高一培优讲义5函数的性质

高一培优讲义函数的性质一、单调性1）．确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号） ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0by ax a x =+>,0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b b a a-∞-+∞，减区间为[,0),(0,]b ba a -.1.若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______2.已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____3.若函数()()log 40,1a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭且的值域为R ，则实数a 的取值范围是______4.若函数()2f xax b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是 。

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如 5.函数()212log 2y x x =-+的单调递增区间是________.2）．特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，如:6.若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a-∞上为减函数，求a 的取值范围；3）．函数单调性与奇偶性的逆用：（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如:7.已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围.二、函数的奇偶性1）．具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

2）．确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：8.判断函数2|4|49x y x--=-的奇偶性____9.变式训练: 判断下列函数的奇偶性．1)f (x )＝lg 1－x1＋x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； 3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋xx >0x 2－xx <0(4)f (x )＝lg 1－x 2|x 2－2|－2.(5f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (6)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()1()f x f x -=±（()0f x ≠）。

高一数学考点：函数的性质函数是高中数学课程内容的四条主线之一，贯穿整个高中数学的学习，是发展学生数学核心素养的重要载体．而函数的性质作为函数内容的重点和难点，成为高考考查的热点．纵观近几年的高考真题，对函数性质的考查主要集中在选择题和填空题．下面结合近几年的高考真题，就函数性质的常见考点和题型进行归类分析．一㊁函数单调性的判断与应用函数的单调性是反映函数变化趋势的重要性质，是高考的热门考点．判断函数单调性的常用方法有定义法㊁图像法和导数法．除此之外，了解函数单调性的常用结论，如 若ｋ＞０，则ｋｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）单调性相同；若ｋ＜０，则ｋｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）单调性相反 复合函数单调性同增异减法则 等，可以帮助我们更快解题．例１．（１）（２０２１年高考天津㊃第５题）设ａ＝ｌｏｇ２０.３，ｂ＝ｌｏｇ０.４，ｃ＝０.４０.３，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．ｃ＜ａ＜ｂＣ．ｂ＜ｃ＜ａＤ．ａ＜ｃ＜ｂ解析：ȵｌｏｇ２０.３＜ｌｏｇ２１＝０，ʑａ＜０．ȵｌｏｇ０.４＝－ｌｏｇ２０.４＝ｌｏｇ２５２＞ｌｏｇ２２＝１，ʑｂ＞１．ȵ０＜０.４０.３＜０.４０＝１，ʑ０＜ｃ＜１，ʑａ＜ｃ＜ｂ．故选：Ｄ．评注：本题考查利用函数的单调性和中间量去比较大小，０和１是常用的中间量．本题需要先把常数０和１转化成与ａ，ｂ，ｃ同底的对数或指数，再利用相应函数的单调性即可比较出这三个数和０㊁１的大小关系，进而得到ａ，ｂ，ｃ的大小．当然，比较ａ和ｂ的大小也可以直接转化为以２为底的对数，再用单调性去比较．熟悉常见函数的单调性㊁对数和指数的运算性质是关键，属于容易题．（２）设函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则ａ的取值范围是（㊀㊀）Ａ．（－ɕ，－２］Ｂ．［－２，０）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，＋ɕ）解析：函数ｙ＝２ｘ在Ｒ上单调递增，而函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则有函数ｙ＝ｘ（ｘ－ａ）＝ｘ－ａ２()２－ａ２４在区间（０，１）上单调递减，因此ａ２ȡ１，解得ａȡ２，所以ａ的取值范围是［２，＋ɕ）．故选：Ｄ．评注：本题考查复合函数的单调性，已知函数的单调区间求参数的取值范围，考查常见函数的单调性，考查逻辑推理能力．本题解题的关键在于识别出内外层函数，利用复合函数单调性 同增异减 的法则，推断出内层函数在已知区间上的单调性，利用二次函数的对称轴与已知区间的相对位置关系来求解参数范围，难度不大．（３）设ａ＝０.１ｅ０.１，ｂ＝１９，ｃ＝－ｌｎ０.９，则（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｃ＜ｂ＜ａＣ．ｃ＜ａ＜ｂＤ．ａ＜ｃ＜ｂ解析：设ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ（ｘ＞－１），因为ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ－１＝－ｘ１＋ｘ，当ｘɪ（－１，０）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，当ｘɪ（０，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，所以函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ在（０，＋ɕ）单调递减，在（－１，０）上单调递增，所以ｆ１９()＜ｆ（０）＝０，所以ｌｎ１０９－１９＜０，故１９＞ｌｎ１０９＝－ｌｎ０.９，即ｂ＞ｃ，所以ｆ－１１０()＜ｆ（０）＝０，所以ｌｎ９１０＋１１０＜０，故９１０＜ｅ－，所以１１０ｅ＜１９，故ａ＜ｂ．设ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｌｎ（１－ｘ）（０＜ｘ＜１），则ｇᶄ（ｘ）＝（ｘ＋１）ｅｘ＋１ｘ－１＝（ｘ２－１）ｅｘ＋１ｘ－１．令ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１，ｈᶄ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２＋２ｘ－１），当０＜ｘ＜２－１时，ｈᶄ（ｘ）＜０，函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１单调递减，2㊀当２－１＜ｘ＜１时，ｈᶄ（ｘ）＞０，函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１单调递增．又ｈ（０）＝０，所以当０＜ｘ＜２－１时，ｈ（ｘ）＜０，所以当０＜ｘ＜２－１时，ｇᶄ（ｘ）＞０，函数ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｌｎ（１－ｘ）单调递增，所以ｇ（０.１）＞ｇ（０）＝０，即０.１ｅ０.１＞－ｌｎ０.９，所以ａ＞ｃ．故选：Ｃ．评注：本题考查利用函数的单调性来比较大小，借助导数来判断函数的单调性，考查分析推理和计算能力，属于较难题．本题难点在于无法直接利用常见函数的单调性来比大小，需要先对各个数据进行代数变形，观察数据的结构去构造新的函数，再结合新函数的单调性以及特殊的函数值来比大小．利用指数函数和对数函数去构造新函数是常见的构造技巧．变式１．（１）设ａɪ（０，１），若函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋（１＋ａ）ｘ在（０，＋ɕ）上单调递增，则ａ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．解析：由函数的解析式可得ｆᶄ（ｘ）＝ａｘｌｎａ＋（１＋ａ）ｘｌｎ（１＋ａ）ȡ０在区间（０，＋ɕ）上恒成立，则（１＋ａ）ｘｌｎ（１＋ａ）ȡ－ａｘｌｎａ，即１＋ａａ()ｘȡ－ｌｎａｌｎ（１＋ａ）在区间（０，＋ɕ）上恒成立，故１＋ａａ()０＝１ȡ－ｌｎａｌｎ（１＋ａ），而ａ＋１ɪ（１，２），故ｌｎ（１＋ａ）＞０，故ｌｎ（ａ＋１）ȡ－ｌｎａ，０＜ａ＜１，{即ａ（ａ＋１）ȡ１，０＜ａ＜１，{故５－１２ɤａ＜１，结合题意可得实数ａ的取值范围是５－１２，１[■■|．故答案为：５－１２，１[■■|．（２）（２０２２高考北京卷㊃第１４题）设函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１，ｘ＜ａ（ｘ－２）２，ｘȡａ{，若ｆ（ｘ）存在最小值，则ａ的一个取值为㊀㊀㊀㊀㊀；ａ的最大值为㊀㊀㊀㊀㊀．解析：若ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝１，ｘ＜０（ｘ－２）２，ｘȡ０{ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０；若ａ＜０时，当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１单调递增，当ｘң－ɕ时，ｆ（ｘ）ң－ɕ，故ｆ（ｘ）没有最小值，不符合题目要求；若ａ＞０时，当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１单调递减，ｆ（ｘ）＞ｆ（ａ）＝－ａ２＋１，当ｘ＞ａ时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０，０＜ａ＜２（ａ－２）２，ａȡ２{ʑ－ａ２＋１ȡ０或－ａ２＋１ȡ（ａ－２）２，解得０＜ａɤ１，综上可得０ɤａɤ１；故答案为：０（答案不唯一），１．（３）设ａ＝２ｌｎ１.０１，ｂ＝ｌｎ１.０２，ｃ＝１.０４－１．则（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｂ＜ｃ＜ａＣ．ｂ＜ａ＜ｃＤ．ｃ＜ａ＜ｂ解析：ａ＝２ｌｎ１.０１＝ｌｎ１.０１２＝ｌｎ（１＋０.０１）２＝ｌｎ（１＋２ˑ０.０１＋０.０１２）＞ｌｎ１.０２＝ｂ，所以ｂ＜ａ；下面比较ｃ与ａ，ｂ的大小关系．记ｆ（ｘ）＝２ｌｎ（１＋ｘ）－１＋４ｘ＋１，则ｆ（０）＝０，ｆᶄ（ｘ）＝２１＋ｘ－２１＋４ｘ＝２（１＋４ｘ－１－ｘ）（１＋ｘ）１＋４ｘ，由于１＋４ｘ－（１＋ｘ）２＝２ｘ－ｘ２＝ｘ（２－ｘ），所以当０＜ｘ＜２时，１＋４ｘ－（１＋ｘ）２＞０，即１＋４ｘ＞（１＋ｘ），ｆᶄ（ｘ）＞０，所以ｆ（ｘ）在［０，２］上单调递增，所以ｆ（０.０１）＞ｆ（０）＝０，即２ｌｎ１.０１＞１.０４－１，即ａ＞ｃ；令ｇ（ｘ）＝ｌｎ（１＋２ｘ）－１＋４ｘ＋１，则ｇ（０）＝０，ｇᶄ（ｘ）＝２１＋２ｘ－２１＋４ｘ＝２（１＋４ｘ－１－２ｘ）（１＋ｘ）１＋４ｘ，由于１＋４ｘ－（１＋２ｘ）２＝－４ｘ２，在ｘ＞０时，１＋４ｘ－（１＋２ｘ）２＜０，所以ｇᶄ（ｘ）＜０，即函数ｇ（ｘ）在［０，＋ɕ）上单调递减，所以ｇ（０.０１）＜ｇ（０）＝０，即ｌｎ１.