第2节 与圆有关的位置关系

圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系是几何学中重要的概念之一，它描述了两个圆在平面上的相对位置和可能的相交形态。

根据圆与圆之间的位置关系，我们可以将其分为三种基本情况：相离、相切和相交。

一、相离的情况
当两个圆的距离大于它们的半径之和时，称它们为相离的圆。

在这种情况下，两个圆不会有任何交点，它们完全没有重叠的部分。

图示如下：
(图示相离的圆)
二、相切的情况
当两个圆的距离等于它们的半径之和时，称它们为相切的圆。

在这种情况下，两个圆只有一个公共的切点。

它们在这个切点相交，其他部分完全分离。

图示如下：
(图示相切的圆)
三、相交的情况
当两个圆的距离小于它们的半径之和时，称它们为相交的圆。

在这种情况下，两个圆有两个公共的交点，并且它们部分重叠。

相交的情况又可以分为内含和交叉两种特殊情况。

1. 内含的情况
当一个圆完全包含在另一个圆内部时，称它们为内含的圆。

在这种情况下，内含的圆与外部的圆相切于内部圆的边界上的一点。

图示如下：
(图示内含的圆)
2. 交叉的情况
当两个圆的内部有交集，但没有一个圆完全包含另一个圆时，称它们为交叉的圆。

在这种情况下，两个圆有两个公共的交点，并且它们部分重叠。

图示如下：
(图示交叉的圆)
综上所述，圆与圆的位置关系可以通过它们的相对位置和交集情况来判断。

相离、相切和相交是基本的分类，而相交的情况又可细分为内含和交叉两种特殊情况。

理解和熟练应用这些概念，有助于我们在解决几何问题时准确地判断和描述圆与圆之间的位置关系。

(完)。

与圆有关的位置关系知识要点透析知识点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有知识点二、圆的确定已知圆心和半径可以确定圆，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.1．不在同一直线上的三个点确定一个圆. 2．经过三角形三个顶点可以作一个圆.3．用反证法证明命题的一般步骤为：(1) 假设命题的结论不成立；(2) 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.知识点三、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O 到直线的距离为d，那么2．直线与圆的位置关系的判定和性质．知识点四、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.知识点五、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.知识点六、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.(3) 三角形的外心与内心的区别：1．圆与圆的五种位置关系的定义2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)3．两圆相切的性质：若两圆相切，则切点一定在连心线上.规律方法指导1．首先要掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的得出过程，结合相应图形得出各位置关系下的d与r(R与r)之间的关系；2．理解好切线的性质及判定，总结出判定切线常添加的辅助线：(1)过圆心作切线的垂线；(2)作出过切点的半径；3．每个知识点只有在真正理解的基础上才能够掌握并灵活应用.经典例题透析类型一：判断直线和圆的位置关系1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米；(2)r=2.4厘米；(3)r=3厘米．类型二、运用切线的性质定理解题2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．类型三、切线的判定3．如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切.【变式1】已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD 是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【变式2】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆切于点E．求证：CD与小圆相切．4．△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，且∠DCB=∠A，求证：CD是⊙O的切线.方法一：可利用直径所对圆周角是直角.方法二：可采用圆周角定理.【变式】如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.类型四、切线长定理的应用5．已知，如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AB=7，AC=8，BC=9，求AD、BE、CF的长.【变式1】已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.(1)若∠P=70°，求∠DOE的度数；(2)若PA=4cm，求△PDE的周长.总结升华：此题的解答中推出两个重要结论：(1)；(2)△PDE的周长=PA+PB=2PA.【变式2】已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC的内切圆⊙O的半径r.总结升华：通过此题的求解过程，总结如下结论：在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b，AB=c，三角形内切圆半径为r这均是计算直角三角形内切圆半径的重要结论.【变式3】已知：如图，△ABC的内切圆⊙O切边AB、BC、AC于点D、E、F，且∠A=50°，求∠DEF的度数.方法一：先求圆心角，再由切线的性质方法二：可由切线长定理和内心性质求解.总结升华：事实上，在此求解过程中可以得到如下结论：(1)(2)类型五、两圆的位置关系6．已知相交两圆的半径分别为，圆心距为d，试求d的整数值.【变式1】已知两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，且满足，试确定这两圆的位置关系.想一想，若两圆内切，圆心距为3cm，其中一个圆的半径为5cm，则另一个圆的半径为_____.【变式2】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，AD、BC的长是方程x2-20x+75=0的两根，以D为圆心，AD长为半径的圆，和以C为圆心，BC长为半径的圆之间有怎样的位置关系？思路点拨：问题转化为比较AD+BC与DC之间的大小关系.7．如图，在长为25cm，宽为18cm的矩形ABCD中截下一个最大的⊙O2后，若想在剩余的材料中再截去一个最大的⊙O1，试求⊙O1的半径.【变式1】如图，要想在半径为R的圆铁片内剪下四个相等的圆片，那么其半径r的最大值是多少？思路点拨：欲使四个相等的圆片最大，只要使这相邻小圆片分别两两外切，且都内切于已知圆.想一想，若还要在剩下的空余剪下五个小圆(如图)，半径最大值是多少？提示：2r小=AC-2r=(2R-2r)-2r=2R-4r .【变式2】已知：如图所示，半圆O的直径为2R，分别以AO、OB为直径在半圆O内分别作半圆C和半圆F，若⊙D与⊙O内切，且分别与⊙C、⊙F外切，试求⊙D的半径r.8．已知：如图，两圆相交于A、B点，割线BEF与割线ACD互相平行，试比较线段EF与CD的大小，并证明.基础达标一、选择题1．已知如图所示，等边△ABC的边长为2cm，下列以A为圆心的各圆中，半径是3cm的圆是( )2．已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.外离3．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长为3，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定4．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )A.70°B.90°C.60°D.45°5．I为△ABC的内心，如果∠ABC+∠ACB=100°，那么∠BIC等于( )A.80°B.100°C.130°D.160°6．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=( )A．60°B．75°C．105°D．120°二、填空题7．如图所示，O为△ABC的外心，若∠BAC=70°，则∠OBC=________.8．如图所示，PA与PB分别切⊙O于A、B两点，C是上任意一点，过C作⊙O 的切线，交PA及PB于D、E两点，若PA=PB=5cm，则△PDE的周长是_______cm.9．如图所示，△ABC的内切圆⊙O切AC、AB、BC分别为D、E、F，若AB=9，AC=7，CD=2，则BC=______.10．如图所示，两圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，则O1O2所在的直线是公共弦AB 的________．11．已知两圆直径为3+t，3-t，若它们圆心距为t，则两圆的位置关系是______.12．⊙O的半径为6cm，P是⊙O外一点，且OP=10cm，则当⊙P的半径为_______时，两圆相切.13. 两圆半径之比为3: 5，外切时圆心距等于24cm，则两圆内切时的圆心距d=_______. 能力提升1．图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半径为2，则BC的长为( )A．2B．1 C．1.5D．0.52．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与轴相切于点Q，与轴交于M(0，2)，N(0，8)两点，则点P的坐标是( )A．B．C．D．3．如图，是⊙O的直径，点在的延长线上，过点作⊙O的切线，切点为，若，则______．4．如图，⊙O1和⊙O2相交于A，B，且AO1和AO2分别是两圆的切线，A为切点，若⊙O1的半径r1=3cm，⊙O2的半径为r2=4cm，则弦AB=___cm.5．两圆的圆心距d=8，两圆的半径长是方程x2-7x+12=0的两根，则这两个圆的位置关系是______.6．如图所示，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠A=70°，求∠BOC的度数.(1)变式一:在△ABC中，点O是△ABC的外心，∠A=70°，求∠BOC的度数.(2)变式二:如图所示，在△ABC中，⊙O与AB、BC、AC所截得的线段DE=FG=MN，∠A= 70°，求∠BOC的度数.7．如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为的中点，OE 交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD，求证：AD是⊙O的切线.8．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，I为它的内心，BI的延长线交AC于D点，过A、B、D三点作⊙O，交BC于E点，求证：BC=BD+AD.。

