【数学】能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、17、19、25、125整除的数的特征★★

（1）约数和倍数1、用整除知识描述15÷5=32、描述能被2、3、4、5、6、7、8、9、11、12、13、25、125整除的数的特征。

3、约数和倍数有何关系4、0、1在约数、倍数中的知识5、一个数的约数和倍数的个数6、自然数中，任何一个奇数可用（）表示，偶数可用（）表示。

7、在99以内的自然数中，任意找41个偶数，它们乘起来的积个位上是（）？为什么？8、用0、3、5三个数字排成一个三位数，使它是2的倍数，再排成一个三位数，使它是5的倍数，2的倍数有（）个，5的倍数有（）个。

9、有一个两位数，它能被2整除，如果把这个数的个位和十位上的数调换位置，成为另一个两位数，这个两位数能被5整除，符合这种条件的数有（）。

10、写出四个三位数，使它们除以5所得的余数分别是1、2、3、4像这样的数最大的四个分别是（）11、用0、5、6、8排成一个四位数，使它有约数2，有（）种排法，再排成一个四位数，使它有约数5，有（）种排法。

12、从0、1、5、6、9五个数中，选出四个不同的数字组成四位数，其中能被2整除的最小四位数是（），能被5整除的最小四位数是（），既能被2又能被3整除的最大四位数是（）。

既能被2又能被3还能被5整除的三位数是（），四位数是（）。

13、能被3整除，而被9除又余3的最大四位数是（）。

14、一个五位数3□6□5，其中第二个数码和第四个数码看不清了，只知道这个数既是3的倍数，又是25的倍数，满足条件的五位数中最大的一个数是（）。

15、用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字只用一次）组成三个能被9整除的，和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是（），（），（）。

16、从1到500共有500个自然数，其中17的倍数共有（）个。

17、从1到1000这1000个自然数中，是5的倍数或有约数7的数共有（）个。

18、六位数1803□6能被12整除，其中十位数字是（）。

19、用0、1、2三个数字组成三位数，能被2整除的有（）个，能被3整除的有（）个，能被5整除的有（）个。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

7、11、13的整除判定法则华图教育邹维丽在公务员考试数学运算这部分中，不少题目通过适当运用数的整除性质就可快速选出答案，这就要求考生对数的整除判断法则要熟练掌握。

下面我们先给出一些特殊数的整除判定基本法则：一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或 5）整除的数，末位数字能被2（或 5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

三、能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。

四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。

能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。

五、能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。

从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位与剩下的数之差，那么，为什么7、11、13有相同的整除判断法则呢？事实上，这一规律源自经典分解1001=7×11×13。

下面我们利用1001=7×11×13来证明能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。

设abcd为超过三位的数，其中b, c, d分别为百位数、十位数、个位数，则1000=+，abcd a bcd-，于是我们有为了凑出1001，我们将1000a写成1001a a=+=-+=+-abcd a bcd a a bcd a bcd a100010011001()-能被7 整除，则上式右边能被7整除，因此左边因为1001能被7整除，所以，若bcd a-不能被7 整除，则上式右边不能被7整除，也能被7整除，即abcd能被7整除；若bcd a因此左边也不能被7整除，即abcd不能被7整除。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征A.能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数0，2,4,6,8都能被2整除），那么这个数能被2整除。

B.能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数能被3或9整除。

C.能被4或25整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。

D.能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除。

E.能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。

F.被7整除的数。

方法一:一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

方法二：、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数），如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。

此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。

如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．G.被8整除的数，如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如：9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。

