空间向量的数量积运算
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空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积公式是λa·b=a·λb，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0，模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。
含有x轴正半轴、y 轴正半轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy 面的上方，按逆时针方向确定。
在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。
2、共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积是线性代数中的一个重要概念，也是向量运算中的一种常用运算。
它可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
本文将详细介绍向量的数量积的定义、性质以及应用。
一、定义在二维空间或三维空间中，我们可以用向量来表示有方向和大小的量。
设有两个向量A和B，向量A的坐标表示为（A1，A2，A3），向量B的坐标表示为（B1，B2，B3），则向量A和向量B的数量积定义为：A·B=|A||B|cosθ，其中|A|表示向量A的长度，|B|表示向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
二、性质1. 交换律：A·B=B·A2. 结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k为实数3. 分配律：(A+B)·C=A·C+B·C三、计算方法1. 若向量A和向量B的坐标分别为（A1，A2，A3）和（B1，B2，B3），则A·B=A1B1+A2B2+A3B3。
2. 若向量A和向量B的坐标形式为A=a1i+a2j+a3k和B=b1i+b2j+b3k，其中i，j，k分别是坐标轴上的单位向量，则A·B=a1b1+a2b2+a3b3。
四、应用1. 判断向量是否垂直：如果向量A·B的结果为0，则向量A和向量B垂直；如果向量A·B的结果大于0，则向量A和向量B之间的夹角为锐角；如果向量A·B的结果小于0，则向量A和向量B之间的夹角为钝角。
2. 计算向量的模长：|A|=√(A·A)3. 计算向量的夹角：cosθ=(A·B)/(|A||B|)4. 计算向量的投影：向量A在向量B上的投影记作projBA=(A·B)/|B|总结：本文详细介绍了向量的数量积的定义、性质和应用。
向量的数量积是一种常用的向量运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
数学《空间向量的数量积运算》
向量在三维空间中的方向
总结词
向量方向对数量积运算结果具有重要影响。
详细描述
在三维空间中，两个向量的数量积不仅与它们的长度和夹角有关，还与它们之间的方向关系有关。如 果两个向量方向相同或相反，它们的数量积将有不同的结果。
04 空间向量数量积运算的应 用
在物理中的应用
力的合成与分解
通过空间向量的数量积运算，可以方便地计算出力的合成与分解 结果，从而解决力学问题。
对未来研究的展望
• 展望：随着数学和物理学的发展，空间向量的数量积运算将继续发挥重要的作用。未来研究可以进一步探讨数量积运算的 性质和规律，例如探索数量积与其他向量运算之间的关系、数量积运算的几何意义等。此外，随着科技的发展，新的应用 领域将不断涌现，需要进一步拓展空间向量数量积运算的应用范围，例如在人工智能、数据分析和图像处理等领域的应用。 同时，随着数学教育的发展，如何更好地教授空间向量的数量积运算，提高学生对这一概念的理解和应用能力，也是未来 研究的一个重要方向。
速度和加速度的计算
在运动学中，空间向量的数量积运算可以用于计算速度和加速度， 帮助我们理解物体运动规律。
电磁学中的场强计算
在电磁学中，通过空间向量的数量积运算可以计算出电场强度和磁 场强度，进一步研究电磁场性质。
在工程中的应用
结构分析
在土木工程和机械工程中，空间 向量的数量积运算可以用于结构
分析，如计算应力和应变等。
数学《空间向量的数量积运算》
contents
目录
• 引言 • 空间向量的数量积运算性质 • 空间向量数量积运算的几何意义 • 空间向量数量积运算的应用 • 总结与展望
01 引言
空间向量的数量积运算的定义
定义
空间向量数量积
A F
B E
D C
A
D
A
B
C
图一
D
C B 图二
二、垂直问题
例1、在平面内一条直线与这个平面旳一条斜线旳射影 垂直，那么它也与这条斜线垂直。
已知，如图，PO、PA分别是平面 内旳垂线、斜线， AO是PA在平面 内旳射影， l 且l⊥OA， 求证：l ⊥PA.
