62 分式线性变换及其映射性质

线性变换与线性映射线性变换和线性映射是线性代数中非常重要的概念，它们在许多数学和科学领域中扮演着重要角色。

本文将介绍线性变换和线性映射的概念、性质、表示以及它们在实际问题中的应用。

一、线性变换线性变换是指将一个向量空间中的向量变换成另一个向量空间中的向量，并且满足以下两个性质：保持向量加法和标量乘法。

具体而言，设V和W是两个向量空间，如果存在一个映射T：V→W，对于任意的向量u和v以及任意的标量c，满足以下两个条件：1. T(u+v) = T(u) + T(v)，即线性变换保持向量的加法；2. T(cu) = cT(u)，即线性变换保持标量与向量的乘法；则称T为从V到W的线性变换。

线性变换的特点在于它们保持向量空间的线性结构，即维度和线性关系不会发生改变。

同时，线性变换也保持向量空间的零向量不变。

二、线性映射线性映射是线性代数中另一种重要的概念，它可以看作是线性变换的一种具体形式。

线性映射也被称为线性函数或线性算子。

设V和W是两个向量空间，如果存在一个映射L：V→W，对于任意的向量u和v以及任意的标量c，满足以下两个条件：1. L(u+v) = L(u) + L(v)，即线性映射保持向量的加法；2. L(cu) = cL(u)，即线性映射保持标量与向量的乘法；则称L为从V到W的线性映射。

线性映射与线性变换的概念相似，但线性映射通常更强调其作为一种函数的性质。

线性映射将向量空间V中的每个向量映射到向量空间W中的一个向量，并且保持了向量间的线性关系。

三、线性变换与线性映射的表示线性变换和线性映射可以通过矩阵来表示。

对于线性变换T：V→W，我们可以选择向量空间V和W的基，然后将V中的每个向量表示为一个列向量，将T作用于这些列向量，得到对应的W中的列向量。

将这些列向量按顺序排列，就得到一个矩阵A，称作线性变换T 的矩阵表示。

同样，对于线性映射L：V→W，也可以采用同样的方法进行表示。

矩阵表示的优势在于它可以将复杂的线性变换或线性映射问题转化为矩阵运算问题，简化了计算过程。

§2 分式线性变换一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：分式线性变换的映射性质，例题 重点：分式线性变换 难点：应用三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11§2 分式线性变换1、分式线性变换及其分解分式线性变换的概念 称变换dcz baz w ++=(7.3) 为分式线性变换或Möbius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记为 。

规定时，， 时， 。

线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换 也是线性变换。

线性变换可分解为以下二种类型变换的复合(Ⅰ) 整线性变换 (当时,)(Ⅱ)反演变换 (当时,)(Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。

(Ⅱ)型变换的几何意义。

其中具有性质:，并且对称点都在过单位圆心的同一射线上。

把平面上的单位圆周映成平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。

规定圆心 与 为关于单位圆周的对称点。

线性变换的复合仍是线性变换。

几个初等函数的映射性质1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换．(2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周．2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．(2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.zw 1=的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的．(3)将圆周映射为圆周． 对于z 平面上的圆周（或直线）0)(22=++++D Cy Bx y x A映射zw 1=当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周； 当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线； 当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周； 当0,0==D A 时，将直线映射为直线． 分式线性变换的映射性质（7.3）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成．1. 线性变换的保形性定义 两曲线在无穷远点处的交角是指它们在反演变换之下的象曲线在原点处的交角。

线性变换知识点总结一、引言线性变换是线性代数中的重要概念，它是在向量空间中的一种特殊映射。

线性变换具有许多重要的性质和应用，因此研究线性变换对于理解线性代数和应用数学有着重要的意义。

本文将从线性变换的基本概念、性质和应用进行总结，希望能够帮助读者对线性变换有更深入的理解。

二、线性变换的定义线性变换是向量空间之间的一种映射，具体来说，设V和W是两个向量空间，f:V→W是从V到W的映射。

如果对于V中的任意向量u、v和任意标量a，b,都有f(au+bv)=af(u)+bf(v)那么f称为一个线性变换。

三、线性变换的矩阵表示线性变换可以用矩阵来表示，假设V和W是n维向量空间，我们选择V和W的基，那么可以得到V和W中的向量可以用n维列向量表示。

设f:V→W是一个线性变换，选择V和W的基分别为{v1,v2,...,vn}和{w1,w2,...,wn}，那么f的矩阵表示为[f]=(f(v1) f(v2) ... f(vn))其中f(vi)表示w中的基向量wi在f映射下的像，也就是f(vi)对应的列向量。

