勾股定理的应用___蚂蚁怎样走最近

1.3 勾股定理的应用引言勾股定理是数学中的一个重要定理，它是我们学习数学的基础。

在八年级数学上册的第一章中，我们学习了勾股定理以及它的应用。

在本文档中，我们将重点讨论勾股定理的应用之一：蚂蚁怎样走最近。

蚂蚁怎样走最近在我们的日常生活中，我们经常会遇到类似的问题：蚂蚁在平面上的两个点之间移动，它应该选择怎样的路径才能够走得最近呢？这个问题可以通过勾股定理来解决。

假设蚂蚁需要从点A到达点B，我们可以将平面上的点A和点B连接起来，形成一条直线。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度等于两个直角边长度的平方和的平方根。

因此，我们可以通过计算直线AB的长度，再结合其他已知条件，来确定蚂蚁应该走的最短路径。

解决问题的步骤在解决蚂蚁怎样走最近的问题时，我们可以按照以下步骤进行：1.确定两点的坐标：首先，我们需要确定点A和点B的坐标。

假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)。

2.计算直线AB的长度：根据勾股定理，直线AB的长度可以通过以下公式计算：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。

3.根据其他条件确定最短路径：除了直线AB的长度，我们还需要根据其他条件来确定最短路径，例如是否存在障碍物等。

示例接下来，我们通过一个示例来演示蚂蚁怎样走最近的问题。

假设蚂蚁需要从点A(1, 2)到达点B(4, 6)，我们需要确定蚂蚁应该走的最短路径。

首先，我们可以计算直线AB的长度：AB = √((4-1)^2 + (6-2)^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，直线AB的长度为5。

接下来，我们需要根据其他条件确定最短路径。

假设在点C(2, 4)处存在一个障碍物，蚂蚁不能穿过障碍物。

根据直线AB的长度为5，我们可以尝试绘制一条与直线AB等长的线段CD，并且使得线段CD与直线AB垂直相交。

请注意，我们可以使用勾股定理来计算线段CD的长度。

假设线段CD的长度为d，则有：d^2 + 4^2 = 5^2解方程，我们可以得到：d^2 + 16 = 25d^2 = 9d = 3因此，线段CD的长度为3。

勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题一、勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题蚂蚁是一种非常有趣的昆虫，它们在寻找食物的过程中，会形成一条长长的队伍，这条队伍就像一条直线一样，非常整齐。

那么，为什么蚂蚁会形成这样的队伍呢？这与勾股定理有着密切的关系。

勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的一个定理，它告诉我们：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