P
O
l
A
例2、如图，m, n是平面内的两条相交直线， 如果l m, l n,求证：l .
① (a) • b (a • b);数乘结合律 ② a • b b • a;交换律 ③ a • (b c) a • b a • c.分配律
不能 不能
不一定
例1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等 于a， 点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，
求：(1)AB AC;(2)AD DB;(3)GF AC. A
l
m
g
n
例3、已知空间四边形 OABC中，AOB BOC AOC, 且OA OB OC, M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的 中点，求证：OG BC .
O
M
A
G
C
N
B
变式：正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点， O是底面ABCD的中心，求证： B1O 平面PAC .
（一）数量积旳定义
（1）空间向量旳夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间中任取一点O，作 OA a,OB b, 则AOB叫做向量a与b的夹角， 记作 a,b ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）、数量积旳定义
①：零向量与任历来量旳数量积为0 ②： a • a a a cos a, a a 2
数量积和向量积的公式
数量积和向量积的公式
数量积AB=ac+bd
向量积要利用行列式
若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),
则向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2
向量a×向量b= |i j k| |a1 b1 c1| |a2 b2 c2| =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量【数量积】
也称为标量积、点积、点乘，是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。
它是欧几里得空间的标准内积。
【坐标表示】
已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
【向量积】
数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。
与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
【性质】
叉积的长度| a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a, b共起点时，所构成平行四边形的面积。
据此有：混合积[ a b c] = ( a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。
第02讲 空间向量的数量积运算(4种类型)(答案与解析)
2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅= ；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅ ；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=⋅。
要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
空间向量的数量积运算
(2)三垂线定理：在平面内的一 条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (3)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂 直．
(1)三垂线定理及其逆定理中都出
现了四条线AB，AC，BC，l，
定理中所描述的是AC(斜线)、
已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO
是PA在平面α内的射影，l ,且l OA,求证 : l PA.
r
uuur uuur
证明：如图，在直线l上取向量a,同时取向量PO, OA.
因为l OA,所以a •OA 0. 因为PO ,且l ,所以l PO,
P
O
Al
α
a
因此a • PO 0
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是 (0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]
二、两个向量的数量积
注意： (1)两个向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值 为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余 弦值决定． (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过 的数的乘法是有区别的，因此我们书写向量的数量积时，只能 用符号a·b，而不能用a×b，也不能用ab．
证明：
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°， 计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
(1)三垂线定理及其逆定理中都出
现了四条线AB，AC，BC，l，
定理中所描述的是AC(斜线)、
已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO
是PA在平面α内的射影，l ,且l OA,求证 : l PA.
r
uuur uuur
证明：如图，在直线l上取向量a,同时取向量PO, OA.
因为l OA,所以a •OA 0. 因为PO ,且l ,所以l PO,
P
O
Al
α
a
因此a • PO 0