根据线性变换的定义，我们可以得到映射f的矩阵表示满足下列关系f(av1+bv2)=af(v1)+bf(v2)等价于[f](av1+bv2)=a[f]v1+b[f]v2其中[f]v1和[f]v2为f(v1)和f(v2)的列向量表示。

四、线性变换的性质1. 线性变换的保直性线性变换f:V→W将V中的任意向量线性映射到W中，这种映射保持向量之间的直线性质，即通过f映射后的图像仍然是一条直线。

这是线性变换的一个重要性质，它保证了线性变换后的图像具有一些有用的性质，比如直线上的点在f映射后仍然在同一条直线上。

2. 线性变换的局部性线性变换f:V→W保持向量之间的“相对位置”不变，即如果向量v1和v2之间的相对位置关系在V中是一定的，那么在映射f下，向量f(v1)和f(v2)之间的相对位置关系也是一定的。

这一性质对于理解线性变换的几何意义有着重要的作用，它意味着线性变换可以保持向量之间的某些几何性质。

浅谈分式线性变换的性质及应用1 分式线性变换的定义在复变函数中，如果)(z f w =在区域D 内是单叶且保角的，则称它为D 内的共形映射. 形如dcz baz w ++=(1)其中0≠-bc ad 且R d c b a ∈,,,,称为分式线性变换,简记为)(z L w =,可变形为acw bdw z -+-=('1)且(1)式总可以分解成下列简单类型变换的组合: (Ⅰ)h kz w += (0≠k ) 称为整线性变换 (Ⅱ)zw 1=称为反演变换 由上可知分式线性变换是共形映射中的一种常见的基本变换,是扩充复平面到自身的一对一的映射.德国数学家A.F.Mobius 对此作过大量的研究,所以在很多文献中分式线性变换也称为Mobius 变换.2 分式线性变换的性质分式线性变换作为共形映射的一种基本变换,具有四个重要的性质,这些性质使它具有了很多的优点:在处理边界为圆弧或直线的区域变换中发挥了重要的作用,使复杂问题简单化.下面将给出它的四个重要性质.2.1 分式线性变换的保形性 定义1)289](1[P 二曲线在无穷远点处的交角为α,就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的交角为α.按照上面的定义,反演变换在0=z 及∞=z 处是保角的,且整线性变换在扩充z 平面上是保角(形)的,由此我们得出 定理1)290](1[P 分式线性变换(1)在扩充z 平面上是保形的.2.2 分式线性变换的保交比性 定义2)291290](1[-P 扩充z 平面上有顺序的四个相异点1z ,2z ,3z ,4z 构成下面的量,称为它们的交比,记为(1z ,2z ,3z ,4z )(1z ,2z ,3z ,4z )=2414z z z z --:2313z z z z --注 当四点中有一个点为∞时,应将包含此点的项用1代替. 定理2 在分式线性变换下,四点的交比不变. 证明 设 dcz baz w i i i ++= 4,3,2,1=i则))(())((d cz d cz z z bc ad w w j i j i j i ++--=- (j i ≠)利用上式可得(1w ,2w ,3w ,4w )=23132414:w w w w w w w w ----=2414z z z z --:2313z z z z --=(1z ,2z ,3z ,4z ) 证完.2.3 分式线性变换的保对称点性 定义3)294](1[P 1z ,2z 关于圆周γ:R a z =-对称是指1z ,2z 都在过圆心a 的同一条射线上,且合221R a z a z =--.此外,我们规定圆心a 与点∞关于γ对称. 在介绍定理之前先引入一引理如下: 引理)295](1[P 扩充z 平面上两点1z ,2z 关于圆周γ对称的充要条件是通过1z ,2z 的任意圆周都与γ正交.定理3 设扩充z 平面上两点1z ,2z 为关于圆周C 的一对对称点,那么在分式线性变换)(z L w =下,它们的象点1w =)(),(221z L w z L =两点也是关于圆周C 的象曲线圆周Γ的一对对称点.证明 设 过1w 及2w 的任何圆周'Γ,都是过1z ,2z 的圆周'C 由分式线性变换（1）变换而来,由上面的引理, 过1z ,2z 的任意圆周'C 都与C 正交,根据分式线性变换的保形性,过1w ,2w 的任何圆周'Γ与圆周Γ正交,又由引理知1w ,2w 关于Γ对称.证完.2.4 分式线性变换的保圆(周)性定理4 在分式线性变换(1)下,扩充z 平面上的圆周共形映射成扩充w 平面上的圆周. 证明 在圆周方程0)(22=++++D Cy Bx y x A (2) 中,令2_z z x +=,iz z y 2_-=,_22z z y x =+则(2)变为0___=+++D z z z Az ββ (3) 注 ,,,,R D C B A ∈AD >2β(在0=A 时,表示一直线),)(21iC B -=β. 在分式线性变换(1)下,利用('1)及 _______aw c b w d z -+-=(3)式变成扩充w 平面上的圆周0___=+++F w w w Ew γγ 其中Aba Dab a b a b Ab F cDc d c d c d Ad E -=++-=++-=γββββ__________)()(都是实数(在0=E 时,方程表示直线) 证完.3 分式线性变换的应用分式线性变换从几何角度“形”的方面对解析函数进行研究，是复变函数的重要组成部分，在复变函数中它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中具有重要的作用,即任给两个圆周(或直线)C 及Γ,必存在一个分式线性变换,它把C 保形变换到Γ,若在C 上按逆时针方向取三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上也是按逆时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,且这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的左(右)侧区域;若在C 上按逆时针方向取的三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上按顺时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,则这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的右(左)侧区域.