０２＜１.０４－１，即ｂ＜ｃ；综上，ｂ＜ｃ＜ａ，故选：Ｂ．二㊁函数奇偶性的判断与应用判断函数奇偶性的常用方法是定义法和图像法，对于小题来说，还可以通过赋特殊值的方法来作初步判断．函数的奇偶性反映了其图像的对称性，对于一些具有奇偶性的复合函数，其原函数蕴含了对称性，如 若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｂ）是定义在Ｒ上的奇函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于点（ｂ，０）中心对称 ， 若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）是定义在Ｒ上的偶函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝ａ对称 等，我们要学会从中看出函数的隐含性质．函数的奇偶性蕴含了函数在对称区间上的单调性关系，所以经常会把奇偶性和单调性结合在一起考查．例２．（１）函数ｙ＝（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ在区间－π２，π２[]的图像大致为（㊀㊀）Ａ．㊀㊀Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：令ｆ（ｘ）＝（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ，ｘɪ－π２，π２[]，则ｆ（－ｘ）＝（３－ｘ－３ｘ）ｃｏｓ（－ｘ）＝－（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ＝－ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为奇函数，排除ＢＤ；3㊀又当ｘɪ（０，π２）时，３ｘ－３－ｘ＞０，ｃｏｓｘ＞０，所以ｆ（ｘ）＞０，排除Ｃ．故选：Ａ．评注：本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的奇偶性㊁值域等性质来判断函数的大致图像，考查推理分析能力．首先判断函数的奇偶性，得到函数图像的对称性，可以排除选项Ｂ㊁Ｄ．对比选项Ａ㊁Ｃ，再结合特殊函数值的正负㊁或在某区间上函数值的正负㊁或函数的单调区间等性质可以排除Ｃ，得出正确选项．像这种由解析式判断函数图像㊁或者由图像判断解析式的题目，可以尝试优先考虑函数的定义域和奇偶性，再结合函数的值域㊁单调性㊁特殊值等做进一步的判断．（２）若ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１为偶函数，则ａ＝（㊀㊀）Ａ．－１Ｂ．０Ｃ．１２Ｄ．１解析：因为ｆ（ｘ）为偶函数，则ｆ（１）＝ｆ（－１），ʑ（１＋ａ）ｌｎ１３＝（－１＋ａ）ｌｎ３，解得ａ＝０，当ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１，（２ｘ－１）（２ｘ＋１）＞０，解得ｘ＞１２或ｘ＜－１２，则定义域为ｘｘ＞１２或ｘ＜－１２{}，关于原点对称．又因为ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）ｌｎ２（－ｘ）－１２（－ｘ）＋１＝（－ｘ）ｌｎ２ｘ＋１２ｘ－１＝（－ｘ）ｌｎ（２ｘ－１２ｘ＋１）－１＝ｘｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１＝ｆ（ｘ），故此时ｆ（ｘ）为偶函数．故选：Ｂ．评注：本题考查了函数的奇偶性：已知函数的奇偶性，求参数的值，常规题型．如果直接利用偶函数的定义ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）来求解，计算量比较大．采用特殊值代入先求出参数值ａ，再回代ａ，用定义去验证函数ｆ（ｘ）为偶函数，这样的处理技巧可以大大减少计算量．变式２．（１）函数ｆ（ｘ）图像如下图所示，则ｆ（ｘ）的解析式可能为（㊀㊀）Ａ．５（ｅｘ－ｅ－ｘ）ｘ２＋２Ｂ．５ｓｉｎｘｘ２＋１Ｃ．５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２Ｄ．５ｃｏｓｘｘ２＋１解析：由图知：函数图像关于ｙ轴对称，其为偶函数，而Ａ㊁Ｂ中函数为奇函数，排除；当ｘ＞０时，５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２＞０，即５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２中（０，＋ɕ）上函数值为正，排除Ｃ；故选：Ｄ（２）若ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｓｉｎｘ＋π２()为偶函数，则ａ＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：因为ｙ＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｓｉｎｘ＋π２()＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｃｏｓｘ为偶函数，定义域为Ｒ，所以ｆ－π２()＝ｆπ２()，即－π２－１()２－π２ａ＋ｃｏｓ－π２()＝π２－１()２＋π２ａ＋ｃｏｓπ２，则πａ＝π２＋１()２－π２－１()２＝２π，故ａ＝２，此时ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋２ｘ＋ｃｏｓｘ＝ｘ２＋１＋ｃｏｓｘ，所以ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）２＋１＋ｃｏｓ（－ｘ）＝ｘ２＋１＋ｃｏｓｘ＝ｆ（ｘ），又因为定义域为Ｒ，故ｆ（ｘ）为偶函数，所以ａ＝２．故答案为：２．三㊁函数对称性的判断与应用判断函数对称性的常用方法是定义法，其代数表达形式有多种类型，我们要理解其本质，对于题目给出的关系式，有时候需要通过代数变形才能识别出其对称轴或对称中心．若函数具有两种对称性，则该函数是周期函数，如 对于任意的实数ｘ，函数ｆ（ｘ）同时满足ｆ（ａ－ｘ）＝ｆ（ａ＋ｘ），ｆ（２ａ－ｘ）＝ｆ（２ａ＋ｘ），则函数ｆ（ｘ）是以Ｔ＝２ａ为周期的周期函数，且是偶函数 ，所以对称性和周期性也会经常结合在一起考查．例３．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，且ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７．若ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，ｇ（２）＝４，则ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝（㊀㊀）Ａ．－２１Ｂ．－２２Ｃ．－２３Ｄ．－２４解析：因为ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，所以ｇ（２－ｘ）＝ｇ（ｘ＋２），因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７，所以ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ－２）＝７，即ｇ（ｘ＋２）＝７＋ｆ（ｘ－２），因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，所以ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ＋２）＝５，代入得ｆ（ｘ）＋［７＋ｆ（ｘ－２）］＝５，即ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ－２）＝－２，所以ｆ（３）＋ｆ（５）＋ ＋ｆ（２１）＝（－２）ˑ５＝－１０，ｆ（４）＋ｆ（６）＋ ＋ｆ（２２）＝（－２）ˑ５＝－１０．因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，所以ｆ（０）＋ｇ（２）＝５，即ｆ（０）＝１，所以ｆ（２）＝－２－ｆ（０）＝－３．因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７，所以ｇ（ｘ＋４）－ｆ（ｘ）＝７，又因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，联立得ｇ（２－ｘ）＋ｇ（ｘ＋４）＝１２，所以ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关4㊀于点（３，６）中心对称，因为函数ｇ（ｘ）的定义域为Ｒ，所以ｇ（３）＝６．因为ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ＋２）＝５，所以ｆ（１）＝５－ｇ（３）＝－１．所以ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＋［ｆ（３）＋ｆ（５）＋ ＋ｆ（２１）］＋［ｆ（４）＋ｆ（６）＋ ＋ｆ（２２）］＝－１－３－１０－１０＝－２４．故选Ｄ．评注：本题主要考查了抽象函数的对称性，需要充分理解并掌握对称性的定义和性质，对函数关系式多次变形转化，难度较大．本题难点在于对条件 ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７ 的灵活应用．一是对ｘ进行赋值，根据需要进行合理的赋值才能得到想要的结果；二是对ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）关系的转化，根据ｇ（ｘ）的性质进行赋值后消去ｇ（ｘ）得到只有ｆ（ｘ）的关系式，从而得到ｆ（ｘ）的性质，再次赋值消去ｆ（ｘ）得到只有ｇ（ｘ）的关系式，从而得到ｇ（ｘ）的性质．变式３．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德㊃黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在［０，１］上，其解析式如下：Ｒ（ｘ）＝１ｐ，ｘ＝ｑｐ（ｐ，ｑ互质，ｐ＞ｑ）０，ｘ＝０㊁１或［０，１］上的无理数{，定义在实数集上的函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆ（－ｘ）＝５－ｇ（２＋ｘ），ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４），且函数ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，ｇ（２）＝２，当ｘɪ（０，１）时，ｆ（ｘ）＝Ｒ（ｘ），则ｆ（２０２２）＋ｆ－２０２３６()＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：因为函数ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，所以ｇ（２＋ｘ）＝ｇ（２－ｘ）由ｆ（－ｘ）＝５－ｇ（２＋ｘ）得ｆ（ｘ）＝５－ｇ（２－ｘ），所以ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为偶函数，由ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４）得：ｇ（２－ｘ）＝９＋ｆ（－ｘ－２）＝９＋ｆ（ｘ＋２），代入ｆ（ｘ）＝５－ｇ（２－ｘ），得ｆ（ｘ）＝－４－ｆ（ｘ＋２），所以ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋２）＝－４，所以ｆ（ｘ＋２）＋ｆ（ｘ＋４）＝－４，所以ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋４），所以ｆ（ｘ）是以４为周期的函数，由ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４）得ｇ（２）＝９＋ｆ（－２）＝２，所以ｆ（－２）＝－７，即ｆ（２）＝－７，由ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋２）＝－４得ｆ－７６()＋ｆ－７６＋２()＝－４，所以ｆ－７６()＋ｆ５６()＝－４，即ｆ－７６()＋Ｒ５６()＝－４，所以ｆ－７６()＋１６＝－４，所以ｆ－７６()＝－４－１６，ｆ（２０２２）＋ｆ－２０２３６()＝ｆ（４ˑ５０５＋２）＋ｆ－４ˑ８４－７６()＝ｆ（２）＋ｆ－７６()＝－７－４－１６＝－６７６，故答案为：－６７６．