2014高考二轮专题复习知能专练(三) 基本初等函数、函数与方程及函数的应用(数学文)

高考数学二轮复习：02 基本初等函数、函数与方程及函数的应用姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若函数f（x）的定义域为[2，4]，则函数y=f（x）的定义域为（）A . [， 1]B . [4，16]C . [2，4]D . [，]2. （2分） (2016高一上·宁德期中) 知函数f（x）=31+|x|﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x 的取值范围是（）A .B .C . （﹣，）D .3. （2分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，f（）＜，其导函数f′（x）满足f′（x）＞m，且当x∈[﹣π，π]时，函数g（x）=﹣sin2x﹣（m+4）cosx+4有两个不相同的零点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣8）B . （﹣∞，﹣8]∪（0，1）C . （﹣∞，﹣8]∪[0，1]D . （﹣8，1）4. （2分） (2016高一上·湖北期中) 已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A . （1，+∞）B . [1，+∞）C . （2，+∞）D . [2，+∞）5. （2分） (2016高一上·临川期中) 已知3m=5n=k且，则k的值为（）A . 5B .C .D . 2256. （2分）函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是（）A . (0,1)B . (1,2)C . (2，e)D . (3,4)7. （2分）某医药研究所研发出一种新药，成年人按规定的剂量服用后，据检测，每毫升血液中的含药量y （mg）与时间t（h）之间的关系如图所示．据进一步测定，当每毫升血液中的含药量不少于0.25mg时，治疗疾病有效，则服药一次，治疗疾病有效的时间为（）A . 4 hB . 4 hC . 4 hD . 5 h8. （2分） (2019高一上·浙江期中) 已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为（）．A . [2－，2＋ ]B . (2－，2＋ )C . [1,3]D . (1,3)9. （2分）若实数满足，则下列关系中不可能成立的是（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数且满足:对任意实数,当时,总有,则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一上·义乌期末) 已知函数f（x）=loga（x2﹣3ax）对任意的x1 ，x2∈[ ，+∞），x1≠x2时都满足＜0，则实数a的取值范围是（）A . （0，1）B . （0， ]C . （0，）D . （， ]12. （2分） (2017高三上·河北月考) 已知函数，设，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共11题；共11分)13. （1分） (2019高一上·长春月考) 已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是________.14. （1分） (2018高二下·衡阳期末) 已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为________．15. （1分） (2019高三上·天津月考) 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________.16. （1分） (2016高一上·蚌埠期中) 从小到大的排列顺序是________．17. （1分） (2019高一下·上海期末) 若在区间（且）上至少含有30个零点，则的最小值为________．18. （1分） (2017高三上·唐山期末) 已知是函数在内的两个零点，则 ________.19. （1分）已知点A（x1 ， lgx1），B（x2 ， lgx2）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论＜lg（）成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1 ，），B（x2 ，）是函数g（x）=2x的图象上的不同两点，则类似地有________成立．20. （1分）(2016·诸暨模拟) 已知f（x）= ，其中a＞0，当a=2且f（x0）=1时，x0=________；若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是________．21. （1分）已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0，则m的取值范围是________．22. （1分） (2015高二上·怀仁期末) 已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为________时，取得最大值．23. （1分）某工厂2011年生产某种产品2万件，以后每一年比上一年平均增长20%，则2013年该厂生产产品________万件；从________年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过4万件．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、答案：略5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、9-1、答案：略10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共11题；共11分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、答案：略19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、。

2014-2015学年度第二学期教学案例年 级：ZX-12 学 科：SX 编写时间：2015-03-07 编 号：NO:007 主备 人： 复备人：教学内容：基本初等函数、函数与方程及函数应用（1） 教学目标：掌握基本初等函数的图象及性质。

理解函数与方程的关系，掌握函数的应用。

教学重点：二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数。

教学难点：单调性、奇偶性、周期性等综合应用．教学过程：一、知识点复习：1．必记的概念与定理指数函数、对数函数和幂函数的图象及性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．(2)幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，当α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y ＝f (x )在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．记住几个常用的公式与结论 (1)对数式的五个运算公式log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a MN＝log a M －log a N ；log a M n ＝n log a M ；a log a N ＝N ；log a N ＝log b Nlog b a(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)．提醒：log a M －log a N ≠log a (M －N )，log a M ＋log a N ≠log a (M ＋N )． (2)与二次函数有关的不等式恒成立问题①ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b 2－4ac <0.②ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.3．需要关注的易错易混点(1)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．(2)解函数应用题常见的错误：①不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；②在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．复备栏二、基础训练：1．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得 α＝－2.故y ＝x －2.答案：y ＝x －2 2．(2014·广东惠州模拟)函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为________． 解析：要使解析式有意义，必须满足3x －1>0， 解得x >0.答案：(0，＋∞)3．函数y ＝|x |2－|x |－12两个零点的差的绝对值是________． 解析：令|x |2－|x |－12＝0，得(|x |－4)(|x |＋3)＝0， 即|x |＝4，∴两个零点的差的绝对值是|4－(－4)|＝8. 答案：8 4．(2014·湖南益阳模拟) 已知0<a <1，则a 2、2a 、log 2a 的大小关系是________．解析：因为0<a <1，所以0<a 2<1,1<2a<2，log 2a <0， 即2a >a 2>log 2a . 答案：2a >a 2>log 2a三、例题教学：例1 (1)(2014·常州模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)(2014·连云港模拟)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 30.3，则a 、b 、c 大小关系为________．(1)法一：由题意作出y ＝f (x )的图象如图． 显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．法二：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0，故－1<a <0或a >1.(2)∵a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 30.3＝5log 3313，根据指数函数y ＝m x 且m ＝5，知y 是增函数．