这个定理在很多领域都有着广泛的应用，比如建筑、地理、物理等。

而在蚂蚁寻找食物的过程中，勾股定理也起到了关键的作用。

二、勾股定理在蚂蚁寻找食物中的应用1.1 蚂蚁的行进路线规划蚂蚁在寻找食物的过程中，会先释放一种叫做信息素的物质，这种物质可以帮助它们找到食物的方向。

当一只蚂蚁找到了食物后，它会回到巢穴，并释放更多的信息素。

其他蚂蚁在接收到这些信息素后，就会沿着这条路线前进，最终找到食物。

在这个过程中，蚂蚁需要选择一条最优的行进路线。

而这条路线就是由勾股定理来决定的。

具体来说，假设有一只蚂蚁A从巢穴出发，它需要走一段距离才能释放信息素。

这段距离可以看作是一个直角三角形的斜边。

那么，根据勾股定理，这段距离的平方等于A到巢穴的距离和A到食物的距离的平方和。

因此，A会选择一条使得这个等式成立的路线，这样才能使得整个队伍的行进速度最快。

1.2 蚂蚁之间的协作在蚂蚁寻找食物的过程中，并不是每只蚂蚁都能独立地找到食物。

有时候，它们需要和其他蚂蚁一起合作才能找到食物。

这时候，勾股定理同样发挥了重要的作用。

假设有一只蚂蚁B和一只蚂蚁C同时找到了食物。

那么，它们需要将食物带回巢穴。

在这个过程中，B和C之间需要保持一定的距离，以免发生碰撞。

这个距离也可以看作是一个直角三角形的斜边。

根据勾股定理，这个距离的平方等于B到食物的距离和C到食物的距离的平方和减去(B到C的距离)^2。

因此，B和C需要选择一条使得这个等式成立的路线，这样才能保证它们能够安全地将食物带回巢穴。

三、结论通过以上分析，我们可以看出，勾股定理在蚂蚁寻找食物的过程中发挥了非常重要的作用。

“勾股定理的应用---蚂蚁怎样走最近”导学案南京市钟英中学姜鹏学习目标：1、能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决“蚂蚁觅食”等类型的实际问题。

2、在运用勾股定理及勾股定理逆定理解决实际问题的过程中，经历从“实际问题”到“数学模型”的建立过程。

3、在运用勾股定理及勾股定理逆定理解决实际问题的过程中，感悟数学的“转化思想”，分类“讨论思想”，体会勾股定理的文化价值，增强应用意识及合作学习意识。

学习重点：运用勾股定理解决实际问题学习难点：经历从““实际问题”到“数学模型”的建立过程。

学习过程：问题情境：情境1：国庆期间，小明一家外出游玩时在一个圆柱形石凳上休息，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？思考：（1）蚂蚁爬行的可能路线有哪些？你能画出示意图说明吗？（2）蚂蚁爬行的最短路径是哪一种？最短路线是多长？情境2：如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？64BA3在一个内腔长30cm 、宽40cm 、高50cm 的木箱中放一根笔直的细玻璃管，这根玻璃管的长度至多为多少cm ？拓展1：在一个外长30cm 、宽40cm 、高50cm 的木箱的外底部A 处有一只蚂蚁,它在外壁上绕行了一周半最终到达上端顶点B 处,试探究蚂蚁爬行的最短路程.拓展2：在上面的木箱中，如果在箱外的A 处有一只蚂蚁.它要在箱壁上爬行到箱内的D 处，至少要爬多远？拓展3：若它要在箱壁上爬行到箱内的C 处，至少要爬多远？ABCD A B1、如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？（ 5 ≈2.236）2、如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少多长？3、如图为一个矩形场地，AB=2m,AD=1m,如图堆放着一根长方体的木块，木块的棱EF与矩形场地的边AD 平行，且木块的正视图是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从A处到达C 处需要走的最短路程是多米．（精确0.1m）反馈练习：1、一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为1.5㎝，高为4㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出2㎝，问吸管要做多长？BA2、蚂蚁沿图中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）3、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km /h 的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km /h 的速度向正北行走。

勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个有趣又实用的话题，那就是勾股定理和蚂蚁的最短路径问题。