四㊁函数周期性的判断与应用判断函数周期性的常用方法是定义法，即 若函数满足ｆ（ｘʃＴ）＝ｆ（ｘ）（Ｔʂ０），则ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为Ｔ，ＫＴ（ｋɪＺ）也是函数周期 ．还有一些常见的周期性的表达式，也需要我们熟悉，如 ｆ（ｘ＋ａ）＝－ｆ（ｘ）⇔ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为Ｔ＝２ａ ．周期性的表达式和对称性的表达式很相似，特别是综合考查对称性和周期性的题目，要加以区分．例４．函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）（ｘɪＲ），且在区间（－２，２］上，ｆ（ｘ）＝ｃｏｓπｘ２，０＜ｘɤ１ｘ＋１２，－２＜ｘɤ０■■■|||则ｆ（ｆ（１５））的值为㊀㊀㊀㊀㊀．解析：由ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）得函数ｆ（ｘ）的周期为４，所以ｆ（１５）＝ｆ（１６－１）＝ｆ（－１）＝－１＋１２＝１２，因此ｆ（ｆ（１５））＝ｆ１２()＝ｃｏｓπ４＝２２．评注：本题主要考查了函数的周期性以及分段函数的求值问题，利用周期性把未知函数关系式区间上的函数值转化为已知关系式的区间上求解．本题还涉及到两层函数复合的求值问题，要从里往外层层求解，难度不大，但计算要细心．变式４．（１）已知函数ｆ（ｘ）周期为１，且当０＜ｘɤ１，ｆ（ｘ）＝－ｌｏｇ２ｘ，则ｆ３２()＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：ｆ３２()＝ｆ１２()＝－ｌｏｇ２１２＝１．（２）（２０２２年新高考全国Ⅱ卷㊃第８题）已知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ），ｆ（１）＝１，则ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝（㊀㊀）Ａ．－３Ｂ．－２Ｃ．０Ｄ．１解析：令ｙ＝１得ｆ（ｘ＋１）＋ｆ（ｘ－１）＝ｆ（ｘ）㊃ｆ（１）＝ｆ（ｘ）⇒ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－１），故ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ＋１）－ｆ（ｘ），ｆ（ｘ＋３）＝ｆ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ＋１），消去ｆ（ｘ＋２）和ｆ（ｘ＋１）得：ｆ（ｘ＋３）＝－ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）周期为６；令ｘ＝１，ｙ＝０得ｆ（１）＋ｆ（１）＝ｆ（１）㊃ｆ（０）⇒ｆ（０）＝２，ｆ（２）＝ｆ（１）－ｆ（０）＝１－２＝－１，ｆ（３）＝ｆ（２）－ｆ（１）＝－１－１＝－２，ｆ（４）＝ｆ（３）－ｆ（２）＝－２－（－１）＝－１，ｆ（５）＝ｆ（４）－ｆ（３）＝－１－（－２）＝１，ｆ（６）＝ｆ（５）－ｆ（４）＝１－（－１）＝２，故ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝３［ｆ（１）＋ｆ（２）＋ ＋ｆ（６）］＋ｆ（１９）＋ｆ（２０）＋ｆ（２１）＋ｆ（２２）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＝１＋（－１）＋（－２）＋（－１）＝－３，即ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝－３．故选：Ａ．五㊁函数性质的综合应用高考中也会把函数的各种性质综合在一起考查，我们要掌握各种性质之间的联系和区别，才能明确解题的方向和思路．例５．（１）设ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的偶函数，且在（０，5㊀＋ɕ）单调递减，则（㊀㊀）Ａ．ｆ（ｌｏｇ３１４）＞ｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）Ｂ．ｆ（ｌｏｇ３１４）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（２－３２）Ｃ．ｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（ｌｏｇ３１４）Ｄ．ｆ（２－２３）＞ｆ（２－３２）＞ｆ（ｌｏｇ３１４）解析：ȵｆ（ｘ）是Ｒ上的偶函数，ʑｆ（ｌｏｇ３１４）＝ｆ（－ｌｏｇ３４）＝ｆ（ｌｏｇ３４）．ʑｌｏｇ３４＞１＝２０＞２－２３＞２－３２＞０，又ｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递减，ｆ（ｌｏｇ３４）＜ｆ（２－２３）＜ｆ（２－３２），ʑｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（ｌｏｇ３１４），故选Ｃ．评注：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小．首先根据函数的奇偶性，把所有函数值的自变量转化到同一单调区间上，再结合区间的单调性来比较函数值的大小．利用函数的奇偶性和单调性去比较大小㊁解函数不等式是常见题型．（２）（２０１８年高考数学课标Ⅱ卷（理）㊃第１１题）已知ｆ（ｘ）是定义域为（－ɕ，＋ɕ）的奇函数，满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ）．若ｆ（１）＝２，则ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝（㊀㊀）Ａ．－５０Ｂ．０Ｃ．２Ｄ．５０解析：因为ｆ（ｘ）是定义域为（－ɕ，＋ɕ）的奇函数，且满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ），所以ｆ（１－（ｘ＋１））＝ｆ（１＋（ｘ＋１）），即ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），所以ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ＋２），ｆ（ｘ＋４）＝－ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ），因此ｆ（ｘ）是周期函数且Ｔ＝４．又ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝１２［ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）］＋ｆ（１）＋ｆ（２），且ｆ（２）＝ｆ（１＋１）＝ｆ（１－１）＝ｆ（０）＝０，ｆ（３）＝ｆ（－１）＝－ｆ（１）＝－２，ｆ（４）＝ｆ（０）＝０，所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＝０，所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＝２，故选Ｃ．评注：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和周期性．根据题目条件知函数ｆ（ｘ）为奇函数且关于点（１，０）对称．具有两种对称性的函数可推出周期性，对于小题，可用二级结论 一轴一心差４倍 推出周期为４ˑ｜０－１｜＝４，把求和ð５０ｋ＝１ｆ（１）转化为求一个周期内的函数值的和，简便计算．对于综合考查对称性㊁奇偶性和周期性的题目，熟悉一些常用的二级结论，可提高解题效率．变式５．（１）（２０１７年高考数学新课标Ⅰ卷理科㊃第５题）函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，且为奇函数．若ｆ（１）＝－１，则满足－１ɤｆ（ｘ－２）ɤ１的ｘ的取值范围是（㊀㊀）Ａ．［－２，２］Ｂ．［－１，１］Ｃ．［０，４］Ｄ．［１，３］解析：因为ｆ（ｘ）为奇函数且在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，要使－１ɤｆ（ｘ）ɤ１成立，则ｘ满足－１ɤｘɤ１，所以由－１ɤｘ－２ɤ１得１ɤｘɤ３，故选：Ｄ．（２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且满足ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），当ｘɪ（－１，１］时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋１，则正确的是（㊀㊀）Ａ．ｆ（２０２２）＝１Ｂ．当ｘɪ［４，６］时，ｆ（ｘ）的取值范围为［－１，０］Ｃ．ｙ＝ｆ（ｘ＋３）为奇函数Ｄ．方程ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）仅有５个不同实数解解析：因为ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），所以函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称；则ｆ（－ｘ）＝ｆ（２＋ｘ），又ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），所以ｆ（２＋ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），则ｆ（４＋ｘ）＝－ｆ（ｘ），则ｆ（ｘ＋８）＝－ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ），则函数ｆ（ｘ）的周期为８，因为ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），令ｘ＝０，则ｆ（２）＝ｆ（０），因为当ｘɪ（－１，１］时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋１，则ｆ（０）＝１，ｆ（２０２２）＝ｆ（２５２ˑ８＋６）＝ｆ（６）＝－ｆ（２）＝－１，故Ａ错误；当４ɤｘɤ５时，０ɤｘ－４ɤ１，有０ɤｆ（ｘ－４）ɤ１，则ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ－４）ɪ［－１，０］，当５ɤｘɤ６时，－４ɤ２－ｘɤ－３，０ɤ（２－ｘ）＋４ɤ１，有０ɤｆ［（２－ｘ）＋４］ɤ１，ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ）＝－ｆ［（２－ｘ）＋４］ɪ［－１，０］，当ｘɪ［４，６］时，ｆ（ｘ）的取值范围为［－１，０］，故Ｂ正确；ｆ（－ｘ＋３）＝－ｆ（－ｘ－１）＝－ｆ（２－（－ｘ－１））＝－ｆ（ｘ＋３），所以ｙ＝ｆ（ｘ＋３）为奇函数，故Ｃ正确．由函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称以及关于（－１，０）对称，且周期为８，画出函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像，在同一坐标平面内也作出函数ｙ＝ｌｇ（ｘ＋１）的图像如下：因为ｌｇ（８＋１）＜１，ｌｇ（１０＋１）＞１，可以看出两个函数的图像有５个交点，所以方程ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）仅有５个不同实数解，故Ｄ正确．故选：ＢＣＤ．高考主要以二次函数㊁指数函数㊁对数函数㊁幂函数以及三角函数等基本初等函数作为载体来考查函数的性质，主要有比较大小㊁求值㊁判断函数图像㊁解不等式㊁求参数等问题类型，题目以选择题和填空题为主，难度以偏易㊁中等为主．熟悉函数的常见性质，以及一些二级结论，可以提高解题的效率．。