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是 (0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]
二、两个向量的数量积
注意： (1)两个向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值 为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余 弦值决定． (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过 的数的乘法是有区别的，因此我们书写向量的数量积时，只能 用符号a·b，而不能用a×b，也不能用ab．
证明：
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°， 计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
空间向量的数量积
空间向量的数量积
空间向量的数量积或乘积是将两个空间向量进行乘法运算后得到的结果。
它由三个分
量组成：法矢量、转角及大小。
矢量乘积可以分为三种：点积，叉积和混合积（向量三元积）。
点积是将两个空间向量做内积运算后得到的结果，也称之为内积。
在数学上，点积是
向量的叉乘的一个特殊形式。
它的表达式为：a•b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a、b之
间的夹角，|a|和|b|分别为两个向量的模，若α也表示为空间向量，则用符号a⃗•α⃗
表示点积，此时可以将θ理解为α⃗与a⃗之间的夹角，结果可以以实数表示。
点积的
计算结果可以表示为内积，也可以表示为外积或叉积。
叉积是由两个不平行的空间向量构成的直角三角形，它的两边分别平行于向量a和b，而它的外边则与a、b之间的夹角等于90度。
它的表达式为：a x b＝|a||b|sinθ，这里
的θ表示的是向量a与b之间的夹角。
叉积的计算结果为模长，它表示了两个空间向量
的向量数量积。
如果两个空间向量的方向相同，则叉积的结果为0。
混合积，又称为向量三元积，是将三个空间向量做乘法运算后得到的结果。
它的表达
式为：a x b x c＝|a||b||c|sinαsinβsinγ，其中α、β、γ分别表示三个向量之间
的夹角。
向量三元积的结果表示三个空间向量的叉乘结果，可以表示为实数或向量。
这种
计算结果的绝对值可以用作体积的表示，在三维空间中，三个向量的叉乘结果绝对值等于
向量组成的四面体的表面积乘以其中较长的边长。
空间向量的数量积和向量积
空间向量的数量积和向量积空间向量是三维空间中的矢量，有数量积和向量积两种运算。
一、数量积数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间进行的一种运算，结果是一个标量。
数量积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加。
设有两个向量A = (A1, A2, A3)和A = (A1, A2, A3)，它们的数量积表示为A·A。
计算公式如下：A·A = A1A1 + A2A2 + A3A3数量积有以下几个重要性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)，其中A为常数。
3. 分配律：A·(A + A) = A·A + A·A数量积可以用来计算向量之间的夹角和向量的投影。
夹角公式如下：cos A = A·A / (│A││A│)其中，A为A和A之间的夹角，│A│和│A│分别为向量A和A的模。
二、向量积向量积，也称为叉积或外积，是指两个向量之间进行的一种运算，结果是一个新的向量。
向量积的计算方法是利用行列式，将原向量和单位向量按照一定的顺序排列成矩阵，然后计算该矩阵的行列式。
设有两个向量A = (A1, A2, A3)和A = (A1, A2, A3)，它们的向量积表示为A×A。
计算公式如下：A×A = (A2A3 - A3A2, A3A1 - A1A3, A1A2 - A2A1)向量积有以下几个重要性质：1. 反交换律：A×A = -A×A2. 分配律：A×(A + A) = A×A + A×A向量积的模可以表示为：│A×A│ = │A││A│sinA其中，A为A和A之间的夹角，│A×A│为向量积的模。
向量积可以用来计算以两个向量为邻边所构成的平行四边形的面积，并且垂直于这两个向量的方向。
空间向量的数量积运算
1.1.2空间向量的数量积运算
（第一课时）
• 问题一
• 两个非零空间向量的夹角：
已知两个非零向量a,b, 在空间中任取一点O, 作OA a,OB b,
则AOB叫做向量a,b的夹角.
• 记作：a,b.
aA b
• 规定：0 a, b
α O.
B
a, b＝b, a
• 如果 a, b ，那么向量a,b
• 记作：a b.
即 a b a b cosa, b.
• 规定：零向量与任意向量的数量积都等于零. • 两个向量的数量积是数量还是向量？ 数量!
• 问题二Leabharlann • 空间向量的数量积的性质：
（1）0·a = 0 （选择0还是0）.
证明垂直关系
（2）对于两个非零向量a，b，a⊥b ⟺ a·b ＝___0____.
b a
α O .c
• 投影向量c的长度？
c a cosa, b
• 问题三 • 向量a向直线l投影：
a
α O .c
l
• 问题三 • 向量a向直线l投影：
• 向量a向平面β投影：
B a A
A1 c B1
注：向量a与投影向量c的夹角 就是向量a所在的直线与平面β 所成的角
• 问题四 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？
（1）EF BA （2）EF BD （3）EF DC
【解】（2）EF BD= EF BD = 1 1= 1 22
（3）EF DC = EF DC cosEF , DC
= 1 1 cos120 = 1
2
4
• 问题三
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影：
B a A
b C A1 B1 D
（第一课时）
• 问题一
• 两个非零空间向量的夹角：
已知两个非零向量a,b, 在空间中任取一点O, 作OA a,OB b,
则AOB叫做向量a,b的夹角.
• 记作：a,b.
aA b
• 规定：0 a, b
α O.
