的递推公式如果已知列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n－1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式表示，那么这个公式叫列的递推公式．必记结论 a n 与S n 的关系若列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[自测练习]3．在列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( )A ．30B ．31C ．32D ．33解析：a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31.答案：B4．已知列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则列{a n }的通项公式是________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：an ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2考点一 由列的前几项求列的通项公式|1．下列公式可作为列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝－n＋12 C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－n －1＋32解析：由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，….答案：C2．根据列的前几项，写出各列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各都是偶，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N ＋)．(2)这个列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒，且奇项为负，偶项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n n ＋.(3)这是一个摆动列，奇项是a ，偶项是b ，所以此列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇，b ，n 为偶.(4)这个列的前4项可以写成10－1,100－1，1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.用观察法求列的通项公式的两个技巧(1)根据列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转为一些常见列的通项公式求．(2)对于正负符号变，可用(－1)n 或(－1)n ＋1调整．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n |已知下面列{an }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . [解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段写．已知各项均为正的列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2， 由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去． 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.考点三 由递推关系式求列的通项公式|递推公式和通项公式是列的两种表示方法，它们都可以确定列中的任意一项，只是由递推公式确定列中的项时，不如通项公式直接．归纳起常见的探究角度有： 1．形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n .3．形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n .4．形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常)，求a n .探究一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . 1．在列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)． 解：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n.探究二 形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n . 2．在列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2.解：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以an ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n n ＋2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n2＋n2.探究三 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n . 3．在列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以列{a n ＋1}为等比列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n－1，所以a n ＝2·3n －1－1.探究四 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常)，求a n .4．已知列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差列．∴1a n＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴a n＝2n＋1(n∈N*)．已知列的递推关系，求列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解．1．形如a n＝a n－1＋f(n)(n≥2，n∈N*)时，用累加法求解．2．形如a na n－1＝f(n)(a n－1≠0，n≥2，n∈N*)时，用累乘法求解．3．形如a n＝a n－1＋m(n≥2，n∈N*)时，构造等差列求解；形如a n ＝xa n－1＋y(n≥2，n∈N*)时，构造等比列求解．16.函思想在列中的应用【典例】已知列{a n}．(1)若a n＝n2－5n＋4.①列中有多少项是负？②n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．(2)若a n＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有a n＋1>a n成立．求实k的取值范围．[思路点拨] (1)求使a n<0的n值；从二次函看a n的最小值．(2)列是一类特殊函，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函的对称轴研究单调性．[解] (1)①由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴列中有两项是负，即为a 2，a 3.②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫n －522－94，∴对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该列是一个递增列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3. [方法点评]1．本题给出的列通项公式可以看作是一个定义在正整集上的二次函，因此可以利用二次函的对称轴研究其单调性，得到实k 的取值范围，使问题得到解决．2．本题易错答案为k >－2.原因是忽略了列作为函的特殊性，即自变量是正整．3．在利用二次函的观点解决该题时，一定要注意二次函对称轴位置的选取．[跟踪练习] 已知列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明由．解：法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎪⎨⎪⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *， ∴n ＝9或n ＝10，∴该列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.A 组 考点能力演练1．已知列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B ．156 C ．168D ．195解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1得a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2，所以a n ＋1＋1－a n ＋1＝1，又a 1＝0，则a n ＋1＝n ，a n ＝n 2－1，则a 13＝132－1＝168.答案：C2．(2015·杭州质检)已知列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )A ．0B ．－ 3 C. 3D.32解析：本题由列递推关系式，推得列{a n }是周期变的，找出规律，再求a 20.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知：列{a n }是周期变的，且三个一循环，所以可得a 20＝a 2＝－3，故选B.答案：B3．在列{a n }中，a 3＝8，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋n 为奇，2a nn 为偶，则a 5等于( )A ．12B ．14C ．20D ．22解析：本题考查列的基本性质．代入得a 4＝a 3＋2＝10，a 5＝2a 4＝20.答案：C4．在列{a n }中，有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2(n ∈N *)为定值，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此列{a n }的前100项的和S 100＝( )A ．200B ．300C ．298D ．299解析：由题意，知a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，则a n ＝a n ＋3，所以列{a n }是周期为3的周期列，则a 1＝a 4＝a 7＝…＝a 97＝a 100＝2，a 2＝a 5＝…＝a 98＝4，a 3＝a 6＝a 9＝…＝a 99＝3，所以列的前100项和为(a 1＋a 2＋a 3)×33＋a 100＝299，故选D.答案：D5．已知在列{a n }中，a 1＝2，a 2＝7，若a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位，则a 2 016的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：因为a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4；因为a 2a 3＝7×4＝28，所以a 4＝8；因为a 3a 4＝4×8＝32，所以a 5＝2；因为a 4a 5＝8×2＝16，所以a 6＝6；因为a 5a 6＝2×6＝12，所以a 7＝2；因为a 6a 7＝6×2＝12，所以a 8＝2；依次计算得a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，a 12＝6，所以从第3项起，列{a n }成周期列，周期为6，因为2 016＝2＋335×6＋4，所以a 2 016＝6.答案：B6．已知在列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，若对任意的正整n ，m (n >m )，有a 2n －a 2m ＝a n －m a n ＋m ，则a 2 015＝________.解析：令n ＝2，m ＝1，则a 22－a 21＝a 1a 3，得a 3＝－1；令n ＝3，m ＝2，则a 23－a 22＝a 1a 5，得a 5＝1；令n ＝5，m ＝2，则a 25－a 22＝a 3a 7，得a 7＝－1，所以猜想当n 为奇时，{a n }为1，－1,1，－1，…，所以a 2015＝－1. 答案：－17．若列{(n －a )2}是递增列，则实a 的取值范围是________． 解析：由题意得，对任意的n ∈N *.(n ＋1－a )2>(n －a )2恒成立，即2a <2n ＋1恒成立，所以2a <(2n ＋1)min ＝3，则a <32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，328．(2016·蚌埠检查)已知列{a n }满足：a 1为正整，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2， a n 为偶，3a n ＋1， a n 为奇，如果a 1＝1，则a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝________.解析：由题意知a 1＝1，a 2＝3×1＋1＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝4，a 6＝2，…，所以{a n }的周期为3，因为2 014＝3×671＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(1＋4＋2)×671＋1＝4 698.答案：4 6989．已知列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5，设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n >b n .若在列{c n }中，c 8>c n (n ∈N *，n ≠8)，求实p 的取值范围．解：由题意得，c 8是列{c n }中的最大项，所以⎩⎪⎨⎪⎧－7＋p >22，－9＋p ≤24，－8＋p >4，23>－9＋p ，解得12<p <17.10．已知列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．B 组 高考题型专练1．(2012·高考大纲全国卷)已知列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B. 答案：B2．(2011·高考四川卷)列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1解析：法一：a 1＝1，a 2＝3S 1＝3，a 3＝3S 2＝12＝3×41，a 4＝3S 3＝48＝3×42，a 5＝3S 4＝3×43，a 6＝3S 5＝3×44.故选A.法二：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该列从第2项开始是以4为公比的等比列，又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝，3×4n －2n，∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44. 答案：A3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________.解析：由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1，∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，∴{a n }是以3为周期的列，∴a 1＝a 7＝12.答案：124．(2012·高考上海卷)已知f (x )＝11＋x .各项均为正的列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是________．解析：∵a n ＋2＝11＋a n ，a 1＝1，∴a 3＝12，a 5＝11＋12＝23，a 7＝11＋23＝35，a 9＝11＋35＝58，a 11＝11＋58＝813，又a 2 010＝a 2 012，即a 2 010＝11＋a 2 010⇒a 22 010＋a 2 010－1＝0，∴a 2 010＝5－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2 010＝－5－12舍去. 又a 2 010＝11＋a 2 008＝5－12，∴1＋a 2 008＝25－1＝5＋12，即a 2 008＝5－12，依次类推可得a 2 006＝a 2 004＝…＝a 20＝5－12，故a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326.答案：135＋3265．(2015·高考江苏卷)设列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解析：由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n＝n n ＋2，则1a n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和 S 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.答案：2011。