函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

第二讲 函数及其性质函数及其相关概念 ⑴映射：设,A B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。

记作：:f A B →。

⑵象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

⑶一一映射：设,A B 是两个非空集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。

⑷函数：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈这里x 叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。

这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。

⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。

⑹区间：定 义名 称 符 号{}x a x b ≤≤ 闭区间 [],a b {}x a x b << 开区间 (),a b{}x a x b ≤< 半开半闭区间 [),a b {}x a x b <≤半开半闭区间(],a b闭区间是包括端点，开区间不包括端点。

实数集R 可以表示为(),-∞+∞，“∞”读作“无穷大”，例如：“3x ≥”可以表示为[)3,+∞，“4x <-”可以表示为(),4-∞-。

高考要求：了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。

例题讲解： 夯实基础一、判断下列关系哪些是映射。

1）,,:A Z B Z f ==平方； 2）,,:A R B R f +==平方；3）{}11,,:A x x B R f =-≤<=求倒数；4）{},0,1,:A N B f ==当n 为奇数时，1n →；当n 为偶数时，0n →；5）{},Z A C Z B -==正奇数，:21,f n m n →=-其中,n A m B ∈∈； 二、已知()23,1x f x x +=-求()(),2f t f x +。

专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．12023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点2023·山东青岛·统考三模() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xy f x f y ()=af x x 重点题型·归类精讲1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（ ） A ．()01f =B ．()12f −=C ．()()2f x f x −=D ．()()f x f x −=5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．42023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．48．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（ ） A ． B ． C ．0 D ．10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（ ）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点D ．若()11f =,则()20232023f =11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（ ）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=−()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑11−12−212D ．()()()()222212320244048f f f f ++++=12．（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则下列说法正确的有（ ）A ．()00f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若1(1)2f =，则202311()2n f x ==∑13．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，且12f ，则（ ）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()()()()12320232f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=−D ．()22f x −≤≤14．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论一定正确的有（ ）A ．()01f =−B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220230f f f +++=15．函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=−+−，()()2f x f x =−，()3651f =−，则()20231k f k ==∑ .16．已知函数()f x 满足：1(1),4()()()()(,R)4f f x f y f x y f x y x y ==++−∈，则()2023f = .17．已知函数()f x 定义域为R ，满足()()()()()11,f f x y f x y f x f y =++−=，则()8f = .18．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f = ．19．（2024届厦门一中校考）若定义域为R 的奇函数()f x 满足()(1)(1)f x f x f x =++−，且(1)2f =，则(2024)f = ．20．函数()f x 的定义域为R ，对任意,x y ∈R ，恒有()()222x y x y f x f y f f +−⎛⎫⎛⎫+=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()112f =，则()1f −= ，()20221n f n ==∑ ．深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题21．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +−=−，()13f =，322f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()23f = C ．()()33f x f x +=−−D ．()202313k f k ==∑专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++−=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +−=，即()()f y f y =−，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++−==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=−−，()()14f x f x −=−−，故()()24f x f x +=−，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =−=−=−，()()()321112f f f =−=−−=−，()()()4221f f f =−==−，()()()5111f f f =−==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xyf x f y ()=af x x所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++−=++−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC ，举反例()0f x =即可排除选项D.方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D ，可构造特殊函数2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩进行判断即可.【详解】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确. 对于C ，令1x y ==−，(1)(1)(1)2(1)f f f f =−+−=−，则(1)0f −=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =−−=+−=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误. 方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确. 对于C ，令1x y ==−，(1)(1)(1)2(1)f f f f =−+−=−，则(1)0f −=， 令21,()()(1)()y f x f x x f f x =−−=+−=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+， 故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'， 令()0f x '<，得120e x −<<；令0fx，得12e x −>；故()f x 在120,e −⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,−⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e −⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e −⎛⎫ ⎪⎝∞⎭−上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .2023·山东青岛·统考三模1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．重点题型·归类精讲【答案】1−【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f −，令1y =和y x =−可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =−，则()()()()22212111f f f f =+−=−=，又()10f −<，()11f ∴−=−；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+−=−，f x 关于直线1x =对称；令y x =−，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++−−=+−+=⎡⎤⎣⎦， ()10f x +=不恒成立，()()0f x f x ∴+−=恒成立，f x 为奇函数，()()()2f x f x f x +=−=−，()()()42f x f x f x ∴+=−+=，f x 是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯−=−=−.故答案为：1−.2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =−，可得(0)()()0f f x f x =+−=，所以()()f x f x =−−，所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x −=+−=−， 因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x −<，即()()0f y f x −<， 所以()f x 在()()0,,,0+∞−∞均递减， 因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f −=；令1y =，可得()()12f x f x +=− ()24f =−，()36f =−；()3(3)6f f =−−=，()f x ∴在[3−，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x −<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++， 即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =−，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++−，则2(3)(52)f x f x <−，2352x x ∴>−，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ． 安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．【答案】D(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.【详解】由题意令，得，又不是常数函数， 所以，再令，得， 即，则， 即，故， 所以函数的周期为，所以， 故选：D.4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（ ） A ．()01f = B ．()12f −= C ．()()2f x f x −= D ．()()f x f x −=【答案】ABD【分析】由已知，利用赋值法计算判断得解.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2f xy f x f y f x f y =−−+，令0x y ==，得()()()20[0]202f f f =−+，而()02f <，则()01f =，A 正确；令x y ==1，得()()()21[1]212f f f =−+，而()()01f f ≠，则()12f =， 令1x y ==−，得()()()21[1]212f f f =−−−+，即()()2[1]21f f −=−，而()0f x >，即()10f −>，则()12f −=，B 正确；令1y =−，得()()()()()112f x f f x f f x −=−−−−+，即有()()()222f x f x f x −=−−+，因此()()f x f x −=，C 错误，D 正确. 