B
a, b＝b, a
• 如果 a, b ，那么向量a,b
• 记作：a b.
即 a b a b cosa, b.
• 规定：零向量与任意向量的数量积都等于零. • 两个向量的数量积是数量还是向量？ 数量!
• 问题二Leabharlann • 空间向量的数量积的性质：
（1）0·a = 0 （选择0还是0）.
证明垂直关系
（2）对于两个非零向量a，b，a⊥b ⟺ a·b ＝___0____.
b a
α O .c
• 投影向量c的长度？
c a cosa, b
• 问题三 • 向量a向直线l投影：
a
α O .c
l
• 问题三 • 向量a向直线l投影：
• 向量a向平面β投影：
B a A
A1 c B1
注：向量a与投影向量c的夹角 就是向量a所在的直线与平面β 所成的角
• 问题四 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？
（1）EF BA （2）EF BD （3）EF DC
【解】（2）EF BD= EF BD = 1 1= 1 22
（3）EF DC = EF DC cosEF , DC
= 1 1 cos120 = 1
2
4
• 问题三
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影：
B a A
b C A1 B1 D
空间向量的数量积运算
逆命题成立吗 ? 三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线 ,如果和这个平面的一 条斜线垂直, 那么它也和这条斜线在平面内的射 影垂直.
例 2 ．已知:如图, PO 、 PA 分别是平面 的垂 线、斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ， 且 l OA ，求证： l PA P
回顾平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a, b , 则 a b cos 叫做 a, b 的数量积，记作 a b , 即 a b a b cos
向量的夹角：
知空间两个非零向量 a, b , 则 a b cos a, b 叫做 a, b 的数量积，记作 a b , 即 a b a b cos a , b 0 a, b
2）证明垂直问题； (a, b是非零向量)
a b ab 0;
3）向量的夹角（两异面直线所成的角）； ab cos a , b a b
练习：
已知点O是正△ABC平面外一点，若 OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是AB、 OC的中点，用向量法解决下列问题： (1)计算 AO OB, OE BF ； O (2)求OE与BF所成角的余弦值； (3)证明 AB OC ； (4)求EF的距离.
一、空间向量数量积的定义
a
b
注意: ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
平面向量数量积的运算律： 二、空间向量数量积的运算律：
(1)( a) b (a b) (2)a b b a (交换律) (3)a (b c) a b a c (分配律)
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.1.2 空间向量的数量积运算引言在空间解析几何中，空间向量是一个常见的概念。
空间向量的数量积运算是一种常用的计算方法。
本文将详细介绍空间向量的数量积运算，并给出相应的数学公式和示例。
数量积的定义空间中的向量a和b的数量积定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，表示为a·b。
数量积也被称为点积或内积。
两个向量a和b的数量积可以通过如下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a 和b的夹角。
数量积的性质数量积具有如下一些性质：交换律对于任意向量a和b，有a·b = b·a。
结合律对于任意向量a，b和c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
分配律对于任意向量a，b和c，有(a + b)·c = a·c + b·c。
零向量的数量积对于任意向量a，有a·0 = 0。
平行向量的数量积对于任意平行的向量a和b，有a·b = |a| |b|。
数量积的几何意义数量积可以用于计算两个向量之间的夹角。
具体来说，给定两个非零向量a和b，它们的数量积a·b的值是一个标量，它表示向量a在向量b方向上的投影，乘以向量b的模长。
数量积的计算方法计算两个向量的数量积可以使用向量的坐标表示方法。
假设向量a的坐标表示为(a1, a2, a3)，向量b的坐标表示为(b1, b2, b3)，则向量a和b的数量积可以计算为：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3示例下面以一个具体的示例来说明空间向量的数量积运算。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为a(2, 3, 1)和b(4, -1, 2)。
首先计算向量a和向量b的模长：|a| = sqrt(2^2 + 3^2 + 1^2) = sqrt(14)|b| = sqrt(4^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(21)然后计算向量a和向量b的夹角的余弦值：cosθ = (2*4 + 3*(-1) + 1*2) / (sqrt(14) * sqrt (21)) ≈ 0.764最后计算向量a和向量b的数量积：a·b = sqrt(14) * sqrt(21) * 0.764 ≈ 9.101因此，向量a和向量b的数量积为9.101。
(完整版)空间向量的数量积运算
＝14(a×acos 60°＋a×acos 60°) ＝12a2 答案： 12a2
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析： ∵P→C ＝P→A ＋A→D ＋D→C . ∴|P→C |2＝(P→A ＋A→D ＋D→C )2 ＝|P→A |2＋|A→D|2＋|D→C|2＋2P→A ·A→D ＋2A→D ·D→C ＋2D→C ·P→A ＝62＋42＋32＋2|A→D ||D→C |cos 120°＝61－12＝49.