2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。

课时过关检测(二十九) 数列的概念与表示A 级——基础达标1．已知数列{a n }的前4项依次为2,6,12,20，则数列{a n }的通项公式可能是( ) A ．a n ＝4n －2 B ．a n ＝2n＋2(n －1) C ．a n ＝n 2＋nD ．a n ＝3n －1＋2n －1解析：C 对于A ，a 3＝10≠12，故A 错误；对于B ，a 4＝16＋6＝22≠20，故B 错误；对于C ，a 1＝12＋1＝2，a 2＝22＋2＝6，a 3＝32＋3＝12，a 4＝42＋4＝20，故C 正确；对于D ，a 3＝9＋5＝14≠12，故D 错误．故选C ．2．(2022·潍坊一模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝n 2＋4n ＋1，则a 1＋a 3＋a 5＝( )A ．27B ．28C ．29D ．30解析：B 因为S n ＝n 2＋4n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3．经检验，当n ＝1时不符合，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋3，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＝28．故选B ．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A ．31 B ．42 C ．37D ．47解析：D 由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，又S 1＋1＝3，故数列{S n ＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47．4．已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n ＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．5．(多选)(2022·泰安模拟)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是( )A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为a 2n ＝2n 2D ．此数列的前n 项和为S n ＝n (n －1)解析：AC 观察此数列，偶数项通项公式为a 2n ＝2n 2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a 2n －1＝a 2n －2n ，由此可得a 20＝2×102＝200，A 、C 正确；a 19＝a 20－20＝180，B 错误；S n ＝n (n －1)＝n 2－n 是一个等差数列的前n 项和，而题中数列不是等差数列，不可能有S n ＝n (n －1)，D 错误．故选A 、C ．6．(多选)(2022·潍坊一模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2－2n ，n 为偶数，则( )A ．a 6＝19B ．a 7>a 6C ．S 5＝22D ．S 6>S 5解析：BC 因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2－2n ，n 为偶数，所以a 1＝4，a 2＝－2，a 3＝10，a 4＝－6，a 5＝16，a 6＝－10，a 7＝22，所以A 错误，B 正确；S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C 正确；因为a 6＝－10，所以S 6－S 5＝a 6<0，所以S 6<S 5，故D 错误．故选B 、C ．7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．答案：58．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4＝________，a n ＝________． 解析：由题意可得a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ，则当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝1＋n n －12＝n 2－n ＋22，又a 1＝1也适合上式，故a n ＝n 2－n ＋22，则a 4＝42－4＋22＝7．答案：7n 2－n ＋229．(2022·北京质检)已知数列{a n }满足21·a 1＋22·a 2＋23.a 3＋ (2)·a n ＝(n －1)·2n ＋1＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：∵2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＋2n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，∴2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＝(n －2)·2n ＋2(n ≥2)，两式相减，得2n a n ＝n ·2n ，即a n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1，适合a n ＝n ，故a n ＝n (n ∈N *)．答案：n10．如果连续自然数数列a 1，a 2，…，a n ，…满足lg 2＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 1＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2＋…＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＝lg n ，那么这个数列最多有几项？并求数列的前n 项和S n ． 解：由已知得：2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 1·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＝n ，即2·a 1＋1a 1·a 2＋1a 2·a 3＋1a 3·…·a n ＋1a n＝n ． ∵a 1，a 2，…，a n ，…为连续自然数， ∴上式可化简为2·a n ＋1a 1＝n ，即2·a 1＋na 1＝n ， ∴2n ＋2a 1＝na 1，即(n －2)(a 1－2)＝4．若要n 最大，且n ∈N *，则只能有⎩⎪⎨⎪⎧n －2＝4，a 1－2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，a 1＝3，∴该数列最多有6项，首项为3， ∴S 6＝3＋4＋5＋6＋7＋8＝33．B 级——综合应用11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)na n ＋12n ，则S 1＋S 3＋S 5＝( )A ．0B ．1764C ．564D ．2164解析：D 数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)na n ＋12n ，当n 为偶数时，S n ＝S n －S n －1＋12n ，即有S n －1＝12n ，所以S 1＋S 3＋S 5＝14＋116＋164＝2164．故选D ．12．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋n ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．1＋n ＋ln n D ．2n ＋n ln n解析：D 由题意得，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln n ＋1n ，则a n n ＝a n －1n －1＋ln n n －1，a n －1n －1＝a n －2n －2＋ln n －1n －2，…，a 22＝a 11＋ln 21，由累加法得，a n n ＝a 11＋ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21，即a nn＝a 1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21，则a n n ＝2＋ln n ，所以a n ＝2n ＋n ln n ，故选D ．13．请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n<2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)14．(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值． 解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n－1＝n2a n ， 两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n 2a n ，即n ＋1a n ＋1na n＝3(n ≥2)， ∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n n ＋1，设f (n )＝2×3n －2n n ＋1，∴f n ＋1f n ＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．C 级——迁移创新15．(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n(n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( ) A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n，当n <4时，a n ＋1a n >1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n<n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝m m ＋1，则a n ＋1a n ＝m n ＋1n m ＋1，当n ＝m时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．16．(2022·益阳一模)设曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，求x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 020的值．解：由f (x )＝xn ＋1得f ′(x )＝(n ＋1)x n，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得x n ＝n n ＋1 ，故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 020＝12 ×23 ×…×2 0202 021 ＝12 021．。