下面是几个典型的分式线性变换.3.1 将上半平面共形映射成上半平面的分式线性变换例1 把上半z 平面共形映射成上半w 平面的分式线性变换可以写成dcz baz w ++=,其中R d c b a ∈,,,且0>-bc ad (4)证明 )(21Im _w w iw -=)(21__dz c b z a dcz b az i ++-++=)(21_2z z d cz bcad i -+-=z dcz bc ad Im 2+-=此时它必将下半平面共形映射成下半平面.注将上半z 平面共形映射成下半w 平面的分式线性变换dcz baz w ++=只需让上式（4）中条件0<-bc ad ，它必将下半z 平面共形映射成上半w 平面.3.2 将上半平面共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例2 求出将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换,并使上半平面上一点)0(Im >=a a z 变为0=w .解 如图根据分式线性变换的保对称点性,点a 关于实轴的对称点_a ,应该变到0=w 关于单位圆周的对称点∞=w ,这个变换应当具有形式_az a z kw --=其中k 是常数, k 值的确定,可使实轴上的点,例如0_=z 共形映射成单位圆周上的一点_aa kw =所以k aa k==_1因此,可以令βi e k =(β是实数),最后得到所求的变换为 _az a z e w i --=β(0Im >a ) （5）此时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆外部1>w .注 如果将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆周外部1>w ,只需将（5）式中括号里的条件变为0Im <a ,同时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆内部1<w .3.3 将单位圆周内部共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例3 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周1<w 的分式线形变换,并使一点)1(<=a a z 变到0=z .解 如图)(z L w =由题意,所求的映射应将z 平面上的单位圆1:=z C 变为w 平面上的单位圆1:'=w C .由于要把点)1(<=a a z 变为点0=w ,而关于圆周C 与点a 对称的点是_1a,关于圆周'C 与点0=w 对称点是∞,由分式线形变换的保对称点性知,所求映射应将点a z =共形映射成点0=w ,将点_1az =共形映射成点∞=w .不妨设所求分式线性变换为_'1az az kw --=,'k 为待定系数. 即za a z k a w _'_1---=令'_k a k -=得za a z kw _1--=为确定k ,利用C 上的点的象在'C 上,取点1=z 代入上式应满足1=w ,即111_=--=aa kw所以1=k ,从而得θi e k =,(θ为任意实数).所以 za a z e w i _1--=θ,(1<a ,θ为任一实数). （6）此时它必将单位圆周外部1>z 变到单位圆周外部1>w .注 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周外部1>w 的分式线性变换只需让（6）式括号中1>a 即可;同时,它必将单位圆周外部1>z 共形映射成单位圆周内部1<w .3.4 分式线性变换的综合应用综上所述,我们可求出任意圆形区域(含半平面)到圆形区域的线性变换,若没有任何其它要求,这种线性变换的表达式中包含了两个任意常数,因此,这种变换有无穷多个;如果指定区域内某点的象,则相应的这一点关于圆周(或直线)的对称点应变到相应象点关于象圆周的对称点,这样线性变换中就剩下一个任意复常数;圆的位置变换可经平移得到,圆心在原点的圆可用)0(>=ααz w 使圆放大或缩小,这样我们就可以将任意圆形域(含半平面)变成任意的圆形域(含半平面).例4 求将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0的分式线性变换)(z L w =,使符合条件0)(w i L =,.0)('>i L解 做分式线性变换Rw w 0-=ξ 将圆R w w <-0共形映射成单位圆1<ξ.然后,作出上半平面0Im >z 到单位圆1<ξ的共形映射,使i z =变成0=ξ,该分式线性变换为iz iz ei +-=θξ (为了应用以上三例的结果,我们在z 平面与w 平面间插入一个“中间”平面——ξ平面.)复合以上两个分式线性变换得iz iz e R w w i +-=-θ0 它将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0，i 变成0w .又由条件0)('>i L 可得()ie i z iz i z e dzdw R i iz i iz 2112θθ=++-+=== 也就是 ()⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=2'221Re πθθi i e R i i L所以 i e i ===-θπθπθ,2,02故所求分式线性变换为 0w iz iz Riw ++-= 从以上讨论得到分式线性变换作为一类特殊的共形映射有很好的性质,保圆性、保对称点性、保形性、保交比性，并且分式线性变换能将圆形区域(含半平面)变成规则的区域,它有很多用途.总结分式线性变换的这些特性对我们以后的学习会很有帮助的.而上述这些从性质和应用两方面说明了分式线性变换的重要性，鉴于此，我尝试对该领域内主要贡献者的观点进行归纳整理，力求使该部分内容更加清晰、系统，并从几何角度对分式线性变换作全面分析，更加体现出分式线性变换的重要作用.参考文献：[1] 钟玉泉. 复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2005[2] 余家荣. 复变函数[M]. 北京：高等教育出版社，2005[3] 肖荫庵. 复变函数论[M].吉林: 东北师范大学出版社,1987[4] 于慎根、杨永发、张相梅. 复变函数与积分变换[M].天津：南开大学出版社，2006[5] 钟玉泉. 复变函数学习指导[M].北京: 高等教育出版社，2005[6] 杨林生. 复变函数[M].北京: 高等教育出版社，2001[7] 郑建华. 复变函数[M]. 北京: 清华大学出版社，2005[8] 方企勤. 复变函数教程[M]. 北京: 北京大学出版社，2003[9] James Ward Brown、Ruel V. Churchill （邓冠铁译）复变函数及应用[M].机械工业出版社，2006[10] 郭洪芝、腾桂兰. 复变函数[M]. 天津：天津大学出版社，2002。