又∵log 23.4>log 3313>1,0<log 43.6<1，∴5log 23.4>(15)log 30.3>5log 43.6，即a >c >b .(1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)a >c >b(1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．变式训练：(1)(2014·高考辽宁卷改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．(2)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析：(1) 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .(2)作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )及y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称，观察图象(如图所示)知，－1<x <0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图． 答案：(1)c >a >b (2)(－1,0)例2 (1)(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.(2)(2014·徐州模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x (x >0)2x ＋1(x ≤0)，的零点个数是________．(1)∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的单调函数．f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3)＝log a 3＋3－b .∵lg 2<lg a <lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a<1.又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0.由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.(2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1) 2－1(x >0)的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．(1)2 (2)3(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．变式训练：已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________.解析：f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0就是方程a x ＝－x ＋b 的根．设y 1＝a x ，y 2＝－x ＋b ，故x 0就是两函数交点的横坐标， 由2a ＝3,3b ＝2，得a >1,0<b <1.当x ＝－1时，y 1＝1a＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32，∴－1<x 0<0，∴n ＝－1. 答案：－1巩固练习：1．(2014·广东中山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ，x ≤0，则f (f (19))＝____________.解析：f (19)＝log 319＝log 33－2＝－2，f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14. 答案：142． (2014·连云港模拟) 若函数y ＝(log 12a )x 为减函数，则a 的取值范围为________．解析：0<log 12a <1，∴a ∈(12，1)．答案：(12，1)3. 已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x，若f (－a )＝－b ，则f (a )＝________.解析：函数的定义域为(－1,1)，又在定义域内由f (－x )＝ln 1－x 1＋x ＝－ln 1＋x1－x＝－f (x )，得函数为奇函数，所以f (a )＝－f (－a )＝b .答案：b 4．(2014·南京信息卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1、C 2、C 3依次为y ＝2log 2x 、y ＝log 2x 、y ＝k log 2x (k 为常数，0＜k ＜1)．曲线C 1上的点A 在第一象限，过A 分别作x 轴、y 轴的平行线交曲线C 2分别于点B 、D ，过点B 作y 轴的平行线交曲线C 3于点C .若四边形ABCD 为矩形，则k 的值是__________.解析： 设A (t,2log 2t )(t ＞1)，则B (t 2，2log 2t )，D (t ，log 2t )，C (t 2，2k log 2t )，则有log 2t ＝2k log 2t ，由于log 2t ＞0，故2k ＝1，即k ＝12.答案： 12。

专题02 基本初等函数、函数与方程及函数的应用目录一．考情分析 二热点题型归纳【题型一】基本初等函数的图象与性质 【题型二】函数与方程 【题型三】函数的实际应用 三．最新模考题组练【考情分析】1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.2.关键能力: 逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.【热点题型归纳】【题型一】基本初等函数的图象与性质【典例分析】【例1】（2021•焦作一模）若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y …，则函数log ||a y x =的图象大致是( ) A ．B ． C ． D ．【答案】B【解析】若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y …，则1a >，故函数log ||a y x =的图象大致是：故选：B ．【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若1(,1)x e −∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln 2xc =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．b c a >>【答案】D【解析】因1(,1)x e −∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a −<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x −<<<−<，而ln ln 1()22xx −=，则ln 11()22x <<，ln 1212x<<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数()()4log 1,13,1xx x f x m x ⎧−>=⎨−−≤⎩存在2个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)3,0− B ．[)1,0− C ．[)0,1 D ．[)3,−+∞ 【答案】A【解析】因函数f (x )在(1，+∞)上单调递增，且f (2)=0，即f (x )在(1，+∞)上有一个零点，函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧−>=⎨−−≤⎩存在2个零点，当且仅当f (x )在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，()03x f x m =⇔=−，即函数3x y =−在(-∞，1]上的图象与直线y =m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y =m 和函数3(1)xy x =−≤的图象，如图：而3x y =−在(-∞，1]上单调递减，且有330x −≤−<，则直线y =m 和函数3(1)x y x =−≤的图象有一个公共点，30m −≤<.故选：A【提分秘籍】1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x 2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x 2-3x+2与函数y=ln t 的单调性,而忽视t>0的限制条件.3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.【变式演练】1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数()2121x x f x −=+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为减函数C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的值域为[)1,1−【答案】AC【解析】()2121x xf x −=+,x ∈R ,2121x =−+ 2112()()2112x xx xf x f x −−−−∴−===−++,故()f x 为奇函数，又()21212121x x xf x −==−++， ()f x ∴在R 上单调递增， 20x >，211x ∴+>，20221x ∴<<+， 22021x∴−<−<+，1()1f x ∴−<<，即函数值域为()1,1− 令()21021x x f x −==+，即21x =，解得0x =，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC 正确，BD 错误.故选：AC2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数()322xxf x x −=−+，则使得不等式()()2130f x f −+<成立的实数x 的取值范围是【答案】(),1−∞−【解析】函数的定义域为R ，()()322xx f x x f x −−=−−=−，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为()()213f x f −<−，∴213x −<−，解得1x <−，∴x 的取值范围是(),1−∞−．