课时跟踪检测（三十三） 数列的概念与简单表示[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *),则a 4的值为( ) A ．31 B ．30 C ．15D ．63解析：选C 由题意,得a 2＝2a 1＋1＝3,a 3＝2a 2＋1＝7,a 4＝2a 3＋1＝15,故选C 。

2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ,若a 1＝12,则a 2 019＝( ) A ．－1 B ．12 C ．1D ．2解析：选A 由a 1＝12,a n ＋1＝11－a n ,得a 2＝11－a 1＝2,a 3＝11－a 2＝－1,a 4＝11－a 3＝12,a 5＝11－a 4＝2,…,于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列,因此a 2 018＝a 3×672＋3＝a 3＝－1。

3．数列－1,4,－9,16,－25,…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n 2B ．a n ＝(－1)n ·n 2C ．a n ＝(－1)n ＋1·n 2D ．a n ＝(－1)n ·(n ＋1)2解析：选B 易知数列－1,4,－9,16,－25,…的一个通项公式为a n ＝(－1)n·n 2,故选B 。

4．在各项均为正数的数列{a n }中,对任意m ,n ∈N *,都有a m ＋n ＝a m ·a n 。

若a 6＝64,则a 9等于( ) A ．256 B ．510 C ．512D ．1 024解析：选C 在各项均为正数的数列{a n }中,对任意m ,n ∈N *,都有a m ＋n ＝a m ·a n 。

所以a 6＝a 3·a 3＝64,a 3＝8。

所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512。

5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ,若数列{a n }是单调递增数列,则实数b 的取值范围为( ) A ．(－∞,－1] B ．(－∞,2] C ．(－∞,3)D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列, 所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *), 所以b <2n ＋1(n ∈N *), 所以b <(2n ＋1)min ＝3,即b <3。

第1节数列的概念与简单表示法考试要求1。

了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。

知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

（2）递推公式：如果已知数列{a n｝的第1项（或前几项），且从第二项(或某一项）开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[常用结论与微点提醒]1。

数列的最大（小)项，可以用错误!(n≥2，n∈N＊）错误!求，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解.2.数列是按一定“次序"排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数"的排列顺序有关。

3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。

诊断自测1。

判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”)（1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()（2)1，1，1，1,…，不能构成一个数列.（)（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列。

（）（4）如果数列｛a n｝的前n项和为S n，则对任意n∈N＊,都有a n＋1＝S n＋1－S n。

（）解析（1）数列:1,2,3和数列：3，2,1是不同的数列.(2）数列中的数是可以重复的,可以构成数列.(3）数列可以是常数列或摆动数列.答案（1)×(2)×（3)×（4）√2。

课时规范练 A 组 基础对点练1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8. 答案：C2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n ＝( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A.答案：A4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.答案：C5．(2018·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝__________.解析：∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32，∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.答案：126．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12.答案：127．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n (n ＋1)2.显然，当n ＝1时也满足上式． 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.8．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解析：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 组 能力提升练1．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ·⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23.故选C. 答案：C2．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.15D.110解析：∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.答案：C3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1 B.2n (n ＋1) C.6(n ＋1)(n ＋2)D.5－2n 3解析：由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n (n ＋1)，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 答案：B4．(2018·临沂联考)观察下列各图，并阅读图形下面的文字，则10条直线相交，交点的个数最多是()A ．40B ．45C ．50D ．55解析：设n 条直线的交点个数为a n (n ≥2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，……a 10－a 9＝9.累加得a 10－a 2＝2＋3＋…＋9， a 10＝1＋2＋3＋…＋9＝45. 答案：B5．现定义a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n ，其中n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，15，12，1，则a n 取最小值时，n 的值为__________． 解析：令5n ＝t >0，考虑函数y ＝t ＋1t ，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小，再考虑函数t ＝5x ，当0<x ≤1时，t ∈(1,5]，则可知a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n在(0,1]上单调递增，所以当n ＝110时，a n 取得最小值．答案：1106．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是__________． 解析：∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n－1＝2n ，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.答案：317．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝4S n －1(n ∈N *)． (1)证明：a n ＋2－a n ＝4； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵a n a n ＋1＝4S n －1，∴a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－1，∴a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1，又a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝4. (2)由a n a n ＋1＝4S n －1，a 1＝1，求得a 2＝3，由a n＋2－a n＝4知，数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴a n＝2n－1.8．已知数列{a n}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和S n满足S n＋S n－2＝2S n－1＋2n－1(n≥3)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝log2256a2n－1，n∈N*，设数列{b n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n有最大值？并求最大值．解析：(1)由题意知S n－S n－1＝S n－1－S n－2＋2n－1(n≥3)，即a n＝a n－1＋2n－1(n≥3)，∴a n＝(a n －a n－1)＋…＋(a3－a2)＋a2＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋5＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋1＋2＝2n＋1(n≥3)，经检验，知n＝1,2时，结论也成立，故a n＝2n＋1.(2)b n＝log2256a2n－1＝log22822n＝log228－2n＝8－2n，n∈N*，当1≤n≤3时，b n＝8－2n>0；当n＝4时，b n＝8－2n＝0；当n≥5时，b n＝8－2n<0.故n＝3或n＝4时，S n有最大值，且最大值为S3＝S4＝12.。