第六章圆第二节与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固25分钟1. (2019广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为()A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条2. (2019邯郸九年级期末)⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是()3. (2019邢台期末)⊙O的半径为4，点P在⊙O外，则OP的长可能是()A. 2B. 3C. 4D. 5第4题图4.(2019河北黑马卷)如图，AB、AC、BC是一个公园的三条小路，现准备在公园内修建一座亭子，使得亭子到三条小路的垂直距离都相等，则亭子应该位于△ABC的()A. 内心B. 外心C. 重心(三边中线的交点)D. 垂心(三边高线的交点)5. (2019秦皇岛抚宁区台营学区期末)过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在()A. 三角形内B. 三角形上C. 三角形外D. 以上都有可能6.如图，在平面直角坐标系中，圆心P的坐标为(－2，0)，半径为1，将⊙P沿x轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为()A. 1B. 3C. 5D. 1或3第6题图7.(2019衡水故城县期末)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.连接BD，BE，CE，若∠CBD＝33°，则∠BEC的度数为()A. 66°B. 114°C. 123°D. 132°第7题图8.(2019邢台一模)如图，点O是△ABC的内心，M、N是AC上的点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠B ＝100°，则∠MON＝()A. 60°B. 70°C. 80°D. 100°第8题图9. (2019保定高阳县演练一)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm，能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是()A. 5 cmB. 533cmC. 10 cmD. 1033cm第9题图10. (全国视野创新题推荐·2019邢台期末)如图，是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形，若O是一个三角形的外心，则这个三角形是()A. △ABDB. △BCDC. △ACDD. △ADE第10题图11. (2019石家庄十八县模拟联考一)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E 是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则点F为()A. △ABC的外心B. △ABC的内心C. △BCE的外心D. △ABE的内心第11题图12.(2019唐山路北区二模)如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述正确的是()A. O是△AEB的外心，O是△AED的外心B. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心C. O不是△AEB的外心，O是△AED的外心D. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心第12题图13. (2019石家庄十八县联考二)如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC，若∠ABC＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为()A. 174°B. 176°C. 178°D. 180°第13题图14. (2018大庆)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，且AC＝6，则这个三角形的内切圆半径为________．15.(2019绥化)半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为________．16. (2019邢台九年级期末)如图，△ABC中，AB＝7 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为________cm.第16题图17. (2019衡阳)已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是________．点对线·板块内考点衔接15分钟1. (2019贵阳)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是()第1题图A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. (2019河北黑马卷)已知△ABC的外心在它的边上，若AB＝2，BC＝4，则S△ABC＝()A. 4B. 23C. 4或2 3D. 以上结论都不对3.(2019秦皇岛海港区模拟检测)如图，是△ABC的外接圆，I是△ABC的内心，AI的延长线与圆相交于点D，连接BI，BD，DC，则下列说法中错误的一项是()A. 线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B. 线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C. ∠ABI绕点B顺时针旋转一定能与∠IBC重合D. 线段CD绕点C顺时针旋转一定能与线段CA重合第3题图4. (2019石家庄28中模拟)如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为()A. 2B. 3C. 2D. 4第4题图5.(2019河北黑马卷)如图，∠MBC＝40°，射线CN与射线BM的交点为A，射线CN可绕点C自由旋转，若△ABC的外心在该三角形外部，则∠C的取值范围为________．第5题图6.如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于点D，与△ABC的外接圆相交于点E，连接BE.(1)求证：BE＝IE；(2)若AD＝6，DE＝2，求AI的长．第6题图参考答案第二节 与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】根据切线的定义进行判断，过圆外一点可以作两条直线和圆相切．