答案： A
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈O→A，B→C 〉的值为( )
1 A.2 C．－12
2 B. 2 D．0
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析： 因为 O→A ·B→C＝O→A ·(O→C －O→B ) ＝O→A ·O→C －O→A ·O→B ＝|O→A ||O→C |cos〈O→A，O→C 〉－|O→A ||O→B |cos〈O→A ，O→B〉 又因为〈O→A ，O→C 〉＝〈O→A ，O→B 〉＝π3， |O→B ＝|O→C |，所以 O→A ·B→C ＝0， 所以O→A⊥B→C，所以 cos〈O→A ，B→C 〉＝0.
四面体筋混凝土构件，已知它的质量
为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到
大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60°.
问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构
件？
工具
第三章 空间向量与立体几何
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析： ∵P→C ＝P→A ＋A→D ＋D→C . ∴|P→C |2＝(P→A ＋A→D ＋D→C )2 ＝|P→A |2＋|A→D|2＋|D→C|2＋2P→A ·A→D ＋2A→D ·D→C ＋2D→C ·P→A ＝62＋42＋32＋2|A→D ||D→C |cos 120°＝61－12＝49.
答案： A
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈O→A，B→C 〉的值为( )
1 A.2 C．－12
2 B. 2 D．0
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析： 因为 O→A ·B→C＝O→A ·(O→C －O→B ) ＝O→A ·O→C －O→A ·O→B ＝|O→A ||O→C |cos〈O→A，O→C 〉－|O→A ||O→B |cos〈O→A ，O→B〉 又因为〈O→A ，O→C 〉＝〈O→A ，O→B 〉＝π3， |O→B ＝|O→C |，所以 O→A ·B→C ＝0， 所以O→A⊥B→C，所以 cos〈O→A ，B→C 〉＝0.
四面体筋混凝土构件，已知它的质量
为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到
大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60°.
问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构
件？
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第三章 空间向量与立体几何
空间向量的数量积运算
思考过程：
1、转化为向量问题；
2、进行向量运算；
3、回到图形问题。
l
m g
n
课堂小结 例2变式
例2
随堂训练
例2 . 已知线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，
线段AC⊥α，且AC=a,AB=b， BD= c, 。求C、
D间的距离
分析：
c
a
α
A
cD bB
课堂小结 例2变式
随堂训练
变式：已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α， 线段BD⊥AB，且BD与α所成角是30O，如果 AB=a，AC=BD=b。求C、D间的距离
C D
b
bＥ
α A aB
课堂小结
例1
随堂训练
随堂训练
1.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，
AB=4，AD=3,AA`=5,∠BAD=90O,
∠BAA′=∠DAA′=60O
求AC′的长
D1
C1
A1 B1
5
D
3 A4
C B
课课堂堂小小结结
例1
例2
随堂训练
2.已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，
空间向量的数量积运算
由于空间任意两个向量都可转化为共面向量， 所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个 向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表 示符号等，都与平面向量相同
学习目标
1.掌握空间两个向量的数量积（定义、计算 方法、应用） 2.体会用向量解决立体几何的思考方法
阅读课文P97 ,思考:
条件可知
m
存使在，gr唯一x有mr 序实ynr数对(x,y)，
g n
r l
r l
空间向量的数量积运算
不同的，它与向量的方向有关，其取值范围是[0，π]．
记〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量． ①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向； θ＝π时，a与b反向．
③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝 角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π. ④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ
D．|a·b|≤|a||b|
[答案] D
[解析]
|a|·a是与 a共线的向量，a2是实数，故A不对；
(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B错； (a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故C错． |a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|.