课时作业(二十九) [第29讲 数列的概念与简单表示法][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 3＝( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．12．若数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝log 4(2n －1)，则a 6等于( )A ．log 497B ．log 4119C ．log 476D ．log 413113．设数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2，则a 9＋a 10＝( ) A ．16 B ．24 C ．32 D ．484．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式a n ＝________. 能力提升5．数列5、7、3、11，…，则21是该数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第9项 D ．第11项6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－16n ，第k 项满足6<a k <9，则k ＝( ) A ．13 B ．12 C ．10 D ．97．设数列{a n }的通项公式为a n ＝20－4n ，前n 项和为S n ，则S n 中最大的是( ) A ．S 3 B ．S 4或S 5 C ．S 5 D ．S 68．[2011·黄州区一中月考] 若数列{a n }满足a 1＝5，a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n 2(n ∈N *)，则其前10项和为( )A ．50B ．100C ．150D ．2009．[2011·济南模拟] 设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为∏n ，则∏2012的值为( )A ．－12 B ．－1C.12 D ．110．数列{a n }的前6项为12，14，－58，1316，－2932，6164，则该数列的一个通项公式是________．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对于所有n ∈N *，S n ＝a 1n －2，且a 4＝54，则a 1＝________.12．数列{a n }中，a n ＝1n ＋n ＋1，若S n ＝7，则n ＝________.13．数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n ≥1时，a n ＋2等于a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2012＝________. 14．(10分)[2011·南京模拟] 设数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)(n ＝1,2,3，…)均在直线y ＝2x ＋1上．(1)求a2，a3，a4的值；(2)求数列{a n}的通项公式．15．(13分)已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2S n＝3a n－3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}的通项公式是b n＝1log3a n·log3a n＋1，前n项和为T n，求证：对于任意的正整数n，总有T n<1.难点突破16．(12分)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知2a2＝a1＋a3，数列{S n}是公差为d(d≠0)的等差数列，求数列{a n}的通项公式(用n、d表示)．课时作业(二十九)【基础热身】1．A [解析] 由S 1＝2(a 1－1)得a 1＝2；由S 2＝2(a 2－1)得a 2＝4；由S 3＝2(a 3－1)得a 3＝8.故选A.2．B [解析] a 6＝S 6－S 5＝log 411－log 49＝log 4119.故选B.3．C [解析] a 9＋a 10＝S 9－S 8＋S 10－S 9＝S 10－S 8＝92－72＝32.故选C.4．2n －1 [解析] 因为1＝2－1,3＝4－1＝22－1,7＝8－1＝23－1,15＝16－1＝24－1，…可以归纳出通项公式为a n ＝2n－1.【能力提升】5．C [解析] 原数列可写成5、7、9、11、…，可以看出根号内的数是从5开始的奇数构成的数列，所以21＝5＋(n －1)×2，所以n ＝9.故选C.6．B [解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －17，当n ＝1时，a 1＝－15，满足上式，所以通项公式是a n ＝2n －17.因为6<a k <9，所以6<2n －17<9，即11.5<n <13，又因为k ∈N *，所以k ＝12.故选B.7．B [解析] 该数列是单调递减数列，由a n ＝20－4n ≥0得n ≤5，故当n >5时，a n <0，所以S 4或S 5最大．故选B.8．A [解析] 由a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n 2得a 2n ＋1－2a n a n ＋1＋a 2n ＝0，∴a n ＋1＝a n ，即{a n }为常数列，S 10＝10a 1＝50，选A.9．D [解析] 因为a n ＋2＝1－1a n ＋1＝1－a n a n －1＝11－a n ，a n ＋3＝1－1a n ＋2＝a n ，所以{a n }是周期为3的周期数列．又a 1＝2，a 2＝1－12＝12，a 3＝1－112＝－1，从而∏3＝－1，所以∏2012＝(－1)670×2×12＝1.故选D.10．a n ＝(－1)n ·2n－32n [解析] 各项的分母分别满足2n，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，所以通项公式为a n ＝(－1)n·2n－32n .11．2 [解析] 因为a 4＝S 4－S 3＝40a 1－13a 1＝27a 1＝54，所以a 1＝2.12．63 [解析] a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝n ＋1－1，当S n ＝7时，有n ＋1－1＝7，所以n ＝63.13．7 [解析] 由条件知，a 1＝3，a 2＝7，a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，a 8＝7，…，可见{a n }是周期为6的周期数列，故a 2012＝a 2＝7.14．[解答] (1)由已知可得a n ＋1＝2a n ＋1，所以a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15.(2)因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以可设a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ)，得a n ＋1＝2a n ＋λ，所以λ＝1， 于是a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是等比数列，首项为2，公比为2，所以通项公式为a n ＋1＝2×2n －1，即a n ＝2n－1.15．[解答] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－n故2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，故a n ＝3a n －1(n ≥2)．故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. 又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，所以a 1＝3，所以a n ＝3n.(2)证明：b n ＝1n n ＋＝1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1. 【难点突破】16．[解答] 由题意知d >0，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d ， 由2a 2＝a 1＋a 3，得3a 2＝S 3，所以3(S 2－S 1)＝S 3，即3[(a 1＋d )2－a 1]＝(a 1＋2d )2，化简得a 1－2a 1·d ＋d 2＝0，所以a 1＝d ，a 1＝d 2.所以S n ＝d ＋(n －1)d ＝nd ，S n ＝n 2d 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2d 2－(n －1)2d 2＝(2n －1)d 2，当n ＝1，a 1＝d 2满足上式．所以所求的通项公式为a n ＝(2n －1)d 2.。