下面我们讨论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整除的数的特征．1．能被2或5整除的数的特征是：如果这个数的个位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除．也就是说：一个数的个位数字是0、2、4、6、8时，这个数一定能被2整除．一个数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除．例如要判断18762，9685，8760这三个数能否被2或5整除，根据这三个数的个位数字的特点，很快可以判断出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760．2．能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除．例如要判断47322能否被9整除，由于47322=40000+7000+300+20+2=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判断9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和．类似的方法我们还可以判断出3|47322．3．能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除．例如要判断63950能否被4或25整除，由于63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根据整除的性质，639×100能被4或25整除，要判断63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因为4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末两位数．4．能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除．例如要判断4986576能否被8整除，由于4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根据整除的性质，8|4986000，要判断8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因为8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位数．同理可以判断这个数不能被125整除．5．能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除．奇数位是指从个位起的第1、3、5…位，其余数位是偶数位．例如要判断64251能否被11整除，由于64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]上式第一个中括号内的数能被11整除，要判断64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因为11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字．6．能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除．例如要判断1096823能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|10011096823=1096×1000+823=1096×（1001-1）+823=1096×1001-（1096-823）因为1096×1001能被7、11、13整除，要判断1096823能否被7、11、13整除，只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数．下面举例说明整除的性质及数的整除特征的应用．例1在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．分析：（1）题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，能被9整除的数一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考虑能被5整除的条件．个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0，最后考虑能被9整除的条件，34□0的各个数位上的数字和是9的倍数，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2，问题得以解决．（2）题目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了．先考虑被8整除的条件，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9．（3）题目要求□1996□□能同时被8、9、25整除，首先考虑能被25整除的条件，□1996□□的末两位数能被25整除，末两位数只能是00，25，50，75．其次考虑能被8整除的条件，□1996□□的末三位数字组成的数能被8整除，但600，625，650，675这四个数中，只有600这个数能被8整除．最后□199600这个数能被9整除，其各个数位上的数字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位数字是2．解：（1）因为34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同时被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以个位数字只能是0或5，又因为4不能整除34□5，所以个位必须是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位数字只能是2．3420能同时被2、3、4、5、9整除．（2）因为24=3×8，3与8互质，7□36□被8整除的条件是，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8；当个位数字是0时，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位数字只能是2或5或8；当个位数字是8时，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位数字只能是0或3或6或9．所以所求的数为72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．（3）因为□1996□□能被25整除，□1996□□的末两位数能被25整除，这样末两位数只能是00，25，50，75；又因为□1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位数600，625，650，675这四个数中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位数字只能是2．所以2199600能同时被8、9、25整除．例2把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．分析：要求这个数能被9整除，而9+1+5=15显然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915连续写3次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．解：因为9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915连续写3次，即915915915必能被9整除，且这个数最小．例3希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请问售货员的帐算错了没有？为什么？分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分减去108分等于272分，这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这9与3正好是3的倍数，也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数（无论它们各自的单价是多少），而272不是3的倍数，显然是售货员把账算错了．解：两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数39×2+6×5=108（分）3元8角即380分，380-108=272（分）应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱，因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是3的倍数，而272不是3的倍数，所以售货员把账给算错了．。

能被2、3、4、5、6、7、8、9 等数整除的数的特征A.能被2整除的数个位上的数能被2整除（偶数0，2,4,6,8都能被2整除），那么这个数能被2整除。

B.能被3整除的数各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数能被3或9整除。

C.能被4或25整除的数个位和十位所组成的两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。

D.能被5整除的数个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除。

E.能被6整除的数各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。

F.被7整除的数方法一:一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

方法二：（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数），如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。

此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。

如：判断283679能不能被11整除：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．G.被8整除的数如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如： 9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。

谈到数论，顾名思义是和数有关的理论，具体地说是和整数有关的理论，小学奥数中的数论问题包括：整数的整除性，同余，奇数与偶数，质数与合数，约数与倍数，整数的分解与分拆等。

作为一个理论性比较强的专题，数论在各种考试中都会占很大的比重，而且数论还和数字谜，不定方程等内容有着密切的联系，其重要性是不言而喻的。

对整数a和b（b不为0），如果存在一个整数q，使a＝b×q，则a能被b整除，也可以说b整除a，否则就说a不能被b整除。

例如：72＝8×9，所以72能被8（或9）整除。

整除有许多性质，下面列出最常用的几个：1. 如果b整除a，则b整除a的倍数；2. 如果b整除a与c，则b整除（a c）；3. 如果b整除a，a又整除c，则b一定能整除c；4. 如果a整除c，b也整除c，并且a与b互质，则ab整除c。