第六章 保形映射 第二节 分式线性函数及其映射性质3、分式线性函数：分式线性函数是指下列形状的函数：,δγβα++=z z w 其中δγβα,,,是复常数，而且0≠-βγαδ。

在0=γ时，我们也称它为整线性函数。

分式线性函数的反函数为,αγβδ-+-=w w z 它也是分式线性函数，其中0))((≠---βγαδ。

注解1、当0=γ时，所定义的分式线性函数是把z 平面双射到w 平面，即把C 双射到C 的单叶解析函数；注解2、当0≠γ时，所定义的分式线性函数是把}{C γδ--双射到}{C γα-的单叶解析函数；注解3、我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面∞C 。

当0=γ时，规定它把∞=z 映射成∞=w ；当0≠γ时，规定它把∞=-=z z ,γδ映射成γα=∞=w w ,；则把∞C 双射到∞C 。

现在把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域，如果)(1z f t =把0z z =及其一个邻域保形映射成t =0及其一个邻域，那么我们说w=f (z )把0z z =及其一个邻域保形映射成∞=w 及其一个邻域。

如果)/1(1ζf t =把0=ζ及其一个邻域保形映射成t =0及其一个邻域，那么我们说w=f (z )把∞=z 及其一个邻域保形映射成∞=w 及其一个邻域。

注解4、分式线性函数把扩充z 平面保形映射成扩充w 平面。

注解5、区域、连通性等概念可以推广到扩充复平面。

一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：（1）、α+=z w （α为一个复数）；（2）、z e w i θ=（θ为一个实数）；（3）、rz w =（r 为一个正数）；（4）、z w 1=。