[点评] 由于内积满足分配律，故可象多项式乘以多 项式一样展开.
[例 2] 的夹角．
2 已知|a|＝2 2，|b|＝ ，a· b＝ 2，求 a 与 b 2
[解析]
2 2 a· b cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ |a|· |b| 2 2 2 2· 2
∵0° ≤〈a，b〉≤180° ∴〈a，b〉＝45° ，∴a 与 b 夹角的大小为 45° .
a⊥b.
2．空间两个非零向量a、b，a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 .
叫做向量a、b的数量积(或内积)． 同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数， 空间两个向量的数量积也具有如下性质： (1)a⊥b⇔ a·b＝0 ；
(2)|a|2＝ a·a
；
空间两个向量的数量积同样满足如下运算律： (1)(λa)·b＝ λ(a·b) ； (2)a·b＝ b·a (3)(a＋b)·c＝ ；(交换律) a·c＋b·c (分配律)．
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第三章
空间向量与立体几何
[证明] ∠AOC＝θ，
如图所示，连结 ON，设∠AOB＝∠BOC＝
→ → → 又设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则|a|＝|b|＝|c|， ∴a·b＝b·c＝a·c ＝|a|2cosθ， → ＝1(OM＋ON) → → 又OG 2 1 1→ 1 → → 1 ＝ [ OA＋ (OB＋OC)]＝ (a＋b＋c)． 22 2 4 → BC＝c－b
a2＝a·a＝|a|2＝9； b2＝b·b＝|b|2＝16； (a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝9＋6 3－32 ＝6 3－23.
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[点评] 由于内积满足分配律，故可象多项式乘以多 项式一样展开.
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[例 2] 的夹角．
2 已知|a|＝2 2，|b|＝ 2 ，a·b＝ 2，求 a 与 b
[解析] [ ]
a·b cos〈a，b〉＝|a|·|b|＝ cos a b
2 ＝2 2 2 2· 2
2
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∵0°≤〈a，b〉≤180° ∴〈a，b〉＝45°，∴a 与 b 夹角的大小为 45°.
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空间向量与立体几何
[点评]
空间向量中， 求两向量夹角与平面向量求法
a·b ，解题的关 完全相同，都是应用公式 cos〈a，b〉＝ |a|·|b| 键就是求 a·b 和|a|、|b|.求模时主要应用|a|2＝a·a 解决．
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[例3] 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G 是MN的中点，求证：OG⊥BC.
[分析] → → 要证 OG⊥BC，只要证OG·BC＝0，关键是
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→ → → → → 把OG、BC用一组基向量OA、OB、OC表示出来．
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空间向量与立体几何
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空间向量与立体几何
重点：理解掌握两个向量的夹角，两个向量的数量积 的概念，理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应 用． 难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问 题转化为向量计算问题．
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A 版 数 学 人
∠AOB
叫做向量a与b的夹角，
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空间向量与立体几何
2．空间两个非零向量a、b，a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 . 叫做向量a、b的数量积(或内积)． 同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数， 空间两个向量的数量积也具有如下性质： ⇔ (1)a⊥b⇔ a·b＝0 ； (2)|a|2＝ a·a ； 空间两个向量的数量积同样满足如下运算律： (1)(λa)·b＝ λ(a·b) ； (2)a·b＝ b·a (3)(a＋b)·c＝ ；(交换律) a·c＋b·c (分配律)．
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→ → 1 → → 1 → → (4)BF·CE＝ (BD＋BA)· (CB＋CA) 2 2 1 → → → → → → → → ＝ [BD·(－BC)＋BA·(－BC)＋BD·CA＋BA·CA] 4 1 → → → → → → → → → ＝ [－BD·BC－BA·BC＋(CD－CB)·CA＋AB·AC] 4 1 1 1 1 1 1 1 ＝ [－ － ＋ － ＋ ]＝－ . 4 2 2 2 2 2 8
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③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝 角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π. ④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ ＝π时，a·b＝－|a|·|b|. ⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于 向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得 出a⊥(b－c)． ⑤a·b＝0 a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝0.