【题型二】函数与方程【典例分析】【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数3()9xf x e x =+−的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+−为增函数，由(1)80f e =−<，2(2)10f e =−>，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.【例5】（2021·北京高三一模）已知函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩…(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，则常数t 的一个取值为______．【答案】2（不唯一）．【解析】由220x x +=可得0x =或2x =− 由ln 0x =可得1x =因为函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩…(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，所以1e t >≥，故答案为：2（不唯一） 【提分秘籍】1.判断函数零点个数的方法2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.【变式演练】1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数()()()23log 111f x x x x =+−>−的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】易知()f x 在()1,+∞上是连续增函数，因为()22log 330f =−<，()33202f =−>，所以()f x 的零点所在的大致区间是()2,3. 故选：B2．（2021·天津高三二模）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧−<=⎨−−≥⎩，若1a =，则()f x 的最小值为______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1−112a ≤<或2a ≥ 【解析】当1a =时，()()211()4(1)(2)1x x f x x x x ⎧−<⎪=⎨−−≥⎪⎩， 1x <，()211xf x =−<，1≥x ，()()()234124112f x x x x ⎛⎫=−−=−−≥− ⎪⎝⎭所以()f x 的最小值为1−. 设()f x 的零点为1x 、2x ，若()1,1x ∈−∞，[)21x ∈+∞,，则20012a a a a−>⎧⎪>⎨⎪<≤⎩，得112a ≤<若[)12,1,x x ∈+∞，则0201a a a >⎧⎪−≤⎨⎪≥⎩，得2a ≥，综上:112a ≤<或2a ≥.故答案为: 1−；112a ≤<或2a ≥. 【题型三】函数的实际应用【典例分析】1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =−，其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（ ） A ．0.210− B ．0.210C ．40lg39D ．4039【答案】B【解析】由0lg lg M A A =−，可得01AM gA =，即010M A A =，010M A A =⋅， 当8M =时，地震的最大振幅为81010A A =⋅，当7.8M =时，地震的最大振幅为7.82010A A =⋅，所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是887.80.2017.82010101010A A A A −⋅===⋅.故选：B. 2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(mg /L)P 与时间(h)t 的关系为0ktP P e −=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（ ） A ．7小时 B ．10小时 C ．15小时 D ．18小时【答案】B【解析】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以()50010.1kP P P e−=−=，解得ln 0.95k =−，所以ln 0.950tP P e =，设污染物减少19%所用的时间为t ，则()0010.190.81P P −=()()ln 0.92ln 0.955500000.90.9tt t P P eP eP ====，所以25t=，解得10t =，故选：B 3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t −≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩（a 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是A ．9:40B ．9:30C ．9:20D ．9:10【答案】9:30【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a−⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102tt t y t −≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩， 令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t −⎛⎝≤⎫⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:30.故选：B.【提分秘籍】1.构建函数模型解决实际问题的失分点： (1)不能选择相应变量得到函数模型； (2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义. 2.解决新概念信息题的关键： (1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间()30100t t ≤≤（单位：天），增加总分数()f t （单位：分）的函数模型：()()1lg 1kPf t t =++，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且()1606f P =．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（ ）（lg 61 1.79≈） A ．440分 B ．460分C ．480分D ．500分【答案】B【解析】由题意得：()1601lg 61 2.796kP kP f P ===+， 2.790.4656k ∴≈=；∴()0.465400186186100621lg1011lg100lg1.013f ⨯==≈=+++，∴该学生在高考中可能取得的总分约为40062462460+=≈分.故选：B.【模考题组练习】1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数()2ln 1xf x x =+−的零点所在的区间为（ ）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+−为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，131111ln 21ln 21ln 20222222f ⎛⎫=−<−−=−<−=−= ⎪⎝⎭， 可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数()1af x x x =+−在(0,2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是（ ） A ．1[2,]4−B ．1(2,)4−C ．1[0,]4D ．1(0,)4【答案】D【解析】函数()1a f x x x=+−在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程10ax x +−=在(0,2)上有两个不同的解，即2a x x =−+在(0,2)上有两个不同的解.此问题等价于y a =与2(02)y x x x =−+<<有两个不同的交点.由下图可得104a <<.故选：D.3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =−+−，则（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x =对称 B ．()f x 的图象关于点()3,0对称 C ．()f x 在()2,4上单调递增 D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++−=−， 所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠−−，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =−+−=−+−函数2268(3)1y x x x =−+−=−−+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确； D ：由C 的分析可知本选项不正确， 故选：A4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数2ln(1)ln(1)()1x x f x x +−−=−，则函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】2ln(1)ln(1)()1x x f x x +−−=−，定义域为()1,1−，且()()f x f x −=−，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C ，故选：D.5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：SN为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（ ） A ．2 B ．99C ．101D ．9999【答案】C【解析】当99SN =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999SN =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍. 