2. B3. D4. A5. C6. D 【解析】当⊙P 在y 轴的左侧与y 轴相切时，平移的距离为2－1＝1；当⊙P 在y 轴的右侧与y 轴相切时，平移的距离为2＋1＝3.7. C 【解析】∵∠CAD ＝∠CBD ＝33°，点E 为△ABC 的内心，∴∠BAE ＝∠CAD ＝33°，∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠ACE ＝∠BCE ＝12∠ACB .∵∠BAC ＝∠BAE ＋∠DAC ＝33°＋33°＝66°，∴∠BEC ＝180°－∠EBC －∠ECB ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－12×(180°－66°)＝180°－57°＝123°.8. C 【解析】如解图，连接OA 、OB 、OC ，∵点O 是△ABC 的内心，∴∠BCO ＝∠ACO .∵CM ＝CB ，OC ＝OC ，∴△BCO ≌△MCO (SAS )．∴∠CBO ＝∠CMO .同理得∠ABO ＝∠ANO ，∴∠CMO ＋∠ANO ＝∠CBO ＋∠ABO ＝∠ABC .∵∠ABC ＝100°.∴∠CMO ＋∠ANO ＝100°.∴∠MON ＝180°－(∠CM O ＋∠ANO )＝ 180°－100°＝80°.第8题解图9. D 【解析】能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC 的外接圆，设圆的圆心为点O ，如解图所示，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm ，∴∠BOC ＝120°.过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则∠ODB ＝90°，∠BOD ＝60°，∴BD ＝12BC ＝52，∠OBD ＝30°.∴OB ＝52sin60°＝533.∴2OB ＝1033，即能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是1033cm.第9题解图10. C11. B 【解析】∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，AD ⊥BC ，∴AD 是∠BAC 的平分线，∠ABC ＝∠ACB ＝12×(180°－36°)＝72°.∵AE ＝BE ，∴∠ABE ＝∠EAB ＝36°.∴∠ABE ＝∠EBC ＝36°.∴BE 是∠ABC 的平分线，∵点F 是AD 与BE 的交点，∴点F 是△ABC 的内心．12. B 【解析】如解图，连接OB 、OD 、OA ，∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OC ＝OB .∵四边形OCDE 为正方形，∴OA ＝OC ＜OD .∴OA ＝OB ＝OC ＝OE ≠OD ，∵OA ＝OE ≠OD ，∴O 不是△AED 的外心；∵OA ＝OE ＝OB ，∴O 是△AEB 的外心．故选B .第12题解图13. A 【解析】∵I 为△ABC 的内心，∴AI 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC .∵∠ABC ＝44°，∠C ＝56°，∴∠BAC ＝180°－44°－56°＝80°.∴∠ABI ＝22°，∠BAI ＝40°.∵ID ⊥BC ，∴∠BID ＝90°－∠IBD ＝68°.∴∠AIB ＝180°－∠BAI －∠ABI ＝118°.∴∠AID ＝360°－∠BID －∠AIB ＝174°.14. 2 【解析】由勾股定理得BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8.根据直角三角形内切圆半径公式可得r ＝AC ＋BC －AB 2＝6＋8－102＝2.15. 53或52 【解析】当∠ODB 是直角时，可得△ABC 是等边三角形，根据半径为5可计算BC ＝53；当∠BOD 是直角时，可得△OBC 是等腰直角三角形，由半径是5可得BC ＝52；当∠OBD 是直角时，不符合题意．16. 14 【解析】如解图，连接AO ，BO ，∵点O 是△ABC 的内心，∴∠EAO ＝∠OAB ，∠CBO ＝∠OBA .∵EF ∥AB ，∴∠EOA ＝∠OAB ，∠FOB ＝∠OBA .∴∠EAO ＝∠EOA ，∠FOB ＝∠FBO .∴AE ＝EO ，FO ＝FB .∴△CEF 的周长＝CE ＋CF ＋EF ＝CE ＋AE ＋CF ＋FB ＝AC ＋BC ＝8＋6＝14 cm.第16题解图17. 6 3 【解析】如解图，正△ABC 内接于⊙O ，过点A 作BC 的垂线，垂足为D ，连接OB ，设AB ＝a ，则BD ＝12a ，AD ＝32a ，∵圆的半径是6，∴OB ＝6，OD ＝32a －6.∴(32a －6)2＋(12a )2＝62，解得a ＝63或a ＝0(舍)．第17题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝（6－2）×180°6＝120°.∴∠CBD＝∠CDB ＝180°－120°2＝30°，故选A .2. C3. D 【解析】∵I 是△ABC 的内心，∴AI 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC .∴∠ABI ＝∠IBC ，∠BAD ＝∠DAC .∴CD ＝BD .∴选项A ，C 正确；∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠DBC ＝∠DAB .∴∠DBC ＋∠IBC ＝∠DAB ＋∠ABI ，∴∠IBD ＝∠BID .∴BD ＝ID .∴选项B 正确；∵CD 不一定等于CA ，∴选项D 错误．故选D .4. D 【解析】如解图，过点O 作ON ⊥BC ，垂足为点N ，交DE 于点M ，连接OB ，则O ，D ，B 三点共线，设OM ＝1，则OD ＝ON ＝2.∵∠ODM ＝∠OBN ＝30°，∴OB ＝4，DM ＝3，DE ＝23，BN ＝23，BC ＝4 3.∵△ABC ，△DEF 都为正三角形，∴△ABC ∽△DEF ，∴S △ABC S △DEF ＝(BC DE )2＝(4323)2＝4.第4题解图5. 0°＜∠C＜50°或90°＜∠C＜140°6. (1)证明：如解图，连接BI，∵点I是△ABC的内心，∴∠ABI＝∠IBD，∠BAE＝∠EAC.∵∠EBC＝∠EAC，∴∠BIE＝∠BAI＋∠ABI，∠EBI＝∠EBC＋∠IBD.∴∠BIE＝∠EBI.∴BE＝IE；(2)解：∵∠EBC＝∠EAC＝∠BAE，∠BED＝∠AEB，∴△EBD∽△EAB.∴BEDE＝AEBE，即BE2＝DE·AE＝2×(2＋6)＝16.∴IE＝BE＝4.∴AI＝AD＋DE－IE＝6＋2－4＝4.第6题解图。