第五章§1：数列的概念与简单表示法(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2，…，n})上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的． 其中说法正确的序号是A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④ 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 2 018等于A ．5B ．－5C ．1D ．－1 3．数列2，－1，12，－14，x ，y ，…中的x ，y 值是A.18，116B ．－18，116C ．－18，－116D ．18，－1164．数列{a n }满足a n a n ＋1＝2，且a 2＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 31为A ．45B ．46C ．47D ．485．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝anbn ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，那么a n 与a n ＋1的大小是 A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值有关二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋9，则数列{a n }的最大项是______． 7．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝______. 8．已知{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝______.三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝na n－2n(n－1)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n＋1}的前n项和为T n，求T n<625时n的最大值．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{a n}满足f(log2a n)＝－2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{a n}是递减数列．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：数列的项数可以是无限的，通项公式的表示不唯一，故②④错误．答案：C2．解析：由已知a 1＝1，a 2＝5，a 3＝4，a 4＝－1，a 5＝－5，a 6＝－4，a 7＝1，a 8＝5…∴数列{a n }是周期为6的周期数列， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝5. 答案：A3．解析：偶数项为负，奇数项为正，x 是奇数项，y 是偶数项，因此选D 项．答案：D4．解析：由已知得a 1＝2，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1…，∴数列{a n }为周期数列．周期T ＝2，∴S 31＝15(a 1＋a 2)＋a 31＝15×3＋2＝47. 答案：C 5．解析：a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋c －anbn ＋c ＝a (n ＋1)(bn ＋c )－an[b (n ＋1)＋c](bn ＋b ＋c )(bn ＋c )＝ac(bn ＋b ＋c )(bn ＋c )>0，∴a n ＋1>a n .答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：∵a n ＝n n 2＋9，∴a n ＝1n ＋9n，∵n ＋9n ≥2n·9n ＝6，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时取“＝”号，∴n ＝3时，a n 的最大项是a 3＝39＋9＝16.答案：167．解析：由a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ， ∴累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，∴a n ＝n (n ＋1)2＋1.答案：n (n ＋1)2＋18．解析：由已知S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝12n ，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n，n ≥2三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由S n ＝na n －2n(n －1)得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n 即a n ＋1－a n ＝4 ∴数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴数列{a n }是通项公式为a n ＝4n －3. (2)∵a n ＝4n －3， ∴1a n a n ＋1＝1(4n －3)·(4n ＋1)＝14(14n －3－14n ＋1) T n ＝1a 1a 2＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)×(4n ＋1)＝14(1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1) ＝14(1－14n ＋1)． 从而14(1－14n ＋1)<625，解得n<6，n 的最大值为5.10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵f(x)＝2x －2－x ，∴f(log 2a n )＝2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， 即a n －1a n＝－2n.∴a 2n ＋2n·a n －1＝0.∴a n ＝－2n±4n 2＋42，又a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n.(2)证明：∵a n>0，且a n＝n2＋1－n，∴a n＋1a n＝(n＋1)2＋1－(n＋1)n2＋1－n＝n2＋1＋n(n＋1)2＋1＋(n＋1)<1.∴a n＋1<a n.即{a n}为递减数列．。

专题1 数列的概念与简单表示法【目标要求】【核心知识点】1、按照一定顺序排列着的一列数称为数列。

数列中的每一个数叫做这个数列的项。

注意：（1）数列中的数是按一定顺序排列的，在这个定义中，只强调有顺序，而不强调有规律。

（2）数列}{n a 与n a 是不同的，}{n a 表示数列 ,31,,,n a a a ，而n a 仅表示数列}{n a 的第n 项是n a 。

（3）、数列中的项和它的项数是不同的，数列中的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于)(n f 。

而项数是指这个数在数列中的位置记号，它是自变量的值，相当于)(n f 中的n 。

2、如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

注意：（1）并不是所有的数列都有通项公式；，如果一个数列仅仅给出前面有限的几项，那么得到的通项公式或递推公式并不是唯一的，只要符合这几项的公式都可。

（2）有的数列的通项公式在形式上并不唯一。

（3）当不易直接发现规律时，可以拆成若干部分的和差积商或充分挖掘题目条件求解。

3.如果已知数列的第一项（或前n 项），且任一项与它的前一项（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式。

说明：1、递推公式与通项公式都可以揭示数列的构成规律，因此递推公式在以后学习中以及高考中有着及其重要的地位。

2、并不是所有数列都可以写出递推式，正如有的函数并不一定有解析式一样。

如 的近似值，它是没有递推式的。

4.求通项公式的方法归纳（1）、根据初始值以及递推公式写出数列的通项公式：在给出初始值与递推公式的情况下，求数列的通项公式，常用的方法有：一是根据初始值归纳猜测出其通项公式；二是从一般入手，利用递推法；（2）、根据前n 项和n s 求递推式或数列n s 与n a 关系求通项公式常用两种思路：一是先求出n s ，再利用公式)2(1≥-=-n s s a n n n 求；二是利用递推法，由公式)2(1≥-=-n s s a n n n 将它转化为n a 的递推式，再求n a 。

课时跟踪检测（二十九）数列的概念与简单表示法一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·徐州调研)设数列{}的前项和＝＋，则的值为．解析：＝－＝－＝.答案：．数列，，，，，…的一个通项公式＝.解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.答案：．在数列{}中，＝，＝－(≥)，则＝.解析：＝··…···＝··…···＝.答案：．已知数列{}的前项和为＝－＋，则数列{}的通项公式为．解析：当＝时，＝＝，当≥时，＝－－＝－，由于＝时的值不适合≥的解析式，故＝(\\(，＝，－，≥，∈*.))答案：＝(\\(，＝，－，≥，∈*))．(·泰州调研)数列{}定义如下：＝，当≥时，＝(\\(＋()，为偶数，,(－)，为奇数，))若＝，则＝.解析：因为＝，所以＝＋＝，＝＝，＝＋＝，＝＝，＝＋＝，＝＝，＝＋＝，＝＝，所以＝.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．设＝－＋－，则数列{}中的最大项的值是．解析：因为＝－＋，且∈，所以当＝或＝时，取得最大值，即最大值为＝＝.答案：．数列{}满足＋＋＝(∈*)，＝，是数列{}的前项和，则为．解析：∵＋＋＝，＝，∴＝(\\(－()，为奇数，，为偶数.))∴＝×＋×＝.答案：．(·无锡调研)在数列{}中，已知＝，＝，＋等于＋(∈*)的个位数，则＝.解析：由题意得：＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝；所以数列中的项从第项开始呈周期性出现，周期为，故＝×＋＝＝.答案：．已知数列{}对任意的，∈*满足＋＝＋且＝，那么＝.解析：＝＋＝，＝＋＝，＝＋＝.答案：．若数列{}满足：＝，＋＝－(∈*)，则数列{}的前项和数值最大时，的值为．解析：∵＝，＋－＝－，∴数列{}是以为首项，－为公差的等差数列，∴＝＋(－)×(－)＝－.设{}的前项和数值最大，则有(\\(≥，＋≤))∈*，∴(\\(－≥，－(＋(≤，))∴≤≤，∵∈*，∴＝.∴满足条件的的值为.答案：．在数列－，，，…，，…中，是它的第项．解析：令＝，得－＋＝，即(－)(－)＝.解得＝或＝(舍去)．答案：．(·南京四校联考)已知数列{}满足：－＝，－＝，＝，∈*，则＝，＝.解析：由题意可得＝×－＝，＝＝＝＝＝＝×－＝.答案：．在一个数列中，如果∀∈*，都有＝(为常数)，那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知数列{}是＋＋等积数列，且＝，＝，公积为，则＋＋＋…＋＝.解析：依题意得数列{}是周期为的数列，且＝，＝，＝，因此＋＋＋…＋＝(＋＋)＝×(＋＋)＝.答案：．已知为正项数列{}的前项和，且满足＝＋(∈*)．()求，，，的值；。