故选：C .6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=−，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =−的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()()2f x f x +=−可得()f x 关于1x =对称， 由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=−=−=−−−=−， 所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =−的零点问题即()30y f x x =−=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B. 7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（ ）A ．11(,)(,)22−∞−+∞ B ．11(,)22−C ．(,2)(2,)−∞−+∞D ．(2,2)−【答案】A【解析】因为21()log (1)f x x a=++， 所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <−−或x a >−， 所以()f x 的定义域为{|1x x a <−−或}x a >−，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a −−=，解得12a =−， 所以()f x 的定义域为11(,)(,)22−∞−+∞， 因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22−∞−+∞.故选：A . 8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数22log ,0,()44,0.x x f x x x x ⎧>=⎨−−+<⎩若函数()()g x f x m =−有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞【答案】A【解析】函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点. 画出()f x 的大致图象，如图所示.由图可知(4,8)m ∈.不妨设1234x x x x <<<，则12420x x −<<−<<，且124x x +=−.所以214x x =−−，所以()()212111424(0,4)x x x x x =−−=−++∈，则3401x x <<<，因为2324log log x x =，所以2324log log x x −=，所以12324log log x x −=，所以341x x ⋅=，所以123412(0,4)x x x x x x ⋅⋅⋅=∈⋅.故选：A9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数()1x f x e =−与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为( )A ．2B ．1C ．0D ．1−【答案】BCD【解析】函数()1x f x e =−的导数为()x f x e '=；所以过原点的切线的斜率为1k =；则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a …时，函数()1xf x e =−与()g x ax =的图象恰有一个公共点；故选BCD10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+−−，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m −>的解集为(1,)−+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称 【答案】AD【解析】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨−>⎩，故A 正确； ()()12()ln 1ln 1ln ln(1)11x xxx x e f x e e e e +=+−−==+−−，令211xy e =+−，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m −>，有1020(1,)12m m m m m −>⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪−<⎩，故C 不正确； 令)()ln(211x y f x e +=−=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=−−，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确. 故选：AD11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时 【答案】AD【解析】由函数图象可知()4(01)112t at t y t −<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩…，当1t =时，4y =，即11()42a−=，解得3a =，∴()34(01)112t t t y t −<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩…，故A 正确，药物刚好起效的时间，当40.125t =，即132t =， 药物刚好失效的时间31()0.1252t −=，解得6t =，故药物有效时长为131653232−=小时， 药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确； 注射该药物18小时后每毫升血液含药量为140.58⨯=微克，故C 错误，故选：AD ．12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =−，1(())2g g x =−的实根个数分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a b c +=B ．b c a +=C ．b a c =D ．2b c a +=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x −<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =−，得()1f x =−或者()1f x =，此时有2个解，故2b =；方程1(())2g g x =−，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x −<<−或1()0g x −<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =. 根据选项，可得A ，D 成立.故选AD ．13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.【答案】3或13【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13 (负值舍去).综上，a =3或a =13. 14．（2021·北京高三一模）已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨−⎩…则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【答案】1 (),2−∞【解析】0(0)2=1=f ； 当1x <时，()()20,2=∈xf x ，当1x ≤时，()2log 0=−≤f x x ， 所以()f x 的值域为(),2−∞ 故答案为：1；(),2−∞．15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为[4,4]−的函数()f x 的部分图像如图所示，且()()0f x f x −−=，函数(lg )1f a ≤，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()f x f x −=，且函数()f x 的定义域为[4,4]−，所以()f x 是偶函数．由图知()11f =，且函数()f x 在[0,4]上为增函数，则不等式(lg )1f a ≤等价于(|lg |)(1)f a f ≤，即|lg |1a ≤，所以1lg 1a −≤≤，解得11010a ≤≤． 故实数a 的取值范围为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故答案为：1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数()222,034,0x x x f x x x ⎧−+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．【答案】41,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】作出函数()f x 图像如下互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x == 不妨设123x x x <<，则23,x x 关于1x =对称，所以232x x +=根据图像可得1213x −<≤−所以123413x x x <++≤，所以123x x x ++的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦。