2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。

圆与圆的位置关系圆是几何中重要的图形之一，而圆与圆之间的位置关系也是我们常常遇到的问题之一。

在几何学中，圆与圆之间的位置关系可以分为三种基本情况：相交、相切和相离。

下面将详细介绍这三种情况。

1. 相交当两个圆的半径不相等且两个圆心之间的距离小于两个圆的半径之和时，这两个圆相交于两个交点。

具体来说，若圆A的半径为r1，圆B的半径为r2，两个圆心的距离为d，则相交的条件为d < r1 + r2。

相交的情况可以进一步细分为：外切、内切和一般相交。

- 外切：当两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离时，这两个圆外切于一点。

即 d = r1 + r2。

- 内切：当两个圆的半径之差等于两个圆心之间的距离时，这两个圆内切于一点。

即 d = |r1 - r2|。

- 一般相交：当两个圆的半径之和大于两个圆心之间的距离、且两个圆心之间的距离小于两个圆的半径之和时，这两个圆一般相交于两个交点。

即 r1 + r2 > d > |r1 - r2|。

2. 相切当两个圆的半径相等且两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，这两个圆相切于一点。

具体而言，若圆A的半径为r，圆B的半径也为r，两个圆心的距离为d，则相切的条件为d = r1 + r2。

3. 相离当两个圆的半径不相等且两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆相离。

即 d > r1 + r2。

相离的情况包括完全相离和部分相离。

- 完全相离：当两个圆的半径之和小于两个圆心之间的距离时，这两个圆完全相离。

即 d > r1 + r2。

- 部分相离：当两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离，但小于两个圆心之间的距离加上其中一个圆的半径时，这两个圆部分相离。