在整除问题中，能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25等数整除的数有如下特征：1. 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数必能被2整除；2. 能被5整除的数的特征：个位是0或5；3. 能被3（或9）整除的数的特征：各数位上的数字之和能被3（或9）整除；4. 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除；5. 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除；6. 能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（以大减小）是11的倍数；7. 能被7（11或13）整除的数的特征：这个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除例1. 一个五位数382□□，如果它是3和5的倍数，则□□里最大可以填几？【分析与解】这个五位数382□□能被5整除，则它的个位数字是0或5；又因五位数382□□能被3整除，那么3＋8＋2＋□＋□的和能被3整除，即13＋□＋□的和能被3整除。

（1）当这个五位数为382□0时，各位数字之和13＋□能被3整除，□里可填2、5、8；（2）当这个五位数为382□5时，各位数字之和18＋□能被3整除，□里可填0、3、6、9。

年级六年级学科奥数版本通用版课程标题数论综合（一）编稿老师宋玲玲一校林卉二校黄楠审核高旭东谈到数论，顾名思义是和数有关的理论，具体地说是和整数有关的理论，小学奥数中的数论问题包括：整数的整除性，同余，奇数与偶数，质数与合数，约数与倍数，整数的分解与分拆等。

作为一个理论性比较强的专题，数论在各种考试中都会占很大的比重，而且数论还和数字谜，不定方程等内容有着密切的联系，其重要性是不言而喻的。

对整数a和b（b不为0），如果存在一个整数q，使a＝b×q，则a能被b整除，也可以说b整除a，否则就说a不能被b整除。

例如：72＝8×9，所以72能被8（或9）整除。

整除有许多性质，下面列出最常用的几个：1. 如果b整除a，则b整除a的倍数；2. 如果b整除a与c，则b整除（a c）；3. 如果b整除a，a又整除c，则b一定能整除c；4. 如果a整除c，b也整除c，并且a与b互质，则ab整除c。

在整除问题中，能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25等数整除的数有如下特征：1. 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数必能被2整除；2. 能被5整除的数的特征：个位是0或5；3. 能被3（或9）整除的数的特征：各数位上的数字之和能被3（或9）整除；4. 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除；5. 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除；6. 能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（以大减小）是11的倍数；7. 能被7（11或13）整除的数的特征：这个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除例1. 一个五位数382□□，如果它是3和5的倍数，则□□里最大可以填几？【分析与解】这个五位数382□□能被5整除，则它的个位数字是0或5；又因五位数382□□能被3整除，那么3＋8＋2＋□＋□的和能被3整除，即13＋□＋□的和能被3整除。