知能专练（三） 基本初等函数、函数与方程及函数的应用一、选择题1．(2017·惠州调研)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )A.14 B ．－14C ．2D ．－2解析：选A 设f (x )＝x a，由其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒a ＝12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.2．(2017·西城模拟)若奇函数f (x )＝ka x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的大致图象是( )解析：选C ∵函数f (x )＝ka x －a －x(a >0且a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，即(k －1)a x＋(k －1)·a －x＝0，解得k ＝1.又函数f (x )＝ka x －a －x(a >0且a ≠1)在R 上是增函数，∴a >1，可得g (x )＝log a (x ＋k )＝log a (x ＋1)，函数g (x )的图象必过原点，且为增函数．故选C.3．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ，c ＝e ln x，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >b >cD ．b >a >c解析：选B 依题意得a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ∈(1,2)，c ＝x ∈(e －1,1)，因此b >c >a .4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 法一：当x >2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ；当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数．x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去)．所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.法二：由y ＝f (x )－g (x )＝0得f (x )＋f (2－x )＝3， 设F (x )＝f (x )＋f (2－x )，则F (2－x )＝f (2－x )＋f (x )，所以F (2－x )＝F (x )，F (x )关于直线x ＝1对称． 当0≤x ≤1时，F (x )＝f (x )＋f (2－x )＝2－x ＋2－(2－x )＝2；当x <0时，F (x )＝f (x )＋f (2－x )＝2＋x ＋(2－x －2)2＝x 2＋x＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74.作出函数F (x )的图象如图所示，由图象可知，当F (x )＝3时，有2个零点，故选A.5．(2017·邯郸模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，若对任意给定的t ∈(1，＋∞)，都存在唯一的x ∈R ，满足f (f (x ))＝2a 2t 2＋at ，则正实数a 的最小值是( )A ．2B.12C.14D.18解析：选B 根据f (x )的解析式易知其值域为R ，又当x ≤0时，f (x )＝2x的值域为(0,1]；当x >0时，f (x )＝log 2x 的值域为R ，∴要想在t ∈(1，＋∞)上存在唯一的x ∈R 满足f (f (x ))＝2a 2t 2＋at ，必有f (f (x ))>1(∵2a 2t 2＋at >0)，∴f (x )>2，解得x >4，当x >4时，x 与f (f (x ))存在一一对应的关系，∴2a 2t 2＋at >1，t ∈(1，＋∞)，且a >0，∴(2at －1)(at ＋1)>0，解得t >12a或t <－1a (舍去)，∴12a ≤1，∴a ≥12，故选B.6．(2017·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)解析：选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 二、填空题7．设函数f (x )＝－ln(－x ＋1)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x ，f xx，则g (－2)＝______；函数y ＝g (x )＋1的零点是________．解析：由题意知g (－2)＝f (－2)＝－ln 3，当x ≥0时，x 2＋1＝0没有零点，当x <0时，由－ln(－x ＋1)＋1＝0，得x ＝1－e.答案：－ln 3 1－e8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，ax －1，x >1，若存在x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由已知存在x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则需x ≤1时，f (x )不单调即可，即对称轴a2<1，解得a <2.答案：(－∞，2)9．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．解析：作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.答案：(3，＋∞)三、解答题10．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e2x时取等号．∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e. 因此g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e. ∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，则函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．如图所示，作出函数g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其对称轴为x ＝e ，f (x )max ＝m －1＋e 2. 若函数f (x )与g (x )的图象有两个交点， 必须有m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1. 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根， 则m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．11．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4且k ∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (g/L)随着时间x (min)变化的函数关系式近似为y ＝kf (x )，其中y ＝⎩⎪⎨⎪⎧k ⎝ ⎛⎭⎪⎫169－x －1，0≤x ≤5，k ⎝⎛⎭⎪⎫11－245x 2，5<x ≤16.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(g/L)时，它才能起到有效去污的作用．(1)若投放k 个单位的洗衣液，3 min 时水中洗衣液的浓度为4(g/L)，求k 的值； (2)若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ 解：(1)由题意知，k ⎝⎛⎭⎪⎫169－3－1＝4，解得k ＝125.(2)当k ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4⎝ ⎛⎭⎪⎫169－x －1，0≤x ≤5，4⎝⎛⎭⎪⎫11－245x 2，5<x ≤16，当0≤x ≤5时，由4⎝ ⎛⎭⎪⎫169－x －1≥4，解得x ≥1，则1≤x ≤5.当5<x ≤16时，由4⎝ ⎛⎭⎪⎫11－245x 2≥4，解得－15≤x ≤15，∴5<x ≤15. 综上，1≤x ≤15.故若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达14 min. 12．已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R)为偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x－a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx ， 即(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意令log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧4x＋1＝a ·2x－a x，a ·2x－a >0.令t ＝2x ，则(1－a )t 2＋at ＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．①当a ＝1时，t ＝－1，不合题意，舍去． ②上式有一正一负根t 1，t 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－－a ，t 1t 2＝11－a <0，经验证满足a ·2x－a >0，∴a >1.③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a ＝±22－2， 此时t ＝aa －，若a ＝2(2－1)，则有t ＝a a －<0，此时方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0无正根， 故a ＝2(2－1)舍去； 若a ＝－2(2＋1)，则有t ＝a a －>0，且a · 2x－a ＝a (t －1)＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a a －－1＝a －a>0，a－因此a＝－2(2＋1)．综上所述，a的取值范围为{a|a>1或a＝－2－22}．。