即 r1 + r2 < d < r1 + r2 + max(r1, r2)。

在实际问题中，掌握圆与圆的位置关系对于解决相关的几何问题非常重要。

通过对圆的半径、圆心之间的距离进行分析，我们可以确定两个圆之间的位置关系，并进一步推导出解决问题所需要的其他信息。

第二节与圆有关的位置关系基础分点练（建议用时：40分钟）考点1与切线有关的证明与计算1.[2020广东广州]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定2.[2020浙江金华]如图,☉O是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是()A.65°B.60°C.58°D.50°3.[2020浙江温州]如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为1,则BD的长为()A.1B.2C.D.4.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为2 cm的☉P的圆心P在直线OA上,且与点O的距离为6 cm,如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么☉P与直线CD相切时☉P运动的时间是 ()A.3 s或10 sB.3 s或8 sC.2 s或8 sD.2 s或10 s5.[2020陕西]如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交☉O于点D,连接BD.过点C作☉O的切线,与BA的延长线相交于点E.(1)求证:AD∥EC.(2)若AB=12,求线段EC的长.6.[2020四川成都中考改编]如图,在△ABC的边BC上取一点O,以点O为圆心,OC的长为半径画☉O,☉O与边AB相切于点D,AC=AD,连接OA.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若AB=10,tan B=,求☉O的半径.考点2三角形的内心与外心7.如图为5×5的网格图,点A,B,C,D,O均在格点上,则点O是()A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心8.[2020河北九地市模拟二]如图,已知E是△ABC的外心,P,Q分别是AB,AC的中点,连接EP,EQ分别交BC于点F,D.若BF=5,DF=3,CD=4,则△ABC的面积为()A.18B.24C.30D.369.[2020江苏泰州]如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为.考点3正多边形与圆10.[2019湖北孝感]刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图,若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计☉O的面积S,设☉O的半径为1,则S-S1≈.(π取3.14)11.[2020石家庄藁城区二模](1)如图(1),正方形的边长为a,☉O的半径为r,☉O在正方形的内部,沿正方形的边滚动,当滚动一周回到出发的位置时,圆心O经过的路径长为.(用含a,r 的代数式表示)(2)如图(2),正六边形的边长为b,☉O的半径为r,☉O在正六边形的内部,沿正六边形的边滚动,当滚动一周回到出发的位置时,圆心O经过的路径长为.(用含b,r的代数式表示)图(1)图(2)综合提升练（建议用时：35分钟）1.在平面直角坐标系内,已知点M(4,3),以M为圆心、r为半径的圆与x轴相交,与y轴相离,那么r的取值范围为()A.0<r<5B.3<r<5C.4<r<5D.3<r<42.[2020石家庄一模]如图,以点O为圆心、4为半径作扇形AOB,AO⊥BO,点E在OA上,且OE=2,CD垂直平分OB,动点P在线段CD上运动(不与点D重合).设△ODP的外心为点I,连接EI,则EI的最小值为()A.1B.2C.2-1D.+13.[2020山东滨州]如图,☉O是正方形ABCD的内切圆,切点分别为E,F,G,H,ED与☉O相交于点M,则sin∠MFG的值为.4.[2019浙江宁波]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D在边BC上,CD=5,BD=13.点P 是线段AD上一动点,当半径为6的☉P与△ABC的一边相切时,AP的长为.5.[2020安徽]如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.6.[2019广东]如图(1),在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB,CD交☉O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.(1)求证:ED=EC;(2)求证:AF是☉O的切线;(3)如图(2),若点G是△ACD的内心,BC·BE=25,求BG的长.图(1)图(2)答案第二节与圆有关的位置关系基础分点练（建议用时：40分钟）考点1与切线有关的证明与计算1.[2020广东广州]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是( B )A.相离B.相切C.相交D.无法确定2.[2020浙江金华]如图,☉O是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是( B )A.65°B.60°C.58°D.50°3.[2020浙江温州]如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为1,则BD的长为( D )A.1B.2C.D.4.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为2 cm的☉P的圆心P在直线OA上,且与点O的距离为6 cm,如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么☉P与直线CD相切时☉P运动的时间是 ( D )A.3 s或10 sB.3 s或8 sC.2 s或8 sD.2 s或10 s5.[2020陕西]如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交☉O于点D,连接BD.过点C作☉O的切线,与BA的延长线相交于点E.