故选：ABD5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）0b =()02f =1b =()()2f a f a +=−()y f x =40b =()()()20f a f a f =()y f x =()02f =1b =()()()()111f a f a f a f ++−=()()110f a f a ++−=()()2f a f a +=−()()2f a f a −=−()()4f a f a =+()y f x =4()()()()202624506202f f f f −=+⨯==−=−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令，得出，变量代换可判断③；利用赋值法求出部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算，判断④，即可得答案.【详解】令，则由可得，故或，故①错误；当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，则，即，则为奇函数，综合以上可知必为奇函数，②正确；令，则，故.由于，令，即，即有，故③正确； 对于D ，若，令 ，则，则， 令，则，即，令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，，()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑y x =()()200f x f +≥()f n 20231()n f n =∑0x y ==()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()()22020f f =(0)0f =()01f =(0)0f =0y =()()2()(0)0f x f x f x f +==()0f x =()0f x '=()f x '(0)1f =0x =()()2(0)()f y f y f f y +−=()()−=f y f y ()()f y f y −''−=()()f y f y −='−'()f x '()f x 'y x =()()()2202f x f f x +=()()200f x f +≥x ∈R 2,R t x t =∈()()00f t f +≥()()00f x f +≥()112f =1,0x y ==()()()()11210+=f f f f (0)1f =1x y ==()()()22021f f f +=()()1121,222f f +=∴=−2,1x y ==()()()()31212f f f f =+()113,(3)122f f +=−∴=−3,1x y ==()()()()42231f f f f +=()1141,(4)22f f −=−∴=−4,1x y ==()()()()53241f f f f +=()1151,(5)22f f −=−∴=5,1x y ==()()()()64251f f f f +=()116,(6)122f f −=∴=6,1x y ==()()()()75261f f f f +=()1171,(7)22f f +=∴=7,1x y ==()()()()86271f f f f +=()1181,(8)22f f +=∴=−由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，故，故④正确， 即正确的是②③④， 故选：C.2023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【详解】中令，则，中令，，则，又中令，则，所以，中，令，则，再令，，则． 故选：D2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】C【分析】抽象函数利用特殊值的思路可以得到函数在取奇数和偶数的时候的规律，然后可以得到函数值的和.【详解】令，，则，所以；令，，则，所以；令，则，所以，(),N f n n *∈(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2n f n f f f f f f f ==⨯++++++=∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f ()00f =()1f ()1f −()()()2f x f y xy f x y ++=+0x y ==()00f =()()()2f x f y xy f x y ++=+1x =1y =−()()()11200f f f +−−==()31f x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1x −()10f −=()12f =()()()2f x f y xy f x y ++=+1x y ==()()22126f f =+=1x =2y =()()()312426412f f f =++=++=()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x 2x =1y =()()()()223121f f f f =−()32f =−3x =2y =()()()()2251324f f f f =−=()52f =2y =()()()222f x f x f x +−=()72f =−()92f =.令，，则①，令，，则②，令，，则③，假设，那么由③可知，将，代入②式发现与矛盾，所以不成立，.同理可得当x 为偶数时，. 所以原式=.故选：C.8．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.【详解】解：对于A ，令，代入已知等式得，得，故A 错误；对于B ，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B 错误；对于C ，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，，()()()2112kf k k Z +=−⋅∈3x =1y =()()420f f =4x =2y =()()()2624f f f =5x =1y =()()640f f =()40f ≠()60f =()20f =()60f =()40f ≠()40f ≠()40f =()0f x =()()()()138925f f f f ++++=()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==()f x ()()()(),f x g y g x f y 1y =−1y =()()()11f x f x f x ++−=−()f x ()20231n f n =∑0x y ==()()()()()000000f f g g f =−=()00f =()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()3cos 2π10g ==≠()g x ()3,0()21g x +()1,00y =1x =()()()()()11010f f g g f =−()()()()110100f g g f ⎡⎤−=−=⎣⎦()10f ≠()100g −=()01g =再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，故C 错误；对于D ，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有， 即：，有：， 即：，所以为周期函数，且周期为3，因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D 正确.故选：D.【点评】：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（ ） 0x =()()()()()00f y f g y g f y −=−()00f =()01g =()()f y f y −=−()f x 1x =1y =−()()()()()21111f f g g f =−−−()()11f f −=−()()()()2111f f g g =−+⎡⎤⎣⎦()()()221f f f =−−=−()()()()1111f f g g −=−+⎡⎤⎣⎦()10f ≠()()111g g +−=−1y =−1y =()()()()()111f x f x g g x f +=−−−()()()()()111f x f x g g x f −=−()()()11f x f x f x ++−=−()()()21f x f x f x ++=−+()()()12f x f x f x =−+−+()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x −+=++−−+−+=()()12f x f x −=+()f x ()11f =()21f −=()()221f f =−−=−()()300f f ==()()()1230f f f ++=()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑,x y ,x y ()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑A ．B ．C ．0D ．【答案】B【分析】根据即可得出周期为4，赋值可求出.进而由为奇函数，可推得函数关于点对称，由已知可求出，，，然后即可求得，.进而即可根据周期性得出函数值，求出，即可得出，代入数值，即可得出答案.【详解】由，则， 所以，，周期为4，所以.由，令，则有，所以，. 因为为奇函数，所以，所以，，所以函数关于点对称， 所以，. 令，则.令可得，，所以，所以， 所以，有，即有.令，则有；令，则.综上，，，，. 所以，，所以，. 11−12−212()()()28f x f x f ++=()f x ()20f =()21f x +()y f x =()1,03122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()00f =()80f =5122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭2721f ⎛⎫=⎪⎝⎭()()()()135741442443444402222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211132122222k kf k f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()28f x f x f ++=()()()428f x f x f +++=()()4f x f x +=()f x ()()()840f f f ==()()()28f x f x f ++=0x =()()()()2080f f f f +==()20f =()21f x +()()2121f x f x −+=−+()()11f x f x −+=−+()y f x =()1,0()()2f x f x −=−12x =311222f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x =()()200f f =−=()00f =()80f =()()()280f x f x f ++==()()2f x f x +=−12x =511222f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32x =731222f f ⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1114222f m f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3314222fm f ⎛⎫⎛⎫+==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5514222f m f ⎛⎫⎛⎫+==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7714222f m f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()13574144244344442222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11114142434402222m m m m ⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯−++⨯−++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211111321212222212222222k kf k fff f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑1112122222⎛⎫=⨯+⨯−=− ⎪⎝⎭故选：B.10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（ ）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点 D ．若()11f =,则()20232023f =【答案】ABD【分析】利用赋值法,令0x y ==判断A 得正误;令y x =−,结合奇函数的定义判断B 的正误;举例判断C 的正误;令1y =,则()()11f x f x +=+,再利用累加法即可判断D 的正误. 【详解】令0x y ==，则()()()000f f f =+，所以()00f =，故A 正确; 令y x =−，则()()()0f x x f x f x −=+−=，所以()f x 是奇函数，故B 正确;令()f x x =，其定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+满足题意，因为函数()f x x =为R 上的增函数,所以0x =不是()f x 的极小值点,故C 错误;令1y =,则()()11f x f x +=+,即()()11f x f x +−=,()()()()()()()2023202320222022202120212020f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−+−+−⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()21111112023f f f ++−+=++++=⎡⎤⎣⎦,故D 正确.故选:ABD.11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（ ）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=− D ．()()()()222212320244048f f f f ++++=【答案】ACD【分析】利用赋值法判断函数的奇偶性和周期性，再结合假设法、函数的周期性逐一判断即可. 