第5讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用1．(2014·陕西高考)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f (x )＝3x【解析】 ∵a x ＋y ＝a x ·a y，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )， 所以可选定C ，D 项，再根据为单调递增函数，故选D. 【答案】 D2．(2014·辽宁高考)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a【解析】 ∵a ＝2－13＝1213，∴0<a <1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213>log 1212＝1，∴b <a <c .故选C. 【答案】 C3．(2014·福建高考)若函数y ＝log a x ( a ＞0，且a ≠1)的图象如下图所示，则下列函数图象正确的是( )【解析】 因为函数y ＝log a x 过点(3,1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，y ＝3－x不可能过点(1,3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1)，排除C; y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1), 排除D ，故选B.【答案】 B4．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ( )A.p ＋q 2B.p ＋1q ＋1－12C.pqD.p ＋1q ＋1－1【解析】 由题意，设年平均增长率为x则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， 解得x ＝1＋p 1＋q －1. 【答案】 D5．(2014·北京高考)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)【解析】 因为f (2)＝62－log 22＝3－1＝2＞0f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12＜0，故选C.【答案】 C从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．基本初等函数的图象、性质及应用①基本初等函数的图象、性质及应用是高考命题的热点内容之一，此类题命题背景宽，且常考常新，是近几年高考的一个重要考向．②多以选择题、填空题形式出现，考查学生的运算、推理、识别图象的能力，既可命制低、中档题，也可命制高档题．2．函数零点的确定及应用①函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查的内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点．常以基本初等函数(特别是幂函数与指数函数、对数函数、三角函数的结合)为载体，考查确定函数零点的个数和存在区间，或应用零点存在情况求参数的值(或取值范围)．②试题主要以选择题、填空题为主，属低、中档题． 3．函数的新信息题①此类问题命题以函数的图象与性质为背景创设新情景，通常从定义的新运算、新概念或新性质入手，考查函数的图象与单调性、最值(值域)以及零点等函数性质，常与方程、不等式问题结合，形成知识的交汇问题，成为近几年高考的一个亮点．②试题以选择题、填空题为主，考查学生的信息迁移及分析问题、解决问题的能力，属中、高档题. 基本初等函数的图象、性质及应用【例1】 (1)(2014·山东高考)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1(2)(2014·重庆高考)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．(3)设a ＝log 2 π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a 【解析】 (1)由图象知：函数单调递减， ∴0＜a ＜1.又图象向左平移与x 轴交点在(0,1)间， ∴0＜c ＜1，故选D.(2)依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝(log 2x ＋12)2－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝12时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.(3)log 2π＞1，log 12π＜0,0＜π－2＜1，∴a ＞c ＞b ，故选C.【答案】 (1)D (2)－14 (3)C【规律感悟】 1.对于含a x 、a 2x 、log a x 的表达式，通常可以令t ＝a x 或t ＝log a x进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系．2．比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．[创新预测]1．(1)(2014·安徽高考)(1681)－34＋log 错误!＋log 错误!＝________.【解析】 (1681)－34＋log 354＋log 345＝(23)－3＋log 13＝278.【答案】 278(2)(预测题)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈[－3,2]上的值域是________．【解析】 因为x ∈[－3,2]，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.则y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 函数零点的确定及应用【例2】 (1)(2014·福建高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．(2)(2014·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)当x ≤0时，由x 2－2＝0，解得x ＝－2或x ＝2(舍)，此时f (x )有一个零点，当x ＞0时，方程2x －6＋ln x ＝0等价于ln x ＝6－2x ，分别画出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x (x ＞0)的图象，两图象有一个交点，此时原函数f (x )有一个零点，综上，所求函数f (x )有两个零点． (2)原问题等价于方程f (x )＝a |x |恰有4个根， 作出函数y ＝f (x )与y ＝a |x |的图象 如图当x ＜0时，由－(x 2＋5x ＋4)＝－ax得x 2＋(5－a )x ＋4＝0 由Δ＝0解之得 a ＝1或a ＝9(舍)结合图象知a ∈(1,2)． 【答案】 (1)2 (2)(1,2)【规律感悟】 1.确定函数零点存在区间及个数的“两个”方法： (1)利用零点存在的判定定理．(2)利用数形结合法．当方程两端所对应的函数类型不同或对应的函数解析式为绝对值、分式、指数、对数及三角函数式时，常用数形结合法求解．2．应用函数零点的情况求参数值或取值范围的“三个”方法： (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．[创新预测]2．(1)(2014·潍坊联考)函数＝|log 2x |－(12)x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 令y ＝|log 2x |－(12)x ＝0，即|log 2x |＝(12)x，在同一坐标系下作出y ＝|log 2x |和y ＝(12)2的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．【答案】 C(2)(2014·太原模拟)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log 4|x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪(5，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤17，15∪(5,7)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪(5,7) 【解析】 由f (x ＋1)＝－f (x )得，f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期是2，由g (x )＝f (x )－log a |x |＝0.得f (x )＝log a |x |，分别作出函数y ＝f (x )， y ＝m (x )＝log a |x |的图象，因为m (5)＝log a |5|＝m (－5)．所以若a >1，由图象可知要使函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则满足m (5)＝log a 5<1，此时a >5，若0<a <1，由图象可知要使函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则满足m (－5)＝log a 5≥－1，此时0<a ≤15，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)．【答案】 A函数的实际应用题【例3】 (2014·长沙三模测试)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)设该单位每月获利为S ， 则S ＝100x －y＝100x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损． 【规律感悟】 1.解答函数应用题的思维流程：实际问题――→分析、联想抽象、转化建立函数模型――→数学推演数学结果――→ 还原 实际结果,答 2．解答函数应用题的关键：将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．3．对函数模型求最值的常用方法： 单调性法、基本不等式法及导数法．[创新预测]3．某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投定，预计m ∈[6,8]．另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划．【解】 (1)由年销售量为x 件，按利润的计算公式，有生产A ，B 两产品的年利润y 1，y 2分别为y 1＝10x －(20＋mx )＝(10－m )x －20(x ∈N,0≤x ≤200)，y 2＝18x －(8x ＋40)－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40(x ∈N,0≤x ≤120)．(2)因为6≤m ≤8，所以10－m >0，函数y 1＝(10－m )x －20在[0,200]上是增函数，所以当x ＝200时，生产A 产品有最大利润，且y 1max ＝(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460(x ∈N,0≤x ≤120)，所以当x ＝100时，生产B 产品有最大利润，且y 2max ＝460(万美元)．因为y 1max －y 2max ＝1 980－200m －460＝1 520－200m ⎩⎪⎨⎪⎧>0，6≤m <7.6＝0，m ＝7.6，<0，7.6<m ≤8.所以当6≤m <7.6时，可投资生产A 产品200件；当m＝7.6时，生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或生产B产品100件)；当7.6<m≤8时，可投资生产B产品100件.数学模型的建立与应用将信息资料进行归纳整理，将实际问题抽象为数学问题，用数学语言正确描述，都是应用意识的具体体现．