(1)求证:AD∥EC.(2)若AB=12,求线段EC的长.(1)证明:如图,连接OC.∵CE与☉O相切于点C,∴OC⊥EC.∵∠ABC=45°,∴∠AOC=2∠ABC=90°,即OC⊥AD,∴AD∥EC.(2)如图,过点A作AF⊥EC,垂足为F,则四边形AOCF为矩形.∵OA=OC,∴四边形AOCF为正方形,∴AF=CF=OA.∵∠ABC=45°,∠BAC=75°,∴∠ACB=180°-45°-75°=60°,∴∠D=60°.∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90°,∴∠BAD=30°,∴在Rt△ABD中,AD==8,∴AF=CF=OA=4.∵AD∥EC,∴∠E=∠BAD=30°,∴在Rt△AEF中,EF==12,∴EC=EF+FC=12+4.6.[2020四川成都中考改编]如图,在△ABC的边BC上取一点O,以点O为圆心,OC的长为半径画☉O,☉O与边AB相切于点D,AC=AD,连接OA.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若AB=10,tan B=,求☉O的半径.(1)证明:连接OD.∵AB是☉O的切线,∴OD⊥AB.在△AOC和△AOD中,∴△AOC≌△AOD,∴∠ACO=∠ADO=90°.又∵OC是☉O的半径,∴AC是☉O的切线.(2)设☉O的半径为r,即OC=OD=r.在Rt△BOD中,tan B==,∴BD=r,OB=r,∴AC=AD=10-r,BC=OC+OB=r+r=r.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,即102=(10-r)2+(r)2,解得r1=,r1=0(舍去).故☉O的半径为.考点2三角形的内心与外心7.如图为5×5的网格图,点A,B,C,D,O均在格点上,则点O是( B )A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心8.[2020河北九地市模拟二]如图,已知E是△ABC的外心,P,Q分别是AB,AC的中点,连接EP,EQ分别交BC于点F,D.若BF=5,DF=3,CD=4,则△ABC的面积为( B )A.18B.24C.30D.369.[2020江苏泰州]如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为(2,3).考点3正多边形与圆10.[2019湖北孝感]刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图,若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计☉O的面积S,设☉O的半径为1,则S-S1≈0.14.(π取3.14)11.[2020石家庄藁城区二模](1)如图(1),正方形的边长为a,☉O的半径为r,☉O在正方形的内部,沿正方形的边滚动,当滚动一周回到出发的位置时,圆心O经过的路径长为4a-8r.(用含a,r的代数式表示)(2)如图(2),正六边形的边长为b,☉O的半径为r,☉O在正六边形的内部,沿正六边形的边滚动,当滚动一周回到出发的位置时,圆心O经过的路径长为6b-4r.(用含b,r的代数式表示)图(1)图(2)综合提升练（建议用时：35分钟）1.在平面直角坐标系内,已知点M(4,3),以M为圆心、r为半径的圆与x轴相交,与y轴相离,那么r的取值范围为( D )A.0<r<5B.3<r<5C.4<r<5D.3<r<42.[2020石家庄一模]如图,以点O为圆心、4为半径作扇形AOB,AO⊥BO,点E在OA上,且OE=2,CD垂直平分OB,动点P在线段CD上运动(不与点D重合).设△ODP的外心为点I,连接EI,则EI的最小值为( B )A.1B.2C.2-1D.+13.[2020山东滨州]如图,☉O是正方形ABCD的内切圆,切点分别为E,F,G,H,ED与☉O相交于点M,则sin∠MFG的值为.4.[2019浙江宁波]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D在边BC上,CD=5,BD=13.点P 是线段AD上一动点,当半径为6的☉P与△ABC的一边相切时,AP的长为或3.5.[2020安徽]如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.(1)证明:因为AB为半圆O的直径,所以∠ACB=∠BDA=90°.在Rt△CBA与Rt△DAB中,因为BC=AD,BA=AB,所以Rt△CBA≌Rt△DAB.(2)证明:方法一:因为BE=BF,BC⊥EF,所以BC平分∠EBF.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BE⊥AB.于是,∠DAC=∠DBC=∠CBE=90°-∠E=∠CAB,故AC平分∠DAB.方法二:因为BE=BF,所以∠E=∠BFE.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BE⊥AB.于是,∠CAB=90°-∠E=90°-∠BFE=90°-∠AFD=∠CAD,故AC平分∠DAB.6.[2019广东]如图(1),在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB,CD交☉O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.(1)求证:ED=EC;(2)求证:AF是☉O的切线;(3)如图(2),若点G是△ACD的内心,BC·BE=25,求BG的长.图(1)图(2)(1)证明:如图(1),图(1)∵AB=AC,∴∠1=∠3.又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.又∵∠3=∠4,∴∠2=∠4,∴ED=EC.图(2) (2)证明:如图(2),连接OA,OB,OC,∵OB=OC,AB=AC,∴直线AO是线段BC的垂直平分线,∴AO⊥BC.由(1)知∠2=∠3,∴AB∥DF.又∵AB=AC=CF,∴四边形ABCF是平行四边形,∴AF∥BC,∴AO⊥AF,∴AF是☉O的切线.(3)如图(3),连接AG,∵∠1=∠2,∠2=∠5,∴∠1=∠5.∵点G是△ADC的内心,图(3)∴∠7=∠8.∵∠BAG=∠5+∠7,∠6=∠1+∠8,∴∠BAG=∠6,∴AB=BG.∵∠3=∠3,∠1=∠5,∴△ABE∽△CBA,∴=,∴AB2=BE·BC=25,∴AB=5,∴BG=5.。