下面我们讨‎论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整‎除的数的特‎征．1．能被2或5‎整除的数的‎特征是：如果这个数‎的个位数能‎被2或5整‎除，那么这个数‎就能被2或‎5整除．也就是说：一个数的个‎位数字是0‎、2、4、6、8时，这个数一定‎能被2整除‎．一个数的个‎位数字是0‎、5时，这个数一定‎能被5整除‎．例如要判断18‎762，9685，8760这‎三个数能否‎被2或5整‎除，根据这三个‎数的个位数‎字的特点，很快可以判‎断出，2|18762‎，2不能整除‎9685，2|8760；5不能整除‎18762‎，5|9685，5|8760．2．能被3或9‎整除的数的‎特征是：如果这个数‎的各个数位‎上的数字和‎能被3或9‎整除，这个数就能‎被3或9整‎除．例如要判断47‎322能否‎被9整除，由于47322‎=40000‎+7000+300+20+2=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）9一定能整‎除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判断‎9能否整除‎47322‎，只要看9能‎否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322‎．可以看到4‎+7+3+2+2恰好是这‎个数的各个‎数位上的数‎字和．类似的方法‎我们还可以‎判断出3|47322‎．3．能被4或2‎5整除的数‎的特征是：如果这个数‎的末两位数‎能被4或2‎5整除，这个数就能‎被4或25‎整除．例如要判断63‎950能否‎被4或25‎整除，由于63950‎=639×100+50，100=4×25，所以100‎能被4或2‎5整除，根据整除的‎性质，639×100能被‎4或25整‎除，要判断63‎950能否‎被4或25‎整除，只要看50‎能否被4或‎25整除，因为4不能‎整除50，25|50，所以4不能‎整除639‎50，25|63950‎．可以看出5‎0恰好是6‎3950的‎末两位数．4．能被8或1‎25整除的‎数的数的特‎征是：如果这个数‎的末三位数‎能被8或1‎25整除，这个数就能‎被8或12‎5整除．例如要判断49‎86576‎能否被8整‎除，由于498‎6576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根据整除的‎性质，8|49860‎00，要判断8能‎否整除49‎86576‎，只要看8能‎否整除57‎6，因为8|576，所以8|49865‎76．可以看出5‎76恰好是‎49865‎76的末三‎位数．同理可以判‎断这个数不‎能被125‎整除．5．能被11整‎除的数的特‎征是：如果这个数‎的奇数位上‎的数字和与‎偶数位上的‎数字和的差‎（大减小）能被11整‎除，这个数就能‎被11整除‎．奇数位是指‎从个位起的‎第1、3、5…位，其余数位是‎偶数位．例如要判断64‎251能否‎被11整除‎，由于64251‎=6×104＋4×103+2×102+5×10+1=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]上式第一个‎中括号内的‎数能被11‎整除，要判断64‎251能否‎被11整除‎，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11‎整除，因为11|0，所以11|64251‎，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64‎251的奇‎数位上的三‎个数减去偶‎数位上的两‎个数字．6．能被7、11、13整除的‎数的特征是‎：如果这个数‎的末三位数‎所组成的数‎与末三位以‎前的数所组‎成的数的差‎（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能‎被7、11、13整除．例如要判断10‎96823‎能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|100110968‎23=1096×1000+823=1096×（1001-1）+823=1096×1001-（1096-823）因为109‎6×1001能‎被7、11、13整除，要判断10‎96823‎能否被7、11、13整除，只要判断1‎096-823=273能否‎被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整‎除273，所以7|10968‎23，13|10968‎23，11不能整‎除1096‎823，而1096‎-823恰好‎是1096‎823的末‎三位以前的‎数所组成的‎四位数减去‎10968‎23的末三‎位数所组成‎的数．下面举例说‎明整除的性‎质及数的整‎除特征的应‎用．例1在□内填上适当‎的数字，使（1）34□□能同时被2‎、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整‎除；（3）□1996□□能同时被8‎、9、25整除．分析：（1）题目要求3‎4□□能同时被2‎、3、4、5、9整除，因为能被4‎整除的数一‎定能被2整‎除，能被9整除‎的数一定能‎被3整除，所以34□□只要能被4‎、9、5整除，就一定能被‎2、3、4、5、9整除．先考虑能被‎5整除的条‎件．个位是0或‎5，再考虑能被‎4整除的条‎件，由于4不能‎整除34□5，所以个位必‎须是0，最后考虑能‎被9整除的‎条件，34□0的各个数‎位上的数字‎和是9的倍‎数，3+4+□+0=7+□，这时十位数‎字只能是2‎，问题得以解‎决．（2）题目要求7‎□36□能被24整‎除，24=3×8，而3与8互‎质，根据整除的‎性质，考虑被24‎整除，只要分别考‎虑被3、8整除就行‎了．先考虑被8‎整除的条件‎，7□36□的末三位数‎所组成的数‎36□能被8整除‎，所以个位数‎字只能是0‎或8，当个位数字‎为0时，由于要求7‎□360能被‎3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除‎，这样千位数‎字只能是2‎或5或8；当个位数字‎为8时，由于要求7‎□368能被‎3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除‎，这样千位数‎字只能是0‎或3或6或‎9．（3）题目要求□1996□□能同时被8‎、9、25整除，首先考虑能‎被25整除‎的条件，□1996□□的末两位数‎能被25整‎除，末两位数只‎能是00，25，50，75．其次考虑能‎被8整除的‎条件，□1996□□的末三位数‎字组成的数‎能被8整除‎，但600，625，650，675这四‎个数中，只有600‎这个数能被‎8整除．最后□19960‎0这个数能‎被9整除，其各个数位‎上的数字和‎□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除‎，所以第七位‎数字是2．解：（1）因为34□□能同时被2‎、3、4、5、9整除，因此只要3‎4□□能同时被4‎、5、9整除．由于34□□能被5整除‎，所以个位数‎字只能是0‎或5，又因为4不‎能整除34‎□5，所以个位必‎须是0，又34□0能被9整‎除，3+4+□+0=7+□能被9整除‎，所以十位数‎字只能是2‎．3420能‎同时被2、3、4、5、9整除．（2）因为24=3×8，3与8互质‎，7□36□被8整除的‎条件是，7□36□的末三位数‎所组成的数‎36□能被8整除‎，所以个位数‎字只能是0‎或8；当个位数字‎是0时，7□360能被‎3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除‎，所以千位数‎字只能是2‎或5或8；当个位数字‎是8时，7□368能被‎3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除‎，所以千位数‎字只能是0‎或3或6或‎9．所以所求的‎数为723‎60，75360‎，78360‎，70368‎，73368‎，76368‎，79368‎．（3）因为□1996□□能被25整‎除，□1996□□的末两位数‎能被25整‎除，这样末两位‎数只能是0‎0，25，50，75；又因为□1996□□能被8整除‎，但□1996□□的末三位数‎600，625，650，675这四‎个数中，只有600‎能被8整除‎；而□19960‎0又能被9‎整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除‎，所在第七位‎数字只能是‎2．所以219‎9600能‎同时被8、9、25整除．例2把915连‎续写多少次‎，所组成的数‎就能被9整‎除，并且这个数‎最小．分析：要求这个数‎能被9整除‎，而9+1+5=15显然不‎能被9整除‎，但3×15能被9‎整除，因此只要把‎915连续‎写3次，所组成的数‎就能被9整‎除，并且这个数‎最小．解：因为9+1+5=15，15不能被‎9整除，而3×15能被9‎整除，所以只要把‎915连续‎写3次，即9159‎15915‎必能被9整‎除，且这个数最‎小．例3希希买了九‎支铅笔，两支圆珠笔‎，三个练习本‎和五块橡皮‎．她看到圆珠‎笔每支3角‎9分，橡皮每块6‎分，其余她没注‎意．售货员要她‎付3元8角‎，希希马上说‎：“阿姨你算错‎了．”请问售货员‎的帐算错了‎没有？为什么？分析：根据圆珠笔‎与橡皮的单‎价，可以算出圆‎珠笔、橡皮共需3‎9×2+6×5=108（分），而3元8角‎即380分‎减去108‎分等于27‎2分，这272分‎是买九支铅‎笔、三个练习本‎的价格，这9与3正‎好是3的倍‎数，也就是说九‎支铅笔与三‎个练习本的‎总价钱应是‎3的倍数（无论它们各‎自的单价是‎多少），而272不‎是3的倍数‎，显然是售货‎员把账算错‎了．解：两支圆珠笔‎和五块橡皮‎的总钱数39×2+6×5=108（分）3元8角即‎380分，380-108=272（分）应是九支铅‎笔与三个练‎习本付的总‎价钱，因为九支铅‎笔与三个练‎习本的总价‎钱必是3的‎倍数，而272不‎是3的倍数‎，所以售货员‎把账给算错‎了．。