事实上，我们有：),0( )(=+=+=γδβδαδβαz z w ),0( )(2≠+-+=++=γγδγαδβγγαδγβαz z z w 把z 及w 看作同一个复平面上的点，则有：（1）、α+=z w 确定一个平移；（2）、z e w i θ=确定一个旋转；（3）、rz w =确定一个以原点为相似中心的相似映射；（4）、z w 1=是由映射z z 11=及关于实轴的对称映射1z w =叠合而得。

线性映射与线性变换线性映射和线性变换是线性代数中常见且重要的概念。

它们在数学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍线性映射和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。

1. 线性映射的定义与性质线性映射是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的映射，同时满足下列两个条件：(1) 对于任意的向量u和v，有映射L(u+v) = L(u) + L(v)；(2) 对于任意的向量u和标量k，有映射L(ku) = kL(u)。

线性映射可以用矩阵来表示，若向量u在向量空间的基下的坐标为[u]，线性映射对应的矩阵为A，则映射后的向量v在另一个向量空间的基下的坐标为[v] = A[u]。

一些线性映射的常见例子包括平移、旋转和缩放等。

2. 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到其本身的线性映射。

也就是说，线性变换是一种特殊的线性映射，它将一个向量空间中的向量映射到自身。

线性变换可以用矩阵来表示，若线性变换对应的矩阵为A，则向量v经过线性变换后的坐标为[v] = A[v]。

和线性映射一样，线性变换也满足线性性质，即对于任意的向量u和v，以及标量k，存在线性变换T使得：(1) T(u+v) = T(u) + T(v)；(2) T(ku) = kT(u)。

线性变换的一个重要特性是它可以保持向量空间中的线性关系，例如保持直线不变或保持平行关系。

3. 线性映射与线性变换的关系线性变换是线性映射的一种特殊情况，即线性变换是一种将向量空间映射到自身的线性映射。

线性变换通常用于描述向量空间的变化或操作，而线性映射更加通用，可以将一个向量空间映射到另一个向量空间。

对于给定的线性变换T，若向量v经过线性变换后的坐标为[v']，则可以表示为[v'] = A[v]，其中矩阵A是T对应的线性变换的矩阵。

线性映射和线性变换之间的关系可以通过矩阵乘法进行推导和证明。

具体而言，设线性映射L将向量空间V映射到向量空间W，线性变换T将向量空间V映射到自身。

第六章 保形映射 第二节 分式线性函数及其映射性质 4、分式线性函数的映射性质：规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。

定理4.1 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆。

证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及zw 1=型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射z w 1=也把圆映射为圆即可。

在圆的方程,0)(22=++++d cy bx y x a（如果a=0，这表示一条直线）中，代入,2,2,22izz y z z x z z y x -=+==+ 则得圆的复数表示：,0=+++d z z z az ββ其中a,b,c,d 是实常数，)(21ic b +=β是复常数。

函数zw 1=把圆映射成为,0=+++a w w dw ββ即w 平面的圆（如果d=0，它表示一条直线，即扩充w 平面上半径为无穷大的圆）。

设分式线性函数把扩充z 平面上的圆C 映射成扩充w 平面上的圆C'。

于是，C 及C'把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域，21,D D 及','21D D ，其边界分别是C 及C'。

则此分式线性函数把1D 映射成','21D D 之中的一个区域，但是究竟1D 的象是'1D 还是'2D ，我们必须通过检验1D 中某一个点的象来决定。

定理4.2 对于扩充 z 平面上任意三个不同的点321,,z z z 以及扩充 w 平面上任意三个不同的点321,,w w w ，存在唯一的分式线性函数，把321,,z z z 分别映射成321,,w w w 。

证明：先考虑已给各点都是有限点的情形。

设所求分式线性函数是,dcz baz w ++=那么，由dcz baz w d cz b az w d cz b az w ++=++=++=222222111,, 得))(())(())((1111d cz d cz d cz b az d cz b az w w ++++-++=-))(())((11d cz d cz bc ad z z +++-=同理，有：))(())((111d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((131313d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((232323d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((222d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，因此，有231321231321::z z z z z z z z w w w w w w w w ----=----， 由此，我们可以解出分式线性函数。