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空间向量与立体几何
已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点 的三条棱长都是1，且两两夹角为60°，则AC1的长是多少？
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→ → → → [解析] AC1＝AB＋AD＋AA1， → → → → ∴|AC1|2＝(AB＋AD＋AA1)2 → → → → → → → → → ＝AB2＋AD2＋AA12＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1 ＝1＋1＋1＋2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＋ 2×1×1×cos60°＝6. → ∴|AC1|＝ 6.
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向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b ＝________，a2＝________，b2＝________，(a＋2b)·(a－ b)＝________.
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[解析]
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos30°＝6 3；
→ → → → → → → → ∴|BD |2 ＝|BA |2 ＋|AC |2 ＋|CD |2 ＋2BA ·AC ＋2BA ·CD ＋ → → 2AC·CD， → → → → 而<BA，AC>＝90°，<BA，CD>＝60°， → → <AC，CD>＝90°， → ∴|BD|2＝1＋1＋1＋2×1×1×cos60°＝4. → ∴|BD|＝2.
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1．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以 空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的 定义和表示及向量的模的概念和表示等，都与平面向量相 同． 2．要准确理解两向量夹角的概念，它和两直线夹角是 不同的，它与向量的方向有关，其取值范围是[0，π]． 记〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量． ①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向； θ＝π时，a与b反向．
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3．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面的 直． 三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂 直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影 垂直． 即与斜线垂直⇔与射影垂直． ⇔
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一条斜线的射影
垂直，那么它也和这条斜线垂
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如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直 线A1B与AC所成的角
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[解析]
→ → 不妨设正方体的棱长为 1, 设AB＝a，AD＝b，
→ AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0， → → A1B＝a－c，AC＝a＋b. → → ∴A1B·AC＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，而 → → |A1B|＝|AC|＝ 2. → → ∴cos〈A1B，AC〉＝ 60°. 因此，异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60°. 1 1 → → ＝ ，∴〈A1B，AC〉＝ 2× 2 2
[解析]
|a＋ b＋c|2 ＝(a＋b＋c)2 ＝|a|2 ＋|b|2 ＋|c| 2 ＋
2(a·b＋a·c＋b·c) 1 3 ＝1＋4＋9＋2(0＋1×3× ＋2×3× ) 2 2 ＝17＋6 3， ∴|a＋b＋c|＝ 17＋6 3.
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[说明] 公式：(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)2＝|a|2 ＋|b2|＋|c2|＋2a·c＋2a·b＋2b·c，应牢记并能熟练的应用．
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[例 4]
π π 设 a⊥b，<a，c>＝ ，<b，c>＝ ，且|a|＝1， 3 6
|b|＝2，|c|＝3，求向量 a＋b＋c 的模．
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[分析] 可直接运用|a|2＝a·a.
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[证明]
→ → → 如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
又 P、M 分别为 OA，BC 的中点． → ＝OM－OP＝1(b＋c)－1a ∴PM → → 2 2 1 ＝ [(b－a)＋c]． 2 → ＝1(a＋c)－1b＝－1[(b－a)－c]． 同理，QN 2 2 2 → ·QN＝－1[|b－a|2－|c|2] ∴PM → 4 又 AB＝OC，即|b－a|＝|c|. → → → → ∴PM·QN＝0.∴PM⊥QN，即 PM⊥QN.
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[解析] 把两点间距离表示出来，由a2＝|a|2求距离， 但应注意向量的夹角，三角形内角的区别．
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→ ·BC＝1(a＋b＋c)(c－b) ∴OG → 4 1 ＝ (ac－ab－b2＋c2)＝0. 4 ∴OG⊥BC.
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已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、 AC、OA、OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
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[例1] 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和 对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算