5.1 数列的概念与简单表示法[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.－n＋12 B ．cos n π2 C ．cosn ＋12πD ．cosn ＋22π解析：令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 答案：D2．(2017届福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 017＝( )A ．1B ．0C ．2 017D ．－2 017解析：∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 017＝a 1＝1.答案：A3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2nD ．2n－1解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n－1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n ＝2n. 答案：C4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为选项C.答案：C5．(2017届衡水中学检测)若数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－k ＋，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 答案：B6．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2>|a 1|不成立，即a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．答案：B7．(2017届济宁模拟)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5等于( ) A.56 B ．65 C.130D ．30解析：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.答案：D8．在数列{a n }中，已知a 1＝a ，a 2＝b ，a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 016等于( ) A ．a B ．b C ．b －aD ．a －b解析：通过计算数列的前12项可知，数列的周期为6，而2 016＝6×336，∴a 2 016＝a 6＝a －b .答案：D9．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项D ．第5项解析：∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式． ∴a n ＝2n －11(n ∈N *)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N *，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．于是，数列{na n }中数值最小的项是第3项．答案：B10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2 017＝________，|a n ＋a n ＋1|＝________(n >1)．解析：由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1， a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n >1，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0， ∴a 2 017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1. 答案：－1 111．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：1012．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .[能 力 提 升]1．(2017届山东菏泽重点高中联考)观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中的小正方形的个数f (n )为( )…A.n ＋n ＋2B ．n ＋n ＋2C.n 2D ．n 2＋n2解析：由题意可得f (1)＝2＋1；f (2)＝3＋2＋1；f (3)＝4＋3＋2＋1；f (4)＝5＋4＋3＋2＋1；f (5)＝6＋5＋4＋3＋2＋1；...；∴f (n )＝(n ＋1)＋n ＋(n －1)＋ (1)n ＋n ＋2.答案：A2．(2017届山东师大附月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 5＋a 6＝________. 解析：a 5＋a 6＝S 6－S 4＝6＋16＋2－4＋14＋2＝78－56＝124.答案：1243．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.当n ＝1时也成立．综上，数列{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2.4．(2018届甘肃诊断性考试)已知数列{a n }满足a 1＝8999，a n ＋1＝10a n ＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，求证：T n <12. 证明：(1)由a n ＋1＝10a n ＋1，得a n ＋1＋19＝10a n ＋109＝10⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋19，即a n ＋1＋19a n ＋19＝10.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，其中首项为a 1＋19＝100，公比为10，所以a n ＋19＝100×10n －1＝10n ＋1，即a n ＝10n ＋1－19.(2)由(1)知b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19＝lg 10n ＋1＝n ＋1，即1b n b n ＋1＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2. 所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2<12.。

课时限时检测(二十九) 数列的概念与简单表示法(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1．如图5－1－1，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )图5－1－1A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －2 C ．a n ＝n n ＋2D ．a n ＝n n ＋2【解析】 观察所给图案知，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.【答案】 C2．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B.8658C.8258D ．108【解析】 ∵a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋2×29216＋3，∴n ＝7时，a n 最大．a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108. 【答案】 D3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，则a 10＝( ) A ．1 024 B ．1 023 C ．2 048D ．2 047【解析】 ∵a n ＋1＝a n ＋2n， ∴a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a 10＝(a 10－a 9)＋(a 9－a 8)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝29＋28＋…＋2＋1＝210－1＝1 023. 【答案】 B4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n【解析】 ∵a n ＝n (a n ＋1－a n )， ∴a n ＋1a n ＝n ＋1n， ∴a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n . 【答案】 D5．(2014·海淀模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1【解析】 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，n ∈N *， ∴3S n ＝S n ＋1－S n ，则S n ＋1＝4S n ，又S 1＝a 1＝1， ∴数列{S n }是公比为4的等比数列． ∴S n ＝1·4n －1＝4n －1，从而a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44.【答案】 A6．(2014·长沙模拟)对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 充分性成立．理由如下： ∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1＞|a n |≥a n ， ∴{a n }为递增数列．必要性不成立．如数列－2,0,1，… 显然a 2＞|a 1|不成立．综上可知，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件． 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ≥2)，则a 16＝________.【解析】 由题意知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.【答案】 128．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.【解析】 由题意知：a 1·a 2·a 3…a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116.【答案】61169．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9(k ∈N *)，则a 1的值为________，k 的值为________．【解析】 当n ＝1时，a 1＝23a 1－13，∴a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1－13＝23a n －23a n －1，∴a na n －1＝－2， ∴数列{a n }是首项为－1，公比为－2的等比数列， ∴a n ＝－(－2)n －1，S n ＝－23×(－2)n －1－13.由1＜－23×(－2)k －1－13＜9得－14＜(－2)k －1＜－2，又k ∈N *，∴k ＝4. 【答案】 －1 4三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2012·大纲全国卷改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式． 【解析】 (1)∵S n ＝n ＋23a n ，且a 1＝1，∴S 2＝43a 2，即a 1＋a 2＝43a 2，得a 2＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，得a 3＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1， 于是a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1，以上n －1个式子的两端分别相乘，得a n a 1＝n n ＋2，∴a n ＝n n ＋2，n ≥2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝n n ＋2，n ∈N *.11．(12分)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．【解】 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝，1n ，n(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＜0，∴{c n }是递减数列．12．(13分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝6n ＋2，点(a n n，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上，{b n }的最小项为b 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求m 的取值范围．【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝6n ＋2， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝6n －4.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(6n －4)＋(6n －10)＋…＋8＋2 ＝n －＋n －2＋2＝3n 2－3n ＋2n －2＋2 ＝3n 2－n ，显然a 1也满足a n ＝3n 2－n ， ∴a n ＝3n 2－n .(2)∵点(a n n，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上， ∴b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)．∴b 1＝8＋2m ，b 2＝125＋5m ，b 3＝512＋8m ，b 4＝1 331＋11m . ∵{b n }的最小项是b 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m ≥512＋8m ，125＋5m ≥512＋8m ，1 331＋11m ≥512＋8m ，∴－273≤m ≤－129.∵b n ＋1＝(3n ＋2)3＋m (3n ＋2)，b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)，∴b n ＋1－b n ＝3[(3n ＋2)2＋(3n －1)2＋(3n ＋2)(3n －1)]＋3m ＝3(27n 2＋9n ＋3＋m )， 当n ≥4时，27n 2＋9n ＋3＞273，∴27n 2＋9n ＋3＋m ＞0， ∴b n ＋1－b n ＞0，∴n ≥4时，b n ＋1＞b n . 综上可知－273≤m ≤－129， ∴m 的取值范围为[－273，－129]．。