而应用的过程需要依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，从而完成数学模型的构造，并加以解决．【典例】(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A．3.50分钟 B．3.75分钟C．4.00分钟 D．4.25分钟【解析】由题知0.7＝9a＋3b＋c，0．8＝16a＋4b＋c，0．5＝25a＋5b＋，c解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.0，所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0，当t＝3.75时p有最大值，故选B.【答案】 B【规律感悟】应用意识的考查反映在函数模型上，主要考查最值问题，如二次函数的最值、基本不等式与最值等．这部分内容试题背景新颖，常与实际生活、社会热点相关联．熟练掌握各种基本初等函数模型是解决实际应用问题、进行数学建模的基础，在建模时要注意自变量的实际意义对问题的影响，并选择适宜的方法进行求解．一、选择题1．(2014·安徽高考)“x<0”是“ln (x＋1)<0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】ln (x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln (x＋1)<0”的必要不充分条件．【答案】 B2．(2014·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)【解析】对于A，y＝x＋1因为y′＝12x＋1>0在(0，＋∞)上恒成立，所以y＝x＋1在(0，＋∞)上为增函数，故选A.【答案】 A3．(2014·山东高考)已知实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x2＋1>1y2＋1B．ln (x2＋1)>ln (y2＋1)C．sin x>sin y D．x3>y3【解析】∵a x<a y且0<a<1，∴x>y(x，y∈R)．而此时x2不一定大于y2，所以x2＋1不一定大于y2＋1，因此A，B都不对，显然C不对．故选D.【答案】 D4．(预测题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．【答案】 C5．(2014·衡水中学二调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋1，x ≤1ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是(注：e 为自然对数的底数)( )A ．(0，1e )B ．[14，1e )C ．(0，14)D ．[14，e)【解析】 ∵y ＝ln x (x >1)，∴y ′＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，∴y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，若其与y ＝ax 相同，则a ＝1x 0，ln x 0－1＝0，∴x 0＝e ，∴a ＝1e.当直线y ＝ax 与y ＝14x ＋1平行时，直线为y ＝14x ，当x ＝1时，ln x －14x ＝ln 1－14<0，当x ＝e时，ln x －14x ＝ln e －14e>0，当x ＝e 3时，ln x －14x ＝ln e 3－14e 3<0，∴y ＝ln x 与y ＝14x 的图象在(1，e)，(e ，e 3)上各有1个交点，∴直线y ＝ax 在y ＝14x 和y ＝1ex 之间时，与函数f (x )的图象有2个交点，a ∈[14，1e)，故选B.【答案】 B二、填空题6．(2014·陕西高考)已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.【解析】 ∵4a ＝22a，∴22a＝2,2a ＝1，∴a ＝12.∵lg x ＝12，∴x ＝10.【答案】 107．(预测题)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.【解析】 ∵2<a <3<b <4，∴f (1)＝log a 1＋1－b ＝1－b <0，f (2)＝log a 2＋2－b <0，f (3)＝log a 3＋3－b ， 又∵log a 3>1，－1<3－b <0，∴f (3)>0， 即f (2)f (3)<0，故x 0∈(2,3)，即n ＝2. 【答案】 2 8.(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．【解析】 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．【答案】 20 三、解答题9．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)(x ∈R )．(1)求函数f (x )的值域；(2)若方程f (x )＝c 恰有一个、两个、三个实根，试分别求出实数c 的取值范围．【解】 (1)当(x 2－2)－(x －x 2)≤1，即－1≤x ≤32时，f (x )＝x 2－2；当(x 2－2)－(x －x 2)＞1，即x ＞32，或x ＜－1时，f (x )＝x －x 2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， －1≤x ≤32，x －x 2， x ＞32或x ＜－1.当－1≤x ≤32时，－2≤f (x )≤14；当x ＜－1或x ＞32时，f (x )＜－34；∴函数f (x )的值域为(－∞，14]．(2)画出函数y ＝f (x )的图象(如下图)，知：①当c ∈[－34，14]时有一个实根，②当c ∈(－∞，－2]∪(－1，－34)时有两个实根，③当c ∈(－2，－1]时有三个实根．10．(2014·山东德州一模)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【解】 (1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，y max＝3万元．。

高考数学二轮复习专题 1 第 3 讲基本初等函数Ⅰ素能训练（文、理）一、选择题x1．(2014 ·江西文， 4) 已知函数f ( x) ＝a·2， x≥0( a∈R) ，若f [ f ( － 1)] ＝ 1，则2－x，x<0a＝()11A. 4B. 2C． 1D． 2[答案]A[分析]∵ f (－1)＝2－(－1)＝2，1∴f ( f (－1))＝ f (2)＝4a＝1，∴ a＝4.2．( 文 )(2 013·江西八校联考) 已知实数a、b，则“2a>2b”是“log2a>log2b”的() A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件[答案]B[分析]x a b由 y＝2为增函数知， 2 >2? a>b；由y＝log 2x在 (0 ，＋∞ ) 上为增函数知，log 2a>log 2b?a>b>0，∴ a>b? / a>b>0，但 a>b>0? a>b，应选B.( 理)(2014 ·陕西文，7) 以下函数中，知足“f ( x＋y) ＝f ( x) f ( y) ”的单一递加函数是()A．f ( x) ＝x3B．f ( x) ＝ 3x1 1 xC．f ( x) ＝x2D．f ( x) ＝ ( 2)[答案]B[分析]此题考察了基本初等函数观点及幂的运算性质．x ＋y＝x yf (x只有 B选项中 33·3建立且) ＝ 3 是增函数．x1f ( x)＝27的 x3．(2014 ·哈三中二模 ) 幂函数f ( x) 的图象经过点 ( － 2，－ ) ，则知足8的值是()11 A. 2 B. 3 11 C. 4 D. 5[答案]Bα1α[ 分析 ]设f(x)＝x，则－8＝(－2)，∴ α＝－3，∴f ( x)＝ x－3，由 f ( x)＝27得， x－3＝27，∴ x＝1 . 34． ( 文)(2013 ·霍邱二中模拟) 设a＝ log954，b＝log 953，c＝log 545，则()A． <<b B．<<aa cbc C．a<b<c D．b<a<c[答案]D[分析]∵ y＝log x 为增函数，∴log 54>log953，∴a>b，又c＝ log45＝ 1＋ log59>2，995 a＝log954＝1＋log96<2，∴ c>a>b，应选 D.( 理)(2013 ·新课标Ⅱ文， 12)x)若存在正数 x 使2( x－a)<1 建立，则a的取值范围是(A． ( －∞，＋∞)B． ( － 2，＋∞) C． (0 ，＋∞)D． ( － 1，＋∞) [答案]D[分析]由题意得，> － (1)x(x >0) ，a x21令 f ( x)＝ x－(2)x，则 f ( x)在(0，＋∞)上为增函数，∴ f ( x)> f (0)＝－1，∴ a>－1，应选D.5．(2013 ·重庆一中月考) 以下函数图象中不正确的选项是()[答案] D[ 分析 ]由指数函数、对数函数的图象与性质知A、 B 正确，又 C 是 B 中函数图象位于log x x>02是偶函数，其图象对于 y 轴对称，故D错误．∵ y＝log2| x|＝－ xlog 2x<01 6．(2013 ·南开中学月考 ) 定义在 R上的偶函数f ( x) 在 [0 ，＋∞ ) 上是增函数，且f ( 3)1＝0，则不等式f (log 8x)>0的解集是 ()1A．(0，2)B． (2 ，＋∞)11，＋∞)C．(0， ) ∪(2 ，＋∞)D． ( ，1) ∪(222[答案]C[分析]解法 1：∵偶函数f ( x) 在 [0 ，＋∞ ) 上为增函数，∴ f ( x)在(－∞，0)上为减函数，11又 f (3)＝0，∴ f (－3)＝0，11由 f (log 1 x)>0得，log 1 x>3或log 1 x<－3，8881∴ 0<x<2或x>2，应选 C.解法 2：∵f ( x) 为偶函数，∴f (log 1x)>0化为 f (|llog1x|)>0，881111∵f ( x)在[0，＋∞)上为增函数， f (3)＝0，∴|log 1 x|>3，∴|log8x|>3，∴log8 x>3或81log 8x<－，31∴x>2或0<x<2.二、填空题7． ( 文) 设函数f ( x) ＝| x| － 1，x≤1，若 f ( x)＝1，则 x＝________. 2－ 2x，x>1，[答案]－ 2[分析]当 x≤1时，由| x|－1＝1，得 x＝±2，故可得 x＝－2；当 x>1时，由2－2x ＝1，得x＝ 0，不合适题意．故x＝－2.( 理)(2013 ·大兴区模拟) 已知函数 f ( x)＝在区间[－1，m]上的最大值是1，则m的取值范围是 ________．