听起来可能有点儿复杂，但其实这就像是咱们日常生活中的那些小烦恼——你在找东西的时候，总是希望能走最短的路，是吧？所以，咱们先来看看勾股定理是个什么玩意儿。

1.1 勾股定理简介首先，勾股定理可不是老古董，它可是几千年来数学界的经典！简单来说，它告诉我们在一个直角三角形里，直角两边的平方和等于斜边的平方。

用公式表达就是：a² + b² = c²，其中a和b是直角边，c是斜边。

你想，假如你是一只蚂蚁，正在两棵树之间穿梭，勾股定理就能帮你找到最省力的路径。

1.2 蚂蚁的烦恼说到蚂蚁，它们可是小小的工作狂。

想象一下，蚂蚁小明今天有任务，它得从一块糖走到它的家。

可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。

小明希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。

谁不想走得快点儿呢？2. 应用场景2.1 实际问题中的应用假设咱们有两棵树，它们之间的距离是一个直角三角形的直角边。

小明想直接往家走，但前面有个石头挡住了路。

通过勾股定理，他可以算出如果绕过去，究竟要走多远。

比如，直角边长是3米和4米，按照勾股定理算一算，斜边就是5米。

这说明如果小明选择直接走，节省的可不仅仅是时间，还有力气呢！2.2 找到最优路径想象一下，小明的朋友小红也是一只勤劳的蚂蚁。

她从另一棵树出发，也想回家。

小红可聪明了，直接用勾股定理计算出最短路径，这样她就能比小明早到家，甚至还有时间享受一下美味的糖果。

这时，咱们就能发现，应用勾股定理不仅能帮蚂蚁找到最短路径，还能让它们在生活中游刃有余。

3. 结尾3.1 数学的美数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。

无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。

《勾股定理的应用 ---怎样走最近？》的教学设计一、提出问题由“大自然中, 沙漠蚂蚁擅长寻找最近路径回家”的视频提问:思考1: 如果觅食点和家分别为同一平面内的点A.B, 怎样的路径是最短路径？为什么？思考2: 如果觅食点和家为不在同一平面内的点A、B, 怎样的路径是最短路径？从而引出课题“勾股定理的应用---怎样走最近？”。

设计意图：从“大自然的沙漠蚂蚁”入手, 通过自然界中的现象, 让学生从数学的角度尝试去解决, 让学生产生强烈的问题意识, 激发学生学习的兴趣．二、探究新知探究1正方体的最短路线问题问题1.点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少？引问: 相对的点如何理解？思考1: 蚂蚁从点A爬行到点B可能有哪些路线？请在导学案上画出来。

思考2: 怎样才能找到最短路径？如何判断？预设: 1.测量, 2.计算, 如何计算？追问1：这是立体图形, 如何转化为平面图形？预设: 展开图追问2: 可能的最短路径涉及几个面？是否需要完整的展开图？预设: 2个面即可追问3：可能的展开图共有几种情况？能否优化？预设：6种, 可优化为3种师生共同归纳总结方法。

设计意图: 体会转化的思想, 采用局部展开或整体展开的方法, 从三种不同的图形变换中得到答案, 并在直角三角形中利用勾股定理得到答案。

探究2长方体的最短路线问题问题2.如图, 有一个长方体, 它的长、宽、高分别为7cm、 3cm 、 4cm 。

在顶点A处有一只小蚂蚁, 它想吃到点B处的火腿肠粒。

已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是1cm/s, 且速度保持不变, 那么蚂蚁能否在10秒内获取食物？思考1: 决定蚂蚁能否在10秒内获取食物的关键是什么？思考2: 怎样才能找到最短路径？有几种不同的展开方式得到可能的最短路径？确定3条路线, 完成学案, 计算得出最短路径。

最短。

因为130＞116＞98, 所以AB1因为102 ＞98, 所以蚂蚁能在10秒内获取食物.设计意图：类比正方体上的路径最短问题的研究方法, 展开找到最优方案。

勾股定理的应用——蚂蚁怎样走最近教学目标：知识目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。

教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。

教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

教学过程：一、蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律一、操作猜想：1、如图，蚂蚁在边长为10cm的正方体A处嗅到了放置在正方体的B处位置上的面包，蚂蚁沿着正方体表面怎样的路线行走才能很快地吃到面包？蚂蚁行走的最短路线长是多少？AC2、如图,长方体的高为12cm,底面是边长为8cm的正方形.这只蚂蚁从顶点A出发,沿长方体表面到达顶点C,蚂蚁走的路程最短为多少厘米？3、如图, 长方体的长、宽、高分别为7cm、5cm、10cm. 这只蚂蚁从顶点A出发,沿长方体表面到达顶点C,蚂蚁走的路程最短为多少厘米？AC4、如图在一个底面半径为4cm,高为18cm的圆柱表面，一只在A处的蚂蚁嗅到了放置在的B 处位置上的面包，于是它想从 A 处爬向B处，想一想，蚂蚁怎么走最近？(取3) （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.二、归纳总结1、正方体2、底面为正方形的长方体3、长宽高不同的长方体4、圆柱体三、练习反馈：1、如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是______________2、如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是______________3、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为_____________4、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点 C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是___________5、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为___________6、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_____．7、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约_____cm四、小结：这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题。