圆和圆的位置关系(二)数学教案标题：圆和圆的位置关系（二）数学教案一、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解并掌握圆和圆的位置关系，包括相离、外切、内切、相交四种情况，并能运用所学知识解决相关问题。

2. 过程与方法：通过观察、讨论、分析、归纳等学习活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的学习态度。

二、教学重点与难点教学重点：理解和掌握圆和圆的位置关系及判断方法。

教学难点：运用所学知识解决实际问题。

三、教学过程（一）导入新课教师展示一些含有圆和圆位置关系的图片，让学生观察并描述这些图片中的圆之间的位置关系。

然后提出问题：“我们如何准确地判断两个圆的位置关系呢？”引入本节课的主题。

（二）新知探究1. 相离：两个圆没有公共点，即它们的圆心距离大于半径之和。

2. 外切：两个圆只有一个公共点，即它们的圆心距离等于半径之和。

3. 内切：两个圆只有一个公共点，即它们的圆心距离等于半径之差。

4. 相交：两个圆有两个或两个以上的公共点，即它们的圆心距离小于半径之和而大于半径之差。

（三）例题讲解1. 判断下列图形中两个圆的位置关系：（1）两个圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距离为6cm；（2）两个圆的半径分别为2cm和4cm，圆心距离为7cm；（3）两个圆的半径分别为4cm和8cm，圆心距离为10cm。