【详解】A ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令0x y ==，则有()()20220f f =⇒=，在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令0x =，则有()()()()()()2200f y f y f f y f x f x −−=+=⇒−−=， 因此本选项正确；B ：若()()40f x f x +−=成立，即有()()04f f =， 在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令2x y ==，则有()()()()()24044000f f f f f −=⇒=⇒=，这与()00f ≠相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确； C ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中， 以x −代y ，得()()()()0222f f x f x f x −=+−+，以x 代y ，得()()()2202f x f f x −=+，上面两个等式相加，得()()()()()()222202220f x f x f x f x f x f x ⎡⎤+++−+=⇒+++−+=⎣⎦()20f x ⇒+=，或()()220f x f x ++−+=，当()20f x +=时，则有()00f =，显然与()00f ≠矛盾，因此()()220f x f x ++−+=，于是有()()()()()()44()8f x f x f x f x f x f x f x =−−⇒+=−−=−⇒+=， 因此函数()f x 的周期为8，由()()()202060f f f =⇒−=⇒=， 由()()()()440f x f x f f =−−⇒=−， 在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令2,1x y ==，得()()()()()()()()31433103f f f f f f f f −=⇒−=−，令1x y ==，得()()()()()2220330f f f f f −=⇒=−，由()()()()22031f x f x f f ++−+=⇒=−，于是有()()()()()()()()()()2331033023331f f f f f f f f f f ⎧−=−⎪=−⇒=⎨⎪=−⎩， 因为()()2300f f =−≠，所以由()()()3223332f f f =⇒=，于是()02f =−，因此()()()()02460f f f f +++=，()()()()()()02420242530202402f f f f f f ++++=⨯+==−，因此本选项正确；D ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令()2N x y n n *==−∈，所以有()()()2240f n f f n −−=，因此有：()()()()22221232024f f f f ++++()()()()()()()()()()2000204040440f f f f f f f f f f =−−+−+−+−++−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为()02f =−，()()220f f −==，()()()()02460f f f f +++=， 函数()f x 的周期为8，所以()()()()22221232024f f f f ++++()050620240f ⎡⎤=⨯+⋅−⎣⎦020*******=+⨯=，因此本选项正确， 故选：ACD.12．（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则下列说法正确的有（ ）A ．()00f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若1(1)2f =，则202311()2n f x ==∑【答案】BCD【分析】赋值法求()0f 的值，判断A ；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B ；赋值法结合换元法判断C ；利用赋值法求得(),N f n n *∈的值有周期性，即可求得()20231n f n =∑的值，判断D.【详解】对于A ，令0x y ==，则由()()()()2f x y f x y f x f y ++−=可得()()22020f f =，故(0)0f =或()01f =，故A 错误；对于B ，当(0)0f =时，令0y =，则()()2()(0)0f x f x f x f +==，则()0f x =， 故()0f x '=，函数()f x '既是奇函数又是偶函数；当(0)1f =时，令0x =，则()()2(0)()f y f y f f y +−=，所以()()−=f y f y ， 则()()f y f y −''−=，即()()f y f y −='−'，则()f x '为奇函数， 综合以上可知()f x '必为奇函数，B 正确；对于C ，令y x = ，则()()()2202f x f f x +=，故()()200f x f +≥.由于x ∈R ,令2,R t x t =∈,即()()00f t f +≥，即有()()00f x f +≥，故C 正确；对于D ，若()112f =，令1,0x y == ，则()()()()11210+=f f f f ，则(0)1f = ，令1x y ==，则()()()22021f f f +=，即()()1121,222f f +=∴=−，令2,1x y ==，则()()()()31212f f f f =+，即()113,(3)122f f +=−∴=−， 令3,1x y ==，则()()()()42231f f f f +=，即()1141,(4)22f f −=−∴=−， 令4,1x y ==，则()()()()53241f f f f +=，即()1151,(5)22f f −=−∴=，令5,1x y ==，则()()()()64251f f f f +=，即()116,(6)122f f −=∴=， 令6,1x y ==，则()()()()75261f f f f +=，即()1171,(7)22f f +=∴=，由此可得(),N f n n *∈的值有周期性，且6个为一周期，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++= ， 故()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2n f n f f f f f f f ==⨯++++++=∑，故D 正确， 故选：BCD.13．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，且12f ，则（ ）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()()()()12320232f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=−D ．()22f x −≤≤【答案】ACD【分析】A.通过赋值，求()0f 的值；B.赋值0x =，即可判断函数的奇偶性；C.赋值1y =，利用函数()()()1f x f x g x −+=的周期性，即可求和；D.通过多次赋值，可证明()24f x ≤，即可判断.【详解】A.令1,0x y ==，有()()()()1110f f f f +=⋅，得()02f =，A 正确；B.令0x =，得()()()()0f y f y f f y +−=⋅，()02f =，则()()−=f y f y ，函数的定义域为R ，所以函数为偶函数，故B 错误；C.令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++−=⋅，即()()()()110f x f x f x f x +++−+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 设()()()1f x f x g x −+=，则()()10g x g x ++=，所以()()()21g x g x g x +=−+=，所以函数()g x 的周期为2，()()()101220g f f =+=−=，()()()3230g f f =+=，…，()()()2023202220230g f f =+=，所以()()()()()0123...20230f f f f f +++++=，()02f =， 所以()()()()123...20232f f f f ++++=−，故C 正确， D.由()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，()02f =，12f ，令12x y ==，得()()211002f f f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 将y 换成x ，得()()()220f x f f x +=，①，将,x y 换成12x +，得()()212102f x f f x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，②，将x 换成122x +，y 换成12，得()()112122022f x f x f x f ⎛⎫⎛⎫++=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,③, ①+②-③,得()()2212042f f x f x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则()24f x ≤，得()22f x −≤≤，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题关键的方法是赋值法，尤其是D 选项，通过三次赋值，找到等式间的关系，再可进行判断.14．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论一定正确的有（ ）A ．()01f =−B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220230f f f +++=【答案】BC【分析】根据赋值法，可判断()01f =或()00f =，进而判断A ，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C ，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD. 【详解】令0x y ==，则()()()()()0020000f f f f f +=⇒=或()01f =，故A 错误， 若()01f =时，令0x =，则=20=f y fy f y f fy f y ，此时()f x 是偶函数，若()00f =时，令0y =，则=20=0f x f x f x f f x ，此时()f x 既是偶函数又是奇函数；因此B 正确，令12x =，则()111112=0=022222f y f y f f y f y f y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++−=⇒++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确，由()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称可得=1f x f x，结合()f x 是偶函数，所以=1=1=2=2f x f x f x f x f x ，所以()f x 的周期为2，令12x y ==，则()()11102=022f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12=10=0f f f f ，进而()()()()()122022101112=0f f f f f ⎡⎤+++=⨯+⎣⎦，而()2023(1)(0)f f f ==−，由A 选项知()00f =或()01f =，所以()()()1220230f f f +++=或1−，故D 错误.故选：BC15．函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=−+−，()()2f x f x =−，()3651f =−，则()20231k f k ==∑ .【答案】2【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的周期，再结合()()2f x f x =−求出(1),(2),(3)f f f 即可求解作答. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，由()()()21f x f x f x +=−+−，得(3)(2)(1)(1)()(1)()f x f x f x f x f x f x f x +=−+−+=++−+=，因此函数()f x 是以3为周期的周期函数，且()(1)(2)0f x f x f x ++++=，即(1)(2)(3)0f f f ++=， 由()3651f =−，得(2)1f =−，又()()2f x f x =−，(3)(0)(2)1f f f ===−，从而(1)(2)(3)2f f f =−−=，所以20231()674(2(1)(2)3[((1]1)))k f f k f f f f =+=⨯=++=∑.故答案为：216．已知函数()f x 满足：1(1),4()()()()(,R)4f f x f y f x y f x y x y ==++−∈，则()2023f = .【答案】14【分析】由已知等式联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，构造函数()1cos 23xf x π=求解. 【详解】由已知等式联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=， 注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数()1cos 23x f x π=，则()111cos 234f π==， ()()()()11cos cos 23323311cos cos 4cos cos 4,332323x y x y f x y f x y x y x y f x f y ππππ⎛⎫⎛⎫++−=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ==⋅⋅=故函数()1cos 23xf x π=满足题意，而函数()f x 是周期2π6π3T ==的函数，()()()120233376114f f f ∴=⨯+==. 故答案为：14.【点睛】：抽象函数可以选择构造函数（特例构造法），此题主要是联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，并且还要根据1(1)4f =构造出合适的函数()1cos 23x f x π=，再由周期性解决问题，达到富有创造力的解题效果。