勾股定理（三）————蚂蚁怎样走最近一、【基础知识精讲】1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：c2=a2+b2(c为斜边)。

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。

二、【例题精讲】例1：如图：有一个圆柱，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（∏的取值为3）例题2、如图所示，一个正三棱柱，它的高等于8cm，底面边长等于4cm，D1是线段B1C1的中点，一只蚂蚁沿着正三棱柱的侧面由A爬向点D1，则蚂蚁爬行的最短的路程是多少cm？例3：如图有一个三级台阶，每级台阶长、宽、高分别为2米、0.3米0.2米，A 处有一只蚂蚁，它想吃到B 处食物，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？并求出最短的线路长。

例4、如图所示，有一个长为12cm ，宽为4cm ，高为3cm 的长方体铁盒，在其内部放一根笔直的铁丝，则铁丝的最大长度是多少？例5：古代数学著作《九章算术》中记载了如下一个问题：有一个水池，水面的边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？例6、电力公司为了用电电费过高的现状，实行电网改造。

莲花村联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如题图中的实线部分。

请帮助计算一下，那种设计最省钱？（参考数据：236.25,732.13,414.12===）例7、在旧城改造中，要拆除一烟囱（如图），在地面上事先画好以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区。

现从离B 点21米远的建筑物CD 顶端C 点测得A 点的仰角（即∠ACE ）为45°，B 点的俯角(即∠BCE)为30°。

勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题勾股定理的应用：蚂蚁路径最短问题大家好，今天我们来聊一聊一个有趣的问题——勾股定理的应用：蚂蚁路径最短问题。

这个问题看似简单，但实际上涉及到了许多数学知识，让我们一起来探讨一下吧！我们要明确什么是勾股定理。

勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的一个几何定理，它告诉我们：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

用公式表示就是：a2 + b2 = c2,其中a、b是直角边，c是斜边。

这个定理在很多领域都有应用，比如测量、建筑等。

那么，勾股定理与蚂蚁路径最短问题有什么关系呢？其实，这个问题源于一个古老的传说。

相传，古希腊有一个哲学家叫毕达哥拉斯，他发现了一个有趣的现象：在一根直的木棍上，放置三个点，使得这三个点到木棍两端的距离之和最小。

这个现象就是我们现在所说的“蚂蚁路径最短问题”。

为了解决这个问题，毕达哥拉斯提出了一种方法：将木棍分成三段，使得每一段长度相等。

这样，无论从哪一端开始，都可以保证三个点到木棍两端的距离之和最小。

而这种分法正是基于勾股定理的原理：将木棍分成三段后，每一段的长度都是原木棍长度的1/3,所以它们的平方和等于原木棍长度的1/9(因为(1/3)2 + (1/3)2 + (1/3)2 = 1/9)。

这个方法虽然看似简单，但实际上却蕴含着深刻的数学原理。

通过这个例子，我们可以看到勾股定理的强大之处：它不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以启发我们去探索更深层次的数学原理。

毕达哥拉斯的方法并不是唯一的解决方案。

在后来的历史中，人们还发现了其他方法来解决“蚂蚁路径最短问题”，比如马蹄形证明法、蒙特卡洛模拟法等。

这些方法都离不开勾股定理的基础，它们共同构成了数学的一个重要分支——几何学。

勾股定理是一个非常有趣且实用的数学原理。

它不仅在现实生活中有很多应用，还在许多领域发挥着重要作用。

通过研究勾股定理，我们可以更好地理解数学的本质，也可以激发我们去探索更多的数学奥秘。