课时跟踪检测（二十九） 数列的概念与简单表示法(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知数列1,2，7，10，13，…，则219在这个数列中的项数是( ) A ．16 B ．24 C ．26D ．28解析：选C 因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，解得n ＝26.2．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n(n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析：选D 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q)＝20.3．(2017·河南许昌二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，则a 11的值为( ) A ．31 B ．32 C ．61D ．62解析：选A ∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，∴a 3＝6＋1＝7，a 5＝6＋7＝13，a 7＝6＋13＝19，a 9＝6＋19＝25，a 11＝6＋25＝31. 4．(2018·云南检测)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b>0(n ∈N *)，所以b<2n ＋1(n ∈N *)，所以b<(2n ＋1)min ＝3，即b<3.5．(2018·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12解析：选A ∵数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，∴a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，∴a 5＝a 3·a 2＝132.6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72. 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n≥28．已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式为a n ＝(－1)n·2n－32n ，n ∈N *.答案：a n ＝(－1)n·2n－32n ，n ∈N *9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：∵S n ＋S n －1＝2n －1(n≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0，令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－110．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k(k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：28B 级——中档题目练通抓牢1．若a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1(n≥2)，则a n >100时，n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1(n≥2)得，a 2＝4a 1＋1＝4×12＋1＝3，a 3＝4a 2＋1＝4×3＋1＝13，a 4＝4a 3＋1＝4×13＋1＝53，a 5＝4a 4＋1＝4×53＋1＝213>100. 2．(2018·咸阳模拟)已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n2D ．a n ＝n22解析：选B ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝＋2，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－2(n≥2)， 两式相减得a n ＝＋2－－2＝n(n≥2)，∴a n ＝n 2(n≥2)．又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1，适合上式，∴a n ＝n 2，n ∈N *.故选B.3．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n. 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k≥0，22－＋，∴193≤k≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.4．在数列{a n }中，a n >0，且前n 项和S n 满足4S n ＝(a n ＋1)2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2，解得a 1＝1； 当n≥2时，由4S n ＝(a n ＋1)2＝a 2n ＋2a n ＋1， 得4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1＋1，两式相减得4S n －4S n －1＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1＝4a n ， 整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2， 又a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. 答案：a n ＝2n －15.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97. 答案：976．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n<4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k>－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．7．已知二次函数f(x)＝x 2－ax ＋a(a>0，x ∈R)，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f(n)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1<0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0， 所以a ＝0或a ＝4. 又由a>0得a ＝4， 所以f(x)＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n≥2.由c n ＝1－42n －5可知，当n≥5时，恒有c n >0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2<0，c 2·c 3<0，c 4·c 5<0， 所以数列{c n }的变号数为3.C 级——重难题目自主选做1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是( )A ．a 6或a 7B ．a 7或a 8C ．a 8或a 9D ．a 7解析：选B 因为a n ＋1－a n ＝(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ·7－n 10，当n<7时，an＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝7时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n>7时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，则a 1<a 2<…<a 7＝a 8>a 9>a 10>…，所以此数列的最大项是第7项或第8项，即a 7或a 8.故选B.2．(2018·成都诊断)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n 2n 2－1a n －1(n≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.解析：由题意知a n a n －1＝n2n 2－1＝n 2－＋，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×2222－1×3232－1×…×n2n 2－1＝22×32×42×…×n22－1×2＋1×3－1×3＋1×4－1×4＋1×…×n －1×n ＋1＝22×32×42×…×n 21×3×2×4×3×5×…×n －1×n ＋1＝2nn ＋1. 答案：2nn ＋1。