能被4、7、8、11、13整除的数的特征及其它一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除,它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除,100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除,它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．二、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时)一个数割去末位数字,再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数(包括0）,那么,原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613－9×2＝595 , 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

方法2、(适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差,如果能被7整除,那么,这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280,679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除.此法也适用于判断能否被11或13整除的问题.如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283,679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除,因此,383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法,在首位或前几位,减于7的倍数.例如，判断456669能不能被7整除,456669-420000=36669,只要32669能被7整除即可。

初一数学上册【找规律题】专项复习找规律题目解题方法数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。

1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。

2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。

3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。

找规律题目中常出现的数列关系(一)等差数列相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。

等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。

它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式：自然数数列：1，2，3，4，5，6……偶数数列：2，4，6，8，10，12……奇数数列：1，3，5，7，9，11，13……例题1：2，5，8，( )。

A.10 B.11 C.12 D.13解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。

题中第二个数字为5，第一个数字为2，两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即8 +3=11，第四项应该是11，即答案为B。

(二)等比数列相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。

等比数列在数字推理测验中，也是排列数字的常见规律之一。

例题：2，-4，8，-16，( )。

A.32 B.64 C.-32 D.-64解析：答案为A。

这仍然是一个等比数列，前后项的比值为-2。

(三)平方数列1、完全平方数列：正序：1，4，9，16，25逆序：100，81，64，49，362、一个数的平方是第二个数。

1)直接得出：2，4，16，( 256 )解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。