教师引导学生根据所学知识进行解答，然后进行点评。

（四）课堂练习设计一些相关的习题，让学生在课堂上完成，以检验他们对本节课内容的理解和掌握程度。

（五）总结反馈让学生回顾本节课的主要内容，谈谈自己的收获和困惑。

教师对学生的表现进行评价，给予鼓励和指导。

四、作业布置设计一些与本节课内容相关的习题作为课后作业，让学生巩固和深化所学知识。

五、教学反思通过对本节课的教学，我深刻认识到教学不仅要注重知识的传授，更要注重学生能力的培养。

在今后的教学中，我会更加注重引导学生主动参与，激发他们的学习兴趣，提高他们的思维能力和实践能力。

数学教案-圆和圆的位置关系篇一：圆和圆的位置关系说明圆和圆的位置关系教案说明一、课题名称本课属新人教版九年级上册第24章第二节《与原有关的位置关系》第二课之圆和圆的位置关系。

二、教学目的(一)教学知识点1．理解圆与圆之间的几种位置关系．2．理解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联络．(二)才能训练要求1. 经历探究两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探究才能．2．通过平移实验直观地探究圆和圆的位置关系，开展学生的识图才能和动手操作才能．(三)情感与价值观要求1．通过探究圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探究与制造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性．2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，开展形象思维。

三、课型本课属探究课。

四、课时圆和圆的位置关系共计一课时五、教学重点探究圆与圆之间的几种位置关系，理解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联络．六、教学难点探究两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．七、教学过程教师借助多媒体讲解与学生合作交流探究法Ⅰ．创设征询题情境，引入新课Ⅱ．新课讲解（一）、想一想（二）、探究圆和圆的位置关系我总结出共有五种位置关系，如以下图：(1)外离：两个圆没有公共点，同时每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部（三）、例题讲解两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如以下图(点O，O＇是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．1、想一想如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗？假设是，它的对称轴是什么？切点与对称轴有什么位置关系？假设⊙O1与⊙O2内切呢？〔如图(2)〕2、议一议投影片设两圆的半径分别为R和r．(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的间隔(简称圆心距)d与R和r具有如何样的关系？反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有如何样的关系？反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？3、随堂练习八、作业安排习题3．9，重点检验学生对本章圆和圆的五种位置关系的掌握情况。

第二十四章圆第10课时§24.2与圆有关的的位置关系点和圆的位置关系是圆的位置关系中的第一种基本的位置关系，是学习后两种位置关系的基础。

包括三种位置关系即点在圆上、点在圆内、点在圆外。

直线和圆的位置关系是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作了铺垫．起着承上启下的作用．本节主要学习（1）直线和圆相交、相切、相离的有关概念（2）直线和圆三种位置关系的判定与性质（3）相关应用。

有以下三个目标：a. 理解直线和圆相交、相切、相离的有关概念b. 直线和圆三种位置关系的判定与性质c. 能运用以上知识解决相关问题本节教材是本单元的第三节，从知识结构来看，它是直线与圆位置关系的延续，从解决问题的思想方法来看，它反映了事物内部的量变与质变。

通过这些对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。

所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在初中几何教学中都占有重要的地位。

使学生了解圆与圆位置关系的意义，熟悉性质判定。

点击一：点和圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：设点到圆心O 的距离为d，圆的半径为r，点在圆的外部：点到圆心的距离大于半径,d>r；点在圆上：点到圆心的距离等于半径,d=r；点在圆的内部：点到圆心的距离小于半径,d<r。

圆心是圆内一个特殊点，到圆上各点的距离等相等，而除圆心外，圆内各点与圆上各点的距离都有最大值和最小值。

要作一个圆经过A、B、C三点（A、B、C三点不在同一条直线上），就要确定一个点，使它到这三个点的距离相等，到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，两垂直平分线的交点到A、B、C三点得距离相等，此交点即为所求作的圆心。

因为两直线相交只有一个交点，所以过不再同一直线上的三点A、B、C只能确定一个圆。

三角形的外接圆和三角形的外心：过三角形三个顶点可以画一个圆并且只能画一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形，三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。