2019年高考数学总复习 第6章 第1节 数列的概念及简单表示法课时跟踪检测 理（含解析）新人教版1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：选C 选项A 、B 为递减的无穷数列，选项C 为递增的无穷数列，选项D 为有穷数列．故选C.2．(xx·西安模拟)图1,2,3,4分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，设第n 个图包含a n 个互不重叠的单位正方形，则a n ＝( )A ．2n 2－1B ．4n －3C ．n 2－n ＋1D ．2n 2－2n ＋1解析：选D a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝8，a 4－a 3＝12，…，a n －a n －1＝4(n －1)，以上各式两边分别相加可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋4[1＋2＋…＋(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.故选D.3．在正项数列{a n }中，若a 1＝1，且对所有的n ∈N *满足na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，则a 2 014＝( )A ．1 011B ．1 012C ．2 013D ．2 014解析：选D 由a 1＝1，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，得到a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n ＋1a n ＝n ＋1n ，上述式子两边分别相乘得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n ＋1a n ＝a n ＋1＝21×32×43×…×n ＋1n ＝n ＋1，故a n ＝n ，所以a 2 014＝2 014.故选D.4．(xx·北京高考)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选C 依题意S nn 表示图象上的点(n ，S n )与原点连线的斜率，由图象可知，当n ＝9时，S nn最大，故m ＝9.选C.5．数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19 C.119D.1060解析：选C 因为a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，故当n ＝9或10时，a n ＝119最大，故选C.6．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5等于( )A.32B.53 C.85D.138解析：选C 借助递推关系，将a 8逆推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.故选C.7．(xx·宝鸡检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1·a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 013的值等于( )A ．3B ．1 C.13D ．32 013解析：选A 由已知得a n ＋1＝a n a n －1，a n ＋3＝a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n ÷a n ＋1＝1a n ，故a n ＋6＝1a n ＋3＝a n，所以，该数列是周期为6的数列，所以a 2 013＝a 3＝3.故选A.8．(xx·嘉兴质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：选B 因为a n ＋1·a n ＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1， 两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，所以a 2＝2， 所以a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，因此a 10＝25.故选B.9．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项．解析：10 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.即0.08是该数列的第10项．10．已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：n 2＋1 由条件知a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(2n －1)＋[2(n －1)－1]＋…＋(2×3－1)＋(2×2－1)＋2 ＝2[n ＋(n －1)＋…＋3＋2]－(n －1)＋2 ＝2×n －1n ＋22－(n －1)＋2＝n 2＋1(n ≥2)当n ＝1时，a 1＝2满足上式． ∴a n ＝n 2＋1(n ∈N *)11．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，a 36＝________.解析：4 由题意知a 2＝2a 1＝29，a 3＝a 1＋a 2＝39＝13，故a 36＝a 18＋18＝a 18＋a 18＝2a 18＝2a 9＋9＝4a 9＝4(a 3＋a 6)＝12a 3＝4.12．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 的值为________． 解析：8 ∵S n ＝n 2－9n ， ∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，a 1＝S 1＝－8适合上式．∴a n ＝2n －10(n ∈N *)． ∴5<2k －10<8.解得7.5<k <9.∴k ＝8.13．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{a n }是递减数列．(1)解：∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， ∴a n －1a n ＝－2n ，∴a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n . (2)证明：a n ＋1a n ＝n ＋12＋1－n ＋1n 2＋1－n＝n 2＋1＋n n ＋12＋1＋n ＋1<1.∵a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴数列{a n }是递减数列．14．(xx·大纲全国高考)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得，3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理得a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)． ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1·n n －2·n －1n －3·…·53×42×31×1＝nn ＋12(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝1满足上式， ∴a n ＝n n ＋12.1．数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋sin 2n π2a n ＋4cos 2n π2，则a 9，a 10的大小关系为( ) A ．a 9>a 10 B ．a 9＝a 10 C ．a 9<a 10 D ．大小关系不确定解析：选C n 为奇数时，a 3＝2a 1＝2，a 5＝2a 3＝22，a 7＝2a 5＝23，a 9＝2a 7＝24； n 为偶数时，a 4＝a 2＋4＝5，a 6＝a 4＋4＝9，a 8＝a 6＋4＝13，a 10＝a 8＋4＝17. 所以a 9<a 10.故选C.2．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则这个数列n ≥2的通项公式是________．解析：a n ＝n 2n －12∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1·a 2·…·a n －1＝(n －1)2(n ≥2)． 两式作商，得a n ＝n 2n －12.3．(xx·广东六校联考)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，数列第6项a 6＝________；第n 项a n ＝________.解析：35n ＋1n ＋42 由题意知：a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2，n ∈N *)，由累加法得：a n －a 1＝4＋5＋6＋…＋n ＋2， 解得：a n ＝n －1n ＋62＋5＝n ＋1n ＋42(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝5满足上式，∴a n ＝n ＋1n ＋42(n ∈N *)，所以a 6＝7×102＝35.4．(xx·佛山模拟)我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数时，a n 2，n 为偶数时(n ∈N *)，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．解析：28,640 a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝28,5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足4b 1－1·42b 2－1·43b 3－1·…·4n bn －1 ＝(a n ＋1)n ，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∵a 1＝1，a 1＋1＝2≠0，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)∵4b 1－1·42b 2－1·43b 3－1·…·4n bn －1＝(a n ＋1)n ， ∴4b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋n bn －n＝2n 2，∴2(b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n )－2n ＝n 2， ∴b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝12(n 2＋2n )．∴b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋(n －1)b n －1 ＝12[(n －1)2＋2(n －1)] ＝12(n 2－1)(n ≥2) 以上两式相减，得nb n ＝12(n 2＋2n )－12(n 2－1)＝n ＋12，∴b n ＝1＋12n(n ≥2)．又当n ＝1时，4b 1－1＝a 1＋1＝2，得b 1＝32，满足上式，∴b n ＝1＋12n(n ∈N *)．.。

课时跟踪检测(二十九) 数列的概念与简单表示法第Ⅰ组：全员必做题1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( )A ．4B ．2C ．1D ．－23．(2014·银川模拟)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，则T 2 013的值为( )A ．－12B ．－1 C.12 D ．24．(2014·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．95．(2014·天津一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项． 7．(2014·江南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，则a 2 012＝________. 9．已知有限数列45，910，1617，2526，…，m 2m 2＋1(m ≥7，且m ∈N *)． (1)指出这个数列的一个通项公式；(2)判断0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.(1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？第Ⅱ组：重点选做题1．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件2.(创新题)已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2(a n 为偶数)，a n －2n (a n 为奇数).若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C ，故选C.2．选A 由题可知S n ＝2(a n －1)，所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4.3．选B 由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 013＝(－1)671＝－1.4．选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0， ∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7. ∴满足条件的n 的值为7.5．选B 因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. 而a n n≤2，即2n －1≤2n ， 所以有n ＝1,2,3,4.6．解析：令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08. 答案：107．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，n ＝1，2n －1，n ≥2. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2 8．解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期为6的周期数列，故a 2 012＝a 335×6＋2＝a 2＝2.答案：29．解：(1)因为前n 项分子依次为4,9,16,25，…，可看成与序号n 的关系式为(n ＋1)2； 而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式分母可为(n ＋1)2＋1，所以数列的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1(n ＝1,2，…，m －1)．(2)是，因为数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1， 所以设0.98是这个数列的第n 项，即(n ＋1)2(n ＋1)2＋1＝0.98， 解得n ＝6∈N *(n ＝－8舍去)，所以0.98是数列中的第6项．10．解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．第Ⅱ组：重点选做题1．选B 当a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)时， ∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2>|a 1|不成立，即知a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．2．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5；当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2； 当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)；当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10 或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4. 综上，a 1的可能取值为4,7,10.答案：4,7,10。