版高中数学必修一函数及其性质基础知识点归纳总结函数及其性质基础知识点归纳总结如下：一、函数的概念及相关术语1.函数的定义：函数是一种具有特定关系的映射关系，每一个自变量对应唯一一个因变量。

2.函数的符号表示：通常用f(x)、y=f(x)、y=f(x,y)等形式表示。

3.定义域：函数的自变量的所有可能取值组成的集合。

4.值域：函数的因变量的所有可能取值组成的集合。

5.奇偶性：关于y轴对称的函数称为偶函数，关于原点对称的函数称为奇函数。

6.周期性：当存在一个正数T，使得对于函数f(x)有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数的周期。

二、函数的表示方法1.函数的显式表示：直接给出函数关系式，如y=2x+12.函数的隐式表示：通过方程来表示函数，如x^2+y^2=13.函数的参数表示：将函数看作参数方程的形式，如x=t,y=t^2三、函数的基本性质1.函数的单调性：若对于函数f(x)在定义域上的任意两个实数x1和x2，有x1<x2，则有f(x1)<f(x2)（单调增）或者f(x1)>f(x2)（单调减）。

2.函数的零点：若对于函数f(x)，有f(x)=0，则称x为函数f(x)的零点。

3.函数的最值：若在函数f(x)的定义域上，存在一点x0使得对于任意的x，都有f(x)≤f(x0)（称f(x0)为函数f(x)的极大值）或f(x)≥f(x0)（称f(x0)为函数f(x)的极小值）。

4.函数的奇偶性：当函数f(x)满足f(-x)=-f(x)时，称函数为奇函数；当函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，称函数为偶函数。

5.函数的周期性：若存在一个正数T使得对于函数f(x)有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数的周期。

6.反函数：若对于函数f(x)的定义域上的任意两个实数x1和x2，有f(x1)=f(x2)，则称函数f(x)是可逆的。

函数f(x)的反函数记作f^(-1)(x)。

函数性质知识点总结函数是数学中的常见概念，它是描述变量之间关系的一种数学工具。

函数性质是指函数在定义域上所具备的特征和特点。

在学习函数性质时，我们经常需要了解函数的定义和图像，以及它们在数轴上的位置和形状。

这篇文章将总结函数性质的几个重要知识点。

1.定义域和值域：函数的定义域是指函数中所有自变量可能取值的集合，即可以使函数有意义的自变量的范围。

函数的值域是指函数所有可能取值的集合，即函数的输出值的范围。

在研究函数性质时，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便分析函数的特点。

2.单调性：函数的单调性是指函数在定义域上取值的变化趋势。

函数可以是递增的，即随着自变量的增大，函数的值也增大；也可以是递减的，即随着自变量的增大，函数的值减小。

我们可以通过函数的导数或斜率来判断函数的单调性。

3.奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于坐标原点的对称性。

如果对任意x，都有f(x)=f(-x)，则函数是偶函数；如果对任意x，都有f(x)=-f(-x)，则函数是奇函数；如果既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，则函数既不是偶函数也不是奇函数。

4.周期性：函数的周期性是指函数具有以一些常数T为周期的特点。

如果对任意x，都有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数，而T是函数的周期。

例如，正弦函数和余弦函数就是周期函数，它们的周期是2π。

5.极值点和极值：函数的极值点是指函数在定义域上取得的最大值或最小值的点。

函数的极值是指函数的最大值或最小值。

我们可以通过求解函数的导数等于0的方程来找到极值点。

极大值是函数的局部最大值，极小值是函数的局部最小值。

6.零点和方程：函数的零点是指使函数等于零的自变量的值。

我们可以通过解函数的方程来找到函数的零点。

函数的方程是指使函数等于一个常数的方程。

例如，如果我们要找出一个多项式函数的零点，我们就需要解多项式方程。

7.渐近线：函数的渐近线是指函数图像在一些特定位置或方向上的趋势。

常见的渐近线有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。

高中数学必修一——函数基本性质引言：函数是高中数学中的重要知识点之一，它不仅在高考中占有一定比重，而且在大学数学、物理等学科中也应用广泛。

因此，学好函数是中学数学的重要任务之一。

本文将介绍函数的基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，同时提供20道以上的练习题，供读者参考。

一、函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数可以表示为f:A\rightarrow B，其中A是定义域，B是值域。

二、函数的基本性质1.定义域：函数的定义域是指所有可以输入函数的自变量的值的集合。

函数的定义域可以是实数集、有理数集、整数集等。

在定义函数时，需要指定函数的定义域。

2.值域：函数的值域是指所有函数可能的输出值的集合。

它是由定义域和函数的性质决定的。

3.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的单调变化性质，包括单调递增和单调递减。

如果函数的自变量增大，函数值也增大，则称函数在这个区间内是单调递增的；如果函数的自变量增大，函数值减小，则称函数在这个区间内是单调递减的。

4.奇偶性：函数的奇偶性指函数的性质，可以分为偶函数和奇函数。

如果函数在定义域内满足f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。

5.周期性：函数的周期性指函数在定义域上存在一个最小正周期T，即f(x+T)=f(x)，其中T是正实数。

三、练习题1.设函数f(x)=ax+b，其中a,b是实数，且f(2)=3,f(3)=4，求a,b。

2.求函数f(x)=2x^2-3x+1的定义域和值域。

3.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，且f(a)=f(b)=0，证明f(x)=0在区间[a,b]上有且只有一个实根。

4.设函数f(x)=\sin(x+\alpha)，其中0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}，证明f(x)是奇函数。