[答案]( － 1,1]－ x1 x[分析]∵ f ( x ) ＝ 2 － 1＝ ( 2) －1 在[ －1,0]上为减函数，∴在 [ － 1,0] 上 f ( x ) 的最大1值为 f ( － 1) ＝ 1，又 f ( x ) ＝ x 2在 [0 ，m ] 上为增函数，∴在 [0 ，m ] 上 f ( x ) 的最大值为 m ，∵f ( x ) 在区间 [ － 1， m ] 上的最大值为 1，m >0，或－ 1<m ≤0，∴－ 1<m ≤1.∴m ≤1，－ 11 18．已知 x ＋ x ＝ 3，则 x 2－ x －2＝ ________. [答案]±11-1 11-1 -11[分析] ( x 2 － x 2 ) 2＝ ( x 2 ) 2－ 2x 2 · x2＋ ( x 2) 2＝ x ＋ x －1－ 2＝ 3－ 2＝ 1，∴ x2-1－x 2＝± 1.119．计算 (lg －lg25) ÷100－ ＝ ________.42[答案] － 20[分析]原式＝ lg0.01 ÷100－12＝－ 2×10＝－ 20.log 3x ＋ 1 ， x >0 ，10．已知函数f ( x ) ＝ 3－ x ，x ≤0 .若 f ( m )>1 ，则 m 的取值范围是________．[答案] ( －∞， 0) ∪ (2 ，＋∞)[分析]当 m >0 时，由 f ( m )>1 得， log 3( m ＋ 1)>1 ，∴ m ＋ 1>3，∴ m >2；当 m ≤0时，由 f ( m )>1 得， 3－m >1.∴－ m >0，∴ m <0.综上知 m <0 或 m >2.一、选择题11．(2013 ·天津和平区质检) 已知函数 x3＋ x － 2 f ( x ) ＝x ＋ 2 ， g ( x ) ＝ x ＋ ln x ， h ( x ) ＝x 的零点分别为 x 、 x 、 x ，则 ()123A ． x 3<x 1<x 2B ． x 1<x 3<x 2C．x2<x3<x1D．x1<x2<x3 [答案]D[分析]x ＝－2x <0，若 x>1，则 g( x)＝ x＋ln x>1，∴0<x2<1，x＝ 1，∴x <x<x .113123 12． ( 文)(2013 ·榆林一中模拟) 命题p：函数f ( x) ＝a x－ 2( a>0 且a≠1) 的图象恒过点(0 ，－ 2) ；命题：函数f (x) ＝ lg|x|(x≠0) 有两个零点．q则以下说法正确的选项是()A．“p或q”是真命题B．“p且q”是真命题C．?为假命题D．?为真命题p q[答案]A[分析]∵ f (0)＝ a0－2＝－1，∴ p 为假命题；令lg| x|＝0得，| x|＝1，∴ x＝±1，故q 为真命题，∴ p∨ q 为真， p∧q 为假，?p 为真，?q 为假，应选 A.1( 理)(2013 ·德阳市二诊) 已知函数f(x) ＝ax＋2， x≤0( 此中∈R) ，函数(x)a glog x，x>02＝f [ f ( x)]＋1.以下对于函数g( x)的零点个数的判断，正确的选项是()A．当a>0 时，有 4 个零点；当a<0 时，有 2 个零点，当a＝ 0 时，有无数个零点B．当a>0 时，有 4 个零点；当a<0 时，有 3 个零点，当a＝ 0 时，有 2 个零点C．当a>0 时，有 2 个零点；当a≤0时，有 1 个零点D．当a≠0时，有 2 个零点；当a＝0 时，有 1 个零点[答案]A[分析]13113取 a＝1，令 x＋2＝－ 1 得 x＝－2，令 log x＝－ 1得， x＝2. 令 x＋2＝－2得 x22332111＝－ 2，令 log x＝－2得x＝ 2－2，令 log x＝2得x＝ 2，令x＋2＝2得x＝ 0，由此可清除1x≤0，112C、D；令a＝0，得f( x) ＝由 log x＝－ 1 得x＝2，由f ( x) ＝2知，对2log 2x x>0 .1随意 x≤0，有 f ( x)＝，故 a＝0时， g( x)有无数个零点．213． ( 文)(2013 ·天津市六校联考) 设a ＝30.5，＝log 32，＝ cos2 ，则 ()b cA．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．b<c<a [答案]A[分析]a＝30.53， c＝cos2<0，>1，b＝ log 2∈ (0,1)∴c<b<a，应选A.3 2 2 3 24( 理)(2013 ·天津南开中学月考) 设 a ＝ ( 4) 3， b ＝ ( 3) 4， c ＝log 33，则 a 、 b 、 c 的大小关系是 ()A ． a >c >bB ． a >b >cC ． c >b >aD ． b >c >a[答案] B[分析]∵ ＝x 23 2在 (0 ，＋∞ ) 上为增函数，> ，y 34 3∴ ( 3) 2>( 2) 2. 又 y ＝ ( ) x 在 R 上为减函数， > ，∴ 0<( ) <( ) ，∴ a >b >0，43 3334334 3332232222又 y ＝log 3x 在 (0 ，＋∞ ) 上为减函数，∴ log2 4<log 21 ＝ 0，∴ a >b >c . 33314．(2014 ·衡水中学模拟 ) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，若对于随意给定的不等实数 x1、 2，不等式 1 ( 1)＋2(x2)< 1 ( 2)＋2( x 1) 恒建立，则不等式 f(1 － )<0 的xx f xx f x f xx fx解集为 ()A ． ( －∞， 0)B ． (0 ，＋∞)C ． ( －∞， 1)D ． (1 ，＋∞ )[答案] C[分析]由条件式得 ( x 1－x 2)[ f ( x 1 ) － f ( x 2)]<0 ，∴ x 1<x 2 时， f ( x 1)> f ( x 2) ， x 1>x 2 时， f ( x 1)< f ( x 2) ，∴ f ( x ) 为减函数，又 f ( x ) 为 R 上的奇函数，∴ f (0) ＝ 0，∴不等式 f (1 － x )<0 化为 f (1－x )< f (0) ，∴ 1－ x >0，∴ x <1，应选 C.15．(2014 ·中原名校第二次联考ππ) 函数 y ＝ f ( x ＋ ) 为定义在 R 上的偶函数，且当 x ≥221 x时， f ( x ) ＝( 2) ＋ sin x ，则以下选项正确的选项是( )A ． f (3)< f (1)< f (2)B ． f (2)< f (1)< f (3)C ． f (2)< f (3)< f (1)D ． f (3)< f (2)< f (1)[答案] A[分析]由条件知 f ( x ) 的图象对于直线π对称，x ＝2π 3π 1 x ·ln2 ＋ cos x <0，∴ f ( x ) 在 [π ∴ f (1) ＝ f ( π－ 1) ，当 ≤ x ≤时， f ′(x ) ＝－( )，22223π2 ] 上单一递减，π3π，∴ f (2)>f (π－1)> f (3)，∵2 <2<π－ 1<3< 2∴f (2)> f (1)> f (3)，应选A.16．(2013 ·新课标Ⅱ文，11) 已知函数 f ( x)＝x3＋ ax2＋ bx＋c ，以下结论中错误的选项是()A． ? x0∈R，f ( x0) ＝0B．函数y＝f ( x) 的图象是中心对称图形C．若x0是 f ( x)的极小值点，则 f ( x)在区间(－∞， x0)单一递减D．若x0是 f ( x)的极值点，则 f′(x0)＝0[答案]C[ 分析 ]此题考察函数的图象与性质及导数的应用．由题意得， f ′(x)＝3x2＋2ax＋ b，该函数图象张口向上，若x0为极小值点，如图，f′(x)的图象应为：故 f ( x)在区间(－∞， x0)不但一递减， C错，应选 C.二、填空题x－ 1，x>0，17．(2013 ·吉林省吉大附中模拟 ) 已知函数f (x2(x) ) ＝2－ 2x，x≤0，若函数－ x g＝(x ) －有 3 个零点，则实数的取值范围是 ________．f m m[答案](0,1)[分析]函数 f ( x)的图象以下图：当 0<m<1 时，直线y＝m与函数f ( x) 的图象有三个交点．三、解答题118． ( 文 ) 已知函数f ( x)＝x＋ a ln x( a≠0， a∈R)．(1)若 a＝1，务实数 f ( x)的极值和单一区间；(2) 若a<0 且在区间 (0 ， e] 上起码存在一点x0，使得 f ( x0)<0建立，务实数 a 的取值范围．1 a ax－1′(x)＝－x＋x＝x，x － 1当 a ＝1 时， f ′(x ) ＝ x 2 ，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝1，又 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ．f ′(x ) ， f ( x ) 随 x 的变化状况以下表：x(0,1) 1 (1 ，＋∞)f ′(x )－＋f ( x )极小值因此 x ＝ 1 时， f ( x ) 的极小值为 1.f ( x ) 的单一递加区间为 (1 ，＋∞ ) ，单一递减区间为 (0,1) ．1a ax － 11(2) 由于 f′(x ) ＝－ x 2＋ x ＝ x 2，且 a ≠0，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝ a ，若在区间 (0 ，e] 上起码存在一点 x 0，使得 f ( x 0)<0 建立，其充要条件是 f ( x ) 在区间 (0 ，e] 上的最小值小于0.1由于 a <0，因此 x ＝ a <0， f ′(x )<0 对 x ∈ (0 ，＋∞ ) 建立， 因此 f ( x ) 在区间 (0 ， e] 上单一递减，故 f ( ) 在区间 (0 ， e] 上的最小值为 f (e) ＝1＋ lne ＝1＋ ，ee111由 e ＋ a <0，得 a <－ e ，即 a ∈ ( －∞，－ e ) ．xxa 、b 知足 a · b ≠0.( 理 ) 已知函数 f ( x ) ＝ a ·2＋ b ·3，此中常数(1) 若 a · b >0，判断函数 f ( x ) 的单一性；(2) 若 a · b <0，求 f ( x ＋ 1)> f ( x ) 时的 x 的取值范围．[分析](1) 设 x <x ，则 f ( x ) －f ( x ) ＝ ( a ·2x ＋ b ·3x ) － ( a ·2x ＋ b ·3x ) ＝ a ·(2 x112121122－ 2x 2) ＋ b ·(3 x 1－ 3x 2) ，由 x 1<x 2 得， 2x 1－ 2x 2<0,3 x 1－ 3x 2<0，由于 a · b >0，当 a >0， b >0 时， f ( x 1) － f ( x 2)<0 ， f ( x ) 为增函数；当 a <0， b <0 时， f ( x 1) － f ( x 2)>0 ， f ( x ) 为减函数．(2) 由f ( x ＋ 1)> f (xx ＋1 x ＋ 1xbx xx)得， ·2 ＋ ·3> ·2＋·3，即 ·2>－ 2·3，abaa b由于 a · b <0，因此 a 、 b 异号．当 a >0， b <0 时，－ a3 x ，得 x <log 3 ( － a ) ；2b >( )2 22b当 a <0， b >0 时，－ a3 x ，得 x >log 3 ( － a ) ．2 b <( )222 b。