第三讲函数的基本性质2020年5月一、知识梳理1.奇偶性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数.设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数.（2）如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集.（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称.（5）奇偶函数的运算性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.（6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-；若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-.2.单调性（1）定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间；如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间.（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.（3）设复合函数))((x g f y =，其中)(x g u =，A 是))((x g f y =定义域的某个区间，B 是映射g :x →)(x g u =的象集.①若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，)(u f y =在B 上也是增（或减）函数，则函数))((x g f y =在A 上是增函数；②若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，而)(u f y =在B 上是减（或增）函数，则函数))((x g f y =在A 上是减函数.（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反.③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数.3.最值（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M ，那么，称M 是函数y ＝)(x f 的最大值.设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≥m ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝m ，那么，称m 是函数y ＝)(x f 的最小值.（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M （m ）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M （)(x f ≥m ）.二、方法归纳1.利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定)(x f -与)(x f 的关系；（3）作出相应结论：若)(x f -＝)(x f 或)(x f -－)(x f ＝0，则)(x f 是偶函数；若)(x f -＝－)(x f 或)(x f -＋)(x f ＝0，则)(x f 是奇函数.2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取1x ，2x ∈D ，且1x ＜2x ；（2）作差)()(21x f x f y -=∆；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差)()(21x f x f y -=∆的正负）；（5）下结论（即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）.3.求函数最大（小）值的一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值.求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值.（3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()(；（2）22)1lg()(2---=x x x f .错解分析：（1）∵x x x x f -+-=11)1()(xxx -+⋅-=11)1(21)1)(1(2-=+-=x x x .显然有)(x f -＝)(x f ，∴)(x f 为偶函数.（2）∵22)1lg(22)1lg()(22-+-=----=-x x x x x f ，于是)(x f -≠)(x f 且)(x f -≠－)(x f .∴)(x f 为非奇非偶函数.解析：（1）∵)(x f 的定义域为xx-+11≥０，即－1≤x ＜1.定义域不是关于原点对称的数集，∴)(x f 为非奇非偶函数.（2）∵)(x f 的定义域为012>-x 且22--x ≠０，即－1＜x ＜1且x ≠0，此时02<-x .∴xx x x x f --=---=)1lg(22)1lg()(22，∴)(x f 为奇函数.技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域.又例:判断下列函数的奇偶性.（1）551)(2-+-=x x x f ；（2）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ；（3）33)(22-+-=x x x f .解析：（1）∵21x -≥0，即－1≤x ≤1.此时x x =-+55，∴xx x f 21)(-=，为奇函数.（2）当x ＞0，－x ＜0时，)(x f ＝x x +-2，)(x f -＝x x x x -=-+-22)()(，)(x f ＝－)(x f -；当x ＜0，－x ＞0时，)(x f ＝x x +2，)(x f -＝x x x x --=-+--22)()(，)(x f ＝－)(x f -；∴)(x f 为奇函数.（3）∵33)(22-+-=x x x f 的定义域为{|x x =.此时函数化为)(x f ＝0，{|x x =.∴)(x f 既是奇函数又是偶函数.【例2】讨论函数xxx x f 22116)(++=的奇偶性.解析：函数定义域为R ，又11161222116)(++=++=----xxx x x x f ＝)(22116141612x f xxx x x x=++=++⋅.∴)(x f 为偶函数.技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.如本题亦可先化简：14412116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数.从这可以看出，化简后再解决要容易得多.又例：证明函数)1(1)(22x x og x f ++=为奇函数.解析：∵)(x f ＋)(x f -＝)1(122x x og ++＋)1(122x x og -+＝)]1)(1[(1222x x x x og -+++＝112og ＝0∴)(x f 为奇函数.再例：讨论函数aa x x a x f -+-=||)(22（a ≠0）的奇偶性.解析：∵2x ≤2a ，∴要分a ＞0与a ＜0两类讨论.（i ）当a ＞0时，由⎩⎨⎧≠+≤≤-aa x ax a ||，函数的定义域为],0()0,[a a -，∵a x +≥0，∴xx a x f 22)(-=，)(x f 为奇函数；（ii ）当a ＜0时，由⎩⎨⎧≠+-≤≤aa x ax a ||，函数的定义域为[][],00,a a - ，∵a x +≤0，∴ax x a x f 2)(22---=，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.【例3】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间.错解分析：设41)23(23)(22--=+-=x x x x t ，∴)23,(-∞为函数)(x t 的单调递减区间；),23(+∞为函数)(x t 的单调递增区间.又t x x y 7.027.0log )23(log =+-=为t 的减函数，∴)23,(-∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间；),23(+∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递减区间.解析：设23)(2+-=x x x t ，由0232>+-x x 得函数的定义域为),2()1,(+∞-∞ ，区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数23)(2+-=x x x t 的单调递减区间和单调递增区间.又t y 7.0log =，根据复合函数的单调性的规则，得区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数t y 7.0log =的单调递增区间和单调递减区间.技巧提示：函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义.又例：设函数)(x f ＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取1x ＜2x ，∴)()(21x f x f -＝1212x a x a x b x b ++-++))(())((2121b x b x x x a b ++--=，∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，1x －2x ＜0，只有当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时函数才单调.当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时)()(21x f x f -＞0.∴（－b ，＋∞）和（－∞，－b ）都是函数)(x f 的单调减函数区间.【例4】设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.解析：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx xe a ae ae a e +=+.∴11(xx a e a e--0=对一切x R ∈成立，则10a a-=，即1a =±.∵0a >，∴1a =.（2）设120x x <<，则12121211()()xxx x f x f x e e e e -=-+-2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e eee+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x e +-<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴)(x f 在(0,)+∞上为增函数.技巧提示：两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标.又例：已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围.解析：)(x f 是R 上的偶函数且在),0[+∞上为减函数.∴由)12()2(2->--a f a a f ，有|12||2|2-<--a a a ，即⎩⎨⎧-<--≥--222)12(202a a a a a ，解得a ≤－1或a ≥2.再例：二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小.∴22122122--+<--x x x 即22)1(12-<+x x ,22)1(12-<+x x ∴－2＜x ＜0.【例5】已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)5(f ＝1，设)(x F ＝)(x f ＋)(1x f ，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论.解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(1x f ＜)(2x f ，],)()(11)][()([)(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)5(f ＝1，∴当x ＜5时0＜)(x f ＜1，而当x ＞5时)(x f ＞1；①若1x ＜2x ＜5，则0＜)(1x f ＜)(2x f ＜1，∴0＜)(1x f )(2x f ＜1，∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；②若2x ＞1x ＞5，则)(2x f ＞)(1x f ＞1，∴)(1x f )(2x f ＞1,∴)()(1121x f x f -＞0，∴)(2x F ＞)(1x F .综上，)(x F 在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数.技巧提示：该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.又例：已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：（1）)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+⋅=-；（2）存在正常数a ，使)(a f ＝1.求证：（Ⅰ）)(x f 是奇函数；（Ⅱ）)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a .解析：（Ⅰ）设21x x t -=，则)()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t f -=--=-+⋅-=-+⋅=-=-所以函数)(x f 是奇函数.（Ⅱ）令a x a x ==212，，则)2()(1)()2()(a f a f a f a f a f -+⋅=即)2(11)2(1a f a f -+=，解得：)2(a f ＝0.于是有)()2(1)2()()2(x f a f a f x f a x f --+-⋅=+)(1)()2(1)]2([)(x f x f a f a f x f -=--+-⋅=.所以)()(11)2(1)4(x f x f a x f a x f =--=+-=+.因此，函数)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a .【例6】设函数)(x f ＝xx 1-.对任意),1[+∞∈x ，有0)()(<+x mf mx f 恒成立，则实数m 的取值范围是.解析：方法一：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.当m ＜0时，函数)()()(x mf mx f x h +=在),1[+∞∈x 上是减函数，因此，当1=x 时，)(x h 取得最大值mm h 1)1(-=，故0)()()(<+=x mf mx f x h 恒成立等价于)(x h 在),1[+∞∈x 上的最大值小于零，即01)1(<-=m m h ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-01m m m ，得m ＜－1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法二：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.若xm mx mx mx x mf mx f -+-=+1)()(＝mx m x m 22212--＜0恒成立，因为),1[+∞∈x ，m ＜0，则需22212m x m --＞0恒成立，设函数22212)(m x m x g --=，则)(x g 在),1[+∞∈x 时为增函数，于是1=x 时，)(x g 取得最小值1)1(2-=m g .解⎩⎨⎧<>-012m m ，得m ＜－1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法三：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.因为对任意),1[+∞∈x ，0)()(<+x mf mx f 恒成立，所以对1=x ，不等式0)()(<+x mf mx f 也成立，于是0)1()(<+mf m f ，即01<-mm ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-001m m m ，得m ＜－1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.技巧提示：这是一个“恒成立”问题函数，本题提供了三种解法，其中方法一和方法二较好地应用了函数的单调性.函数)(x f ＝xx 1-在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数.在)1,(-∞和)1,0(上小于零；在)0,1(-和),1(+∞上大于零.又例：已知函数)(x f ＝xax +2),0(R a x ∈≠，（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）若)(x f 在区间),2[+∞是增函数，求实数a 的取值范围。

函数的概念与基本性质【知识点】1. 函数的单调性（1） 增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域内某个区间上任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

（2） 减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域内某个区间上任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

（3） 单调性（单调区间）：如果()y f x =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说()y f x =在这个区间上具有单调性，这一区间叫做函数()y f x =的单调区间。

2. 函数的奇偶性（1） 奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()y f x =就叫做奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

（2） 偶函数：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()y f x =就叫做偶函数。

偶函数的图像关于y 轴原点对称。

（3） 如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，那么就说()y f x =具有奇偶性。

3. 函数的对称性（1） 如果()()f a x f a x +=-，那么函数关于直线x a =对称。

（2） 如果()()f a x f a x +=--，那么函数关于点(,0)a 成中心对称。

4. 函数的周期性对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域中的每个数时，总有()()f x T f x +=成立，那么称函数为周期函数，T 称作这个函数的周期。

如果函数的所有周期中存在最小的正常数0T ，称0T 为函数的最小正周期。

例题1、设()min{41,2,24}f x x x x =++-+，则()f x 的最大值为 。

高一函数的性质知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高一函数概念与性质知识点归纳在高一数学中，函数是一个非常重要的概念。

理解函数的概念及其性质，对于学习高中数学以及解决实际问题都具有重要的意义。

下面将对高一函数概念与性质的知识点进行归纳总结。

一、函数的定义函数是一个相互对应的关系，它将一个集合的元素（称为自变量）与另一个集合的元素（称为因变量）一一对应。

通常表示为：y = f(x)。

二、函数的图像与曲线函数的图像是自变量与因变量之间的关系在平面直角坐标系中的表现形式。

函数的图像通常为曲线，曲线上的点表示自变量和因变量之间的对应关系。

三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。

2. 奇偶性：如果函数满足对任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

3. 单调性：函数的单调性指的是函数在定义域上的取值的增减情况。

可以分为增函数和减函数。

4. 周期性：如果对任意x，有f(x+T) = f(x)，其中T>0，则函数为周期函数，T称为函数的周期长度。

5. 极值与最值：函数在定义域内某一点上的函数值称为该点的函数值。

如果函数在某一区间内的函数值都小于（或大于）其他点的函数值，则该点对应的x值称为函数在该区间内的极小值（或极大值）。

函数在定义域上的极值称为最值。

6. 对称轴：函数的对称轴是指曲线关于某一直线对称。

四、基本函数与常用函数1. 一次函数：y = kx + b，其中k为斜率，b为常数。

2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

3. 幂函数：y = x^a，其中a为常数。

4. 指数函数：y = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。

5. 对数函数：y = loga(x)，其中a为常数且a>0且a≠1。

6. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

五、函数的运算与性质1. 四则运算：函数之间可以进行加、减、乘、除的运算。

高一上学期数学月考复习知识点：函数的基本性质
函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)
导数法(适用于多项式函数)
复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(_) 与f(-_)的关系。

f(_) -f(-_)=0 f(_) =f(-_) f(_)为偶函数;
f(_)+f(-_)=0 f(_) =-f(-_) f(_)为奇函数。

判别方法：定义法，图像法，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(_)对定义域内的任意_满足：f(_+T)=f(_),则T为函数f(_)的周期。

其他：若函数f(_)对定义域内的任意_满足：f(_+a)=f(_-a),则2a为函数f(_)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

高一上学期数学月考复习知识点：函数的基本性质.。

第1页共2页竞赛讲义：函数的基本性质基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社刘诗雄《高中数学竞赛辅导》。

.例题：1、已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)()A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增2、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x ≤23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( )A.－1B.0C.1D.2003 3、定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()A.150B.2303 C.152D.23054、实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.5、已知x ＝9919是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，求b ＋c6、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4.7、已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x ≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M ≥21.8、⑴解方程:(x ＋8)2001＋x2001＋2x ＋8＝0⑵解方程：2)1x (222221)1x(1x1x 4x 29、设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求41[f ⑷＋f(0)]的值10、设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f(x)|≥21。